CAPITULO 1 CONICAS COMENTARIOS GENERALES 3 1. CIRCUNFERENCIA, definición y ejemplos...3 6. PARABOLA, definición y ejemplos...7 1 3. ELIPSE, definición y ejemplos...1 19 4. HIPERBOLA, definición y ejemplos...0 5 5. EJERCICIOS ADICIONALES 5 6 1
Cónics Anteriormente estudimos que un ecución de primer grdo en dos vribles: x + by + c =0 siempre represent un rect, y tod rect se puede representr por un ecución de primer grdo en dos vribles. L ecución generl de segundo grdo en dos vribles tiene l form x + b xy + c y + dx + ey + f = 0 en l cul, b y c son números reles que no son cero l vez. Ls ecuciones de segundo grdo en dos vribles representn, con dos excepciones triviles, secciones cónics; esto es, curvs formds por l intersección de un plno con un cono circulr recto.
De mner invers, tods ls secciones cónics se designn medinte ecuciones de segundo grdo en dos vribles. (Anlice que represent si b = d = e = f = 0 y si d = e = f = 0 y si demás = 0 ó c = 0) Un cono tiene dos porciones, o troncos, seprdos entre sí por el vértice; no tiene bse o extremo, por lo que se prolong indefinidmente en mbs direcciones; de est mner, lguns de ls secciones cónics no están cotds, eso depende de cómo corte el plno l cono Ls secciones cónics trdicionles, o simplemente cónics, son l elipse, l prábol, l hipérbol; l circunferenci es un cso especil de l elipse. A los demás csos se les llm cónics degenerds. Existen otros dos csos representdos por ecuciones de segundo grdo: un pr de rects y l crenci de gráfic, que no se obtienen como intersección de cono y plno. 3
1. Circunferenci En este prtdo vmos determinr ecuciones pr ls circunferencis, que como veremos luego es un cso prticulr (y muy sencillo) de un situción más generl. Un circunferenci es el conjunto de puntos del plno que equidistn (están igul distnci) de un punto fijo llmdo centro. Es distnci se llm rdio. Dependerá de l posición del centro C y el rdio r l ecución que se obtendrá. Se C(α, β) y se r el rdio. Si P(x, y) es un punto genérico de l circunferenci por ello debe cumplir: d(p,c) = r es decir, plicndo l definición de distnci : ( x α) por lo cul : + ( y β ) ( x α) + ( y β ) = r Hemos determindo l expresión buscd. = r ( x = r Ecución cnónic de l circunferenci con centro C(α,β) y rdio r α ) + ( y β ) (1) 1.1.1 EJEMPLO : Hllr un ecución de l circunferenci con centro en C(, 1) y tiene rdio 5. Solución: En este cso β = 1 y α =, y r = 5, sólo hy que remplzr en l expresión hlld (1) estos dtos: (x ) + (y ( 1)) = 5 o se: (x ) + (y +1) = 5 1.1. EJERCICIO: Hllr un ecución de l circunferenci: ) De centro C( 1, ) y rdio1 b) De centro C(0, 0) y rdio 3 c) De centro C(0, 0) y rdio 1. d) De centro C( 3, 4) y rdio 1. e) De centro C(5, 0) y rdio 3 1/. f) Ps por los puntos A(1, 3), B( 1, 3) y C(, 1). 4
Si se desrrolln los cudrdos en (1) se obtiene: x α x+ α + y β y +β = r que se puede llevr l form :? () x + b y + c x + d y + e = 0 pr vlores convenientes de, b, c, d y e en R Observr que debe ser = b. L pregunt es tod expresión de l form () represent un circunferenci? Anlicemos con un ejemplo l respuest. 1.1.3 EJEMPLO: Consideremos x + y + 4 x 8 y 8 = 0 el propósito es llevrl l form (1) pr determinr sus elementos; dividimos por miembro miembro y completmos cudrdos. x y x y + + 4 4= 0 Este rtilugio o estrtegi, de completción de cudrdos, consiste en trtr que l expresión en x, respectivmente en y, que poseemos se prezc un de l form ( x α ), pero como ( ) x α = x xα + α, nálogo pr ( y β ) Así result que: x + x+ y 4y 4= x x( 1) + y.y 4= 0. Observr que como x x x x x x ( ) ( x ) y de igul form : y 4y = y.y+ 4= ( y ) 4 (ii) + = ( 1) = ( 1) + 1 1= 1 1 (i) Luego, l expresión puede escribirse como: x + x+ y 4y = 4 Y por lo observdo ntes en (i) y (ii) puede reescribirse sumndo mbos miembros 1 unidd pr completr ls x y 4 uniddes pr completr ls y. x + x+ 1+ y 4y+ 4= 4+ 1+ 4 Con lo que nos qued :? ( x+ 1) + ( y ) = 9 Observr que el primer miembro es POSITIVO, luego pr ser un circunferenci el segundo miembro que está representndo l cudrdo del rdio tmbién debe serlo y en este cso sí es. Por lo tnto l ecución dd represent un circunferenci con centro C( 1, ) y rdio 3, cuy gráfic es l djunt. 5
1.1.4EJEMPLO : 3 67 Se hor l ecución: x + y x+ y = 0. Estudiemos que circunferenci 16 corresponde, llevándol su form cnónic pr luego representrl gráficmente. Completemos cudrdos 3 67 x x+ y + y = 16 Summos mbos miembros lo necesrio pr que los términos en x y en y sen cudrdos perfectos. 1 1 3 3 67 1 3 x. x. + + y +. y. + = + + 4 4 16 4 Con lo que qued: 1 3 67 1 3 x + y+ = + + 4 16 4 que resolviendo ls cuents del segundo término nos d : 1 3 x + y+ = 5 4 Por lo tnto l ecución dd represent un 1 3 circunferenci con centro C, 4 y rdio = 5, cuy gráfic es l de l figur. 1.1.5 EJERCICIO: Encontrr l condición pr que () represente un circunferenci. 1.1.6 EJERCICIO: Decir, justificndo l respuest, si ls siguientes ecuciones representn o no un circunferenci. En cso de serlo hllr sus elementos. ) x + y x + y = 1 b) x + y + x y = 1 c) x + y x y 1 = 0 d) x x + y = 1 e) 3x + 3y + 9x 3y + 1 = 0 f) 6x + 6y 1x + 1y 6 = 0 6
. Prábol L definición de prábol como lugr geométrico es l siguiente: Un prábol es el conjunto de los puntos de un plno que equidistn (están igul distnci) de un punto fijo (foco) y de un rect fij (directriz), que no contiene l foco. Imginemos que el punto F(c, 0) es el foco y l directriz, x = c, c 0. Escogemos un punto P(x, y) de l prábol y vemos que condiciones deben stisfcer x e y. Al vlor c se lo llm distnci focl. De cuerdo l definición, se tiene: d ( P, F) = d( P, D) Por qué podemos firmr que D tiene coordends ( c, y)?? Aplicndo l definición de distnci: ( x c) + y = ( x + c ) x cx + c + y = x + cx + c que simplificndo nos qued : y = 4cx (1) ( x c) + y = ( x + c) y como ls bses son positivs: Observr que los psos que relizmos prtir de l definición hst obtener (1) pueden revertirse. Porqué? Por lo tnto si un punto está en l prábol cuyo foco está en (c, 0) y su directriz tiene ecución x = c, stisfce l ecución y = 4cx y recíprocmente. Un punto P(x, y) está en l prábol de foco F(c, 0) y directriz d: x = - c si y sólo si stisfce l ecución y = 4cx Observción: Comprobr que un punto P(y /4c, y ) es tl que d(p, F) = d(p, D), con F(c,0) el foco y l directriz dd por x = c, c 0 7
Vemos lguns propieddes de est prábol: Primero observemos que el eje x es eje de simetrí de l curv; en otrs plbrs, l prte que está bjo del eje x es l imgen especulr (en espejo) de l prte de rrib de él. A est rect se le llm el eje de l prábol y es perpendiculr l directriz y contiene l foco. El punto de intersección del eje de l prábol con l prábol es el vértice V. El vértice de l prábol dd por y = 4cx coincide con el origen del sistem, V(0, 0). L distnci del vértice l foco es c (por eso su nombre, unque tmbién es l distnci de l directriz l vértice.). Acá trbje Se puede invertir el ppel de x e y en lo nterior, se obtendrá: Un punto P(x, y) se encuentr en l prábol cuyo foco está en F(0, c) y cuy directriz es d: y = c, si y sólo si stisfce l ecución x = 4cy 1..1EJEMPLO: Trzr y describir y = 8x. Solución: Est ecución tiene l form y = 4cx, siendo entonces c =. De est mner, represent un prábol cuyo vértice está en el origen (0, 0) y su eje es el eje x. El foco está en F(, 0) y su directriz est determind por x =. 8
1...EJEMPLO: Trzr y describir x = 1y Solución: Est ecución tiene l form x = 4cy, siendo entonces c = 3. Por consiguiente, es un prábol con su vértice en el origen y su eje es el eje y. El foco está en F(0, 3) y un ecución de l directriz es y =3. Observemos que, de cuerdo con estos dos ejemplos, el signo de c expres l dirección hci l cul se bre l prábol. En generl vle (justifique!!!): Si c es positiv, l prábol se bre en dirección positiv ( l derech o rrib). Si c es negtiv, l prábol se bre en dirección negtiv ( l izquierd o bjo). 1..3 EJEMPLO: Deducir un(s) ecución(es) de l o ls prábols que tienen su vértice en el origen y su foco en ( 4, 0). Solución: Como el foco y el vértice se encuentrn en el eje x, éste es el eje de l prábol. Por tnto, está representd por un ecución de l form y = 4cx. Si el vértice es V(0,0) y el foco está en F( 4,0) result c = 4 y l ecución es y = 16x. Hy un únic prábol con vértice en el origen y foco F( 4.0), que es l representd en l figur. 9
Respecto ls ecuciones que l representn son sólo un, slvo por modificciones lgebrics equivlentes, por ejemplo: 16 x + y =0, 4 x + y /4 =0, 3 y = -48 x, etc. que son expresiones lgebrics distints, pero tods equivlentes entre sí. Representr l prábol pr: 8 x - 3 y = 0 y sus elementos, y de tres ecuciones equivlentes. 1..4 EJERCICIO: Trzr y describir ls prábols representds por ls siguientes ecuciones ) y = 1x c) x = 8y e) y =10x b) x = 5y d) x = 6y f) y +5x =0 1..5EJERCICIO: Deduce un(s) ecución(es) de l o ls prábols descripts en los siguientes items: ) Vértice en (0, 0), eje en el eje x, contiene (1, 5) b) Vértice en (0, 0), eje en el eje y, contiene (1, 5) c) Foco en ( 3, 0), directriz representd por x = 3. d) Vértice en (0, 0), contiene (, 3) y (, 3) e) L directriz es dd por y = 3 y foco en (0, -3) 10
Se hor un prábol de vértice V ( α, β ), con eje prlelo l eje x, distnci focl c, tl como ilustr l figur. Si plntemos que por l definición l distnci de un punto P( x, y ) l foco es igul l distnci del punto P( x, y ) l rect directriz, result que: ( x ( α + c) ) + ( y β) = ( x ( α c) ) 1..6 EJERCICIO: Continur l demostrción plnted, llegrá l expresión: y β = 4c x α ( ) ( ) Un punto P(x, y) está en l prábol de foco F(α + c, β) y directriz d: x = α - c, y vértice V ( α, β ) si y sólo si stisfce l ecución ( y β ) = 4c( x α ) (l prábol es de eje prlelo l eje x, con distnci focl c ) 1..7 EJERCICIO: Deducir un ecución de l prábol de vértice V ( α, β ) y con foco F(α, β + c) y directriz d: y = β - c (l prábol es de eje prlelo l eje y, con distnci focl es c ). Representr gráficmente pr orientrse!!! 1..8 EJERCICIO: Grficr ls prábols determinds por ls siguientes ecuciones: ) y = 4(x 1) b) y = 4(x + 1) Qué observ? 11
c) (x+1) = 4(y 1) d) (x+1) = 4(y + 1) Qué observ? 1..9 EJERCICIO: Considere ls prábols del ejercicio nterior y pr cd un de ells: ) Determine el foco F. b) Determine l directriz d y un ecución que l represente. c) Determine un punto A que esté en l prábol. Compruebe que d(a, F)= d(a, d) 3. Elipse Veremos otr cónic que l circunferenci es un cso prticulr. Un elipse es el conjunto de los puntos P(x, y), tles que l sum de ls distncis de P(x, y) un pr de puntos fijos distintos (los focos) es un constnte fij. Representremos los focos como F 1 (c, 0) y F ( c, 0) y l constnte fij como. >0 (porqué????) Si P(x, y) represent un punto de l elipse, entonces d ( P, F1 ) + d( P, F ) =. que por l definición de distnci se puede expresr como : ( x c) + y + ( x + c) + y =. Psndo un ríz l otro miembro: elevndo l cudrdo mbos miembros y hciendo cuents: ( x c) + y =. ( x + c) + y x cx + c + y = 4 4. ( x + c) + y + x + cx + c + y cncelndo y psndo de miembro convenientemente: 4. ( x + c) + y = 4 + 4cx dividiendo mbos miembros por 4 (Cómo es??): cx ( x + c) + y = + elevndo nuevmente l cudrdo mbos miembros: 1
x + cx + c + y = + cx + Cncelndo y grupndo nos qued: c x + y = c Dividiendo mbos miembros por c (cómo es x y + = 1 c c x c????): El triángulo cuyos vértices están en (c, 0), ( c, 0) y P(x, y), tiene uno de sus ldos de longitud c. L sum de ls longitudes de los otros dos ldos es.. Así, > c > c > c c > 0 Como c es positivo, lo podemos llmr b. Por lo tnto, l reemplzr obtenemos: x + b y = 1 en donde b = - c Observemos que hemos elevdo l cudrdo mbos ldos de l iguldd l efectur dos psos, y como hemos prtido de distncis que son positivs y por l definición de l elipse mbos ldos de l iguldd son positivos. En consecuenci, no hemos introducido ríces extrñs y esos psos se pueden invertir. Alguns propieddes de est elipse: Vemos que hy dos ejes de simetrí: el eje x y el eje y. Además, (±, 0) son ls bsciss l origen, (0, ± b) son ls ordends l origen. Como > b (porque b = - c ). Por ello, l eje x se le llm eje myor, y l eje y se le llm eje menor de l elipse. Los puntos (±, 0) en el eje myor se llmn vértices y los puntos (0, ± b), covértices. Al punto de intersección de los ejes, (0, 0) en este cso, se le llm centro. 13
Los focos están en el eje myor, están en (± c, 0). Un punto P(x, y) está en l elipse con vértices en (±, 0) y focos en (± c, 0) si y sólo si stisfce l ecución x y + b = 1 cnónic o estándr) en l cul b = c (ecución en form???? Pr pensr: Que ocurre si impone = b? Tmbién en este cso los ppeles de x e y se pueden invertir. Trbje!!!!! Un punto P(x, y) está en l elipse con vértices en (0, ± ) y focos en (0, ± c) si y sólo si y x stisfce l ecución + = 1 en l cul b = - c (ecución en form b cnónic o estándr) 1.3.1EJEMPLO: Describir l curv determind por 9 x + 5 y = 5 Solución: Primero psremos est ecución su form estándr; pr ello dividimos mbos miembros por 5: x + y = 1 5 9 De inmedito surge l pregunt cerc de cómo podemos sber que estmos mnejndo, si x + b y = 1 y x ó + = 1 b Los números en los denomindores no tienen etiquets que dign cuál es y b, de modo que cómo sbemos cuál es y cuál es b? L respuest es el tmño. En mbos csos, > b. Así, el denomindor myor será y el menor b. Entonces, = 5, b = 9,y c = b = 16. Est elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (±5, 0), sus covértices (0, ± 3), y sus focos en (± 4, 0). Un representción grfic de l elipse es l siguiente: 14
1.3. EJEMPLO: Trzr y describir l curv dd por l ecución 5 x + 16 y = 400. Solución: Psmos est ecución su form cnónic, dividimos mbos miembros por 400, obtenemos: x + y = 1 16 5 Entonces = 5 y b = 16, por lo tnto c = b = 9. Est elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (0, ± 5), sus covértices en (± 4, 0) y sus focos en (0, ± 3). Hg un dibujo de l mism. Durnte dos mil ños, se creyó que los plnets se movín en órbits circulres, lrededor de l Tierr, según el llmdo modelo ristotélico. Después de todo, el universo debe ser perfecto y el círculo es l figur perfect (o lo que ello signifique). Estos rgumentos filosóficos se tomron como demostrción suficiente de l hipótesis. Sin embrgo, Johnnes Kepler, en el siglo XVII, demostró que ls órbits son elíptics y que el Sol está en uno de los focos, por est rzón se bndonó el modelo ristotélico del sistem solr. No obstnte, es posible que hyn órbits circulres, y lguns (entre ells l Tierr) son csi circulres. De hecho, si redujérmos l órbit de l Tierr de tl modo que el eje myor tuvier 8 pulgds de longitud, el eje menor tendrí 7.8 pulgds. Con es diferenci tn pequeñ er difícil reconocer que l órbit es un elipse y no un circunferenci. (Un pulgd es,54 cm) 1.3.4EJERCICIO: Trzr y describir ls elipses de los siguientes prtdos: ) x + y = 1 169 5 c) x + y = 144 169 1 b) x + y = 1 5 49 d) 4x + 5y = 100 15
1.3.5EJERCICIO: Representr y deducir un ecución de l o ls elipses descripts en los siguientes csos: ) Centro en (0, 0), vértice en (0, 13), foco en (0, -5). b) Centro en (0, 0), covértice en (0, 5), foco en (-1, 0). c) Ejes sobre los ejes coordendos, un vértice en (0,4) y otro en (3, 0). Se un elipse con centro en C ( α, β ), de ejes prlelos los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b. Supongmos demás que el eje myor de l elipse es prlelo l eje x, tl como se indic en l figur. Se quiere encontrr un ecución que determine l elipse del dibujo nterior. Si P(x, y) represent un punto de l elipse, entonces por definición: d P, F ) + d( P, F ). ( 1 = Reemplzndo por l fórmul de l distnci entre puntos se tiene: ( ( α )) ( β) ( ( α )) ( β) x c + y + x + c + y =. 1.3.6 EJERCICIO: Continur l demostrción plnted, siguiendo ls ides que hemos empledo pr l elipse centrd en el origen de coordends, pr llegr l expresión: ( x α) ( y β) + = 1 b 16
Un punto P(x, y) está en l elipse con centro en C ( α, β ), de ejes prlelos los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, con el eje myor de l elipse prlelo l eje x si y sólo si sus coordends stisfcen l ecución ( x α) ( y β) + = 1 siendo b = - c (ecución en form cnónic o estándr) b 1.3.7 EJERCICIO: Deducir un ecución de l elipse con centro en (, ) C α β, de ejes prlelos los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, con el eje myor de l elipse prlelo l eje y. Representr gráficmente. (Ide: hg un dibujo de l situción y sig psos similres l ejercicio nterior) Un punto P(x, y) está en l elipse con centro en C ( α, β ), de ejes prlelos los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, con el eje myor de l elipse prlelo l eje y si y sólo si sus coordends stisfcen l ecución ( x α) ( y β) + = 1 siendo b = - c (ecución en form cnónic o estándr) b 1.3.8 EJERCICIO: Grficr ls elipses dds por ls siguientes ecuciones y scr conclusiones: ) x + y = 1 4 9 b) ( x ) y + = 4 9 1 Comprr ls gráfics de ls misms. c) x ( ) + y = 1 4 9 1.3.9 EJERCICIO: Pr cd un de ls elipses determinds por ls ecuciones del EJERCICIO nterior: ) Determinr un punto E que esté en l elipse. b) Hllr ls coordends de los focos F 1 y F. c) Verificr que d(e, F 1 ) + d(e, F )=ª d) Fuer de que región del plno seguro que no hy puntos de ls elipses determinds en el EJERCICIO 1.3.8. 17
1.3.10 EJEMPLO: Trzr y describir l curv descript por: x + 9y x+ 7y = 0 4 Solución: Pr ello completremos cudrdos, unque observndo que ls y se verán 59 multiplicds por 9, es decir, nos quedrá lgo de l form : 9. ( y β ). Tenemos entonces: x + 9y x+ 7y = 0 que puede reescribirse como : x x+ 9y + 7y = 4 pr completr cudrdos en ls "x" gregremos 1 mbos miembros y que l ecución nterior es equivlente : 59 x.1 x + 1+ 9y + 7y = + 1 4???? Ahor completremos ls y, pr ello scmos fctor común 9 y. : 3 3 59 9 ( x 1) + 9. y +. y. + = + 1+ 9. 4 4 Siguiendo ls cuents: 3 144 3 ( x 1) + 9. y+ = lo que equivle ( x 1) + 9. y+ = 36 4 Si dividimos miembro miembro por 36 qued: 59 ( x 1) 9 3 + y + = 1 36 36 59 Que podemos escribir como: 3 y + ( x 1) + = 1 6 3 Y est es l ecución cnónic de un elipse, con centro en C(1, ), como result que = 6 y b =. 6 > 3 Por lo tnto es un elipse de eje myor prlelo l eje x, con vértices en 1± 6,, es 3 decir los vértices son: A 1 5, y A 3 7,. 3 Los covértices son 1, ±, es decir los puntos: B 1 1 1, y B 7 1, 3 Como c = 6 = 3, result que los focos son 1± 3,, es decir los puntos: 3 F 1 1 3, y F 3 1+ 3, L gráfic de est elipse es: 4 18
1.3.11EJERCICIO: Hllr los elementos de ls elipses dds por ls siguientes ecuciones (si es que corresponde) y representr: ) ( ) x + 1 y + = 1 b) ( ) ( ) x 3 y+ + = 4 4 16 9 4 c) x + 4y x+ y 8= 0 d) 3x + y + 6x 4y+ 14 = 0 1.3.1 EJERCICIO: L siguiente tbl represent ls longitudes de los semiejes myores () y l excentricidd e de ls órbits plnetris. Con est informción, clcul ls distncis mínim y máxim (de centro centro) de mercurio l Sol. L excentricidd de l elipse está dd por e = c/ Semieje myor Plnet (millones de km) Excentricidd Mercurio 57,9 0,056 Venus 108, 0,0068 Tierr 149,6 0,0167 Mrte 7,9 0,0934 Júpiter 778,3 0,0484 Sturno 147,0 0,0560 Urno 869,0 0,0461 Neptuno 4497,1 0,0100 Plutón 5900 0,484 19
Otr cónic importnte es l hipérbol. En este Curso no estudiremos l deducción de ls fórmuls que l represent pero si dremos cules son ess expresiones que ls representn. 4. Hipérbol Un hipérbol es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plno, tles que l diferenci positiv entre ls distncis de P(x, y) un pr de puntos fijos distintos (los focos) es igul un constnte. Otr vez representremos los focos como F 1 (c, 0) y F ( c, 0) y l constnte como. Si P(x, y) represent un punto de l hipérbol, se cumplirá lo siguiente. y P(x, y) F F 1 F = ( c, 0 ) F 1 = ( c,0) x Aplicndo l definición (y hciendo un proceso similr l de l deducción en el cso de l elipse): d( P, F1 ) d( P, F ) = ± El signo ± es debido que l expresión correct serí d( P, F1) d( P, F) =, pero pr fcilitr ls cuents, trbjmos sin vlor bsoluto. Aplicndo l definición de distnci: ( x c) + y ( x + c) + y = ± psndo un ríz l otro miembro : ( x c) + y = ( x + c) + y ± elevndo l cudrdo y hciendo cuents: x cx + c + y = x + cx + c + y ± 4. ( x + c) + y + 4 cncelndo y psndo de miembro convenientemente: ± 4. ( x + c) + y = 4 + 4cx Dividiendo mbos miembros por 4 : cx ± ( x + c) + y = + elevndo l cudrdo nuevmente: c x x + cx + c + y = + cx + Psndo de miembro y grupndo convenientemente: 0
Dividiendo por c x y = c c mbos miembros: x y = c 1 En el triángulo PF 1 F, (En todo triángulo l longitud de un ldo es menor que l sum de ls longitudes de los otros dos ldos) se tiene que : Por lo cul Como c PF + < PF1 F1 F PF1 F1 F PF < < c < c entonces 0 < c es positivo, podemos llmrlo b, entonces: x b y = 1 siendo b = c Otr vez hemos elevdo l cudrdo mbos miembro de un iguldd en dos psos de l deducción. L primer vez los dos ldos ern positivos, y l segund podín ser positivos o negtivos. Así, no hemos introducido ríces extrñs y los psos se pueden invertir. Por ello se concluye: Un punto P(x, y) está en l hipérbol con vértices en (±, 0) y focos en (± c, 0) si y sólo x y si stisfce l ecución = 1 en donde b = c. b Y tmbién, los ejes x e y son ejes de simetrí, y un vez más ls bsciss l origen están en (±, 0). En este cso no hy ordends l origen, y que cundo x = 0, se tiene y = 1 b y est ecución no se cumple pr ningún número rel y. El eje x, que contiene dos puntos de l hipérbol, se llm eje trnsversl; el eje y, que no tiene puntos de intersección con l hipérbol, se llm eje conjugdo. Los puntos (±, 0) del eje trnsversl son los vértices, y el punto de intersección de los ejes (0,0), se llm centro. Pr tod hipérbol existen dos rects ls que l curv se cerc cd vez más. A ess rects se les denomin síntots. Debemos decir ls prábols no tienen síntots. Por consiguiente, l hipérbol no es, como podrí suponerse l ver digrms de hipérbols, un pr de prábols. 1
x y Si l hipérbol está determind por = 1 tiene síntots representds por b b y = ± x Cmbindo x por y, en el rzonmiento nterior se puede llegr l siguiente conclusión: Un punto P(x, y) está en l hipérbol con vértices en (0, ± ) y focos en (0, ± c) si y y x sólo si stisfce l ecución = 1 siendo b = c b y x Ls síntots de l hipérbol de ecución = 1 b se representn y = ± b x 1.4.1 EJEMPLO: Describir x y = 1 9 16 Solución: Vemos que = 9, b = 16 y c = + b = 5. Est hipérbol tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (± 3, 0) y sus focos en (± 5, 0). Ls síntots están dds por: 4 y = ± x 3 1.4. EJEMPLO: Trzr y describir lo representdo por 16x 9y + 144 = 0 Solución: Psremos est ecución su form estándr. Pr ello podemos trnsformr l ecución seprndo los términos con vribles de los números sin vribles: 16x 9y = 144 Que dividiendo mbos miembros por 144 se obtiene: 16 9 x y = 1 144 144 y simplificndo convenientemente obtenemos: y x = 1 16 9 Vemos que = 16, b = 9 y c = + b = 5. Est hipérbol tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (0, ± 4) y sus focos en (0, ± 5). Sus síntots se representn medinte 4 y = ± x 3
(0, 4) Se h dibujdo un rectángulo que sirve de guí pr el dibujo de ls síntots del hipérbol. Son ls digonles de ese rectángulo (0,-4) 1.4.3.EJERCICIO: Trzr y describir lo que representn ls ecuciones de los siguientes prtdos: ). x y = 1 16 9 b) y x = 1 9 1 c) 4x y = 4 d) x y = 0 e) 16x 9y = 36 f) 5x - 5 y + 5=0 1.4.4 EJERCICIO: Deducir un ecución que represente ls hipérbols descripts en los siguientes csos: ) Vértices en (±, 0), foco en (-4, 0) b) Asíntots: y = ± x, vértice en (6, 0). 3 1.4.5 EJERCICIO: Pr cd un de ls hipérbols determinds por ls ecuciones de los incisos ), b), c) y e) del EJERCICIO 1.4. 3: ) Determinr un punto H que esté en l hipérbol. b) Considerr los focos F 1 y F. c) Verificr que d(h, F 1 ) d(h, F ) = Se un hipérbol de centro C ( α, β ) y de ejes prlelos cd uno de los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b. Supongmos demás que el trnsverso es prlelo l eje x, tl como muestr l figur. 3
Por l definición de hipérbol: d( P, F1 ) d( P, F ) = ± Usndo l definición de distnci entre dos puntos se tiene: ( ( α )) ( β) ( ( α )) ( β) x + c + y x c + y =± 1.4.6 EJERCICIO: Continur l demostrción plnted, siguiendo ls ides que hemos empledo pr l hipérbol centrd en el origen de coordends, pr llegr l expresión: ( x α) ( y β) = 1 b Un punto P(x, y) está en l hipérbol con centro en C ( αβ, ), de ejes prlelos cd uno de los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, siendo su eje trnsversl prlelo l eje x si y sólo si sus coordends stisfcen l ecución ( x α) ( y β) = 1 siendo b = c. b b Sus síntots son determinds por: ( y β ) =± ( x α) 1.4.7 EJERCICIO: Deducir un ecución de l hipérbol de centro C(α, β) y de ejes prlelos cd uno de los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, siendo su eje trnsversl prlelo l eje y. Representr gráficmente. (Ide: hg un dibujo de l situción y sig psos similres l ejercicio nterior). Un punto P(x, y) está en l hipérbol con centro en C ( α, β ), de ejes prlelos cd uno de los ejes coordendos, con distnci focl c y semiejes y b, siendo su eje trnsversl prlelo l eje y si y sólo si sus coordends stisfcen l ecución ( y α) ( x β) = 1 siendo b = c b b Sus síntots son determinds por: ( y β ) =± ( x α) 4
1.4.8 EJERCICIO: Hllr los elementos de ls hipérbols dds por ls siguientes ecuciones (si es que corresponde) y representr: ) ( ) x + 1 y = 1 b) ( ) ( ) y+ x 3 = 4 16 4 4 9 c) x 4y x+ y 8= 0 d) x y + x y+ = 3 6 4 14 0 EJERCICIOS ADICIONALES 1) Dd l ecución 3x + 3y = 9. ) Verificr que represent un circunferenci. Hlle sus elementos y represente geométricmente. b) Verificr que el punto A(1, ) está en l circunferenci. c) Hlle otro punto de l circunferenci que teng igul bscis que A. d) Hlle otro punto de l circunferenci que teng igul ordend que A. ) Dd l ecución x x + y = 0. ) Verificr que represent un circunferenci. Hlle sus elementos y represente geométricmente. b) Verificr que el punto A( + 3, 1) está en l circunferenci. c) Puede hllr otro punto de l circunferenci que teng igul bscis que A? y que teng igul ordend? 3) Hllr los elementos de ls siguientes cónics y grficrls: x + y = 49 x + 9y = 0 x + y = 8 y = 8 x y = 4 x 3x = 1 4y 9x + y = 36 4x + y = 4 9 = x + y 4 x y = 1 4y 9x = 36 x + 3y = 4 5
4 x + 3y = 1 y x = 9 x + y = 49 x + 9y = 0 4) Grficr: ) y x = 0 b) 4x y = 0 c) 4x + y = 0 5) Resolver los siguientes sistems e interpretr gráficmente l situción: ) (x 1) + y = 4 c) x + y = 4 x + y = 1 y = x b) (x 1) + y = 1 x + (y 1) = 1 6) En los siguientes sistems, determinr si es posible hllr un vlor de tl que l rect resulte tngente l circunferenci. Interpretr gráficmente. ) x + y =1/4 b) x + y = 1 y = x + 1 x + y = 7) Resolver e interpretr geométricmente los siguientes sistems: ) x y = 49 c) x + 9y = 0 x y =7 x y =1 3x = 1 4y b) x + y = 1 6