Acople del Método Nodal Modificado y el Método de los Elementos Finitos. Implementación en lenguaje scilab y C++

Transcripción

1 Acope de Méodo Noda Modificado y e Méodo de os Eemenos Finios. Impemenación en enguaje sciab y C++ Monzón Verona, J.M. (), Sanana Marín F.J. (), Simón Rodríguez L. () Resumen () Universidad de Las Pamas de Gran Canaria Campus Universiario de Tafira Las Pamas de Gran Canaria jmonzon@die.upgc.es Se preende con ese rabajo reacionar as ecuaciones circuiaes de parámeros concenrados con a écnica bien conocida de méodo de os eemenos finios, mediane una variación de méodo noda modificado. Consiguiendo en una soa mariz ensambar e comporamieno coninuo de as ecuaciones de campo discreizadas con as ecuaciones puramene circuiaes. Las ecuaciones se impemenan en e enguaje de programación sciab y C++. Poseriormene se exponen varios ejempos de máquinas eécricas. Paabras cave: Mnm, fem, máquinas, eécricas.. Inroducción Exisen en a acuaidad diversos programas y ibrerías en C++ que esén especiaizadas en e méodo de os eemenos finios (Dea II, FreeFEM, expde, ec) y en méodos de anáisis de circuios (pspice, eecric,ec), oros programas de ipo comercia (Cosmos, Ansys, Quicfied, ec). Ninguno de eos rabaja simuáneamene con as dos écnicas de anáisis. Es conveniene para eo desarroar un méodo que conempe a mismo iempo as dos herramienas, para poder así rabajar simuáneamene con modeos disribuidos y concenrados. Exisen diversas referencias que uiizan ecuaciones circuiaes uiizando méodos nodaes puros o circuiaes puros [2,4,5], asi como equivaenes de Thevenin o Noron [], pero os esudios que uiizan écnicas avanzadas de anáisis son escasos [3]. Se propone en ese rabajo uiizar una variación de méodo noda modificado MNM, conjunamene con e méodo de os eemenos finios (FEM) y su impemenación en e enguaje de programación Sciab y C Variación de méodo noda modificado La idea fundamena esá en modificar e MNM inroduciendo un nuevo conjuno de forma que se separen os eemenos en cuaro conjunos disjunos enre sí. En un primer grupo se incuyen aqueos eemenos que pueden ser expresados en forma de admiancias, e segundo conjuno por aqueos eemenos no ienen represenación en forma de admiancia o se requiere su inensidad, e ercer conjuno se incuyen as fuenes independienes de inensidad y por úimo un conjuno de eemenos que incuyen ensiones e inensidades que nos sirvan de nexo de unión con e méodo de os eemenos finios (FEM). Eso resua cave para eiminar odas aqueas incógnias circuiaes que no ineresen y a mismo iempo poder represenar cuaquier ipo de eemeno inea, cosa

2 que no podemos hacer con os méodos nodaes puros o de circuación puros. Reesrucuramos os eemenos de a red de manera que as ecuaciones de a ey de Kirchoff para corrienes (KCL) pueda ser escria de a siguiene manera: [ A A 2 A 3 A 4 ] [ I I 2 I 3 I 4]=0 () Las divisiones son creadas de manera que:. I coniene as corrienes por as ramas de os eemenos que ienen represenación en forma de admiancia y que no son requeridas como souciones. 2. I 2 coniene as corrienes por as ramas de os eemenos que no ienen represenación en forma de admiancia. Coniene, además, corrienes de ramas de fuenes de ensión y corrienes de ramas que son requeridas como souciones. 3. I 3 coniene as fuenes independienes de corriene (J). 4. I 4 coniene as bobinas que perenecen a a región FEM. Las ecuaciones de a ey de Kirchoff de ensiones KVL son divididas de a misma manera: [V V 2 4]=[ V 3 V A A 2 A 3 A 4 ] V n (2) Las ecuaciones aneriores represenan en reaidad cuaro ecuaciones mariciaes separadas: V = A V n V 2 = A 2 V n V 3 =A 3 V n V 4 =A 4 V n (3) (4) (5) (6) La ecuación 5 se usa para deerminar as ensiones en as fuenes de corriene una vez que se haa enconrado e vaor de V n. Las reaciones enre as ramas para os eemenos perenecienes a a segunda división son: Y 2 V 2 Z 2 I 2 =W 2 (7) donde e segundo miembro W 2 coniene as enradas no nuas de as fuenes de ensión únicamene. Las reaciones enre as ramas de primera reación son de a forma: Y V =I (8) Reescribiendo () de a siguiene forma: Y susiuyendo I en a anerior expresión: A I A 2 I 2 A 4 I 4 = A 3 J

3 A Y V A 2 I 2 A 4 I 4 = A 3 J Las ensiones en as ramas V pueden ser eiminadas susiuyendo (3): A Y A V n A 2 I 2 A 4 I 4 = A 3 J (9) Y de igua manera susiuyendo (4) en (7), obenemos: Y 2 A 2 V n Z 2 I 2 =W 2 A 4 V n =D V b (0) () Siendo D a mariz de incidencia barras-circuios y V b un vecor coumna con odas as ensiones de as barras ordenadas desde e primer circuio a úimo de dominio FEM. 3. Ecuación de campo La ecuación de campo apicabe en odo e dominio en dos dimensiones y en coordenadas caresianas y en régimen esacionario senoida es: Donde μ es a permeabiidad magnéica de medio, ω es a pusación anguar, σ es a conducividad eécrica, J 0 es a densidad de corriene apicada y  es a componene z de vecor poencia magnéico. 4. Ecuación híbrida 2  x 2 2  y = J 0 j  2 Esa ecuación reaciona magniudes gobaes de mundo puramene circuia con magniudes de campo de mundo coninuo, es e nexo de unión de as ecuaciones obenidas apicando MNM y FEM. La inensidad de a corriene que circua por as barras en e dominio FEM vae: (2) I b = cond z V b A z dx dy (3) 5. Discreización de a ecuación de campo e híbrida Los dos méodos principaes derivados de as ecuaciones de eemenos finios son a aproximación variaciona, a aproximación Gaerkin, esa úima es un caso especia de méodo de residuos ponderados (MWR). E méodo variaciona fue apicado, primeramene, a probemas magnéicos y a ocupado una gran pare de a ieraura. Hay un número de casos prácicos en donde, a expresión variaciona no es conocida o no exise y donde e méodo de residuos ponderados puede ser apicado. Debido a a mayor generaidad de méodo de aproximación Gaerkin, ese ha incremenado en popuaridad y es usado a coninuación. E méodo de residuos ponderados puede ser apicado de a siguiene forma. Se empieza con un operador de ecuación: L x =0 (4) sobre una región X con unas condiciones de conorno sobre e conorno C. Se inroduce una soución aproximada en a ecuación (). Donde se obiene un residuo.

4 L x =R (5) E MWR requiere que a inegra de a proyección de residuo sobre una función ponderada específica sea cero sobre e dominio de inerés. La eección de a función ponderada deermina e ipo de MWR. En ese caso, se eige a función ponderada que iene a misma forma que as funciones de eemenos finios o funciones de inerpoación. Eso es conocido como méodo Gaerkin y produce as mismas ecuaciones que e méodo variaciona, donde a variaciona principa es conocida. Subsiuyendo una aproximación, Â. Muipicando por una función ponderada e iguaando a inegra a cero, R W dx dy=0 (8) Susiuyendo por R 2  x 2 2  y dx dy j 2 W  dx dy= W J 0 dx dy Inegrando e primer érmino por pares, 2  x 2 2  y 2 dx dy= m Â= N i x, y  i i = R= 2  x 2 2  y j c J 2 0 W x  x W y  y dx dy= C W  ň dc (20) donde e úimo érmino esá referido a conorno C, con ň como vecor uniario norma exerno. Susiuyendo ese resuado en a ecuación (6), se divide a superficie de as inegraes en sumaorias de pequeñas áreas. En ese caso se maará a superficie con riánguos (os eemenos finios) y reempaza a inegra sobre e dominio oa por a sumaoria de inegraes sobre os riánguos individuaes. { M W e A e e i = x x W e A e y y j e e W e A e dxdy A e e ň W e C dc} M = { J 0 e W e dxdy i=0 } donde M es e número de eemenos rianguares. La ínea inegra en a ecuación (2) sóo necesia ser evauada sobre eemenos os cuaes iene un ado en común con e conorno de probema. Normamene esa inegra es Ae puesa a cero, dando a enender que =0 cuyos resuados son conocidos como ň condiciones de conorno nauraes. Sin embargo, esa inegra es uiizada en probemas donde e méodo de eemenos finios esá acopado a oras souciones écnicas. En ese caso a inegra debe ser evauada. Represenando mariciamene obenemos para a ecuación de campo: (6) (7) (9) (2)

5 [ [ S ] j xy [T ] ] A z [C] V b =0 (22) y para a ecuación híbrida j A z [C] z [ b ] V b DI 4 =0 (23) 6. Ensambe de as ecuaciones en un sisema goba Donde: T se obiene de ensambaje goba, S] j xy [T ] 0 z[c ] 0 0 j A z [C] T =[ [ 0 z [ b ] 0 D 0 A Y A 0 A 2 A 4 0 Y 2 A 2 0 Z A 4 D 0 0 ] (24) X es e vecor incógnia, =[ A X V n V b I 2 I 4 ] (25) y W e vecor exciación conocido, 0 ] 0 0 =[ W A 3 J W 2 (26) 7. Ejempos de apicación T X =W (27) En a figura () se represena e esquema combinado de a pare puramene circuia y e dominio que se anaiza por eemenos finios represenando un ransformador monofásico. Los resuados correspondienes a campo magnéico pueden observarse en a figura (2). La figura (3) represena iguamene os esquemas correspondienes a un moor de inducción magnéico, en a figura (4) se pueden observar as corrienes inducidas en os conducores de roor. a simuación se reaizó con número de nudos igua a 2253 y un número de eemenos de

6 Figura :Esquema híbrido circuia_fem Figura 2:Campo magnéico en e rafo Figura 3: Esquema híbrido de a M.I. Figura 4:Corrienes inducidas en e roor 8. Concusiones Se ha obenido en una soa mariz e comporamieno ano circuia como de eemenos finios,considerando como posibes exciaciones emporaes fuenes de ensión y de inensidad anaizando e comporamieno de cuaquier circuio inea. Así mismo esa mariz se ha programado una pare en enguaje sciab y ora como función en C++. Obeniéndose a disribución de campo magnéico y a disribución de corrienes inducidas en e roor. Referencias [] S.J.Saon. "Finie eemen anaysis of eecrica machines". Kuwer academic pubishers, 995. [2] Saney Humphries, Jr. "Fied souions on compuer". CRC Press, 998. [3] W.N.Fu, P.Zhou, D.Lin, "Modeing of soid conducors in wo-dimensiona ransien finie -eemen anaysis and is appicaion o eecric machines", IEEE rans. Magn, vo.40, no.2, march [4] J.S.Wang, "A noda anaysis approach for 2D and 3D magneic-circui couped probems", IEEE Trans. Magn, vo.34 pp Sep 998. [5] F. Piriou and Razek, "Finie eemen anaysis in eecromagneic sysems accouning for eecric circuis", IEEE Trans. Magn, vo.29, pp mar 993.