Coceptos (cotedos soporte) Udad de trabajo sexta: Geeraldades. Retas auales costates. Retas costates fraccoadas. Retas varables. Udad de trabajo séptma Geeraldades. mortzacó de u préstamo por el sstema fracés. mortzacó de préstamos medate cuotas de amortzacó costates. UNIDD DIDÁCTIC TERCER: PLICCIÓN DEL CLCULO MERCNTIL Y INNCIERO LS OPERCIONES BNCRIS UNIDD DE TRBO SEXT Y SÉPTIM: RENTS Y PRÉSTMOS. Procedmetos (cotedos orgazadores) Defcó del cocepto de reta dferecado el valor actual del fal y eumeracó de las dsttas clasfcacoes de retas. Relacó exstete etre el cocepto de reta co la formacó del captal e alguos tpos de seguros y del captal fal e los préstamos. Utlzacó de las fórmulas y tablas relatvas al cálculo de la cuota de amortzacó de préstamos (amortzables co cuotas de amortzacó costates) dstguedo aualdad de cuota de amortzacó. ctvdades de eseñaza-apredzaje Realzacó de ejerccos práctcos sobre cuotas de amortzacó de préstamos, aualdad, tereses, captal fal y T..E basádose e el maejo de tablas de coefcetes y fórmulas para el cálculo abrevado. Cálculo de tereses basádose e aucos de presa, folletos de baco, etc. Búsqueda y obtecó, por grupos de alumos, de la formacó expuesta e las ofcas bacaras sobre: Las codcoes que aplca los bacos a sus cletes e las operacoes de préstamos. Los dsttos tpos de terés (omal, preferecal, T..E. Estudo y aálss de la formacó ateror. Debate y puesta e comú sobre los tpos de terés aplcados por los bacos e sus operacoes de préstamo. Utlzacó de programas formátcos para la realzacó de los cálculos relatvos a préstamos. ctvdades de evaluacó Presetacó de e u cuadero, de los ejerccos propuestos ya resueltos. Cotestacó oral a pregutas realzadas basádose e los ejerccos presetados por cada alumo (resueltos e las actvdades de eseñazaapredzaje). Resolucó de cuestoes sobre: La termología específca aparecda e esta Udad. Iterpretacó de las cógtas que aparece e las fórmulas. Realzacó de ejerccos sobre el cálculo de las dsttas varables que compoe la fórmula del terés compuesto medate la aplcacó drecta y el uso de tablas faceras. Presetacó de u forme e el que se compara los dsttos tpos de terés y codcoes aplcadas por dferetes etdades bacaras e sus operacoes. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 37
UNIDD DE TRBO 6º RENTS. GENERLIDDES:. Cocepto de reta: Ua reta es u cojuto de captales faceros co vecmetos equdstates de tempo. El cocepto de reta exge por tato: La exsteca de varos captales. Que los vecmetos sea equdstates, es decr que los captales veza cada año, cada mes, cada trmestre, cada dos años, etc., pero sempre co la msma perodcdad. B. Elemetos de ua reta: Térmos: So los captales. (, 2, 3... ) Orge: Es la fecha de comezo de la reta. Período: Tempo trascurrdo etre dos térmos cosecutvos. 2 Duracó: Es el tempo que pasa etre el mometo de costtucó de ua reta y la efectvdad del últmo térmo; e el ejemplo 2º, es el tempo trascurrdo etre 0 y. Época de valoracó: Es el mometo e que se calcula el valor de la reta. Iterés: Es el rédto, tasa de terés, de la operacó facera. E la vda práctca aparece co frecueca dsttos casos de retas, de los que propoemos alguos ejemplos a cotuacó. Ejemplos: Ejemplo º: S alqulamos ua casa y debemos pagar al comezo de cada mes 60,0 e cocepto de alquler, estamos e el caso de ua reta que podríamos represetar gráfcamete de la forma: 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 0 mes 2 meses - meses meses sí se ve que teemos varos captales que tee vecmetos equdstates, puesto que cada mes vece uo de ellos. Ejemplo 2º: S tego cocertada ua pólza de seguro de vda y cada año pago ua prma de 80,30, estamos també e el caso de ua reta que podríamos represetar gráfcamete de la forma: 80,30 80,30 80,30 80,30 0 año 2 años - años Y como e el caso ateror teemos varos captales y tee vecmetos equdstates, e este caso cada año vece uo de ellos. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 38
Ejemplo 3º: Me cotrata hoy e ua empresa que me pagará al fal de cada mes.382,33 e cocepto de sueldo, su represetacó gráfca será:.382,32.382,32.382,32.382,32 0 mes 2 meses - meses meses Y como e el caso ateror teemos varos captales y tee vecmetos equdstates, e este caso cada mes vece uo de ellos. Ejemplo 4º: Me cocede hoy u préstamo para comprar ua vveda y tego que pagar al fal de cada semestre, durate 0 años, 4.086,88, vecedo el prmer pago a los 2 años de coceddo el préstamo. La represetacó gráfca de dchos pagos será: 4.086,88... 4.086,88 4.086,88 4.086,88 0 2 3 4 2 22 23 semestres Y como e el caso ateror teemos varos captales y tee vecmetos equdstates, e este caso cada semestre vece uo de ellos y el prmer pago deferdo a 3 años (4 semestres) desde la cocesó del préstamo. Ejemplo 5º: Cotrato co ua sttucó u Pla de pesoes al que aportaré, al fal de este año,.202, al fal del segudo año.202 (,05), al fal del tercer año.202 (,05) 2, y así sucesvamete, durate 0 años. La represetacó gráfca será:.202.202 (,05).202 (,05) 9 0 2 0 años Y como e el caso ateror teemos varos captales y tee vecmetos equdstates, e este caso cada año vece uo de ellos. Ejemplo 6º: U Club de recreo cueta co.000 socos que paga al al de cada año ua cuota de 73. Cada año el úmero de socos aumeta e 00, hasta que llegue a teer.500 socos. La represetacó gráfca de los gresos que se va a geerar por cuotas será: 73 x 000 73 x 000... 73 x 400 73 x 500 0 2 5 6 años Ejemplo 7º: Ua sttucó cultural ofrece u premo de.803 cada tres años para u cocurso lteraro. S pesa cocederlo durate 5 años, su represetacó gráfca será:.803.803....803 0 2 3 4 5 6... 5 años Ejemplo 8º: Ua fca produce uos gresos de 2.405 al fal de cada año, por tempo defdo. Su represetacó gráfca será: 2.405 2.405 2.405 0 2 años Exste e la práctca multtud de ejemplos que tee las dos codcoes. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 39
C. Clasfcacó de las retas: Las retas puede clasfcarse del sguete modo: ) Depededo de la aturaleza del térmo, o dcho de otra forma, segú la aturaleza de los captales que la compoe,: a) Costates: Cuado todos los térmos so guales etre sí, es decr, todos los captales tee la msma cuatía, como hemos vsto e los ejemplos, 2, 3 y 4 aterores.. 2 3... b) arables: cuado los térmos de la reta o so guales etre sí, es decr, los captales so dsttos uos respecto de otros. La varacó puede segur u orde preestablecdo o o, destacado las sguetes: (a) Retas varables e progresó artmétca. U caso de este tpo de reta la hemos vsto e el ejemplo 6 ateror. (b) Retas varables e progresó geométrca. U caso de este tpo de reta la hemos vsto e el ejemplo 5 del puto ateror. 2) Segú la perodcdad del vecmeto: a) uales: Los captales vece cada año. O dcho de otra forma, cuado el período es u año, como hemos vsto e los ejemplos 2, 5 y 6 del puto ateror. b) raccoadas: Los captales vece co perodcdad feror al año. O dcho de otra forma, el período es feror a u año, como hemos vsto e los ejemplos y 3 del puto ateror. Ejemplo: reta mesual, trmestral, etc. c) Co perodcdad superor al año: El tempo que trascurre etre vecmeto y vecmeto es mayor que el año, como hemos vsto e el ejemplo 7 del puto ateror. O dcho de otra forma, el período es mayor de u año. Ejemplo: reta baual, traual, etc. 3) Por el úmero de térmos que la compoe, o dcho de otra forma, e fucó de la duracó de la reta: a) Temporales: Cuado la reta tee u úmero fto de térmos y su duracó fta. Por ejemplo, la adquscó de u be se hace co compromso de pago e 7 mesualdades, 4 años, etc. Gráfcamete: 2 3 4 5 6 7 0 2 3 4 5 6 7 meses b) Perpetua: Cuado la reta tee ftos térmos y su duracó por tato lmtada. Es el caso de ua fca que produce ua reta sempre, auque el propetaro pueda cambar. O el de la Deuda Perpetua del Estado, que produce u terés a perpetudad. Gráfcamete: 2 0 2 años PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 40
4) Por el vecmeto de los pagos: a) Prepagable: cuado prmero se paga, y luego se recbe la cotraprestacó. (O prmero se cobra, y luego se etrega la cotraprestacó). Ejemplos: Se alqula ua casa, se paga el alquler al comezo del mes y, a cambo, se usa durate ese mes. Se cotrata u seguro para el coche, prmero se paga y luego se está cuberto por el seguro durate el año. E los casos de reta prepagable, el mometo fal de la reta o cocde co el últmo pago, como se puede aprecar e los gráfcos de los ejemplos y 2 del puto ateror. b) Pospagables: Cuado el pago se realza por vecdo, es decr, al fal del período. E estos casos, prmero se realza la cotraprestacó, y luego se efectúa el pago. Ejemplos: Ua empresa cotrata a u trabajador, éste trabaja durate u mes, y al fal de ese período le paga el sueldo. Pdo u préstamo e ua etdad facera, que me lo cocede, y lo devuelvo etregado ua catdad determada al fal de cada mes, durate varos años. U agrcultor etrega la uva a la cooperatva, y se le paga trascurrdo 2, 4 y 6 meses, a partes guales. E los casos de reta pospagable, el mometo fal de la reta cocde co el últmo pago, como se puede aprecar e los gráfcos de los ejemplos 3 y 4 del puto ateror. 5) Por el vecmeto del prmer pago: a) Imedata Prepagable: quella reta cuyo prmer pago tee lugar e el mometo de la costtucó de la reta (es decr, e el mometo cero). So medatas prepagables, por ejemplo, el alquler del pso, el seguro del coche, etc. Se paga por adelatado. Gráfcamete: 2 3... 0 2... - b) Imedata pospagables: So aquellas retas cuyo prmer pago tee lugar al falzar el período e el que se costtuye la reta (es decr, e el mometo uo). Es medata pospagable, por ejemplo, la que hemos vsto del sueldo que percbe el trabajador. Gráfcamete: 2... - 0 2... - PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 4
c) Dferda Prepagable: aquella reta cuyo prmer pago tee lugar e el mometo e el que se cumple el dfermeto, y cada pago se hace por adelatado. Por ejemplo, se cotrata el de octubre el alquler de ua loja que comezará a usarse el de eero, y por la que se pagará 722 mesuales, al comezo de cada mes, a partr de esa fecha. Gráfcamete: dfermeto 2-3 0 2 3 4 - d) Dferda Pospagable: quella reta dferda, cuyo prmer pago tee lugar al falzar el perodo sguete al dfermeto. Por ejemplo, el caso ateror pero que la mesualdad se paga al fal de cada mes. Gráfcamete: dfermeto 2-4 -3 0 2 3 4 5-6) Por el régme utlzado e su valoracó: a) Retas e captalzacó smple. b) Retas e captalzacó compuesta. De todo lo dcho sobre la clasfcacó de las retas podemos presetar el sguete cuadro resume: POR L NTURLEZ DE SUS TERMINOS () Costates arables CLSIICCIÓN DE LS RENTS POR L PERIODICIDD DEL ENCIMIENTO (2) uales raccoadas Co perodcdad superor al año. POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS (3) Temporal es Perpetuas POR EL ENCIMIENTO DE LOS PGOS (4) Pospagables Prepagables POR EL ENCIMIENTO DE PRIMER PGO (5) Imedatas prepagable. Imedata pospagable. Dferdas prepagable Dferda pospagable. POR EL RÉGIMEN DE LORCIÓN (6) E captalzacó smple E captalzacó compuesta. la vsta del cuadro se desprede que so muchas las combacoes que puede hacerse atededo a los ses crteros de la clasfcacó, ya que toda reta tee ua característca de cada ua de ellos. No obstate, de todas las posbles combacoes que se puede realzar destaca por su mportaca la reta que es: Costate, ual, Imedata, pospagable, Temporal y e captalzacó Compuesta. Hasta tal puto que es la que se va a tratar e prmer lugar y como estudo geeral básco de las retas. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 42
D. Cosderacoes geerales de las retas: El prmer problema que se os platea ate cualquer tpo de reta es el cálculo de su valor actual y de su valor fal. El valor actual de ua reta es la suma del valor de todos sus captales referdos al mometo de costtucó de la reta (mometo cero). El valor fal de ua reta es la suma del valor de todos sus captales referdos al mometo fal de la duracó de la reta (mometo ) Ejemplos gráfcos: El valor actual: 2 3 4 0 2 3 4 alor actual de ua reta medata pospagable 2 3 4 5 0 2 3 4 - alor actual de ua reta medata prepagable El valor fal: 2-3 0 2 3 4 alor actual de ua reta dferda prepagable 2-0 2 - alor actual de ua reta medata pospagable 2 3 0 2 - alor actual de ua reta medata prepagable La represetacó gráfca de cada problema que se trate es muy mportate para facltar su solucó. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 43
2. RENTS NULES CONSTNTES:. Itroduccó: Por su mportaca práctca vamos a comezar el estudo de las retas cosderado e prmer lugar ua reta ual, costate, medata pospagable, temporal y e captalzacó compuesta. Quere ello decr que: Los captales vece cada año (aual). La cuatía de dchos captales es sempre la msma (costate). El prmer vecmeto tee lugar al falzar el período e el que se costtuye la reta (pospagable) (s la reta se costtuye hoy mometo cero-, y es aual, el prmer vecmeto tee lugar trascurrdo el prmer año mometo uo-). La duracó de la reta es años (temporal). Su valoracó se hará -como sempre a lo largo de todo el estudo de las retas- a terés compuesto. B. ualdad: Las aualdades so pagos guales efectuados a tervalos guales de tempo (de u año) que se llama tervalos de pago. Cuado el pago de la aualdad se efectúa al fal del tervalo de pago, se llama como ya hemos vsto aualdad pospagable; y s se efectúa al prcpo del tervalo de pago, se llama aualdad prepagable. C. alor actual de ua reta aual costate, medata pospagable de térmos: Sea, 2,, el cojuto de captales que vece al cabo de, 2,, años respectvamete, y que podemos represetar gráfcamete de la forma: 2 0 2 alor actual de ua reta medata pospagable Cuál será su valor actual? Será el valor de todos los captales, 2,, referdo al mometo cero. Cómo trasladaremos cada captal a dcho mometo? Lógcamete, actualzado cada uo de los captales hasta dcho mometo, al tato de terés compuesto aual, utlzado para ello como sabemos el factor de actualzacó () -. De esta forma resulta: 2 ( ) ( )... ( ) ( ) 2 Sedo o PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 44
Gráfcamete: 2 0 2 alor actual de ua reta medata pospagable Como se puede aprecarse, cada captal se actualza por el tempo que meda etre su vecmeto y el mometo cero. hora be, dado que hemos partdo de que todos los captales so guales, y que llamaremos 2 la expresó () quedará: 2... y sacado factor comú a resulta: ( ) ( ) ( ) 2 [( ) ( )... ( ) ] La suma que aparece detro del corchete puede expresarse de la forma:... 2 ( ) ( ) ( ) que o es so la suma de los térmos de ua progresó geométrca e la que: Número de térmos: Prmer térmo: ( ) Últmo térmo: ( ) Razó de la progresó: ( ) Observemos que la razó es meor que la udad, por lo que la progresó es decrecete. Recordemos por matemátcas que la suma de los térmos de ua progresó r geométrca decrecete se obtee medate la expresó: S.. r Y aplcádola a uestros datos calculemos el valor del corchete:... 2 ( ) ( ) ( ).. S ( ) ( ) ( ) ( ) PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 45
PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 46 Sacado factor comú e el umerador a ( ) os queda: ( ) ( ) S Poedo ahora deomadores comú e el umerador y e el deomador: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S Multplcado umerador y deomador por () resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S de dode : Hemos llegado por tato a que: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )... 2 de dode resulta que el valor actual que tratábamos de buscar es: ( ) Expresó que os da el valor actual de ua reta aual costate de térmos, valorada al tato utaro de terés compuesto aual. E el caso de que, el valor actual de dcha reta será: ( ) Expresó que os determa el valor actual de ua reta utara aual costate de térmos, valorada al tato utaro de terés compuesto aual. Y de acuerdo co la smbología de las matemátcas faceras, a dcha expresó la de sgamos como Es decr: ( ) sedo el subídce el úmero de térmos que compoe la reta y el subídce el tato de terés compuesto utlzado para la valoracó.
La represetacó gráfca de será: 0 2 Hemos ecotrado ya el factor de actualzacó de ua reta costate aual, que os servrá para desplazar el cojuto de los captales de ua sola vez, e lugar de hacerlo separadamete para cada captal. Por tato, el valor actual de la reta que os ocupa será: Ejemplos: Ejemplo º: Calcular el valor de ua reta aual, costate, de 4 térmos de 5.000 cada uo, valorada al 6% de terés compuesto aual. Solucó: Gráfcamete: 5.000 5.000 5.000 5.000 0 2 3 4 alor actual de ua reta medata pospagable El problema se podría resolver de dos maeras dsttas: º orma: 2... 5000 2º orma: ( ) 2( ) ( ) - -2-3 ( '06) 5000( '06) 5000( '06) 5000( '06) - ( ) ( '06 ) 5000 0'06 4-4 7325'53 7325'53 Ejemplo 2º: El Sr. debe pagarle al Sr. B. 30.000 al fal de cada año durate 0 años, y le propoe susttur dchos pagos por uo solo. Cuáto deberá pagar hoy y B para que o exsta lesó de tereses para guo de los dos, s se cosdera u tato para la valoracó de la reta del 5 25% de terés compuesto aual?. Solucó:. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 47
Gráfcamete: 30.000 30.000 30.000 0 2 0 alor actual de ua reta medata pospagable Partedo de que: Susttuyedo los datos, resulta: 30000 ( ) ( 0'0525 ) 0 0'0525 228865'2. D. Cálculo de la aualdad: S e la expresó Bastará despejar de la expresó ateror y resultará: S el valor actual es gual a la udad,, el valor de será: que es el valor de la aualdad que amortza u préstamo de ua udad moetara a u tato de terés, e fucó del úmero de térmos. Gráfcamete: 2 0 2 El valor de la expresó: o be vee ya determado para dsttos valores de y dsttos valores de e la Tabla I: ualdad costate que amortza u préstamo de ua udad a terés compuesto. - PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 48
Ejemplos: Ejemplo º: Nos cocede hoy ua etdad bacara u préstamo de u mlló de euros al 9% de terés compuesto aual, y os exge la devolucó del msmo e 8 pagos guales a realzar al fal de cada uo de los 8 años sguetes a la cocesó del préstamo. Cuál será el valor de cada aualdad? Solucó: Gráfcamete:.000.000 0 2 8 Por tato: 000000 8 8 - ( ) ( 0'09 ) 0'09 80674'38. Ejemplo 2º: Cuál será la aualdad de ua reta de 5 térmos s su valor actuar es de 3.000.000 valorada al 8% de terés compuesto aual? Solucó: Gráfcamete: 3.000.000 0 2 5 Por tato: 3000000 5 5 - ( ) ( 0'08 ) 0'08 350488'63. E. Cálculo del tato: Supogamos coocdo el valor actual de ua reta de térmos de cuatía. Cómo podremos calcular el tato de terés al que se valoró? El valor actual de la reta es: Expresó e la que coocemos, y. Despejado resulta: a expresó que os dca que el valor actual de ua reta utara de térmos es gual a u valor coocdo / Co ayuda de las tabla (III) podemos calcular el valor de be de forma medata, be por terpolacó. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 49
Ejemplos: Ejemplo º: Calcular el tato de terés compuesto aual al que os ha prestado u mlló de euros s hemos de amortzarlo medate 5 aualdades a 243.890 72 cada ua. Solucó: Gráfcamete:.000.000 243.890 72 243.890 72 243.890 72 243.890 72 243.890 72 0 2 3 4 5 Por tato: 000000 243890'72 4' 0097 Buscado e la Tabla III e la fla a 5 térmos ecotramos el valor 4 0097 e la columa del 7% sedo esa la solucó que buscamos. Ejemplo 2º: Ua máqua cuesta al cotado 0.000.000, pero os permte pagarlo medate 0 pagos auales postpagables de.523.077 cada uo. Calcular el tato de terés compuesto aual al que os resulta la facacó de forma aplazada. Solucó: Gráfcamete: 0.000.000 Por tato: 0 2 0 0000000 523077 6'565656 Buscado e la Tabla III ecotramos e la fla correspodete a 0 térmos: l 9%.. 6 47658 l 8%.. 6 7008-0 292423 l 8%.. 6 7008 6 565656 x% 0 44425 luego el tato que buscamos estará compreddo etre el 8 y el 9% y dremos: ua dfereca de % - 0 292423 ua dfereca de x% -0 44425 (Observemos que a medda que aumeta el tato, el valor aual es meor, por lo que las dferecas resulta egatvas) De dode: x 0' 25 0'292423 Luego el tato buscado será 8 493890% 0'493890 PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 50
. Cálculo del úmero de térmos: Se puede hacer de dos maeras: º orma:. Caso de úmero etero de térmos: De dode : expresó e la que coocemos, y. Buscado e la Tabla III el valor del cocete / e la columa del tato, os determará el úmero de térmos buscados, be de forma medata, be por terpolacó. 2º orma: - - Ejemplos: ( ) - ( ) ( ) ( -) ( ) - ( ) Log - Log( ) - Log - Log ( ) - Ejemplo º: Para comprar ua máqua cuyo coste al cotado es de 2.398.698, ua sttucó facera os cocede u préstamo de ese mporte, para amortzar medate ua reta aual, medata, postpagable, de 2.500.000. S el tato de la operacó es de 8% de terés compuesto aual, cuátas aualdades habrá que pagar para amortzar dcho préstamo?. Solucó: Gráfcamete: 2.398.698 2.500.000 2.500.000 2.500.000 0 2 º orma: Por tato: 2398698 8'5594792 2500000 Buscado e la Tabla III e la columa 8% ecotramos para 5 el valor 8 559479 sedo esa la solucó que buscamos: 5 térmos, es decr que se deberá hacer 5 pagos auales de 2.500.000 para cacelar el préstamo coceddo. - 2º orma: plcado la fórmula: Log - Log 2398698 0'08 Log - 2500000 ( ) Log( 0'08 ) Log 0'3524664 Log '08-5 térmos. PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 5
Ejemplo 2º: Ua persoa tee, e el mometo de su jublacó, u captal de 4.764.055. S las deposta e ua sttucó facera para que ésta le etregue al fal de cada año.200.000, cuátas aualdades tedrá derecho a percbr s el tato de valoracó es el 6% de terés compuesto aual? Solucó: Gráfcamete: 4.764.055.200.000.200.000.200.000 º orma: 0 2 4764055 200000 2'303379667 Buscado e la Tabla III e la columa del 6% ecotramos para 23 el valor 2 303379, lo que os dca que dcha persoa tedrá derecho a percbr 23 aualdades de.200.000 cada ua. - 2º orma: Log - Log 4764055 0'06 Log - 200000 ( ) Log( 0'06 ) NOT IMPORTNTE: Log 0'2679725 Log '06-23 térmos. E todos estos ejemplos se ha cumpldo la codcó, la premsa, de que sempre ha de cumplrse que el valor actual de la reta sea gual a la suma de los valores actuales de todos sus térmos.. Caso de úmero o etero de térmos: Puede suceder que el úmero de térmos o sea etero so que esté compreddo etre p y p, por lo que se hace ecesara la terpolacó, que se realzará de forma smlar a como hemos hecho e otras ocasoes aterores. Supogamos que el valor de obtedo de la terpolacó es: p h (0 < h <) p h p Esto os dca que la reta se compoe de p aualdades de valor co vecmeto e el mometo, 2,..., p, más ua catdad co vecmeto e el mometo p h, sedo la cuatía de el resultado de multplcar por h. sí, s el resultado de u ejercco es 3,5, mplca que deberá pagarse 3 aualdades eteras e los mometos, 2 y 3, y meda e el mometo 3,5. S el resultado es de 6,25 habrá que pagar 6 aualdades e los mometos al 6, y 0,25 de la aualdad e el mometo 6,25. Gráfcamete: 0 2 p ph p ( ) - (ph) PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 52
aceramete: (Calculo del valor ). - (p h) ( ) amos a trata de demostrar que la cuatía de es el producto.h Como el valor actual debe ser el msmo e las expresoes: o be y ( ) - (ph) gualádolas resulta: ( ) - (ph) que puesto e forma desarrollada es: ( p h ( ) ( ) p ' ( ) ( p h) grupado los térmos e y sacado factor comú: ( ) ( p h ) p ( ) ( ) ( p ' h) Qutado deomadores detro del corchete y resolvedo os queda: ( ) ( p h ) p ( ) ( ) ( p h ' ) ( ) ( p h ) ( ) p ' ( ) ( p h) ( ) ( p h ) p ( ) ( ) ( p h) p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p h p h p h ' ' - h ( ) ' Dado que h es feror al año, (0<h<), aplcado el coveo leal la gualdad ateror resulta: (-.h).. De dode:..h.. Y dvdedo ambos membros por resulta: h, como queríamos demostrar, correspodedo a u vecmeto ph., Puede ocurrr, o obstate, que se desee atcpar o retrasar el pago de al mometo p o al mometo p respectvamete. E este caso, y para que se matega la equvaleca facera, deberemos actualzar o captalzar dcho mporte al tato de terés durate el tempo que se actualza o captalza. Gráfcamete: 0 p ph p Y e uo u otro caso, como el tempo es meor que la udad, aplcaremos el coveo leal, es decr, cosderaremos la operacó, para este desplazameto, a terés smple. Por tato, s actualzamos al mometo p, su valor e ese mometo será: ' h Y s se captalza al mometo p, su valor e ese mometo será: ' [ ( h) ] h PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 53
Ejemplos: Ejemplo º: Depostamos hoy e ua etdad bacara u captal de.000.000 y esta se compromete a etregaros al fal de cada año 0.000 S el tpo de terés de la operacó es de 4%, se pde: a) Cuatas aualdades tedremos derecho a percbr, y e qué mometo recbremos el últmo pago ( ) y por qué cuatía. b) Cosderado que el últmo pago ( ) queremos recbrlo juto co la últma aualdad, determar que catdad cobraremos e ese mometo. c) Supoedo que queremos que trascurra u año etre la últma aualdad y el pago fal, determar la cuatía que cobraremos e ese mometo por dcho pago. Solucoes: Solucó caso a) Por tato: 000000 0000 Buscado e la Tabla III ecotramos e la columa del 4%: Para térmos.. 8 760477 Para 2 térmos.. 9 385074-0 624597 Para térmos.. 8 760477 9 090909 h térmo 0 330432 9'090909 luego el tato que buscamos estará compreddo etre el térmo y 2 y dremos: ua dfereca de año - 0 624597 ua dfereca de h - 0 330432 De dode: 0'330432 h 0'52903232 años 0'624597 Es decr que el vecmeto de es 52903232 años después del mometo cero. 0 52903232 x 2 6 34838784, es decr, 6 meses. 0 34838784 x 30 0 456352, es decr, 0 días. Gráfcamete: P h 52903232 años años, 6 meses y 0 días.000.000 0.000 0.000 0.000 0 2 h 2 Para determar el valor de basta multplcar por h y resulta: 0.000 x 0 52903232 58.93,555 58.93,56 PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 54
Solucó caso b) Como e este caso se trata de atcpar el pago de del mometo,52903232 al mometo para acumulárselo a la aualdad co vecmeto e ese mometo. Y dado que h es feror al año, actualzado el valor de por dcho tempo a terés smple resulta: alor de e ese mometo p ' y susttuyedo resulta: h alor de ' e p ' 5893,56 56987,628 56987,63. h 0'04.0,52903232 catdad que habrá de sumar a 0.000 para cobrarlas jutas e el mometo. Gráfcamete: 56.987 63.000.000 0.000 0.000 0.000 0 2 h 2 Solucó caso c) E este caso se trata de retrasar el pago de del mometo 52903232 al mometo 2. El tempo que se retrasa es por tato: 2 52903232 0 47096768 años alor de e ese mometo p ' [ ( h) ] ' e p ' [ ( h) ] 5893'56( 0'04( 2 -.52903232) ) y susttuyedo resulta: alor de 59289.85. Gráfcamete:.000.000 0.000 0.000 0.000 59.289 85 0 2 h 2 PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 55
G. alor fal de ua reta aual, costate, medata, pospagable de térmos: Sea, 2,, el cojuto de captales que vece al cabo de, 2,, años respectvamete, y que podemos represetar gráfcamete de la forma: 2 0 2 alor fal de ua reta medata pospagable Cuál será su valor fal? Será el valor de todos los captales, 2,, referdo al mometo, o al mometo últmo de la duracó de la reta. Cómo trasladaremos cada captal a dcho mometo? Lógcamete, captalzado cada uo de los captales hasta dcho mometo, al tato de terés compuesto aual, utlzado para ello como sabemos el factor de captalzacó (). De esta forma resulta: Sedo Gráfcamete: 2 ( ) - ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) 2 2-0 2 - alor fal de ua reta medata pospagable hora be, dado que hemos partdo de que todos los captales so guales, y que llamaremos 2 la expresó () valor fal quedará: 2 0... y sacado factor comú a resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) Que podemos també expresar como:... 2 [( ) ( )... ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ( ) ] Como podemos observar, el corchete ahora cotee la suma de los térmos de ua progresó geométrca crecete e la que: Número de térmos: Prmer térmo: Últmo térmo: ( ) Razó de la progresó: ( ) PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 56
Recordemos por matemátcas que la suma de los térmos de ua progresó r geométrca crecete se obtee medate la expresó: S.. r Y aplcádola a uestros datos calculemos el valor del corchete: 2... [ ( ) ( ) ( ) ] S Realzado operacoes se obtee: ( ) ( ) ( ) ( ) S de dode resulta que el valor fal que tratábamos de buscar es: ( ).. Expresó que os da el valor fal de ua reta aual costate de térmos, valorada al tato utaro de terés compuesto aual. E el caso de que, el valor actual de dcha reta será: ( ) Expresó que os determa el valor fal de ua reta utara aual costate de térmos, valorada al tato utaro de terés compuesto aual. Y de acuerdo co la smbología de las matemátcas faceras, a dcha expresó la de sgamos como S Es decr: S ( ) sedo el subídce el úmero de térmos que compoe la reta y el subídce el tato de terés compuesto utlzado para la valoracó. La represetacó gráfca de S será: S 0 2 - Hemos ecotrado ya el factor de captalzacó de ua reta costate aual, que os servrá para desplazar el cojuto de los captales de ua sola vez, e lugar de hacerlo separadamete para cada captal. Por tato, el valor fal de la reta que os ocupa será: S PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 57
. Otras formas de calcular el valor fal: No obstate de lo ateror, cabe també la posbldad de calcular el valor fal de la reta de la sguete maera: Susttuyedo e y smplfcado : - Calculado prevamete su valor actual, y captalzado después el valor obtedo hasta el mometo. Recuérdese que el valor actual era ( ) ( ) ( ) Gráfcamete: : ( ) ( ) por su valor resultará : ( ) ( ) ( ) [ - ( ) ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - [ ] ( ) ( ) expresó gual a la obteda aterormete. 0 0 2 - sí pues, cocluremos que para calcular el valor fal de ua reta puede hacerse de 3 formas dferetes: Captalzado cada captal de forma dvdual. Captalzado todos los captales a la vez utlzado para ello el factor de captalzacó S. Calculado prevamete su valor actual y captalzado dcho valor hasta el mometo. Ejemplos: Ejemplo º: Calcular el valor fal de ua reta costate aual medata pospagable de 5.000 durate 5 años, valorada al 7% de terés compuesto aual. Solucó: Gráfcamete: 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 0 2 3 4 5 alor fal de ua reta costate medata pospagable PRODUCTOS Y SERICIOS INNCIEROS Y DE SEGUROS BÁSICOS OSÉ MNUEL DOMENECH ROLDÁN PROESOR DE ENSEÑNZ SECUNDRI RM DMINISTRTI Y COMERCIL 58