MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temátio: Geometrí 1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ABC retángulo en C de l figur: Se pueden estbleer ls siguientes semejnzs: 1) De est semejnz, se obtienen ls siguientes proporiones: AH AC HC q b h = = = = AC AB CB b ) De est semejnz, se tiene: BH BC HC p h = = = = BC AB CA b 1
3) De quí se obtienen ls proporiones: AH HC AC q h b = = = = CH HB CB h p De 1): De ): De 3): q b p q h b = b = q = = p h = h = pq p Ests tres reliones obtenids orresponden l Teorem de Eulides. 1.1. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE AL CATETO El udrdo de un teto equivle l produto del teto por l proyeión de él sobre l hipotenus. = p b = q 1.. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE A LA ALTURA El udrdo de l ltur equivle l produto de ls proyeiones de los tetos sobre l hipotenus. h = pq Además de los teorems nteriores, se puede obtener un relión pr determinr l ltur trvés de los ldos del triángulo retángulo: De ) tenemos que: = h, por lo tnto b h = b Por lo tnto, l ltur equivle l produto de los tetos dividido por l hipotenus.
Otro teorem importnte en el triángulo retángulo es el siguiente: 1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS El udrdo de l hipotenus equivle l sum de los udrdos de los tetos. = + b Podemos demostrr este teorem utilizndo los teorems nteriores, omo veremos ontinuión: Por Eulides tenemos que: = p y b = q, entones + b = p+q = (p+q) ; pero p+q=, si reemplzmos obtenemos: +b = (p+q)=. = 1.4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Digonl de un udrdo L digonl de un udrdo equivle l produto del ldo por Demostrión: Utilizndo el teorem de Pitágors: d = + d = / d = 3
Altur de un triángulo equilátero L ltur de un triángulo equilátero equivle l mitd del ldo por 3 Demostrión: Según l figur, por trtrse de un triángulo equilátero l ltur e en el punto medio del ldo opuesto. Oupndo el teorem de Pitágors: h + = h + = 4 h = 4 3 = 4 h = 3 h / Ejemplo: En l figur, el polígono es un hexágono regulr uyo ldo mide 1 m. Cuánto mide l superfiie sombred? Cd uno de los triángulos sombredos orresponde un triángulo equilátero de ldo 1 m. 4
L ltur, según l fórmul nterior es: 3 = 1 3 = 6 3 El áre de d triángulo sombredo es: bse ltur 1 6 3 A = = = 36 3 Por lo tnto el áre sombred es: ( 36 3) 3 = 108 3 m.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Supongmos que tenemos los triángulos retángulos ABC y DEF de l figur, que su vez tienen un ángulo gudo α ongruente. Por el riterio (A,A) los triángulos son semejntes, por lo tnto: = o bien: = ' ' ' ' Es deir, si se onoe uno de los ángulos gudos, l rzón entre dos ldos del triángulo retángulo es onstnte. Debido que l rzón entre los ldos es onstnte y depende exlusivmente del ángulo α, se estbleieron tods ls rzones posibles entre dos de los ldos del triángulo retángulo. Ests rzones se denominn rzones trigonométris en el triángulo retángulo y se definen de l siguiente form: Se el ABC, retángulo en C de l figur: 5
Se definen ls siguientes rzones trigonométris pr el ángulo gudo α:.1. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observ que ls rzones trigonométris umplen on ls siguientes propieddes: 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) sen α tg α= os α os α tg α= sen α 1 tg α= tg α 1 se α= os α 1 ose α= sen α os α+ se n α= 1 1+ tg α = se α 6
Ls propieddes 6 y 7 se llmn identiddes pitgóris y ls demostrremos ontinuión: Demostrión de 6: En el ABC nterior, tenímos que: b sen α= y os α= ; b b + b entones sen α+ os α= + = + = = = 1 Demostrión de 7: + b 1+ tg α = 1+ 1 se b = + = = = b b b α Fíjte que en mbs demostriones plntemos que + b =, motivo por el ul mbs identiddes se denominn identiddes pitgóris... RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30, 45 Y 60 Si onsidermos un triángulo retángulo isóseles de teto, entones l hipotenus mide (ver digonl de un udrdo) 7
Si en este triángulo lulmos ls rzones trigonométris, obtenemos: 1 sen 45 = = = 1 os 45 = = = tg 45 = = 1 tg 45 = = 1 se 45 = = ose 45 = = Pr lulr ls rzones trigonométris pr los ángulos de 30 y 60, oupremos el triángulo equilátero de l figur: 8
En el triángulo retángulo, se umple que: / 1 sen 30 = = = os 60 3 3 os 30 = = = s en 60 / 1 3 tn 30 = = = = tg 60 3 3 3 3 tg 30 = = 3 = tg 60 / 3 se 30 = = = = os e 60 3 3 3 ose 30 = = = se 60 / Resumiendo, ls rzones trigonométris sen, os y tn pr 30, 45 y 60 son: 9
.3. APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÁLCULO DE DISTANCIAS Ejemplo: Un poste de ltur h está sujeto por un uerd de longitud L on un ángulo de inlinión α. Cuál es l ltur del poste? En el triángulo retángulo de l figur se onoe l hipotenus y se requiere lulr el teto opuesto, por lo tnto oupmos l rzón trigonométri sen α: h sen α= h = L sen α L Est expresión nos permite lulr l ltur del poste, un vez onoidos α y L. Ejemplo: Un esler de 6 m de lrgo se poy en un muro vertil on un ángulo de inlinión α. A qué distni se ubi l bse de l esler on respeto l muro? 10
En el triángulo retángulo de l figur onoemos α, l hipotenus, y desemos lulr el teto dyente α. Utilizndo l rzón trigonométri os α, tenemos: x os α= x = 6 os α 6 Por lo tnto, l distni que hy entre l bse de l esler y muro es 6. os α. Sitios sugeridos En los siguientes sitios puedes ver ls demostriones de los teorems de Eulides y de Pitágors trvés de áres: Se reomiendn los exelentes pplet que se enuentrn en los sitios: http://www.nie.med.es/eos/mterilesedutivos/mem00/geometri_tri ngulo/teorem_del_teto.htm http://www.nie.med.es/eos/mterilesedutivos/mem00/geometri_tri ngulo/teorem_de_pitgors.htm Sitio web reomenddo pr el estudio de l trigonometrí en el triángulo retángulo: http://www.pnti.me.es/desrtes/4_eso/rzones_trigonometris/rtrigo. htm Presentión Power Point Aer de Eulides y trigonometrí en el triángulo retángulo: http://www.edurhile.l/ntg/medite/1605/rtile-93090.html 11