Cpítulo 4 Integrción numéric
Cpítulo 4 Integrción numéric Comenzremos por recordr lguns coss fundmentles sobre ls integrles. Si f(x) es un función continu en el intervlo finito I = [, b] entonces podemos firmr que dich función es integrble en el intervlo considerdo, es decir, que existe f(x)dx. Si demás conocemos un primitiv F (x) de f(x), podemos usr l Regl de Brrow pr concluir que: f(x)dx = F (b) F (). Si demás considermos que el rco de l curv f(x) es siempre positivo en x b, el resultdo nterior mide el re de l figur pln encerrd por el eje de bsciss,ls rects x = ; x = b y el menciondo rco de curv, como muestr el siguiente dibujo. Figur 4.1: Are clculd por l integrl. El problem es que veces, clculr un primitiv es un tre tedios y otrs, un misión imposible ddo que cierts funciones no dmiten primitivs expresbles medinte combinciones de funciones elementles, como por ejemplo, sen(x )dx, 93
94 4. Integrción numéric 1 dx, Ln(x) sen(x) dx, entre otrs muchs. x Otrs veces relizremos un experimento y de él, obtenemos un tbl de vlores que se supone tienen un comportmiento funcionl, pero que l no disponer de f(x) tmpoco podremos usr l Regl de Brrow. En culquier de los csos está justificd l necesidd de buscr un procedimiento lterntivo pr clculr integrles. A estos procedimientos los llmremos métodos de integrción numéric. 4.1 Métodos de integrción numéric El problem de proximr el vlor de un integrl I(f) = f(x)dx se relcion directmente con el de proximr f(x) en I = [, b]. Adoptremos l estrtegi de proximr el vlor de I(f) por el vlor de un integrl donde l función f(x) se sustituye por otr que l proxim, polinomio interpoldor, en el intervlo de integrción I = [, b]: fórmuls de tipo interpoltorio. n Como resultdo, obtendremos expresiones del tipo: I(f) = c i f(x i ) donde los i=0 coeficientes c i son números reles y los vlores x i están scdos del intervlo de integrción I = [, b]. 4.1.1 Fórmuls de cudrtur Son fórmuls que permiten clculr o proximr el vlor de un integrl. Consideremos un función f(x) continu en un intervlo ddo I = [, b], consideremos el soporte S = {x 0, x 1, x,, x n } donde = x 0, b = x n y los restntes puntos son vlores intermedios estos, ordendos de menor myor y sin repetirse ninguno, no import si están o no equiespcidos. Sbemos que el polinomio interpoldor de Lgrnge pr estos dtos, (n+1) nodos, n es un polinomio de grdo, lo sumo n, de l form: P n (x) = L i (x)f(x i ). i=0
4.1. Métodos de integrción numéric 95 Si sustituimos l función por el polinomio que l interpol en ls condiciones dds, quedrá: n f(x)dx P n (x)dx = L i (x)f(x i )dx i=0 como los f(x i ) son números (constntes) se puede escribir: f(x)dx n i=0 f(x i ) L i (x)dx y si llmmos A i = L i(x) podemos concluir que: n f(x)dx f(x i )A i. i=0 Y tenemos l fórmul tipo de cudrtur de l que sólo flt determinr los coeficientes A i. Hemos dicho que A i = L i(x) y como los polinomios uxilires de Lgrnge L i (x) sólo dependen de los elementos del soporte, podemos usr culquier función pr determinr los coeficientes A i. Tomremos funciones del tipo f(x) = x n ; es decir ls funciones: {1, x, x, x 3,, x n }, de modo que l plicrls l expresión n b f(x)dx f(x i )A i llegremos l sistem: i=0 Pr f(x) = 1 = (b ) = A 0 + A 1 + + A n Pr f(x) = x = b = A 0 x 0 + A 1 x 1 + + A n x n Pr f(x) = x = b3 3 3 = A 0 x 0 + A 1 x 1 + + A n x n... Pr f(x) = x n = b(n+1) (n+1) n+1 = A 0 x n 0 + A 1 x n 1 + + A n x n n Sistem de (n+1) ecuciones con (n+1) incógnits cuy mtriz M, es de Vn der Monde:
96 4. Integrción numéric M = 1 1 1... 1 x 0 x 1 x... x n x 0 x 1 x... x n........... x n 0 x n 1 x n... x n n Siendo su determinnte: det M = (x i x j ) con 0 j < i n El determinnte de est mtriz siempre es distinto de cero, y que x i x j, por lo tnto su rngo es igul l número de incógnits lo que nos grntiz que el sistem es comptible determindo y consecuentemente tiene solución únic, los A i ; en ls condiciones señlds, l fórmul de cudrtur es únic y demás siempre existe. Ejemplo 4.1.1 Queremos proximr el vlor de l integrl I = 4 sen(x) 1 dx usndo el x método descrito dividiendo en intervlo de integrción en dos prtes igules. Si dividimos el intervlo [1, 4] en dos prtes igules, qued el soporte: S = {1, 5, 4} por lo que l fórmul de cudrtur quedrá: I = 4 1 sen(x) dx x Plntemos el sistem pr clculr ls A i : f(x i )A i = f(1)a 0 + f( 5 i=0 )A 1 + f(4)a. Pr f(x) = 1 = (4 1) = A 0 + A 1 + A Pr f(x) = x = 4 1 = A 0 + 5 A 1 + 4A Pr f(x) = x = 43 1 3 3 = A 0 (1) + A 1 ( 5 ) + A (4) Es decir: A 0 + A 1 + A = 3 A 0 + 5 A 1 + 4A = 15 A 0 + 5 4 A 1 + 16A = 1.
4.1. Métodos de integrción numéric 97 L mner de resolver estos sistems de Vn der Monde se estudi en l signtur de Álgebr Linel, unque debemos puntulizr que no tendremos necesidd de resolver muchos de estos sistems en este curso. Nuestro sistem tiene por soluciones: A 0 = 1; A 1 = ; A = 1. Con estos dtos: I = 4 1 sen(x) dx 1 x sen(1) + 5 sen(5 ) + 1 sen(4) 4 = 0.804913. El ordendor nos d como vlor de l integrl: I = 4 sen(x) 1 dx = 0.81100686 x por lo que l proximción que hemos logrdo con un prtición tn elementl, no es demsido ml. Hemos visto que n f(x)dx f(x i )A i. Al utilizr est fórmul cometemos un i=0 error que vendrá ddo por l integrl definid en x b del error de interpolción de Lgrnge. Si P (x) es un polinomio de grdo g n que interpol f(x) con el soporte S = { = x 0, x 1, x,, x n = b} y f(x) dmite derivds continus hst el orden (n + 1) en el intervlo de integrción, el error será: n (x x 0 )(x x ) (x x n ) ɛ(n) = f(x)dx f(x i )A i = (f(x) P n (x))dx = f (n+1) (x)dx i=0 (n + 1)! (4.1) Si l función f(x) es un polinomio de grdo g n entonces f (n+1) (x) = 0, el error es cero y l fórmul de cudrtur, en estos csos, se dice que es exct. 4.1. Fórmuls de cudrtur de Newton-Cotes Ls fórmuls de Newton-Cotes se obtienen por el procedimiento nteriormente descrito, integrción del polinomio interpoldor de Lgrnge, pero considerndo soportes equiespcidos. Si el intervlo [, b] lo dividimos en n trozos de igul longitud, equiespcidos, cd trozo medirá h = b n lo que nos permitirá escribir todos los nodos en función
98 4. Integrción numéric de los puntos extremos del intervlo: x 1 = + 1h, x = + h, x 3 = + 3h,..., b = x n = + nh. A h le llmremos pso del soporte o de l prtición. Cundo tommos un soporte equiespcido, los coeficientes A i de l fórmul de interpolción de Newton-Cote, tienen l propiedd de que A k = A (n k). Esto nos permitirá que tn sólo tengmos que clculr l mitd de dichos coeficientes. Por otro ldo, como los A i sólo dependen del soporte, los podemos usr pr cudrr culquier integrl siempre que en ell se repit el soporte. Ejemplo 4.1. Los coeficientes A i pr el soporte {1,, 3} son: A 0 = A = 1 3 y A 1 = 4 3 de modo que: pero tmbién: I = 3 1 e x dx 1 3 e1 + 4 3 e + 1 3 e3. I = 3 1 log(x)dx 1 3 log(1) + 4 3 log() + 1 3 log(3). Los coeficientes A i de Newton-Cotes, con soportes de pso constnte, no dependen de los puntos concretos tomdos, pero sí del pso entre ellos, por ejemplo: Si tommos S = {, + h} el sistem serí: A 0 + A 1 = h A 0 + ( + h)a 1 = h + h y sus soluciones, los coeficientes, son: A 0 = A 1 = h Si tommos S = {, + h, + h} los coeficientes son: A 0 = A = h 3 A 1 = 4h 3 Si tommos S = {, + h, + h, + 3h} los coeficientes son: A 0 = A 3 = 3h 8 A 1 = A = 9h 8 Ejemplo 4.1.3 Los coeficientes A i pr el soporte {1,, 3} son: A 0 = A = 1 3 y
4.1. Métodos de integrción numéric 99 A 1 = 4 y los de {, 3, 4} y los de {0, 1, } y los de {1.,., 3.} y los de culquier 3 soporte de tres puntos equiespcidos un unidd. Ejemplo 4.1.4 Los coeficientes A i pr el soporte {1, 4, 7} son: A 0 = A = 1 y A 1 = 4 puesto que el pso es h = 3. Ejemplo 4.1.5 Clculr 1 0 f(x)dx con el soporte {0, 1, 1} )Sif(x) = x. b)sif(x) = x 4. Clculmos los coeficientes A i : A 0 = A = 1 y A 6 1 = 4 6 h = 1. Montmos l fórmul y en el primer cso qued: puesto que el pso es I = 1 0 x dx 1 6 0 + 4 6 (1 ) + 1 6 1 = 1 6 + 1 6 = 1 3. que como fácilmente se puede comprobr es el vlor excto, y que el polinomio del integrndo es de grdo n =. En el segundo cso: I = 1 0 x 4 dx 1 6 0 + 4 6 (1 ) 4 + 1 6 14 = 1 6 + 1 4 = 5 4 = 0.08333 resultdo diferente del excto que es: I = 1 0 x4 dx = 1 5 = 0. 4.1.3 Fórmul del Trpecio Si plicmos l fórmul de cudrtur de Newton-Cotes que cbmos de ver n b f(x)dx f(x i )A i pr el cso n = 1, sólo tendremos dos elementos en el i=0 soporte; los extremos de integrción {, b}. Consecuentemente los coeficientes A i son fáciles de clculr, l ser igules, A 0 = A 1 = b y con ello: I = f(x)dx b f() + b f(b) = b (f() + f(b)). Es l llmd Fórmul del Trpecio: f()+f(b) f(x)dx (b )
100 4. Integrción numéric Teorem 4.1.6 Dd un función f(x) continu en un intervlo [, b], su integrl podemos proximrl medinte l fórmul: f()+f(b) f(x)dx (b ). Est fórmul podemos interpretrl geométricmente de un mner muy sencill que justificrá su nombre. Supongmos pr fijr ls ides, que f(x) es un función positiv en [, b], si se observn los gráficos que siguen, Figur 4. y 4.3, l expresión f()+f(b) (b ) mide el áre del trpecio de ltur (b ), y bses f(), f(b); re del trpecio = semisum de ls bses por l ltur y con dich re proximmos el re del trpecio mixtilíneo que es el re exct. Figur 4.: Gráfico del método del trpecio pr l función f(x). Antes de continur vmos dr un resultdo de grn utilidd l hor de cotr el error cometido l usr est formulción. Teorem 4.1.7 Sen f(x) y g(x) funciones continus en un intervlo I = [, b], de form que g(x) no cmbi de signo en I. Entonces existe un vlor φ interior I tl que: f(x)g(x)dx = f(φ) g(x)dx En nuestro cso el error será: 4.1 e(n) = (f(x) P (x))dx = (x )(x b) f () (x)dx
4.1. Métodos de integrción numéric 101 Figur 4.3: Are del trpecio que nos yud proximr el vlor de l integrl. plicndo el teorem nterior. siendo < φ < b e(n) = (f(x) P (x))dx = f () (φ) (x )(x b)dx Hciendo cálculos, podemos concluir que el error cometido l usr l fórmul del Trpecio pr proximr l integrl dd será: siendo < φ < b. e = h3 1 f (b )3 (φ) = f (φ) 1 Recuerd que h = b El problem es que no conocemos el vlor de f (φ) y pr solventr esto, recurriremos cotrlo. Teorem 4.1.8 Si función f(x) dmite l menos hst l derivd segund continu en un intervlo [, b], el error, en vlor bsoluto, que se comete l usr l fórmul del Trpecio lo d l expresión: ɛ = (b )3 1 f (φ) con φ b. o cotndo: ɛ (b )3 M 1
10 4. Integrción numéric siendo M = vlor máximo o un cot superior del vlor bsoluto de l derivd segund: f (x) en [, b]. Se preci que el error depende de l finur o longitud del intervlo, por lo que mientrs menor se h mejor será el resultdo. Si pretendemos mejorr l proximción de un integrl dd, deberemos efectur un prtición del intervlo de integrción, como hremos más delnte, de modo que los trpecios se molden mejor l re que represent l integrl. Otr precición es que si f(x) es un polinomio de primer grdo, l fórmul del trpecio es exct. Ejemplo 4.1.9 Aproximr por el método del Trpecio el vlor de l integrl: 4 (x 3 4x + 8)dx Será: 4 (x3 4x + 8)dx f()+f(4) (4 ) = 64 y que f() = 8 8 + 8 = 8 y f(4) = 64 16 + 8 = 56. El error lo cotremos por:ɛ (b )3 1 M = (4 )3 1 M y como f = 6x, en [, 4] el máximo lo tendrá en el extremo superior y que siempre es positiv en I: M = 4 y con ello, ɛ (4 )3 1 4 = 16 Como l integrl es fácil de clculr, su vlor excto es: 4 (x3 4x + 8)dx = 5 siendo el error excto 1. Figur res. 4.4: Se preci el error si plicmos el método del trpecio; diferenci de
4.1. Métodos de integrción numéric 103 Figur 4.5: Gráfico: L proximción mejor si prtimos en intervlo en dos subintervlos. 4.1.4 Fórmul compuest de los Trpecios Procedemos con l estrtegi de dividir el intervlo de integrción en n prtes igules {x 0, x 1,, x i,, x n }, plicmos cd subintervlo l fórmul del Trpecio y summos: f(x)dx (x 1 x 0 ) f(x 0) + f(x 1 ) +(x 3 x ) f(x ) + f(x 3 ) como cd x (i 1) x i = h podemos concluir: + (x x 1 ) f(x 1) + f(x ) + + + (x n x n 1 ) f(x n) + f(x n 1 ) O lo que es lo mismo: f(x)dx f(x)dx h [f(x 0) + {f(x ) + + f(x (n 1) )} + f(x n )] (b ) n [f(x 0) + {f(x ) + + f(x (n 1) )} + f(x n )] f(x)dx n 1 (b ) n [f(x 0) + f(x i ) + f(x n )] i=1 Que es l fórmul compuest de los Trpecios o simplemente fórmul de los Trpecios.
104 4. Integrción numéric Figur subintervlos. 4.6: Fórmul compuest de los Trpecios; prtimos en intervlo en vrios Ahor el error será l sum de los errores producidos cd intervlo, como el soporte es equiespcido, tomndo M común pr todos, el error sólo depende de su pso h = b h3 y este es siempre el mismo, por lo tnto, el error será ɛ M n 1 en cd subintervlo y como hy n, el error totl lo mediremos con l siguiente fórmul: ɛ n h3 1 M = (b )3 1n M Fórmul del error (b )3 ɛ M 1n Donde M es el vlor máximo o un cot superior de f (x) en [, b]. A veces clculr y cotr l derivd segund de f(x) es complicdo. Cundo surj est dificultd, dispongmos de l derivd primer y l prtición se suficientemente fin, podemos estimr el error por l fórmul: siendo f 1 l derivd primer. ɛ (b ) [f 1 (b) f 1 ()] 1n Ejemplo 4.1.10 Aproximr por el método de los Trpecios con n = 3, el vlor de l integrl: 4 1 1 dx. Acotr el error y verigur l prtición necesri pr que el error x no supere un centésim. Solución:
4.1. Métodos de integrción numéric 105 Figur 4.7: Are que clcul nuestr integrl. Si hcemos l prtición solicitd del intervlo de integrción, est será: {1,, 3, 4} y sus imágenes medinte f serán: {1, 1, 1 3, 1 4 }. 4 1 Aplicmos l fórmul de los Trpecios: 1 (4 1) dx [f(1)+{f()+f(3)}+f(4)] = 3 x 6 6 [1+{1 +1 3 }+1 4 ] = 35 5 = 1.458333... Acotemos el error: ɛ (4 1)3 1(3 ) M f (x) = x 3 función decreciente en [1, 4] por lo que su máximo lo d en x = 1 y consecuentemente M =. ɛ (4 1)3 1(3 ) = 1 = 0.5 Si queremos que el error no supere un centésim, debe ser: 0.01 (4 1)3 = 9 1n 1 es decir, 9 ; n 900 = 450 ; n (450) = 1.13..; 100 n Necesitremos hcer un prtición tl que n =. Si le plicmos l fórmul de cotción del error, obtendremos que pr n = el error es: e 0.009.. Si le plicmos l fórmul de estimción del error, obtendremos que pr n = el error es: e 0.0014.. El vlor excto de l integrl es I = 1.38694... y el vlor por los Trpecios con n = es I = 1.387744... por lo que el error excto es 0.001450.. n
106 4. Integrción numéric 4.1.5 Fórmul de Simpson. Si plicmos l fórmul de cudrtur de Newton-Cotes n f(x)dx f(x i )A i pr el cso n =, tendremos tres elementos en el soporte: {, +b, b}. I = Los coeficientes A i son fáciles de clculr, A 0 = A = b ; A 6 1 = 4(b ) y con ello: 6 f(x)dx b 6 ) f()+4(b f( + b 6 )+b 6 Fórmul de Simpson: (b ) f(x)dx [f() + 4f( +b) + f(b)]. 6 i=0 (b ) f(b) = [f()+4f( + b 6 )+f(b)]. L interpretción geométric de este método es sencill. Supongmos f(x) positiv en en intervlo de integrción, lo que hcemos es que proximmos el re medid por l integrl medinte el re limitd por l prábol y = x +bx+c que ps por los puntos {(, f()), ( +b l prábol., f(+b ), (b, f(b)))}; es decir sustituimos f(x) por l ecución de Hy que destcr que pr plicr este método necesitmos usr trios Figur 4.8: Gráfic del re que queremos clculr. de puntos en l prtición, esto se trducirá cundo l pliquemos vrios intervlos conctendos, fórmul compuest de Simpson, que necesrimente l prtición n utilizd, debe ser pr. Esto lo precisremos más delnte. Pr el error procederímos de mner similr l usd pr el Trpecio y lo mediremos como dict el siguiente teorem. Teorem 4.1.11 Si función f(x) dmite l menos hst l derivd curt continu en un intervlo
4.1. Métodos de integrción numéric 107 Figur 4.9: Gráfic de l proximción por el método de Simpson. [, b], el error, en vlor bsoluto, que se comete l usr l fórmul de Simpson lo d l expresión: ɛ = h5 90 f 4 (φ) con φ b. o cotndo: ɛ h5 90 M 4 = (b )5 90n 5 M 4 = pr recordrl mejor, se suele escribir( como n=): ɛ (b )5 180n 4 M 4 = (b )5 880 M 4 (b )5 880 M 4 siendo M 4 = vlor máximo o un cot superior del vlor bsoluto de l derivd curt, f 4 (x), en [, b]. L fórmul de Simpson que cbmos de ver es exct cundo el integrndo f(x) es un polinomio de grdo menor o igul que tres, un grdo más de lo previsible. Al igul que ocurrí en el método del Trpecio, menor longitud del intervlo de integrción menor es el error. Ejemplo 4.1.1 Aproximr por el método de Simpson el vlor de l integrl: 0 (x 4 + 1)dx Tenemos un intervlo de integrción que es el [0, ], necesitmos un tercer punto y como el pso debe ser constnte, est será el intermedio es decir tommos los puntos de bsciss {0, 1, } cuys imágenes por f son {1,, 17}. Nótese que l prtición es pr, n =.
108 4. Integrción numéric Aplicndo l fórmul de Simpson: 1 [1 + 4() + 17] = 6 = 8.666666... 3 3 0 (x4 + 1)dx ( 0) 6 [f(0) + 4f(1) + f()] = Ahor cotremos el error cometido: ɛ ( 0)5 880 M 4. Pr ello hemos de determinr M 4 por lo que necesitmos l derivd curt de l función. f 4 (x) = 4, constnte, luego M 4 = 4 y consecuentemente: ɛ ( 0)5 880 4 = (4(5 ) 880 = 4 90 = 0.66666.. Si queremos proximr mejor el resultdo, podrímos proceder considerndo que: 0 (x4 + 1)dx = 1 0 (x4 + 1)dx + 1 (x4 + 1)dx y l plicr Simpson cd un de ells reduciremos el error y que hcemos más pequeños los intervlos de integrción. Pr plicr Simpson, tomremos los puntos de bsciss {0, 1, 1} pr l primer integrl y los puntos de bsciss {1, 3, } pr l segund, entonces tendrímos: 0 (x4 + 1)dx = 1 0 (x4 +1)dx+ 1 6 [f(0) + 4[f(1 ) + f(3 1 (x4 +1)dx (1 0) [f(0)+4f( 1 6 )] + [f(1)] + f()] )+f(1)]+ ( 1) 6 [f(1)+4f( 3 )+f()] = Esto equivle clculr l integrl inicil tomndo un prtición de 5 puntos de bsciss {x 0 = 0, x 1 = 1, x = 3, x 3 = 1, x 4 = } por lo que n = 4 y consecuentemente: 0 (x 4 + 1)dx (1 0) [f(0) + 4f( 1 ( 1) ) + f(1)] + [f(1) + 4f( 3 6 6 ) + f()] 0 (x 4 + 1)dx 1 6 [f(0) + 4[f(1 ) + f(3 )] + [f(1)] + f()] Observ que podemos escribirlo: f(x)dx b 3n [f(x 0) + 4[f(x 1 ) + f(x 3 )] + [f(x ))] + f(x 4 )] donde ls imágenes de los puntos extremos precen sólo un vez, ls de puntos con subíndice impr, cutro veces y ls de los de subíndice pr dos veces. Tmbién debemos observr que necesitremos de un número impr de puntos, lo que se trduce en un prtición de orden n = pr. Si mirmos el error cometido, ɛ 1 (1 0)5 4 = 0.008333.. y ɛ 880 ( 1)5 4 = 880 0.008333.. de modo que sumándolos, ɛ 15 4 = 0.0166.. bstnte menor que por 880 el primer cmino.
4.1. Métodos de integrción numéric 109 4.1.6 Fórmul compuest de Simpson Nos proponemos proximr el vlor de un integrl f(x)dx y dividimos el intervlo de integrción en un número n pr de subintervlos, todos igules, de modo que usremos los puntos de bsciss siguientes: {x 0, x 1, x,, x n } y plicmos l estrtegi de Simpson pr los trios: {x 0, x 1, x }, {x, x 3, x 4 },, {x (i 1), x i, x (i+1) },..., {x (n ), x (n 1), x n } de este modo se obtiene l siguiente Fórmul compuest de Simpson : f(x)dx b [E + 4I + P ] 3n donde: E = sum de ls imágenes de los puntos extremos: f(x 0 ) + f(x n ). I = sum de ls imágenes de los puntos con subíndice impr, excluidos los extremos: f(x 1 ) + f(x 3 ) +. P = sum de ls imágenes de los puntos que subíndice pr, excluidos los extremos: f(x ) + f(x 4 ) +. El error será l sum de los errores en cd subintervlo que se expres: ɛ (b )5 180n 4 M 4 siendo M 4 = vlor máximo o un cot superior del vlor bsoluto de l derivd curt: f 4 (x) en [, b]. L fórmul de cotción del error tiene l dificultd del cálculo de un derivd curt y su posterior cotción, si queremos evitr est dificultd, podemos estimr el error medinte est otr fórmul: ɛ (b )4 180n [f 3 (b) f 3 ()] 4 Con ell, evitmos l curt derivd pero no l tercer, que no tendremos que cotr. Est formulción estim el error con grntí pr n suficientemente grnde.
110 4. Integrción numéric Ejemplo 4.1.13 Aproximr por el método de Simpson con n = 6, el vlor de l integrl: π π 1 + sen (x)dx. Est integrl mide l longitud del rco [ π, π ] de l función coseno. Figur 4.10: Longitud de l curv medid por l integrl del problem. Hcemos un prtición en 6 prtes: n = pr: x 0 = π, x 1 = π 3, x = π 6, x 3 = 0, x 4 = π 6, x 5 = π 3, x 6 = π cuys imágenes son: y 0 =, y 1 = 7, y = 5, y 3 = 1, y 4 = 5, y 5 = 7, y 6 = por lo tnto, π π 1 + sen (x)dx = π [ + 4[ 7 + 1 + 7 ] + [ 5 + 5 ] + ] = 3.819403... 18 Ejemplo 4.1.14 Aproximr por el método de Simpson con n = 4, el vlor de 5 1 4x dx. Acotr el error y después verigur l prtición necesri pr grntizr un error menor que un x+1 milésim. L prtición será: [1,, 3, 4, 5] y sus imágenes: [, 8/3, 3, 16/5, 10/3] Apliquemos l fórmul de Simpson: E = + 10 3 = 16 3 ; I = 8 + 16 3 5 = 88; P = 3 por 15 lo que tendremos: 5 1 4x x + 1 dx b 5 1 [E + 4I + P ] = 3n 1 [16 3 + 488 5 + (3)] = 15 45 = 11.6
4.1. Métodos de integrción numéric 111 Ahor cotremos el error. Debemos cotr previmente l derivd curt de l función, f 4 (x) = 96 (x+1) 5, en [1, 5]. Como l función derivd de l derivd curt es f 5 (x) = 480 (x+1) 6, positiv en todo [1, 5], podemos firmr que f 4 es creciente, luego en vlor bsoluto el máximo lo lcnz en uno de los extremos del intervlo: f 4 (1) = 96 5 y f 4 (5) = 96 6 5 luego eligiendo l myor, M 4 = f 4 (1) = 3 y con ello: ɛ (b )5 180n 4 M 4 = (5 1)5 180(4 4 ) 3 = 0.066666.. Por último si queremos que el error no supere un milésim debe ser: 4 5 0.001 180n 3 4 de modo que despejndo: n 4 45 3000 = 17066.66.. por lo que n 11.43 de donde 180 podemos concluir diciendo que tomndo el primer entero pr myor de este resultdo, n = 1, nos grntizrá l plicr Simpson, un error menor que un milésim.