POBLACIÓN Y MUESTRA AUTORIA SILVIA BORREGO DEL PINO TEMÁTICA ESTADÍSTICA ETAPA ESTUDIOS UNIVERSITARIOS

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1 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 POBLACIÓN Y MUESTRA AUTORIA SILVIA BORREGO DEL PINO TEMÁTICA ESTADÍSTICA ETAPA ESTUDIOS UNIVERSITARIOS Resume La Estadística tiee por objeto el desarrollo de técicas para el coocimieto umérico de u cojuto de datos empíricos (recogidos mediate eperimetos o ecuestas). Al realizar ua ivestigació estadística teemos que fijar el cojuto de elemetos que queremos estudiar, que llamaremos població o uiverso. Muestra se deomiará a aquél subcojuto limitado etraído de la població, co objeto de reducir el úmero de eperiecias. Palabras clave Ivestigació estadística. Població y muestra. 1. INTRODUCCIÓN La Estadística actual es el resultado de la uió de dos disciplias que evolucioa de maera idepediete hasta cofluir e el siglo XIX: el Cálculo de Probabilidades, que ace e el siglo XVII como teoría matemática de los juegos de azar, y la Estadística, ciecia del estado, que estudia la recogida y descripció de datos y que es de raíces bastate más atiguas. Esto hace que ua de las acepcioes más aceptadas de Estadística sea la que la defie como el cojuto de métodos que tiee por objeto la obteció, tratamieto y la iterpretació de u cojuto de datos de observació relativos a u grupo de idividuos o uidades. La Estadística actúa como disciplia puete etre los modelos matemáticos y los feómeos reales. Es difícil establecer ua croología eacta de los orígees de la Estadística. Desde la atigüedad, los estados ha recogido iformació sobre la població y riquezas que eistía e sus domiios (cesos, ivetarios ). Por otra parte, desde el siglo XVII se ha tratado de iterpretar feómeos biológicos y sociales de poblacioes a partir de datos uméricos (tablas de mortalidad, cotrastació de la teoría de Darwi, estudio de la herecia humaa ) mediate procesos deductivos (Estadística Descriptiva). Desde fiales del siglo XIX, aplicado métodos iductivos (Estadística Iferecial), la Estadística ha visto ampliado su campo de aplicació a prácticamete todos los sectores (Igeiería, Física, Medicia ). Así, la Estadística se ocupa de la descripció de datos (procedimietos para resumir la iformació), del aálisis de muestras (elegir muestras represetativas y hacer iferecia), de la cotrastació de hipótesis (comparar prediccioes co datos observados), de la medició de relacioes (relació estadística), de la predicció (mediate el estudio del historial de las variables), etc.

2 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 El método cietífico se basa e dos tipos de razoamietos: el deductivo (de lo geeral a lo particular) y el iductivo (de lo particular a lo geeral). Ambos tipos de razoamietos dará lugar respectivamete a la Estadística Descriptiva y a la Iferecial. Mietras que la Estadística Descriptiva trata del recueto, ordeació y clasificació de los datos obteidos por las observacioes y medicioes, la Estadística Iferecial, haciedo uso del Cálculo de Probabilidades, describe, predice, compara y geeraliza resultados a ua població estadística a partir de la iformació que obtiee de ua parte de la població. J. Neyma publicó e 1934 el primer trabajo cietífico sobre el muestreo de poblacioes fiitas, e el que establece que la selecció aleatoria es la base de ua teoría cietífica que permita predecir la validez de las estimacioes muestrales. E la década de los años 40 se desarrollaro umerosos estudios sobre diferetes tipos de muestreo. Lilia H. y William G. Madow fuero los primeros ivestigadores sobre la teoría de muestreo sistemático. M. H. Hase y W. N. Hurwitz profudizaro e el estudio de los muestreos estratificado y por coglomerados. Tras los umerosos trabajos presetados e los años 40 queda defiitivamete cosolidado el estudio del muestreo de poblacioes fiitas, a lo que cotribuyero las publicacioes de Cochra, Hase, Hurwitz y Madow.. POBLACIÓN Y MUESTRA El primer paso e toda ivestigació estadística cosiste e fijar el cojuto de elemetos que queremos estudiar, que llamaremos població o uiverso. Cada elemeto de la població se deomia idividuo o uidad estadística. La població puede ser el cojuto de persoas de ua localidad, las llamadas telefóicas a ua cetral Llamaremos muestra a u subcojuto limitado etraído de la població, co objeto de reducir el úmero de eperiecias. Ua vez fijada la població debemos idicar cuáles so las características o cualidades que os iteresa estudiar e esa població, estableciedo la forma e la que debe medirse, las uidades de medida Estas características observables e ua població se clasifica e cualitativas, que so aquellas que o se puede cuatificar, tales como el color de pelo, el gusto musical, grupo saguíeo, Las características que o so cualitativas las llamamos cuatitativas, que so aquellas que sí se puede cuatificar, como es la estatura, el úmero de hijos A su vez, las características cuatitativas se divide e dos tipos, las discretas y las cotiuas. Las características cuatitativas discretas so aquellas que toma valores aislados, como es el úmero de televisores e ua uidad familiar o el úmero de hijos de ua pareja. Por el cotrario, las variables cotiuas puede tomar cualquier valor compredido e u determiado rago o itervalo, auque muchas veces la uidad de medida o os permita tal hecho. Esto ocurre, por ejemplo, al estudiar la altura de ua població, que auque sabemos que es ua variable cotiua, los aparatos de medida sólo os permite tomar éstas co ua determiada aproimació. Alguas veces tambié es preferible, e el caso de las variables discretas co u gra úmero de resultados, tratarlas como si fuera variables cotiuas y viceversa. Ua vez obteida la iformació referete a la variable de estudio, ésta se orgaiza y resume e las llamadas distribucioes de frecuecias, que os proporcioa el úmero de idividuos que hay para

3 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 cada uo de los valores de la variable. Estas distribucioes de frecuecias puede ser de frecuecias absolutas, que os dice el úmero de idividuos que preseta u determiado valor de la variable, o de frecuecias relativas, que os da el tato por uo o por cieto de la població que preseta es determiado carácter. E ocasioes, tambié será de utilidad las frecuecias acumuladas, e las que cada valor acumula los datos perteecietes tambié a los que so meores que él. 3. REPRESENTATIVIDAD DE UNA MUESTRA E aquellas ocasioes e las que o resulta posible estudiar cada uo de los elemetos de ua població, ya sea por razoes ecoómicas, de rapidez e la obteció de la iformació deseada, de persoal dispoible, etc. lo que hacemos es trabajar co ua muestra. La característica más importate que debe teer dicha muestra es la represetatividad, que es la que garatiza que el estudio realizado e ella pueda ser etrapolado a la població de la que ha sido etraída, proceso que se llama iferecia. La desvetaja o riesgo que colleva la utilizació de muestras es que éstas o sea represetativas. Por ello a la hora de seleccioar ua muestra hemos de especificar claramete: - El método de selecció de los idividuos de la població. - El tamaño de la muestra. - Grado de fiabilidad de las coclusioes que vamos a sacar, es decir, ua estimació que hacemos del error máimo que se va a cometer. Diremos que ua muestra está sesgada cuado o es represetativa de la població, debiédose a que el método empleado para seleccioar los idividuos de la població o ha sido correcto, se ha producido errores e las medicioes de las variables, el etrevistador ha sido imparcial, etc. Detro de los errores que se puede cometer debemos distiguir etre: - Error o sesgo de selecció: si alguos miembros de la població tiee más probabilidad de ser seleccioados. - Error o sesgo por o respuesta: puede que alguos miembros de la població o respoda a las pregutas o o coteste siceramete. Estos errores so más difíciles de detectar y evitar, auque se puede icorporar cuestioes al cuestioario para probar que se ha respodido siceramete. E poblacioes homogéeas las muestras so, e geeral, muy represetativas. Por el cotrario, e poblacioes heterogéeas, las muestras so poco represetativas. Cualquier població real puede ser heterogéea, dádose paradojas como la de Simpso, cuado las coclusioes etraídas de datos divididos e subpoblacioes homogéeas so opuestas a las que se obtiee a partir de datos agregados. Para fializar este apartado diremos que eiste parámetros que puede usarse de referecia e el estudio de la represetatividad de ua muestra. Así, el factor de elevació (cociete etre el tamaño de la població y el de la muestra) represeta el úmero de elemetos que hay e la població por

4 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 cada elemeto de la muestra. El factor de muestreo (cociete etre el tamaño de la muestra y el de la població) multiplicado por 100 represeta el porcetaje de població que represeta la muestra. 4. TIPOS DE MUESTREO El proceso por medio del cual es elegida ua muestra se cooce co el ombre de muestreo. A la hora de seleccioar ua muestra hemos de teer e cueta las características de la població, es decir, su grado de homogeeidad o heterogeeidad co respecto a las variables que aalizamos. La clave de u procedimieto es garatizar que la muestra sea represetativa de la població. Eiste diversos tipos de muestreo, auque todas las clasificacioes podría resumirse e probabilístico y o probabilístico. U muestreo es probabilístico cuado puede calcularse de atemao la probabilidad de obteer cada ua de las muestras que sea posible seleccioar, para lo que la selecció de la muestra se cosidera como u eperimeto aleatorio. Es el úico muestreo capaz de dar el riesgo que se comete e la iferecia. Vamos a ocuparos del muestreo probabilístico, e el que la muestra es represetativa, y su proceso de selecció costituye u eperimeto aleatorio. E los muestreos e los que se seleccioa directamete a u idividuo se suele utilizar tablas de úmeros aleatorios, cojuto de úmeros tales que todos los dígitos tiee la misma probabilidad de aparició. Se eumera a los idividuos de la població y se seleccioa u úmero obteido mediate tablas de úmeros aleatorios o mediate u ordeador que los geere. Detro del muestreo probabilístico hemos de distiguir etre: - Muestreo aleatorio co y si reemplazamieto. - Muestreo sistemático. - Muestreo estratificado. - Muestreo por coglomerados. - Muestreo aidado Muestreo aleatorio simple Se dirá que se ha obteido ua muestra por muestreo aleatorio cuado el proceso de selecció de la muestra garatice que todas las muestras posibles que se puede obteer de la població tiee la misma probabilidad de ser elegidas. Es decir, todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad de ser seleccioados para formar parte de la muestra. Cuado u elemeto es seleccioado y cuatificadas las características objeto de estudio, vuelve a formar parte de la població y puede volver a ser seleccioado, se dice muestreo aleatorio co reemplazamieto o reposició. Geeralmete recibe el ombre de muestreo aleatorio simple. E el caso de que el elemeto o vuelva a formar parte de la població de maera que o puede volver a ser seleccioado se dice que se ha obteido ua muestra por muestreo aleatorio si reposició o si reemplazo. Si bie los dos métodos so distitos, cuado el tamaño de la població es ifiito o ta grade que puede cosiderarse ifiito, ambos métodos llega a las mismas coclusioes. Si el factor de muestreo es mayor de 0 1, la diferecia etre ambos métodos puede ser apreciable, llegado a coclusioes cotradictorias segú el método que se utilice.

5 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE Estudio detallado del muestreo aleatorio simple Ua muestra aleatoria simple de tamaño puede cosiderarse como variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas segú ua cierta distribució F. Después de utilizar el procedimieto de muestreo, se querrá proporcioar estimacioes para ua o varias variables de iterés. U estimador es ituitivamete ua fórmula matemática que permite calcular la estimació de ua magitud a partir de los datos observados e la muestra. Al vector θ = ( θ1,θ,..., θk ) de parámetros descoocidos de la distribució F de la població se llama vector paramétrico. Al cojuto de todos los valores admisibles del vector paramétrico se le llama espacio paramétrico y lo deotaremos por Θ. k Sea ( X 1,X,..., X ) ua muestra y sea T ( X 1,X,..., X ) ua aplicació T : R R. Se llama estadístico a toda fució medible co respecto a las σ-álgebras β y β k que o depeda del parámetro (θ). U estadístico T ( X1,X,..., X ) se dice que es u estimador de θ si toma valores e el espacio paramétrico Θ y además o depede de θ. 1 El estadístico X = X i se llama media muestral. i= 1 1 El estadístico S c = ( Xi X) se deomia cuasivariaza muestral. 1 Teorema 1 i= 1 Si X es el estadístico media muestral de ua variable aleatoria X co media μ y variaza σ, E[ X] = μ etoces: σ Var( X) = Teorema ) Si ua muestra de tamaño, ( X1,X,..., X procede de ua variable aleatoria X co media μ y variaza σ, etoces: E S c = σ Teorema 3 [ ] E los muestreos aleatorios simples si reposició, la variaza de la media muestral vale: σ N Var( X) = N 1

6 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 Teorema 4 E los muestreos aleatorios simples si reposició se verifica: [ ] E S c = s 4.. Muestreo sistemático Este tipo de muestreo eige, como el aterior, u listado de los elemetos de la població. Hay que teer precaució de saber que la població o haya sido ordeada segú u criterio que propicie o colleve la periodicidad e algú carácter. Su vetaja es que o hay que tomar úmeros aleatorios. Se parte de u arraque aleatorio i, úmero elegido al azar que luego cocretaremos, y los elemetos que itegra la muestra so los que ocupa e la població los lugares i, i + k, i + k,, i + ( 1) k. Es decir, se toma los elemetos de k e k, siedo k la parte etera del úmero resultate de dividir el tamaño de la població etre el de la muestra. El arraque aleatorio i debe ser u úmero compredido etre 1 y k, co lo que el último elemeto de la muestra es aterior o coicide co el úico elemeto de la població. N Además, de las muestras posibles del muestreo aleatorio simple, sólo so posibles k muestras sistemáticas, y la probabilidad de cada ua de ellas es 1 k. El muestreo sistemático es equivalete al aleatorio si los elemetos está umerados de maera aleatoria. Las vetajas de dicho método so: - Etiede la muestra a toda la població. - Es de fácil aplicació. Los icoveietes que preseta so: - Aumeto de la variaza si eiste periodicidad e la umeració de los elemetos produciédose u sesgo e la selecció. - Problemas a la hora de la estimació de la variaza Muestreo estratificado Se deomia muestreo estratificado a aquel muestreo aleatorio e el que los elemetos de la població se divide e clases o estratos. La muestra se toma asigado u úmero o cuota de miembros a cada estrato y escogiedo los elemetos detro del estrato por muestreo aleatorio simple, o a veces, por muestreo sistemático. Las razoes para obteer ua muestra por muestreo estratificado so:

7 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE Teer iformació co más precisió e las subpoblacioes de la població sobre la característica objeto de estudio. - Aumetar la precisió e las estimacioes de las características de toda la població. E geeral el muestreo estratificado proporcioa mejores resultados que el muestreo aleatorio mietras más diferetes sea los estratos etre sí y más homogéeos iteramete. Básicamete podemos cosiderar tres métodos para redistribuir el tamaño de la muestra etre los k estratos. - Proporcioalmete al tamaño de cada estrato. - Proporcioalmete a la variabilidad de la característica que estamos cosiderado. - Se asiga el mismo tamaño a cada estrato Muestreo por coglomerados Los tres métodos ateriores está diseñados para seleccioar directamete elemetos de la població. E este uevo método, la uidad muestral es u grupo de elemetos de la població que llamaremos coglomerados. Normalmete, estos grupos o coglomerados tiee eistecia real. Así, por ejemplo, las persoas vive e casas, las casas se agrupa e mazaas, las mazaas e barrios, etc. Muchas veces o dispoemos de ua lista de elemetos de la població i los posibles estratos, pero sí el úmero de coglomerados. Si podemos supoer que cada uo de estos coglomerados es ua muestra represetativa de la població total respecto a la variable de estudio, se seleccioa alguos coglomerados al azar y, detro de ellos, se aaliza todos sus elemetos o ua muestra aleatoria simple. El muestreo por coglomerados es mejor cuato más homogéeos sea éstos etre sí y cuato más heterogéeos sea iteramete Muestreo aidado Es ua geeralizació del muestreo por coglomerados. E la primera etapa se seleccioa ua serie de coglomerados o uidades muestrales primarias, e ua seguda se seleccioa coglomerados más pequeños, perteecietes a los ateriores, llamados uidades muestrales secudarias, y así sucesivamete cuatas etapas sea ecesarias. El muestreo por etapas tiee la vetaja de que e cada etapa se puede utilizar, segú os iterese, el muestreo que se cosidere más adecuado al tipo de coglomerado de que se trate. 5. TAMAÑO DE LA MUESTRA E u estudio muestral hay dos problemas fudametales: cómo elegir la muestra?, visto e el apartado aterior, y cuál debe ser el tamaño de la muestra?

8 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, mayor será la precisió obteida, pero llegará u mometo e el que el aumeto de los gastos o se verá compesado co u aumeto sigificativo de la precisió. Depediedo de la característica que se esté estudiado el tamaño a cosiderar será uo u otro. Se defie el error muestral o error de muestreo como la desviació típica de la distribució muestral. Así e el caso de las medias muestrales o de las proporcioes tedremos: a) Cuado la població es fiita y la etracció es co reemplazamieto o cuado la població es ifiita: σ p q σ = σ pˆ = b) Cuado la població es fiita y la etracció es si reemplazamieto: σ σ N = σ = pˆ N 1 p q N N 1 ( e ( k σ ) = p ) = T T k, que represeta la precisió míima a eigir e los resultados, y el ivel de cofiaza, p k, ecesitamos coocer además la variabilidad de la població, ya que cuatos más dispersos esté los valores de la variable e estudio, más arriesgado será utilizar ua muestra de pequeño tamaño. Al ivel de cofiaza p k le correspoderá u cierto valor de k, obteido a partir de la desigualdad de Tchebycheff, bie a través de ua distribució Normal, ua t de Studet, o por otro procedimieto. Para obteer el tamaño de la muestra, que desigaremos por, e fució de e y de p k, partimos de la ecuació fudametal, e = k σ T, siedo T el estimador utilizado. Se trata de estimar la media poblacioal mediate la media muestral X co error máimo admisible e y ivel de cofiaza p k o bie estimar la proporció poblacioal a partir de la proporció muestral pˆ. Ua vez fijado el error máimo admisible k σ ;P T E( T) Tamaño de la muestra para estimar la media poblacioal Para poblacioes ifiitas o poblacioes fiitas co reemplazamieto, la epresió que relacioa el error máimo admisible e y el error muestral σ es: σ k σ e = k σ = k = e Si la població es fiita y el muestreo es si reemplazamieto: σ N N k σ e = k σ = k = N 1 e ( N 1) + k σ

9 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 No debemos de olvidar que k es el valor asociado a u ivel de cofiaza distribucioes ormales este valor es z. Tamaño de la muestra para estimar la proporció poblacioal α 1 (1 α ) y que e las Sabemos que el estadístico que se usa para estimar la proporció poblacioal es la proporció X muestral defiido por: p ˆ = dode X = X1 + X X co X Ber( p) i Para poblacioes ifiitas o poblacioes fiitas co reemplazamieto, la epresió que relacioa el error máimo admisible e y el error muestral es: σ p ˆ p q k p q e = k σ k = pˆ = e Cuado o se cooce la proporció p, se estima para el caso más desfavorable, es decir, que tato p como q valga 1. Si la població es fiita y el muestreo es si reemplazamieto: p q N N k p q e = k σ k pˆ = = N 1 e ( N 1) + k p q No debemos de olvidar que k es el valor asociado a u ivel de cofiaza distribucioes ormales este valor es z. α 1 (1 α ) y que e las E caso de o coocer la variaza poblacioal y u muestreo si reposició: e = k σ co S N σ = por lo que e k σ N =, de dode N k S = (I) N e + k S Claro es que el tamaño de la muestra ha de ser u úmero atural y, por tato, habrá de tomarse para el valor etero por eceso más aproimado al obteido. Los valores de e y p k (y, por tato, los de k), los fijaremos co arreglo a uestros objetivos y limitacioes. El tamaño de la població, N, se supoe coocido. E cuato a S, habrá que cojeturarlo o apreciarlo a partir del coocimieto que tegamos de la població e ua fecha aterior, o de poblacioes más o meos parecida a ésta, o bie de ua muestra piloto previamete seleccioada. Como dice Wormleighto (1960), cuado o se cooce la variaza puede seguirse uo de los camios siguietes: 1. Tomar la muestra del mayor tamaño posible. Tiee el icoveiete de que puede dar mayor precisió de la requerida y o ser eficiete el procedimieto por demasiado costoso.. Tomar ua muestra prelimiar o piloto. Tiee el icoveiete de que la iformació proporcioada por ésta o se aprovecha e la estimació.

10 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 Si la població fuese ifiita, el tamaño de la muestra viee dado por el límite de (I) cuado N, k S k que vale =. Si e (I) multiplicamos los dos térmios de la fracció por e e, tedremos N = =. N + 1+ N La epresió aterior represeta ua hipérbola que pasa por el orige y tiee ua asítota paralela al eje de abscisas, a distacia de éste. Si para tomamos el etero más aproimado por eceso al valor obteido co la fórmula, al aumetar N llegaremos a u valor e que cualquier icremeto de éste ya o ifluye e. Es decir, desde cierto valor de N, permaece costate. Este valor puede calcularse de la siguiete maera: < 1. Esto equivale a < 1 ` 1+ N < 1+ ( < N + ) N > ( 1) N N Esto es, si: k S k ss 1 e e N para obteer el tamaño de la muestra so: el valor de será igual a. Así pues, los pasos a seguir k S 1. Obteer el tamaño de la muestra imagiado que N, o sea =. e. Comprobar si se cumple que N > ( 1). Si es cierto, el proceso termia aquí y el tamaño de la muestra debe ser hallado para. Si o lo es, hemos de pasar a u tercer paso. 3. Obteer el tamaño de la muestra segú la fórmula =. 1+ N E caso de o coocer la variaza poblacioal y u muestreo co reposició, utilizado la fórmula geeral para el cálculo del tamaño de la muestra tedremos que e = k σ, y segú hemos visto, la S ecuació quedaría e = k σ = k. Despejado tedríamos que el tamaño de la muestra a tomar k S sería: = e 6. CONCLUSIÓN

11 ISSN DEP. LEGAL: GR 9/007 Nº 1 NOVIEMBRE DE 008 La Estadística puede defiirse como el cojuto de métodos que tiee por objeto la obteció, el tratamieto y la iterpretació de u cojuto de datos de observació relativos a u grupo de idividuos o uidades. Detro de la Estadística puede cosiderarse dos grades ramas: la Estadística Descriptiva, que trata del recueto, ordeació y clasificació de los datos obteidos por las observacioes y medicioes, y la Estadística Iferecial que, haciedo uso del Cálculo de Probabilidades, describe, predice, compara y geeraliza resultados a ua població estadística a partir de la iformació que obtiee de ua parte de la població. A la hora de seleccioar ua muestra, habrá de teerse e cueta criterios que garatice la represetatividad de la misma, esto es, que las coclusioes obteidas para ua població a partir del estudio realizado sobre la muestra tega u elevado grado de cofiaza. Uo de los métodos más utilizados para la selecció de ua muestra detro de ua població es el deomiado muestreo aleatorio simple, e el que todos los idividuos de la població tiee la misma probabilidad de ser seleccioados para forma parte de la muestra. Otros tipos de muestreo so el muestreo sistemático, el muestreo estratificado, el muestreo por coglomerados y el muestreo aidado o por etapas. Por último, cuado realicemos u estudio muestral tedremos que señalar previamete el tamaño de la muestra. E el apartado aterior hemos visto alguos criterios para ua selecció óptima del tamaño de la muestra. 7. BIBLIOGRAFÍA Cochra, W. G. (1986). Técicas de muestreo. Méico: Cotietal Cramer, H. (1963). Métodos matemáticos de Estadística. Madrid: Ed Aguilar Cramer, H. (1968). Teoría de probabilidades y aplicacioes. Madrid: Ed Aguilar Ferádez Abascal, H. (1994). Cálculo de Probabilidades y Estadística. Barceloa: Ariel López Cachero, M. (1996). Fudametos y Métodos de la Estadística. Madrid: Ed Pirámide Reyi, A. (1976). Cálculo de probabilidades. Barceloa: Reverté Ríos, S. (1985). Métodos estadísticos. Madrid: Ed del Castillo 8. REFERENCIAS WEB Autoría Nombre y Apellidos: Silvia Borrego del Pio Cetro, localidad, provicia: I.E.S. Ágel de Saavedra. Córdoba. Córdoba depis79@hotmail.com

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