Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scientia Et Technica ISSN: Colobia RÍOS G., LUÍS HERNANDO; BUENO L., MAXIMILIANO MODELO MATEMÁTICO PARA UN ROBOT MÓVIL Scientia Et Technica, vol. XIV, nú. 38, junio, 008, pp Peeia, Colobia Disponible en: Cóo cita el atículo Núeo copleto Más infoación del atículo Página de la evista en edalyc.og Sistea de Infoación Científica Red de Revistas Científicas de Aéica Latina, el Caibe, España y Potugal Poyecto acadéico sin fines de luco, desaollado bajo la iniciativa de acceso abieto

2 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de ISSN MODELO MATEMÁTICO PARA UN ROBOT MÓVIL Matheatical Model fo a Mobile Robot RESUMEN En este atículo se desaolla el odelo ateático de un obot óvil tipo difeencial. Paa el desaollo del odelo se considean las caacteísticas cineáticas, dináicas y elécticas del oto. El odelo se desaolla con base en los datos de la platafoa óvil PMETIN. Se ealizan algunas siulaciones epleando Siulink paa copoba el coecto funcionaiento del odelo. PALABRAS CLAVES: Modelo ateático, Robot Móvil, PMETIN, Siulación. ABSTRACT In this pape a atheatical odel of a diffeential type obile obot is developed. Fo the developent of the odel is consideed the cineatic, dynaic and electical chaacteistics. The odel it develops on the basis of the infoation about the obile platfo PMETIN. Soe siulations ae ealized using Siulink to veify the coect functioning of the odel. LUÍS HERNANDO RÍOS G. Ingenieo Electónico MS.c Pofeso Titula lhgonza@utp.edu.co MAXIMILIANO BUENO L. Ingenieo Electicista MS.c Pofeso Catedático ax@oh.utp.edu.co Gupo GIROPS KEYWORDS: Matheatical Model, Mobile Robot, PMETIN, Siulation. 1. INTRODUCCIÓN Con el fin de pode ealiza estudios teóicos sobe un obot óvil, se uiee dispone de un odelo ateático copleto. Esto peite obseva, a tavés de siulaciones, los efectos de difeentes eventos sobe el obot, y así planea estategias de contol paa afonta una taea cualquiea. Los Robots óviles se pueden constui basándose en difeentes diseños de platafoas, que se difeencian po los divesos sisteas de tacción que utilizan. Las platafoas ás counes utilizan el sistea de tacción difeencial (diffeential steeing), estas utilizan otoes independientes paa cada una de las uedas peo situados sobe el iso eje, adeás utiliza uedas locas o puntos de sosteniiento paa popociona estabilidad a la platafoa. V ϕ b ω ueda La figua 1 pesenta un esquea siplificado de un obot óvil de dos uedas independientes o de tacción difeencial.. PARÁMETROS INVOLUCRADOS EN EL MODELO La figua 1 uesta tanto los paáetos físicos del obot, coo las vaiables dináicas. Los paáetos físicos del obot son: la longitud del eje (o distancia ente las uedas) denoinada b; el adio de cada ueda 1 y ; la asa del cuepo del obot, M; y la asa de cada una de las uedas,. Las vaiables elacionadas con el oviiento del obot son: la velocidad lineal que posee el cuepo del obot, V; la velocidad angula que posee el cuepo, ϕ ; y las velocidades angulaes de las uedas, ω 1 θ 1 ueda deecha y ω θ paa la ueda izquieda.[1] paa la Adeás, ente las vaiables dináicas se encuenta tabién la posición absoluta del obot en el espacio. Esta posición queda definida po las coodenadas bidiensionales del cento de asa (x,y) y el ángulo ente la diección de oviiento del obot y el eje X, denoinado ϕ, tal coo se obseva en la figua. Figua 1. Robot óvil de dos uedas.

3 14 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de Y 0 y wi l Figua. Localización en el plano Catesiano del Robot. El odelo tabién consta de paáetos elécticos, asociados a los otoes DC que se utilizan paa entega la tacción a las uedas del obot. Paa genea el odelo copleto, el poblea se divide en tes pates: las ecuaciones cineáticas, las ecuaciones dináicas y finalente las ecuaciones elécticas del sistea. 3. ECUACIONES CINEMÁTICAS Las ecuaciones cineáticas son aquellas que elacionan la velocidad de gio de cada una de las uedas con las vaiables de posición del obot: ( x, y,ϕ). Consideando al obot coo un cuepo ígido, la velocidad lineal del cento de asa se obtiene a pati del poedio de las velocidades lineales de cada una de sus uedas. La velocidad lineal de cada ueda se obtiene coo el poducto de la velocidad angula (velocidad de gio) y el adio de ellas. La velocidad del cento de asa queda definida po: + ( θ 1 θ ) V (1) El ángulo de gio del obot se deteina a pati de las elaciones geoéticas ente el oviiento de cada uno de las uedas del obot, tal coo se uesta en la figua 3. [] ϕ ϕ x x S u1 u wd X 0 b S1 Figua 3. Relaciones Geoéticas paa el ángulo de gio. Según se obseva en la figua 3, el ángulo de gio del obot es igual al ángulo del aco sostenido po la tayectoia. Dado que po definición el ángulo de diección del obot, ϕ, auenta en sentido opuesto a las anecillas del eloj, y consideando que la ueda deecha gia a una ayo velocidad que la izquieda, el ángulo de diección debe auenta ϕ. Según se apecia en la figua 3, la ueda izquieda sostiene un aco de adio x, po lo que la distancia ecoida po esa ueda está dada po: S θ x ϕ () La ueda deecha se encuenta ás lejos del cento de la cicunfeencia que deteina la tayectoia, y ecoe una distancia ayo en el iso tiepo, dada po: S θ ( x + ) ϕ (3) 1 1 b Calculando el valo de la difeencia S1 S y dividiendo po el tiepo tanscuido t, se obtiene la elación ente la velocidad de gio del obot, y la velocidad de cada una de sus uedas, coo se indica en la ecuación (4). θ 1θ ϕ ϕ li (4) t 0 t b Paa obtene las coodenadas de la posición del cento de asa del obot, se uiee pieo descopone la velocidad lineal del obot en las velocidades asociadas a cada eje del plano XY. Esto se pesenta en la ecuación (5). x V cos( ϕ) y Vsen( ϕ) 3. ECUACIONES DINÁMICAS Coo el obot óvil de sistea tacción difeencial se copone de otoes D.C, el poceso de constucción del odelo del sistea se inicia con la ipleentación del odelo de los otoes D.C de cada ueda. [3] Se obtiene una función de tansfeencia del odelo del oto que es uivalente al sistea eal físico. Las ecuaciones caacteísticas de los otoes D.C de ianes peanentes se igen po unos coeficientes k v y k t, los cuales actúan coo eleentos tansfoadoes. Este fenóeno físico se puede descibi ateáticaente ediante las expesiones (6) y (7): (5) e k v * w (6) T1 kt * I (7) Fecha de Recepción: 5 de Eneo de 008 Fecha de acepatación: 8 de Mazo de 008

4 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de La ecuación (6) epesenta la tansfoación de la enegía eléctica, en Voltios a velocidad angula (Unidad de Enegía ecánica). La ecuación (7) define los ueiientos de coiente eléctica causados po el pa desaollado. Adeás se debe tene en cuenta la obtención de la elación de tansfoación ecánica a tavés de los eductoes de velocidad de los otoes. [4] La elación de enganajes se expesa coo: N N W T 1 1 (8) W T La elación N 1, N, epesenta el núeo de dientes del piaio y del secundaio. Los acoples ente los eleentos ecánicos tabién poducen pédidas, si los acoples se encuentan en condiciones de funcionaiento, el ozaiento seá del tipo viscoso definido po la leta b, el cual se expesa po (9): T b * W (9) La expesión que define el cicuito eléctico que alienta al oto es: di V e I * R + L (10) Donde L es la inductancia del bobinado del oto y R la esistencia de éste. El análisis del cicuito ecánico se puede escibi de la siguiente foa: dw T J * + T + F (11) 1 Si se intoduce un téino de endiiento del educto la ecuación (1) se puede expesa: Las ecuaciones (13) y (14) se pueden eescibi de la foa: dw di b J kv L k t * 1 0 J W J V (15) * + * R I F 1 0 L L W ( ) ( ) + V W 1 0 * 0 0 * (16) I F 4. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL MOTOR D.C. A pati del odelo obtenido se obtiene la función de tansfeencia del oto (Es Ipotante esalta que la platafoa cuenta con otoes, uno paa cada ueda). La función de tansfeencia del sistea que se esta estudiando es de segundo oden y se expesa coo: H ( s) k * T ( Las + Ra )( J s + b ) + kt * kv * (17) Al sustitui los valoes de las constantes en la ecuación (15), se obtiene la función de tansfeencia de uno de los otoes de la platafoa óvil, dicha función es de segundo oden y se obtiene la ecuación (18): H ( s) (18) *10 s *10 s +.034*10 dw T + 1 * J * + T F (1) Donde J es la inecia del conjunto y es el endiiento del educto. A pati de las ecuaciones (8), (9), (10), (11) y (1) se obtienen las ecuaciones de estado. dw k b 1 F (13) J di t * I W J J R k 1 V I v W (14) L L L Figua 4. Motoes epleados paa el odelo. Paa este poyecto se usaon dos otoes de 1 voltios DC aca DAYTON, odelo L010, los cuales desaollan una velocidad áxia de 18 etos po inuto, su caacteística de toque es de 0kg. con áxia caga (Incluyendo la caja de educción).

5 16 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de Reducción del Sistea a un Sistea de Pie Oden. Paa hace la educción del sistea a un sistea de pie oden, se puede eliina el polo de ás alta fecuencia, basado en los valoes caacteísticos de la función de tansfeencia, es deci el polo de alta fecuencia se sitúa en 47,4 ad/s, ientas que el polo doinante se sitúa en 61,5 ad/s, situación que hace conclui que el sistea es netaente de pie oden. Esto se obseva en la figua 5. La ganancia en continua del oto es del oden de 01,9775, con lo cual teneos todos los paáetos necesaios paa calcula la nueva función de tansfeencia. [5] H k W * n ( s) (19) s + Wn De la expesión (0) se obtiene: 01,9775* 61,5 140 H ( s) (0) s + 61,5 s + 61,5 Figua 6. Función de tansfeencia paa el oto DC y espuesta ante un escalón 5. NO LINEALIDADES OBSERVADAS Figua 5. Polos del sistea de segundo Oden Al copaa los esultados del sistea oiginal de segundo oden con el sistea popuesto de pie oden, paa una señal escalón se obseva la gan siilitud de copotaiento de los sisteas, paa bajas fecuencias. En la figua 6 se uesta el sistea odelado en siulink. Se obsevan no linealidades debido a: No linealidades debidas a la otación del obot: un oto pesenta difeentes coeficientes en función del sentido de otación, aunque el fabicante solo da un valo, válido paa los dos sentidos de otación. Estas no linealidades no se pueden siula, ya que teóicaente no se disponen de datos suficientes. No linealidades otivadas po las tansiciones de ozaiento estático y cinético: la siulación del copotaiento del ozaiento en un sistea dináico es coplicada. Existen dos tipos as geneales de ozaiento, que son el ozaiento estático y el cinético. [4] 6. FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL ENCODER El Encode tiene dos canales, que entegan una señal cuadada cada uno, que seá pocesada po el sistea de contol. Estos ipulsos pueden se contados paa deteina la posición exacta o paa conoce la velocidad a la que se ueva. Los canales A y B entegan dos señales desfasadas, que se copaan ente ellas paa conoce el sentido de gio. La fecuencia áxia de opeación es de 0 khz. Supeada esta fecuencia en la salida del Encode significa que el tiepo de subida de los canales A y B es supeio y que no seá posible conta los pulsos. Si adeás se considea que cada vuelta del oto cuenta 16

6 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de pulsos po canal, podeos deteina la velocidad áxia de gio del oto de la siguiente anea.[3] 3 cuentas ad ad (1) seg 16cuentas seg La figua 7 uesta la ubicación del encoge en la platafoa. 8. SIMULACIONES Paa ealiza las siulaciones se han toado cada una de las funciones de tansfeencia obtenidas y se han inteconectado ente ellas paa así tene el odelo copleto del oto. En la figua 9 se uesta un diagaa de bloques que pesenta la conexión ealizada. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA LOS MOTORES ENCODERS MODELO CINEMÁTICO SALIDA Figua 9. Diagaa de Bloques paa la conexión ealizada Figua 7. Función de tansfeencia paa el oto DC y espuesta ante un escalón 7. MODELO CINEMÁTICO DEL ROBOT MOVIL Paa constui este odelo se considean las siguientes hipótesis: El obot se ueve sobe una supeficie plana, los ejes de guiado son pependiculaes al suelo, el deslizaiento es despeciable, el obot no tiene pates flexibles. En la figua 10 se uestan los valoes obtenidos paa las salidas del sistea ( x, y,ϕ) al excita el oto deecho con 5 Voltios y el oto izquiedo con 0 Voltios, la salida es una tayectoia cicula. En la figua 11 se uestan los valoes obtenidos paa las salidas del sistea ( x, y,ϕ) al excita el oto deecho con 0 Voltios y el oto izquiedo con 7 Voltios, la salida es una tayectoia cicula.[] YG YL ϕ XL Figua 8. Ejes Coodenados paa el obot óvil. XG Existen dos Sisteas de Refeencia G y L (Que coincide con el cento del vehículo), esto se apecia en la figua 8. Realizando poyecciones sobe los ejes encionados se obtiene la ecuación () que descibe el copotaiento cineático del obot.[5] Figua 10. Tayectoia obtenido con excitaciones oto deecho 5V y oto izquiedo 0V. Sen Sen Xf ϕ ϕ () θ l Yf Cosϕ Cosϕ θ ϕf b b

7 18 Scientia et Technica Año XIV, No 38, Junio de Maestía. Pontificia Univesidad Católica de Chile. Santiago de Chile. 004 Figua 11. Tayectoia obtenido con excitaciones oto deecho 0V y oto izquiedo 7V. 8. CONCLUSIONES Con la ealización de este tabajo se ha obtenido el odelo ateático paa un obot óvil, el cual es de utilidad paa aplica estategias de contol. Las siulaciones ealizadas han peitido copoba la efectividad y coecto funcionaiento del odelo. El odelaiento de obots óviles no es taea fácil debido a la gan cantidad de factoes que se ven involucados, cada uno de estos elacionados ente si. A pesa de esto se ha podido obtene el odelo ateático toando en cuenta todos los eleentos involucados, tales coo otoes, encodes y ubicación espacial de la platafoa. 9. BIBLIOGRAFIA [1] Baño Azcón Albeto. Análisis y diseño de Contol de Posición de un Robot óvil con Tacción Difeencial. Univesitat Rovia I Vigili. Tesis de Maestía España. [] Lauia Michel. Nadeau Isabelle. Lepage Piee. Moin Yan. Design and Contol of a Fou Steeed Wheeled Mobile Robot. Univesitè de Shebooke Canada [3] G. Capion, G. Bastin, B. d Andéa Novel, Stuctual popeties and classification of kineatic and dynaic odels of wheeled obile obots. IEEE Tansactions on Robotics and Autoation, vol 1(1), pp. 47-6, [4] Beúdez Bohóquez Giovanni Rodigo. Modelaiento Cineático y Odoético de Robots Móviles. Revista Tenua. Nueo [5] Caasco Schi Rodigo. Detección y Diagnostico de Fallas en Robots Móviles Coopeativos. Tesis de