Algunas de las primeras investigaciones en el campo de la física nacieron de

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1 13 GRAVITACIÓN OBJETIVO DE APRENDIZAJE Al estudia este capítulo, usted apendeá: Cómo calcula las fuezas gavitacionales que dos cuepos cualesquiea ejecen uno sobe el oto. Cómo se elaciona el peso de un objeto con la expesión geneal de la fueza gavitacional. Cómo utiliza e intepeta la expesión geneal de la enegía potencial gavitacional.? Los anillos de atuno están compuestos de incontables patículas en óbita. Todas las patículas obitan con la misma apidez, o las patículas inteioes obitan con mayo apidez, o mayo lentitud, que las exteioes? Cómo se elacionan la apidez, el peiodo obital y la enegía mecánica de un satélite en una óbita cicula. Las leyes que desciben los movimientos de los planetas y cómo tabaja con ellas. Qué son los agujeos negos, cómo calcula sus popiedades y cómo se descuben. Algunas de las pimeas investigaciones en el campo de la física nacieon de peguntas que la gente se hacía aceca del fimamento. Po qué la Luna no se cae hacia la Tiea? Po qué los planetas se mueven en el cielo? Y po qué la Tiea no sale despedida hacia el espacio exteio, en luga de pemanece en óbita alededo del ol? El estudio de la gavitación esponde a estas y muchas otas peguntas elacionadas. Como enfatizamos en el capítulo 5, la gavitación es una de las cuato clases de inteacciones que obsevamos en la natualeza, y fue la pimea que se estudió ampliamente. En el siglo XVII, Newton descubió que la misma inteacción que hace que una manzana caiga de un ábol mantiene a los planetas en óbita alededo del ol. Ese fue el nacimiento de la mecánica celeste, es deci, el estudio de la dinámica de los objetos en el espacio. En la actualidad, nuesto conocimiento de la mecánica celeste nos pemite detemina cómo pone un satélite en una óbita deseada alededo de la Tiea, o cómo elegi la tayectoia coecta paa envia una nave a oto planeta. En este capítulo estudiaemos la ley básica que ige las inteacciones gavitacionales. e tata de una ley univesal: la fueza de gavedad actúa fundamentalmente de la misma manea ente la Tiea y nuesto cuepo, ente el ol y un planeta, y ente un planeta y sus lunas. Aplicaemos la ley de la gavitación a fenómenos como la vaiación del peso con la altitud, las óbitas de los satélites teestes y las de los planetas alededo del ol Ley de Newton de la gavitación El ejemplo de atacción gavitacional que pobablemente esulta más conocido paa el lecto es su peso, la fueza que lo atae hacia la Tiea. Al estudia el movimiento de los planetas y la Luna, Newton descubió la caacteística fundamental de la atacción 402

2 13.1 Ley de Newton de la gavitación 403 gavitacional ente dos cuepos cualesquiea. Junto con sus tes leyes del movimiento, en 1687 Newton dio a conoce la ley de la gavitación, que puede enunciase así: Toda patícula de mateia en el Univeso atae a todas las demás patículas con una fueza diectamente popocional al poducto de las masas de las patículas, e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Taduciendo esto a una ecuación, tenemos F g = Gm 1 m 2 2 (ley de la gavitación) (13.1) donde F g es la magnitud de la fueza gavitacional que actúa sobe cualquiea de las patículas, m 1 y m 2 son sus masas, es la distancia ente ellas (figua 13.1), y G es una constante física fundamental llamada constante gavitacional. El valo numéico de G depende del sistema de unidades empleado. La ecuación (13.1) nos indica que la fueza gavitacional ente dos patículas disminuye al aumenta la distancia ; po ejemplo, si se duplica la distancia, la fueza se educiá a la cuata pate, y así sucesivamente. Aunque muchas estellas del fimamento tienen una masa mucho mayo que la del ol, están tan lejos que la fueza gavitacional que ejecen sobe la Tiea es insignificante. CUIDADO No confunda g con G Como los símbolos g y G son muy paecidos, es común confundi las dos cantidades gavitacionales tan difeentes que epesentan. Po un lado, g minúscula es la aceleación debida a la gavedad, que elaciona el peso w de un cuepo con su masa m: w = mg. El valo de g vaía en difeentes puntos de la supeficie teeste y en la supeficie de otos planetas. En cambio, G mayúscula elaciona la fueza gavitacional ente dos cuepos con sus masas y la distancia ente ellos. Decimos que G es una constante univesal poque tiene el mismo valo paa dos cuepos cualesquiea, sin impota dónde se encuenten. En la siguiente sección veemos la elación ente los valoes de g y G. Las fuezas gavitacionales siempe actúan a lo lago de la línea que une las dos patículas, y foman un pa acción-eacción. Aun si las masas de las patículas difieen, las dos fuezas de inteacción tienen la misma magnitud (figua 13.1). La fueza de atacción que el cuepo del lecto ejece sobe la Tiea tiene la misma magnitud de la fueza que la Tiea ejece sobe el lecto. i caemos de un tampolín a una albeca, toda la Tiea sube hacia nosotos! (No lo notamos poque la masa de la Tiea es unas veces mayo que la de una pesona, así que la aceleación de la Tiea es solo veces la de la pesona). Gavitación y cuepos esféicamente siméticos Hemos planteado la ley de la gavitación en téminos de la inteacción ente dos patículas. Resulta que la inteacción gavitacional ente dos cuepos con distibuciones de masa esféicamente siméticas (ya sean sólidas o huecas) es la misma que si toda la masa estuviea concentada en el cento, como se muesta en la figua Así, si modelamos la Tiea como un cuepo esféicamente simético de masa m E, la fueza que ejece sobe una patícula o un cuepo esféicamente simético con masa m, a una distancia ente los centos, es 13.1 Fuezas gavitacionales ente dos patículas de masas m 1 y m 2. m 1 F g (2 sobe 1) Dos patículas cualesquiea se ataen ente sí po las fuezas gavitacionales. Incluso si las patículas tienen masas muy distintas, las fuezas gavitacionales que ejecen ente sí son de la misma intensidad: F g (1 sobe 2) 5 F g (2 sobe 1) F g (1 sobe 2) m El efecto gavitacional afuea de cualquie distibución de masa esféicamente simética es el mismo que si toda la masa estuviea concentada en su cento. a) La fueza gavitacional ente dos masas esféicamente siméticas m 1 y m 2... R 1 m 1 F g b)... es la misma que si se considea que toda la masa de cada esfea estuviea concentada en el cento. m 1 F g F g = Gm E m 2 (13.2) siempe y cuando el cuepo se encuente en el exteio de la Tiea. El cuepo ejece una fueza de la misma magnitud sobe la Tiea. (Demostaemos esto en la sección 13.6). En puntos dento de la Tiea, la situación es difeente. i pudiéamos talada un agujeo hasta el cento de la Tiea y medi la fueza gavitacional sobe un cuepo a difeentes pofundidades, veíamos que disminuye hacia el cento, en luga de aumenta F g R 2 m 2 F g m 2

3 404 CAPÍTULO 13 Gavitación 13.3 Cuepos esféicos y no esféicos: Júpite y una de sus lunas pequeñas, Amaltea. La masa de Júpite es muy gande ( kg), así que la atacción gavitacional mutua de sus pates ha hecho que el planeta adquiea una foma casi esféica. 100,000 km 100 km Amaltea, una de las lunas de Júpite, tiene una masa elativamente insignificante ( kg, alededo de la masa de Júpite) y su atacción gavitacional mutua es débil, po lo que tiene una foma iegula. según 1 2. Confome el cuepo enta a la Tiea (o de oto cuepo esféico), pate de la masa de la Tiea queda del lado del cuepo opuesto al cento y tia en la diección contaia. En el cento exacto de la Tiea, la fueza gavitacional sobe el cuepo es ceo. Los cuepos esféicamente siméticos son casos impotantes poque las lunas, los planetas y las estellas tienden a se esféicos. Puesto que todas las patículas de un cuepo se ataen gavitacionalmente ente sí, tienden a movese paa educi al mínimo la distancia que las sepaa. El esultado es que el cuepo tiende natualmente a adopta una foma esféica, como sucede cuando un tozo de acilla foma una esfea si lo apetamos con fuezas iguales po todos lados. Este efecto se educe mucho en los cuepos celestes de masa pequeña poque la atacción gavitacional es meno, y estos cuepos tienden a no se esféicos (figua 13.3). Deteminación del valo de G Paa detemina el valo de la constante de gavitación G, debemos medi la fueza gavitacional ente dos cuepos de masas conocidas m 1 y m 2 sepaados po una distancia conocida. La fueza es muy pequeña paa cuepos que caben en un laboatoio, aunque puede medise con un instumento llamado balanza de tosión, que i Heny Cavendish usó en 1798 paa detemina G. En la figua 13.4 se muesta una vesión modena de la balanza de tosión de Cavendish. Una vailla ligea y ígida en foma de T invetida es sostenida po una fiba vetical de cuazo muy delgada. Dos esfeas pequeñas de masa m 1 se montan en los extemos de los bazos hoizontales de la T. i colocamos dos esfeas gandes de masa m 2 en las posiciones indicadas, las fuezas de atacción gavitacionales hacen gia la T un ángulo pequeño. Paa medi el ángulo, hacemos incidi un ayo de luz en un espejo sujeto a la T. El haz eflejado incide en una escala, y al gia la T, la luz eflejada se mueve en la escala. Después de caliba la balanza de Cavendish, podemos medi las fuezas gavitacionales y así detemina G. El valo aceptado actualmente es G = * N # m 2 >kg 2 Con tes cifas significativas, G = 6.67 * N?m 2 kg 2. Como 1 N = 1 kg?m s 2, las unidades de G también pueden expesase como m 3 (kg?s 2 ). Las fuezas gavitacionales se combinan vectoialmente. i cada una de dos masas ejece una fueza sobe una tecea, la fueza total que actúa sobe esta es la suma vectoial de las fuezas individuales de las dos pimeas. El ejemplo 13.3 apovecha esta popiedad, la cual se conoce como supeposición de fuezas Pincipio de la balanza de Cavendish, empleada paa detemina el valo de G. El ángulo de desviación se exageó paa efectos de claidad. 1 La gavitación atae las masas pequeñas hacia las masas más gandes, povocando que la fiba vetical de cuazo gie. Las esfeas pequeñas alcanzan una nueva posición de equilibio cuando la fueza elástica ejecida po la fiba de cuazo tocida equiliba la fueza gavitacional ente las masas. Masa gande 1m 2 2 Fiba de cuazo Espejo m 1 2 Fg La desviación del ayo láse indica cuánto se ha tocido la fiba. Una vez que se caliba el instumento, este esultado popociona el valo de G. Rayo láse m 2 Escala Láse F g Masa pequeña 1m 1 2

4 13.1 Ley de Newton de la gavitación 405 Ejemplo 13.1 Cálculo de la fueza gavitacional La masa m 1 de una de las esfeas pequeñas de una balanza de Cavendish es de kg, la masa m 2 de la esfea gande es de kg y la distancia ente centos es de m. Calcule la fueza gavitacional F g que actúa sobe cada esfea debida a la ota. OLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Como los objetos son esféicamente siméticos, podemos calcula F g suponiendo que son patículas que están sepaadas m, como en la figua Cada esfea expeimenta una fueza de la misma magnitud poveniente de la ota esfea. Usamos la ley de la gavitación de Newton, ecuación (13.1), paa detemina F g : F g = * N # m 2 >kg kg kg m2 2 = 1.33 * N EVALUAR: Es notable que una fueza tan pequeña pudiea medise, o inclusive detectase, hace más de 200 años. olo un objeto en vedad masivo, como la Tiea, ejece una fueza gavitacional que podemos pecibi. Ejemplo 13.2 Aceleación debida a la atacción gavitacional uponga que las dos esfeas del ejemplo 13.1 se colocan con sus centos sepaados m en un punto del espacio lejos de otos cuepos. Qué magnitud tiene la aceleación de cada una, elativa a un sistema inecial? OLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Cada esfea ejece sobe la ota una fueza gavitacional de la misma magnitud F g, la cual se calculó en el ejemplo e despecia cualquie ota fueza. Las magnitudes de las aceleaciones a 1 y a 2 de las dos esfeas son difeentes poque sus masas son distintas. Paa deteminalas usaemos la segunda ley de Newton: a 1 = F g = 1.33 * N = 1.33 * 10-8 m>s 2 m kg a 2 = F g m 2 = 1.33 * N kg = 2.66 * m>s 2 EVALUAR: La esfea más gande tiene 50 veces la masa de la esfea 1 más pequeña y, po lo tanto, tiene 50 de su aceleación. Estas aceleaciones no son constantes; las fuezas gavitacionales aumentan cuando las esfeas comienzan a movese una hacia la ota. Ejemplo 13.3 upeposición de fuezas gavitacionales Muchas estellas petenecen a sistemas de dos o más estellas que se mantienen juntas gacias a su atacción gavitacional mutua. La figua 13.5 muesta un sistema de tes estellas en un instante en que están en los vétices de un tiángulo ectángulo de 45. Calcule la fueza gavitacional total ejecida sobe la estella pequeña po las dos gandes. OLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Usaemos el pincipio de supeposición: la fueza total F que actúa sobe la estella pequeña es la suma vectoial de las fuezas F y F 1 2 debidas a cada estella gande, como se muesta en la figua uponemos que las estellas son esfeas como en la figua Pimeo calculamos las magnitudes F 1 y F 2 usando la ecuación (13.1); luego, calculamos la suma vectoial empleando componentes: F 1 = F 2 = c = 6.67 * N c * N # m 2 >kg 2 2 * * kg * kg2 d * m * m * N # m 2 >kg 2 2 * * kg * kg2 d = 1.33 * N * m La fueza gavitacional total que actúa sobe la estella pequeña (en O) es la suma vectoial de las fuezas ejecidas sobe ella po las dos estellas más gandes. (Como compaación, la masa del ol, una estella típica, es de 1.99 * kg, y la distancia ente la Tiea y el ol es de 1.50 * m) kg O Las componentes x y y de estas fuezas son y F 1 u F m kg m x kg F 1x = * N21cos 45 2 = 4.72 * N F 1y = * N21sen 45 2 = 4.72 * N F 2x = 1.33 * N F 2y = 0 F Continúa

5 406 CAPÍTULO 13 Gavitación que actúa sobe la estella pe- Las componentes de la fueza total queña son F x = F 1x + F 2x = 1.81 * N F y = F 1y + F 2y = 4.72 * N F EVALUAR: i bien la magnitud F de la fueza es enome, la magnitud de la aceleación esultante no lo es: a = F m = (1.87 * N) (1.00 * kg) = 1.87 * 10-4 m s 2. Además, la fueza F no está diigida hacia el cento de masa de las dos estellas gandes. La magnitud de F y su ángulo u (véase la figua 13.5) son F = 2F 2 x + F 2 y = * N * N2 2 = 1.87 * N F y 4.72 * N u = actan = actan F x 1.81 * N = Nuesto istema ola foma pate de una galaxia espial como esta, que contiene apoximadamente estellas, junto con gas, polvo y otos mateiales. El conjunto total se mantiene unido gacias a la atacción gavitacional mutua de toda la mateia en la galaxia. Po qué son impotantes las fuezas gavitacionales? Una compaación de los ejemplos 13.1 y 13.3 evela que las fuezas gavitacionales son insignificantes ente objetos como los que tenemos en nuestas casas; peo son consideables ente objetos del tamaño de las estellas. De hecho, la gavitación es la fueza más impotante a la escala de planetas, estellas y galaxias (figua 13.6). La gavitación mantiene la integidad de la Tiea y los planetas en óbitas alededo del ol. La atacción gavitacional mutua de difeentes pates del ol compime los mateiales en su cento, hasta alcanza densidades y tempeatuas muy elevadas que hacen posible las eacciones nucleaes que ocuen ahí. Tales eacciones genean las emisiones de enegía sola, sin las cuales la vida no existiía en la Tiea. La fueza gavitacional es tan impotante a escala cósmica poque actúa a distancia, sin contacto diecto ente los cuepos. Las fuezas elécticas y magnéticas tienen esta misma popiedad notable, aunque son menos impotantes en la escala astonómica poque las acumulaciones gandes de mateia son elécticamente neutas; es deci, contienen cantidades iguales de cagas negativas y positivas. Po ello, las fuezas elécticas y magnéticas ente estellas o planetas son muy pequeñas o valen ceo. Las inteacciones fuete y débil que vimos en la sección 5.5 también actúan a distancia; no obstante, su influencia es insignificante a distancias mayoes que el diámeto de un núcleo atómico (ceca de m). Una foma útil de descibi las fuezas que actúan a distancia es en téminos de un campo. Un cuepo poduce una petubación o campo en todos los puntos del espacio, y la fueza que actúa sobe oto cuepo en un punto deteminado es la acción del campo del pime cuepo en ese punto. Hay un campo asociado a cada fueza que actúa a distancia y, po ello, nos efeimos a campos gavitacionales, elécticos, magnéticos, etcétea. En este capítulo, no necesitaemos el concepto de campo paa estudia la gavitación, así que no hablaemos más de él. in embago, en capítulos posteioes, veemos que el concepto de campo es una heamienta extemadamente útil paa descibi las inteacciones elécticas y magnéticas. Evalúe su compensión de la sección 13.1 atuno tiene apoximadamente 100 veces la masa de la Tiea y está alejado del ol casi 10 veces más que nuesto planeta. En compaación con la aceleación de la Tiea causada po la atacción gavitacional sola, qué tan gande es la aceleación de atuno debida a la gavitación 1 1 sola? i. 100 veces mayo; ii. 10 veces mayo; iii. es igual; iv. ; v Peso PhET: Luna Lande En la sección 4.4 definimos el peso de un cuepo como la fueza de atacción gavitacional que la Tiea ejece sobe él. Ahoa vamos a amplia nuesta definición: El peso de un cuepo es la fueza gavitacional total ejecida sobe este po todos los demás cuepos del Univeso.

6 13.2 Peso 407 i un cuepo está ceca de la supeficie teeste, se pueden despecia las demás fuezas gavitacionales y considea el peso tan solo como la atacción de la Tiea. En la supeficie de la Luna, tomaemos el peso de un cuepo como la atacción gavitacional de la Luna, y así sucesivamente. i de nuevo modelamos la Tiea como un cuepo esféicamente simético con adio y masa m E, el peso w de un cuepo pequeño de masa m en la supeficie teeste (a una distancia del cento) es w = F g = Gm E m 2 (peso de un cuepo de masa m en la supeficie teeste) (13.3) Aplicación Caminata y caea en la Luna Usted conviete automáticamente su caminata en caea cuando la fueza vetical que ejece sobe el suelo, que po la tecea ley de Newton es igual a la fueza vetical que el suelo ejece sobe usted, ebasa su peso. Esta tansición, de caminata a caea, sucede a apideces mucho menoes en la Luna, donde los objetos solo pesan el 17% de lo que pesan en la Tiea. De ahí que los astonautas del Apolo coían inclusive cuando se movían con elativa lentitud duante sus caminatas en la Luna. in embago, en la sección 4.4 también vimos que el peso w de un cuepo es la fueza que povoca la aceleación g en caída libe, de modo que po la segunda ley de Newton, w = mg. i igualamos esto con la ecuación (13.3) y dividimos ente m, obtenemos g = Gm E 2 (aceleación debida a la gavedad en la supeficie teeste) (13.4) La aceleación debida a la gavedad g es independiente de la masa m del cuepo poque m no apaece en esta ecuación. Ya lo sabíamos, peo ahoa vemos cómo se deduce a pati de la ley de la gavitación. Podemos medi todas las cantidades de la ecuación (13.4) excepto m E, así que esta elación nos pemite calcula la masa de la Tiea. Despejando m E de la ecuación (13.4) y usando = 6380 km = 6.38 * 10 6 m y g = 9.8 m s 2, se obtiene m E = g 2 G = 5.98 * 1024 kg que está muy ceca del valo actualmente aceptado de * kg. Una vez que Cavendish midió G, calculó la masa teeste pecisamente así. En un punto aiba de la supeficie teeste a una distancia del cento de la Tiea (una distancia - sobe la supeficie), el peso de un cuepo está dado po la ecuación (13.3) sustituyendo po : w = F g = Gm E m 2 (13.5) El peso de un cuepo disminuye invesamente con el cuadado de su distancia al cento de la Tiea (figua 13.7). La figua 13.8 muesta cómo vaía el peso de un astonauta en función de su altua sobe la Tiea, si su peso es de 700 N en la supeficie. El peso apaente de un cuepo en la Tiea difiee un poco de la fueza gavitacional teeste poque la Tiea gia y, po lo tanto, no es pecisamente un maco inecial de efeencia. Hasta ahoa hemos ignoado este efecto, suponiendo que la Tiea es un sistema inecial. En la sección 13.7 nos ocupaemos del efecto de la otación teeste. Aun cuando la Tiea es una distibución de masa con simetía esféica apoximada, no es unifome voluméticamente. Paa demosta esto, calculemos pimeo su densidad media, o masa po unidad de volumen. i suponemos una Tiea esféica, el volumen es 13.7 En un avión comecial a gan altitud, estamos más lejos del cento de la Tiea que cuando estamos en el suelo, po lo que pesamos ligeamente menos. Puede usted demosta que a una altitud de 10 km pesaía 0.3% menos que en el suelo? V E = 4 3 p 3 = 4 3 p16.38 * 106 m2 3 = 1.09 * m 3

7 408 CAPÍTULO 13 Gavitación 13.8 Un astonauta que pesa 700 N en la supeficie teeste expeimenta menos atacción gavitacional cuando está po aiba de dicha supeficie. La distancia que impota es la del astonauta al cento de la Tiea (no del astonauta a la supeficie teeste). w (N) Tiea, masa m E Radio teeste m Astonauta, m w 5 peso del astonauta 5 Gm E m/ 2 5 distancia del astonauta al cento de la Tiea 2 5 distancia del astonauta a la supeficie teeste La densidad de la Tiea disminuye al aumenta la distancia al cento ( m) ( m) La densidad media (la leta giega ho) de la Tiea es la masa total dividida ente el volumen total: kg/m Núcleo inteio sólido Núcleo exteio fundido Manto en su mayo pate sólido ( m) = m E V E = 5.97 * 1024 kg 1.09 * m 3 = 5500 kg>m 3 = 5.5 g>cm 3 (Como efeencia, la densidad del agua es de 1000 kg m 3 = 1.00 g cm 3 ). i la Tiea fuea unifome, cabía espea que la densidad de las ocas individuales ceca de la supeficie tuviea ese mismo valo. De hecho, la densidad de las ocas supeficiales es significativamente meno: de 2000 kg m 3 paa ocas sedimentaias, a ceca de 3300 kg m 3 paa el basalto (un tipo de oca volcánica). Po lo tanto, la Tiea no puede se unifome, y el inteio debe se mucho más denso que la supeficie paa que la densidad media sea de 5500 kg m 3. egún modelos geofísicos del inteio de la Tiea, la densidad máxima en el cento es de apoximadamente 13,000 kg m 3. La figua 13.9 es una gáfica de la densidad en función de la distancia al cento. Ejemplo 13.4 Gavedad en Mate Un vehículo de descenso, que pesa en la Tiea 3430 N, es enviado a Mate, cuyo adio es R M = 3.40 * 10 6 m y cuya masa es m M = 6.42 * kg (véase el apéndice F). Calcule su peso F g en la supeficie maciana y la aceleación g M debida a la gavedad de Mate. OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Paa calcula F g usamos la ecuación (13.3), después de sustitui m E y po m M y R M. Deteminamos la masa m del vehículo de descenso a pati del peso w en la Tiea y luego calculamos g M a pati de F g = mg M. EJECUTAR: El peso del vehículo en la Tiea es w = mg, de modo que m = w g = 3430 N = 350 kg m>s La masa es la misma sin que impote dónde se encuenta el vehículo. De acuedo con la ecuación (13.3), el peso del vehículo en Mate es F g = Gm Mm 2 R M = * N # m 2 >kg * kg21350 kg * 10 6 m2 2 = 1.30 * 10 3 N

8 13.3 Enegía potencial gavitacional 409 La aceleación debida a la gavedad de Mate es g M = F g m = 1.30 * 103 N = 3.7 m>s kg EVALUAR: Aun cuando Mate tiene el 11% de la masa de la Tiea (6.42 * kg conta 5.98 * kg), la aceleación g M debida a la gavedad (y po lo tanto el peso F g del objeto) es de apoximadamente el 40% del valo en la supeficie teeste. Esto se debe a que g M es invesamente popocional al cuadado del adio del planeta, y Mate solo tiene el 53% del adio de la Tiea (3.40 * 10 6 m conta 6.38 * 10 6 m). e puede compoba el esultado de g M usando la ecuación (13.4), con las sustituciones adecuadas. Obtuvo la misma espuesta? Evalúe su compensión de la sección 13.2 Odene de mayo a meno la gavedad supeficial de los siguientes planetas ficticios: i. masa = 2 veces la masa de la Tiea, adio = 2 veces el adio de la Tiea; ii. masa = 4 veces la masa de latiea, adio = 4 veces el adio de la Tiea; iii. masa = 4 veces la masa de la Tiea, adio = 2 veces el adio de la Tiea; iv. masa = 2 veces la masa de la Tiea, adio = 4 veces el adio de la Tiea Enegía potencial gavitacional Cuando pesentamos el concepto de enegía potencial gavitacional en la sección 7.1, supusimos que la fueza gavitacional que actúa sobe un cuepo es constante en magnitud y diección. Esto llevó a la expesión U = mgy. Peo la fueza gavitacional de la Tiea sobe un cuepo de masa m afuea de la Tiea está dada en foma más geneal po la ecuación (13.2), F g = Gm E m 2, donde m E es la masa de la Tiea y es la distancia del cuepo al cento de la Tiea. En poblemas donde cambia lo suficiente paa que la fueza gavitacional no se considee constante, necesitamos una expesión más geneal paa la enegía potencial gavitacional. Paa obtene esta expesión, usamos los mismos pasos que en la sección 7.1. Consideamos un cuepo de masa m fuea de la Tiea, y calculamos pimeo el tabajo W gav efectuado po la fueza gavitacional cuando el cuepo se aleja o se aceca al cento de la Tiea, desde = 1 hasta = 2 como en la figua Este tabajo está dado po 2 W gav = F d L (13.6) donde F es la componente adial de la fueza gavitacional ; es deci, la componente diigida hacia afuea desde el cento de la Tiea. Dado que F apunta hacia el cento de la Tiea, F es negativa y difiee de la ecuación (13.2), la magnitud de la fueza gavitacional, po un signo menos: F = - Gm E m 2 ustituyendo la ecuación (13.7) en la (13.6), vemos que W gav está dado po 1 F (13.7) Cálculo del tabajo efectuado sobe un cuepo po la fueza gavitacional, cuando el cuepo se mueve de la coodenada adial 1 a 2. Tayectoia cuva m E F g 1 m Tayectoia ecta 2 La fueza gavitacional es consevativa: el tabajo efectuado po F g no depende de la tayectoia seguida de 1 a 2. W gav = -Gm E m L 2 1 d 2 = Gm E m 2 - Gm E m 1 (13.8) La tayectoia no tiene que se ecta; puede se una cuva como la de la figua Po un agumento simila al de la sección 7.1, este tabajo solo depende de los valoes inicial y final de, no del camino seguido. Esto también demuesta que la fueza gavitacional siempe es consevativa. Ahoa definimos la enegía potencial coespondiente U de modo que W gav = U 1 - U 2 como en la ecuación (7.3). Compaando esto con la ecuación (13.8), vemos que la definición apopiada de enegía potencial gavitacional es U = - Gm E m (enegía potencial gavitacional) (13.9)

9 410 CAPÍTULO 13 Gavitación Gáfica de enegía potencial gavitacional U paa el sistema de la Tiea (masa m E ) y un astonauta (masa m) conta la distancia ente el astonauta y el cento de la Tiea. U O Gm E m 2 Tiea, masa m E Astonauta, masa m Enegía potencial Gm E m gavitacional U 5 2 paa el sistema de la Tiea y el astonauta. U siempe es negativa, peo se vuelve menos negativa al aumenta la distancia adial. La figua muesta cómo la enegía potencial gavitacional depende de la distancia ente el cuepo de masa m y el cento de la Tiea. i el cuepo se aleja de la Tiea, aumenta, la fueza gavitacional efectúa tabajo negativo y U aumenta (se vuelve menos negativa). i el cuepo cae hacia la Tiea, disminuye, el tabajo gavitacional es positivo y la enegía potencial disminuye (se hace más negativa). La ecuación (13.9) quizá paezca extaña poque indica que la enegía potencial gavitacional siempe es negativa; peo ya hemos visto valoes negativos de U. Al usa la fómula U = mgy en la sección 7.1, vimos que U ea negativa, siempe que el cuepo de masa m estuviea en un valo de y meno que la altua abitaia que elegimos como y = 0; es deci, si el cuepo y la Tiea estaban más ceca que cieta distancia abitaia. (Véase el ejemplo 7.2 de la sección 7.1). Al defini U con la ecuación (13.9), elegimos que U es ceo cuando el cuepo de masa m está infinitamente lejos de la Tiea ( =q). Al acecase el cuepo a la Tiea, la enegía potencial gavitacional disminuye y se hace negativa. i quisiéamos, podíamos toma U = 0 en la supeficie teeste, donde =, solo con suma la cantidad Gm E m a la ecuación (13.9). Esto haía a U positiva cuando 7. No lo haemos po dos azones: una, se complicaía la expesión paa U; y dos, el témino sumado no afectaía la difeencia en enegía potencial ente dos puntos, que es la única cantidad físicamente significativa. CUIDADO Fueza gavitacional conta enegía potencial gavitacional Asegúese de no confundi las expesiones de fueza gavitacional, ecuación (13.7), y de enegía potencial gavitacional, ecuación La fueza F es popocional a 1 2, y la enegía potencial U es popocional a 1. Con la ecuación (13.9), ya podemos usa elaciones geneales de enegía paa poblemas donde debe incluise el compotamiento según 1 2 de la fueza gavitacional de la Tiea. i esta fueza gavitacional es la única que efectúa tabajo sobe el cuepo, la enegía mecánica total del sistema es constante, es deci, se conseva. En el ejemplo que sigue usaemos este pincipio paa calcula la apidez de escape, es deci, la apidez que debe tene un cuepo paa escapa po completo de un planeta. Ejemplo 13.5 De la Tiea a la Luna En la novela de Julio Vene de 1865 con ese título, tes hombes viajaon a la Luna en un poyectil dispaado desde un cañón gigante hundido en el suelo de Floida. a) Calcule la apidez inicial mínima necesaia paa dispaa el poyectil veticalmente hasta una altua sobe la Tiea igual al adio de esta. b) Calcule la apidez inicial mínima que pemitiía al poyectil escapa de la Tiea (la apidez de escape). Despecie la esistencia del aie, la otación de la Tiea y la atacción gavitacional de la Luna. El adio de la Tiea es = 6.38 * 10 6 m y su masa es m E = 5.97 * kg Diagama paa este poblema. a) b) Poyectil, masa m Poyectil, masa m OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Una vez que el poyectil sale del cañón, solo la fueza gavitacional (que es consevativa) efectúa tabajo, po lo que podemos usa la consevación de enegía mecánica paa calcula la apidez del poyectil a la que debe sali del cañón hasta que se detenga a) a dos adios teestes con especto al cento del planeta, y b) a una distancia infinita de la Tiea. La ecuación de consevación de la enegía es K 1 + U 1 = K 2 + U 2, donde la enegía potencial U está dada po la ecuación (13.9). La figua muesta los diagamas. El punto 1 está en 1 =, donde el poyectil sale del cañón con apidez v 1 (la incógnita). El punto 2 Tiea, masa m E Tiea, masa m E está donde el poyectil alcanza su altua máxima; en el inciso a) 2 = 2 (figua 13.12a); y en el inciso b) 2 =q(figua 13.12b). En ambos casos v 2 = 0 y K 2 = 0. ea m la masa del poyectil (con pasajeos).

10 13.4 Movimiento de satélites 411 EJECUTAR: a) Obtenemos v 1 con la ecuación de consevación de la enegía K 1 + U 1 = K 2 + U mv 1 2 Gm E m Gm E m + a - b = 0 + a - b 2 v 1 = B Gm E * N # m 2 >kg * kg2 = B 6.38 * 10 6 m = 7900 m>s 1= 28,400 km>h = 17,700 mi>h2 b) Ahoa 2 =q, así que U 2 = 0 (véase la figua 13.11). Como K 2 = 0, la enegía mecánica total K 2 + U 2 es entonces ceo. Nuevamente, obtenemos v 1 de la ecuación de consevación de la enegía: 1 2 mv 1 2 Gm E m + a - b = v 1 = B 2Gm E * N # m 2 >kg * kg2 = B 6.38 * 10 6 m = 1.12 * 10 4 m>s 1= 40,200 km>h = 25,000 mi>h2 EVALUAR: El esultado del inciso b) no depende de la masa del poyectil ni de la diección en que se lanza. Las naves modenas lanzadas desde Floida deben alcanza pácticamente la misma apidez que en el inciso b) paa escapa de la Tiea; sin embago, antes del lanzamiento ya se están moviendo a 410 m s hacia el este po la otación teeste; si el lanzamiento es hacia el este, la nave apovecha esta contibución gatuita a la apidez de escape. Genealizando nuesto esultado, la apidez inicial v 1 que un cuepo necesita paa escapa de la supeficie de un cuepo esféico de masa M con adio R (despeciando la esistencia del aie) es v 1 = 22GM>R (apidez de escape). Esta ecuación poduce apideces de escape de 5.02 * 10 3 m s paa Mate, 5.95 * 10 4 m s paa Júpite y 6.18 * 10 5 m s paa el ol. Más sobe la enegía potencial gavitacional Como nota final, demostemos que si estamos ceca de la supeficie teeste, la ecuación (13.9) se educe a U = mgy que ya conocemos del capítulo 7. Pimeo escibimos la ecuación (13.8) como: 1-2 W gav = Gm E m 1 2 i el cuepo se mantiene ceca de la Tiea, en el denominado podemos sustitui 1 y 2 po, el adio de la Tiea, así que 1-2 W gav = Gm E m 2 egún la ecuación (13.4), g = Gm E 2, po lo cual W gav = mg i sustituimos las po y, esta es la ecuación (7.1) paa el tabajo efectuado po una fueza gavitacional constante. En la sección 7.1 usamos esta ecuación paa deduci la ecuación (7.2), U = mgy, así que podemos considea la ecuación (7.2) de la enegía potencial gavitacional como un caso especial de la ecuación (13.9) que es más geneal. Evalúe su compensión de la sección 13.3 Un planeta puede tene la misma gavedad supeficial que la Tiea (es deci, el mismo valo de g en la supeficie) y tene una apidez de escape mayo? 13.4 Movimiento de satélites Los satélites atificiales que obitan la Tiea son pate cotidiana de la tecnología modena (figua 13.13). Peo, cómo se mantienen en óbita y qué detemina las popiedades de sus óbitas? Podemos usa las leyes del movimiento y la ley de la gavitación de Newton paa obtene las espuestas. En la siguiente sección veemos cómo el movimiento de los planetas se puede analiza del mismo modo. Paa comenza, ecodemos lo dicho sobe el movimiento de poyectiles en la sección 3.3. En el ejemplo 3.6, un motociclista se lanza hoizontalmente del bode de un acantilado en una tayectoia paabólica que temina en teeno plano en la base del acantilado. i sobevive y epite el expeimento aumentando su apidez de lanzamiento, caeá más lejos del punto de patida. Podemos imaginalo lanzándose con tal apidez que la cuvatua de la Tiea se hace significativa. Confome cae, la cuvatua de la Tiea se aleja más de él. i la apidez del motociclista es suficiente, y si su punto de lanzamiento es tan alto que pueda evita las montañas, podía segui dando vueltas a la Tiea, sin toca jamás el suelo Con una longitud de 13.2 m y una masa de 11,000 kg, el telescopio espacial Hubble se cuenta ente los satélites más gandes que se han puesto en óbita.

11 412 CAPÍTULO 13 Gavitación Tayectoias de un poyectil lanzado desde una gan altua (ignoando la esistencia del aie). Las óbitas 1 y 2 se completaían como se muesta, si la Tiea fuea una masa puntual en C. (Esta ilustación se basa en una de los Pincipia de Isaac Newton). A B 7 6 Un poyectil se lanza de A a B. Tayectoias 1 a 7 muestan el efecto de la apidez inicial ceciente. C 5 PhET: My ola ystem ActivPhysics 4.6: atellites Obit La fueza F g debida a la atacción gavitacional de la Tiea popociona la aceleación centípeta que mantiene a un satélite en óbita. Compae esta figua con la v a F g F g El satélite está en óbita cicula: su aceleación a es siempe pependicula a su velocidad v, po ello, la apidez v es constante. a a v F g v La figua muesta una vaiación de este tema. Lanzamos un poyectil del punto A en la diección AB, tangente a la supeficie teeste. Las tayectoias 1 a 7 muestan el efecto de aumenta la apidez inicial. En las tayectoias 3 a 5, el poyectil no choca conta la Tiea y se conviete en su satélite. i no hay una fueza que fene al poyectil, su apidez al volve al punto A es la que tenía inicialmente, y el movimiento se epite indefinidamente. Las tayectoias 1 a 5 teminan donde comenzaon y se denominan óbitas ceadas. Todas las óbitas ceadas son elipses o segmentos de elipses; la tayectoia 4 es un cículo, un caso especial de la elipse. (Analizaemos las popiedades de una elipse en la sección 13.5). Las tayectoias 6 y 7 son óbitas abietas; el poyectil nunca vuelve a su punto de patida y se aleja cada vez más de la Tiea. atélites: Óbitas ciculaes Una óbita cicula, como la tayectoia 4 de la figua 13.14, es el caso más sencillo. También es un caso impotante, pues muchos satélites atificiales tienen óbitas casi ciculaes, y las óbitas de los planetas alededo del ol también son apoximadamente ciculaes. La única fueza que actúa sobe un satélite en óbita cicula alededo de la Tiea es la atacción gavitacional teeste, diigida hacia el cento de la Tiea y, po lo tanto, hacia el cento de la óbita (figua 13.15). Como vimos en la sección 5.4, esto implica que el satélite está en movimiento cicula unifome y su apidez es constante. El satélite no cae hacia la Tiea; más bien, cae constantemente alededo de la Tiea. En una óbita cicula, la apidez es exactamente la necesaia paa mantene constante la distancia ente el satélite y el cento de la Tiea. Veamos cómo calcula la apidez constante v de un satélite en óbita cicula. El adio de la óbita es, medido desde el cento de la Tiea; la aceleación del? satélite tiene magnitud a ad = v 2 y siempe está diigida hacia el cento del cículo. Po la ley de la gavitación, la fueza neta (la gavitacional) que actúa sobe el satélite de masa m tiene magnitud F g = Gm E m 2 y tiene la misma diección de la aceleación. La segunda ley de Newton 1gF ma 2 nos dice entonces que Despejando v, tenemos que v = B Gm E Gm E m 2 = mv2 (óbita cicula) (13.10) Esta elación señala que no podemos elegi el adio de la óbita y la apidez v independientemente; paa un adio dado, la apidez v de la óbita cicula ya está pedeteminada.

12 13.4 Movimiento de satélites 413 La masa m del satélite no apaece en la ecuación (13.10), lo cual demuesta que el movimiento del satélite no depende de su masa. i pudiéamos pati un satélite a la mitad sin altea su apidez, cada mitad seguiía con el movimiento oiginal. Un astonauta a bodo de un tansbodado espacial también es como un satélite de la Tiea, etenido po la atacción gavitacional en la misma óbita que la nave. El astonauta tiene la misma velocidad y aceleación que la nave, así que nada lo empuja conta el piso o las paedes de la nave. e encuenta en un estado de ingavidez apaente, como en un elevado en caída libe; véase la explicación que sigue al ejemplo 5.9 en la sección 5.2. (La ingavidez vedadea solo se logaía si el astonauta estuviea infinitamente lejos de cualquie ota masa, de modo que la fueza gavitacional sobe él fuea ceo). De hecho, cada pate de su cuepo está apaentemente ingávida; él no siente que algo empuje su estómago conta los intestinos ni la cabeza conta los hombos (figua 13.16). La ingavidez apaente no se da solo en óbitas ciculaes; existe siempe que la gavedad es la única fueza que actúa sobe una nave espacial; po lo tanto, se expeimenta en óbitas de cualquie foma, incluidas las abietas como las 6 y 7 de la figua Podemos deduci una elación ente el adio de una óbita cicula y el peiodo T, la duación de una evolución. La apidez v es la distancia 2p ecoida en una evolución, dividida ente el peiodo: v = 2p T (13.11) Obtenemos una expesión paa T si despejamos T de la ecuación (13.11) y sustituimos v de la ecuación (13.10): Estos astonautas del tansbodado espacial se encuentan en un estado de ingavidez apaente. Quiénes están de pie y quiénes de cabeza? T = 2p v = 2p = 2p3>2 A Gm E 2Gm E (óbita cicula) (13.12) Las ecuaciones (13.10) y (13.12) indican que las óbitas más gandes coesponden a apideces más bajas y a peiodos más lagos. Como un ejemplo, la Estación Espacial Intenacional obita la Tiea a 6800 km del cento de nuesto planeta (400 km aiba de la supeficie de la Tiea) con una apidez obital de 7.7 km s y un peiodo obital de 93 minutos. La Luna gia alededo de la Tiea en una óbita mucho más gande de adio igual a 384,000 km, y po lo tanto tiene una apidez obital meno (1.0 km s) y un peiodo obital mucho más polongado (27.3 días). Es inteesante compaa la ecuación (13.10) con el cálculo de la apidez de escape en el ejemplo Vemos que la apidez de escape de un cuepo esféico con adio R es 12 veces mayo que la apidez de un satélite en una óbita cicula con ese adio. i nuesta nave está en óbita cicula alededo de cualquie planeta, debemos multiplica nuesta apidez po 12 paa escapa al infinito, sin impota la masa del planeta. Puesto que la apidez v en una óbita cicula está deteminada po la ecuación (13.10) paa un adio obital dado, la enegía mecánica total E = K + U también está pedeteminada. Usando las ecuaciones (13.9) y (13.10), tenemos E = K + U = 1 2 mv2 + a - = - Gm E m 2 Gm E m b = 1 2 ma Gm E b - Gm E m (óbita cicula) (13.13) La enegía mecánica total en una óbita cicula es negativa e igual a la mitad de la enegía potencial. Aumenta el adio obital implica incementa la enegía mecánica (es deci, E se hace menos negativa). i el satélite está en una óbita elativamente baja y toca las oillas de la atmósfea, la enegía mecánica disminuiá a causa del tabajo negativo efectuado po la esistencia del aie; en consecuencia, el adio obital disminuiá hasta que el satélite caiga a tiea o se queme en la atmósfea. Hemos hablado casi exclusivamente de satélites teestes; no obstante, podemos aplica el mismo análisis al movimiento cicula de cualquie cuepo sometido a la atacción gavitacional de un cuepo estacionaio. Otos ejemplos son nuesta Luna y las lunas de otos planetas (figua 13.17) Los dos satélites pequeños de Plutón fueon descubietos en De acuedo con las ecuaciones (13.10) y (13.12), el satélite de la óbita más gande tiene una apidez obital meno y un peiodo obital más polongado que el satélite en la óbita más pequeña. Plutón Caonte: satélite inteio gande de Plutón Dos satélites exteioes pequeños de Plutón

13 414 CAPÍTULO 13 Gavitación Ejemplo 13.6 Una óbita de satélite uponga que desea pone un satélite de 1000 kg en una óbita cicula a una altua de 300 km sobe la supeficie teeste. a) Qué apidez, peiodo y aceleación adial debe tene? b) Cuánto tabajo se equiee paa pone el satélite en óbita? c) Cuánto tabajo adicional se necesita paa que el satélite escape de la Tiea? El adio y la masa de la Tiea se dan en el ejemplo 13.5 (sección 13.3). OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El satélite tendá una óbita cicula, así que podemos usa las ecuaciones que dedujimos en esta sección. En el inciso a) pimeo deteminamos el adio de la óbita del satélite a pati de su altitud. Luego calculamos la apidez v y el peiodo T usando las ecuaciones (13.10) y (13.12), y la aceleación con la fómula a ad = v 2. En los incisos b) y c), el tabajo equeido es la difeencia ente las enegías mecánicas inicial y final que, en el caso de una óbita cicula, está dada po la ecuación (13.13). EJECUTAR: a) El adio de la óbita del satélite es = 6380 km km = 6680 km = 6.68 * 10 6 m. De acuedo con la ecuación (13.10), la apidez obital es Gm E * N # m 2 >kg * kg2 v = = B B 6.68 * 10 6 m = 7720 m>s Calculamos el peiodo obital con la ecuación (13.12): T = 2p v = 2p16.68 * 106 m m>s Po último, la aceleación adial es a ad = v2 = 5440 s = 90.6 min m>s22 = 6.68 * 10 6 = 8.92 m>s2 m Este es el valo de g a una altua de 300 km sobe la supeficie teeste; es apoximadamente 10% meno que en la supeficie. b) El tabajo equeido es la difeencia ente E 2, la enegía mecánica total cuando el satélite está en óbita, y E 1, la enegía mecánica total cuando el satélite estaba en eposo en su platafoma de lanzamiento. egún la ecuación (13.13), la enegía en óbita es Gm E m E 2 = * N # m 2 >kg * kg kg2 = * 10 6 m2 = * J La enegía cinética del satélite es ceo en la platafoma de lanzamiento ( = ), así que: Gm E m E 1 = K 1 + U 1 = 0 + a - b * N # m 2 >kg * kg kg2 = * 10 6 m = * J Po lo tanto, el tabajo equeido es W * equeido = E 2 - E 1 = * J2 J2 = 3.26 * J c) En el inciso b) del ejemplo 13.5, vimos que, paa que un satélite escape al infinito, la enegía mecánica total mínima debe se ceo. Aquí, la enegía mecánica total en la óbita cicula es E 2 =-2.98 * J; po lo que paa lleva esto a ceo, tendíamos que efectua un tabajo de 2.98 * J sobe el satélite, pesumiblemente po los motoes. EVALUAR: En el inciso b), despeciamos la enegía cinética inicial que el satélite tenía po la otación teeste (cuando aún estaba en la platafoma de lanzamiento). Cuánta difeencia implica esto? (Véase el ejemplo 13.5, donde se incluyen datos útiles). Evalúe su compensión de la sección 13.4 Imagine que una nave espacial está en una óbita cicula a baja altitud alededo de la Tiea. La esistencia del aie de las egiones exteioes de la atmósfea efectúa tabajo negativo sobe la nave, haciendo que el adio obital disminuya ligeamente. La apidez de la nave i. pemanece igual, ii. aumenta o iii. disminuye? 13.5 Las leyes de Keple y el movimiento de los planetas La palaba planeta viene de un vocablo giego que significa vagabundo, y efectivamente, los planetas cambian continuamente su posición en el cielo en elación con el fondo estellado. Uno de los gandes logos intelectuales de los siglos XVI y XVII fue dase cuenta de que la Tiea es un planeta, que todos los planetas están en óbita alededo del ol y que los movimientos apaentes de los planetas vistos desde la Tiea pueden sevi paa detemina con pecisión sus óbitas. Los pimeos dos descubimientos fueon publicados po Nicolás Copénico en Polonia en La deducción de la natualeza de las óbitas planetaias ente 1601 y 1619 coió a cago del astónomo y matemático alemán Johannes Keple, utilizando un voluminoso conjunto de datos pecisos aceca de los movimientos planetaios apaentes compilado po su maesto, el astónomo danés Tycho Bahe. Po medio de en-

14 13.5 Las leyes de Keple y el movimiento de los planetas 415 sayo y eo, Keple descubió tes leyes empíicas que descibían con exactitud los movimientos de los planetas: 1. Cada planeta se mueve en una óbita elíptica, con el ol en uno de los focos de la elipse. 2. Una línea del ol a un planeta dado bae áeas iguales en tiempos iguales. 3. Los peiodos de los planetas son popocionales a las longitudes del eje 3 mayo de sus óbitas elevadas a la potencia Geometía de una elipse. La suma de las distancias P y 9P es la misma paa todos los puntos de la cuva. e exageaon los tamaños del ol () y del planeta (P) po claidad. Un planeta P descibe una óbita elíptica. El ol está en un foco de la elipse. y Keple no sabía po qué los planetas se movían así. Tes geneaciones después, cuando Newton diigió su atención al movimiento planetaio, descubió que las leyes de Keple pueden deducise; son consecuencia de las leyes de Newton del movimiento y de la ley de la gavitación. Veamos de dónde suge cada una de las leyes de Keple. Peihelio O ea ea P Afelio x Pimea ley de Keple Consideemos pimeo las óbitas elípticas descitas en la pimea ley de Keple. La figua muesta la geometía de una elipse. La dimensión más laga es el eje mayo, siendo a la mitad de su longitud; esta distancia se denomina semieje mayo. La suma de las distancias de a P y de 9 a P es la misma paa todos los puntos de la cuva. y 9 son los focos. El ol está en, y el planeta está en P; consideamos a ambos como puntos poque su tamaño es muy pequeño en compaación con la distancia ente ellos. No hay nada en el oto foco 9. La distancia de cada foco al cento de la elipse es ea, donde e es un númeo adimensional ente 0 y 1 llamado excenticidad. i e = 0, la cuva en ealidad es un cículo. Las óbitas eales de los planetas son casi ciculaes; sus excenticidades vaían ente paa Venus a paa Mecuio. (La óbita de la Tiea tiene e = 0.017). El punto de la óbita más cecano al ol es el peihelio; y el más lejano, el afelio. Newton logó demosta que, paa un cuepo sobe el que actúa una fueza de atacción popocional a 1 2, las únicas óbitas ceadas posibles son un cículo o una elipse; también demostó que las óbitas abietas (las tayectoias 6 y 7 en la figua 13.14) deben se paábolas o hipébolas. Estos esultados pueden deducise aplicando diectamente las leyes de Newton del movimiento y la ley de la gavitación, junto con muchas ecuaciones difeenciales que estamos listos paa enfenta. a) a a No hay nada en el oto foco a) El planeta (P) se mueve alededo del ol () en una óbita elíptica. b) En un tiempo dt, la línea P bae un áea da = du2 = du. c) La apidez del planeta vaía de modo que la línea P bae la misma áea A en un tiempo dado t, sea cual fuee la posición del planeta en su óbita. v P egunda ley de Keple La figua muesta la segunda ley de Keple. En un lapso de tiempo pequeño dt, la línea del ol al planeta P descibe un ángulo du. El áea baida es el tiángulo 1 coloeado de altua, base du y áea da = 2 2 du en la figua 13.19b. La apidez con la que se bae el áea, da dt, se denomina velocidad de secto: P 5 línea del ol () al planeta (P) da dt = du dt (13.14) b) v v ' 5 v sen f du La esencia de la segunda ley de Keple es que la velocidad de secto tiene el mismo valo en todos los puntos de la óbita. Cuando el planeta está ceca del ol, es pequeña y du dt es gande; cuando el planeta está lejos del ol, es gande y du dt es pequeña. Paa ve po qué la segunda ley de Keple es consecuencia de las leyes de Newton, expesamos da dt en téminos del vecto velocidad v del planeta P. La componente de v pependicula a la línea adial es v = v sen f. egún la figua 13.19b, el desplazamiento en la diección de v duante el tiempo dt es du, de modo que tenemos v = du dt. Usando esta elación en la ecuación (13.14), obtenemos da dt = 1 2 v sen f (velocidad de secto) (13.15) c) A du f P da 5 áea baida po la línea P en el tiempo dt La línea P bae áeas iguales en tiempos iguales. A v 1 v 2

15 416 CAPÍTULO 13 Gavitación De esta manea, v sen f es la magnitud del poducto vectoial : v, que es 1 m ve- ces el momento angula L : mv del planeta con especto al ol. Tenemos, entonces, (13.16) Po lo tanto, la segunda ley de Keple establece que la velocidad de secto es constante, e implica que el momento angula es constante! Es fácil sabe po qué el momento angula del planeta debe se constante. egún la ecuación (10.26), la apidez de cambio de L es igual a la toca debida a la fueza gavitacional que actúa sobe el planeta: F da dt = 1 2m ƒ : mv ƒ = L 2m Aplicación Riesgos biológicos de un viaje inteplanetaio Una nave espacial enviada de la Tiea a oto planeta usa la mayo pate de su jonada en ealiza un odeo a lo lago de una óbita elíptica, con el ol en uno de sus focos. Los cohetes se usan solo al pincipio y al final del viaje, e incluso el viaje a un planeta cecano como Mate toma vaios meses. Duante su viaje, la nave espacial está expuesta a los ayos cósmicos, la adiación que emege de otos puntos de nuesta galaxia. (En la Tiea, estamos potegidos de esta adiación po el campo magnético de nuesto planeta, como se descibiá en el capítulo 27, volumen 2). Esto no es un poblema paa una nave espacial obótica, peo epesenta un poblema médico seio paa los astonautas que ealicen este viaje. dl dt T : F En nuesta situación, es el vecto del ol al planeta, y la fueza F está diigida del planeta al ol. Po lo tanto, estos vectoes siempe están en la misma línea y su poducto vectoial : F es ceo. De ahí que dl >dt 0. Esta conclusión no depende del compotamiento según 1 2 de la fueza; el momento angula se conseva paa cualquie fueza que siempe actúe sobe la línea que une la patícula a un punto fijo, denominada fueza cental. (La pimea y la tecea leyes de Keple solo son válidas paa fuezas 1 2 ). La consevación del momento angula también explica po qué la óbita está en un plano. El vecto L : mv siempe es pependicula al plano de los vectoes y v; como L es constante en magnitud y diección, y v siempe están en el mismo plano, que es el plano de la óbita del planeta. Tecea ley de Keple Ya dedujimos la tecea ley de Keple paa el caso específico de óbitas ciculaes. La ecuación (13.12) indica que el peiodo de un satélite o planeta en una óbita cicula 3 es popocional al adio de la óbita elevado a la potencia 2. Newton logó demosta que esta misma elación se cumple paa una óbita elíptica, sustituyendo el adio po el semieje mayo a: T = 2pa3>2 2Gm (óbita elíptica alededo del ol) (13.17) Como el planeta está en óbita alededo del ol, no de la Tiea, en la ecuación (13.12) sustituimos la masa de la Tiea M E po la masa del ol m. Obseve que el peiodo no depende de la excenticidad e. Un asteoide en una óbita elíptica alagada con semieje mayo a tiene el mismo peiodo obital que un planeta en una óbita cicula de adio a. La difeencia clave es que la apidez del asteoide vaía a lo lago de su óbita elíptica (figua 13.19c), mientas que la apidez del planeta es constante en su óbita cicula. Ejemplo conceptual 13.7 Rapideces obitales En qué punto de una óbita elíptica (figua 13.19) un planeta tiene la mayo apidez? Y la meno? OLUCIÓN La enegía mecánica se conseva al desplazase el planeta en su óbita. La enegía cinética del planeta K = mv 2 2 es máxima cuando la ene- 1 gía potencial U =-Gm m es mínima (es deci, la más negativa; véase la figua 13.11), lo cual se da cuando es mínima la distancia ente el ol y el planeta. Po lo tanto, la apidez v es máxima en el peihelio. De manea análoga, K es mínima cuando es máxima, de modo que la apidez es mínima en el afelio. Aquí podemos apovecha lo que nos dice la intuición aceca de los cuepos que caen. Al cae el planeta hacia el ol, aumenta su apidez, y su apidez es máxima cuando está más ceca del ol. Po el mismo azonamiento, el planeta se fena al alejase del ol, y su apidez es mínima en el afelio.

16 13.5 Las leyes de Keple y el movimiento de los planetas 417 Ejemplo 13.8 Tecea ley de Keple El asteoide Palas tiene un peiodo obital de 4.62 años y una excenticidad obital de Calcule el semieje mayo de su óbita. OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este ejemplo utiliza la tecea ley de Keple, la cual elaciona el peiodo T con el semieje mayo a paa un objeto (como un asteoide) en óbita. Usamos la ecuación (13.17) paa detemina a; en el apéndice F obsevamos que m = 1.99 * kg, y el facto de convesión del apéndice E da T = (4.62 años) (3.156 * 10 7 s año) = 1.46 * 10 8 s. Obseve que no necesitamos el valo de la excenticidad. EJECUTAR: De acuedo la ecuación (13.17), a 3 2 = [(Gm ) 1 2 T ] 2p. Paa despeja a, elevamos ambos lados de esta expesión a la potencia 2 3 y luego sustituimos los valoes de G, m y T: a = a Gm T 2 1>3 4p 2 b = 4.15 * m (Realice el cálculo paa compobalo). EVALUAR: Nuesto esultado es intemedio ente los semiejes mayoes de Mate y Júpite (véase el apéndice F). Efectivamente, la mayoía de los asteoides conocidos se localizan en un cintuón de asteoides ente las óbitas de esos dos planetas. Ejemplo 13.9 El cometa Halley El cometa Halley se desplaza en una óbita elíptica alagada alededo del ol (figua 13.20). us distancias del ol al peihelio y al afelio son 8.75 * 10 7 km y 5.26 * 10 9 km, espectivamente. Calcule el semieje mayo, la excenticidad y el peiodo. OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Vamos a calcula el semieje mayo a, la excenticidad e y el peiodo de la óbita T. Podemos usa la figua paa calcula a y e a pati de las distancias al peihelio y al afelio. Una vez que conozcamos el valo de a, podemos obtene T con la tecea ley de Keple, ecuación (13.17). EJECUTAR: A pati de la figua 13.18, vemos que la longitud del eje mayo 2a es la suma de las distancias ente el cometa y el ol en el peihelio y en el afelio. Así que a = * 107 km * 10 9 km2 = 2.67 * 10 9 km 2 La figua también indica que la distancia ente el cometa y el ol en el peihelio es a - ea = a(1 - e). Esta distancia es 8.75 * 10 7 km, po lo que e = * 107 km a egún la ecuación (13.17), el peiodo es T = 2pa3>2 2Gm = = 2.38 * 10 9 s = 75.5 años = * 107 km 2.67 * 10 9 km = p12.67 * m2 3> * N # m 2 >kg * kg2 EVALUAR: La excenticidad es casi 1, así que la óbita del cometa es muy alagada (véase la figua 13.20a). El cometa Halley estuvo en su peihelio a pincipios de 1986 (figua 13.20b); llegaá ota vez al peihelio un peiodo después, en el año a) Óbita del cometa Halley. b) El cometa en En el coazón del cometa hay un cuepo helado, llamado núcleo, de unos 10 km de diámeto. Cuando el cometa se aceca al ol, el calo de este hace que el núcleo se evapoe pacialmente. El mateial evapoado foma la cauda, que llega a medi decenas de millones de kilómetos de longitud. a) b) Óbitas planetaias: Plutón Neptuno Uano atuno Júpite Mate Óbita del cometa Halley Tiea Movimientos planetaios y el cento de masa Hemos supuesto que, mientas un planeta o un cometa se mueven alededo del ol, este pemanece absolutamente estacionaio. Desde luego, esto no es coecto; como el ol ejece una fueza gavitacional sobe el planeta, este ejece una fueza gavita-

17 418 CAPÍTULO 13 Gavitación Una estella y su planeta están en óbita alededo de su cento de masa común. Óbita del planeta alededo del cento de masa Planeta v P Cento de masa del sistema planeta-estella cm v Estella Óbita de la estella La estella tiene una masa mucho mayo y está mucho más ceca del cento de masa. El planeta y la estella están siempe en lados opuestos del cento de masa. cional sobe el ol de la misma magnitud peo en sentido opuesto. De hecho, tanto el ol como el planeta gian alededo de su cento de masa común (figua 13.21). No obstante, nuesto eo al despecia este efecto es pequeño; la masa del ol es unas 750 veces mayo que la masa combinada de todos los planetas, de modo que el cento de masa del istema ola no está lejos del cento del ol. Resulta inteesante que los astónomos hayan apovechado este efecto paa detecta la pesencia de planetas en óbita alededo de otas estellas. Los telescopios más sensibles pueden detecta el bamboleo apaente de una estella en óbita alededo del cento de masa común de la estella y un planeta acompañante que no puede vese. (Los planetas son demasiado boosos paa obsevase diectamente). Analizando los bamboleos, los astónomos han descubieto planetas en óbita alededo de más de un centena de estellas. Los astónomos modenos usan a diaio los esultados del análisis de los movimientos planetaios efectuado po Newton. No obstante, el esultado más notable de la labo de Newton es que los movimientos de los cuepos celestes obedecen las mismas leyes del movimiento que los cuepos en la Tiea. Esta síntesis newtoniana, como se ha llamado, es uno de los gandes pincipios unificadoes de la ciencia y afecta pofundamente la foma en que vemos el Univeso: no como un eino de misteio impenetable, sino como una extensión diecta del mundo cotidiano, sujeta al estudio y cálculo científicos Cálculo de la enegía potencial gavitacional de inteacción ente una masa puntual m afuea de un cascaón esféico y un anillo en la supeficie del cascaón. a) Geometía de la situación R df s R sen f R b) La distancia s es la hipotenusa de un tiángulo ectángulo con catetos ( 2 R cos f) and R sen f. s R sen f R P m f df O f M P m O da 5 (2pR sen f)(r df) 2 R cos f R cos f dm 5 M da A Evalúe su compensión de la sección 13.5 La óbita del cometa X tiene un semieje mayo cuato veces más gande que el semieje mayo del cometa Y. Calcule la azón del peiodo obital de X con especto al peiodo obital de Y. i. 2; ii. 4; iii. 8; iv. 16; v. 32; vi Distibuciones esféicas de masa Hemos enunciado, sin demostalo, que la inteacción gavitacional ente dos distibuciones de masa esféicamente siméticas es la misma que seía si la masa de cada una estuviea concentada en su cento. Ya estamos en condiciones de demostalo. Newton buscó vaios años una demostación, y aplazó la publicación de la ley de la gavitación hasta que la encontó. Veamos lo que haemos. En luga de comenza con dos masas esféicamente siméticas, atacaemos el poblema más sencillo de una masa puntual m que inteactúa con un cascaón esféico delgado con masa total M. Demostaemos que, si m está afuea de la esfea, la enegía potencial asociada a esta inteacción gavitacional es la que seía si M estuviea concentada en el cento de la esfea. En la sección 7.4 vimos que la fueza es la deivada negativa de la enegía potencial, así que la fueza que actúa sobe m es la misma que paa la masa puntual M. Toda distibución de masa esféicamente simética puede considease fomada po muchos cascaones esféicos concénticos, así que nuesto esultado seá válido paa cualquie M esféicamente simética. Una masa puntual afuea de un cascaón esféico Comenzamos consideando un anillo en la supeficie del cascaón (figua 13.22a), con cento en la línea que va del cento del cascaón a m. Hacemos esto poque todas las patículas del anillo están a la misma distancia s de la masa puntual m. De acuedo con la ecuación (13.9), la enegía potencial de la inteacción ente la Tiea (masa m E ) y una masa puntual m sepaada una distancia es U =-Gm E m. Cambiando la notación en esta expesión, vemos que la enegía potencial de inteacción ente la masa puntual m y una patícula de masa m i del anillo está dada po U i = - Gmm i s

18 13.6 Distibuciones esféicas de masa 419 Paa calcula la enegía potencial de inteacción ente m y el anillo enteo de masa dm = g i m i, sumamos esta expesión de U i paa todas las patículas del anillo. Llamamos a esto enegía potencial du, y vemos que du = ai U i = ai a - Gmm i Gm Gm dm b = - s s a m i = - i s (13.18) Paa continua, necesitamos conoce la masa dm del anillo, que podemos calcula con un poco de geometía. El adio del cascaón es R, así que, en téminos del ángulo f de la figua, el adio del anillo es R sen f, y su cicunfeencia es 2pR sen f. La anchua del anillo es R df, y su áea da es apoximadamente su anchua multiplicada po su cicunfeencia: da = 2pR 2 sen f df La azón ente la masa dm del anillo y la masa total M del cascaón es la misma que hay ente el áea da del anillo y el áea total A = 4pR 2 del cascaón: dm M = 2pR2 sen f df 4pR 2 (13.19) Ahoa despejamos dm de esta ecuación y sustituimos el esultado en la ecuación (13.18) paa obtene la enegía potencial de inteacción ente la masa puntual m y el anillo: du = - (13.20) La enegía potencial de inteacción ente la masa puntual y el cascaón es la integal de la ecuación (13.20) paa toda la esfea, desde f = 0 hasta f = p ( no 2p!) y desde s = - R hasta s = + R. Paa ealiza la integación, debemos expesa el integando en téminos de una sola vaiable; elegimos s. Paa expesa f y df en téminos de s necesitamos oto poco de geometía. En la figua 13.22b es evidente que s es la hipotenusa de un tiángulo ectángulo con catetos ( - R cos f) y R sen f, así que, po el teoema de Pitágoas: = 1 2 GMm sen f df 2s sen f df s 2 = 1 - R cos f R sen f2 2 = 2-2R cos f + R 2 (13.21) Difeenciamos ambos miembos: Ahoa dividimos esto ente 2R y sustituimos el esultado en la ecuación (13.20): (13.22) Ahoa podemos intega la ecuación (13.22), ecodando que s vaía desde - R hasta + R: Po último, tenemos U = - U = - GMm GMm 2R du = - L +R -R 2s ds = 2R sen f df GMm 2s ds = - s ds R = - GMm 2R ds GMm 31 + R2-1 - R24 2R (13.23) (masa puntual m afuea de un cascaón esféico M) (13.24) Esto es igual a la enegía potencial de dos masas puntuales m y M a una distancia, así que hemos demostado que la enegía potencial gavitacional del cascaón esféico M y la masa puntual m a cualquie distancia es la misma que seía si fuean masas puntuales. Como la fueza está dada po F =-du d, la fueza es la misma.

19 420 CAPÍTULO 13 Gavitación Fueza gavitacional ente distibuciones esféicas de masa Cualquie distibución esféicamente simética de masa puede considease como una combinación de cascaones esféicos concénticos. Po el pincipio de supeposición de las fuezas, lo que es válido paa un cascaón es válido paa la combinación. Po lo tanto, hemos demostado la mitad de lo que nos popusimos: que la inteacción gavitacional ente una distibución esféicamente simética de masa y una masa puntual es la misma que seía si toda la masa de la distibución esféicamente simética estuviea concentada en su cento. La ota mitad consiste en demosta que dos distibuciones esféicamente siméticas de masa inteactúan como si fuean puntos. Esto es más fácil. En la figua 13.22a, las fuezas que los dos cuepos ejecen ente sí son un pa acción-eacción, y cumplen la tecea ley de Newton. De esta manea, hemos demostado que la fueza que m ejece sobe la esfea M es la que ejeceía si M fuea un punto. Peo si ahoa sustituimos m po una distibución esféicamente simética de masa centada en la posición de m, la fueza gavitacional que actúa sobe cualquie pate de M es la misma que antes, y lo mismo se cumple paa la fueza total. Esto completa la demostación i una masa puntual m está dento de un cascaón esféico unifome de masa M, la enegía potencial es la misma sin impota en qué punto del inteio del cascaón esté la masa puntual. La fueza de la inteacción gavitacional mutua de las masas es ceo. R df s R sen f R P m f df O M Masa puntual dento de un cascaón esféico upusimos al pincipio que la masa puntual m estaba afuea del cascaón esféico, así que nuesta demostación solo es válida si m está afuea de una distibución esféicamente simética de masa. i m está adento de un cascaón esféico, la geometía es la que se muesta en la figua El análisis es el mismo; las ecuaciones (13.18) a (13.22) siguen siendo válidas; sin embago, en la ecuación (13.23) los límites de integación deben cambiase a R - y R +. De esta manea, y el esultado final es U = - U = - GMm R GMm 2R L R+ R- ds = - GMm 31R + 2-1R R (13.25) (masa puntual m dento de un cascaón esféico M) (13.26) Compae este esultado con la ecuación (13.24): en luga de tene, la distancia ente m y el cento de M, en el denominado, tenemos R, el adio del cascaón. Esto implica que en la ecuación (13.26) U no depende de y, po ello, tiene el mismo valo en todo el inteio del cascaón. i m se mueve dento del cascaón, no se efectúa tabajo sobe ella, po lo que la fueza que actúa sobe m en cualquie punto dento del cascaón debe se ceo. En téminos más geneales, en cualquie punto del inteio de una distibución esféicamente simética de masa (no necesaiamente hueca), a una distancia del cento, la fueza gavitacional que actúa sobe una masa puntual m es la misma que existiía si elimináamos toda la masa situada a una distancia mayo que del cento y concentáamos la masa estante en el cento. Ejemplo Viaje al cento de la Tiea uponga que usted pefoa un agujeo que ataviesa la Tiea siguiendo un diámeto y deja cae un saco de coeo po él. Deduzca una expesión paa la fueza gavitacional F g que actúa sobe el saco en función de su distancia al cento de la Tiea. uponga que la densidad de la Tiea es unifome (un modelo no muy ealista; véase la figua 13.9). OLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Patiendo de nuesto análisis anteio, el valo de F g a una distancia del cento de la Tiea está deteminado solo po la masa M dento de una egión esféica de adio (figua 13.24). Po lo que F g es la misma que si toda la masa dento del adio estuviea concentada en el cento de la Tiea. La masa de una esfea unifome es popocional al volumen de la esfea, que es p 3 paa la 4 esfea de adio y pr E paa toda la Tiea. EJECUTAR: La azón de la masa M de la esfea de adio y la masa teeste, m E,es M m E = p3 4 3 p 3 = 3 R 3 E de modo que M = m E 3 3

20 13.7 Peso apaente y otación teeste 421 La magnitud de la fueza gavitacional que actúa sobe m está dada po F g = GMm 2 = Gm 2 am E 3 R 3 E b = Gm Em 3 EVALUAR: Dento de esta esfea de densidad unifome, F g es diectamente popocional a la distancia del cento, no a 1 2 como sucede afuea de la esfea. En la supeficie, donde =, tenemos que F g = Gm E m 2, como es de espease. En el siguiente capítulo apendeemos a calcula el tiempo que el saco tadaía en llega al oto lado de la Tiea Agujeo po el cento de la Tiea (la cual suponemos unifome). i un objeto está a una distancia del cento, solo la masa dento de una esfea de adio ejece una fueza gavitacional neta sobe él. O m F g ección tansvesal de la Tiea Región esféica de adio M m E Evalúe su compensión de la sección 13.6 En la novela clásica de ciencia ficción En el cento de la Tiea, escita en 1913 po Edga Rice Buoughs, cietos exploadoes descuben que la Tiea es una esfea hueca y que toda una civilización vive en el inteio de ella. eía posible ponese de pie y camina en la supeficie inteio de un planeta hueco que no gia? 13.7 Peso apaente y otación teeste Puesto que la Tiea gia sobe su eje, no es pecisamente un maco de efeencia inecial. Po tal azón, el peso apaente de un cuepo en la Tiea no es exactamente igual a la atacción gavitacional teeste, a la que llamaemos peso vedadeo w 0 del cuepo. La figua es la vista de un cote de la Tiea donde hay tes obsevadoes. Cada uno sostiene una balanza de esote, de la cual cuelga un cuepo de masa m. Cada balanza aplica una fueza de tensión F al cuepo que cuelga, y la lectua de cada balanza es la magnitud F de dicha fueza. i los obsevadoes no están conscientes de En el Polo Note o u: el peso apaente es igual al peso vedadeo. O N F m w 0 a ad w 0 peso vedadeo de un objeto de masa m. F fueza ejecida po la balanza de esote sobe el objeto de masa m. F w 0 fueza neta que actúa sobe el objeto de masa m; debido a la otación teeste, es difeente de ceo (excepto en los polos). w peso apaente = opuesto de F. w 0 w F m b u g 0 w 0/m a ad b g w/m Excepto en los polos, la lectua de una báscula en la que se pesa un objeto (el peso apaente) es meno que la fueza de atacción gavitacional que actúa sobe el objeto (el peso vedadeo). Ello se debe a que se equiee una fueza neta que popocione la aceleación centípeta, pues el objeto gia junto con la Tiea. Po claidad, en el dibujo se exagea consideablemente el ángulo b ente los vectoes de peso vedadeo y peso apaente. O u w 0 a ad w Ecuado m F g 0 Lejos de los polos: po la otación teeste, el peso apaente no es igual al peso vedadeo. g a ad Rotación de la Tiea

21 422 CAPÍTULO 13 Gavitación la otación teeste, piensan que la lectua de la báscula es igual al peso del cuepo poque ceen que este se encuenta en equilibio. Así, cada obsevado piensa que a la tensión F debe oponese una fueza igual y en sentido contaio w, a la que llamamos peso apaente. Peo si los cuepos gian junto con la Tiea, no están pecisamente en equilibio. Nuesto poblema es enconta la elación ente el peso apaente w y el peso vedadeo w 0. i suponemos que la Tiea es esféicamente simética, el peso vedadeo w 0 ten- dá magnitud Gm E m R 2 E, donde m E y son la masa y el adio de la Tiea. Este valo es el mismo paa todos los puntos en la supeficie teeste. i podemos toma el cento de la Tiea como el oigen de un sistema inecial de coodenadas, el cuepo que se encuenta en el Polo Note ealmente está en equilibio en el sistema inecial, y la lectua de la balanza de esote de ese obsevado es igual a w 0. En cambio, el cuepo en el ecuado se mueve en un cículo de adio con apidez v, y debe habe una fueza neta hacia adento igual a la masa multiplicada po la aceleación centípeta: w 0 - F = mv2 Po lo tanto, la magnitud del peso apaente (igual a la magnitud de F) es w = w 0 - mv2 (en el ecuado) (13.27) i la Tiea no giaa y el cuepo se soltaa, este tendía una aceleación de caída libe g 0 = w 0 m. Como la Tiea sí gia, la aceleación eal del cuepo que cae elativa al obsevado en el ecuado es g = w m. Dividiendo la ecuación (13.27) ente m y usando estas elaciones, obtenemos g = g 0 - v2 (en el ecuado) Paa evalua v 2, obsevamos que, en 86,164 s, un punto en el ecuado se mueve una distancia igual a la cicunfeencia de la Tiea, 2p = 2p(6.38 * 10 6 m). (El 1 1 día sola, 86,400 s, es 365 más lago poque, en un día, la Tiea también ecoe 365 de su óbita alededo del ol). Entonces, v = 2p16.38 * 106 m2 86,164 s = 465 m>s Tabla 13.1 Vaiaciones de g con la latitud y la elevación Latitud Elevación Estación note (m) g(m s 2 ) Zona del Canal Jamaica Bemudas Denve, CO Pittsbugh, PA Cambidge, MA Goenlandia v 2 = 1465 m>s * 10 6 m = m>s2 Así, paa una Tiea esféicamente simética, la aceleación debida a la gavedad debeía se apoximadamente 0.03 m s 2 meno en el ecuado que en los polos. En puntos intemedios ente el ecuado y los polos, el peso vedadeo w 0 y la aceleación centípeta no están en la misma línea, y necesitamos escibi la ecuación vectoial coespondiente a la ecuación (13.27). En la figua 13.25, vemos que la ecuación adecuada es w w 0 ma ad mg 0 ma ad (13.28) La difeencia en las magnitudes de g y g 0 está ente ceo y m s 2. Como se apecia en la figua 13.25, la diección del peso apaente difiee de la diección hacia el cento de la Tiea en un ángulo pequeño b, que es de 0.1 o menos. La tabla 13.1 da los valoes de g en vaios lugaes, mostando las vaiaciones con la latitud. También hay otas vaiaciones pequeñas debido a que la Tiea no tiene una simetía esféica pefecta, a las vaiaciones locales en la densidad y a las difeencias de elevación.

22 13.8 Agujeos negos 423 Evalúe su compensión de la sección 13.7 Imagine un planeta que tiene la misma masa y adio que la Tiea; no obstante, ealiza 10 otaciones duante el tiempo en que la Tiea hace una. Cuál seía la difeencia ente la aceleación debida a la gavedad en el ecuado del planeta y la aceleación debida a la gavedad en sus polos? i m s 2 ; ii m s 2 ; iii m s 2 ; iv m s Agujeos negos El concepto de agujeo nego es una de las consecuencias más inteesantes y desconcetantes de la teoía gavitacional modena, peo la idea básica puede entendese con base en los pincipios newtonianos. Rapidez de escape de una estella Pensemos pimeo en las popiedades de nuesto ol. u masa M = 1.99 * kg y adio R = 6.96 * 10 8 m son mucho mayoes que los de cualquie planeta; sin embago, en compaación con otas estellas, nuesto ol no es excepcionalmente masivo. e puede calcula la densidad media del ol del mismo modo en que se calculó la densidad media de la Tiea en la sección 13.2: = M V = M 4 = 1.99 * 10 3 pr3 4 3 p16.96 * 108 m2 3 La tempeatua del ol vaía ente 5800 K (unos 5500 C o 10,000 F) en la supeficie y 1.5 * 10 7 K (unos 2.7 * 10 7 F) en el inteio, así que seguamente no contiene sólidos ni líquidos. No obstante, la atacción gavitacional junta los átomos de gas hasta volve al ol, en pomedio, 41% más denso que el agua y unas 1200 veces más denso que el aie que espiamos. Veamos ahoa la apidez de escape de un cuepo en la supeficie del ol. En el ejemplo 13.5 (sección 13.3), vimos que la apidez de escape de la supeficie de una masa esféica de masa M y adio R es v = 22GM>R. Podemos elaciona esto con 4 la densidad media. ustituyendo M = V = ( pr 3 3 ) en la expesión paa la apidez de escape: v = A 2GM R = A 30 kg 8pG R 3 (13.29) Con cualquie foma de esta ecuación, podemos demosta que la apidez de escape paa un cuepo en la supeficie sola es v = 6.18 * 10 5 m s (ceca de 2.2 millones de 1 km h o 1.4 millones de mi h). Este valo, que es apoximadamente 500 de la apidez de la luz, es independiente de la masa del cuepo que escapa; solo depende de la masa y el adio (o la densidad media y el adio) del ol. Consideemos ahoa divesas estellas con la misma densidad media y difeentes adios R. La ecuación (13.29) indica que, paa un valo dado de la densidad, la apidez de escape v es diectamente popocional a R. En 1783 el astónomo aficionado John Mitchell señaló que, si un cuepo con la misma densidad media del ol tuviea un adio 500 veces mayo, la magnitud de su apidez de escape seía mayo que la apidez de la luz c. Al apunta que toda la luz emitida po semejante cuepo tendía que egesa a él, Mitchell se convitió en la pimea pesona en sugei la existencia de lo que ahoa llamamos agujeo nego, un objeto que ejece una gan fueza gavitacional sobe otos cuepos, peo que ni siquiea puede emiti su popia luz. Agujeos negos, el adio de chwazschild y el hoizonte de eventos = 1410 kg>m 3 La pimea expesión paa la apidez de escape de la ecuación (13.29) sugiee que un cuepo de masa M actúa como agujeo nego, si su adio R es meno que o igual a cieto adio cítico. Cómo podemos detemina este adio cítico? Podíamos pensa que se puede detemina su valo con solo establece que v = c en la ecuación (13.29). De hecho, esto sí da el esultado coecto, peo solo poque dos eoes se compensan.

23 424 CAPÍTULO 13 Gavitación a) Un cuepo con adio R mayo que el adio de chwazschild R. b) i el cuepo colapsa a un adio meno que R, es un agujeo nego con una apidez de escape mayo que la apidez de la luz. La supeficie de la esfea de adio R se denomina el hoizonte de eventos del agujeo nego. a) i el adio R de un cuepo es mayo que el adio de chwazschild R, la luz puede escapa de la supeficie del cuepo. b) i toda la masa del cuepo está dento del adio R, este cuepo es un agujeo nego: ninguna luz puede escapa de él. R R R Gavedad que actúa sobe la luz que escapa y se desplaza al ojo hacia longitudes de onda mayoes. La enegía cinética de la luz no es mc 2 2, y la enegía potencial gavitacional ceca de un agujeo nego no está dada po la ecuación (13.9). En 1916 Kal chwazschild usó la teoía geneal de la elatividad de Einstein (que en pate es una genealización y extensión de la teoía gavitacional newtoniana) con la finalidad de deduci una expesión paa el adio cítico R, llamado ahoa adio de chwazschild. El esultado es el mismo que si hubiéamos igualado v a c en la ecuación (13.29): 2GM c = A R Despejando el adio de chwazschild R, tenemos R = 2GM c 2 (adio de chwazschild) (13.30) i un cuepo esféico sin otación con masa M tiene un adio meno que R, nada (ni siquiea la luz) podá escapa de su supeficie, y el cuepo es un agujeo nego (figua 13.26). En este caso, todos los cuepos que estén a menos de una distancia R del cento del agujeo nego quedaán atapados po su atacción gavitacional y no podán escapa de él. La supeficie de la esfea con adio R que odea a un agujeo nego se denomina hoizonte de eventos poque, como la luz no puede escapa del inteio de la esfea, no podemos ve los eventos que ocuen ahí. Lo único que un obsevado afuea del hoizonte de eventos puede conoce aceca de un agujeo nego es su masa (po sus efectos gavitacionales sobe otos cuepos), su caga eléctica (po las fuezas elécticas que ejece sobe otos cuepos cagados) y su momento angula (poque un agujeo nego en otación tiende a aasta el espacio que hay a su alededo y todo lo que contiene en él). Toda la demás infomación aceca del cuepo se piede iemediablemente cuando se colapsa dento de su hoizonte de eventos. Ejemplo Cálculos en agujeos negos Las teoías astofísicas sugieen que una estella quemada puede colapsase bajo su popia gavedad paa foma un agujeo nego, si su masa es de cuando menos tes masas solaes. En tal caso, qué adio tendía el hoizonte de eventos? OLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: El adio en cuestión es el adio de chwazschild. Usamos la ecuación (13.30) con un valo de M de tes masas solaes, es deci, M = 3 (1.99 * kg) = 6.0 * kg: R = 2GM * 10 N # m 2 >kg * kg2 c 2 = * 10 8 m>s2 2 = 8.9 * 10 3 m = 8.9 km = 5.5 mi

24 13.8 Agujeos negos 425 EVALUAR: La densidad media de este objeto es = M = 6.0 * kg 4 3 pr3 4 3 p18.9 * 103 m2 = 2.0 * kg>m 3 Esto es apoximadamente veces la densidad de la mateia odinaia en la Tiea y es compaable con la densidad de los núcleos atómicos. De hecho, una vez que el cuepo se colapsa a un adio de R, nada puede evita que se colapse más. Toda la masa se compime a un solo punto llamado singulaidad en el cento del hoizonte de eventos. Este punto tiene volumen ceo y, po ende, densidad infinita. Visita a un agujeo nego En puntos alejados de un agujeo nego, sus efectos gavitacionales son los mismos que los de cualquie cuepo nomal con la misma masa. i el ol se colapsaa paa foma un agujeo nego, las óbitas de los planetas no se afectaían. in embago, en las cecanías del agujeo nego las cosas son dásticamente distintas. i el lecto decidiea convetise en un héoe de la ciencia y saltaa a un agujeo nego, quienes se quedaan atás obsevaían vaios efectos extaños al movese usted hacia el hoizonte de eventos, casi todos asociados con la elatividad geneal. i usted llevaa un adiotansmiso paa infoma de sus expeiencias, había que sintoniza el ecepto continuamente a fecuencias cada vez más bajas po el efecto denominado desplazamiento gavitacional al ojo. Junto con este desplazamiento, los obsevadoes pecibiían que los elojes de usted (electónicos o biológicos) avanzaían cada vez más lentamente po el efecto llamado dilatación del tiempo. De hecho, a los obsevadoes no les alcanzaía la vida paa ve cómo usted llega al hoizonte de eventos. En su maco de efeencia, usted llegaía al hoizonte de eventos en un tiempo muy coto, peo de foma un tanto desconcetante. Al cae con los pies po delante hacia el agujeo nego, la atacción gavitacional sobe los pies seía mayo que sobe la cabeza, la cual estaía un poco más lejos del agujeo. Las difeencias en la fueza gavitacional que actúa sobe las distintas pates de su cuepo seían suficientes paa estialo a usted en la diección hacia el agujeo nego y compimilo en la diección pependicula. Estos efectos (llamados fuezas de maea) sepaaían sus átomos y luego los desgaaían, antes de que usted llegaa al hoizonte de eventos. Detección de agujeos negos i la luz no puede escapa de un agujeo nego, y si los agujeos negos son tan pequeños como sugiee el ejemplo 13.11, cómo sabemos que tales entidades existen? La espuesta es que si hay gas o polvo ceca de un agujeo nego, tendeá a foma un disco de aceción que giaá en tono del agujeo y caeá en él, como en un emolino (figua 13.27). La ficción dento del mateial del disco hace que pieda enegía mecánica y caiga en espial hacia el agujeo nego, compimiéndose al hacelo. Esto Estella odinaia 1 El agujeo nego tia de la mateia de la estella odinaia paa foma un disco de aceción a su alededo istema de estellas binaias en el que una estella odinaia y un agujeo nego gian uno alededo del oto. El agujeo nego no puede vese, peo pueden detectase los ayos x de su disco de aceción. 2 El gas del disco se compime y calienta a tempeatuas tan altas que se conviete en una fuente intensa de ayos x. Agujeo nego 3 En el disco de aceción, el gas que no cae al agujeo nego se expulsa en dos veloces choos a pesión.

25 426 CAPÍTULO 13 Gavitación Esta imagen de colo falso muesta los movimientos de las estellas en el cento de nuesta galaxia duante un peiodo de 13 años. Un análisis de estas óbitas con la tecea ley de Keple indica que las estellas se mueven alededo de un objeto invisible, cuya masa es de unas 4.1 * 10 6 veces la masa del ol. La baa de la escala indica una longitud de m (670 veces la distancia ente la Tiea y el ol) a la distancia del cento galáctico m causa un calentamiento del mateial, como sucede con el aie compimido en una bomba paa bicicleta. e pueden alcanza tempeatuas po encima de 10 6 K en el disco de aceción, de modo que no solo se emite luz visible (como hacen los cuepos al ojo vivo o al blanco vivo ), sino también ayos x. Los astónomos buscan estos ayos x (emitidos antes de que el mateial cuce el hoizonte de eventos), paa detecta la pesencia de un agujeo nego. e han hallado vaios candidatos pometedoes, y los astónomos han expesado una confianza consideable en la existencia de los agujeos negos. La masa de los agujeos negos en sistemas de estellas binaias, como el de la figua 13.27, es unas cuantas veces mayo que la del ol, y cada vez hay más puebas de la existencia de agujeos negos supemasivos mucho mayoes. e cee que hay uno en el cento de nuesta galaxia, la Vía Láctea, a unos 26,000 años luz de la Tiea en la diección de la constelación agitaio. Imágenes de alta definición del cento galáctico evelan estellas que gian a más de 1500 km s en tono a un objeto invisible que coincide con la posición de una fuente de ondas de adio llamada g A* (figua 13.28). Al analiza estos movimientos, los astónomos pueden infei el peiodo T y el semieje mayo a de la óbita de cada estella. Así, se puede calcula la masa m X del objeto invisible utilizando la tecea ley de Keple en la foma que se da en la ecuación (13.17), sustituyendo la masa del ol m po m X : T = 2pa3>2 1Gm X así que m X = 4p2 a 3 GT 2 La conclusión es que el misteioso objeto oscuo en el cento de la galaxia tiene una masa de 8.2 * kg, es deci, 4.1 millones de veces la masa del ol. in embago, obsevaciones efectuadas con adiotelescopios evelan que su adio no es mayo que 4.4 * m, apoximadamente un tecio de la distancia que hay ente la Tiea y el ol. Estas obsevaciones sugieen que este objeto masivo y compacto es un agujeo nego con un adio de chwazschild de 1.1 * m. Los astónomos confían en mejoa la esolución de sus obsevaciones a tal gado que, en unos pocos años, podán ve el hoizonte de eventos de ese agujeo nego. Otas líneas de investigación sugieen que podía habe agujeos negos aún más gandes, con más de 10 9 masas solaes, en el cento de otas galaxias. Los estudios de obsevación y teóicos sobe agujeos negos de todos tamaños siguen siendo un áea de investigación estimulante tanto en la física como en la astonomía. Evalúe su compensión de la sección 13.8 i el ol llegaa a colapsase paa foma un agujeo nego, qué efecto tendía este suceso sobe la óbita de la Tiea? i. La óbita se encogeía; ii. la óbita se expandiía; iii. la óbita pemaneceía del mismo tamaño.