Juan Gabriel Álvarez-González, Roque Rodríguez-Soalleiro y Alberto Rojo-Alboreca

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1 Cuad. Soc. Esp. Cenc. For. 3: 35-4 (007 «Actas de la II Reunón sobre aspectos práctcos de la Modelzacón Forestal» RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL AJUSTE SIMULTÁNEO DE SISTEMAS DE ECUACIONES: HETEROCEDASTICIDAD Y VARIABLES DEPENDIENTES CON DISTINTO NÚMERO DE OBSERVACIONES Juan Gabrel Álvarez-González, Roque Rodríguez-Soallero y Alberto Rojo-Alboreca Undad de Gestón Forestal Sostenble. Departamento de Ingenería Agroforestal. Escuela Poltécnca Superor de la Unversdad de Santago de Compostela. Campus Unverstaro s/n. 700-LUGO (España. Correo electrónco: algonjg@lugo.usc.es Resumen En la modelzacón forestal es frecuente utlzar sstemas de ecuacones para smular algún proceso del desarrollo de los bosques. Por ejemplo, tanto el conjunto de las ecuacones de estmacón de bomasa por fraccones arbóreas como la combnacón de una tarfa de cubcacón y una funcón de perfl son dos sstemas de ecuacones muy utlzados. En el ajuste de estos sstemas suele ser habtual que se mponga alguna condcón. Por ejemplo, cuando se ajustan ecuacones de estmacón de bomasa por fraccones arbóreas debe cumplrse la propedad llamada adtvdad, que consste en que la suma de las estmacones de bomasa de todos los componentes sea gual a la estmacón de bomasa del árbol completo. En el caso del sstema consttudo por la tarfa de cubcacón y la funcón de perfl debe exstr compatbldad, es decr, el volumen obtendo por la tarfa debe ser gual al obtendo por ntegracón de la funcón de perfl. Una solucón para garantzar el cumplmento de estas propedades es ajustar el sstema de ecuacones smultáneamente. Sn embargo, el procedmento utlzado debe permtr asgnar pesos dferentes a las observacones de cada ecuacón del sstema para corregr una posble falta de homogenedad de varanzas. Tambén puede ocurrr que las varables dependentes de las ecuacones no tengan el msmo número de observacones. Por ejemplo, en el caso del sstema compuesto por la tarfa de cubcacón y la funcón de perfl, una varable dependente es el volumen del árbol, con una observacón por ndvduo, y la otra varable dependente es el dámetro del árbol a una certa altura en el tronco, con varas observacones por ndvduo. En este trabajo se presentan con detalle los problemas que se pueden plantear en este tpo de ajustes y las solucones aplcadas empleando el programa SAS/ETS. Palabras clave: Bomasa arbórea, Funcón de perfl de tronco, Datos no balanceados, Regresón SUR, Adtvdad, Compatbldad DESCRIPCIÓN DE LOS PROBLEMAS En la construccón de modelos de crecmento y predccón de la evolucón de un árbol o de un bosque es relatvamente frecuente tener que realzar ajustes smultáneos de sstemas de ecuacones. Dos de estas stuacones muy habtuales son el ajuste de sstemas de ecuacones de estmacón de bomasa por fraccones del árbol y los sstemas compatbles de estmacón de volúmenes de árboles. ISSN: Socedad Española de Cencas Forestales 35

2 J.G. ÁLVAREZ-GONZÁLEZ et al. «Resolucón de problemas del ajuste smultáneo de sstemas de ecuacones: heterocedastcdad y varables» A contnuacón se descrben estos dos sstemas de ecuacones y los problemas que dervan de su ajuste: Ajuste de ecuacones de bomasa por fraccones arbóreas Una de las propedades más mportantes que deben cumplr las ecuacones que estman la bomasa de las dferentes fraccones de un árbol es la llamada adtvdad (KOZAK, 970; CHIYENDA & KOZAK, 984; CUNIA, 986; PARRESOL, 999. Esta característca consste en que la suma de las estmacones de los pesos de todos los componentes o fraccones debe ser gual a la estmacón del peso del árbol completo. Exsten tres procedmentos para forzar esta propedad en un sstema de ecuacones lneales, dependendo de cómo se agreguen los dferentes componentes. El procedmento más sencllo (Procedmento consste en ajustar de forma ndvdual los modelos de cada fraccón (w^ y obtener la estmacón del peso total como suma de los modelos de todas las fraccones (SRIVASTAVA & GILES, 987: [] donde x, x,, x son las varables ndependentes usadas para cada fraccón. S se emplea este procedmento, cada modelo puede nclur dferentes varables explcatvas. Además, se pueden plantear modelos lneales y no lneales en el sstema. Otra ventaja es que no es necesaro tener datos de todas las fraccones de todos los árboles. Sn embargo, no consdera la dependenca entre los errores de los componentes del árbol y es muy dfícl estmar la suma de los errores. De esta forma, la varanza de la estmacón de la bomasa total, s (w^ total, es muy elevada, puesto que su valor depende de las varanzas de las estmacones de cada fraccón, s (w^, así como de las covaranzas entre estmacones, con (w^, w^ j, tal y como se refleja en la sguente expresón: s total M = ( x ( x ( x = = + ( total = s ( + Cov(, j = + L + [] En consecuenca, el procedmento podría dar lugar a una acumulacón de errores en la predccón de la bomasa total, lo que normalmente no será deseable, por ser la estmacón de esta varable con frecuenca de mayor mportanca que el propo desglose en componentes de la msma. Una alternatva sería ajustar la ecuacón de bomasa total y las ecuacones de todas las fraccones excepto aquella para la que se requera una menor exacttud (Procedmento. Las estmacones de esta fraccón se obtenen restando a las estmacones de bomasa total las de las restantes fraccones. Sn embargo, en estos casos es frecuente que se obtengan valores negatvos al realzar estas restas. El procedmento garantza la adtvdad empleando las msmas varables explcatvas en las ecuacones de regresón de los dferentes componentes del árbol y en la de bomasa total, tal y como refleja el sstema [3]. De este modo, los valores de los parámetros del modelo de estmacón del peso total resultan de la suma de los parámetros obtendos para cada varable explcatva al ajustar el modelo a cada fraccón por separado. En el caso de emplear mínmos cuadrados ponderados se han de usar las msmas ponderacones en las regresones de todos los componentes. Pese a la oblgacón de emplear el msmo modelo en los componentes y en la bomasa total, algunos autores han consegudo salvar este condconante empleando mínmos cuadrados restrngdos (CHIYENDA & KOZAK, 984. = β + β x + β x β x total =... + β... + = β M 0 = β β x + β + β x + β x x ( β 0 + β β 0 + ( β + x + ( β + β β ( β j + β j β j x j [3] El prncpal nconvenente de este procedmento radca en asumr que los componentes de un msmo árbol son ndependentes, esto es, que no hay dependenca entre los errores, lo que no es certo en la mayoría de los casos. Además, las ecuacones ajustadas para cada fraccón no tenen porqué ser las mejores desde el punto de vsta estadístco, e ncluso algunos coefcentes de j β β j j β x j x j x + j + 36

3 Cuad. Soc. Esp. Cenc. For. 3: 35-4 (007 «Actas de la II Reunón sobre aspectos práctcos de la Modelzacón Forestal» la regresón se ncluyen en la expresón fnal del modelo aunque no sean sgnfcatvamente dstntos de cero. De forma contrara a lo comentado para el procedmento, en este caso la adtvdad no está garantzada s no se dspone de datos para todas las fraccones de todos los árboles, por lo que sería necesaro fltrar la nformacón y consderar en el ajuste úncamente los pes de los que se dspusese de valores de peso de todos los componentes arbóreos. Asumendo la hpótess de ndependenca entre componentes, la varanza de la estmacón de la bomasa total, s (ŵ total, es la suma de las varanzas de las fraccones arbóreas,. s [4] Por otro lado, la necesdad de emplear las msmas varables regresoras en todas las ecuacones de bomasa mplca en muchos casos la aparcón de multcolnealdad. Forzar el ajuste del msmo modelo para cada una de las componentes podría dar lugar a una falta de sgnfcacón de alguno de ellos, o de la estmacón de alguno de los parámetros. Por ejemplo, es frecuente que el dámetro de copa sea una buena varable ndependente en las ecuacones de estmacón de las fraccones de copa, sn embargo, no aporta mejoras en las ecuacones de madera o corteza. Además, el número de parámetros a estmar se ncrementa mucho, lo que va en contra de la necesara parsmona del sstema. El procedmento 3 es el más flexble, pero es tambén la de más dfícl utlzacón. Se basa en el ajuste de un sstema de ecuacones aparentemente no relaconadas y formado por las funcones de regresón de los componentes arbóreos junto con el de bomasa total (Sstema [5]. ( total = s ( M ( x ( x = ( x ( [5] total total x, x, L, x En este sstema, no es necesaro que las ecuacones de cada fraccón arbórea presenten la msma expresón matemátca n las msmas varables ndependentes. Las varables explcatvas del modelo de bomasa total son todas las varables regresoras que aparecen en los modelos de cada componente. Por otro lado, en este caso no es necesaro dsponer de datos de peso de todas las fraccones consderadas en todos los árboles muestreados. Se pueden emplear además dferentes ponderacones en las ecuacones de cada fraccón resueltas medante regresón por peso. Este sstema, sn relacones analítcas entre ecuacones, se suele resolver empleando la regresón SUR (Seemngly Unrelated Regresson, conocda tambén como mínmos cuadrados generalzados conjuntos. Se trata de una generalzacón del método de regresón por mínmos cuadrados ordnaros (Ordnary Least Squares, OLS para un sstema de ecuacones. Como OLS, el método SUR asume que todas las varables regresoras son varables ndependentes, pero SUR usa la correlacón entre los errores de dferentes ecuacones (es decr, cov (e, e j 0 para los pares de y de j para mejorar la efcenca de las estmacones. El sstema de ecuacones resultante del ajuste es sempre el mejor posble, aunque el ajuste de las ecuacones de cada fraccón de forma ndvdual no sea necesaramente el mejor. El empleo de regresón SUR en el ajuste smultáneo de las ecuacones de bomasa de las dstntas fraccones arbóreas planteadas mplca consderar este conjunto de funcones como un sstema de ecuacones aparentemente no relaconadas, que responde a la sguente forma: y = β0 + β x + β x + e [6] y = β + β x + β x + e 0 3 y3 = β 30 + β 3 x5 + β 3 x6 + e3 Las varables que se encuentran en la parte zquerda de la ecuacón se denomnan varables endógenas o dependentes, ya que están determnadas dentro del sstema de ecuacones. Las varables que aparecen en la parte derecha de la ecuacón se denomnan predetermnadas, y pueden ser tambén varables endógenas cuyos valores se han determnado en el propo modelo (varables nstrumentales, o varables cuyos valores se han meddo drectamente y por tanto no han sdo estmadas por el sstema (varables exógenas. El ajuste de ecuacones de bomasa presenta problemas de heterocedastcdad. Una de las metodologías utlzadas para la correccón de 4 37

4 J.G. ÁLVAREZ-GONZÁLEZ et al. «Resolucón de problemas del ajuste smultáneo de sstemas de ecuacones: heterocedastcdad y varables» este problema es el empleo de pesos o regresón ponderada (SCHLAEGEL, 98; CLUTTER et al., 983; CUNIA, 986; PARRESOL, 999. En el análss por pesos o regresón ponderada se asoca a cada observacón un peso gual a la nversa de su varanza (σ. Habtualmente, esta varanza está relaconada con una o más de las varables ndependentes, por lo que la aplcacón de esta metodología mplca conocer dcha relacón, lo que resulta bastante complcado. Con bastante frecuenca, al examnar los gráfcos de resduos frente a las varables ndependentes se observa que la varanza se ncrementa de forma notable cuando aumenta el valor de la varable ndependente (x. Este tpo de heterocedastcdad se puede corregr empleando una funcón potencal como peso σ = x (NETER et al., 996. El valor del exponente se puede determnar empleando la metodología de optmzacón propuesta por HARVEY (976, que consste en usar los errores del modelo ajustado sn pesos (ê como varable dependente en el modelo potencal de varanza del error, es decr: [7] e ˆ = o ben ln e ˆ = a + ln( x Ajuste de sstemas compatbles de estmacón de volúmenes de árboles Idealmente, un sstema de estmacón de volumen debería ser compatble, es decr, el volumen estmado al ntegrar la funcón de perfl desde la base hasta el ápce del árbol debería concdr con el estmado por una tarfa de cubcacón para la msma espece y área geográfca (DEMAERSCHALK, 97; CLUTTER, 980. La forma más comúnmente empleada para garantzar esta compatbldad ha sdo expresar el coefcente β del modelo de varable combnada de Spurr (SPURR, 95 sn térmno ndependente (V = β d h, donde V es el volumen total, d el dámetro normal y h la altura total del árbol en funcón de los parámetros estmados en una funcón de perfl, o vceversa, usando una relacón de compatbldad entre ambas ecuacones. Un ejemplo de este tpo de compatbldad es el sstema de estmacón de volumen dervado de la funcón de perfl propuesta por KOZAK et al. (969: d x h = b h h b d h [8] donde d es el dámetro del tronco del árbol a la altura h ; d es el dámetro normal; h la altura total y b ( =, son los parámetros del modelo a estmar. La ntegracón de la ecuacón [8] entre la base y el ápce del árbol da lugar a una expresón smlar al modelo de varable combnada de Spurr: h π h π h v = d dh = b b h h π b b d dh = d h [9] h 4 3 π b b = β d h con β = 4 3 Por tanto, en este caso la compatbldad entre la funcón de perfl y la tarfa de cubcacón es que el parámetro β de esta últma vene dado por la sguente relacón con los parámetros b de la funcón de perfl: π b = b β [0] 4 3 La compatbldad entre la funcón de perfl y la tarfa de cubcacón no depende del procedmento de estmacón de los parámetros, por lo que se pueden emplear tres dferentes metodologías: ( estmar los parámetros de la funcón de perfl usando los datos de árboles tpo con medcones de dámetro a dferentes alturas y, posterormente, calcular el valor del parámetro β usando la relacón de compatbldad dada en la ecuacón [0]; ( estmar el parámetro β de la tarfa de cubcacón utlzando los datos de dámetro normal, altura y volumen total de árboles tpo y, posterormente, estmar los parámetros de la funcón de perfl usando los datos de dámetros a dferentes alturas de árboles tpo pero mponendo en el ajuste la condcón de compatbldad dada por la ecuacón [0]; ( ajustar ambas ecuacones (la funcón de perfl y la tarfa de cubcacón smultáneamente, empleando en la tarfa de cubcacón la expresón completa en la que el valor del parámetro β se susttuye por la expresón de compatbldad (ecuacón [0]. Las dos prmeras opcones permten obtener la mejor estmacón de dámetros a una altura dada o del volumen total, dependendo de s se ha prorzado en el ajuste a la funcón de perfl o a la tarfa 38

5 Cuad. Soc. Esp. Cenc. For. 3: 35-4 (007 «Actas de la II Reunón sobre aspectos práctcos de la Modelzacón Forestal» de cubcacón, respectvamente; es decr, s se ha ajustado prmero la funcón de perfl y ese ajuste defne la expresón matemátca de la tarfa de cubcacón o, por el contraro, ha sdo a la nversa. La tercera opcón permte obtener un mínmo en la suma de cuadrados del error del sstema en su conjunto, es decr, smultáneamente mnmza los errores del dámetro a dferentes alturas y los errores en la estmacón de volúmenes. El prncpal problema metodológco que presenta el ajuste smultáneo de este tpo de sstemas compatbles de volumen es que el número de observacones a utlzar en cada una de las dos ecuacones no es el msmo. Para cada árbol sólo hay una observacón de volumen total para ajustar la tarfa de cubcacón; sn embargo, hay más de una observacón por árbol del dámetro a dferentes alturas (en el caso más smple se cuenta con tres observacones por árbol: dámetro a la altura del tocón, dámetro a la altura normal y dámetro a la altura total. Por ejemplo, en la tabla aparecen las observacones de dos árboles tpo con 5 y 6 medcones de dámetro a dferentes alturas del tronco y un únco valor de volumen total. Para resolver este problema se propone crear una estructura especal para la base de datos de partda: la observacón de volumen total de cada árbol se asgna repetdamente a cada una de las observacones de dámetro a dferentes alturas del msmo árbol. Para evtar el problema que supone la adcón de nuevos datos en un número dferente a cada árbol (puesto que no todos tenen el msmo número de observacones de dámetros a lo largo del tronco, a cada observacón de volumen se le asgna un peso en el ajuste gual a la nversa del número de observacones de cada árbol (n. Contnuando con el ejemplo anteror, la estructura de datos empleada para el ajuste sería la mostrada en la tabla. La estmacón de los parámetros de los dos sstemas de ecuacones se puede realzar con el procedmento MODEL del programa SAS/ETS (SAS INSTITUTE INC., 004, utlzando la metodología SUR (Seemngly Unrelated Regresson (ZELLNER, 96. El peso asocado a cada observacón peso se debe nclur en el ajuste especfcando en el programa la opcón resd.v = resd.v/ peso. Con esta opcón los resduos (resd.v son multplcados por la raíz cuadrada del peso porque esta funcón afecta al resduo antes de que sea elevado al cuadrado para determnar la suma de cuadrados (SAS INSTITUTE INC., 004. PROGRAMAS EMPLEADOS EN CADA AJUSTE Ajuste de ecuacones de bomasa por fraccones arbóreas En la fgura se muestra el esquema del programa que se puede utlzar para ajustar un sstema de ecuacones de estmacón de bomasa por fraccones con el programa SAS/ETS (SAS INSTITUTE INC., 004. árbol h (m d (m d (m h (m volumen (m 3 0,00 0,5 0, 8,0 0,0359,30 0, 4,00 0,06 6,5 0,04 8,0 0,00 0,00 0,7 0,3,35 0,0605,30 0,3 4,00 0,08 7,6 0,04 0,0 0,0,35 0,00 Tabla. Ejemplo de estructura de datos de árboles tpo para el ajuste de sstemas compatbles de volumen, sendo d el dámetro a dferentes alturas, h, d el dámetro normal y h la altura total 39

6 J.G. ÁLVAREZ-GONZÁLEZ et al. «Resolucón de problemas del ajuste smultáneo de sstemas de ecuacones: heterocedastcdad y varables» árbol h (m d (m d (m h (m volumen (m 3 Peso 0,00 0,5 0, 8,0 0,0359 /5,30 0, 0, 8,0 0,0359 /5 4,00 0,06 0, 8,0 0,0359 /5 6,5 0,04 0, 8,0 0,0359 /5 8,0 0,00 0, 8,0 0,0359 /5 0,00 0,7 0,3,35 0,0605 /6,30 0,3 0,3,35 0,0605 /6 4,00 0,08 0,3,35 0,0605 /6 7,6 0,04 0,3,35 0,0605 /6 0,0 0,0 0,3,35 0,0605 /6,35 0,00 0,3,35 0,0605 /6 Tabla. Ejemplo de estructura de datos de árboles tpo modfcada para el ajuste smultáneo de sstemas compatbles de volumen Ajuste de sstemas compatbles de estmacón de volúmenes de árboles En la fgura se muestra el esquema del programa que se puede utlzar para ajustar un sstema de ecuacones compatble formado por una funcón de perfl y una tarfa de cubcacón empleando el programa SAS/ETS (SAS INSTITUTE INC., 004. BIBLIOGRAFÍA CHIYENDA, S.S. & KOZAK, A.; 984. Addtvty of component bomass regresson equatons when the underlyng model s lnear. Can. J. For. Res. 4: CLUTTER, J.L.; 980. Development of taper functons from varable-top merchantable volume equatons. For. Sc. 6: 7-0. CLUTTER, J.L.; FORSTON, J.C.; PIENAAR, L.V.; BRISTER, G.H. & BAILEY, R.L.; 983. Tmber management: a quanttatve approach. Wley. New Yor. CUNIA, T.; 986. Constructon of tree bomass tables by lnear regresson technques. In: Estmatng tree bomass regressons and ther error. Proceedngs of the Worshop on tree bomass regresson functons and ther contrbuton to the error of forest nventory estmates: Syracuse. New Yor. DEMAERSCHALK, J.; 97. Convertng volume equatons to compatble taper equatons. For. Sc. 8: HARVEY, A.C.; 976. Estmatng regresson models wth multplcatve heteroscedastcty. Econometrca 44: KOZAK, A.; 970. Methods of ensurng addtvty of bomass components by regresson analyss. For. Chron. 46: KOZAK, A.; MUNRO, D. & SMITH, J.; 969. Taper functons and ther applcaton n forest nventory. For. Chron. 45: NETER, J.; KUTNER, M.H.; NACHTSHEIM, C.J. & WASSERMAN, W.; 996. Appled lnear statstcal models. 4th edton. McGraw-Hll. New Yor. PARRESOL, B.R.; 999. Assessng tree and stand bomass: a revew wth examples and crtcal comparsons. For. Sc. 45: SAS INSTITUTE INC.; 004. SAS/ETS 9. User s Gude. Cary, NC: SAS Insttute Inc. SCHLAEGEL, B.E.; 98. Acer negundo bomass component regresson analyss for the Mssssp Delta. For. Sc. 8: SPURR, S.H.; 95. Forest nventory. The Ronald Press Co. New Yor. SRIVASTAVA, V.K. & GILES, D.E.A.; 987. Seemngly Unrelated Regresson Equatons Models: Estmaton and Inference. Marcel Deer. New Yor. ZELLNER, A.; 96. An effcent method of estmatng seemngly unrelated regressons and test for aggregaton bas. J. Am. Stat. Assoc. 57:

7 Cuad. Soc. Esp. Cenc. For. 3: 35-4 (007 «Actas de la II Reunón sobre aspectos práctcos de la Modelzacón Forestal» #En prmer lugar se ajusta cada ecuacón por separado para determnar la expresón más adecuada. En este caso se prueba un modelo alométrco para ajustar la fraccón de madera a los datos que están en un fchero SAS cuya localzacón vene ndcada por el nombre de la bbloteca en la que está ubcado el fchero y por su nombre asgnado en SAS (nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo. Los parámetros del modelo son b, b y b3 a los que se debe asgnar un valor numérco de partda en el comando ft de la sntaxs del procedmento model. Se ncluye la opcón out=resduos en el comando ft para crear un fchero que contenga los errores del modelo. La varable que contene estos errores se denomna, por defecto, con el msmo nombre de la varable dependente del modelo, es decr, en este caso se denomna madera# proc model data = nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo; parms b b b3; madera = b*d**b*h**b3; ft madera start = (b = valor_de_partda b = valor_de_partda b3 = valor_de_partda/out = resduos; #A contnuacón se determna el valor del exponente del peso empleando la metodología de optmzacón propuesta por HARVEY (976 y que consste en usar los errores del modelo ajustado sn pesos (ê como varable dependente en el modelo potencal de varanza del error de la ecuacón [7]. El fchero que contene los resduos#: data peso; set resduos; lres = log(madera; ldh = log(d***h; proc reg data = peso; model lres = ldh; #Por últmo, una vez aplcada la msma metodología a cada fraccón de bomasa, se ajustan todas smultáneamente empleando el comando resd.fraccón para ndcar los pesos pero con la expresón ncluda dentro de una raíz cuadrada (sqrt, tal y como se ndcó en el apartado de materal y métodos. El térmno vp que aparece en el comando ft para cada parámetro ndca que se debe nclur un valor numérco de partda del procedmento teratvo de estmacón de parámetros# proc model data = nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo; var madera corteza ramas accula total d h; parms b b b3 b b b3 b3 b4; madera = b*d**b*h**b3; resd.madera = resd.madera / sqrt(dh**parámetro_ldh; corteza = b*d**b*h**b3; resd.corteza = resd.corteza / sqrt(obtener_peso; ramas = b3*d**; resd.ramas = resd.ramas / sqrt(obtener_peso; accula = b4*d**; resd.accula = resd.accula / sqrt(obtener_peso; total = b*d**b*h**b3+b*d**b*h**b3+b3*d**+b4*d*; resd.total = resd.total / sqrt(obtener_peso; ft madera corteza ramas accula total start = (b vp b vp b3 vp b vp b vp b3 vp b3 vp b4 vp / sur out=salda; qut; Fgura. Esquema del programa de SAS/ETS para el ajuste de un sstema de ecuacones de estmacón de bomasa por fraccones arbóreas. Madera, corteza, ramas, acícula, total, d y h son varables del fchero de datos que contenen el peso seco de la bomasa de madera, corteza, ramas, acículas y total, así como el dámetro normal del árbol y su altura total, respectvamente 4

8 J.G. ÁLVAREZ-GONZÁLEZ et al. «Resolucón de problemas del ajuste smultáneo de sstemas de ecuacones: heterocedastcdad y varables» #En prmer lugar se ajusta la tarfa de cubcacón (varable vm3arbol para determnar el peso a nclur para evtar problemas de falta de homogenedad de varanza. Se aplca tambén la metodología propuesta por HARVEY (976 para estmar el valor del exponente de la ecuacón [7]. De nuevo el fchero SAS con los datos se ndca por el nombre de la bbloteca en la que esta ubcado y por su nombre de archvo asgnado en SAS (nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo. El parámetro del modelo es alpha y se le debe asgnar un valor numérco de partda en el comando ft de la sntaxs del procedmento model. Se ncluye la opcón out=resduos en el comando ft para crear un fchero que contenga los errores del modelo. La varable que contene estos errores se denomna, por defecto, con el msmo nombre de la varable dependente del modelo, es decr, en este caso se denomna vm3arbol# proc model data = nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo; parms alpha; vm3arbol=alpha*d***h; ft vm3arbol start=(alpha = valor_de_partda / out=resduos; qut; data peso; set resduos; lres=log(vm3arb; ldh=log(d***h; proc reg data=peso; model lres=ldh; #Fnalmente, se ajustan smultáneamente la tarfa de cubcacón (varable vm3arbol y la funcón de perfl (varable d empleando el comando resd.vm3arbol para ndcar la ponderacón de los datos de la tarfa. La ponderacón tene dos térmnos: N, que es una varable del fchero de datos que ndca el número de veces que se repte cada observacón de volumen (según la modfcacón de la estructura de datos que se comentó en el apartado de Descrpcón de los problemas y el térmno que corrge la heterocedastcdad con el valor del exponente antes calculado según la metodología de HARVEY (970. Ambos térmnos deben estar multplcados e ncludos dentro de una raíz cuadrada (sqrt, tal y como se ndcó en el apartado de materal y métodos. El térmno vp que aparece en el comando ft para cada parámetro ndca que se debe nclur un valor numérco de partda del procedmento teratvo de estmacón de parámetros# proc model data = nombre_de_bbloteca.nombre_de_archvo; parms b b; =(3.4596/4; z=(h-h/h; q=h/h; vm3arbol=d***h*(*((b/-(*b/3; resd.vm3arbol=resd.vm3arbol/sqrt(n*(d***h**parametro_ldh; d=sqrt(b*(q**--b*(q-*d; ft vm3arbol d start=(b=vp b=vp/sur out=salda; Fgura. Esquema del programa de SAS/ETS para el ajuste de un sstema compatble formado por una funcón de perfl y una tarfa de cubcacón. Las varables del fchero de datos son: Vm3arbol, que contene el volumen de cada árbol tpo; d que es el dámetro del tronco a la altura h ; d que es el dámetro normal del árbol y h que es su altura total 4