A partir de la función de distribución se puede obtener la función densidad de probabilidad, es decir:

Transcripción

1 CURSO: - TEMA 4: La moraia como fenómeno coninuo. Variabe aeaoria ea e muere. Función e isribución y función e ensia. Reación enre as probabiiaes básicas para una cabeza y a variabe aeaoria ea e muere. Tano insanáneo e moraia. Tanos anua y cenra e moraia. Esperanza e via y via probabe. Generaización e probabiiaes e supervivencia y moraia para os o más cabezas. Disribuciones conjunas. En os fenómenos bioméricos, como en muchos oros fenómenos a consieración e moeos que impiquen o supongan a coninuia suee ofrecer una riqueza muy superior en as presaciones e as herramienas anaíicas, por o que es, a menuo, muy recomenabe su consieración. A margen e eso, a magniu funamena que esá asociaa a a biomería acuaria es e iempo cuya nauraeza suee omarse por inrínsecamene coninua en a mayoría e os coneos cieníficos. Por eo a variabe biomérica funamena a ea e faecimieno puee consierarse una variabe aeaoria coninua que omaría vaores reaes posiivos. Designaremos por X a a variabe aeaoria coninua ea e faecimieno : X[,[. Cuano se consiera que a via humana no puee sobrepasar, e hecho, una ciera ea máima, amaa infinio acuaria y esignaa por, o epresaremos como: X[, [ También consieraremos, en ocasiones a variabe T()=(X-) via resiua a a ea Obviamene efinia para vaores e T() [, - [ Obviamene a función e isribución e a ea e faecimieno venrá aa por F()= P(X ) que gozará e as propieaes habiuaes e oa función e isribución: F()= F()= o bien F()= F es no ecreciene y coninua por a erecha. A parir e a función e isribución se puee obener a función ensia e probabiia, es ecir: F() f() F'(), puiénose, por ano, recurrir inisinamene a una u ora para obener as iferenes probabiiaes. Así, por ejempo, a probabiia e que un iniviuo faezca enre a ea y + se poría obener a parir e: P( < X +) = P(X +) - P(X ) = F(+) - F() P ( X ) f( yy ) F ( ) F ( ) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

2 CURSO: - o, para vaores pequeños e, ambién meiane: P( < X +) = f() + O(), es ecir, a probabiia e faecer enre a ea y + es igua a vaor e a ensia e probabiia e faecimieno en e puno muipicaa por a ongiu e inervao,, más un infiniésimo e, O(), e oren superior; es ecir, O() verifica que im O()/ =. Por ora pare a isribución e a variabe T() via resiua a a ea será a que su función e isribución a a que enoaremos por G, para isinguira, epenerá e vaor e y venrá aa por a siguiene probabiia conicionaa: G () P( X ) ( X ) (Ya que a mera eisencia e via resiua a ciera ea,, presupone que a ea e a muere es superior a.) P ( X ) F( ) F( ) G () P( X ) ( X ) PX ( ) F ( ) para < < o bien < <. La función e ensia venrá aa por su erivaa: f( ) g() G () F( ) Función e supervivencia: Ora forma e consierar a cuesión e a via e sujeo asegurao es rabajar con su función e supervivencia efinia como a probabiia e acanzar ciera ea,, y por o ano que a ea e a muere sea superior a : S ( ) PX ( ) F ( ) Es fáci comprobar que: S()= S()= o S()= S es no creciene ( habiuamene ecreciene) y coninua por a erecha EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

3 CURSO: - Reación enre as probabiiaes básicas para una cabeza y a variabe aeaoria ea e muere. La probabiia empora e faecimieno e un iniviuo e ea a a ea +h venrá aa por: P ( X h) F ( h) F ( ) hq P(( X h) ( X )) PX ( ) F ( ) Ya que a esar habano e un iniviuo e ea esamos eigieno a conición e que X > Hay que hacer noar que os vaores que oma a función e isribución e a variabe via resiua no son ora cosa que os vaores corresponienes e a probabiia empora e faecimieno: G () P( X ) ( X ) q Por ora pare, a probabiia empora e supervivencia e un iniviuo e ea hasa a ea +h venrá aa por: PX ( h) F ( h) S ( h) hp P(( X h) ( X )) PX ( ) F ( ) S ( ) Es fáci arse cuena e que a probabiia empora e supervivencia e un recién nacio coincie con a función e supervivencia. Aunque as probabiia emporaes e faecimieno y supervivencia esán efinias para cuaquier períoo h, son frecuenes as e perioo un año eaco, (h=), que se corresponerían con q y p Por ora pare se puee obener una reación enre as probabiiaes emporaes (faecimieno o supervivencia) para un perioo enero e años y as probabiiaes emporaes e (faecimieno o supervivencia) en un año: Si consieramos n, un número enero (años eneros) enremos: Para a supervivencia: n p PX ( n) PX ( n) PX ( n) PX ( )... P( X ) P( X n) P( X n) P( X ) p p. p... p p n n i i n Es ecir: a probabiia e sobrevivir un número enero e años a a ea es e prouco e as probabiiaes e sobrevivir un año más a as eaes, +, +,, n-. En e siguiene iagrama se iusra un ejempo en e que poemos ver como probabiia e sobrevivir 3 años ese os 3 que coincie con e prouco e as probabiiaes e sobrevivir un año a os 3, a os 3 y a os 3. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 3e

4 CURSO: - E resuao para a probabiia e supervivencia e años eneros se puee generaizar en o que se conoce como propiea e escinibiia: Para cuaesquiera k y h, no necesariamene eneros, con k < h,se cumpe que hp k p. hk pk La prueba es simiar a a anerior: PX ( h ) PX ( k ) ( ). PX p h p. p PX ( ) PX ( ) PX ( k) h k h k k Sin embargo no ocurrirá igua para as probabiiaes e faecimieno. Supueso e caso e k < h como anes a reación será : (*) P( X h) P( X k) P( k X h) hq PX ( ) PX ( ) P( X k) PX ( k) P( k X h). PX ( ) P( X ) PX ( k) q q p. q h k k ( hk) ( k) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 4e

5 CURSO: - La probabiia iferia e faecimieno es a e un suceso que supone a supervivencia empora hasa un iempo y a muere poserior en oro perioo: La probabiia iferia m años y empora n años a a ea : consisirá en a probabiia e que un iniviuo e ea sobreviva hasa +m y muera enre +m y +m+n P ( m X mn) m/ nq PX ( ) Se cumpen as siguiene reaciones: F( m n) F( m) S( m) S( m n - m/ nq ) F( ) S( ) P( m X mn) P ( m) P( m X mn) m/ nq - PX ( ) PX ( ) P ( m) q p. q m/ n m n m 3- / q q q se euce e a anerior y e (*) m n mn m q q q ( p ) ( p ) m 4- / n mn m mn m m/ nq mp mn p Un caso paricuar imporane es aqué en e que n= es ecir a probabiia e faecimieno iferia m años y empora año: Se suee simboizar por: m/q También poemos consierar e número e supervivienes en caa ea como un coninuo, o que supone una eensión e eemeno iscreo que aparece en as abas e moraia. Para eo, se efine a enominaa función e supervivivienes, o función e cohore () ambién enominaa, a igua que S(), función e supervivencia ao que ()= S(), como una apicación e [,[,o bien e [,] en os números reaes que, para caa vaor e inervao, proporciona e número e iniviuos sobrevivienes a a ea proceenes e una cohore inicia e nacios en un mismo insane ()=. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 5e

6 CURSO: - Esa función es no creciene (usuamene ecreciene), en cero oma un vaor igua a amaño inicia e a cohore y verifica que () = ao que ningún iniviuo sobrevive a a ea. La función () proporcionará para os vaores eneros e as caniaes e supervivienes a caa ea que aparecen en a aba e moraia e coecivo asociao, es ecir, () = para =,,,3,... Su perfi será semejane a ese: La función () es, en reaia, e vaor esperao en e momeno e proceso esocásico Cohore superviviene : en efeco, consieremos un momeno cuaquiera e iempo acuaria, y consieremos a variabe aeaoria X = ea e faecimieno cuya función e isribución es F() y cuya función e supervivencia es S(). Parieno e una cohore inicia e iniviuos. Lamaremos L() a número e esos iniviuos que han sobrevivio hasa e momeno, Obviamene L() es una cania inciera, una variabe aeaoria. Recoremos que a probabiia e que un iniviuo e a cohore sobreviva un iempo es precisamene S() y que consieramos enre as hipóesis bioméricas básicas a inepenencia e comporamieno aeaorio e oos os iniviuos, e moo que, obviamene, a isribución e L() será una binomia : L()B(, S()) e moo que: ()= E(L())=.S() EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 6e

7 CURSO: - Tano insanáneo e moraia E ano insanáneo e moraia,, es una meia e a fuerza o inensia e a moraia a a ea, para os iniviuos que han acanzao esa ea. Su efinición forma sería: q im Desarroano a efinición enremos: q P( X ) P( X ) im im P( X ) F( ) F( ) F( ) F( ) im im F( ) ( F( )) S'( ). f( ) n( S( )) ( F( )) S( ) Por ejempo: Supongamos que a variabe X ea e faecimieno iene una función e isribución:. F( ) e Lo que supone que su función e ensia y su función e supervivencia serán:.. ( ) '( ). f F e S( ) F( ) e Y por o ano e ano insanáneo e moraia venrá ao por:. f( ).e ( ).. F( ) ( e ). S'( ).e ( ).. S ( ) e ( ) n( S ( )) (. ). Eo quiere ecir que, por ejempo, para una ea e 4 años e ano insanáneo e moraia será e e.8. Lo que hay que inerprear como que a probabiia empora e muere ( q 4 ) arranca a esa ea con una peniene e.8 ( arranca crecieno un 8 por mi anua) E ano insanáneo no ebe confunirse, con a probabiia e faecimieno anua, ni con su erivaa: q F( ) F( ) F( ).( ). F( ) F( ) e ( e ) en e ejempo q. F( ) e..( ).... e e e ( e. e. e ) e.. e e.( ) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 7e

8 CURSO: - Y su erivaa:.( ).( ) ( q e ).. e Que son epresiones bien isinas que arrojarán resuaos numéricos bien iferenes: Para 4 años, a probabiia empora omaría e vaor: q 4 =.87 y su erivaa.6-6 Tampoco ebe confunirse con a erivaa en e a probabiia empora e faecimieno a nacer ( erivaa e q ) q, es e hecho, F() y su erivaa f() cosas bien isinas e. En e ejempo que hemos consierao enríamos:.( ).. q.. e q f( ).e EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 8e

9 CURSO: - RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES BIOMÉTRICAS f() F() S() () () f() F () -S () ( ). e ( y) y '( ) F() f ( yy ) -S() e ( ) ( y) y S() () () f ( yy ) f ( ) f ( yy ) F '( ) F( ).( f( y) y) -F() e S'( ) n S( S ( ) ( y) y.( F ( )). S( ) e ( y) y. ( ) '( ) n ( ) ( ) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 9e

10 CURSO: - Defunciones : La función h ará cuena e as efunciones en a cohore en e perioo e a +h : h =()-(+h) Como e ano insanáneo e moraia es : '( ) n ( ) ( ) Poemos poner as efunciones en función e ano insanáneo e moraia como: h h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( h) ( ) h h Y para as efunciones anuaes (h=, que se suprime en a noación): ( ) ( ) ( ) ( ) Tanos anua y cenra e moraia. Tano e supervivencia y Tano e moraia Las probabiiaes emporaes e supervivencia y e faecimieno pueen epresarse en función e a cohore (función e supervivienes (). Cuano se hace así habamos e ano e supervivencia o e moraia en a meia en que se epresan aes probabiiaes como anos o frecuencias reaivas ( ) p ano e supervivencia ( ) ( ) ( ) q ano e moraia ( ) ( ) Si consieramos una emporaia anua habaríamos e ano anua e supervivencia y e moraia: p q ( ) = ano anua e supervivencia ( ) ( ) ( ) = ano anua e moraia ( ) ( ) Tano cenra e moraia m Sin embargo no se observa irecamene, por o que se ebe recurrir a esimaro a parir e a información isponibe o que rae imporanes probemas Por oro ao, es mucho más fáci conocer e número e personas que en un momeno ao ienen una ea (es ecir, una ea enre años y + años menos un insane: e vaor e a cohore e ea ), L, que egar a conocer, e número e personas que sobreviven años a parir e una cohore inicia. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

11 CURSO: - Por eo se efine una magniu, que se enoa meiane ano cenra e moraia y se represena por m, que reaciona e número e iniviuos faecios a ea,, con e número e iniviuos vivos en icha ea que oavía no han acanzao a ea siguiene, L. Es ecir: m L L enoa e número e iniviuos que viven en un momeno ao con ea que se suee enominar como función censa e supervivencia y se ienifica con e promeio e iniviuos vivos a o argo e a ea, y obeece a a epresión: L ( ) En efeco, L se puee inerprear como a suma infinia e oos os iniviuos que ienen en un momeno ao una ea enre y + para oas as eaes, consieraas infiniésimo a infiniésimo, que componen e año. Es ecir, e número e iniviuos que poseeores e a ea oavía no han acanzao a ea siguiene; número que, aemás verifica, amiieno un grupo emográfico cerrao, a reación L, ebio a que oos os iniviuos que han acanzano en un momeno a ea + necesariamene han ebio acanzar previamene a ea. Aernaivamene, L se puee conempar como e número oa e años que viven, en e ranscurso e un año, un coecivo e supervivienes e ea,. Veamos: cuaquier iniviuo una vez ha acanzao a ea eaca esá epueso, a o argo e un año, a que e ocurran una e os posibiiaes: a) que acance con via a ea +, o, b) que faezca anes e cumpir a ea. La primera e as posibiiaes aconece eacamene a + iniviuos, mienras a seguna ocurre a sujeos, caa uno e os cuaes, no obsane, anes e faecer habrá vivio una ciera cania e iempo que epene e a inensia o fuerza con que acúe a moraia enre as eaes y +, o equivaenemene, e a isribución e faecios a o argo e año. En concreo, si se amie que os faecios se isribuyen uniformemene, se enría que en un subinervao e año faecerían eacamene iniviuos, por o que e número e sujeos que acanzan eacamene a ea + sería (+) = -, e forma que susiuyeno se enría, uiizano que + = -, a reación: L ( ) ( ), que inica que, bajo hipóesis e isribución uniforme, caa uno e os faecios ha vivio por érmino meio urane meio año. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

12 CURSO: - EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e En genera, sin embargo, e número e iniviuos que acanzan a ea + es (+) = -, por o que se verifica: ) ( ) ( ) ( L es ecir, que por érmino meio caa iniviuo faecio enre a ea y + ha vivio ) ( años.

13 CURSO: - No obsane, si se acepa a hipóesis e uniformia para os faecios a o argo e año es posibe enconrar una epresión manejabe que reaciona os anos anua y cenra e moraia. En efeco, bajo a hipóesis se ha viso que se verifica que L = - /, e one: / q q m m, L q q Y, por ano, espejano q se iene que: m q m Y e aquí se eriva: m p m Epresiones que permien epresar as probabiiaes e muere y supervivencia en función e ano cenra e moraia. E ano cenra e moraia poría generaizarse para cuaquier inervao empora, ampiano a efinición e a función censa e supervivencia como: L ( ), y e efinir e ano cenra e moraia e períoo meiane: m, L en a prácica no se uiiza ebio a que, por una pare, si no se amiiese hipóesis e isribución uniforme e efunciones enre as eaes y + aparecerían epresiones eremaamene compejas y, por ora pare, a o poco reaisa que sería acepar a hipóesis para inervaos superiores a año. Esperanza e via y via probabe. La via resiua T()= X- es, como ya se ha icho, una variabe aeaoria que nos inica a via que e resa a un iniviuo e ea. Obviamene e vaor e esa variabe se reaciona irecamene con as primas que resan por cobrar o con as compensaciones que habrá que abonar en un seguro e via o e supervivencia. La esperanza e esa variabe es o que se conoce como esperanza e via a a ea : e E( T( )). g ( ) Recoremos que a función e ensia e a via resiua era: f ( ) g() G () F( ) La probabiia empora e supervivencia P( X ) F( ) S( ) p P(( X ) ( X )) PX ( ) F ( ) S ( ) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 3e

14 CURSO: - Y e ano insanáneo e moraia: f ( ) ( ) F ( ) Con o que: f( ) F( ) f( ) e E( T( )). g ( ).. F( ) F( ) F( ) p ( ) Por oro ao enemos que: ( ) ( ) p y ambién que: ( ) ( ) ( ) Con o que a esperanza e via queará: ( ) ( ) e E( T( )) ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) resovieno por pares ( ) ( ) u u v ( ) v ( ) ( ) ( ).( ) = ( ) ( ) ( ) (ya que e primer sumano se anua) e p Es ecir, a esperanza e via en se puee conempar como a suma e as infinias probabiiaes emporaes e supervivencia ese a ea acua hasa e infinio acuaria. Aernaivamene, si no apicamos a úima ransformación y consieramos a amaa cania e eisencia,t, número e años que vivirá en oa a cohore e ea : T ( ) La esperanza e via queará como: e T ( ) Eso es: a cania e eisencia a a ea por e amaño e a cohore e esa ea: Es ecir os años que es quea por vivir a a cohore e ea, reparios iguaiariamene enre oos sus efecivos. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 4e

15 CURSO: - Obviamene, si e vaor e es enero a inegra poría iguaarse a un número iscreo e sumanos e inegraes ano finamene como resuao: T ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) L L... L L k k En agunas ocasiones, ane un seguro e jubiación, por ejempo, puee ineresar cacuar a esperanza e via a una ea iferia un iempo ( hasa a jubiación por ejempo): T ( ) T / e e p ( ) ( ) ( ) En oras puee ineresar conocer a esperanza e via empora (si e seguro va a cubrir una ciera compensación hasa, por ejempo, a jubiación).se raa, en efiniiva e conocer e número esperao e años que vivirá un sujeo e ea en os próimos y venría ao por e número oa e años vivios enre y + por a oaia e a cohore iviios iguaiariamene enre oos sus efecivos: T T e e / e ( ) Por úimo puee resuar e inerés conocer una combinación e ambas: a esperanza e via iferia empora, o esperanza e via mia. En esos caso se enrá inerés en conocer e número e años que en promeio vivirá un sujeo e ea enre os años +n y +n+. Uiizano e mismo razonamieno por anaogía será e cociene enre a cania e años vivios enre esas os eaes ( +n y +n+) y e número e iniviuos e ea : Tn Tn n/ e n/ e n / ( ) e Muipicano y iviieno a epresión anerior por (+) enremos a epresión equivaene: Tn Tn ( n) Tn Tn n/ e np. e n ( ) ( ) ( n) Es ecir que a esperanza e via mia o esperanza e via a a ea iferia n años y empora años será igua a a probabiia e supervivencia empora n años a a ea por a esperanza e via empora años a a ea +n : n/ e np. e n EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 5e

16 CURSO: - Esperanza abreviaa e via. En a prácica, es poco habiua que se isponga e información compea acerca e a función (), o habiua es que sóo se conozcan os vaores e os supervivienes e a cohore para años eneros y que sea a parir e esa información como haya que aproimarse a vaorar os años que cabe esperar que e resen e via a un asegurao. Consieremos a siuación: A parir e un efecivo e iniviuos a a ea (enera), e eos vivirán un año compeo: +.Es ecir, urane e primer año, e número e años compeos que vivirán ( enre oos) será: +.Para e seguno año enremos que e número e personas que habrán vivio un año más será e +. Lo que suponrá que e número e años compeos e via que habrá que añair a a coecivia será e +. Y así sucesivamene hasa egar a a ea e a einción e a cohore. Es ecir que e grupo inicia e iniviuos habrá vivio un número oa e años compeos e: Y ese ese razonamieno egamos a que e número meio e años e viva compeos vivios por e grupo inicia e supervivenes a a a ea ( ) será, a amaa esperanza abreviaa e via o via meia abreviaa, e. e i i Que ambién puee epresarse en función e as probabiiaes emporaes e supervivencia como: e p i i p ya que : Sin embargo a esperanza e via así eerminaa esá presuponieno que a isribución e as efunciones a o argo e año es e hecho e un nauraeza muy poco reaisa: suponemos que oos os faecimieno se proucen a inicio e caa año, ya que sóo os años eneros son suscepibes e ser escenario e fenómenos bioméricos según esa manera e proceer. Si asumimos, en cambio, una isribución uniforme, a o argo e año, e as efunciones, basane más reaisa, aunque ambién sea iscuibe es fáci egar a a reación enre a esperanza cacuaa según e crierio anerior, e, y a esperanza e via como que ésa ebería ser, en a supueso ½ más a esperanza e via abreviaa. Siguieno ese esquema argumenaivo es como se suee obener en a prácica e vaor e a esperanza e via en as esaísicas oficiaes: Ese vaor (esperanza e via bajo e supueso e uniformia), cacuao a parir e a esperanza abreviaa e via recibe e nombre e via meia compea o esperanza compea e via, e : e e p i i EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 6e

17 CURSO: - En cuano a as esperanzas e via (abreviaa y compea) emporaes, iferias y mias porán ser efinias e manera anáoga. Ocurrieno ambién que as esperanzas e via compeas (emporaes, iferias y mias) coinciirán con a esperanza e via en e supueso e uniformia: En e siguiene cuaro se resumen oas esas posibiiaes: Esperanza e via abreviaa e i p i empora iferia mia e e p e e / e e p. e /. / e e e e p e Esperanza e via compea Esperanza e via e e / T e ( ) e e p / e e / e e p. e e e / e e p. e e e p e e / e e p. e /. e e e e p e Via probabe es oro inicaor e número e años e via que e resan aproimaamene a un iniviuo e ea. Se a ea a a que se iguaan as probabiiaes e sobrevivir y e faecer e un iniviuo e ea : Es e vaor e que cumpe que : p = q =.5. Es por o ano a meiana e a isribución e probabiia e a variabe via resiua T()= X-. Equivaenemene a via probabe V se puee ver como e iempo necesario para que a cohore () piera a mia e sus iniviuos: (+v)=()/ EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 7e

18 CURSO: - Generaización e probabiiaes e supervivencia y moraia para os o más cabezas. Disribuciones conjunas. Las probabiiaes emporaes e faecimieno y supervivencia para os o más cabezas [] [] [] [] p q q p p q, p q q p p p q p, ec y y y y y y yz yz yz yz yz yz yz yz se comporarán e manera anáoga a caso iscreo ya esuiao siempre que sigamos manenieno a hipóesis e inepenencia, si bien aquí os vaores e inervao empora consierao no ienen porque ser años eneros. En efiniiva se porán obener recurrieno a as probabiiaes iniviuaes y ésas acabaran puiénose cacuar para cuaquier vaor e en función e as funciones bioméricas. Sin embargo como en e caso e consierar e iempo biomérico como una variabe coninua nos aparecen funciones bioméricas nuevas ebemos esuiar su comporamieno en e caso e conar con más e una cabeza. Anaizaremos e comporamieno e ano insanáneo e faecimieno y e a esperanza e via y su reación con as probabiiaes para os o más cabezas y para eo esuiaremos primero a amaa via resiua conjuna e un grupo e varias cabezas: Via resiua conjuna: Lamaremos via resiua conjuna a a variabe aeaoria << iempo que permanecerá e grupo hasa su isoución>>. Daa una pareja e eaes,y a via resiua conjuna será: T(,y), (Abreviaamene, T y ) ; ao un grupo e m iniviuos T(,,, m ) o T,,,. m La reación enre a via resiua conjuna y as vias resiuaes iniviuaes es sencia porque e grupo se isueve cuano faece e primer iniviuo por o ano: T(,y)= min (T(),T(y)) o bien para m : T(,,, m )= min (T( ),T( ), T( m )) Función e isribución e a via resiua conjuna: FT () P( T ) y y qy py Pueso que q y es a probabiia e que e grupo se isueva en un iempo inferior o igua a y por ano a probabiia e que a minima e as vias resiuaes sea inferior o igua a. Y, ambién enemos que: T, F () P( T ) P min T( ), T( y) P min T( ), T( y) S () Ty y En one a función S T,y () es a función e supervivencia asociaa a mínimo e as variabes T() y T(y). que no ebe confunirse con a f.e supervivencia conjuna. Reomano a primera epresión y consierano que a conición para e mínimo e T(), T(y) es equivaene a suceso O bien T() o bien T(y) y operano con os eoremas básicos e cácuo e probabiiaes e sucesos, enremos: y EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 8e

19 CURSO: - F () PT ( ) P min T( ), T( y) P ( T( ) ) ( T( y) ) T y y PT ( ( ) ) PT ( ( y) ) P ( T( ) ) ( T( y) ) q q q y y Y como por ora ao eníamos que F Ty ()= q y, enremos que : qy q qy qy Función e ensia e a via resiua conjuna a poremos obener erivano a F. e isribución: ft () F ().. y T y py p py p py p py ft ().. y py p Ahora bien a erivaa e ano e supervivencia ( e caa cabeza) puee reescribirse en función e ano insanáneo e moraia ( e caa cabeza): p p. ( ) py py. ( y) De forma que, susiuyeno: ft ().. ( ).. ( ) y p py y py p f () p. ( ) ( y) Ty y Puee probarse que bajo e supueso e inepenencia, que siempre esamos consierano e amao ano insanáneo e moraia conjuna es igua a a suma e os anos insanáneos e moraia iniviuaes, eso es: qy ( y, ) im ( ) ( y) Como, por un ao: f () p. ( ) ( y) Ty y Y por oro: py FT y ( ) Susiuyeno, enremos que : (, y) ( ) ( y). ft ( ) y ( F ( )) Ty EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo 9e

20 CURSO: - E ano insanáneo e faecimieno conjuno ambién se puee escribir en función e a probabiia e supervivencia conjuna o bien e a función e cohore: Tano insanáneo en función e a probabiia e supervivencia conjuna: Como: py FT y ( ), Derivano: ( ) ( py FT f y T ) y Y por o ano: p ( y, ). ft ( ) y ( F ( )) p Ty y y Tano insanáneo en función e a función e cohore: Como: ( y, ) ( y, ) py y erivano: p y y (, ) y (, ) Susiuyeno probabiia e supervivencia conjuna y su erivaa en a epresión e ano insanáneo: ( y, ) py ( y, ) y (, ) ( y, ) ( y, ) p y (, y) y (, ) Nóese que como, por oro ao, a función e isribución e e a via resiua conjuna no es ora cosa que a probabiia e isoución, eneremos que ésa ambién porá epresarse en función e ano insanáneo como: n q F ( n) f ( ) p (, y) n y Ty Ty y n De forma muy simiar se pueen obener as epresiones e oras probabiiaes en función e os anos insanáneos conjunos y/o iniviuaes. EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

21 CURSO: - Via resiua e grupo hasa a einción De anáoga forma a o esarroao para a via resiua conjuna poemos ahora consierar a via resiua hasa a einción e grupo T, y,o bien, T, y Que no será ora cosa que a variabe aeaoria : iempo que resa (ese as eaes e y) para a einción e grupo : T y, ma T( ), T( y) o para grupos e m iniviuos: T ma T( ), T( ),..., T( ),,..., m m Puee probarse fácimene que : T T T( ) T( y) y, y, y, y, T. T T( ). T( y) La función e isribución e a variabe via resiua para a einción venrá aa por: F () T P ( T ) q q. q y y La función e ensia a obenremos erivano: y y f () F () q. q q. q q q y y q. ( py) qy ( p) T T y y y f () q. p. ( y) q. p. ( ) T y y y Esperanza e via conjuna hasa a isoución Es a esperanza e a variabe via resiua conjuna hasa a isoución y a cuena e iempo que e meia arará e grupo en isoverse ( e iempo que arará por érmino meio en faecer e primer iniviuo): e E[ T ]. f ( ). p. (, y ) y y Ty y Basánonos en a reación enre e ano insanáneo conjuno y a función e cohore conjuna, susiuyeno e inegrano por pares puee egarse a una epresión e esimación e a misma muy simiar a a consieraa en oros casos ( cania e via iviia por cohore) : e y ( y, ) y (, ) EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e

22 CURSO: - Con una esperanza e via conjuna abreviaa e : ( i, yi) i ey y (, ) Y con una esperanza e via conjuna compea: e p e y y y Esperanza e via conjuna hasa a einción Ahora será a esperanza e a variabe via resiua hasa a einción: e E [ T ]. f ( ). q. p. ( y ). q. p. ( ) y y T y y y Susiuyeno as probabiiaes emporaes e faecimieno, q y q y, por: (- p ) y (- p y ) respecivamene obenremos: p y e. p. ( y). p. p. ( y) y y y. p. ( ). p. p. ( ) y e e e e y y y Es ecir a esperanza e via conjuna hasa a einción serán os años que e resan vivir ( en promeio) a más os que es resan a y menos os que en promeio vivirán en común ( que han sio conabiizaos os veces) Poemos, ambién, escribir a esperanza e via hasa a einción en función e as probabiiaes e supervivencia empora como: e p e p e p y y y y o o o y y y y y y e forma que : e e e e ( p p p ) p Las corresponienes esperanza e vias hasa a einción abreviaa y compea quearán como: e e e e p p p p y y y y y i i i i y e e e e e e e p y y y y y y i EAA4.-Moraia como fenómeno coninuo e