ESTUDIO ANALÍTICO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA EN TOBERAS SÓNICAS TOROIDALES ISO-9300.

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1 ESTUDIO ANALÍTIO DEL OEFIIENTE DE DESARGA EN TOBERAS SÓNIAS TOROIDALES ISO J. A. ruz My, F. Sánchez Silv, G. Tolentino Eslv, A. Gómez Merco, I. rvjl Mriscl Lbortorio e Ingenierí Térmic e Hiráulic Aplic SEPI-ESIME-IPN-OFAA Av. IPN S/N Eificio 5 3er. Piso México, D.F. Tel. (5) ext Resumen: En el presente trbjo se llev cbo un estuio nlítico el coeficiente e escrg en tobers sónics toroiles iseñs bjo l norm ISO 9300 [], operno en régimen turbulento. El nálisis se enfoc l eterminción e un moelo nlítico e este coeficiente, pr gses itómicos con números e Prntl igul 0.7. El coeficiente e escrg contempl ls correcciones por efectos multiimensionles en el cmpo e veloci el flujo y los esfuerzos viscosos en l región e cp límite que proucen esviciones en l eterminción el flujo másico bjo un enfoque uniimensionl e iel. El moelo obtenio es compro contr correlciones e ISO-9300, tos experimentles y numéricos e Wu-Yn [] y el moelo nlítico e Strtfor [3]. INTRODUIÓN Un grn cnti e elementos e meición e flujo se hn esrrollo con el propósito e ser consieros como referenci primri, pr logrrlo, se hn fbrico ispositivos cuyo esempeño en l práctic se iéntico ls preicciones teórics; en este sentio ls tobers sónics e flujo crítico hn exhibio comportmientos e crácter primrio []. Hoy en í, orgnizciones que promueven l normlizción, como l Interntionl Orgniztion for Stnriztion (ISO) promueven el uso e norms e referenci pr el iseño, construcción, instlción y uso e ls tobers e flujo critico con l finli e ser emples pr l meición e flujo másico e gses []. En icho ocumento se estblece que pr lcnzr ltos estánres e exctitu en l metrologí e flujo por meio e tobers e flujo critico es necesrio eterminr el coeficiente e escrg e l tober, y se por meios nlíticos o numéricos. El coeficiente e escrg es el prámetro más importnte y e más peso en el cmpo e l metrologí e flujo crítico, este coeficiente contempl ls correcciones por efectos multiimensionles en el cmpo e veloci el flujo, los efectos viscosos en l región e cp límite, y los efectos por irreversibili el flujo. Es ecir que toos los efectos que lo lejn e un comportmiento iel están compensos por el coeficiente e escrg. Actulmente existen trbjos que eterminn el coeficiente e escrg en form nlític, unque l grn myorí están orientos hci l estuio bjo cp límite lminr [3,5,6]. El coeficiente e escrg se puee expresr como l relción entre el gsto másico obtenio en form experimentl y el etermino en form teóric, como lo muestr en l siguiente relción. m rel = () miel one m rel es el gsto másico etermino experimentlmente por meio e un ptrón primrio e meición, y m iel es el gsto másico obtenio en form teóric bjo un enfoque uniimensionl y gs iel, se observ entonces que el coeficiente e escrg es un fctor e corrección en el flujo, icho e otr form es un fctor e clibrción e l tober. BASE TEORIA PARA LA DETERMINAIÓN DEL OEFIIENTE DE DESARGA Pr eterminr el coeficiente e escrg el flujo es iviio en os regiones, bjo los siguientes enfoques: onsierno los esfuerzos viscosos. En est región el coeficiente e escrg epene el crecimiento e l cp límite y e su espesor e esplzmiento.

2 onsierno efectos no uniimensionles. En est región el coeficiente e escrg sólo es función e l istorsión el perfil e velocies en el núcleo el flujo ebio l curvtur e l tober. L eterminción el coeficiente e escrg, bjo estos enfoques sigue los linemientos e Strtfor [3] quien expres el coeficiente e escrg e l siguiente form: ( n) = m () Done es el coeficiente e escrg consierno flujo irreversible, rel, y no uniimensionl, el término m represent el coeficiente e escrg consierno flujo no uniimensionl (en reli el flujo prácticmente tiene un comportmiento biimensionl ebio l simetrí e l tober), mientrs que el término n es el coeficiente e escrg bjo esfuerzos viscosos. DETERMINAIÓN DEL OEFIIENTE DE DESARGA EN LA APA LÍMITE TURBULENTA El coeficiente e escrg pr l zon e esfuerzos viscosos puee ser etermino prtir el espesor e esplzmiento e l cp límite, bjo l siguiente consierción: El flujo másico que psrí en un tober en usenci e esfuerzos viscosos es myor l que psrí cuno existe cp límite. Por lo nteriormente comento, l isminución el gsto másico ebio los esfuerzos viscosos, se puee evlur, restno l áre e l grgnt el áre one existen esfuerzos viscosos, es ecir, el áre que ocup el espesor e esplzmiento. Este espesor se efine como l istnci que l fronter sóli tenrí que esplzrse en un flujo pr proucir el éficit e flujo másico por efecto e l cp límite, e est form se tenrí un áre efectiv e pso. El coeficiente e escrg expreso en l ecución (), puee ser socio con el espesor e esplzmiento e l cp límite (δ*), como se expres en l siguiente ecución. δ = m (3) Est ecución sólo expres el coeficiente e escrg ebio los esfuerzos viscosos prtir e un enfoque uniimensionl, rzón por l cul no se encuentr efinio el vlor el primer miembro. Determinción el espesor e esplzmiento e l cp límite turbulent El espesor e esplzmiento e cp límite δ* puee ser etermino prtir el coeficiente e fricción o por Felsch [7]. L ecución e Felsch etermin el coeficiente e fricción superficil bjo régimen turbulento, flujo incompresible y plc pln, por lo que l mism será corregi pr flujo compresible y ecu l geometrí e l tober ( log ) Re f = H i () θ L ecución nterior cuent con os prámetros H i y θ, lo que l convierte en un ecución crcterístic pr flujos con griente e presión. De l ecución () es posible obtener el espesor e esplzmiento δ* por meio e l efinición el coeficiente e form (H). 578 [ M ] x) 356 ( log H ) δ = H ( Re x i (5) El coeficiente e form pr flujo compresible se puee expresr en función e un tempertur e referenci e l pre e l tober y el número e Mch [8], como se muestr continución. H 9 T k = + M 7 To + 7 k M 9 T k 5 T + + T M + To 3 9 To T o } (6) El cociente T /T o es l istribución ril e temperturs en el plno e l grgnt e l tober y es un conición e fronter e l tober que epene el número e Prntl el fluio. Sustituyeno l ecución (6) en l ecución (5), y evluno pr ls coniciones señls continución, se obtiene l ecución (7) pr eterminr el espesor e esplzmiento (δ*). Flujo crítico M= Fctor e form incompresible turbulento: H i =.3 Distribución ril e temperturs (Pr=0.7): T /T o = Relción e clores específicos: k=. 356 δ = Re x (7) x

3 L expresión nterior fue evlu pr fluios con número e Pr igul 0.7 y relción específic e clor igul. (gses itómicos), y que los gses con ests crcterístics son mplimente usos en ejercicios e crcterizción y/o clibrción. Determinción e l longitu equivlente X L ecución (7) puee ser expres en función e un longitu equivlente enomin por X, l cul consier el crecimiento e l cp límite turbulent un rzón e x /5. δ 356 = Rex X (8) L cnti X, es un longitu equivlente l crecimiento e l cp limite un número e Mch constnte igul l número e Mch locl, sobre un istnci x, en l que se lcnzrí el mismo espesor que l cp límite locl. Este prámetro se puee efinir e l siguiente form [9]: X = P PL (9) Done P es un función el griente e presión que epene el número e Mch, y L es un longitu crcterístic e l tober efini como x/. uno no existe griente e presión el vlor e l función P se hce constnte y l longitu equivlente X tom el vlor e l longitu crcterístic L. Pr integrr l ecución (9), es necesrio relcionr l eriv e L con l vrición el número e Mch trvés e l curvtur e l tober. Distribución el número e Mch en l tober Pr obtener un relción entre l longitu crcterístic L y el número e Mch en el interior e l tober, se puee prtir e l relción e áres pr flujo isentrópico, uniimensionl y k=.. L cul es expni por series e Tylor, lreeor e Mch igul uno. A = + ( M ) ( M ) + ( M ) +... (0) A Por otro lo, l relción e áres, tmbién se puee expresr en función e l longitu crcterístic L y el iseño geométrico e l tober, el cul se muestr en l siguiente figur. Fig..5 onfigurción geométric e l tober con rio e curvtur igul bjo norm ISO A = L +.308L + () A Igulno ls relciones e áres e ls ecuciones (0) y (), se puee obtener el vlor e l longitu crcterístic L. 3 L = M.5998M M.5703 () Derivno l expresión nterior se puee obtener un relción entre ls erivs e l longitu crcterístic L y el número e Mch. Derivno L y sustituyeno en l ecución (9), se obtiene el vlor e l longitu equivlente X, l cul result: X = 0.8 (3) El vlor e X es sustituio en l ecución (8), pr obtener finlmente el coeficiente e escrg en función el número e Reynols e l grgnt, bjo coniciones e flujo estrngulo, mostro en l ecución (3). 356 = m Re () Nuevmente se ej en clro que l expresión nterior sólo contempl el coeficiente e escrg por esfuerzos viscosos el fluio, por lo que el primer miembro e ests ecución no se encuentr efinio. DETERMINAIÓN DEL OEFIIENTE DE DESARGA PARA FLUJO NO VISOSO 3 o 3 o En el núcleo el flujo los efectos viscosos no son significtivos, por lo que el flujo puee ser trto como irrotcionl, en est zon existe flujo no uniimensionl ebio ls fuerzs centrífugs cres por l contrcción e l tober. L existenci e un griente e presión en l grgnt prouce un fuerz igul y opuest l fuerz centrífug en c elemento e volumen e flujo pr mntener coniciones estcionris. El coeficiente e escrg en est zon es función el

4 comportmiento no uniimensionl el flujo. Pr eterminr este coeficiente se plic l segun ley e Neton sobre un prtícul e fluio trvés el eje norml, l cul concluye con l eucción e l ecución e Euler, est expresión represent el griente e presiones trvés e l irección ril e l tober pr flujo no viscoso. P ρ v = (5) Y R Done Y es l istnci el eje e l tober culquier punto en el flujo, mientrs que R es el rio e curvtur con respecto lgún punto e referenci fuer e l tober. El rio e curvtur es inversmente proporcionl l curvtur e l tober, l cul se puee enominr por κ, consierno que l curvtur es proporcionl l istnci Y, (es ecir κ Y), y que puee incrementrse linelmente ese un vlor e cero en el eje hst un vlor finl en l pre e l tober, se puee estblecer l siguiente relción: κ = κ Y Y. Done el subínice inic l pre e l tober. Por otro lo el cociente Y/Y se puee expresr meinte un vrible imensionl o e referenci, e l siguiente form: Y = Y Y. L istnci Y es l istnci el eje e l tober l pre e l mism, si l tención es limit l plno e l grgnt, el vlor e Y correspone l mit el iámetro e l grgnt. Tomno en cuent ls consierciones nteriores l ecución (5) es integr en el plno e l grgnt e l tober, one hipotéticmente M es igul, por lo que el término ρv será expreso y evluo pr M igul. ( v ) [ Y Y ] P P = ρ M= (6) 8 Por otro lo el griente e presión e l expresión nterior se puee relcionr con el número e Mch por meio e l relción e áres e l tober expni por series e Tylor lreeor e M=, por l ecución (0), est ecución es relcion con el griente e presiones mostro en l ecución (6) meinte l iferencición e l ecución (7), l cul relcion el griente e presiones con el número e Mch, como se muestr en l ecución (8). ( + 0. ) 3. 5 P P o = M (7) ( P P ) M = 6 7 P (8) Sustituyeno el griente e presiones expreso en l ecución (6) en l relción nterior, se obtiene l siguiente expresión: ( v P) ( r)( Y ) M = 6 ρ Y 8 M = (9) El término (ρv /P) M= es igul l relción e clores específicos k cuno el flujo es consiero iel y se encuentr en l conición critic. Por otro lo el rio e curvtur pr l tober en estuio es igul os veces el iámetro e l grgnt (r=). Bjo l conición e gs iel y tomno un vlor e (k=.), l ecución (9) tom l siguiente form, l cul se le esignrá por l letr β: ( Y ) β = M = 5 Y (0) Est expresión es sustitui en l relción e áres por l ecución (0) pr evlur el cmbio e ls propiees termoinámics el fluio en función e l relción e áres. A = + [ β ] [ β ] +... () A* 6 5 Por otro lo, tmbién se puee estblecer l relción e áres en función e iferenciles e áre lreeor el plno e l grgnt e l tober, como lo muestr l siguiente ecución: π Y = () π t Y t En l expresión nterior, el término represent l áre consierno un enfoque no uniimensionl el flujo; por otro lo, el término áre bjo un enfoque uniimensionl, mientrs que Y es l istnci ril entre el eje e simetrí y l pre e l tober. Est expresión puee expresrse en función e un istnci ril imensionl Y y el iámetro e l grgnt t Y = Y t (3) Ls relciones e áres express en ls ecuciones () y (3) pueen ser iguls en l vecin e l grgnt y grups e l siguiente form pr fcilitr su mnejo: Y π π t Y 3 [ β ] [ β ] + [ β ] = ()

5 El fctor común en l igul nterior es el prámetro Y el cul es l únic vrible, y que los emás fctores permnecen constntes pr M=. L expresión nterior puee ser integr con respecto Y. Pr fcilitr l integrción, se reliz un expnsión en series e Tylor lreeor e Y = Y. π Y t (5) = Y Y... π El numeror el lo izquiero e est expresión represent el áre e l grgnt bjo un enfoque no uniimensionl, mientrs que el enominor represent un hipotétic áre uniimensionl, por lo tnto este cociente represent el error l consierr flujo uniimensionl en el interior e l tober, icho e otr form, este cociente es igul l coeficiente e escrg ebio l curvtur el flujo bjo un enfoque biimensionl pr un flujo no viscoso. El vlor el coeficiente Y que represent l posición en l grgnt l cul l veloci es sónic, puee ser etermino prtir e l consierción e que el áre evlu pr este prámetro es menor en comprción con el áre uniimensionl en l mism grgnt, por lo que el coeficiente e escrg tiene un máximo con respecto l vrición e Y en el plno e l grgnt e l tober. L expresión nterior es eriv con respecto Y e igul cero pr Y = eterminr un máximo e este vlor ( ) RESULTADOS. El coeficiente e escrg por efectos biimensionles el flujo, es obtenio meinte l sustitución e Y en l serie mostr en l ecución (5), no como resulto un vlor e pr los primeros cien términos e l serie. Sustituyeno este vlor en l ecución (), se obtiene el siguiente moelo nlítico pr eterminr el coeficiente e escrg. 356 = Re (6) A continución se muestr en form grfic en l figur, l comprción entre el coeficiente e escrg propuesto en l ecución (6) pr iferentes números e Reynols y los obtenios en form experimentl y numéric por Wu-Yn [], sí como los eterminos prtir e l correlción e Strtfor [3], y l correlción experimentl sugeri por l norm ISO omprción e NRe x 0-5 experimentl numérico ISO-9300 propuesto Fig. ONLUSIONES Strtfor urv e comprción e coeficientes e escrg. Este métoo e cálculo es plicble únicmente coniciones e flujo pr ls cules l trnsición e flujo lminr turbulento ocurre corts istncis corriente rrib e l entr e l tober por lo que l cp límite puee ser trt como turbulent en su totli. Por otr prte se hn ientifico os principles fctores que impctn irectmente sobre el coeficiente e escrg: L cumulción e cp límite lo lrgo e ls prees e l tober ebio los efectos viscosos el gs rel. L vrición e l presión en l irección ril ebio ls fuerzs centrífugs ls cules existen en el gs como resulto e l contrcción e l tober. El coeficiente e escrg bjo esfuerzos viscosos consier un griente e temperturs en l cp límite pr números e Pr igul 0.7, y que l myorí e los gses que se cuntificn por meio e tobers sónics tienen este vlor.

6 El coeficiente e escrg pr flujo no viscoso fue etermino fuer e l cp límite, es ecir, fuer e l interferenci e esfuerzos viscosos, por lo que es correcto mnejr l eterminción e este coeficiente bjo un enfoque e flujo irrotcionl. Sin embrgo urnte el esrrollo e los cálculos tmbién estuvo inmers l consierción e gs iel, nte est situción l relción e clores específicos k fue igul con el cociente (ρv /P) M=. Pr gs no iel como es el cso e los fluios que se mnejn con tobers sónics est igul no se cumple, por lo que se sugiere eterminr el cociente (ρv /P) M= en form numéric o experimentl. Por otro lo l relción e áres expres por l ecución (0) fue etermin bjo un enfoque e gs iel y uniimensionl por lo que se sugiere se etermin en form numéric bjo un cmpo e flujo biimensionl, consierno que l tober tiene un configurción perfectmente simétric. Ls consierciones nteriores permitirán eterminr el coeficiente e escrg con myor exctitu, lo que permitirá crcterizr el coeficiente e escrg con grn precisión. Nomencltur: A, áre coeficiente e escrg. iámetro e l grgnt e l tober H i fctor e form pr plc pln y flujo incompressible (H=δ*/θ) H c fctor e form en l sección convergente e l tober (flujo compresible) k relción especific e clores M no. e Mch L istnci equivlente referi l iámetro e l grgnt (x/) p presión estátic. P prámetro efinio en l ecución (0) P r número e Prntl r rio e curvtur e l tober. Re número e Reynols bso en el iámetro e l grgnt. Re θ número e Reynols bso en el espesor e momentum e l cp límite. Re x número e Reynols bso l longitu xil x e l plc v veloci el flujo. X istnci equivlente efini en l ecución (0) x cooren xil Y cooren ril δ* espesor e esplzmiento e l cp límite θ espesor e momentum e l cp límite ρ ensi el ire subínices t vlores en l grgnt e l tober superínices * coniciones critics el flujo REFERENIAS [] Mesurement of flui flo in close conuits, Section.3 Metho of mesurement of gs flo by mens of criticl flo venturi nozzles, ISO 9300, 990. [] Guobin Wu., Shn Yn, 988. The clcultion of the ischrge coefficient of criticl venturi nozzles using the finite element metho, Est hin of Technology, Shngi, hin. Technicl Report. [3] B. S. Strtfor., The clcultion of the ischrge coefficient of profile choke nozzles n optimum profile for bsolute ir flo mesurement. Journl of the Royl Aeronutic Society., vol 68, 96 [] A. N. Johnson, Numericl chrcteriztion of the ischrge coefficient in criticl nozzles" Ph.D. Disserttion, Pennsylvni Stte Univ., ollege Sttion, PA, 000. [5] A. N. Johnson, G.E. Mttingly 989, Numericl chrcteriztion of the ischrge coefficient in criticl nozzles, Ntionl institute stnrs n technology Githerburg, Mryln 0899, pper technicl. [6] Ishibshi, M., n Tkmoto, M., 977. Very Accurte Anlyticl lcultion of the ischrge oefficients of riticl Venturi Nozzles ith Lminr Bounry Lyer, Proceeing of the 997 ASME Fluis Engineering Division Summer Meeting, Vncouver, British olumbi, n, June -6. [7] Tuncer ebeci, n M. O. Smith, Anlysis of Turbulent Bounry Lyer, Acemic Press, Lonon 97. [8] U. G. Pirumov., Gs Flo in Nozzles., Springer Verlg, 986. [9] B. S. Strtfor., The clcultion of the compressible turbulent bounry lyer in rbitrry pressure grient correltion of certin previous methos. Technicl Report no. 307, Aeronuticl Reserch ouncil Reports n Memornum, Lonon, 96.