Capítulo 4 Iterpolacó polomal de Hermte E determadas aplcacoes se precsa métodos de terpolacó que trabaje co datos prescrtos de la fucó y sus dervadas e ua sere de putos, co el objeto de aumetar la aproxmacó e las proxmdades de dchos putos. Detro de esta clase de métodos está la terpolacó de Hermte. Nos cetramos e el problema de terpolacó polomal de Hermte. Sea x,,x putos dsttos. Coocdos los valores de la fucó f y su dervada f ' e x,,x, se trata de ecotrar u polomo de grado el meor posble que cocda co f y co su dervada e los putos señalados. Se demuestra que dcho polomo exste y es úco. Además tee grado + (recuérdese que dspoemos de + datos para costrurlo. A dcho polomo se le llama polomo de terpolacó de Hermte de f e los putos x, =,..,. Datos umércos: f ( x, f '(x, =,.., (+ datos. Espaco de fucoes terpoladoras: P + Problema terpolacó polomal de Hermte: p P + : p(x p'(x f (x f '(x,..., p(x,..., p'(x f (x f (x Observacó: El problema de terpolacó de Hermte se puede exteder cosderado valores de dervadas de la fucó de orde mayor que uo. E las sguetes seccoes os cetramos e la costruccó explícta del polomo de terpolacó de Hermte y e el aálss del error que se comete al aproxmar la fucó terpolada por su polomo de terpolacó de Hermte.
4. Fórmula de Lagrage El polomo de terpolacó de Hermte, p (x, de la fucó f e los putos dsttos x,,x admte la expresó: p( x f (x L (x + f '(x L (x, (Fórmula de Lagrage. = = Las fucoes { L x, L (x, } ( =,..., costtuye la base de Lagrage del problema de terpolacó cosderado. Esto es, L ( x y L (x so polomos de grado + verfcado = j L ( x j δj = L' (x j,, j =,...,, j L (x j, L' (x j δ j,, j =,..., Se demuestra que admte la expresó: L (x ( (x x l' (x l L (x (x x l (x (x dode l (x (x x j, (x j = x j j =,...,. 4. Fórmula de Newto geeralzada U algortmo aálogo al de Newto vsto e la seccó 3. os proporcoará u método alteratvo a la fórmula de Lagrage del polomo de terpolacó de Hermte. Para ello, prevamete teemos que exteder el cocepto de dferecas dvddas al caso e el que los argumetos se repta. Comezamos, para motvar la defcó, co las dferecas dvddas de grado cero. Supogamos que la fucó f es dervable e u etoro del puto x. Las dferecas dvddas de f e x, x, f [ x, x ], se terpreta como el lm f [ x, x] : f (x f (x f x - x x x [, x ] = lm f [ x, x] = lm = f (x x x x x x E geeral, s f es dervable hasta el orde e u etoro de x, se defe las dferecas dvddas de grado de f e x (el argumeto repetdo + veces como:
[ x,...,x ] f = f (x! ( Esta defcó extede el cocepto de dferecas dvddas al caso de argumetos repetdos, quedado la fórmula recursva de cálculo f [ x,..., x ] f = f [ x,..., x ] f [ x,..., x ] ( (x! x x s x s x x =... = x Esta defcó amplada de las dferecas dvddas os permte exteder el algortmo de Newto para la costruccó de polomos de terpolacó que volucra valores de la fucó y sus dervadas e putos señalados. Para ello basta escrbr ua lsta co lo odos de terpolacó, dode cada puto aparece tatas veces como valores de la fucó y sus dervadas se cooce e dcho puto. Se costruye la tabla de dferecas dvddas utlzado la fórmula recursva geeralzada y el algortmo de Newto geeralzado (cotemplado argumetos repetdos os proporcoará el polomo buscado. Veamos u ejemplo. Ejemplo 4... Costrúyase el polomo de grado tres que pasa por los putos (,, (,5, (,5 y co tagete e x. Sea p (x el polomo buscado. Datos. f (, f ( 5, f( 5, f ( = Fucó terpolate: Polomo de grado tres. Costrumos la tabla de dferecas dvddas geeralzadas co los datos umércos proporcoados e el problema: x = ( x = ( x = ( 5 x = f ( 5 f f [,] = f ( = f [,,] = 4 f [,,, ] = 3 4 f f [,] = 5 f [,, ] = 5 f f [,] = Por tato, utlzado la fórmula de Newto geeralzada: [,] x + f [,,] x + [,,, ] x (x - + x + 4x x (x - p (x f ( + f f 3 4
Ejemplo 4... Costrúyase el polomo de grado meor que terpole a la fuco f(x e los sguetes datos f (, f ( 6, f ( = 3 f ( = 7, f ( = 8 Co los datos dspobles costrumos la tabla de dferecas dvddas geeralzadas: x = ( x = ( x = ( 6 x = ( 6 x = f ( 6 f f [,] = f ( = 3 f [,, ] = f [,,, ] = f [,,,, ] = f f [,] = 4 f [,,] = 3 f [,,, ] = f f [,] = f ( = 7 ( f [,,] = f = 4 f f [,] = f ( = 7! A partr de la tabla de dferecas dvddas calculada, escrbmos la expresó de Newto geeralzada: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p(x f f, (x- f,, (x- f,,, (x- ( x f,,,, (x- (x- = + + + + = = + 3(x + (x- + (x- (x- (x- (x- Ua vez troducdo el cocepto de dferecas dvddas geeralzadas e lustrado co ejemplos, escrbmos la expresó, sguedo el algortmo de Newto geeralzado, del polomo p (x de terpolacó de Hermte de ua fucó f e x,..., x : p(x = +... + f f [ x ] + f [ x, x ](x - x + f [ x, x, x] (x - x + f [ x, x, x, x] [ x, x, x, x,..., x, x ](x - x (x - x...(x - x Los coefcetes de la expresó ateror so los elemetos de la prmera fla de la tabla de dferecas dvddas: x ( x x, x x, x x f ( x [ x, x ] f x, x x f ( x f [ x, x ] x f x (x - x f f [ ] f [, x] f [ x, x, x,..., x, x ] f [, ] ( x (x - x + 4.3 Estudo del error El error de terpolacó e el caso de la terpolacó polomal de Hermte se puede estmar de forma aáloga a como se hacía e la terpolacó polomal clásca.
Sea E( x f (x p (x el error que se comete e el puto x al smular la fucó f por su polomo de terpolacó de Hermte p e x,..., x. Se demuestra + que s f C ([ a, b], sedo [ a, b] u tervalo que cotee a los putos de trabajo x,..., x, [ x, x,..., x, x, x] (x x...(x x E( x f Esta expresó se puede escrbr e térmos de la dervada de orde + de f, a,b ξ a b tal que probádose que para cada x [ ] exste u puto [ ] E f ( ξ ( +! x, (+ x (x x x... x-x, x a,b ( ( [ ] A partr de la fórmula ateror se puede obteer ua cota del error de terpolacó de Hermte M E(x = x x... x - x, x [ a,b] ( +! (+ sedo M = max f ( x. a x b Ejemplo 4.3.. Se cosdera la fucó f ( x l x a Calcúlese el polomo de terpolacó de Hermte de f e x = y x =. Costrumos la tabla de dferecas dvddas que permte clur los datos de terpolacó f (, f (, f (, f (, trabajado co dos dígtos decmales: x = f ( ( x = f ( [,] =. 69 x = (. 69 f, = f ( =. x = f (. 69 f f [,, ] =. 3 f [,,, ] =. f f [,,] =. 9 f [ ] 5 Sea p (x el polomo de terpolacó buscado, utlzado la fórmula de Newto geeralzada: [ ] [ ] [ ] p(x f ( + f, (x + f,, (x + f,,, (x (x = + (x.3(x.(x (x.
b Dar ua estmacó del error de terpolacó e el tervalo [,]. Aplcado la fórmula vsta de acotacó del error de terpolacó de Hermte a uestro problema, obteemos que dode E(x M (x - (x - 4! ( v M = max f (x. x [,] x [,] 6 E uestro caso M = max = 6. Luego el error cometdo al smular f (x por x 4 x (x, es meor que: p e el tervalo [ ] 6 E (x (x (x.6 x [,]. 4! 4