Series. 1. Introducción. Tres paradojas. 1.1 Primera. Zenón de Elea. Práctica 11. Teóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 11 Series

Transcripción

1 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Práctic Series Los rocesos ifiitos que hemos usdo r desrrollr este curso fuero evitdos históricmete desde los griegos hst el siglo XVII. Icluso el mismo cálculo diferecil e itegrl fue resistido or filósofos y mtemáticos durte lrgo tiemo hst que Cuchy y otros mtemáticos le dier form y justificció le. Prdójicmete, est últim uidd que se ocu del estudio de sums ifiits, es recismete or dode emezro los dres del cálculo sus descubrimietos e mtemátic. Tto Newto como Leibiz se roimro l mtemátic estudido series ifiits. Los rimeros descubrimietos de Newto, co 3 ños de edd, se deriv de su hbilidd r eresr fucioes e térmios de sums ifiits. Escribió Newto todo lo que el álgebr hce or medio de u ctidd fiit de ecucioes, se uede coseguir or medio de ifiits ecucioes ues el rzomieto e este cso o es meos seguro que e el otro. Por su rte, Leibiz, desfido or el físico Huyges, estudi diverss series umérics, tl como veremos e l itroducció.. Itroducció. Tres rdojs. Primer. Zeó de Ele L doctri itgóric de que los úmeros costituye el mudo etero er resistid or otrs corrietes filosófics. Etre ellos se ecotrb Zeó de Ele que formuló u colecció de rdojs r refutr ls teorís de los seguidores de Pitágors. E u de sus rdojs, Zeó, discíulo de Prméides, os demuestr que el movimieto es imosible y que es sólo u erceció de los setidos. El rzomieto de Zeó er el siguiete: Suogmos que queremos ir del uto A l uto B velocidd costte. Suogmos tmbié que cudo llegmos l mitd de cmio h trscurrido u miuto. A mi 8 mi B mi 4 mi Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

2 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Pr recorrer l mitd del cmio restte, ecesitremos miuto, desde llí hst l mitd del cmio restte trdremos 4 de miuto y sí hst el ifiito. De modo que el tiemo totl T que ecesitmos r ir de A hst B se obtiee sumdo todos estos tiemos rciles: T Afirmb Zeó que l sum ifiit de tiemos db ifiito y or lo tto er imosible ir de A hst B. Luego el movimieto o eiste. Trtdo de retrucr Zeó Hgmos u cuet co l sum T scdo fctor comú rtir del segudo térmio de l sum: Etoces T (...) (...) T T T T T Medite est cuet deducimos lo que rece (y es) obvio: si trdmos miuto r recorrer l mitd del cmio trdmos miutos r recorrerlo todo. Será que l firmció de Zeó de que sumr ifiitos térmios ositivos es ecesrimete ifiito, o es verdd? Vemos l segud rdoj, que lejos de clrr, oscurece. Segud. El orige del Ajedrez y u fil ieserdo L leyed sobre el orige del jedrez está e muchos libros y sitios de Iteret. Uo de ellos es tituldo El hombre que Clculb de Mlb Th (es u seudóimo). Lo que sigue es u resume muy retdo de est leyed. L histori ocurre hce miles de ños e u reio de l Idi, dode goberb el rície Idv, sbio y geeroso. Debido u guerr froteriz e l que result victorioso, ierde su hijo e l btll fil y ce e u rofud deresió que lo llev bdor ls cuestioes de gobiero, oiedo l reio e grve crisis. Desde los cofies del reio u brhmá de ombre Sess, cerc l lcio de Idv u reglo que o er otro que el juego del jedrez. Aredids ls regls de juego, el rície se volvió ráidmete u ecelete jugdor. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

3 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series E u de ls rtids que jueg co uo de sus cortesos, descubre que se h reroducido e el tblero l btll fil dode erdió su hijo y que r gr l rtid debe scrificr u lfil de l mism form que su hijo se scrificó r slvr l reio. El rície grdece Sess or el reglo y or hcerle comreder que r slvr u reio hy que estr disuesto hcer grdes scrificios. Le dice Sess que id lo que quier e recomes. 4 8 El brhmá le d u últim lecció de humildd. Le ide u ctidd de gros de trigo que deberá determir colocdo u gro e el rimer csillero del tblero de jedrez, dos gros e el siguiete, cutro gros e el siguiete, y sí siguiedo, siemre dulicdo l ctidd de gros hst comletr los 64 csilleros del tblero. Pr cotrlos los miistros del rície tuviero que clculr l sum Emezdo oer gros e el tblero 3 63 G... El resultdo de est sum es u úmero eorme: gros. Los cotdores del rície cocluyero que sembrdos todos los cmos de l Idi o drí e muchos ños l ctidd de trigo requerido or Sess. Aquí termi l histori del jedrez. Pero el mtemático esñol Miguel de Guzmá imgi e uo de sus libros de teto otro fil r est histori. Molesto el rície or el eló que Sess le hicier sr delte de sus miistros, le dijo que r demostrrle lo geeroso que er o solo estb disuesto drle l ctidd de gros requerid sio que le ib dr mucho más: G Pr clculr est sum ifiit seguimos l mism estrtegi que usmos e el cso de Zeó: G (......) G Nos qued l ecució: El rície Idv, triufte le dice Sess: Me debés u gro! G G G Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 3

4 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Qué só? Por qué l mism cuet que os dejó trquilos co l rdoj de Zeó, os d u resultdo bsurdo e este cso? Será que Zeó lgo de rzó teí? Volveremos est erlejidd u rto omás..3 Tercer. El descuido de Leibiz Como y sbemos Leibiz y Newto so los héroes de uestro curso or ser los dres del cálculo diferecil e itegrl. Curiosmete como dijimos l comiezo mbos comezro su ctividd e l mtemátic resolviedo cuestioes viculds sums ifiits. Leibiz clculó co gr hbilidd l sum de los iversos de los úmeros trigulres. Es decir S (...) 3 34( ) k k 3 Pr ello observó que cd térmio se uede escribir como,,,..., ( ) k k k k Etoces reemlzdo cd térmio obtuvo (dividiedo or ) S ()()()...() k k Observdo que rtir del segudo térmio cd uo se ccelb co el siguiete, solo quedb si ccelr el rimer térmio de l sum. Así S S Este resultdo lleó de etusismo Leibiz y lo llevó clculr l siguiete sum L... Usdo l mism estrtegi que osotros, tto e l rdoj de Zeó r clculr el tiemo como e l leyed del jedrez r cotr los gros, obtuvo: L... (...) L Es decir L L L. Si embrgo, odrí hber hecho, etre otrs coss, lo siguiete: L ( )( )( )... 0 Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 4

5 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Otr vez estmos te u rdoj. Ests tres cuestioes hce esr que ls sums ifiits, e riciio, o uede miulrse co l ritmétic hbitul si que tegmos bie defiido qué sigific.. Series umérics Se,,...,,... u sucesió de úmeros reles. Costruimos rtir de ell u uev sucesió, que llmremos sums rciles, de l siguiete mer: S S S3 3 S 3... Defiició. Diremos que l serie de térmio geerl sums rciles tiee u límite fiito, es decir, si eiste S tl que lim E tl cso escribimos S y decimos que S es l sum de l serie. E otro cso diremos que l serie diverge. es covergete si l sucesió de S S. A veces, si l serie coverge, odremos Si, e cmbio, diverge, odremos L serie telescóic de Leibiz. Clculr l sum de l serie Solució. ( ) Siguiedo l ide de Leibiz, hor co l defiició de series mo, clculmos ls sums rciles: Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 5

6 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series S S ()() S...()()...() 3( ) 3 Etoces lim lim() S. Es decir ( ) Observció: Est serie l odemos tmbié escribir e l form Así l usremos e u mometo más.. ( ) Hllr l sum de u serie o es tre secill. Nos rooemos simlemete determir si u serie es covergete o o. Pr ello os teemos que hcer de u ged de series de ls cuáles semos si so o o covergetes r que, comrdo co ells, odmos determir l covergeci o o de uevs series. Ls series geométrics y ls series que dmos cotiució ut este objetivo.. Series geométrics Vmos estudir u fmili de series que jugrá u el imortte e lo que sigue. Pr cd r, cosidermos l serie geométric 0 Pr clculr l sum rcil de orde hcemos 3 r r r r... térmios. Al rámetro r se lo llm rzó de l serie geométric: S rs y que se ccel csi todos los S r r... r r 3 rs r r r... r r S rs r Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 6

7 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Es decir Si r () r S r obteemos u eresió sitétic de l sum rcil de orde S r r L serie geométric es covergete si l sum rcil tiee límite fiito. Se tiee lim lim r si r S r r si r r r 0 si r si r Teemos etoces que l serie geométric coverge r r y su sum vle r, r r 0 Nos flt estudir los csos r y r. Cso r Es clro que S. S... Etoces l sucesió de sums rciles o coverge u límite fiito. L serie e este cso es divergete. Cso r E geerl S, S 0, S3, S4 0 S si imr 0 si r L sucesió de sums rciles o tiee límite, or lo que l serie es divergete tmbié e este cso. E sítesis r diverge si r 0 Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 7

8 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series. L resolució de ls tres rdojs Ls series geométrics os d ls resuests ls tres rdojs lteds l comiezo Primer. Zeó y el movimieto L serie T es u serie geométric de rzó 4 obtuvimos que l serie es covergete y su sum es igul T. r. Pr este vlor Zeó se equivocb cudo firmb que sumr ifiitos úmeros es ifiito. Segud. L leyed del jedrez L ctidd de gros que el rície querí etregrle Sess es l serie geométric de rzó r que vimos que es divergete. 3 G El cálculo del rície er flz y l ecució G G úmero. o tiee setido orque G o es u Tercer. El descuido de Leibiz L serie L... que Leibiz le dio como sum es l serie geométric de rzó r que cbmos de ver que es divergete. Esto elic el error del geio. Le fltb u bue defiició de sum ifiit. Se uede hcer los ejercicios del l 5 de l Práctic..3 L serie rmóic Otr fmili de series que servirá como testigos r comrr co series que querrmos estudir so ls llmds series. Pr cd 0, se cosider l serie Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 8

9 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Veremos, e térmios de, cuádo est serie coverge y cuádo diverge. Por hor, estudiemos el cso. Los térmios de so todos ositivos. Zeó sosechrí de ell. Tedrí rzó e este cso? Cosideremos ls sums rciles de térmio, de 3 térmios, de 7 térmios, de térmios y gruemos tles térmios de uo, desués de dos, desués de cutro y sí hst termir co ellos: S, 3 S, S S Observemos que, 3 4 4, Es decir S. Al ser u serie de térmios ositivos, sus sums rciles so crecietes (cd vez que grego u térmio, l sum rcil es myor). Luego L serie rmóic es divergete..4 Proieddes de lielidd Ls series hered de l oció de límite ls roieddes de lielidd. Esto es: Si ls series y b () b b k k so covergetes etoces vle: Ejercicio. Clculr l sum de l serie 5 6 Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 9

10 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Solució Escribimos el térmio geerl como sum de dos otecis Observemos que cd térmio deviee e u serie geométric de l cul sbemos clculr su sum. Usmos l lielidd r escribir Solo os qued clculr cd u de ls series geométrics que os h queddo. Hy u sutilez: ls sums comiez desde y los cálculos geerles que hicimos recedetemete fuero desde 0. Teemos que teder est sutilez e el cálculo, sumdo y restdo el térmio corresodiete 0. L rimer serie geométric es de rzó r Summos desde = 0 y lo volvemos restr L segud serie geométric es de rzó 5 r Etoces Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 0

11 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series.5 U codició ecesri Si bie vimos que Zeó se equivocb cudo decí que sum ifiit de úmeros ositivos debe dr ifiito, el ejemlo de l serie rmóic os hce esr que lgo de rzó lo sistí. El térmio geerl o uede comortrse de culquier mer. El siguiete teorem rrim u oco de luz est cuestió. Teorem. Si l serie Demostrció es covergete etoces lim 0 Si l serie coverge eiste lim S S. Además S S. Tomdo límite: lim lim() S S 0 S S. Si lim 0 o es cierto que l serie se covergete, como lo muestr el ejemlo de l serie rmóic. Est codició ecesri es útil e su versió egtiv. Es decir: Si lim o es cero etoces l serie Est formulció es l que usremos e l ráctic es divergete. Solució Ejercicio. Dds ls series y , decidir si es covergete l serie Observemos que el térmio geerl de l rimer serie o tiede cero. Vemos que co eso os lcz r decidir: lim lim lim Como el térmio geerl o tiede cero y eso es codició ecesri r que l serie se covergete, result divergete. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

12 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 3. Series de térmios ositivos 3. Criterios de comrció Ls series de térmios ositivos so más fáciles de estudir or el siguiete hecho que coocemos de ls sucesioes: Si 0 etoces l sucesió de sums rciles es creciete: S S S... Por lo tto, r que l serie se covergete bstrá co que ls sums rciles esté cotds sueriormete, y que u sucesió creciete y cotd sueriormete tiee límite fiito. E bse est ide dremos criterios de covergeci y divergeci de series, comrdo series descoocids co series coocids. E lo que sigue y hst uevo viso, tods ls series será de térmios o egtivos. L serie será l serie estudir. L serie divergete. c será u serie covergete y l serie d será u serie 3. Primer criterio de comrció Primer criterio de comrció () Si c etoces (b) Si d etoces Demostrció es covergete. es divergete. L desiguldd lcz que se ciert desde u e delte. () No hy mucho que decir: S... c c... c C Como c es covergete result que C tiee límite y or lo tto está cotd. Luego S tmbié está cotd y como dijimos, co eso lcz r segurr que tiee límite. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

13 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Ejemlos. Más sobre series. L serie Prueb Recordemos que l serie telescóic ( ). ( ) es covergete. es covergete y que es evidete que Etoces ( ) c r. Luego, usdo el criterio de comrció recedete, l serie es covergete. L serie Prueb Mism ide: co es covergete. si. Etoces Etoces, el criterio de comrció os segur que c es covergete si. L serie Prueb Mism ide: co 0 es divergete. si 0. Etoces d socid u serie divergete. Etoces es divergete si 0. Por ejemlo, l serie. es divergete orque Nos qued or sber qué s cudo. Pcieci. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 3

14 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 3.3 Criterios de comrció co so l límite Criterio de comrció co so l límite () Si lim l [0,) etoces c (b) Si lim(0,) ó l l etoces d es covergete. es divergete. Demostrció () Si lim l [0,) etoces l sucesió está cotd. Es decir c c k kc E virtud de ls roieddes de lielidd l serie criterio de comrció tmbié lo es. kc k c es covergete. Etoces or el (b) Si lim(0,) d c l, or coservció de sigo k 0. Esto tmbié es cierto si l. Etoces kd. Etoces, or el criterio de comrció divergete l igul que kd. es Por qué l 0 e (b) (covergete) (divergete) 0. El criterio o sirve d d e este cso Ejercicio. Estudir l covergeci de ls siguietes series: 3 () () 3 (3) Solucioes (4) 3 4 Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 4

15 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 3 () U álisis heurísitco os dice que 3 se comort como que deviee e u serie covergete (serie co ). Comrmos sdo l límite r cofirmr esto: Etoces, como coverge, l serie 3 3 coverge. () Aquí, el álisis ituitivo os dice que divergete. 0 se rece que deviee e u serie Otr vez comrmos sdo l límite: Etoces l serie 0 0 ( 0) 0 es divergete. (3) Aquí, si bie se uede licr el criterio de comrció de so l límite, vemos que el térmio geerl o tiede cero: Etoces l serie es divergete. (4) El álisis revio os dice que 4 se rece 3 or lo que 3 4 deviee e l serie rmóic, divergete. Comrmos sdo l limite: se recerá que ( 0) Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 5

16 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Etoces l serie 3 4 es divergete. Es u bue mometo r hcer el ejercicio 6 de l Práctic. 3.4 Criterio itegrl de Cuchy Teemos ediete el estudio de ls series co. Itroducimos u criterio de covergeci que Cuchy ideó r resolver justmete est cuestió, uque será útil e otros csos. Teorem: Se f :[,) u fució o egtiv y decreciete (or lo tto itegrble e culquier itervlo de su domiio). Etoces, ls sucesioes S f () k k e I Es decir, o mbs coverge o mbs diverge. Demostrció (ide de) f () d tiee el mismo comortmieto. Piese, como lo hizo Cuchy, e f () Nos oymos e ls dos figurs que lo dice csi todo: y f () f () y f () f () f () 3 4 f ( ) 3 4 f ()(3) f...()() f f d f ()()() d f...( f ) f E térmios de S e I ests desigulddes se trduce e S f () I S Si I está cotdo, tmbié lo está S Si S está cotdo, tmbié lo está I Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 6

17 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Teiedo e cuet que ls dos sucesioes so crecietes, r que se covergetes, bst que esté cotds. De ests dos desigulddes se deduce que: Si I cotd tiee límite, etoces está cotd, etoces, mirdo l desiguldd izquierd, tmbié está S, co lo cul result covergete. Recírocmete, si derech, tmbié está cotd S tiee límite, S result cotd, co lo cul, mirdo l desiguldd de l I, cocluyedo etoces que es covergete. 3.5 Comletdo el álisis de ls series Vemos cómo ctú este criterio itegrl cudo lo licmos l fució ositiv y decreciete f (). El criterio os dice que l serie d lim d Se l llm itegrl imroi será covergete si y sólo si eiste el Clculmos r d Al licr l regl de Brrow, el límite sólo eiste si 0 y vle d. Es decir que, segú el criterio itegrl, l serie coverge sólo si. E otro cso, es divergete. Si bie el cso y lo hemos resuelto mo, el criterio itegrl tmbié os etreg u uev rueb de que l serie es divergete e este cso: d l etoces l serie diverge Teorem. L serie coverge si y solo si. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 7

18 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Ejercicio. Estudir l covergeci de ls series () l () l Solucioes () Usmos el criterio itegrl: d dt l t l l l t. Etoces l serie es divergete. Sustitució: d t l dt () Nuevmete usmos el criterio itegrl l d te t dt te t e t 0 0 Sustitució: d t l dt t 0 t Prtes: u t du dt t dv e dt v e t l Luego l serie es covergete. Se uede hcer el ejercicio 7 de l ráctic. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 8

19 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Hci dóde vmos Reresetr fucioes como sum de fucioes más secills es u objetivo del cálculo. El Poliomio de Tylor es u so e ese setido. Ahor retedemos sber r qué vlores de u serie de otecis rereset u fució f () 0 Notr que cudo tom vlores egtivos el sigo de v lterdo de ositivo egtivo 4. Series Alterds. Criterio de Leibiz Será de iterés r lo que sigue estudir ls series de l form...( ) 3 co 0 Ls series de est form se llm series lterds. Tmbié se cosider series lterds ls de l form...( ) 3 U criterio descubierto or Leibiz será uestr herrmiet r estudir ests series Teorem. Criterio de Leibiz. Se 0. Si se cumle ls dos codicioes es decreciete. lim 0. L serie lterd Demostrció ( ) es covergete. L ide es robr que ls sums rciles subsucesioes S y S S tiee límite fiito. Pr ello estudimos ls. Alczrá co que mbs teg el mismo límite fiito. A ls sums rciles de orde r se ls uede escribir como: Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 9

20 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series S ()()...() 3 4 Cd térmio (etre rétesis) es myor o igul cero ues l sucesió es decreciete. Es decir que l sucesió S Tmbié se ls uede escribir como So todos o egtivos result creciete (sum de térmios ositivos) S ()()...() So todos egtivos Cd térmio, slvo el rimero, es meor o igul cero otr vez orque l sucesió es decreciete. Etoces S Etoces l sucesió S es creciete y cotd sueriormete. Se cocluye que eiste lim S S Ls sums rciles de orde imr está relciods co ls de orde r: S... S Tomdo límite e mbos miembros (sbemos que lim 0 ) se obtiee lim S S Luego lim S S y l serie result covergete Ejercicio. Decidir sobre l covergeci o o de ls series lterds. () () ( ) ( )( ) 3 ( ) (3) serie rmóic lterd Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 0

21 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Solucioes () Alicdo el Criterio de Leibiz es imedito, ues 0 (tiede cero e form decreciete) () E este cso ( )( ) 3 Oscil. E vlor bsoluto tiede o tiede cero. Luego, or l codició ecesri, l serie es divergete. (3) Alicmos otr vez el crierio de Leibiz. Es imedito que 0 forms diferetes:. Meos evidete es que es decreciete. Vemos esto de dos U form: desde l defiició de decreciete: hy que robr que. Es decir. Hciedo l cuet, est desiguldd es equivlete robr que ( ) o bie, l evidete desiguldd 3 3 Otr form: Probr que l fució socid l térmio geerl g() (co esto lcz y sobr r ver que g() clculmos su derivd y estudimos su sigo (Teorem del Vlor Medio) es decreciete si es decreciete). Pr ver que g es decreciete, g () 0 si Co lo cul g es decreciete. Luego covergete. es decreciete y tiede cero. El criterio de Leibiz os segur que l serie es Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

22 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 5. Covergeci bsolut y codiciol Dmos dos uevs defiicioes y u teorem que ls relcio. Covergeci bsolut: Diremos que l serie es covergete. coverge bsolutmete si l serie Covergeci codiciol: Diremos que l serie es covergete ero l serie ( ) Por ejemlo l serie es divergete. coverge bsolutmete y l serie coverge codiciolmete si l serie codiciolmete. L imortci de estos cocetos se oe de mifiesto e el siguiete teorem ( ) coverge Teorem. Si l serie Demostrció coverge bsolutmete etoces coverge. Sbemos or hiótesis que es covergete L demostrció se oy e u hecho elemetl 0 L eresió es igul 0 (cudo es egtivo) o es igul (cudo es ositivo). Etoces l serie () covergete. Por el criterio de comrció result que l serie es de térmios ositivos y domid (cotd) or u serie () se uede escribir como rest de dos series covergetes: y or lo tto result covergete. () es covergete. Pero etoces Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires

23 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series cos Ejercicio. Estudir l covergeci de l serie Solució Estudimos l covergeci bsolut de l serie. cos. Por comrció l serie result bsolutmete covergete. Por el teorem terior, es covergete. Se uede hcer los ejercicios 9 y 0 de l ráctic, dejdo el 8 r más delte. 5. Imortci del Teorem Suogmos teer u serie de otecis (ver hci dóde vmos) de l form queremos sber r qué vlores de es covergete., de l cul Los criterios estblecidos r series de térmios o egtivos se odrá licr r l serie de vlores bsolutos coverge tmbié será covergete l serie origil. De modo que si lguo de ellos os ermite decidir que est serie, grcis l teorem recedete. 5. Dos criterios de covergeci bsolut Pr estudir u oco ls series de otecis, dmos dos criterios que segur covergeci bsolut y que y hemos usdo r covergeci de sucesioes. E lo que sigue queremos estudir l covergeci de l serie sigo de. si igu restricció sobre el Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 3

24 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series Criterio de l ríz eésim (Cuchy) Criterio de l ríz eésim (Cuchy) Demostrció. Si lim L etoces l serie b. Si lim L etoces l serie coverge bsolutmete diverge c. Si lim L el criterio o sirve r decidir. Es csi u cso rticulr del criterio de comrció.. Si L etoces odemos firmr que r r 0 r L Etoces 0 r que geer u serie geométric covergete. Etoces, or comrció, l serie coverge bsolutmete. b. Si L etoces r r 0 Luego r. De modo que co lo cul l serie es divergete. c. L serie es covergete mietrs que l serie rmóic es divergete. E mbos csos, si licmos el criterio de l ríz obteemos límite igul. Esto muestr que el criterio o sirve e este cso r decidir sobre l covergeci de l serie. Criterio del cociete (D Alembert) Criterio del cociete (D Alembert). Si lim L etoces l serie coverge bsolutmete Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 4

25 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series b. Si lim L etoces l serie diverge c. Si lim L el criterio o sirve r decidir. Demostrció Vemos el cso. El cso b. es similr y r el cso c. sirve los mismos ejemlos que e el criterio de Cuchy.. Suogmos ues que L. Al igul que e l otr demostrció odemos firmr que r Usmos el criterio de comrció co u múltilo de l serie geométric covergete de térmio geerl c r Pr ello, lcz co ver que Luego,. Es decir, queremos mostrr que el cociete b es decreciete. Vemos eso ues b b r r r b es decreciete y, or lo tto, cotd sueriormete or lo que b r. está cotdo sueriormete. r k Es decir covergete. kr. Por el criterio de comrció se cocluye que l serie es bsolutmete Ejercicio. Estudir l covergeci de ls series () () (3) Solucioes 0!! 8 Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 5

26 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series () El fctoril se llev ml co l ríz de modo que usremos el criterio del cociete. Pr ello, rmmos el cociete de D Alembert r obteido lo comrmos co.! y luego tommos límite. Al resultdo Como 0 odemos omitir el módulo ( )!! 0! ( )! Etoces l serie es covergete. () Otr vez, licmos el criterio del cociete, co! ( )! ( )! e ( )!() ( )! Como el límite del cociete de D Alembert es meor que, l serie es covergete. (3) E este cso, el criterio de l ríz es el más cómodo: 8 8 8e Como el límite result ser myor que, el criterio segur que l serie es divergete. Ahor es el mometo de hcer el ejercicio 8 de l ráctic. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 6

27 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 6. Series de otecis L reresetció de fucioes or medio de series de otecis es u cítulo e sí mismo de l mtemátic. Aquí sólo os rooemos dr resuest l siguiete roblem Problem. Pr qué vlores de es covergete l serie covergeci es bsolut? Cuádo es codiciol? Pr tcr este roblem seguiremos l siguiete estrtegi: 0? Cuádo l. Co los dos criterios r covergeci bsolut (el de l ríz eésim o el del cociete) determimos los vlores de dode hy covergeci bsolut. Los mismos criterios os dice dode l serie diverge.. Pr los utos dode los criterios o decide ( L ) usmos l colecció de criterios de covergeci que estuvimos viedo (comrció, so l límite, criterio itegrl y criterio de Leibiz) Ejercicios. Hllr todos los vlores de r los cules ls siguietes series so covergetes. Estblecer cuádo l covergeci es bsolut y cuádo es codiciol () (3) () 0! 0 ( ) (4) 3 5 Solucioes () Alicmos el criterio de l ríz eésim: El criterio os segur etoces que si bsolutmete y si l serie coverge l serie diverge. El criterio es iútil cudo. Teemos clsificdos todos los úmeros reles e utos de covergeci o de divergeci, slvo los csos y. Itervlo de covergeci bsolut Cso. Evlumos l serie de otecis e este uto y obteemos l serie uméric lterd ( ) que y vimos que es covergete (usdo el Criterio de Leibiz) Cso. E este cso l serie uméric resultte es l serie rmóic itegrl, or ejemlo) que es divergete. Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 7 que vimos (Criterio

28 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series E cosecueci, estmos e codicioes de dr u resuest l roblem: E l serie coverge, e culquier otro uto es divergete. E l covergeci es codiciol, e, l covergeci es bsolut. () Otr vez, el criterio de l ríz eésim rece decudo: El criterio os dice que r l serie coverge bsolutmete. El criterio tmbié os dice que r l serie diverge. Es decir Pr Pr l serie coverge bsolutmete l serie diverge Nos qued or lizr los bordes del itervlo de covergeci:,. El vlor es el llmdo rdio de covergeci Cso. L serie resultte e este cso es 0 0 El térmio geerl se rece que geer u serie divergete. Usmos comrció co so l límite: 0 Luego e Cso l serie es divergete.. E este cso result l serie lterd Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 8

29 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series 0 ( ) Est serie l estudimos e oortuidd de ilustrr el Criterio de Leibiz. E ese mometo robmos que 0 (tiede cero e form decreciete). Etoces hy covergeci codiciol e este uto. E sítesis l serie es covergete solo e (3) El fctoril o se llev bie co el criterio de l ríz eésim. Alicmos el criterio del cociete.! 0 ( )! El criterio os dice que l serie coverge bsolutmete r todo. Abusdo de l defiició, decimos que el rdio de covergeci es ifiito. No es difícil robr, ví el desrrollo de Tylor que vle l elegte fórmul e 0! (4) L serie está eresd e otecis de ( ). Alicmos el criterio de l ríz eésim ( ) Etoces hy covergeci bsolut si 5 (5 es el rdio de covergeci) Pr 5 el criterio os segur que l serie diverge. Vemos qué s cudo 5. Es decir 3 o 7. Si 7 l serie es que cbmos de decir que es covergete. 3 Etoces l serie coverge e el itervlo [ 3,7] y e todos los vlores l covergeci es bsolut. Si 3, l serie es ( 5)( ) Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 9

30 Teórics de Aálisis Mtemático (8) Práctic Series ( ) Est serie coverge bsolutmete orque 3 3 geer u serie covergete. Ejercicio. Hllr el rdio de covergeci de l serie es covergete. Solució 0 (!). Decidir si e, l serie ()! Alicmos el criterio del cociete: [( )!] ()! ( ) (!) ()! [( )]! (!) ( )( ) ()! (!) Simlificmos los térmios del mismo color: ( ) ( )( ) Luego 4 4 Por lo tto, el rdio de covergeci es igul 4. Como 4, e l serie es covergete. Se uede hcer los ejercicios 3 de l ráctic. Citi Buto, Lisi D Alfoso, Flor Gutierrez, Gbriel Jeroimo, Gustvo Mssccesi, Ju Crlos Pedrz y Ju Sbi (05), Series, Teórics de Aálisis Mtemático (8). Áre de Mtemátic Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires 30