4 Leyes de torsión. Estudio tridimensional

Transcripción

1 Leyes de tosión 4 Leyes de tosión. Estudio tidiensional 4.1 Leyes de tosión. Intoducción. En el capítulo se considean las popiedades teodináicas del fluido en la entada y en la salida del estato y del oto coo valoes edios. Las longitudes adiales de los álabes del estato y oto y a la entada y a la salida del paso se deteinan ediante la ecuación de continuidad. Ec 4.1 c = π ρ cd En este análisis, la coponente aial de la velocidad absoluta de la base a la punta del álabe se considea constante en los planos 1, y 3. Los tiángulos de velocidad y sus espectivos ángulos α y β a la entada y salida del estato y del oto se deteinan a pati del adio edio o zona eidional. Sin ebago, los tiángulos de velocidad vaían a lo lago del álabe debido a que la velocidad U está en función del adio, es deci, U <U <U c. Si la longitud adial del álabe es elativaente pequeña (l/ = 1/4 a 1/5), esta vaiación no afecta sensibleente al endiiento de la áquina. En cabio, cuando los álabes de la tubina son elativaente lagos (l/ > 1/4 ) se ecoienda diseñalos con tosión. La figua 4.1 uesta un álabe con tosión. Figua 4.1: Pefil del álabe de la base a la punta Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 91

2 Leyes de tosión Las ecuaciones deducidas en este capítulo peiten obtene los tiángulos de velocidad en cualquie sección del álabe (de la base a la punta), una vez deteinados los tiángulos de velocidad en la zona edia. 4. Ecuación fundaental del diseño de un álabe con tosión (ecuación difeencial del equilibio adial) Dada una tubina de flujo aial puo, la velocidad del fluido a tavés del estato y del oto caece de coponente adial. Esta condición de flujo adial hace que el estado del fluido en cada punto, deteinado po su pesión y voluen específico, cupla con una ecuación denoinada coo la ecuación del equilibio adial. Las leyes pincipales de la tosión siven paa diseña un álabe con tosión. onsideeos el eleento infinitesial d=ρ da d 1 de fluido que ataviesa el paso de una tubina aial (ve figua 4.). En dicho eleento el ancho es igual a la unidad, el lago da es paalelo a la flecha y su altua d tiene diección adial. oo el fluido se ueve aialente, la velocidad absoluta del fluido puede escibise en foa vectoial coo c = c j + c k Figua 4.: Difeencial En la figua 4. se epesentan las fuezas eteioes e ineciales que actúan sobe el eleento difeencial en diección adial. Paa que el oviiento de la patícula o eleento tenga luga en un cilindo coaial, el fluido eteio a la patícula debe ejece sobe las caas infeio y supeio una fueza debida a la pesión cuya esultante esté diigida hacia abajo (fueza centípeta). Po lo tanto: Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 9

3 Leyes de tosión La esultante de fuezas eteioes hacia abajo (fueza centípeta) queda coo Ec. 4. F = ( P + dp) da Pda = dpda centip y la fueza de inecia que es igual a la fueza centifuga (hacia aiba) ó a la asa ultiplicada po la aceleación centífuga queda coo Ec 4.3 F centif = ρ da d eje. La coponente aial no causa fueza centífuga alguna po se paalela al Según el pincipio de D Alebet (la sua de las fuezas eteioes y de inecia es igual a ceo), las ecuaciones 4. y 4.3 se suan y el esultado se iguala a ceo, paa finalente obtene la ecuación difeencial del equilibio adial Ec 4.4 dp ρ = d En esta ecuación se obseva que no puede se ceo dento de la tubina con ecepción de la salida de la tubina. La azón dp/d es ayo a ceo debido a que la pesión del fluido auenta con la distancia al eje de gio Ecuación difeencial del equilibio adial con tabajo constante de la base a la punta Dado un poceso adiabático evesible (dp/=dh) e igualándolo con la ecuación 4.4, se tiene: Ec 4.5 d dh0 = Diseñando el álabe paa tabajo constante de la base a la punta en la diección adial (dw e =0), y consideando a la áquina coo adiabática, se obtiene 1 = = + + = 0 dh + ( d + d ) = 0 dw dh0 dh0 d ( ) Ec Sustituyendo la ecuación 4.6 en 4.5 y eacoodando téinos se obtiene la ecuación difeencial del equilibio adial paa W = cte. de la base a la punta, es deci, 0 Ec 4.7 ( ) d d dh + = d d d Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 93

4 Leyes de tosión 4.. Ley de tobellino libe. Dada la velocidad peiféica del fluido (=ω) y consideando que la ciculación es constante (Γ=π =cte.), entonces el oviiento del fluido se considea coo iotacional o potencial. Es deci, el oviiento del fluido está libe de tobellino. onsideando la ecuación del equilibio adial y el poceso coo libe de tobellino, adiabático evesible con W e =cte. en la diección adial (ve ecuación 4.7), y adeás coo constante a lo lago del álabe, entonces se obtiene a pati de la ecuación 4.7 la Ley de tobellino libe. Ec 4.8 d + = 0 Ec 4.9 d ln + ln = cte Ec 4.10 = cte En este diseño, el pefil de los álabes del oto y del estato no son iguales, y tanto el gado de eacción coo la difeencia de pesiones vaían en función del adio de los álabes del oto. Una vez deducida la Ley de tobellino libe (ecuación 4.10), se pueden deteina los tiángulos de velocidades en cualquie sección del álabe. Las siguientes elaciones basadas en las condiciones de la ecuación 4.10 deteinan el cálculo de los tiángulos de velocidades paa cualquie sección del álabe. Ec 4.11 U = U = = cte = tanα = tan β = U 3 tan β3 = + U = sinα w = sin β 3 3 El subíndice indica valoes en la sección edia del álabe. Las ecuaciones 4.11 se aplican sucesivaente a la entada y salida del álabe. De la ecuación 4.4 se Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 94

5 Leyes de tosión obseva que la pesión disinuye notableente en la base del álabe y po consecuencia el gado de eacción tabién disinuye. Adeás, el ángulo β vaía fueteente de la base a la punta debido a que U auenta y disinuye siultáneaente. Paa el caso del álabe del estato patiendo de la punta a la base, el ángulo β disinuye y la velocidad auenta a su salida. Esto ocasiona que el endiiento local disinuya en la zona ás póia a la base del álabe. Po esta azón, en algunos diseños de pasos povistos de álabes con tosión se coienza po la base patiendo de la condición de que el gado de eacción no sea en esta sección eno de 0.05 a La figua 4.3, uesta un ejeplo de cóo se desaollan los tiángulos de velocidades en la base, sección edia y en la punta de los álabes de un paso. Estos tiángulos son calculados ediante la Piea Ley de la Tosión a pati de los paáetos peviaente calculados en la sección edia del álabe. Figua 4.3: Tiángulos de velocidades según la Ley de Tobellino. El gado de eacción paa este diseño se deteina ediante la siguiente ecuación, la cual está en función de las elaciones de adios, del gado de eacción en la sección edia del álabe y del ángulo α a la salida del álabe estato (o a la entada del álabe oto). = sin 1 Ec 4.1 R ( R ) ( α ) Paa evita que el gado de eacción sea uy bajo en la base del álabe, se pescinde de la condición de tabajo constante y se diseña paa un eno tabajo en la base el álabe. En la figua 4.4 se obsevan las pincipales conclusiones del análisis tidiensional de la Ley de tobellino libe: - Gandes defleiones (ε=β 1 +β ) del fluido en la zona de la aíz del oto. - Gan tosión del oto de aíz a cabeza. El gado de eacción disinuye de la cabeza a la aíz, po lo que hay que copoba que en la aíz no se obtienen eacciones negativas que penalizan el Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 95

6 Leyes de tosión endiiento. Fecuenteente, paa evita este efecto, se coienza el diseño po la aíz haciendo el gado de eacción ceo paa dicho adio. Figua 4.4: Evolución de los ángulos de aíz a cabeza y sus espectivos tiángulos de velocidad. El nueo de Mach elativo M w es áio en la aíz ya que allí es áia w y la velocidad del sonido es ínia, al se ayo el salto de tepeatua a tavés del estato. El nueo de Mach no debe supea en ningún punto el valo apoiado de 0.75, pues coo se estudio en los ensayos de cascadas a pati de este valo epeoa de anea significativa el copotaiento de la coona de álabes Diseño con α constante de la base a la punta del álabe. Paa siplifica el diseño de las tubinas, los álabes en el estato se considean cilíndicos y en el oto se considean con tosión. Paa esta configuación, el ángulo de salida en el estato no vaía a lo lago del álabe. La condición de que α = cte., y en geneal α=cte. paa una sección cualquiea del álabe, conduce a la segunda ley de tosión. En este diseño se sigue suponiendo la eistencia del equilibio adial (ecuación 4.7) y W=cte. a lo lago del álabe. La deducción de la segunda ley de tosión coienza con la siguiente elación tigonoética donde α=cte. Ec 4.13 = tanα Sustituyendo la ecuación 4.13 en la 4.7 y eacoodando téinos se obtiene la ecuación paa esta ley de tosión. Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 96

7 Leyes de tosión dh d d d d d 0 Ec 4.14 = + tanα ( tanα ) Teniendo en cuenta que dh 01 /d=0 lo que iplica que dh 0 /d=0. Deducida la Ley de tosión paa α constante (ecuación 4.14), se puede nuevaente deteina los tiángulos de velocidades en cualquie sección del álabe siepe y cuando se conozcan los valoes en la sección edia. Los tiángulos de velocidades en cada sección del álabe quedan deteinados po las siguientes elaciones. Ec ln + ln = cte sen α sin α sin α = cte = cte Paa obtene la distibución del flujo a la salida del oto es necesaio fija una condición ás de diseño. Lo ás fecuente es utiliza una de las dos siguientes: - Tabajo especifico constante con el adio, con lo que dh 03 /d=0 y se puede calcula 3 y 3 de la isa anea que paa dh 0 /d=0. - Velocidad de salida en diección aial, con lo que α 3 =0. Peo esta opción solo seía factible en el caso en que el pediseño de la tubina nos diea salida aial. En este diseño el inconveniente es que con α = cte., el valo de vaía ucho desde la base a la punta del álabe siendo ayo en la base. Ec 4.16 u = u sin α = sin α = opaando las ecuaciones 4.11 y 4.15, la vaiación de y de los ángulos β de la base a la punta es eno con las ecuaciones on especto al gado de eacción, la vaiación tabién es eno ceca de la base del álabe paa un iso gado de eacción en el diáeto edio, de lo que se concluye que los gados de eacción son ás favoables. Este diseño (con α =cte.) ofece coo ventaja álabes con enos tosión, y po lo tanto, de ás fácil anufactua. Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 97

8 Leyes de tosión 4..4 Análisis tidiensional. Adeás de las copobaciones efeentes a las leyes de tosión aplicadas, Mach elativo y gado de eacción, el acapanaiento de la tubina y la tosión de los álabes povocan que los paáetos geoéticos vaíen tabién de aíz a cabeza tal y coo lo hacen los ángulos, el gado de eacción y los tiángulos de velocidad. La vaiación de estos paáetos viene deteinada po el núeo de álabes de cada coona, ya que este núeo tiene que se un enteo y el cálculo con los paáetos oiginales no es eacto y hay que edondea al valo ás adecuado. Al ecalcula los paáetos geoéticos a la altua del adio edio y copaa con los valoes que se obtienen de la utilización del gafico de la elación paso/cueda óptia de AM, se copueba que efectivaente eiste una difeencia, y se ehacen los cálculos con este valo. Se calcula la elación paso cueda óptia paa los difeentes puntos en los que se evalúan las leyes de tosión a tavés de la gafica de AM con los valoes de los ángulos que se deducen de las leyes de tosión y a la vez con los valoes del nueo de álabes y el adio de cada punto de estudio y de la copaación se deiva que eiste una difeencia que cece de aíz a cabeza del álabe siendo esta difeencia áia en la cabeza. Había que tene especial cuidado con el paso en la aíz ya que difeencias negativas podían lleva a diseños que no se pueden cupli al no pode se ensablada la coona de álabes con el valo obtenido. De los esultados obtenidos de los ejeplos ejecutados se deduce que el valo que se obtiene de la gafica de AM cuple con los equisitos ecánicos que se necesitan paa un diseño coecto de la tubina buscada. Modelado en Matlab del diseño peliina de tubinas de gas de flujo aial Página 98