Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

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1 Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA INTODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS. Jesús Bescós Cano Fabrizio Tiburzi Paramio Madrid, 7

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3 . INTODUCCIÓN.... COIENTE ELÉCTICA VAIABLES FUNDAMENTALES... 3 Carga... 3 Energía VAIABLES PÁCTICAS O DE SEÑAL... 3 Inensidad de corriene... 3 Tensión... 3 Poencia DISPOSITIVOS CICUITALES. CAACTEÍSTICA I-V DISPOSITIVOS PASIVOS: ESISTENCIA, CONDENSADO, BOBINA Crierio de signos... 5 esisencia... 6 Condensador... 7 Bobina DISPOSITIVOS ACTIVOS: GENEADOES IDEALES... Crierio de signos... Tipos de generadores ideales y caracerísica i-v.... Generadores dependienes o conrolados....4 INTECONEXIÓN DE DISPOSITIVOS. LEYES DE KICHHOFF CONCEPTOS BÁSICOS... 3 Nudo de referencia: masa o ierra PIMEA LEY DE KICHHOFF SEGUNDA LEY DE KICHHOFF ESOLUCIÓN DE UNA ED CICUITOS SIN MEMOIA... 6 Circuios resisivos exciados con generadores de corriene y ensión coninuas... 6 Caso prácico : divisor de ensión... 8 Caso prácico : divisor de corriene CICUITOS CON MEMOIA... 9 Análisis de un circuio LC... 9 Caso prácico: análisis del circuio de carga y descarga de un condensador....6 EQUIVALENCIA Y ASOCIACIÓN DISPOSITIVOS PASIVOS Y GENEADOES IDEALES... 3 Asociación serie de disposiivos pasivos... 3 Asociación paralelo de disposiivos pasivos... 4 Asociación de generadores ideales GENEADOES EALES... 5 Modelo y equivalencias... 5 Asociación EDUCCIÓN DE CICUITOS ANÁLISIS DE CICUITOS DE CC EN ÉGIMEN PEMANENTE CICUITOS DE POLAIZACIÓN COMPOTAMIENTO DE LOS DISPOSITIVOS PASIVOS EN ÉGIMEN PEMANENTE DE CC... 3 esisencia... 3 Condensador... 3 Bobina METODOLOGÍA DE ANÁLISIS... 3 APÉNDICE A: FENÓMENOS ELECTOMAGNÉTICOS ASOCIADOS A CONDENSADOES Y BOBINAS A. ELACIÓN ENTE LA CAGA QUE ACUMULA UN CONDENSADO Y LA DIFEENCIA DE POTENCIAL ENTE SUS PLACAS... 3 A. ELACIÓN ENTE LA VAIACIÓN DE COIENTE EN UNA BOBINA Y LA FUEZA ELECTOMOTIZ INDUCIDA ENTE SUS BONES... 35

4 . Inroducción El amplio uso y el desarrollo creciene que ha experimenado la elecricidad en nuesra sociedad puede explicarse aendiendo a dos razones fundamenales: La elecricidad consiuye el medio más eficaz para ransmiir oras formas de energía (mecánica, química, érmica...) a grandes disancias y de forma casi insanánea. La elecricidad puede uilizarse en canidades pequeñas muy conroladas. De esa forma las señales elécricas nos sirven para codificar, inercambiar y procesar información. Esa es la razón de inerés primordial en la ingeniería elécrica de nuesros días. La hisoria de la elecricidad es relaivamene cora y, en realidad, las aplicaciones más ineresanes de los grandes descubrimienos elécricos se han empezado a desarrollar an solo desde finales del siglo XIX. Esas aplicaciones, que han ido apareciendo conforme se han hecho progresos en la ciencia elécrica, pueden dividirse en dos grandes grupos: los sisemas de energía y los sisemas de información. Progresos en la ciencia elécrica Puede considerarse que el descubrimieno de la pila en 8 por Alessandro Vola marcó el inicio de la era elécrica. Para ello Vola alernó discos de meales diferenes separados por papeles humedecidos en un ácido. De ese modo consiguió generar un flujo elécrico coninuo y repeible, con lo que se abría la posibilidad de aplicar el méodo cienífico a la exploración de las propiedades de la elecricidad en un laboraorio. Años más arde, en 8 Oeserd puso en evidencia que había una relación enre elecricidad y magneismo al observar que una brújula resulaba influida por la circulación de la corriene en un hilo. No obsane, sería Ampere (en 85) el que formularía las relaciones cuaniaivas involucradas y el que esablecería por primera vez, de forma clara, la diferencia enre ensión y corriene. Tras el experimeno de Oeserd resulaba claro que las corrienes elécricas producían campos magnéicos. La gran preocupación de los cieníficos de la época era que, lamenablemene, los campos magnéicos no parecían producir corrienes elécricas. Por fin, Faraday descubrió en 83 y ras infrucuosas experiencias con campos magnéicos consanes, que basaba con un campo magnéico variable para generar una corriene elécrica. Ese fenómeno de influencia muua enre elecricidad y magneismo se vino a llamar de inducción elecromagnéica y fue el impulso necesario para el desarrollo de los generadores y del elégrafo. A mediados de aquel siglo, Kirchhoff formuló las sencillas leyes que rigen el comporamieno de los circuios elécricos. Hoy en día esas leyes son la base de las écnicas de análisis o resolución de circuios. En 873 Maxwell concluyó que elecricidad y magneismo no pueden considerarse como fenómenos separados y formuló esa dependencia mediane las que hoy en día conocemos como ecuaciones de Maxwell. Uno de los ejemplos más claros de la ineracción de campos elécricos y magnéicos lo consiuyen las ondas elecromagnéicas, que aunque fueron predichas por Maxwell, no fueron descubieras hasa 887 (por Herz). Finalmene, con el descubrimieno de los rayos caódicos y del elecrón, a finales del siglo XIX ya se enía a mano la mayor pare de los conocimienos fundamenales de elecricidad. Ese aparado resume la breve hisoria que presena el libro de. E. Thomas, A. J. osa, Circuios y Señales: Inroducción a los circuios lineales y de acoplamieno, Ed. everé, 99.

5 Sisemas de energía Con el descubrimieno de la inducción elecromagnéica en 83 se disponía de un méodo sencillo para converir energía mecánica en energía elécrica, por lo que se comenzó la fabricación en serie de generadores elécricos o dinamos. Las primeras máquinas producían an solo corriene coninua (CC) y en 88 ya exisían algunos sisemas que proporcionaban energía para iluminación o racción. Poco después, en 88, Edison paenó su lámpara de incandescencia, que fue muy acepada por el público. Por ello, juno a sus socios diseñó odos los aparaos necesarios para que un sisema de poencia funcionara económicamene (líneas, fusibles, zócalos, inerrupores...). Poseriores mejoras de los generadores llevaron a una ecnología considerablemene avanzada en los sisemas basados en CC ya en la úlima década del siglo XIX. Por oro lado, el desarrollo del ransformador (88) y del moor de inducción de Nicola Tesla (887) permiió consruir los sisemas de poencia de corriene alerna (CA), que combaieron durane algunos años con los de corriene coninua, hasa que la selección de los primeros para la cenral elécrica que se insalaría en las caaraas del Niágara marcó la endencia que siguen la mayor pare de los sisemas de CA inerconecados hoy en día. Sisemas de Información El descubrimieno de Faraday en 83 del fenómeno de la inducción elecromagnéica facilió y disparó el desarrollo del elégrafo elécrico. Se endieron cables ano por ierra como bajo los océanos y de hecho, en 9, esos cables rodeaban por compleo la ierra. Años más arde los experimenos de Herz ayudarían a desarrollar la elegrafía sin hilos, puesa a puno por Marconi en el 895. En 875 Graham Bell paenó el primer ransducor acúsico prácico, que permiió insalar en New Haven el primer sisema elefónico (8 líneas y 4 usuarios, con conmuación manual). Las esaciones conmuadoras auomáicas permiirían, en 887, aumenar el número de usuarios y la uilización de bobinas de pupinización (inducancias colocadas a inervalos regulares en los hilos de cobre para disminuir la aenuación y la variación del reardo en la gama de las frecuencias vocales) posibilió exender las redes a disancias de hasa 5 km. (para disancias mayores se uvo que esperar hasa la aparición del amplificador elecrónico). Cuando John Thomson descubrió el elecrón en 897 empezó lo que se vendría a llamar la era elecrónica. Nuevos disposiivos como diodos o riodos de vacío (con un comporamieno basado en la dirección de circulación de los elecrones en un conducor) o amplificadores, permiieron por primera vez la manipulación y el conrol elecrónico de las señales elécricas. El problema primordial enre los años 9 y 94 consisía en el desarrollo a gran escala del servicio elefónico a larga disancia. Fue en esa época y por ese moivo cuando se formuló gran pare de la eoría fundamenal y las écnicas de los sisemas de información y cuando se senaron las bases de lo que hoy llamamos eoría de circuios y de filros. Cieníficos como Campbell, Zobel, Foser, Black o Nyquis realizaron imporanísimas aporaciones durane esos años. Con odo, si bien es ciero que la eoría y las écnicas de la indusria elefónica se aplicaron exensamene en la Segunda Guerra Mundial, hubo que esperar a su finalización para que los adelanos se hicieran públicos. Finalmene, la elecrónica del esado sólido (que ajusa las propiedades conducoras de los maeriales mediane la manipulación de su esrucura aómica) revolucionó el procesamieno de señales al susiuir el ransisor (invenado en 947 por Bardeen, Braain y Schckeley) a la válvula de vacío en la mayoría de las aplicaciones. En 97 ya se uilizaban circuios a gran escala de inegración que conenían millones de ransisores. El amaño, cose y fiabilidad de esos circuios inegrados consiuyen venajas an aracivas que han hecho que esa ecnología sea la predominane en odas las aplicaciones de proceso de señales.

6 . Corriene elécrica Cuando se aplica una diferencia de poencial en los exremos de un maerial conducor, se origina un campo elécrico en su inerior que arranca los elecrones de valencia (cargas negaivas) de los áomos del maerial y los desplaza disminuyendo su energía poencial. Ese flujo de elecrones es lo que se conoce como corriene elécrica. Por convenio se define el senido de la corriene como el conrario al del movimieno de esos elecrones, es decir, la corriene endrá el mismo senido del campo elécrico que origina la corriene (que ambién puede verse como el senido en el que se desplazan las cargas posiivas, aunque no haya físicamene cargas posiivas que se desplacen sino áomos que quedan cargados posiivamene al perder sus elecrones más exernos)... Variables fundamenales CAGA En general, damos el nombre de carga a odo cuerpo que esá elecrizado y que, por lo ano, es capaz de ineraccionar elécricamene. Se represena por la lera q y en el SI se mide en culombios (C). En visa de que, desde el descubrimieno de la elecricidad, se observaron dos posibles comporamienos elécricos (aracción o repulsión), se fijaron arbirariamene dos ipos de cargas: la posiiva (que se definió como la que adquiría el vidrio ras el froamieno) y la negaiva (la que adquiría el ámbar). Cargas del mismo signo experimenan una fuerza de repulsión y cargas de signo conrario una fuerza de aracción. El signo de las cargas es, por lo ano, un modo de expresar el senido de las fuerzas enre ésas. ENEGÍA En un senido amplio es la capacidad para realizar un rabajo. Se represena con la lera w y en el SI se mide en Julios (J)... Variables prácicas o de señal Dado que resula engorroso medir direcamene cargas que varían su energía, para analizar el comporamieno de un circuio desde el puno de visa de sus aplicaciones en ingeniería, se definen oras variables más prácicas, derivadas direcamene de las variables fundamenales. Como esas nuevas variables serán las encargadas de porar las señales de información procedenes de los ranscepores (elemenos que ligan nuesro enorno sensorial con los circuios elecrónicos, como por ejemplo micrófonos, cámaras, alavoces, panallas, ec.), a esas variables ambién se las denomina variables de señal. INTENSIDAD DE COIENTE Comúnmene llamada corriene, se represena con la lera, i. Es la canidad de carga que pasa por un puno dado en un insane de iempo. Analíicamene: dq i =, unidades: amperio (A) = culombio (C) / segundo (s) d Para medir la inensidad se uilizan los amperímeros. TENSIÓN También llamada diferencia de poencial, se represena por la lera v y refleja la variación de energía que experimenaría una unidad de carga al moverse enre dos punos de un circuio (ver Fig..). 3

7 Analíicamene: dw v =, unidades: volio (V) = julio (J) /culombio (C) dq v AB A B v AB = v AO - v BO Fig..: Nomenclaura para la ensión enre dos punos Es imporane observar que: - Sea cual sea el camino que ome una carga al desplazarse enre dos punos del circuio, A y B, la variación de la energía resulane de dicho desplazamieno será siempre la misma (e igual a la diferencia de poencial enre esos dos punos). - El concepo de que exisa una diferencia de poencial enre dos punos no implica que necesariamene engan que esar circulando cargas enre ellos. Así por ejemplo una pila puede ener ensión enre sus bornes sin esar conecada. Noa: La diferencia de poencial enre dos punos es, en realidad, un concepo más general subyacene en cualquier campo de fuerzas conservaivo (aquél en el que el rabajo es independiene del camino seguido), como es el caso del campo graviaorio. La venaja de rabajar con campos conservaivos es precisamene que, a pesar del carácer vecorial de las fuerzas que los originan, siempre es posible asignar una magniud escalar (poencial) en cada posición del espacio de manera que el rabajo enre dos punos cualesquiera podrá calcularse a parir de la diferencia de poencial de esos dos punos (lo cual resula en una aproximación basane más sencilla que inegrar direcamene la fuerza sobre la rayecoria en la que se realiza el rabajo). Conviene ener claro que la inensidad de corriene iene que ver con un caudal, con la canidad de algo (la carga) que pasa por un siio, mienras que la ensión mide variación de algo (la energía por unidad de carga) enre dos punos. POTENCIA Se represena con la lera p y se define como la variación de la energía por unidad de iempo. Es, por lo ano, una medida cuaniaiva de lo rápido que se gana o pierde (cede) energía. Analíicamene: dw p =, unidades: vaio (w) = Julio (J) /segundo (s) d En elecricidad resula úil relacionarla con la inensidad y con la ensión: dw dw dq dw dq p = = = = v i d d dq dq d 4

8 .3 Disposiivos circuiales. Caracerísica i-v. Son los elemenos cuya inerconexión da lugar a los circuios elécricos. El comporamieno elécrico de un disposiivo de dos erminales viene definido por su caracerísica i-v, es decir, por la relación que exise en odo momeno enre la ensión que hay en sus bornes y la corriene que lo araviesa..3. Disposiivos pasivos: resisencia, condensador, bobina. Toman su nombre del hecho de que no son capaces de enregar poencia indefinidamene al circuio en el que esán conecados. Puede suceder, no obsane, que en un deerminado insane o inervalo de iempo alguno de esos disposiivos suminisre energía que previamene ha almacenado (en cualquier caso, la poencia media liberada será siempre nula). CITEIO DE SIGNOS Un crierio de signos especifica (arbirariamene) el senido en el que una magniud se considera posiiva o negaiva. En elecrónica se dice que uilizamos el "crierio de signos pasivo" cuando el incremeno de poencial enre los bornes de un disposiivo se considera posiivo si iene senido conrario a la corriene que lo araviesa y negaivo en caso conrario. Como podemos deducir a parir de su nombre, ese es el crierio que se emplea más habiualmene para expresar las ensiones y corrienes en los disposiivos pasivos (ver Fig..). Si v( e i ( son respecivamene la ensión que cae en los bornes y la corriene que araviesa un disposiivo pasivo, y ambas esán expresadas uilizando el crierio de signos pasivo (que indica que las cargas pierden energía, o ienen un poencial menor, al aravesar el disposiivo), la poencia absorbida por ese disposiivo se obiene como p( = v( i(. v ( ) > i( ) > Fig..: Crierio de signos i-v para disposiivos pasivos. Noa: Una de las venajas de uilizar ese convenio es que la ecuación de poencia absorbida (la que normalmene nos va a ineresar en el caso de los disposiivos pasivos) es direcamene el produco de v( e i (, sin ningún signo negaivo que complique su cálculo o inerfiera en su inerpreación. La poencia enregada por un disposiivo pasivo se calcularía, según ese crierio de signos, como p () = v () i (). Finalmene, debe enerse en cuena que los senidos marcados para ensiones y corrienes a la hora de analizar un circuio no ienen por qué indicar el senido real de esas magniudes ( que incluso puede variar miles de veces por segundo!). Lo que indican son las condiciones en las que una u ora magniud se considera posiiva o negaiva respeco da la ora. 5

9 ESISTENCIA Caracerísica i-v: Cuando un maerial se somee a una deerminada diferencia de poencial o ensión (v) se puede observar ciera resisencia al paso de la corriene (i) a su ravés. La Ley de Ohm expresa cuaniaivamene esa relación enre ensión y corriene, relación que denro de unos deerminados márgenes de poencia es lineal (ver Fig..3). i ( ) v ( ) > p max v ( ) i i ( ) > ( ) = v ( ) = G v ( ) Fig..3: Caracerísica i-v de una resisencia. Al facor de proporcionalidad,, y por exensión al disposiivo, se le denomina resisencia, y se mide en ohmios (Ω). A su inverso, G, se le denomina conducancia y se mide en mhos (es decir, ohm al revés y en plural). El valor de la resisencia depende de la composición del maerial y de su geomería. En el caso de un hilo conducor: L = ρ, donde ρ es su resisividad, L su longiud y S su sección. S Poencia y energía disipada: Teniendo en cuena que es un valor posiivo, la caracerísica i-v de una resisencia indica que su ensión y corriene ienen siempre el mismo signo; por lo ano la poencia disipada por una resisencia será siempre posiiva (poencia disipada por efeco Joule). En cuano a su valor, eniendo en cuena la caracerísica i-v, se puede calcular: v p = i v = i = > A parir de la poencia podemos calcular la energía disipada: = dw dw = p d = i d d w = i p ( ) ( ) d Que, en el caso de considerar una corriene consae, puede simplificarse como: w= I A parir de una resisencia es posible definir oros dos disposiivos circuiales: el corocircuio (=) y el circuio-abiero (= ). 6

10 v ( ) = v ( ) > = = i ( ) > i ( ) = Fig..4: Coro-circuio (izda), caracerizado porque su ensión es nula con independencia de la corriene que lo araviese. Circuioabiero (dcha), caracerizado porque su corriene es nula con independencia de la ensión que haya enre sus bornes. CONDENSADO Es un disposiivo formado por dos placas conducoras separadas por un maerial aislane (dielécrico). Su símbolo elécrico es basane inuiivo (ver Fig..5). Fig..5: epresenación gráfica de un condensador: símbolo circuial. Caracerísica i-v Cuando en un circuio aplicamos en bornes de un condensador una diferencia de poencial consane, E, se esablece una corriene de elecrones variable, i(, que va acumulando carga negaiva, q(, en una de las placas e igual carga posiiva en la ora hasa que la diferencia de poencial enre las placas, v c (, iguala a la diferencia de poencial aplicada (ver Fig..6). El condensador, por lo ano, es capaz de almacenar energía elécrica, la energía que ha sido necesaria para cargar sus placas. E - - i c ( ) q ( ) v c ( ) i c ( ) v c ( ) - - Fig..6: Análisis cualiaivo del esquema de funcionamieno de un condensador. En elecrosáica se demuesra que la diferencia de poencial que hay en los bornes de un condensador depende linealmene de la carga que ése enga acumulada (ver Apéndice A). Al facor de proporcionalidad se le denomina capacidad del condensador (C), y se mide en faradios (F): q( = C v ( c, unidades: faradio (F) = culombio (C) /volio (v), de donde: dq( = C dvc ( = dq( dv ( C c 7

11 Teniendo en cuena que la corriene que ranspora las cargas de una de las placas hasa la ora (siempre por fuera del condensador, sin aravesar las placas) es ic () = dq() d, la diferencia de poencial enre las placas del condensador puede escribirse como: dvc() = dq() = ic() d C C, de donde obenemos finalmene la caracerísica i-v: dvc () vc ( = ic (τ ) dτ, o ic () = C C d Es imporane observar, a parir de esa caracerísica, que la ensión que hay en bornes de un condensador en un insane dado no sólo depende de la corriene que lo araviesa en ese mismo insane sino de la suma (inegral) de las corrienes que lo han aravesado con anerioridad, es decir, de la carga que iene acumulada (dicho de oro modo, el condensador es un disposiivo que iene memoria de corrienes). Si analizamos el comporamieno de un condensador a parir de un ciero insane que consideramos como origen de iempos: vc ( = ic ( τ ) dτ ic ( τ ) dτ = vc () ic ( τ ) dτ C C C El érmino v C () es la ensión inicial que pudiera ener el condensador debido a la carga acumulada anes del insane considerado. En esa asignaura consideraremos que esa ensión inicial es nula.. Obsérvese asimismo que en el caso de ese disposiivo no es posible represenar la caracerísica i-v en una gráfica, ya que esa caracerísica depende ambién del iempo (o, mejor dicho, de la variación de i o v con el iempo). Poencia y energía Susiuyendo en la expresión general de poencia (absorbida) la caracerísica i-v del condensador se obiene: dvc () pc() = vc() ic() = vc() C d Obsérvese que la poencia puede ser posiiva o negaiva, pues la variación de la ensión en el iempo puede ser posiiva o negaiva independienemene del signo o senido de la ensión. Según el crierio de signos que se ha definido para los disposiivos pasivos, un valor de poencia insanánea negaivo indica que el disposiivo esará enregando poencia al circuio. El hecho de que un condensador pueda suminisrar poencia se deriva de su capacidad de almacenar energía elécrica. La ecuación anerior puede escribirse ambién de la siguiene forma: d pc ( = CvC ( d Y, eniendo en cuena la relación enre poencia y energía, la energía almacenada por el condensador en un insane dado viene dada por la expresión: w ( c = Cv C ( 8

12 BOBINA Es un disposiivo formado por un arrollamieno de hilo conducor en orno a un núcleo de maerial magnéico. Su símbolo elécrico resula ambién basane inuiivo (ver Fig..7). Fig..7: epresenación gráfica de una bobina: símbolo circuial. Caracerísica i-v En elecromagneismo se demuesra que la variación en la inensidad de la corriene i L que araviesa una bobina genera en sus bornes una ensión que iende a oponerse a dicha variación. La energía elécrica que se inviere en eviar que la corriene sea conrarresada por el efeco de inducción de la bobina, queda almacenada en ésa en forma de energía magnéica. Tras un análisis básico de las relaciones que rigen la inducción magnéica (ver Apéndice A) es posible obener la caracerísica i-v de una bobina (ver Fig..8): di ( L v ( = L L d, donde L es el coeficiene de auoinducción de la bobina, que se mide en henrios (H). I v L ( ) v L ( ) i L ( ) i L ( ) Fig..8: Análisis cualiaivo del esquema de funcionamieno de una bobina. Análogamene a lo que sucede en un condensador, la corriene que araviesa una bobina en un insane dado no sólo depende de la ensión que hay en sus bornes en ese mismo insane sino de las ensiones inducidas hasa enonces por el campo magnéico que acumula. La bobina, por lo ano, es un disposiivo que ambién iene memoria (en ese caso, de ensiones): il ( = il () vc ( τ ) dτ L Noa: el hecho de que ano el condensador como la bobina sean disposiivos con memoria (de corrienes el condensador, y de ensiones la bobina) indica que presenan una magniud (la ensión en bornes del condensador y la corriene que araviesa la bobina) que no puede variar insanáneamene o, dicho de oro modo, que presena ciera inercia a su variación. 9

13 Poencia y energía La expresión de la poencia insanánea en una bobina resula: dil () pc() = il() vl() = il() L d La poencia puede ser posiiva o negaiva lo cual, como se ha viso en el caso del condensador, no es más que una indicación de que ese disposiivo ambién puede almacenar y ceder energía. La ecuación anerior puede escribirse ambién: d p ( = Li ( L L d De donde por la relación exisene enre poencia y energía, la energía almacenada en un insane dado por una bobina se obiene como: w ( L = Li L (.3. Disposiivos acivos: generadores ideales Para que en un circuio las cargas se pongan en movimieno es necesario ransferirles energía, energía que las resisencias consumen en forma de calor y los condensadores y bobinas almacenan (y ceden) en forma de energía elécrica y magnéica respecivamene. CITEIO DE SIGNOS En elecrónica se dice que uilizamos el "crierio de signos acivo" cuando el incremeno de poencial enre los bornes de un disposiivo se considera posiivo si iene el mismo senido que la corriene que lo araviesa y negaivo en caso conrario. Como podemos deducir a parir de su nombre, ese es el crierio que se emplea más habiualmene para expresar las ensiones y corrienes en los disposiivos denominados acivos (ver Fig..9). v ( ) > i( ) > Fig..9: Crierio de signos i-v para disposiivos acivos. Si v ( e i ( son respecivamene la ensión que cae en los bornes de un disposiivo acivo y la corriene que lo araviesa, y ambas esán expresadas uilizando el crierio de signos acivo la poencia suminisrada por ese disposiivo puede calcularse nuevamene como p( = v( i(. Noa: Nuevamene, una de las venajas de uilizar ese convenio es que la ecuación de poencia suminisrada o enregada (la que normalmene nos va a ineresar en el caso de los disposiivos acivos) es direcamene el produco de v( e i (, sin ningún signo negaivo que complique su cálculo o inerfiera en su inerpreación. La poencia absorbida o disipada por un disposiivo acivo se calcularía, según ese crierio de signos, como p () = v () i ().

14 TIPOS DE GENEADOES IDEALES Y CAACTEÍSTICA I-V. Hay dos ipos de generadores: generadores de ensión y generadores de inensidad o corriene (ver Fig..). Un generador de ensión maniene en sus bornes una deerminada diferencia de poencial (e g (, fija o variable) y enrega oda la corriene que pida el circuio al que esá conecado. Un generador de inensidad hace circular a su ravés una deerminada inensidad (i g (, fija o variable) y genera en sus bornes ana ensión como le pida el circuio. e g ( ) > E g > i( ) > v ( ) > i( ) > i g ( ) > e g ( ) > I > g i( ) > Fig..: de generadores de ensión (izda.) y corriene (dcha.). En esos generadores no exise, por lo ano, una dependencia enre la ensión y la corriene (ver Fig..): una de las magniudes depende del circuio, no del disposiivo. En la prácica (generadores reales), ambos ipos de generadores esán limiados por la poencia que pueden enregar. Por ello, los generadores sin limiaciones que aquí se presenan se denominan ideales. i( ) i( ) I g E g v ( ) v ( ) Fig..: Caracerísica i-v de un generador ideal de ensión (izda.) y corriene (dcha.). Las pares de las caracerísicas i-v en que bien la ensión o bien la corriene son negaivas, corresponden a siuaciones en que el generador absorbe poencia en vez de enregarla.

15 GENEADOES DEPENDIENTES O CONTOLADOS En ese ipo de generadores la función de ensión o corriene que enregan (que en los generadores visos aneriormene dependía únicamene de la variable iempo) pasa a depender proporcionalmene de una variable (ensión o inensidad) del circuio concreo al que esé conecado, moivo por el que se denominan generadores dependienes o gobernados (por la variable de la que dependen). Los generadores o fuenes dependienes son disposiivos irreales que se uilizan a menudo para modelar disposiivos circuiales que ienen un comporamieno que no puede modelarse únicamene con disposiivos pasivos o generadores independienes; no son, por lo ano, disposiivos que exisan físicamene. Esos generadores se suelen represenar mediane un rombo. De acuerdo al ipo de generador (de corriene o de ensión) y a la variable de la que dependan (corriene o ensión) pueden disinguirse cuaro ipos de generadores dependienes. De izquierda a derecha en la Fig.., se presenan los gráficos de un generador de ensión conrolado por ensión, de corriene conrolado por ensión, de ensión conrolado por corriene y de corriene conrolado por corriene. - αv( βv( - χi( λi( Fig..: epresenación gráfica de disinos ipos de generaros dependienes Obsérvese que ese ipo de disposiivos, a pesar de denominarse generadores (y considerarse disposiivos acivos), no son capaces de enregar poencia por sí solos. Sólo generan poencia si la variable de la que dependen no es nula, es decir, si en el circuio hay algún generador independiene.

16 .4 Inerconexión de disposiivos. Leyes de Kirchhoff..4. Concepos básicos. Un circuio elécrico, ambién denominado red, es el resulado de la inerconexión de un conjuno de disposiivos circuiales. Se asumirá que esos disposiivos se inerconecan mediane conducores ideales, es decir, mediane corocircuios. Según se ha viso, la caracerísica i-v de un disposiivo define su comporamieno como elemeno aislado, es decir con independencia de cómo se encuenre conecado en un circuio. Complemenariamene, es posible enunciar cieras leyes que aplican únicamene a la inerconexión de disposiivos, sean esos cuales sean, es decir a la forma del circuio. Para hacerlo resula úil definir anes una serie de concepos relacionados con esa forma o opología del circuio: Se denomina nudo al puno en que confluyen dos o más disposiivos, aunque a efecos de análisis prácico, sólo se suele considerar como nudo el puno en que confluyen res o más disposiivos. Es imporane observar que no se raa de un puno geomérico sino elécrico (en el circuio de la Fig..3 hay res nudos: A, B, O). Se denomina rama al segmeno de circuio que une dos nudos adyacenes (la Fig..3 muesra en negria una de las ramas que une el nudo B con el O). Se denomina malla a cualquier conjuno de ramas que formen un camino o bucle cerrado, es decir, que comience y ermine en el mismo nudo. De enre odas las posibles mallas de un circuio, aquellas que coinciden con los huecos del circuio pueden considerarse mallas independienes (la Fig..3 muesra numeradas las cuaro mallas independienes del circuio represenado). Se dice que dos disposiivos esán conecados en serie cuando un erminal del primero esá unido a un erminal del segundo, y a ningún oro disposiivo más; es decir, cuando enre ellos hay un nudo simple, confluencia de sólo esos dos disposiivos (en la Fig..3 los únicos disposiivos conecados en serie son los dos sombreados, que forman una rama que une el nudo A con el O). Se dice que dos disposiivos esán conecados en paralelo cuando sus respecivos erminales esán conecados enre sí (en la Fig..3 los únicos disposiivos conecados en paralelo son los res pinados a rallas). A B 3 4 Fig..3: Inerconexión de disposiivos: malla, nudo, rama, conexión en serie y conexión en paralelo. O 3

17 NUDO DE EFEENCIA: MASA O TIEA La ensión es una variable que se mide enre dos punos o nudos. Sin embargo, a menudo resula úil expresar la ensión de cualquier puno con respeco a una misma referencia (como ocurre con la alura cuando se da referida al nivel del mar, o del suelo, o ). Ese puno o nudo de referencia, que se considerará con ensión cero, se represena con cualquiera de los símbolos de la Fig..4. Una vez idenificada la referencia es posible hablar de la ensión de un puno o ensión de nudo, que implíciamene indica la ensión enre ese nudo y el de referencia. v AB A B v AB = v AO - v BO = v A - v B O Fig..4: Símbolos de masa o ierra: el nudo de referencia.4. Primera Ley de Kirchhoff La Primera Ley de Kirchhoff (ª LK) resula de aplicar el principio de conservación de la carga en un nudo. Esa ley enuncia que en odo momeno el caudal de carga que llega a un nudo ha de ser igual al que sale de él. Teniendo en cuana la definición de inensidad de corriene, eso equivale a enunciar que la suma de corrienes que enran en un nudo ha de ser igual a la suma de las corrienes que salen de él. i enranes = Nudo i salienes Nudo Esa ley es posible aplicarla a cada nudo del circuio, dando lugar en cada caso a una ecuación de nudo. Es fácil comprobar que si un circuio presena n nudos, sólo n- son independienes, es decir, la enésima ecuación de nudo es una combinación lineal de las n- aneriores. Por ejemplo, en la Fig..5 es posible esablecer relaciones del ipo: Nudo A: i i = i3 Nudo B: i i i i = Nudo O: i i i i i =, donde efecivamene se observa que cualquiera de las res ecuaciones se puede obener combinando las oras dos. El resulado de aplicar esa ley a un nudo en el que confluyen sólo dos disposiivos es que cuando dos o más disposiivos esán conecados en serie, la corriene que los araviesa es la misma. A esa corriene se la denomina corriene de rama. En la ciada figura, cada una de las corrienes señaladas son corrienes de rama; por lo ano, el circuio consa de 6 ramas..4.3 Segunda Ley de Kirchhoff La Segunda Ley de Kirchhoff (ª LK) se deriva de aplicar el principio de conservación de la energía en una malla. Ya que el campo elécrico es un campo conservaivo, la variación de energía experimenada por una carga que se desplaza denro de ese campo depende únicamene de la diferencia de poencial enre las posiciones inicial y final. Si las posiciones inicial y final son la 4

18 misma (como ocurre en cualquier rayecoria cerrada y, en paricular, en una malla) la variación de energía será siempre nula. Teniendo en cuana la definición de ensión, esa ley se raduce en que la suma de ensiones a lo largo de una malla ha de ser nula en odo momeno: v = Malla Es posible aplicar esa ley a cada malla del circuio, dando lugar en cada caso a una ecuación de malla. Además, es fácil comprobar que la ecuación resulane de una malla con varios huecos (que a su vez son mallas) es una combinación lineal de las ecuaciones de malla de esas mallas hueco. Es por ello que de enre las múliples mallas que pueden idenificarse en un circuio, un modo de escoger un conjuno de ellas que dará lugar a un sisema de ecuaciones independienes es escoger las mallas que forman los huecos del circuio. En el ejemplo de la Fig..5, donde la malla 3 iene dos huecos, la malla y la malla, es posible esablecer: Malla 3: v v v v = a b d e Malla : v v v = a b c Malla : v v v = c d e, donde efecivamene se observa que cualquiera de las res ecuaciones se puede obener combinando las oras dos. Obsérvese que el resulado de aplicar esa ley a una malla formada por sólo dos disposiivos es que cuando dos o más disposiivos esán conecados en paralelo, la ensión que cae en sus bornes es la misma. _ i A i i 3 i 3 i 4 B i 5 i 6 v b v d v a v c v e 3 i i i 4 i 5 i 6 O Fig..5: Ecuaciones de nudo (izda.) y ecuaciones de malla (dcha.). 5

19 .5 esolución de una red esolver una red o circuio consise en obener las corrienes que araviesan odos los disposiivos y las ensiones que caen en sus bornes. Ya que de anemano se supone conocida la caracerísica i-v de cada disposiivo de la red, basará con obener una de ambas magniudes en odos ellos. Por lo ano, en principio, la resolución de un circuio involucraría anas incógnias (i o v) como disposiivos hubiera inerconecados. Sin embargo, si enemos en cuena las Leyes de Kirchhoff, el análisis puede simplificarse susancialmene. En efeco, cuando nos enconramos varios disposiivos en serie, basa con obener la corriene de rama; análogamene, si hay varios disposiivos en paralelo basa con calcular la diferencia de poencial enre los bornes de cualquiera de ellos. La conclusión es que el número de incógnias no depende ano del número de disposiivos, sino de cómo esén conecados, es decir, de la opología del circuio. En el capíulo 3 de ese curso aprenderemos a deducir el número mínimo de ecuaciones necesarias para resolver un circuio. De momeno, se presena una primera aproximación a los problemas que planea la resolución de un circuio cualquiera..5. Circuios sin memoria Es el caso de circuios formados únicamene a base de resisencias y generadores. Su análisis da lugar a sisemas de ecuaciones lineales algebraicos. CICUITOS ESISTIVOS EXCITADOS CON GENEADOES DE COIENTE Y TENSIÓN CONTINUAS Sea el circuio de la Fig..6, del que se nos pide obener las ensiones y corrienes en odos sus disposiivos (que serán represenadas con leras mayúsculas siempre que se rae de corrienes y ensiones coninuas). Un modo de proceder consise en idenificar primero cuáles van a ser las incógnias del problema. Tomemos, por ejemplo, las corrienes de odas las ramas. E E 3 4 E 6 E 5 E = E = E = 3 3 E = 4 4 E = 4 5 E = 3 6 = = = 3 3 = 4 4 E 3 E 4 Fig..6: Circuio con resisencias y generadores de CC. 6

20 A B C I 7 I 3 I I V E E V V 3 3 I 5 I 4 E 5 E E 6 3 E 4 4 V 4 I 6 Fig..7: Eapas en la resolución de un circuio. Los pasos que se deben seguir, esquemaizados en la Fig..7, son: Idenificar odas las incógnias, es decir las corrienes de odas las ramas, dándoles un senido arbirario (es decir, sin pararse a pensar en cuál puede ser su senido real). En el circuio de la izquierda de la ciada figura esán represenadas por las corrienes I a I 7. Una vez fijadas las corrienes, represenar las ensiones en los bornes de odos los disposiivos según su caracerísica i-v: en los disposiivos pasivos con senido conrario a la corriene que los araviese (la corriene que hayamos asignado en el paso anerior), en los generadores de ensión en el senido que apune a su polo posiivo y en los generadores de corriene en cualquier senido. En el circuio de la derecha de la ciada figura esán represenadas por las ensiones E a E 4 y V a V 4. Planear la ª LK en odos los nudos independienes, es decir, en odos menos en uno. En el circuio de la figura eso daría lugar a res ecuaciones de nudo: Nudo A: I I I 3 = Nudo B: I 5 I 7 = I Nudo C: I 4 = I 6 I 7 Planear la ª LK en odas las mallas independienes, es decir, en odos los huecos del circuio. Uilizar la caracerísica i-v de cada disposiivo para relacionar las ensiones de esas ecuaciones de malla con las incógnias. En el circuio de la figura eso daría lugar a cuaro ecuaciones de malla: Malla : E E V E E I 3 = 3 3 = Malla : E V E E E I5 E6 E = 6 = Malla 3: E E V V E E I I = = Malla 4: V E E I E E = = esolver el sisema de ecuaciones lineales, en ese caso 7 ecuaciones cuyas incógnias son las 7 corrienes de rama. La solución al ejemplo de la Fig..6 es: I =, I = 3, I 3 =, I 4 = 3, I 5 =, I 6 =, I 7 = En ese ipo de circuios, la poencia puesa en juego por los generadores (ya sea enregada o absorbida) y la disipada en las resisencias es consane a lo largo del iempo. El balance de poencias da lugar en ese caso a una nueva ecuación que puede uilizarse para validar el resulado del análisis previo: acivos pasivos P = P EI EI EI EI EI EI = I I I I

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