2
CÁLCULO FINANCIERO Teoría, Ejerccos y Aplcacoes 3
Uversdad de Bueos Ares Facultad de Cecas Ecoómcas Autores: Jua Ramó Garca Hervás Actuaro (UBA) Master e Ecoomía y Admstracó (ESEADE). Docete de Posgrado y Profesor Ttular Itero de Cálculo Facero y Estadístca para Admstradores y Profesor Asocado Regular Área Actuaral (FCE - UBA). Esteba Otto Thomasz Doctor, Máster e Admstracó y Lc. e Ecoomía (UBA) Docete de Posgrado y Profesor Adjuto Regular de Cálculo Facero y Profesor Adjuto Itero de Teoría del Caos (FCE - UBA). Secretaro Académco del Cetro de Ivestgacoes e Métodos Cuattatvos Aplcados a la Ecoomía y la Gestó (CMA-FCE-UBA). Roma Paula M. Garófalo Estudate de Actuaro y de Ecoomía (UBA) Ayudate de Seguda de Cálculo Facero (FCE - UBA). 4
JUAN RAMÓN GARNICA HERVAS ESTEBAN OTTO THOMASZ ROMINA PAULA M. GAROFALO CÁLCULO FINANCIERO Teoría, Ejerccos y Aplcacoes 5
Edcoes Cooperatvas es u empredmeto cooperatvo de docetes de la Facultad de Cecas Ecoómcas de la Uversdad de Bueos Ares para dfudr sus trabajos e vestgacoes Ngua parte de esta publcacó, cludo el dseño de cuberta puede ser reproducda, almaceada o trasmtda e maera algua por gú medo, ya sea electróco, mecáco, óptco de grabacó o de fotocopa s permso prevo del Edtor. Su fraccó está peada por las leyes 723 y 25446. Garca Hervás, Jua R. Cálculo Facero: Teoría, ejerccos y aplcacoes / Jua R. Garca Hervás; Esteba Otto Thomasz; Paula Garófalo ª ed. Bueos Ares: Edcoes Cooperatvas, 2007. 238 p.; 4x2 cm. ISBN 978-987-246-84-7. Cálculo Facero. 2. Educacó Superor. I. Thomasz, Esteba Otto II. Garófalo, Paula III. Título CDD 50.7 2008 Garca Hervás, Jua R. Derechos exclusvos 2008 Edcoes Cooperatvas Tucumá 3227, (74) Bueos Ares Argeta (54 0) 4864 5520 / (5) 498 5667 http://www.edcoescoop.org.ar fo@edcoescoop.org.ar º edcó, Febrero 2008 PORTADA: Gerard Dou. The moey leder (El prestamsta). 664. Museo del Louvre, Pars, Fraca Impreso y ecuaderado por: Impreta Dorrego. Av. Dorrego 02, Cap. Fed. ª. ed. Trada: 300 ejemplares. Se termó de mprmr e febrero de 2008. Hecho el depósto que establece la ley.723 IMPRESO EN ARGENTINA PRINTED IN ARGENTINE Edtoral asoca- 6
P R O L O G O Sedo ta umerosos y varados los lbros sobre Matemátca Facera que exste e la actualdad e los ambetes uverstaros, este texto represeta u uevo aporte a la eseñaza de esta dscpla. El msmo ha sdo dseñado, como se mecoa e la troduccó, para llear u vacío exstete e los tratados teórcos y guías práctcas de Cálculo Facero, y tee como objetvo brdar ua sítess teórcopráctca para aglzar el apredzaje básco ecesaro para compreder y aalzar las operacoes faceras. També srve para u vel troductoro para master y postgrados, de dsttas dscplas, dode se eseñe y/o utlce esta asgatura. El valor de las aplcacoes de las operacoes faceras muestra a alumos y graduados la razó por la cual se cosdera que los cotedos que está volcados e el desarrollo de lbro costtuye u tema muy mportate y apasoate; dode se ha tomado e cueta la expereca real, a lo largo de los años, que ha matedo los docetes co el dctado de las clases e la Facultad de Cecas Ecoómcas de la UBA.; como así també la vasta expereca e cosultoras prvadas, asesorado a profesoales y geretes de empresas. A través del desarrollo del presete trabajo, se geera las ocoes de operacoes smples y compuestas de captalzacó y actualzacó, equvaleca de tasas, valuacó de captales múltples, sstemas de préstamos, costos faceros y operacoes faceras cotgetes. El efoque pedagógco de los cotedos y de las aplcacoes ha tedo també u papel mportate par poder preparar a estudates y profesoales e su futuros trabajos e vestgacoes. Poder leer y segur el presete lbro e todos sus desarrollos teórcos y práctcos ha sdo ua grata tarea. Espero y deseo que los estudates y graduados lo ecuetre teresate y útl, al aplcar el Cálculo Facero e sus campos de terés. Dra. Mara Teresa Casparr Profesora Emérta. Facultad Cecas Ecoómcas. UBA 7
8
Cómo puede el ser humao ser felz, s o puede resguardarse de la msera de este mudo? Por la vda del coocmeto, precsamete La vda del coocmeto es la vda que es felz a pesar de la msera del mudo. Wttgeste A NUESTROS ALUMNOS 9
0
ÍNDICE INTRODUCCIÓN... 5. CAPÍTULO I:... 7 OPERACIONES SIMPLES... 7.. INTERÉS Y CAPITAL FINANCIERO... 7.2. OPERACIÓN FINANCIERA... 20.3 OPERACIONES SIMPLES DE CAPITALIZACIÓN BAJO RÉGIMEN SIMPLE Y RÉGIMEN COMPUESTO... 22.3. RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE... 23.3.. Cocepto... 23.4 OPERACIONES SIMPLES DE ACTUALIZACIÓN BAJO RÉGIMEN SIMPLE Y RÉGIMEN COMPUESTO... 37.4. RÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN SIMPLE... 39.4.. DESCUENTO COMERCIAL... 39.4... Marchas Progresvas... 40 Fucó descuetos peródcos y acumulados... 42.4...2 Proporcoaldad... 42.4...3 Fórmulas dervadas... 43.4...4 Ejercco de Aplcacó... 44.4..2 DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO... 44.4..2. Geeralzacó... 45.4..2.2 Fórmulas dervadas... 47.4..2.3 Ejercco de Aplcacó... 47.4.2 RÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN COMPUESTO... 48.4.2. Geeralzacó y marchas progresvas... 48.4.2.2 Fórmulas dervadas... 52.4.2.3 Ejercco de Aplcacó... 53.5 TASAS... 55.5. TASAS BAJO REGÍMENES SIMPLES:... 56.5.. Relacó etre tasas de terés y descueto bajo regímees smples.... 56.5.2 TASAS BAJO REGÍMENES COMPUESTOS:... 58.5.2. Ejercco de aplcacó... 64.5.2.2 Relacó etre tasas de terés y descueto bajo regímees compuestos... 65.6 CAPITALIZACIÓN CONTÍNUA... 67.6. Ejercco de aplcacó... 69.7 EJERCICIOS DE APLICACIÓN... 7.8 ANÁLISIS DE FUNCIONES FINANCIERAS... 85.8. INTERÉS SIMPLE... 86.8.. Fucó Moto e Iterés acumulado... 86 E fucó de la tasa de terés... 86 E fucó del tempo... 88.8.2 INTERÉS COMPUESTO... 90.8.2. Fucó Moto... 90 E fucó del tempo... 9.8.3 DESCUENTO COMERCIAL... 92
E fucó de la tasa de descueto... 93.8.4 DESCUENTO RACIONAL... 94 E fucó de la tasa de terés... 95.8.5 DESCUENTO COMPUESTO... 98.8.5. Fucó Valor actual... 98 E fucó de la tasa de descueto... 98 E fucó del tempo... 99.9 EQUIVALENCIA DE CAPITALES... 00.9. Prcpo de equvaleca de captales: cocepto y aplcacoes (Susttucó de captales)... 00.9.2 Regímees Smples... 0.9.3 Regímees Compuestos... 03.9.4 Coclusoes... 05.9.5 Ejerccos de aplcacó... 05 2. CAPÍTULO II... 09 OPERACIONES COMPUESTAS... 09 2. RENTAS... 09 2..2 INTRODUCCIÓN... 09 2..3 CÁLCULO DEL VALOR FINAL DE PROGRESIÓN O RENTA... 2..4 EXPRESIÓN DEL VALOR FINAL DE UNA RENTA... 3 ANTICIPADA... 3 2..5 VALOR ACTUAL DE UNA RENTA... 3 2..6 RENTA VENCIDA Y RENTA ADELANTADA... 5 2..6.2 Reta Vecda... 6 2..6.3 Reta Adelatada... 7 2..7 VALUACIONES DE CAPITALES MÚLTIPLES... 7 2..7.2 Casos báscos... 8 2..8 RENTAS DE PAGOS VARIABLES... 2 2..8.2 Retas de pagos varables e progresó geométrca... 2 2..8.3 Retas de pagos varables e progresó artmétca... 25 2..9 RENTAS PERPETUAS... 29 2..9.2 Valor actual... 29 2..0 EJERCICIOS DE APLICACIÓN... 3 Ejercco... 3 Ejercco 2... 34 2.. ANEXO: Progresó Geométrca... 37 2..2 ANÁLISIS DE FUNCIONES FINANCIERAS - RENTAS... 40 2.2 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS... 48 2.2.2 OPERACIÓN SIMPLE... 49 2.2.3 OPERACIÓN SIMPLE 2... 50 2.2.4 OPERACIÓN COMPUESTA... 5 2.2.5 OPERACIÓN COMPUESTA 2... 54 2.2.6 OPERACIÓN COMPUESTA 3... 55 2.2.7 OPERACIÓN COMPUESTA 4... 57 2.2.8 OPERACIÓN COMPUESTA 5... 59 2.2.9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN... 66 Ejercco... 66 2
Ejercco 2... 7 2.2.0 OTROS SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN... 7 2.2.0. Sstema Amercao... 7 2.2.0.2 Sstema drecto o de tasa cargada... 75 2.2.0.3 Ejerccos de Aplcacó... 76 EJERCICIO... 76 EJERCICIO 5... 78 2.3 CIERRE DEL CAPÍTULO.... 78 ESTUDIO DE CASO: ANÁLISIS DE OPCIONES DE INVERSIÓN... 78 3. CAPÍTULO III... 84 COSTOS FINANCIEROS... 85 3. INTRODUCCIÓN... 85 3.2 CÁLCULO DEL COSTO FINANCIERO... 86 3.2. EJEMPLO : PRÉSTAMO AUTOMOTOR TASA CERO... 86 3.2.2 EJEMPLO 2: PRÉSTAMO AUTOMOTOR TRADICIONAL... 88 3.2.3 EJEMPLO 3: PRÉSTAMO PERSONAL... 9 3.2.4 EJEMPLO 4: PRÉSTAMO DE CONSUMO... 93 3.3 CONCLUSIONES... 96 3.4 ANEXO... 96 3.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN... 99 EJERCICIO... 99 EJERCICIO 2... 204 AL CONTADO O EN CUOTAS?... 204 4. CAPÍTULO IV... 2 OPERACIONES FINANCIERAS... 2 CONTINGENTES... 2 4. INTRODUCCIÓN... 2 4.2 SEGUROS SOBRE LA VIDA... 2 4.2. CONCEPTOS BÁSICOS... 22 4.2.2 BASE DEMOGRÁFICA: TABLAS DE MORTALIDAD... 22 4.2.3 FUNCIONES BIOMÉTRICAS Y PROBABILIDADES.... 24 INTERPRETACIÓN DETERMINÍSTICA... 24 4.3 VALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS COBERTURAS BÁSICAS... 28 4.3. SEGUROS SOBRE LA VIDA... 28 4.3.. Reta Vtalca... 28 4.3..2 Seguros e caso de fallecmeto... 222 4.3..3 Seguro de Vda Etera... 223 4.3..4 Seguro Temporal a años... 224 4.3..5 Seguros Mxtos... 225 4.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN... 225 EJERCICIO... 225 EJERCICIO 2... 226 EJERCICIO 4... 228 5. ANEXO: TABLAS DE MORTALIDAD CSO 80...206 3
6. BIBLIOGRAF- ÍA...22 4
INTRODUCCIÓN El objetvo de este trabajo es llear el vacío que exste etre los tratados teórcos de cálculo facero y el sfí de guías y aputes práctcos. Este lbro o reemplaza lo prmero lo segudo. Tee como f brdar ua sítess teórco-práctca para aglzar el apredzaje básco ecesaro para aalzar operacoes faceras. Esta sítess es producto de uestra expereca adqurda como docetes de cálculo facero, e la cual se mezclará efoques dversos, como desarrollos teórcos, resolucó y explcacó de ejerccos y estudo de casos. 5
6
. CAPÍTULO I: OPERACIONES SIMPLES Operacoes smples de captalzacó y actualzacó. Tasas. Naturaleza de las operacoes: smples, o se amortza captal. Redmetos: certos... INTERÉS Y CAPITAL FINANCIERO Cuado se dspoe de ua catdad de dero (captal) se puede destar, o be a gastarlo satsfacedo algua ecesdad, o be a vertrlo para recuperarlo e u futuro más o meos próxmo, segú se acuerde. De la msma maera que estamos dspuestos a gastarlo para satsfacer ua ecesdad, estaremos dspuestos a vertr sempre y cuado la compesacó ecoómca os resulte sufcete. E este setdo, el prcpo básco de la prefereca por la lqudez establece que: a gualdad de catdades, los bees más cercaos e el tempo so preferdos a los dspobles e mometos más lejaos. La razó es el sacrfco de cosumo. Este apreco por la lqudez es subjetvo, pero el mercado de dero le asga u valor objetvo fjado u preco por la facacó que se llama terés. El terés se puede defr como el preco por el alquler o uso del dero durate u período de tempo. Este preco queda determado, etre otros, por tres factores báscos: El resgo que se asume e la operacó La deprecacó del valor del dero e el tempo La falta de dspobldad que supoe desprederse del captal durate u tempo La cuatfcacó de esa compesacó ecoómca depede de tres varables, a saber: La cuatía del captal vertdo, El tempo que dura la operacó, y La tasa que se acuerda para la operacó. 7
Las tasas so el preco del dero e el mercado y se expresa porcetualmete respecto al captal que las produce. Exste báscamete dos tpos de tasas: tasas de terés y de descueto: a) Tasa de terés: es el porcetaje que debe pagarse por el uso de ua udad moetara durate u determado período de tempo. S ua persoa realza ua versó pactado ua tasa de terés para la operacó del 6%, recbrá e cocepto de terés o reta 6 cetavos por cada udad moetara que verta. Nótese que esta tasa es calculada e base ua udad moetara ubcada temporalmete al co de la operacó. b) Tasa de descueto: es el porcetaje que debe pagarse por la dspobldad medata de ua udad moetara ates de su vecmeto detro de udades de tempo. Cosdere la sguete stuacó: Usted posee u documeto co vecmeto e x meses pero ecesta dero hoy, por lo que acude a ua etdad facera. Ésta le adelata el dero, aplcado ua tasa de descueto del 5%. Usted pagará el 5% de cada udad moetara que recbría e x meses por adelatar su dspobldad. Nótese que esta tasa es calculada e base a ua udad moetara ubcada e u mometo de tempo futuro. Las tasas va a varar e fucó de cada stuacó y de cada período de tempo cosderado, sedo el espectro de tasas muy amplo. Por otra parte, cuado se habla de captal facero (C; t) os refermos a ua catdad (C) de udades moetaras asocada a u mometo determado de tempo (t). Ua vez aclarado esto, podemos troducr la sguete omeclatura: Llamaremos C 0 al captal facero asocado al mometo de co de la operacó, C al captal facero asocado al mometo uo, y así sucesvamete, sedo C el captal facero asocado al mometo. 8
Para que ua operacó facera se realce es ecesaro que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatfcar los captales de los que se parte y a los que falmete se llega. Esto mplca elegr u método matemátco que permta dcha susttucó, es decr, ua ley facera. Ua ley facera se defe como u modelo matemátco para cuatfcar los tereses por el aplazameto y/o atcpacó de u captal e el tempo. Exste varos tpos de leyes faceras, cada ua co característcas propas. La prmera clasfcacó a cosderar es etre leyes de captalzacó y actualzacó, dvdédose luego cada ua de estas e dsttos grupos. Ua ley facera de captalzacó es u modelo matemátco tal que, al aplcarlo a u captal C dspoble e u mometo 0, lo cover- 0 te e u captal equvalete C dspoble e u mometo, co > 0. Es decr, ua ley facera de captalzacó toma u captal dspoble e u determado mometo y lo valúa e u mometo futuro; por ejemplo: Cuáto valdrá e dez meses u captal que hoy vale $00. La dfereca etre C y C 0 será el terés, que represeta la varacó sufrda por el captal debdo al trascurso del tempo del mometo 0 al mometo. Ua ley facera de actualzacó es u modelo matemátco tal que, al aplcarlo a u captal C (també llamado Valor Nomal, VN) dspoble e el mometo, lo coverte e u captal equvalete C (també llamado Valor Actual, VA) dspoble e el mometo 0, 0 co > 0. Es decr, ua ley facera de actualzacó toma u captal dspoble e u mometo futuro y lo valúa e u mometo más cercao e el tempo; por ejemplo: Cuáto vale hoy u documeto que estará dspoble e dez meses a $00. La dfereca etre el valor de C y el valor de C 0, será la varacó que expermetó C por su dspobldad medata e u mometo 0, bajo la ley facera de actualzacó que se haya aplcado. Las leyes de captalzacó expresa la relacó fucoal etre el captal, el terés y el moto (Moto = Captal + Itereses = C ) y las leyes de actualzacó relacoa al captal dspoble e u mometo 9
futuro co su valor actual (Valor Actual = VA = Valor Nomal Descuetos). Veámoslo e forma gráfca sobre u eje de tempo C 0 captalzacó C ( + ) 0 Itereses tempo VA actualzacó VN ( d ) Descuetos A su vez, las leyes faceras tato de captalzacó como de actualzacó se puede clasfcar e smples o compuestas, clasfcacoes que más adelate estudaremos detalladamete. Coocedo las dferetes leyes faceras que exste y cómo fucoa se podrá susttur uos captales por otros, pudédose formalzar las dferetes operacoes faceras. Geeralmete para las operacoes de captalzacó se utlzará tasas de terés y para las operacoes de actualzacó tasas de descueto, auque teedo e cueta certas cuestoes (como se verá más adelate) se puede utlzar ambos tpos de tasas dsttamete e cada operacó..2. OPERACIÓN FINANCIERA.2.. CONCEPTO Y ELEMENTOS Se etede por operacó facera a toda accó de versó o facacó que determe medate la aplcacó de ua ley facera, ua varacó cuattatva de captal. E ua operacó facera básca tervee u sujeto (acreedor) que poe a dsposcó de otro (deudor) uo o más captales y que poste- 20
rormete recuperará, cremetados e el mporte de los tereses debdo a la aplcacó de ua ley facera. La accó de etregar por parte del acreedor y de recbr por parte del deudor se cosderará la prestacó de la operacó facera. La operacó coclurá cuado el deudor terme de etregar al acreedor el captal (más los tereses); a esta actuacó por ambas partes se le deoma la cotraprestacó de la operacó facera. Tato la prestacó como la cotraprestacó puede estar formadas por más de u captal. La realzacó de la operacó facera exge u acuerdo sobre, al meos, cuatro elemetos que va a terver e la msma: a) la versó cal b) la ley facera que se va a emplear c) la tasa de terés o tasa de descueto acordada d) el tempo de duracó de la operacó Falmete, e ua operacó facera o tee setdo hablar de captales guales (aquellos e los que cocde cuatías y vecmetos), so que sempre estaremos refrédoos a captales equvaletes, cuya defcó se dará más adelate, s be se adelata la dea de que hay equvaleca etre dos captales cuado a su propetaro le resulta dferete ua stuacó u otra. Es decr, s a usted le resulta dferete cobrar hoy.000 udades moetaras a cobrar.050 udades moetaras detro de u año, etoces dremos que ambos captales (.000; 0) y (.050; ) so equvaletes. El cocepto de equvaleca o sgfca que o haya gaaca o costo e la operacó, todo lo cotraro: la equvaleca permte cuatfcar ese beefco o pérdda que estamos dspuestos a asumr e ua operacó cocreta. De ua maera más geeral, dos captales cualesquera, C co vecmeto e el mometo y C 2 co vecmeto e el mometo 2, so equvaletes cuado se está de acuerdo e tercambar uo por otro..2.2. CLASIFICACIÓN Las operacoes faceras se puede clasfcar segú dsttas característcas de las msmas, a saber: 2
22. Segú la duracó: A corto plazo: la duracó de la operacó o supera el año. A largo plazo: aquellas co ua duracó superor al año. 2. Segú la ley facera que opera: Segú la geeracó de tereses o de descuetos: Régme smple: Todos los tereses o descuetos geerados e la operacó so calculados sobre el captal al orge, es decr, o se acumula y, por tato, o geera a su vez tereses o descuetos. Régme compuesto: los tereses o descuetos geerados e el pasado sí se acumula al captal de partda y geera, a su vez, tereses o descuetos e el futuro. Segú el setdo e el que se aplca la ley facera: De captalzacó: susttuye u captal presete por otro captal futuro. De actualzacó o descueto: susttuye u captal futuro por otro captal presete. 3. Segú el úmero de captales de que costa: Smples: costa de u solo captal e la prestacó y e la cotra prestacó. Compuestas: cuado costa de más de u captal e la prestacó y/o e la cotraprestacó 4. Segú la clase de hechos de los que depede su realzacó: Operacoes faceras A térmo certo: so aquellas operacoes cuya realzacó está sujeta sólo al paso del tempo. Operacoes faceras Cotgetes o Actuarales: su realzacó está sujeta a que ocurra determados hechos que depede del azar..3 OPERACIONES SIMPLES DE CAPITALIZACIÓN BAJO RÉGIMEN SIMPLE Y RÉGIMEN COMPUESTO Tal como lo defmos aterormete, ua ley facera de captalzacó es u modelo matemátco tal que, al aplcarlo a u captal C dspoble e u mometo 0, lo coverte e u captal equvalete 0
C dspoble e u mometo, co > 0, es decr, toma u captal dspoble e u determado mometo y lo valúa e u mometo futuro. Por ejemplo: Cuáto valdrá e dez meses u depósto a plazo fjo que hoy vale $00. La dfereca etre C y C 0 será el terés, que represeta la varacó sufrda por el captal debdo al trascurso del tempo del mometo 0 al mometo. Gráfcamete 0 2-2 - C 0 C 2 C C 2 C 2 C 0 captalzacó C ( + ) Itereses tempo C La relacó etre estos captales dspobles e dsttos mometos e el tempo puede ser de carácter smple o compuesto. A cotuacó, os ocuparemos e forma separada de la relacó bajo régme de captalzacó smple y bajo régme de captalzacó compuesto..3. RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE.3.. Cocepto Las operacoes faceras bajo régme de captalzacó smple (Iterés Smple) se caracterza por el hecho que los tereses que se produce e cada período sempre so calculados sobre el msmo captal, al tpo de terés vgete e cada período. So operacoes faceras cuyo objeto es la susttucó de u captal por otro equvalete co vecmeto posteror, medate la aplcacó de la ley facera cuya forma fucoal básca es la sguete: 23
C = C I 0 0 + (,) ( 0,) + I(,2) + I( 2,3) +... + I( ) = C + I, 0 Dado que los tereses peródcos so calculados sempre sobre el captal al co = C. 0 + C0. + C0. 2 + C0. 3 +... + C0 Sacado factor comúc 0 = C.( + + 2 + 3 +... + 0 C. j = 0 + j= Los tereses totales será etoces I ( 0,) = C C0 0. j = C + - C0 j= j j = = C 0. Dode C 0 es el captal dspoble e el mometo de co de la operacó, es el captal al co. C es el moto, captal ubcado e el mometo, al que llegamos a partr de C 0 medate la aplcacó de la ley facera de captalzacó smple. Este captal fal se rá formado por la acumulacó al captal cal de los tereses que geera la operacó peródcamete. j es la tasa de terés vgete para el período j es la catdad de períodos que se cosdera e la operacó. ) 24
La característca de este régme que determa su forma fucoal es que los tereses producdos al térmo de cada período o se captalza, es decr, o geera uevos tereses, por lo que el captal sobre el que se calcula los tereses período a período permaece costate. Los tereses geerados peródcamete se calcula al tpo de terés vgete e cada período. S el tpo de terés vgete permaece costate al gual que el captal cal, los tereses será també costates. Bajo esta últma suposcó desarrollaremos la marcha progresva del terés smple..3..2 Marchas progresvas Fucó Moto Moto al fal del prmer período - C = C 0 + I (0,) = C 0 + C 0. Sacado factor comú C 0 = C 0 ( + ) Moto al fal del segudo período - C 2 = C + I (,2) Dado que los tereses o se captalza, los tereses de I (,2) será calculados sobre el msmo captal que I (0,) y bajo el supuesto de que las tasas peródcas se matee costates C 2 = C + C 0. Reemplazado a C por su expresó y sacado factor comú C 0 C 2 = C 0 + C 0. + C 0. = C 0.( + 2.) Procededo e forma aáloga obteemos la expresó del moto al fal del tercer período: C 3 - C 3 = C 2 + I (2,3) 25
= C 0 + 2. C 0. + C 0. = C 0. ( + 3.) E geeral, sempre y cuado la tasa permaezca costate: C = C 0. ( +.) El sguete gráfco os muestra la evolucó del captal e el tempo, supoedo ua operacó de tres períodos de duracó ( qué sucederá co el gráfco s la operacó tuvera más períodos?). Fucó Itereses peródcos y acumulados Basádoos e la defcó de terés, los tereses geerados durate el prmer período será - I (0,) = C C 0 = C 0( + ) C 0 = C 0. Aálogamete, los tereses geerados durate el segudo período de la operacó - I (,2) = C 2 C = C 0 + 2. C 0. C 0 C 0. = C 0. E geeral, para u período cualquera p 26
- I (p,p) = C p C p Reemplazado ambos captales por su expresó e fucó de C 0 C + I, p C. I 0, p - I (p,p) = 0 ( 0 ) 0 ( ) = I( 0, p) I( 0, p ) = C0.. p C0..( p ) = C 0. Dado que los tereses o se captalza, podemos observar que, de mateerse la tasa costate, los tereses peródcos so guales para todos los períodos. Los tereses acumulados durate toda la operacó será _ I(0,) = I (0,) + I (,2) + I (2,3) + + I (, ) = C 0.. També lo podemos ver de la sguete forma: I (0,) = C C 0 C. + C = ( ) 0 = C 0.. 0. Queda como ejercco para el alumo demostrar lo ateror s las tasas de terés varía período a período..3..3 Fórmulas dervadas A partr de la expresó de moto bajo el supuesto de que la tasa de terés se matee costate durate toda la operacó C = C 0. ( +.) podemos dervar las expresoes de las dsttas varables que tervee e el cálculo realzado los despejes correspodetes 27
_ Captal al Ico ( C 0 ) C C = ( +. ) ( + ) 0 = C.. Nótese que partedo del valor de u captal dspoble e u mo- C obteemos su valor al co de la operacó (valor meto futuro ( ) actual: C 0 ) medate la utlzacó de la expresó versa u factor de captalzacó, lo que demuestra que u factor de captalzacó puede ser utlzado como factor de actualzacó s al captal le aplcamos su expresó versa. ( +. ) _ Tasa de terés ( ) = factor de actualzacó de períodos C =. C 0 _ Tempo que dura la operacó C =. C 0 Queda como ejercco para el alumo realzar los desarrollos para llegar a las expresoes aterores. 28
.3..4 Proporcoaldad Habedo vsto los desarrollos aterores, podemos deducr que: ) a tempos guales, los tereses so proporcoales a los captales; ) a captales guales, los tereses so proporcoales a los tempos; ) s los captales y los tempos so dsttos, los tereses so proporcoales a los productos de los captales por los tempos. Para obteer u msmo terés ) los tempos debe ser versamete proporcoales a las tasas e caso de gualdad de captales; ) los tempos debe ser versamete proporcoales a los captales s la tasa permaece varable. Queda como ejercco para el alumo la demostracó aalítca de los ítems aterores..3..5 Ejercco de Aplcacó Ua caja de ahorro aberta el 0/04/07 preseta los sguetes movmetos: 0/04/07 Depósto $ 500 0/08/07 Depósto $ 700 0//07 Retro $ 350 a) Determar los tereses gaados por la msma a la fecha de cerre 0/02/08, sabedo que las tasa de terés fuero del 8,4% aual hasta el 30/06/07 clusve y 0,8% aual desde ahí e adelate. b) Calcular qué tasa costate aual ofrece la caja de ahorro captales s el total de tereses gaados al 0/02/08 es de $00 c) Cosderado el cambo de tasa al mometo 30/06/07, calcular e que mometo los tereses alcaza la suma de $.200. Comezamos plateado el eje de plazos y captales 29
/4/07 30/6/07 /8/07 //07 /2/08 500 700 (350) I (0, ) = 0,084 = 0,08 Resolucó a) Debemos determar los tereses totales geerados e la caja de ahorro teedo e cueta los dsttos movmetos y cambos de tasas teedo e cueta las característcas del régme de terés smple I (0, ) = 500.(0,084.90/365 + 0,08.25/365) + 700(0,08.83/365) 350.(0,08.9/365) I (0, ) = 42,644 + 37,9036 9,424 = 70,6439 b) S la tasa hubese sdo costate a lo largo de la operacó y hubésemos obtedo al 0/02/07 $00 e cocepto de tereses I (0, ) = 00 = 500..305/365 + 700..83/365) 350..9/365 00 = 500..305/365 + 700..83/365) 350..9/365 = 0,4532 c) C = (C + Itereses geerados por este captal) + (C 2 + Itereses geerados por este captal) (C 3 + los tereses que hubese geerado s cotuaba e la cueta) $200 = 500.(+0,084.90/365 + 0,08./365) + 700.(+0,08./365) 350.(+0,08./365) = 353 Etoces el moto llegará a ser de $.200 e el día 353 a partr del 30/06/07. 30
.3.2 RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.3.2. Cocepto La ley de captalzacó bajo régme compuesto (Iterés Compuesto) se verfca s al térmo del período al que se refere la tasa los tereses se adcoa al captal orgal, es decr, s se captalza: los tereses producdos por el captal e el período se acumula al msmo para geerar tereses e el próxmo período. Al vertr u dero o captal durate u certo tempo, os devuelve ese captal más los beefcos ó tereses. Cuado la versó es a terés compuesto los tereses se acumula al captal cal para volver a geerar tereses. Cosecueca de esto es que el captal varía período a período, presetado u crecmeto que es proporcoal a su valor durate el período medato ateror. La razó de varacó es el factor de captalzacó vgete para el período e cuestó ( + j ).3.2.2 Geeralzacó y marcha progresva Fucó Moto Cosderemos la expresó moto de u captal C 0 C = C0 + I ( 0,) Aplcado la ley de captalzacó compuesta los tereses correspodetes a cada período será dsttos etre sí por dos razoes: a) varacó del captal que los orga b) varacó e la tasa peródca Por lo que obteemos el sguete desarrollo: C = + I ( 0,) + I (,2 ) +... + I(, ) = C 0 C0+ 0. + C. 2 + C2. 3 +... + C C. 3
Reemplazado los dsttos captales por su expresó e fucó de C 0 C ( + ). + C.( + )(. + ). +... + = C0+ C0. + C0. 2 0 2 3 + C +. +... +. ( )( 2 ) ( ) 0. Sacado como factor comú C 0 C 32 = [ + + ( + ). + ( + )(. + ). +... + ( + )(. + )...( + ). ] C0. 2 2 3 2 S sacamos como factor comú al factor de captalzacó del prmer período ( + ) C =. +.+ + +. +... + +... +. ( )[ ( ) ( ) ( ) ] C0 2 2 3 2 Sacado como factor comú al factor de captalzacó del segudo período ( + 2 ) ( + )(. + )[ + +... + ( + )...( + ) ] C =. C0. 2 3 3 Y así sucesvamete hasta el factor de captalzacó del ateúltmo período, obtedremos la expresó de moto bajo régme compuesto cosderado tasas dsttas para cada período. ( + )(. + )(. + )...( + )(. ) C = + C0. 2 3 ( + ) C = C j 0. j= Dode C 0 es el captal dspoble e el mometo de co de la operacó, es el captal al co. C es u captal ubcado e el mometo, al que llegamos a partr de C 0 medate la aplcacó de la ley facera de captalzacó compuesta. j es la tasa de terés vgete para el período j es la catdad de períodos que se cosdera e la operacó.
S la tasa de terés se matuvera costate para todos los períodos de la operacó, las expresoes de los motos correspodetes a cada período será las sguetes: ( ).( + ) = C ( )( ) ( ) 2 0. +. + = C0. 2.( + ) = C.( + ).( + ) = C.( ) 3 C = C0. + C = C + 2 C 3 = C2 0 0 + C = C. + 0 ( ) Fucó Itereses peródcos y acumulados Recordado que e este caso los tereses peródcos se calcula sobre el captal al co de cada período e partcular, el terés producdo durate el prmer período será calculado sobre el captal al co de ese prmer período: C 0 ( 0,) C I = 0. Aálogamete, los terese producdos durate el segudo período será calculados sobre el captal al co de ese período: C (,2 ) C 2 I =. E forma geeral, los tereses correspodetes al el período p será ( p, p) = C p p I. Expresado C p e fucó de C 0 ( p, p) = C. ( + j ) p I. p 0 j = 33
Dode C 0 es el captal co el que se cueta e el mometo de co de la operacó, es el captal al co. j es la tasa de terés vgete para cada período j ateror al período p p es la tasa de terés vgete e el período p Queda como ejercco para el alumo llegar a las expresoes de los tereses peródcos a partr de la defcó de terés. Aplcado la defcó de Iterés, los tereses geerados durate toda la operacó será etoces I ( 0,) = C C0 = C. = C0. ( + j ) 0 j = C ( + j ) j = 0 S la tasa de terés se matuvera costate para todos los períodos de la operacó I [ ] (, ) = C. ( + ) 0 0 Queda como ejercco para el alumo verfcar lo ateror. Cómo será los tereses peródcos e este caso? 34.3.2.3 Fórmulas dervadas A partr de la expresó de Moto bajo el supuesto de que la tasa de terés se matee costate durate toda la operacó
( ) C = C. + 0 podemos dervar las expresoes de las dsttas varables que tervee e el cálculo realzado los despejes correspodetes _ Captal al Ico ( C 0 ) C C 0 = = C. ( + ) ( + ) Nótese que partedo del valor de u captal dspoble e u mo- C, obteemos su valor al co de la operacó (valor meto futuro ( ) actual: C 0 ), medate la utlzacó de la expresó versa del factor de captalzacó. Esto os permte otar que u factor de captalzacó puede ser utlzado como factor de actualzacó s se aplca a u captal la versa de su expresó, es decr, s lo aplcamos elevado a la meos uo. ( + ) = factor de actualzacó de períodos _ Tasa de terés ( ) C = = C0 C C 0 _ Tempo que dura la operacó C l = l C0 l( C ) l( C0 ) = ( + ) l( + ) 35
Queda como ejercco para el alumo realzar los desarrollos para llegar a las expresoes aterores..3.2.4 Ejercco de aplcacó Dadas las sguetes tasas de terés que captalza mesualmete: 3% para el prmer período, 7% para el segudo, 8% para el tercero y 9% para el cuarto, sabedo que e el mes cuatro se pose u moto de $23.000, a) calcular el captal dspoble al mometo dos y los tereses geerados e ese período b) calcular el total de tereses geerados e la operacó c) S la tasa fuera del 5% durate toda la operacó y C 0 =8.000, e que mometo el moto alcazará los $30.000? Resolucó a) Calculamos el captal dspoble al mometo dos, teedo e cueta la relacó exstete etre los captales.( + 3 )(. 4 ).( + 0,08 )(. 0,09) C + 4 = C2 23.000 = C 2 + C 2 = 9537,89 Los tereses del período 2 se calcula sobre el captal dspoble al co de ese período, e este caso, sobre el captal dspoble al mometo uo, que se puede expresar e fucó de C 2 C = ( ) 2 ( ) I(,2) =.2 C2. + 2. = 9.537,89. + 0,07 =.278,8.0,07 36