Varianza y covarianza armónica

Transcripción

1 Vriz y covriz rmóic Frcisco Prr Rodriguez Docor e Ciecis Ecoómics. UNED. Series emorles escioris. Se x( u couo de oservcioes de u vrile leori x, e disios momeos del iemo. Cosidermos x( como u relizció de u roceso esocásico ergódico, y que solo disoemos de u relizció del roceso esocásico que h geerdo l serie de dos, dd l imosiilidd de oservr disis relizcioes de x( lo lrgo de u eriodo de iemo. U roceso esocásico es esciorio e seido esrico, cudo r odo > l fució de disriució cou de F( x, x,..., x F( x k, x k,..., x k ; k. Es decir, l fució de disriució cou es ideediee de, ivrie e rslcioes de iemo. E u seido mlio, r que u roceso se esciorio es suficiee que su eserz y su fució de uocovriz se ideediee de. Es decir, E ( x E ( x ; k. k Si u roceso es esciorio e medi, eoces ˆµ es u esimdor x i i isesgdo y isee de E x. ( Si u roceso es esciorio e covriz, se cumle l siguiee iguldd γ (, τ E( { x( E[ x( ]} { x( τ E[ x( τ ]} γ ( τ, lo que sigific que l fució de uocovriz o deede de, γ ( τ γ ( τ, y el esimdor

2 de γ (τ viee ddo or k C( K ( x ˆ( µ x k ˆ µ. L vriz, γ (, se esimrí rir de C( ( x ˆ( µ x ˆ µ. Eemlo Geermos u serie leori de dos, co medi y desvició iic, que reresemos e l figur º. l º dos geerdos leorimee x( x( x( x( -,6 6 -, , ,79 -,7767 7,979 5, ,775,4457, , ,559 4, , , ,749 5,95 -, ,75776,6466 6,7, ,466775, ,5764 -, ,74676, ,44,5947 5, ,99 9,955 4, ,7499 4,96 -,6765 5, ,5754 5,957 -, ,4577 6, ,4574

3 -, , , , ,4699, ,9977 -, , ,4 64 -, , , , ,5567 9,9 6 -,79 4 -, , , , , ,75 9, , , ,9966 9,479 9, ,677 69, ,699 -, ,4799 7,479 95,95 -, ,7 7, ,7 -, ,76 7, ,9977, ,9455 7, , 4 -, , , , , , ,9969 -,4565 Se comrue que se r de u serie esciori e medi, y que culquier romedio que clculemos co dichos dos drá u resuldo cerco cero: romedio 5 -,4694 romedio 5 -, romedio 4 -,47 romedio 5,9 Ddo que l medi es cero, el esimdor de l fució de uocovriz será C( K k ( x ( x k Que clculdo r diferees vlores de k, ofrece los siguiees resuldos: K C(K,49,4597 -,5659 4, , , ,5997 -,4,54769,695 -,6496 -,549

4 Como se uede recir el vlor de C(K es ideediee de K, o e su vlor como e su sigo. De es form que el roceso leorio que h geerdo uesros dos es esciorio. Si geermos rir de esos dos u serie del io Y u,5 Y Y,5Y-u

5 Oeemos u serie que oeemos so diferees o es esciori, y que los romedios que romedio 5,955 romedio 5 6,474 romedio 4, romedio 5,575 Y u fució C( K ( x ˆ( µ x k ˆ µ deediee del iemo: k Aálisis esecrl L ide ásic del álisis esecrl es que odo roceso esocásico esciorio dmie u descomosició úic de su vriz, e l orció que l mism reliz rmói de diferees frecuecis. U rmóico de frecueci es u fució de l form: ( si( L exresió ( si( d lugr u fució eriódic de eriodo

6 E el álisis rmóico, ls series emorles o so iderds fucioes coius como l, sio que se oiee rir de u sum de ciclos co u mliud y u eriodo deermido, o lo que es lo mismo de diferees rmói: x ( si( ; < < <... < ( ( i i i i i Siedo i y i vriles leoris co E( E( i σ ; si i E( i E( i ; si i E( i, i i E ese io de rocesos l fució de uocovriz γ (τ se oiee: γ ( τ i σ ( τ i i E dode σ i es l vriz del rmóico i-esimo, de mer que e γ ( σ se muesr que l vriz ol del roceso es l sum de ls i i vrizs de cd rmóico. L escioriedd de ese roceso leorio uede seguirse e Corers, D y Escolo J (94: h://

7 Series de Fourier U serie de Fourier es u serie ifii que coverge uulmee u fució coiu y eriódic. f ( ( si( o Dode se deomi frecueci fudmel; y se deomi coeficiees de Fourier. Los coeficiees de u serie de fourier uede clculrse grcis l orogolidd de ls fucioes seo y eo. U mer leriv de reser u l serie de Fourier es f ( C C ( θ Siedo, C o, C y θ rc Y que cd r de érmios: ( se( o se uede exresr como: ( ( se hciedo Se uede seguir e "Series de Fourier, rsformds de Fourier y Aliccioes",Gero Gozález, disoile e

8 θ seθ y θ rc l sum uede exresrse solo e fució del eo: C [ θ ( seθ se( ] C ( θ Orogolidd Se dice que ls fucioes del couo { f k (} so orogoles e el iervlo < < si dos fucioes culesquier f m (, f ( de dicho couo cumle: f m(f(d r r m r m Ls fucioes se y so orogoles e el iervlo < <, y que: se se d Ls fucioes del couo {,(,(,(,...,si(,si(,si(,... } o o so orogoles e el iervlo < < : o o o o, dode

9 Se verific roádolo res: f ( y. ( ( m : f m / / se(m (md m se(m/ se(m m m / / f ( y. ( se( m : f m / / (m se(md m [ (m/ - (m/ ] m / / c ( ( y ( ( m : f f m / r m (m (d / r m / uilizdo ls ideiddes rigoomérics [ ( A B ( A B ] y θ ( θ A B d ( se ( y ( se ( m : f f m. / r m se(mse( d / r m / uilizdo ls ideiddes rigoomérics seaseb [ ( A B ( A B ] y θ ( θ d ( se ( y ( ( m : f f m se.

10 / / se(m ( d r culquier m, uilizdo l ideiddes rigoomérics [ se( A B se( A ] sea B. Clculo de los coeficiees Fourier Los coeficiees de fourier se clcul mulilicdo f ( or ( m iegrdo de / /: e / / f ( ( m d / / / / se( (m d (m d / / ( (m d Que dd l orogolidd de ls fucioes de seo y eo imlic que: / f ( d / / ( ( f m d m,,,... m / / ( ( f se m d m,,,... m / Form comle de l serie de Fourier Cosideremos l serie de Fourier r u fució eriódic f (, co eriodo : f ( ( si( o

11 Es osile oeer u form leriv usdo ls fórmuls de Euler: ( se( i susiuyedo: f ( ( e ( e i i e e i i i i i i [ ( e e i ( e e ] ddo que i i f ( i i [ ( i e ( i e ] defiiedo c c ( i, c ( i, quedrí como: i f ( c e exresió que se cooce como form comle de fourier. y sus coeficiees c uede oeerse rir de los coeficiees, como y se dio, o ie: c f ( e i d rsformd de Fourier. L rsformd de Fourier, F (u, se defie r u fució coiu de vrile rel, f (, medie l siguiee formul: F(u f(e iu d siedo i, e iu ( u ise( u y u u vrile que rerese ls disis frecuecis.

12 L rsformd de Fourier es u fució comle co u re rel y or re imgiri, es decir: F( u R( u I( u dode R(u es l re rel y I (u es l re imgiri. L rereseció gráfic de l fució de mgiud F (u se le deomi Esecro de Fourier y se exres e érmios del modulo del úmero comleo: F( u R ( u I ( u y l cudrdo de dich fució F(u se le deomi Esecro de oecis. El gráfico de los módulos l cudrdo free l frecueci es el eriodogrm o esecro emírico de l sucesió f (x. El eriodogrm recoge l coriució que iee cd rmóico l hor de exlicr l vriz de cd serie, y cd rmóico es crcerizdo or l frecueci e que iee lugr los ciclos. Los ciclos que iee u elevdo eriodo (desde que iee lugr u máximo l siguiee máximo edrá u frecueci y vicevers. Esimció del eriodogrm. Cosideremos l serie emorl X de l que disoemos de u couo discreo y fiio de oservcioes oservcioes, geerds or u roceso leorio x( como el descrio e (. Ddo que se usc u rereseció de X que se use oservcioes, usmos los dos u olígoo rigoomérico que se semee (, escogiedo i como i i

13 es decir X k i i ( i ( i i si L form hiul de oeer el eriodogrm, es esimr or míimos cudrdos los coeficiees i y i r cd oservcioes es r o ( de l siguiee form: k rmói si el úmero de k si es imr, e u modelo esecificdo X si v E l que X serí l serie rmóic; ; es el mño de l serie y coicide co el eriodo de myor ciclo que es osile esimr co el mño de l serie; idic el orde del rmóico de los ciclos; v es u residuo o exlicdo l que se uede iderr irreleve (cso deermiísico o que verific ls roieddes clásics de l erurció de los modelos ecooméri. El eriodogrm o esimdor del esecro se oedrí eoces rir de l rereseció de I( i ( free los rmói, e o que l 4 ( coriució de l vriz or cd rmóico, serí. Si u serie emorl de ciclos emíri rese e su eriodogrm uos o ciclos que exlic u orcee sigificivo de su vriz e icluye lgú i e el eriodogrm, se uede oeer el ciclo eórico de dich serie

14 emorl rir de los i y de los rmói corresodiees dichos ciclos. eorem de Pservl Se f u fució coiu e el iervlo [, ] de eriodo ; co desrrollo de Fourier de f : f ( x x c e ix c dode los coeficiees h sido oeidos rir de los coeficiees,. Eoces se verific que: f ( x dx Priculrizdo l serie fució eriódic f (, co eriodo : f ( ( si( o L ideidd de Pservl quedrí: [ f ( ] o Ls series emorles o so iderds fucioes coius como l; sio muesrs de señles coius omds u mism disci emorl rir de u vlor iicil Y o y siedo el mño de l serie. De cuerdo lo erior; e l fució eriódic f ( l oeci romedio esá dd or: 4 [ f ( ] o ( que muesr sí que el eriodogrm esudi de hecho l disriució de l vriz o oeci de l serie e fució de los diversos rmói:

15 (, q q σ es sore el eriodogrm U form de corsr l exiseci de lgú ciclo e el eriodogrm de u serie emorl es el es de Fisher; esdísico g (Fisher; 99 o relció ere l myor vriz socid u deermid frecueci ( ; y l vriz ol de l serie. i g mx w P w Pr ror l sigificció del eriodo se cors el esdísico g cor l z de u disriució orml (;; siedo l regl de decisió rechzr l hióesis ul sore u comoee eriódico e Y si l g clculd excede de l z de l e u ivel de sigificció del α%. L mer hiul de corsr l exiseci de lgú ciclo e el eriodogrm de u serie emorl rvés del esdísico es clculdo: G mx S S El ciclo es sigificivo si el vlor G de es relció es igul l vlor críico clculdo segú l siguiee fórmul: Gc l( l( m m e Siedo l( el logrimo eerio del ivel de roilidd elegido y m el úmero ol de dos de l serie (e series de más de dos.

16 U rue r esudir l deedeci seril (Duri; 969 e series de oservcioes escioris eriodogrm cumuldo: y,..., y se reliz sore l grfic del s r m r r r dode r,..., m es el eriodogrm ordirio: r ye ( ir El eriodogrm clculdo r series y,..., y de vriles ideediees N ( µ, σ ; se clcul: yi ; yi si ;,,...,, dode r y sumimos que el exremo de es m. r el exremo de ; or simlicidd Y su rereseció gráfic de cor rese u l rieci de irregulridd e su isecció visul. Por ello; u meor mer de reser l iformció de los cumuldo; s. ' s es hcerlo rvés del gráfico del eriodogrm Se resuoe que cudo y,..., y es ideedieemee y ormlmee disriuid; s,..., s m se disriuye igul que el orde esdísico de m muesrs ideediees de l disriució uiforme (;. Brle s (954;966; 6 sugiere r ror l ideedeci seril; ror l máxim discreci ere s y su execiv; ie. / m. Pr u ror u exceso de s frecuecis relivs free ls frecuecis; que

17 equivldrí l execiv de reseci de correlció seril osiiv ese efoque coduce l esdisico: c mx s m Por el corrio u es cor excesos de vricioes de l frecueci el esdísico roido es: c mx El esdísico que corresode ls dos res de l rue serí: m s ( c, c mx s mx c m Ese esdísico es esrechmee relciodo co el de Kolmogoroiv- Smirov D, D, D y su form modificd C, C, C (959 y Bruk (96. Por eemlo; D mx{ s ( ( m } iderdo or Pyke y C c. Los vlores críi r esos esdísi esá ddo e l l º; y el rocedimieo r uilizr esos vlores es como sigue. Si desemos ror el es de u exceso de s frecuecis free ls ls frecuecis; eoces el vlor oeido e l l c es el vlor críico roido l vlor de diurí e el gráfico l líe; c ;se y c o m y l ryecori que muesr s ; oeiedo los vlores que sores l líe ( m, s. Si s cruz l líe; se rechz l hióesis de ideedeci seril. De igul mer; u es sore l exceso de ls frecuecis free ls s frecuecis se rechz si el ryecori de s cruz l líe y c o m.

18 Eemlo Primos de u serie emorl geerd rir de u seo leorio o rdom wlk: Y,5 Y u (Eemlo. L serie Y rese u edeci esocásic; y vmos descomoerl uilizdo u modelo rmóico; riedo de u rereseció de l

19 edeci ó movimieo releve de l serie emorl oeid rir de u edeci cudráic; ciclos rmói ( k y u residuo leorio v : k ( si o v Y c de mer que k ( si o v Y c X E ls figurs siguiees se rerese l serie de edeci y l serie de ciclo e l que se v esimr u modelo de regresió rmóic: serie edeci El rmóico de eriodo se elor rir de ( si ( y r ;.;. L rereseció gráfic de ms series rece e l figur siguiee:

20 L regresió miimo cudráic ere ms series y l serie lire de edeci ( X ; ofrece el siguiee resuldo: (,9775si ( v X, El rmóico de eriodo edrá l rieci de l figur siguiee: Ese roceso reeido r los 5 eriodos ermie oeer los coeficiees co los que elorr el eridogrm (l º y oeer l coriució de cd rmóico l vriz de l serie:

21 l º Peridogrm de X,5 X u Frecueci Periodo I( i ( 4 ( ; ; ;9775 ;6959 ;9494 5; -4;594 -; ;444 ;79977 ; -;647 ; ;5964 ; ; ;5776 ;4747 5; ; ; ; ;65 ;9 ; ;7 -;5944 -;6 ;759 ; ; ;444 -;649 4;696 ;7496 ;5 ; ;494 7;5965 ; ; ;9675 -;9 ;479 ;77579 ; ;67 -;9467 ;9465 ;4 9; ;546 -;694 ;6457 ;49 ; ; ;6554 4;55659 ; ;7 -;95 -;55 ;69 ; ; -;59 -;656 4;99 ; ;7 ;494 -;6 ;5994 ; ; ;95 -;545 ;49 ; ;9 ;66954 ;6 4;44 ;7576 5;6 -;646 ;454 ; ; ; ;475 -;744 ;4976 ;5749 5; ;4757 ; ;545 ;7579 4; ;779 -;4474 ;4659 ;545 4;5 -;45 ;645 ;697 ;46 4; ;7 -;5 ;59 ; ; ;4974 -;94765 ;4974 ; ; -;4499 -;79 ;6565 ; ; ;449 -;5775 ;76 ;797 7 ;7 -;747 ;6644 ;4766 ;99 ;6 ;7675 -;499 ;9945 ;669 9 ;4 ;4 -;776 ;6 ;557 ; -;79 ;64 ;7 ;774 ; ;47 -;659 ; ;469 ; ; ;76 ;5675 ;66999 ; -;9 -;949 ;4765 ;754 4 ;9 -;64 ;64 ;657 ;6

22 Frecueci Periodo I( i ( 4 ( 5 ;9 -;5999 -;6496 ;46 ;54 6 ; ;469 -;765 ;79 ;77 7 ;7 ;4 -;5 ;4657 ;9 ;6 ;65 -;6 ;74 ; ;6 -;647 -;6 ;6 ;945 4 ;5 ;5 -;95769 ;5495 ; ;4 ;579 -;5977 ;5469 ;964 4 ;4 ;597 ;9759 ;7 ;464 4 ; ;4467 -;46646 ;6 ;96 44 ; -;65 ;67 ;6665 ; ; ;797 -;759 ;454 ;54 46 ; ;9 ;456 ;97 ;65 47 ; ;7 -; ;6 ;776 4 ; ;757 ;765 ;5599 ; ; ;446 -;94 ;646 ; ; ; -;9575 ;76 ;4446 Como vemos es el segudo rmóico; el ciclo de eriodo 5; el que más coriuye l vriz de l serie. L rereseció gráfic del eriodogrm de l serie de ciclo serí eoces el siguiee: Pr comror l sigificció esdísic del ciclo de o eriodo 5; mx S,7999 clculmos es esdísico G, 765 S,6

23 El ciclo es sigificivo r u ivel de roilidd del 95% y que el vlor G l(,5 l(5 49 de es relció suerior l vlor críico clculdo Gc e, 5. L rereseció gráfic del es sore el eriodogrm cumuldo:,4,,,,6,4,, -,,,,4,,6,,,44,5,56,6,6,74,,6,9,9 Corsr l reseci de ciclos de frecueci free los ciclos de l frecueci; l cruzr l ryecori de críi del es. s ; l d suerior de los vlores Proceso ivrie U roceso ivrie z ( es u r formdo or dos rocesos uivries, x( y ( y, dode E[ x( ] µ ( y E[ y( ] µ ( x. y L fució de uocovriz de x( será: {( x( µ ( ( x( τ µ ( } γ (, τ E τ x x x e o que l fució de uocovriz de y( será: {( y( µ ( ( y( τ µ ( } γ (, τ E τ y y y Se deomi fució de cross-vriz o covriz cruzd :

24 {( x( µ ( ( y( τ µ ( } γ (, τ E τ xy x y Hy que señlr que γ xy (, τ o es igul γ yx (, τ, ero exise u relció ere ls dos fucioes, y que γ (, τ γ ( τ, τ xy yx Señlr, or úlimo, que l covriz ere x( y y( serí γ (,. yx Si se sume l escioriedd de x( y ( [ y ] y E x( µ y y, eoces [ ] x E ( µ, y l fució de cross-vriz o deederá más que del rerdo τ. Suoiedo que µ, se comrue que γ (, τ, o deede más que x µ y del rerdo τ, es decir γ (, τ xy γ xy ( τ. {( x( ( y( τ } E{ ( x( s ( y( s }, s γ xy (, τ E τ, xy L fució de correlció cruzd se defie como: ρ ( τ xy γ ( τ γ ( γ ( x xy y Cudo τ, γ ( xy es l covriz hiul y ρ ( xy γ ( γ ( γ ( x xy y el coeficiee de correlció de Perso ere x( y y (. Los esimdores de γ xy (τ y ρ xy (τ se clcul sí: C xy ( k k k ( x( x( y( k y ( x( x( y( k y ; k ; k,,,,......,, (

25 r xy ( k x C xy ( k C ( C ( y Aálisis rmóico de u roceso ivrie. L fució de uocovriz que oeemos e el domiio emorl, iee mié su corresodiee rereseció e el domiio frecuecil, es es el cross-esecro o esecro cruzdo. Así, si rimos de dos rocesos esciorios x( y y (, co l siguiee rereseció esecrl: x ( du x ( se dvx ( y ( du y ( se dvy ( Dode U ( e V (, i x, y so rocesos esocási co domiio defiido i i e (,, co medi y de icremeos icorrelciodos. Ddo que dichos rocesos so coumee esciorios e covriz, se demuesr que : [ ( du ( ' ] E[ dv ( dv ( ' ] E[ du ( dv ( ' ] E[ dv ( du ( ' ] E du x si ' y x y x y x y E E [ du ( du ( ] E[ dv ( dv ( ] C( d x y x y [ du ( dv ( ] E[ dv ( du ( ] q( d x y x y Fucioes que ermie exresr l cross-vriz como: γ ( τ C( d se q( d xy Que imlic que l covriz ere x( y y ( se:

26 γ ( C( d xy Ddo que odemos defiir el cross-esecro como: f iτ xy ( γ xy ( τ e ; τ Ddo que e geerl el cross-esecro es comleo, se defie el coesecro (C como l re rel de croos-esecro y el esecro de cudrur (Q como l re imgiri, que demás coicide co C ( y q ( : f xy ( C( iq( Eoces se deduce que: C ( γ xy τ ( τ τ q( γ xy ( τ seτ τ El Coesecro esecific l coriució de cd frecueci f l covriz cruzd ol de ls series x ( e y ( r u deslzmieo emorl ulo. L Cudrur mide l coriució l covriz ol cudo u de ls series se deslz emorlmee r dr u deslzmieo de 9 e l fse r u frecueci dd Or form de reser ls fucioes C ( y q (, serí l siguiee: C ( γ xy τ ( τ τ C ( τ τ ; ( γ xy τ

27 L rereseció rigoomeric del cross-esecro es: f xy ( α ( e xy iφ ( xy dode α xy ( C ( q ( Se cooce como esecro de cross-mliud. Y q( φxy ( rcg C( Llmdo esecro de fse. Del coesecro y de l fució de desidd esecrl idividul de ls dos series x( e y ( se oiee l fució de cohereci: C ( q ( R(. f x ( f ( y El cross-esecro rerese l orció l covrizz ere x( y y( sus diversos comoees rmói. Como su ierreció o es simle, se uiliz ls fucioes de esecro de fse y cohereci, y que el eseco de fse revel el desfse o rerdo que e el comormieo cíclico sigue u serie reeco l or, y el álisis de l fució de cohereci ermie ideificr si l correlció que se d ere ls dos series se dee que ms sigue u comormieo cíclico e deermidos eriodos, ermiiedo ideificr l durció o eriodo de los rmói que domi e ms series l vez y que roduce u l correlció. L rucció del cross-esecro cudo τ, y γ ( es l covriz hiul, d lugr ls siguiees fucioes C ( y q ( : xy de

28 γ xy ( C ( q ( Y que el eo de τ, es uo, y su seo es cero. Si demás E [ x( ] µ y [ y( ] x E µ, es decir ls dos series iee u y vlor medio igul cero, l exresió C( x y. eorem de Plchrel Se A(x y B(X dos fucioes coius de eriodo cuyos desrrollos de Fourier so y A ( x x e ix B ( x x e ix Eoces se verific l relció de Plchrel ere los corresodiees rodu esclres: A ( x B( xdx Si A ( x B( x se oiee l ideidd de Prsevl A ( x dx De igul mer que l ideidd de Prsevl esudi l disriució de l vriz de u serie desrrolld e sus rmói, l de Plchrel esudi l covriz ere dos series desrrollds e sus rmói.

29 k Priedo de u serie rmóic x ( si o k * * defiid como y ( ϖ si o el úmero de oservcioes es r o ( l iguldd de Plchrel serí:, e dode ϖ y or k rmói si k si es imr, l exresió de y x * * ( El roduco esclr de x or y x y k * * ( ϖ si ϖ o( ϖ si ϖ o equivle y eo 4. * * (, grcis l orogolidd de ls fucioes seo 4 Ddo que ( ϖ y se( ϖ siedo. Uilizdo ls ideiddes rigoomérics A B [ ( A B ( A B ] seaseb, [ ( A B ( A B ], sea B [ se( A B se( A ] se θ ( θ y θ ( θ, Se lleg que ϖ, si ϖ, y m si ϖ si mϖ si ϖ y mϖ ϖ ϖ y

30 L mulilicció uo uo de series rmóics siguiee resuldo (ver exo. x e y d lugr l k ' ' ( ϖ si o µ z y x µ dode * * µ, e o que ' y ' so comicioes lieles de ls coeficiees de Fourier de x e y. L covriz muesrl ere x e y es: σ x y x y µ z µ z z que coicidirá excmee co µ ddo que se verific que. Coeficiee de correlció de Perso Ddo que l covriz ere ls series rmóics x e y se desrroll rir de los coeficiees de Fourier; σ x y r r * * ( ce iderr cd exresió * * ( como l coriució del rmóico l formció de l covriz, de mer que l rereseció de C ( w xz * * ( free los rmói ermie recir ls 4 frecuecis ere ls que ls series x y y covrí y su seido osiivo o egivo. Se uede oservr que u ciclo releve e ms series origirá

31 u vlor lo e C ( xz w, e o que u ciclo oco releve e lgu de ls dos series drá lugr u vlor o e C xz ( w. E o que el coeficiee de correlció de erso se oedrí rir de: ρ ( xy k * * ( k k * * ( ( Por oro ldo, si uilizmos l defiició leriv de ls series de fourier: f ( C C ( θ, eemos que x( C C ( θ k e k * * * C ( k y( C θ, e dode C o, C y, θ rc, * * * * * C, ( ( * * C y, θ rc. * Se reci eoces que e cd rmóico, θ deermir el águlo de desfse e rdies de cd serie de fourier, si queremos oeer el desfse e uiddes de iemo, hy que dividirlo or l frecueci fudmel, θ :. Eoces l difereci o los rmói de ls dos series. * θ θ * θ θ o, deermir el desfse ere Eemlo Uilizdo los coeficiees de Fourier de los eridogrms clculdos e ls ls º y º, se comrue que l covriz de los ciclos oeidos e ls dos series de seos leorios, se uede oeer rir de : * * ( l º

32 l º. Peridogrm de X,7 X u Frecueci Periodo I ( i ( 4 (, -,,744,65649, ,, ,7 7,55954,59955,,494 -,,96, , -,79, ,66,475 5, -,464,494 5,56555, ,7 -,465556,669,9954, ,,477 -,4444,59759,9995,5 -,6796 -,6677,5597,49 9, -, ,974,6465,957, -,56 -,6,5699,69 9, -,44575,556,57465,677,,65 -,595,59,969 7,7 -,57554,75,7674,75 4 7,,5774 -,4744,464, ,7 -,7,49,5669, ,,6 -,7677,94, ,9,9 -,495,456,69 5,6 -,9659,466,6,6 9 5, -, ,547,7,4675 5,,96,77675,57,955 4,,444,767,75,7765 4,5,66,554,57946,64 4,,667,7994,646464, , -,57 -,795,467, , -,66,66464,599,574 6,,46,97,79,799 7,7 -,6454 -,7,9746,64,6 -,57,55,7945,655 9,4,966,45979,67,6, -,79 -,65,79775,546, -,49 -,649,695,, -,4 -,96,57,6677,,577,5945,45,79 4,9,44 -,7747,559,7 5,9 -,5994,99,7947, , -,477,4554,65,65 7,7 -,6,67,55,95794,6 -,74,777,66,6955 9,6 -,657,7654,5999,754 4,5 -,4555,46664,666,994 4,4 -,94,69,64, ,4,45,679,995,66 4, -,94 -,555,4575, , -,579 -,749,66, , -,55 -,66,79, 46, -,96,5654,679,955 47, -,477 -,7959,65549, ,,56,464,976,9 49, -,54,7469,97,5 5, -,577,,5,676

33 ( l º4. Aroximció de l covriz rir de los coeficiees de Fourier. Frecueci Periodo * * (,,6564 5,,4457, -, , -, ,, ,7, , -,476565,5 -, , -,64,,5569 9,,54544, -, ,7,97 4 7, -, ,7, , -, ,9, ,6 -, , -,4 5,,5544 4, -,994 4,5 -,59 4,, , -, , -,4749 6,, ,7 -,65,6, 9,4,55574,,45,,54,,554, -,454 4,9,6979 5,9 -, ,,955 7,7,66757,6,55 9,6,4467 4,5,9955 4,4, ,4,596 4,,676 44,, , -,74 46,,4546

34 47,,9955 4,, ,,769 5,,67657 L covriz de ms series de ciclo es C (, 579, e o que k * * (,479 y se comrue que el ciclo de eriodo es el ciclo más releve r lizr dich covriz. Oeemos hor el ciclo deermie del seo leorio uilizdo e el eemlo,467 4,59se y del seo leorio uilizdo e el eemlo :,666 4,59se, y los reresemos e el gráfico duo: xy Segudo rmóico del seo leorio eemlo Segudo rmóico del seo leorio eemlo Uilizdo l deomició leriv C ( θ, el segudo rmóico del eemlo se oedrí rir de: 4,774, 7 y el del

35 eemlo rir de:,75 el segudo, 9. Se comrue, eoces, que rmóico del eemlo es e rersdo,7 rdies, si queremos oeer el rerdo e uiddes de iemo, hy que dividirlo or l θ,7 frecueci fudmel :, es decir dicho rmóico esrí rersdo,7 uiddes de iemo, e o que el segudo rmóico del eemlo θ, es deldo 5,9 uiddes de iemo (. E ecueci ere el segudo rmóico del eemlo y el del eemlo medi 4,75 uiddes de iemo. Vriz y Covriz de Procesos Esciorios Se defie u roceso es esciorio com quel que su medi es e e ideediee del iemo, su vriz es fii y e, y el vlor de l covriz ere dos eriodos o deede del iemo e el cul se h clculdo, sio de l disci o desfse ere quellos. E el eemlo, se muesr u io de roceso esciorio riculr es el deomido ruido lco, formdo or u sucesió de vriles leoris co disriució Norml, eserz cero, vriz e e icorrelciods ere sí. Pero, or qué resul imore r el ivesigdor que el roceso lizdo se esciorio? L rzó fudmel es que el modelos de regresió de series emorles esá diseñdos r ser uilizdos co rocesos esciorios. Si ls crcerísics del roceso cmi lo lrgo del iemo, resulrá difícil rereser l serie r iervlos de iemo sdos y fuuros medie u modelo liel secillo. Si emrgo, or regl geerl, ls series ecoómics o so series que roced de rocesos esciorios, sio que suele eer u edeci, y se creciee o decreciee, y vriilidd o e. Dich limició e l rácic o es imore orque ls series o escioris se uede rsformr e ors que sí lo so, y que l myor

36 re de ls series ecoómics se coviere e roximdmee escioris desués de licr diferecis e u ó más es. o l vriz muesrl como l covriz muesrl, se desrroll segú los eorems de Prsevl y Plchrel, e: ( * * σ y σ x y, ( L mulilicció uo uo de x e y d lugr l serie : ' ' ( ϖ si o * * ( y x µ z de igul mer que el cudrdo de x d lugr l serie : ' ' ( ϖ si o ( x x µ z z Ddo que, eoces el roduco esclr de de x e lugr l covriz muesrl y l vriz muesrl. y y x de x, d Cudo los rocesos so esciorios, ls covrizs y vrizs muesrles h de coicidir co l olciol, ddo que ms se ider fiis y es, e ideediees de los eriodos de iemo uilizdos e su cálculo. E cuyo cso el coeficiee de correlció de Perso es u esimdor eficiee e l regresió de u serie sore l or. L coicideci ere ls covrizs y vrizs muesrles co l ' ' olciol, imlic que el roceso de fourier z ( ϖ si o de l covriz y de l vriz de lugr u couo de oservcioes escioris z,..., z, de medi cero, y u mer de eserlo es uilizdo el es de Duri que se exlicó más rri.

37 Eemlo 4 Primos de los dos de l l º5. l º5 Cosumo de Eergí Fil Elécric (EP y PIB (Mill de euros es de Esñ corresodiees l eriodo 99- Cosumo de Eergí Fil Elécric (EP PIB (Mill euros ño X L(EP Y L(PIB x y 9,76,9 -, -,9 9,7,7 -,7 -,97 9,79,4 -,4 -,6 9,4,57 -,564 -,677 9,445,766 -,9 -,4 9,5,45 -,56 -,5 9,56,5 -,975 -,6 9,67,46 -,69 -,5 9,69,59,44,5 9,757,97,96,69 9,746,464,6,96 9,47,4469,9,65 9,95,479,65,57 9,944,546,5,94,,554,45,6,4,59,647,67 El desrrollo de Fourier del logrimo ms series es el que figur e l l du: Frecueci Periodo Periodogrm 6, -,,46,49 -,767,9 5,,9 -,5,54 4 4,67 -,9,75 5,,7 -,, 6,6667,96 -,, 7,57,4 -,7,,6,, Frecueci Periodo Periodogrm 6,56 -,6,959

38 ,5 -,9,995 5,,49 -,74,94 4 4,44 -,449,499 5,,57 -,,454 6,6667,4 -,6,6 7,57,77 -,69,4,4,,69 Los desrrollos de ls covrizs y vrizs de dichs series e coeficiees de fourier se muesr coiució: Vriz l(pib Vriz l(ep Covriz,9,56,76,,557,,4,5,9,77,596,4,5,49,45,,75,7,7,44, -,7,7 -, 4,,57,7 -,, -,5 5,5,4, -,,5 -, 6,,77,6 -,,5 -,4 7,4,4,,,4 -,7,,,9 -,5, -,5 L covriz de ls dos series serí e ecueci σ, 9474, l vriz de l(pib serí σ, 7699 y σ, 5566 serí l vriz x de l(ep. L serie rmóic socid ls muliliccioes y cudrdos ms series e diferecis sore sus medis, iee e odos los csos u eriodogrm e dode soresle los ciclos d frecueci, l y como muesr el es de Durí que se rerese de form gráfic uo l serie: y x y

39 Covriz,,,,6,4, ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior covriz Bd iferior Vriz l(pib,,7,6,5,4,,,

40 ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior vriz l(pib Bd iferior Vriz (EP,4,,,,6,4,

41 ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior vriz l(ep Bd iferior Ddo que o se r de series escioris el coeficiee de correlció de correlció de Perso clculdo co los dos muesrles o segur l esilidd de l esimció eficiee rvés del coeficiee de correlció. Si emrgo, es regresió led e rimers diferecis logrímics, o ss de crecimieo si que griz u regresió esle, y que o ls vrizs como ls covrizs de ls series so escioris: l º6 Cosumo de Eergí Fil Elécric (EP y PIB (Mill de euros es de Esñ corresodiees l eriodo 99-, e diferecis logrímics. Cosumo de Eergí Fil Elécric (EP PIB (Mill euros ño X L(EP- Lm(EP - Y L(PIB- l(pib - x -,6 -,4 -,449 -,4,469,6,7 -,,4,45 -,59,6,45,9 -,7 -,7,77,,,6,,47 -,6,,76,464,64,47,6,49,7,76,64,5,99,4 y

42 ,74,67 -,6 -,5,6,5,9 -,,474,,,5,49,55,46,,57,94,9,77,,5 -,,5,9,6 -,4 -, Frecueci Periodo Periodogrm 6 -,6 -,,7 -, -,6, 5, -,9 -,9, 4 4 -,4 -,77, 5,, -,6,5 6,6667,4 -,4, 7,57,,6, -,,, Frecueci Periodo Periodogrm 6 -,9 -,,45 -,76 -,,6 5, -,77 -,, 4 4 -,7,7, 5, -,5 -,,7 6,6667, -,, 7,57, -,, -,5,, Covriz Vriz (-Ll(PIB Vriz (- Ll(EP,9,56,76,,557,,4,5,9,77,596,4,5,49,45,,75,7,7,44, -,7,7 -, 4,,57,7 -,, -,5 5,5,4, -,,5 -, 6,,77,6 -,,5 -,4 7,4,4,,,4 -,7,,,9 -,5, -,5

43 Covriz,,5,,5 -, ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior covriz Bd iferior Vriz (-Ll(PIB,,,6,4,,,,6,4,

44 ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior vriz (- Ll(PIB Bd iferior Vriz (-Ll(EP,5,,5,, ,6,4,,,6,4, -, -, Bd suerior vriz (- Ll(EP Bd iferior Aexo: Mulilicció de series rmóics.

45 Mulilicció de dos rmómi co diferee frecueci. L mulilicció de dos rmói de diferee frecueci, [ ] [ ] si( ( si( ( m k m k d lugr l siguiee sum: si( si( ( si( si( ( ( ( m k m k m k m k que uilizdo l ideidd del roduco 5 : ( ( [ ] ( ( [ ] ( ( [ ] ( ( [ ] m m k m m k m m k m m k si si si si d como resuldo: 5 ( ( β α β α β α ( ( si si β α β α β α si( si( si β α β α β α si( si( si β α β α β α

46 k k k k ( ( ( ( ( si( ( ( k k k k ( ( ( ( ( si( ( ( m m u serie rmómic co frecuecis gulres que se oiee rir de l sum y difereci de ls frecuecis gulres de los rmói múlilos, co coeficiees de Fourier oeidos rir de los coeficiees de los rmói múlilos. m m Mulilicció de series rmóics de dos o ms rmói. L oeció del érmio i-esimo del eriodogrm resule de mulilicr dos fucioes eriódics co dos o más rmói, es lgo más comleo y que el resuldo de l mulilicció es u sum de rodu de rmói, que d lugr u sum de rmói co diferees frecuecis gulres como ecueci de ls sums y diferecis de ls frecuecis gulres de cd roduco de rmói, lgus de ls cules rece socids diferees coeficiees. Por eemlo, el roduco de dos series oeids rir de dos rmói: f ( ( si( ( si( g( ( si( ( si( Se oedrí l siguiee secueci de fucioes de seo y eo y coeficiees de Fourier:

47 Coeficiees de Fourier Fucioes eo Coeficiees de Fourier Fucioes seo ( ( o o ( si( o o ( ( ( o o o ( si( si( o o o ( ( o ( si( o ( ( o ( si( o ( ( ( ( si( si( ( ( ( si( ( ( ( si( ( ( ( ( si( si( Que drí lugr l siguiee serie de Fourier: ( ( ( ( ( ( ( ( g f si si si si ( ( α Dode: ( ( α (

48 ( o ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Eemlo 5 si, 5, si,5,5 ( f f( -,5 - -,5,5,

49 g(,9, si,,7 si 5 5 g(,5,5 -,5 - -, Drí lugr los siguiees coeficiees de fourier: α (,5,,5,9 (,7,,, (,5,9,5,,,44 o (,5,,5,9,5 (,,9,, (,5,,5,7 (,,,,9 (,5,7,5, (,,,,7 (,,7,,,5,,5,

50 (,,9,, (,5,,5,7 (,,9,, (,5,,5,7,6,5 De l que resul l siguiee serie rmóic: f ( g(,44, (,5 (,5 si(, si(,6 (,5 (,6 si(,5 si( Que se desrrollrí segú l siguiee l: coef,44,6,5,,5,5,,5, w(i rmóico 5 5 rmóico,, rmóico 5 5 rmóico f(*g(,44,,6,6,99,,,9,9,,97,5,,74,44,99,,6,97,5,6,9,7,7,,4,9,9,44,9,9,64,9,7,,4,54,4,7,6,5, 4,44,97,5,64,,4,,7,6,44,54,4,9, 5,44,95,,64,,59,,59,,45,,95,,5 6,44,9,7,6,7,6,,4,9,45,6,,,5 7,44,9,4,6,64,77,,5,97,4 -,9,9,,,44,,4,6,54,4,,6,,9 -,4,9,6, 9,44,4,54,6,4,9, -,,99,5 -,64,77,,9,44,,59,59,,95, -,,95, -,,59,4,76,44,77,64,57,9,9, -,4,, -,9,7,7,5,44,7,6,55,6,,6 -,64,77, -,99, -,,,44,6,7,5 -,6,,4 -,77,64,5 -,99 -, -,9,7 4,44,64,77,5 -,9,9, -,,4 -,4 -,9 -,7 -,6,96 5,44,59,,49 -,,95, -,95, -, -, -,59 -,,76 6,44,54,4,46 -,4,9,4 -,99, -, -,64 -,77 -,7,57 7,44,4,,4 -,54,4, -, -,6 -,7 -,4 -,9 -,,4,44,4,9,4 -,64,77,7 -,97 -,5 -,4 -,9 -,9 -,,5 9,44,7,9,7 -,7,6, -,9 -,4 -,9,6 -, -,,4

51 ,44,,95, -,,59 -, -, -,59 -,4, -,95 -,,5,44,5,97, -,,4 -,5 -,6 -,7 -,45,54 -,4 -,,,44,9,9,6 -,9,7 -,9 -,54 -,4 -,45,7 -,6 -, -,,44,,99, -,97,5 -, -,7 -,9 -,45, -,4 -, -, 4,44,6,,9 -,99, -,7 -,9 -,9 -,4,97 -,5 -,, 5,44,,,5 -,, -,, -, -,,,,5,6 6,44 -,6,, -,99 -, -,,9 -,9 -,,97,5,, 7,44 -,,99,7 -,97 -,5 -,6,7 -,9 -,6,,4,9,9,44 -,9,9, -,9 -,7 -,,54 -,4 -,9,7,6,5,5 9,44 -,5,97 -, -, -,4 -,,6 -,7 -,,54,4,9,,44 -,,95 -,5 -, -,59 -,, -,59 -,,,95,,7,44 -,7,9 -,9 -,7 -,6 -,,9 -,4,6,6,,,4,44 -,4,9 -, -,64 -,77 -,,97 -,5,5 -,9,9,,4,44 -,4, -,7 -,54 -,4 -,, -,6, -,4,9,6,44 4,44 -,54,4 -, -,4 -,9 -,,99,, -,64,77,,4 5,44 -,59, -,4 -, -,95 -,,95,,6 -,,59,4,9 6,44 -,64,77 -, -,9 -,9 -,,,4,4 -,9,7,7,5 7,44 -,6,7 -, -,6 -, -,6,77,64,4 -,99, -,,9,44 -,7,6 -,5,6 -, -,4,64,77,45 -,99 -, -,9, 9,44 -,77,64 -,,9 -,9 -,,4,,45 -,9 -,7 -,6,4 4,44 -,,59 -,4, -,95 -,,,95,44 -, -,59 -,,7 4,44 -,4,54 -,44,4 -,9 -,4,,99,4 -,64 -,77 -,7 -, 4,44 -,,4 -,47,54 -,4 -, -,6,,6 -,4 -,9 -, -,7 4,44 -,9,4 -,5,64 -,77 -,7 -,5,97, -,9 -,9 -, -, 44,44 -,9,7 -,5,7 -,6 -, -,4,9,4,6 -, -, -, 45,44 -,95, -,54, -,59, -,59,,6, -,95 -, -, 46,44 -,97,5 -,56, -,4,5 -,7,6,,54 -,4 -, -, 47,44 -,9,9 -,5,9 -,7,9 -,4,54 -,,7 -,6 -, -, 4,44 -,99, -,6,97 -,5, -,9,7 -,9, -,4 -, -, 49,44 -,,6 -,6,99 -,,7 -,9,9 -,7,97 -,5 -, -, 5,44 -,, -,6,,, -,, -,5,,,5 -, 5,44 -, -,6 -,6,99,, -,9 -,9 -,,97,5, -,5 5,44 -,99 -, -,6,97,5,6 -,9 -,7 -,7,,4,9 -, 5,44 -,9 -,9 -,64,9,7, -,4 -,54 -,4,7,6,5 -,9 54,44 -,97 -,5 -,64,,4, -,7 -,6 -,44,54,4,9 -,6

52 55,44 -,95 -, -,64,,59, -,59 -, -,45,,95, -, 56,44 -,9 -,7 -,6,7,6, -,4 -,9 -,45,6,, -, 57,44 -,9 -,4 -,6,64,77, -,5 -,97 -,4 -,9,9,, 5,44 -, -,4 -,6,54,4, -,6 -, -,9 -,4,9,6, 59,44 -,4 -,54 -,6,4,9,, -,99 -,5 -,64,77,, 6,44 -, -,59 -,59,,95,, -,95 -, -,,59,4, 6,44 -,77 -,64 -,57,9,9,,4 -, -, -,9,7,7, 6,44 -,7 -,6 -,55,6,,6,64 -,77 -, -,99, -,, 6,44 -,6 -,7 -,5 -,6,,4,77 -,64 -,5 -,99 -, -,9, 64,44 -,64 -,77 -,5 -,9,9,, -,4,4 -,9 -,7 -,6, 65,44 -,59 -, -,49 -,,95,,95 -,, -, -,59 -,, 66,44 -,54 -,4 -,46 -,4,9,4,99 -,, -,64 -,77 -,7,5 67,44 -,4 -, -,4 -,54,4,,,6,7 -,4 -,9 -,,9 6,44 -,4 -,9 -,4 -,64,77,7,97,5,4 -,9 -,9 -,, 69,44 -,7 -,9 -,7 -,7,6,,9,4,9,6 -, -,, 7,44 -, -,95 -, -,,59 -,,,59,4, -,95 -,,4 7,44 -,5 -,97 -, -,,4 -,5,6,7,45,54 -,4 -,, 7,44 -,9 -,9 -,6 -,9,7 -,9,54,4,45,7 -,6 -,,6 7,44 -, -,99 -, -,97,5 -,,7,9,45, -,4 -,,4 74,44 -,6 -, -,9 -,99, -,7,9,9,4,97 -,5 -,,4 75,44, -, -,5 -,, -,,,,,,,5,5 76,44,6 -, -, -,99 -, -, -,9,9,,97,5,,55 77,44, -,99 -,7 -,97 -,5 -,6 -,7,9,6,,4,9,57 7,44,9 -,9 -, -,9 -,7 -, -,54,4,9,7,6,5,57 79,44,5 -,97, -, -,4 -, -,6,7,,54,4,9,55,44, -,95,5 -, -,59 -, -,,59,,,95,,5,44,7 -,9,9 -,7 -,6 -, -,9,4 -,6,6,,,46,44,4 -,9, -,64 -,77 -, -,97,5 -,5 -,9,9,,4,44,4 -,,7 -,54 -,4 -, -,,6 -, -,4,9,6, 4,44,54 -,4, -,4 -,9 -, -,99 -, -, -,64,77,,5 5,44,59 -,,4 -, -,95 -, -,95 -, -,6 -,,59,4,7 6,44,64 -,77, -,9 -,9 -, -, -,4 -,4 -,9,7,7, 7,44,6 -,7, -,6 -, -,6 -,77 -,64 -,4 -,99, -,,5,44,7 -,6,5,6 -, -,4 -,64 -,77 -,45 -,99 -, -,9, 9,44,77 -,64,,9 -,9 -, -,4 -, -,45 -,9 -,7 -,6,

53 9,44, -,59,4, -,95 -, -, -,95 -,44 -, -,59 -,, 9,44,4 -,54,44,4 -,9 -,4 -, -,99 -,4 -,64 -,77 -,7,6 9,44, -,4,47,54 -,4 -,,6 -, -,6 -,4 -,9 -,,4 9,44,9 -,4,5,64 -,77 -,7,5 -,97 -, -,9 -,9 -,,5 94,44,9 -,7,5,7 -,6 -,,4 -,9 -,4,6 -, -,,9 95,44,95 -,,54, -,59,,59 -, -,6, -,95 -,,56 96,44,97 -,5,56, -,4,5,7 -,6 -,,54 -,4 -,,75 97,44,9 -,9,5,9 -,7,9,4 -,54,,7 -,6 -,,95 9,44,99 -,,6,97 -,5,,9 -,7,9, -,4 -,,5 99,44, -,6,6,99 -,,7,9 -,9,7,97 -,5 -,,6,44,,,6,,,,,,5,,,5,56 f(*g(,5,5,5 -, c Desrrollo mricil de l mulilicció de series co k rmói. L mulilicció de dos series de logiud oeids como sums de k rmói, cuys frecuecis gulres so oeids rir de i i

54 es decir g( k i ( i ( i i si i e f ( k i ( i ( i i si i d como resuldo u uev serie rmóic de / eriodos f ( g( µ E dode 6 k i i ( i ( i isi µ k i i i i i Priedo de dos series rmóics de, lo que d lugr ls dos series de Fourier que se rese coiució: f ( ( ( si( si( ( ( si( si( g( ( ( si( si( ( ( si( si( 6 Noese que µ es l covriz rmóic, y coicidirá co l covriz muesrl ere f ( y g( k i i ( i si( i i f ( g( cudo, lo que ocurre cudo l serie rmóic se muesr si desfse, e cuyo cso, µ. E geerl se uede sumir que medid que es myor el mño de l serie l covriz muesrl se cercrá l covriz rmóic.

55 Dode,4 4,56,57,75 o L mulilicció sucesiv de los curo rmómi de ( f or el rimer rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: 4 o o, de form que 7 ( ( 7 si( si( ( ( x x x x

56 si( si( L mulilicció sucesiv de los curo rmómi de ( f or el segudo rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: de form que ( ( si( si( L mulilicció sucesiv de los curo rmómi de ( f or el ercer rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres:

57 de form que ( ( si( si( L mulilicció sucesiv de los curo rmómi de ( f or el curo rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres:

58 eiedo resee que: ( si( ( si( ( si( se oiee los coeficiees de fourier de l serie resule de l mulilicció de ( ( g f rir del siguiee sisem mricil: A B

59 B A C β µ Eemlo, si,,4 si,, si,5,5 ( f si,5,6 si,7, si,,9 ( g

60 el roduco ( ( g f d como resuldo :,5,75,4,5,775,55,6,65,,99,,,4,,,5,5,9,,,7,6,5,,9,7,,5,6,,,7,,5,7,7,,7,,5,5,7 4,,4,,5 4,,5,6,5,5 4,5,5,,7,7,,5,,7,,7 4,,5,5,7,,6,5,,7,9, 4,5,6,7,,,9 Que d lugr l siguiee serie: 4,75 si,4,5 si,775,55 si,6,65.99 ( g Ddo que e el eemlo, se uede simlificr l mulilicció e el modo exueso.

61 L mriz A uede descomoerse e vris mrices, us servir r clculr los coeficiees socidos los eos y oros los socidos los seos. Ess mrices serí: A, B, A, B, A, B, I

62 Cosiderdo los siguiees vecores: A, B L solució mricil los coeficiees de los seos es ( ( [ ] B B I B B A A A A C L solució mricil los coeficiees de los seos es ( ( [ ] A B I B B B A A A C

63 Eemlo, si,,4 si,, si,5,5 ( f si,5,6 si,7, si,,9 ( g,6,6,,6,,9 A,,5,5,7,5,7, B,,9,,6,,6,6 A,,,7,5,7,5,5 B,,9,,6,9,9,,,9,9,6,,9 A,,,7,5,,,7,7,,,5,7, B, I,,4,,5 A,,,,5 B