CAPÍTULO 10: INTEGRALES Actividades de introducción

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1 8 PÍTULO : INTEGRLES cividds d ioducció lcul l á d l gió limid po l ució l oig d coodds y u puo géico d scis. Si psmos l ució y diujmos l supici ll y l j OX, omos l s lu iágulo cágulo d l igu. Smos qu l á dl iágulo s: Á. To l s como l lu vl uidds, po o: Á Po o, l á jo l cuv s clcul como. lcul l á d l gió limid po l ució l oig d coodds y u puo géico d scis. omo s, psmos l ució y diujmos l supici ll y l j OX. ho omos l pcio cágulo d l igu. Si dividimos l igu u cágulo d lu u y u iágulo, l á s clcul como: Á Po o, l á jo l cuv s clcul como: º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP. Rpi los pocdimios ios p clcul l á d l gió limid po ls ucios, (co y R) l oig d coodds y u puo géico d scis. liz: Div ls psios oids los jcicios ios y zo qué lció hy ls ucios y y. Rcud l ipció d á como sum d ls uidds cudds cds po u igu. plícl p dmi l á d l ució 6, psádol u cudícul y codo l úmo d cuddos jo ll p dis vlos d. Rzo qué ocu co l á cudo l ució s giv l ivlo lizdo.. PRIMITIV DE UN FUNIÓN. L INTEGRL INDEFINID.. Diició d pimiiv S llm ució pimiiv d u ució o ució F l qu l divd d F s viic F Ejmplo: L ució F Tido cu ls popidds d l divd, s viic qu si ució pimiiv d s d l om F F F s u pimiiv d, y qu F. F s u ució pimiiv d F, co R. E co; cosidmos l ució, s dci, qu s, culqui o F, l qu y R. Si divmos:. Po o, F s pimiiv d.. Diició d igl idiid L igl idiid d u ució s l cojuo d ods sus pimiivs, y s ps como d igl d dicil d. Po o, si F s u pimiiv d : d F.. S l s l domi cos d igció, y l d os idic qu smos igdo spco d. Eso qu ho o pc dmsid impoci, sí l dá más dl, y qu sá lciodo co l gl d l cd qu vimos l cpíulo io y, l uuo, pdás liz igls vis vils. Po oo ldo, si codmos lo viso l cividd iicil y lo plicdo l Rsum cc dl oig dl símolo d igl, l psió d l igl idiid s l silizció d l psió: s dci: Sum d po cudo, d l sum dl á d odos los cágulos d lu y s iiisiml (d)

2 Ejmplos: d poqu. d l poqu l.. Popidds d l igl Ls popidds d ls divds jusiic muchs d ls popidds d ls igls. Sum y s d igls Sido qu si u v u v y u v u v: g d d g d y g d d g d Poduco po u úmo l Sido qu si k u k u: k d k d Ejmplos: d d d poqu. 7 cos d 7 cos d 7 s poqu 7 s 7 cos cividds suls omo omo Dmi los vlos d, y c p los qu F c 7. F s u pimiiv d F c 7 s u pimiiv d l ució : 7,, c Dmi y p qu F l s u pimiiv d l F s u pimiiv d : F l. Es imposil Si ps l volum d poducció d u áic, l cos mgil d l mism vi ddo po l ució 8. Ecu l ució dl cos ol, F pimiiv F d qu viic qu F., si s s qu dich ució vi dd po l omo F s u pimiiv d 8 : F d 8 d Nos dic qu cividds popuss. lcul ls siguis pimiivs: ) d, ) d, c) d F : F. Eocs: F, d). Dd, clcul l pimiiv F() d qu viic F.. ompu si F s u pimiiv d. Dmi los vlos d,, c y d p los qu F c d. d. E cso givo, plic po qué. s u pimiiv d l ució. l solv u pimiiv, Jvi y Ricdo h uilizdo méodos dis y, como d sp, h oido psios disis. Dspués d vislo muchs vcs y o co igú o los cálculos, l llv l polm l poso p v quié i i l jcicio. P su sops, l poso ls dic qu mos i i l polm. ómo s posil? 6. Rzo po qué l gáic sigui: s u pimiiv d l ució p d, E, (slvo los puos d discoiuidd dod o s divl): º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

3 . INTEGRLES DE FUNIONES ELEMENTLES.. Igl dl dicil d. Igls imdis El émio d sá lciodo, como su popio om idic, co l cocpo d dicil viso l cpíulo io. Tido cu qu l divd y l igl so opcios ivss u d l o, s imdio dduci qu: d co R. Es id os pmi dii ls igls imdis: Igls imdis so ls qu s oi dicm po l popi diició d igl. Si codmos l gl d l cd p l divció: F u F u u podmos sciil om F u df u y, clculdo su igl: u du df F dicil como: du Ejmplos: d d u du u 6 d l d / d d l / l l d l l.. Igl d l ució cos L igl d u cos s igul s cos muliplicd po. k d k co R. E co; cosidmos l ució F k F k k Tmié podímos dmoslo co lo viso.. y.: k d k d k Ejmplos: d d 8 d 8 d.. Igls d ucios pocils, co R. Si divmos: k Y coocmos l divd d l ució pocil: l. Es ácil zo l pocso ivso: Ejmplos: 6 d 6 co R. Tmié coocmos qu: d si y co R. / / / d d d d El cso = cospod l logimo pio: d d l co R. Dod l vlo soluo s d qu mos qu pl ods ls posils ucios cuy divd s l ució dl igdo, y s cumpl qu: l l si si l si si Ess dos ómuls s pud gliz pi d l gl d l cd, como vimos s: d si y d l co R. Ejmplos: d l d d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP cos s d l s cos s cos d 6 6 6

4 .. Igls d ucios pocils Pido d l divd d ls ucios pocils: y l, dducimos: d y d co R. l Y su glizció co l gl d l cd: d y d co R. l Ejmplos: d l d d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP 7 7 d l 7 d d d d Ncsimos l divd dl po. Lo soluciomos muliplicdo y dividido po d d d Ncsimos l divd dl po, s dci,. Tmos l, po os l l. P soluciolo, muliplicmos y dividimos po d d d l Ncsimos l divd dl po, s dci,. P llo, dividimos y muliplicmos po... Igls d ucios igooméics s d cos y d cos s co R. cos d s y d s Ejmplos: 7d cos 7 cos co R. sc d g y sc d g co R. s s d cos cosl d cosl d sl.6. Igls cuyo suldo so ucios igooméics ivss d cs y d ccos + cs d c g c cog d csc ccosc Ejmplos: y y d d cs d c g d csc + co R. co R. co R. ( ) d d d d cs 6 d d c gl l l

5 cividds suls lcul ls siguis pimiivs: o d. Osvmos qu l divd dl dicdo s, sí qu muliplicmos y dividimos : Eocs, s pimiiv s quivl d d d u du u u u du P, ilm, dshc l cmio: g g d F g Ejmplo: d g g. L divd d l g s g sc, y sí: cos cos Hcmos l g igul, dicimos mos émios igmos: g d d d d g g cos cos d Dshcmos l cmio y omos: g g g g g cos Muchs vcs s coviá u igl imdi y, como los jmplos, o hí sido csio dicho cmio. º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP : d 6 o d. L ució más impo s l pocil, y vmos qu l psió más complj s cu u domido u om simil l co g. L sciimos como: d d d Y s coim l hipósis. Muliplicdo y dividido ( ), p compl l divd d : d d du cg u. MÉTODOS DE INTEGRIÓN.. Igció po cmio d vil L igció po cmio d vil usc som l pimiiv dd u más scill, y pud hcs d dos oms dis: so. Idiic u p dl igdo co u uv vil. Ejmplo: d. No s csio u cmio d vil, po vmos mos l mcismo: d d d d Hcmos l iomio igul y dicimos mos émios: d Rsolvmos l pimiiv l om hiul: d Film, dshcmos l cmio: d El cso más cu s quél l qu osvmos u ució complicd y su divd: g g d U vz idiicd, l cmio d vil cosis llm dich ució y dici: g gg d g d d L igl s som o qu igmos: d F d d

6 g, dod so. El cmio sá d l om g s lgiá d om dcud p simpliic l igdo. S dici l iguldd: g d d gd Susiuimos l igl, igmos y dshcmos l cmio hlldo l ució ivs d g: g( ) g( ) d F g g d Fg Ejmplo: d. L psió dl dicl s simil l lció qu is ls ucios igooméics, sí qu imos l cmio: s d cos d cos d cos d d d cos d cos cos s cos d Es pimiiv s imdi: g cos Film, dshcmos l cmio: d s cs gcs E s cso, l psió il s s, po podmos mjol. Si lug d dshc l cmio dicm s s uscmos l lció l so y l g: g cos s d s d Omos: g cos s Hy muchos cmios y sudidos, d uso cu p csos cocos. Sá l méodo qu plicmos los pdos. y siguis. cividds suls d. omo s, s u igl imdi, po vmos pi l pocdimio: Hcmos l iomio igul y dicimos: d d d d d d d Rsolvmos l pimiiv: d d Y dshcmos l cmio: d 6 d. l L divd dl logimo s: l qu s cu l cció qu pcd l dicil d. Hcmos l l cmio: d d d c g c g l Rsulv d hcido l cmio d vil Hcmos l cmio qu os idic: d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP d Dsollmos l d d. cuddo, simpliicmos igmos: d d d Y, ilm, dshcmos l cmio: 7 d

7 cividds popuss 7. lcul ls siguis pimiivs uilizdo l cmio idicdo: d ) d hcido =. ) hcido =. d c) d hcido d) hcido ) s cos d hcido s ) s cos d hcido cos 8. Elig l cmio d vil qu simpliic ls siguis igls: cg ll ) d ) d c) d l d) d ) d ) d.. Igció po ps L igció po ps s u méodo qu os pmi clcul l igl dl poduco d dos ucios d ulz di, u ácilm divl y o ácilm igl. Los csos más cus so cos, logimos, poliomios, pocils y igooméics (sos y cosos), qu os pmi c l gl mmoécic L P E S. o l méodo d igció po ps sommos igls d l om u vd dod v s l ució ácil d ig, o psió más scill l qu pc u uv igl más ácil d clcul qu l d pid. S uiliz l sigui ómul: u vd uv vud qu s sul scii d om vid como: u dv u v v du Eis muchs gls mmoécics p cod s ómul, cogmos s d lls: - Slio Uidos D Vij Y U Vijo Mos S Vio D Ujo. - Susi U Dí Vio U Vli Solddo Vsido D Uiom. - Sgio U Dí Vio U Vc Sod Vsid D Uiom. Dmosció: osidmos l poduco d ucios u v y clculmos su divd: u v uv uv Igmos mos mimos d l iguldd: u v d u v uvd u v d uvd uv D dod: u v u vd uvd Dspjdo, sul: u vd uv vud Tmié pud os pi d l dicil dl poduco: du v du v u dv u dv du v v du Igmos mos mimos d l iguldd: d u v du v u dv v du u dv Y omos: u dv u v v du Osvcios:. omo om gl, s lig como u l pim ució d l pl LPES y como dv l so dl igdo, pudido ds l cso d qu pl dv = d. u c g du d Ejmplo: c g d c g d dv d v d c g d c g d c g l. Smos qu smos plicdo cocm l méodo si omos u igl más simpl qu l iicil. º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP d

8 u du d Ejmplo: s d cos cos d dv s d v s d cos cos cos d cos s. El pocso d igció po ps pud plics vis vcs. E s cso s d m l lcció iicil d u y v. Si s ivi, volvmos l igl d pid. Ejmplo: u du d d dv d v d d d d d u du d dv d v d. Si l igl iicil s l poduco d u pocil po u igooméic, s oi lo qu s domi igls cíclics. l plic po sgud vz l méodo d igció po ps, s oi l igl d pid, y s d solv como u cució: Ejmplo: u du d cos d dv cos d v cos d s s d s Rpimos: u du dv s d v d s d s s d cos cos cos cos d s d cos d s cos cos d Osvmos qu omos l igl d pid. Si domos I cos d : I s cos I I I s cos I s cos I s cos Eocs, susiuydo I po su psió y dsolldo ls ccios: cosd s cos. El méodo d igció po ps o s cluy. Podmos uilizlo dspués d vos oligdos liz u cmio d vil, o qu liz u cmio d vil dspués d h plicdo l igció po ps. cs cs s Ejmplo: d cs d d d s d Qu s sulv como l jmplo io, y popocio: s d s cos. s d dshc l cmio, psmos l coso como: d s s s Eocs: cs d cs 6. Eis os igls qu s sulv po ps y qu o sá cogids l gl d los LPES. L sgi gl s usc u ució ácilm igl y o ácilm divl p simpliic l pimiiv iicil. º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

9 6 Ejmplo: d Y l sgud igl s imdi: Po o: cividd sul u du d d dv v d d c g d c g º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP d d. Es pimiiv pud solvs d vis oms dis:. Po ps: L diiculd s co l ució ácilm igl. E s cso, l lcció s: d / d / dv d v / d u du d L sgud pimiiv s más simpl qu l pim, sí qu smos l u cmio: / / / / d d Es dci: d. Po cmio d vil: El cmio d vil qu uscmos s l qu pmi limi l íz dl igdo: d d d d d d d d Ls dos psios so dis, po s scillo mipulls p hcls iguls. cividds popuss. Dmi si ls siguis igls so imdis o o: Rsolvmos l pimiiv: d ) l d ) d cs d c g l d) ) d ) d h) c) s cos d g) g cos d d i) d j) d k) d. Rsulv ls siguis igls: ) d ) d l c) l cos g d d d) i) j) cos. Rsulv ls siguis igls: ) d ) l d c) cos d d d d) c s d ) s d co, R. ) uiosidd id liz: Rsulv l pimiiv cos l d. u du cosl P llo, muliplic y divid l igdo po : d cosl dv d v

10 7.. Igció d ucios ciols P odmos ho ls igls d l om d dod P() y Q() so poliomios. El pim pso s dsc qu s Q imdi. U vz dscdo qu s imdi, l pocdimio p igls s s dmi ls ícs dl domido y dscompol como sum d ccios lgics cuys igls sul más scills d clcul. S os pud pl ls siguis siucios: Q sólo i ícs ls simpls Q i u íz l múlipl Gdo P < Gdo Q Q i ícs ls simpls y múlipls Q i ícs compljs Gdo P Gdo Q Si l gdo dl umdo s mo qu l gdo dl domido P S d co gdo P gdo Q, y Q u poliomio móico o omlizdo. Q - El domido solo i ícs ls simpls S,, ls ícs d Q. Eocs, s i qu Q. El pocdimio cosis P N dscompo l coci d poliomios l om: Q co,,, N R. sí, psmos l igl d pid como sum d igls imdis: P N d d d d N l l l Q Ejmplo: d lculmos ls ícs dl domido y coizmos l domido: Po o, psmos l cció como sum d ccios simpls: lculmos los coicis: Y clculmos y ddo los vlos d ls ícs cods: - Si - Si D quí y omos ls dos igls logímics: d d d d d d d d l l l - El domido i u úic íz l múlipl Si s l íz múlipl d Q, s pud scii Q. E s cso, l dscomposició s: P N co,,, N R. Q sí, psmos l igl d pid como sum d igls imdis d l om: P N d d d d Q Qu so pocis d po givo, s dci: P N N d d d d l Q º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

11 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP 8 Ejmplo: d 8 6 lculmos ls ícs dl domido usdo l méodo d Ruii o l om dl so y coizmos l domido: 8 6 Po o, psmos: 8 6 ho clculmos, y ddo vlos : Si P hll y podmos d culsqui oos dos vlos: - Si - Si Y solvmos l sism: Sumdo Po o, mos: d d d d d Ojo! No coudi l dl sism co l cos d igció. - El domido i ícs ls simpls y múlipls Es cso s u comició d los dos ios. L cció s dscompo sumdos cuyo umdo s u cos, y los domidos so los cos d Q l cso d ls ícs simpls y ls pocis sucsivs d l coizció l cso d ls ícs múlipls. Es dci, si m d c Q. L dscomposició s: d H d G d F c E c D c Q P m m co H,,, R los pámos o. L igl qudá dscompus u sum d logimos y ccios lgics simpls: d d H d G d F c E c D c d Q P m m K d H d F m c E c m l l l l Dod K ps l cos d igció, p o coudil co l d l coizció. Ejmplo: d lculmos ls ícs dl domido usdo l méodo d Ruii o l om dl so y coizmos l domido: Po o, psmos: ho clculmos, y ddo vlos : - Si - Si 7 7 P hll dmos u vlo culqui: Si 7 Po o, mos: 7 d d d d d d d d d d l 7 l 7

12 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP - El domido i lgu íz complj simpl Si l domido Q coi lgú co iducil d l om c, l dscompo l cció sum d ccios lgics, dichos cos ls cospodá sumdos d l om: c N M s d liz l dscomposició compl, vmos solv s ipo d pimiivs: Ls igls d l om d c N M, cudo l domido o i ícs ls, s somá u igl logímic y o d co g. P llo, s pud pocd d dos oms disis: Fom. Mipulció lgic d l cció. El mcismo cos d dos psos: pimo s som l umdo l divd dl domido y, coiució, s covi l psió d sgudo gdo p llg l co g. Ejmplo: d. Es uomáico compo qu l domido o i ícs ls. E pim lug, imos qu l umdo s l divd dl domido: Muliplicmos l dl umdo po l co csio, s cso po : d d d coiució, summos y smos p o l : d d d Y spmos l igl como sum d dos, u co l émio uscdo y l so : d d d d d E sgudo lug, jmos co l sgud igl: d S d idiic u cuddo pco l domido. Vmos los émios, qu os cud l cuddo pco:, po o: d d d Y qu uscmos u igl d l om du u u, mos co comú l : d d d Y csi hmos mido, hmos cosguido l om d l divd dl co g. Solo os qud cosgui l divd d l cció oid: d d d Eocs: d d d Qu so dos igls imdis: d c g l

13 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP Fom. mio d vil. ho os s co hc u cmio d vil sdo l solució complj qu s oi l i solv l cució d sgudo gdo dl domido. d d i c Ejmplo: d. ulmos l domido: i i 6 6 El cmio d vil s, po o: d d Eocs: d d Dsollmos ls psios y omos: d d d d d Qu so, dicm, ls igls d u logimo y u co g: d d g c l c g l Dshcmos l cmio: d cg l Dsolldo l gumo dl logimo omos l igl dl mcismo io: d cg l l U vz qu smos cómo solv s pimiiv, odmos l cso gl. Si l domido Q coi lgú co iducil d l om c, l dscompo l cció sum d ccios lgics, dichos cos ls cospodá sumdos d l om: c N M y los cos cospodis ls ícs ls s dscompodá como los pdos ios: Si d c Q l dscomposició s: D d c N M Q P co N M,,,, R. Ejmplo: d lculmos ls ícs dl domido usdo l méodo d Ruii o l om dl so y coizmos l domido: Tmos: Po o, psmos: N M N M ho clculmos, M y N ddo vlos ; mos: - Si - Si 8 N N N M - Si M N M N M Tmos, po o: d d d N M d d 8 d d d 8 d d d 8

14 8 l l c g Si hui más d u poliomio d gdo dos co ícs compljs, l dscomposició implic u cció p cd émio: P H K M N co H, K, M, N, R. Q c c Si l gdo dl umdo s myo o igul qu l gdo dl domido P S d co gdo P gdo Q. E s cso, pim lug dividimos l umdo l domido. Q D s om, l cció s dscompo l sum d u poliomio y u cció lgic co l gdo dl umdo P R mo qu l gdo dl domido: d d d Q Q Ejmplo: d Dividido l umdo l domido, mos: 7 7 sí: d d d d7 d 7l El domido Q() o s u poliomio móico P Si l igl ciol d l poliomio dl domido o s móico (su coici picipl o s ), l Q coizció s liz dl modo hiul l qu s coiz los poliomios. Ejmplo: Q Q Q P l cálculo d igls s uiliz l coizció oid y s pocd d l om y plicd: d Ejmplo:. L dscomposició sul s: Rsolvmos l cució como hicimos vis vcs s, y omos: d d d l l cividds popuss. Rsulv ls siguis pimiivs: d ) ) ) d h) + d d ) c) d d d) d g) d i) d j) d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

15 .. Igció d ucios igooméics. P ig u ució igooméic o imdi, mos qu clsiicl u d ls siguis cgoís: uddos d ucios igooméics Si l ució s l cuddo d u ució igooméic, podmos ho mucho jo si pvim l sudimos:. uddos d so y coso: P solv ss pimiivs os smos ls psios: s cos y cos cos s Sumdo y sdo mimo mimo: cos cos y cos s Omos ls siguis simpliiccios: d cos d s y s d cos d s cos. uddos d sc y cosc: Y smos qu so igls imdis: sc d g y cosc d cog. uddos d g y cog: S covi igls imdis ácilm: d sc d g y cog d cosc d cog g cividd sul d s cos Es pimiiv pud solvs d vis oms dis. E s pdo usmos ls somcios cié d d d d pdids: cog s cos s cos scos s Fucios imps so d Si l igl s d l om R s,cos, (s dci, u ució ciol s y cos) y viic qu R - s,cos Rs,cos dmos plic l cmio cos. Ts som ls ucios igooméics co l cmio, odmos u ució ciol qu solvmos co los méodos ios. s Ejmplo: d cos s El po dl so s imp, po o s imp so: Rs,cos cos Po o: s s R s,cos Rs,cos cos cos plicmos l cmio idicdo, mipuldo ligm l igl: cos s s cos d s d s d s d d cos cos cos s Eocs: d d d cos Qu podmos solv como igl d u ució ciol: d d d c g Y dshcmos l cmio: d cos cgcos s cos udo o s simpl mipul l igdo, podmos uiliz ls siguis iguldds: d cos c cos d s cos º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

16 Ejmplo: s d ho vmos uiliz ls psios ulds p o l pimiiv: cos s d d d cos Qu s l mism igl qu solvimos s (como o podí s d oo modo) d d Fucios imps coso d Si l igl s d l om R s,cos, y viic qu R s, cos Rs,cos dmos plic l cmio s. omo s, mos ls siguis iguldds: s Ejmplos: cos s d ompomos qu l dicdo s imp coso: d cs d cos s s,cos cos s Rs, cos ( cos ) s Rs,cos R plicmos l cmio idicdo: s I cos s d cos s cos d d Dsolldo l poduco, I d Y dshcmos l cmio: I cos s d s cos d s d sc d cos Es vid qu l dicdo s imp coso, plicmos l cmio: d d s d d d cos cos d L solvmos como igl d u ució ciol: d d d Eocs: l l l s Y dshcmos l cmio: sc d l s uiosidd id liz: vcs, is sgis spcíics p solv pimiivs más ápidm. P s pimiiv, sc d, si muliplico y divido sc g : d sc g sc sc g sc d sc d d l sc g sc g sc g º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

17 Fucios ps so d y coso d Si l igl s d l om R s,cos, y viic qu R s, cos Rs,cos dmos plic l cmio g. E s cso, podmos hll l psió p l so y l coso como: s cos g cos cos cos g g Y s cos s g g Qu sumimos l l sigui: d g c g d s cos d Ejmplo: s cos Es vid qu l dicdo s p so y coso: R s,cos R s, cos Rs,cos s cos d g d d plicmos l cmio idicdo: d d s cos s cos d Qu s imdi si l spmos sumdos: d g g cog s cos g uiosidd id liz: omo s, podmos sgui uscdo lics ids qu simpliiqu igls. Usdo l lció udml d l d s cos d d igoomí, s cos : d g cog s cos s cos cos s O i, como vimos iom, cudi ls psios dl águlo dol como hicimos s: d d cosc d cog s cos s O i, como vimos iom, cudi ls psios dl águlo dol: d d d d cosc d s cos s cos s cos s mio gl Si o pudimos solv l igl co los cmios ios, dmos plic l cmio uivsl: g D quí mos: g c g c g d d d d plicdo ho ls popidds d ls zos igooméics dl águlo dol, mos: s s s cos cos g cos g s cos g Tmos, po o: cos cos s cos g d d g cos s cos º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

18 Ejmplo: d Es ácil v qu o cumpl igu d ls s codicios ios, po o: cos g d d d d cos d d d d g uiosidd id liz: P s pimiiv, si muliplico y divido po l cojugdo dl domido, cos : d cos d cos d cos d cos cos cos cos s ho spmos dos sumdos, omos sds igls imdis: cos d d cos d cog cog cosc s s s s d E gl, ls igls d l om: s cos Hcido k cos y k s, co k y vlos o, l pimiiv s som : d d d cosc d s cos k s cos k cos s k s k qu y vimos cómo solv pdos ios. cividds popuss. Rsulv ls siguis pimiivs: ) cog s s d cog d s d d ) c) d) cos s cos ) g d ) g g( ) d d g) d h) cos ( ) s d i) j) s cos d k) s d l) s d s cos m) cos d ) l cos l d uco: muliplic y divid po : d s d d d ñ) o) p) s cos s cos d q) s cos º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

19 6 cividd sul Id liz s d s cos E s jmplo podímos cudi qu l igdo s p so y coso y plic l cmio s d s cos d d d s cos s cos Po mié podmos jug u poco co l domido, compldo u cuddo pco: s d s d s cos s cos s cos s cos s cos s d s d s d s d s cos s cos s s L úlim id liz cosis o l cos l domido: cos d cos d s d s s cos Y hmos oido u igl imdi: s d s d = c g cos s cos cos g. Eocs:.. Os igls Los pdos ios dj clo qu l pocso d solució d igls o s ácil como l d divció. Tods ls simpliiccios qu s pud liz dspués d div u ució s lo qu complic l cálculo d pimiivs. Po o, muchs ocsios os dmos qu limi odc los cmios cosjdos. dmás, is ucios qu o i pimiiv o o pud pss émios d ucios lmls. Icluso lgus d lls siv p dii oo ipo d ucios. lguos jmplos so: s d, d, cos d, cos d Podmos i clculls co GoG, po jmplo. Tclmos l d d:. Igl[s()/]. Igl[cos(^)] Y osvmos qu pc psios como: s d Si, cos d i Dod i y Si so ls sigls d osi Igl y Si Igl, cuys gáics so: Lismos coiució los cmios d vil y mcismos cosjdos p os pimiivs. º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

20 7 Igls d ucios pocils Igls d ucios iciols m p q R,, R s, d g d g s d g d R ; d, co. l (,p,, ) m.c.m. R d g g R d g sc cividd sul d El cmio cosjdo s s, ocs: s d s cos d s cos d d cos d Uilizdo l lció udml d l igoomí: s cos d s cos d cos cos d cos d Qu y solvimos s: cos d cos d s P dshc l cmio, jugmos d uvo co ls psios igooméics, s s cos s s cs y omos: d cs s Os igls igooméics - R sm,cosd : S uiliz ls psios: s s cos cos cos cos cos cos s cos s s u s s cos - s d s d dv s d u cos cos s - cos d cos dv cos d - g g d g (sc -) d g d (álogm co l cog) - sc d sc sc d (álogm co l cosc) Si p: sc ( )/ sc d ( g ) sc d )/ g sc d ( ) ( d Si imp: Po ps, lgimos: u sc y dv sc d sc d sc g ( ) sc d d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

21 8. EL PROLEM DEL ÁLULO DEL ÁRE.. Á jo u cuv Dd u ució coiu y o giv u ivlo,, su gáic dmi u gió dl plo qu vdá limid po l ució, l j d sciss y ls cs y. Vmos cómo podmos clcul d om poimd l á d dich gió: Tommos u pició dl ivlo,. osis dividi l ivlo ps, omdo p llo los puos,,,, viicdo.,,,,,. sí, mos los ivlos, coiució, domos po m i l míimo vlo qu om l ució l ivlo i, i y po M i l máimo vlo qu om l ució l mismo ivlo. sí, cd ivlo i, i cosidmos dos posils igus, l cd co cágulos d s i i y lu m y l cd co cágulos d s i i y lu M i. Sumdo ls ás d los cágulos, omos: i Sum iio Sum supio E l pim cso omos u poimció po dco dl á cd jo l cuv: s m m m mi i i i Es sum s domi sum iio d l pició l ivlo,. E l sgudo cso omos u poimció po cso dl á cd jo l cuv. S M M M M i i i i Es sum s domi sum supio d l pició l ivlo,. Hmos oido dos poimcios dl á, u po dco s y o po cso S. S i qu s S Si mos u pició P dl ivlo,, co sum iio s y sum supio S, dimos qu o pició P dl ivlo, s más i qu P si coi odos los puos d l pició P y dmás oos puos uvos. P dich pició P, mos u sum iio s y u sum supio S. S viic qu: s s S S Es dci, l om u pició más i, l sum iio um (sido odví mo o igul qu l vlo dl á) y l sum supio dismiuy (sido myo o igul qu l vlo dl á). Pició P Pició P Pició P Pició P Eso sigiic qu cuo más i s l pició, más os ccmos l vddo vlo dl á. osiddo u sucsió d picios cd u más i qu l io, P,,,, P, º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

22 s, s,, s, s, l sucsió d ás po dco y S, S,, S, S, l sucsió d ás po cso. udo, l logiud d los ivlos d l pició s hc cd vz más pquñ, lugo i i. sí, cudo l ució s igl, ls sums iios y supios dá l á: S s Eso sigiic qu S s lim S lim s lim, y d quí: lim S lim s Sum iio y supio co l pició P.. Igl diid S u ució Diimos l igl diid y d Sum iio y supio co l pició P coiu y o giv u ivlo,. como l psió d, l j d sciss y ls cs y Su vlo s l á compdid l gáic d. Los vlos y s llm límis d igció. Hmos viso qu dd u sucsió d picios P,,,, P, dl ivlo,, cd u más i d l io, co sums iios s,,,, s, y sums supios,,,,, s viic qu dichs sums dá l vddo vlo dl á. S i qu: d lim S lim s, s dci, qu l igl s pud ip como: l sum dl á d odos los cágulos d lu Popidds:. Si los límis d igció so iguls, l igl diid vl co. d. Si l cuv sá po cim dl j X, l igl s posiiv, d, mis qu si l cuv sá po djo dl j X, s pud dii mié l igl diid, qu sá giv: d. Á y s iiisiml (d) compdidos y. c. S c,, ocs podmos dscompo l igl d l om: d d d. c. Si icmimos los límis d igció, l igl cmi d sigo. d d. Dds dos ucios coius y g l ivlo,, s i qu: gd d gd y g d d g d 6. Dd u ució coiu l ivlo, y u cos k R, s i qu: k d k 7. - Dds dos ucios coius y g,, viicdo g,, s i: d gd d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

23 .. Tom dl vlo mdio dl cálculo igl Dd u ució coiu l ivlo,, ocs is u puo c, Ipció goméic: Sido l igl u á, l ipció goméic s simpl: Eis u puo c, l qu l á cd l cuv, l j d sciss y ls cs y s igul l á d u cágulo d s l mpliud dl ivlo,, y lu l vlo qu om l ució l puo imdio, c. l qu d c. Ejmplo: Ecu los vlos d c qu viic d c sido l smicicuci d co l oig y dio, y y los puos d co d l mism co l j OX. Smos qu l cució d l cicuci l plo s y, sí qu p l polm qu s os pl mos qu y los puos d co co l j so, y,. S d co l cágulo (zul) cuy á coicid co l d l smicicuci (oj), sido qu l s p ms igus sá compdid los puos, y,. Eocs, sido: c h y cic. D viics: h h h El vlo d h cospod l vil y, po os pid u vlo d. Po o: y h.. Fució igl o ució á Dd u ució coiu l ivlo l ució igl o ució á como:.68,, p culqui puo, F d F :, R, qu so los vlos d c qu os pid. s di.. Tom udml dl cálculo igl S u ució coiu l ivlo, y s F d co, l ució igl. Eocs F s divl, y F p culqui puo,. Dmosció: plicdo l diició d divd mos: h F h F d d F lím lím Spdo l pim igl dos sumdos (popidd ): F lím h h h h h d d d lím h h h h h c h h d c h F lím lím lím c h h h h h lim c y, po o: F h plicdo l om dl vlo mdio dl cálculo igl,, l qu d c h c h sí: omo c, h y s coiu ocs cividd sul Si cu l cálculo d l igl idiid, clcul plicdo l om udml dl cálculo igl: si d h d d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

24 Glizció (): Si lug d vlos ls, los límis d igció so ucios ls d vil l, s plic l gl d l cd p o: S u ució coiu l ivlo divl, ocs F s divl Glizció (): S u ució coiu l ivlo so divls, ocs F s divl cividd sul h, y s F d co,, y F h h p culqui puo, º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP l ució igl. Si h() s. h, y s F d co, g, y F h h g g p culqui puo, Si cu l cálculo d l igl idiid, clcul si plicdo l om udml dl cálculo igl: d l ució igl. Si h y g d 6.6. Rgl d ow Si s u ució coiu l ivlo, y F s u pimiiv d sul pss como: d F Dmosció: S i qu F s u pimiiv d F F G d mié s u pimiiv d., ocs: d F F. Po oo ldo, plicdo l om udml dl cálculo igl,. l s dos pimiivs d l mism ució, sólo s dici u cos: G F G F Evludo ls dos psios ios l puo, mos: G F G F F F G d G d Evludo ho dichs psios ios l puo, mos: G F G F G F F d F F G d G d Eocs, p plic l Rgl d ow s sigu los siguis psos:. lculmos u pimiiv F d. Hllmos los vlos d s ució y : F y F. lculmos l igl d F F F Ejmplos: 6 d. L ució 6 s u ució poliómic, lugo s coiu odo R, y po o s coiu l ivlo [, ].. - lculmos u pimiiv d : 6 d 6. - Hllmos l vlo d s pimiiv p los mos dl ivlo: F F y F 7, y

25 . plicmos l gl d ow: 6 d F F d. L ució [,+]. s u ució poliómic, lugo s coiu odo R, y po o s coiu l ivlo. - lculmos u pimiiv d : d. - Hllmos l vlo d s pimiiv p los mos dl ivlo y smos: d cividds popuss. Rsulv ls siguis igls diids: 6 ) d ) d c) d d) d ) s d ) l d. Hll l vlo d c qu viic d c y zo su ipció goméic. d 6. Si cu l cálculo d l igl idiid, clcul si l.7. pliccios d l igl diid Á cd jo u cuv P clcul l á compdid l gáic d u ució y l j d sciss u ivlo l qu l gáic pc po cim y po djo dl j X, s csio hll cd u d ls ás po spdo. E los suivlos los qu l gáic sá po djo dl j X, l igl sá giv, y ommos l vlo soluo od l igl. 7 Á d d d F F F F F Dsd l puo d vis pácico, si mos l psció gáic d l ució s pud pl l á como sum o s d ls gios dod l ució s posiiv o giv, spcivm. Ejmplo: Hll l á cd l gáic d l ució L ució, l j X y ls cs y. s u ució poliómic, lugo s coiu odo R, y po o s coiu l ivlo [, ]. L gáic d s u páol cócv (). lculmos l véic: Si. Tmos: V, lculmos los puos d co d l ució co l j X. P llo, solvmos l cució : 6,, Rpsdo l ució y ls cs y osvmos qu l á qu qumos clcul s divid s gios. Hllmos u pimiiv d : d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

26 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP Hmos oido s gios. El á ol sá l sum dl á d cd gió: Á d d d F F F F F F 7 7 u Po o, l á d l gió s igul 7 u Tmié podímos pl, y qu mos l psció gáic d l ució: Á Á Á Á d d d Es dci: Á 7 7 u Popidds:. Si l ució s imp, l igl diid u ivlo siméico spco l oig s ul: Si s imp, d. Si l ució s p, l igl diid u ivlo siméico spco l oig s: Si s p, d d P d ss dos popidds os s co v ls gáics d cd ipo d ució. - Si l ució s imp, s siméic spco l oig d coodds y di dos cios d sigo opuso igul á mos ldos dl oig. l suml, l suldo s ulo. - Si l ució s p, s siméic spco l j OY y di dos cios d igul sigo igul á. Fució imp Fució p cividd sul lcul l á d u cículo d dio. Podmos lgi l uicció d l cicuci, sí qu l cmos l oig. P s cso, l cució d u cicuci d dio s: y y Podmos povch l simí dl polm y clcul l á pi dl cio dl pim cud: d L pimiiv s sulv co l cmio: d d cos s y popocio: d cs plicdo l gl d ow omos: d cs cs cs Es dci, llgmos l coocid ómul:

27 Á compdid dos cuvs El á compdid ls gáics d ls ucios igul qu l á qu s ci l ució dici gd sido g o, podmos scii l psió gl: g y g l ivlo, s g y l j X s ivlo.. Si o s dmi qué ució sá po cim d l d Si mgo, dsd l puo d vis pácico, l cso l qu ls ucios y g g vios puos d co, sá covi hll ls dis gios y dmi ls ás po spdo. Ejmplo: Ls pscios gáics d spcivm, sí qu s d sp qu hy dos cos lls y, po o, s posil qu hy vis gios dicids cu. L psció gáic d s u páol cov. lculmos su véic: Hll l á compdid ls gáics d ls ucios y y g so u páol y u c, Si 8 V, lculmos los puos d co d l ució co l j X, solvido l cució : L gáic d g s u c. P diujl, s co o dos puos: y P dmi l gió d l qu qumos clcul l á, l psmos, juo co los límis d igció: g : g ls cs y. uscmos los puos d co ls dos ucios, solvido l cució g Po o, l á qu qumos clcul sá: Á g d Hllmos u pimiiv d g : g g g d d Hmos oido dos gios. El á ol sá l sum dl á d cd gió: Á d d Po o, l á d l gió s igul u F F F F u 6 6 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

28 º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP Volum d u sólido d volució U cuiosidd lciod co s pdo hc ci Johs Kpl. Su sgud spos, Sus, u c qu l clció d l od, Kpl osvó qu l volum d los ils d vio s sim co u vill ioducid digolm l ol po l gujo d l p. Kpl mpzó ps l zomio mmáico qu jusiic s pocso, y d s modo comzó l sudio d los volúms d los sólidos d volució. Si s u ució coiu l ivlo,, ocs l volum dl sólido gdo l gi l ució oo l j OX, s clcul mdi l ució: d V Ejmplo: Hll l volum dl coo d lu uidds diido l gi oo l j d sciss l c y. Los dos dl jmplo os hc clcul l igl: 8 d d V u cividd sul lcul l volum d u s d dio R. omo s co l cículo, lgimos u cicuci cd l oig, cuy cució s: R y R y omo s, l simí pmi clcul l volum pi dl cio dl pim cud: R R d R d R V Qu s u pimiiv imdi y, plicdo l gl d ow omos: R R R R R V R o l qu omos l coocid ómul: R V

29 6 RESUMEN UDRO DE PRIMITIVS d d + g d d gd d + d, ( ) d + d d l d +,, > l cos d s s d cos sc g d sc sc d g cosc d cog d c g c cog d c s d csc + c cos + c cosc Méodo d igció po cmio d vil Méodo d igció po ps. g d d d g d G F G. d g d gd g g d G F Gg u dv u v v du Rgl d ow d F F F Á u cuv y l j OX Á dos cuvs g Volum d volució oo l j OX V d d d + º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

30 7. - Sido qu d ) d ) d EJERIIOS Y PROLEMS. y d, clcul: ) d ) 7 d ) 6 7 d 6) d 7) d 8) d ) ) d ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) d ) d ) d ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) ( 7) d ) d ) d ) d ) ) ) d 6) d 7) ) d ) 7) d ) d ) s d ) d d d ) d d 7 8) ) 8) d ) ) d l cos ) d 8) g sc d 7) d d d d d d ) d ) ( ) d ) 7d 6) 8 d ) d ) s cos d s 6) d cos sc ) l d 6) d g º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

31 8 '. - Sido qu d l y d l, clcul: d d d d ) ) ) ) ) d 6) d d 7) 8) d ) d ) d d ) d ) ) l d ) d ) d 6) d 7) g d s cos 8) cog d ) d l ) cos s cos s cos ) d s ) ) cog d s cos. - Si d, d, d y ' d, clcul: l l ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) d ) d ) 6 d ) d l ) d ) d s ) cos d cos ) s d cos 6) d 7) s d 8) d g ) sc d ) d ) d. Sido qu s d cos, s d cos, cos d s y cos d s clcul: ) s 8d ) s d ) cos d ) s d s cos ) d 6) s d 7) d cos s d sl ) d. Si d g d g y d d g ' g, clcul: cos cos ) g d ) g d ) g d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

32 6. Hll l vlo d ls siguis igls, usdo u cmio d vil: ) d ) 6 d ) 6 d ) d ) d 6) d 7) s s cos cos d 8) d ) d cos s ) d ) d ) ) d d d ) s d 7. Hll l vlo d ls siguis igls, usdo l méodo d igció po ps: ) cos d ) s d ) l d ) l ) l d ) d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP 6) cos d 7) s d 8) cos d ) l d 8. Hll l vlo d ls siguis igls ciols: ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) d ) ) d ) d d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) d ) d ) d 6 6 ) d ) d ) d ) d 6. Hll l vlo d ls siguis igls diids: ) d ) d ) s d ) s d ) d 6 6) d 7) d 8) d ) d ) l d ) d s cos. Hll l vlo d p qu s cumpl d.. Hll l á compdid l ució, l j d sciss y ls cs y 6.. Hll l á limid po l ució ' cos, l j d sciss y ls cs y.. Hll l á d l gió limid po l ució 6 y l j d sciss.. lcul l á d l poció d plo qu limi ls cuvs y y.. Hll l á dlimid po ls gáics: ) y g ; ) y g

33 UTOEVLUIÓN. Los vlos d, y c p los qu F c s s u pimiiv d l ució 7 cos so: ), 7, ; ), 7, ; c), 7, ; d), 7,. L igl imdi d vl: ) ; ) 6 6 sd. L igl vl: s cos ) g(ccos) + ; ) - c s(cg) + ; c) cg(cs) + ; d) c gcos. cs. l ig po ps d s oi: 6 c) ; d) ) cs ; ) cs s ; d) cs. L igl d vl: ) l c g ; ) l c g ; c) l c g ; d) Nigu s coc d 6. L igl s cos vl: ) g s ; ) g cog c) g cog ; d) g cog 7. L igl diid cos d vl: ) ; ) c) ; d), l j d sciss y ls cs = y = vl: ) 8/; ) / c) 6/; d) 6/ 8. El á compdid l gáic d l ució. El á compdid ls gáics d ls ucios y g vl: ) /; ) / c) 7/; d). El volum dl sólido d volució gdo po y =, y, l gi oo l j d sciss s: ) ; ) 6/ c) 6; d) / º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

34 () lcul u pimiiv d l ució () lcul: ) d d) s pédic: Polms d igls ls P..U. s d ) d () lcul hcido l cmio d vil : ) d ) () lcul cos d () ) Ecu ods ls ucios d ) l d c) cos ) c cuy sgud divd s. ) D ods lls, dmi qull cuy gáic ps po los puos, y,. (6) osid l ució y ) Dmi l c g l puo qu l ució lcz su máimo livo. ) Diuj l cio limido po l cuv y l c g io. c) Hll l á dl cio dl pdo (). (7) Oé l á dl cio cdo po ls cuvs y cos,. (8) osid l ució s ) Diuj l cio codo po l gáic d d y l ivlo, l j OX y ls cs = y. ) lcul l á dl cio io. () ) Diuj l cio plo limido po l páol y = y ls gs l cuv los puos d iscció co l j d sciss. ) Hll l á dl cio diujdo (). () Hll l á d l zo dl plo limid po ls cs y, y () Ls gáics d ls ucios s y d, y l gáic d l cuv y l g limi u cio iio l plo. ) Diuj u squm dl cio. ) lcul su á. si, dod l sigiic logimo pio d. l si () S ) Diuj l cio codo compdido l gáic d y l c y =.. ) lcul l á dl cio io. si () S l ució : R R diid po si ) Hz u diujo poimdo d l gáic d l ució. ) lcul l á dl cio limido po l ució, l j d sciss y l c =. () S l páol y 6 ) Hll l cució d l g l gáic d s cuv l puo d scis =. ) Hz u diujo poimdo dl cio limido po l gáic d l páol, l j OY y l c g hlld iom. c) lcul l á dl cio io. () Dd l ució cos, usc l vlo dl úmo l sido qu d º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

35 (6) osid ls cuvs y g. ) Ecu sus puos d iscció. ) Rps l cio limido qu ci lls. c) Ecu l á dl cio limido po ls dos cuvs. (7) Ls cuvs y, y y l c limi u cio iio l plo. ) Diuj u squm dl cio. ) lcul su á. (8) S cosid l cuv d cució y ) lcul l cució d l c g l gáic d s cuv l oig. ) Diuj u squm dl cio limido po l gáic d l cuv y l c hlld. c) lcul l á d s cio. () L divd d u ució ) lcul los ivlos d ccimio y dccimio y los máimos y míimos d ) Dmi l ució sido qu. s () L gáic d l páol plos. ) Diuj l gáic d l ució y los cios. ) lcul l á d cd uo d llos. () ) lcul l ució y divid l cuddo d véics,.,,,, y, sido qu su divd s y qu D dos cios. ) Dmus qu i u mo livo u puo dl j d sciss y zo si s máimo o míimo. () Ls gáics d l cuv y y d l páol y ci u cio plo. ) Diuj s cio. ) lcul su á. si () S : R R l ució diid po m si si ) lcul m y p qu s coiu odo su domiio. ) P sos vlos hlldos, clcul l á dl cio limido po l gáic d y l c y =. si () S l ució : R R diid po si ) Diuj l gáic d l ució. ) Hll l á dl cio limido po l gáic d y l j d sciss. () L cuv y y l c y limi u cio iio l plo. ) Diuj u squm dl cio. ) lcul su á. (6) L páol y y l c limi u cio iio l plo. ) Diuj u squm dl cio. ) lcul su á. (7) L cuv y y l c y limi u cio iio l plo. ) Diuj u squm dl cio. ) lcul su á. (8) S cosid l páol y 6 ) lcul l cució d ls cs gs l gáic d l páol los puos d co co l j OX. ) Diuj u squm dl cio limido po l gáic d l páol y ls cs hllds iom. c) lcul l á d s cio. º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

36 () S cosid l ució k si si ) Dmi l vlo d k > p qu l ució s coiu l ivlo,. ) Supoido qu k, hll l c g. c) Supoido qu k, hll l á qu l ució dmi co l j OX, p, () ) Rsulv po ps l sigui igl: l d ) D ods ls pimiivs d l clcul l qu ps po l puo,.. () L gáic d l páol y 8 y l c ci u cio plo. ) Diuj poimdm dicho cio. ) lcul l á d s cio. () L gáic d l cuv y ls cs y y ci u cio plo. ) Diuj poimdm dicho cio. ) lcul l á d s cio. () Esoz l gáic d l páol y 7 y hll l á d l gió dl plo dmid po l páol y l c qu ps po los puos, y, 6. () S dispo d u chp d co qu pud pss po l gió dl plo dmid po l páol y y l c y. ) Rps gáicm l chp y clcul su á. ) Dmi ls dimsios dl cágulo d á máim qu s pud o pi d dich chp co l codició d qu uo d sus ldos sé l c y. () Rps gáicm ls páols y y y y clcul l á qu ci. (6) S cosid l ució. ) Hll los máimos, míimos y puos d ilió. ) P,, soz l gáic d l ució y clcul l á compdid ll y l j X. (7) S cosid l ució. ) Hll sus síos, máimos y míimos. ) Rps gáicm l ució. c) Hll l á dlimid po l ució y l j OX, p. (8) ) lcul: l( ) d dod l() s l logimo pio d. ) Uiliz l cmio d vil = - p clcul d. Idicció: P dshc l cmio d vil uiliz: = l.spim 8. Opció ( puos) () ) Si s u ució coiu, o F () sido: F() = ( ( ) ) d ) Si () = y dmás ( ) d =, hll l cució d l c g l gáic d F() l puo (, F()). () S l ució () =. ) lcul ( ) d. ) S di g() = g( ) ( ) d. lcul lim () ) Hll l á dl cio limido po l gáic d () = s y l j OX ls sciss = y = π. ) Hll l volum dl sólido d volució qu s oi l hc gi l gáic d () = s lddo dl j OX ls sciss = y = π. mplició lo lgo dl m hmos dsolldo vios méodos, sgis y pliccios d ls igls, po hy mucho más. Djmos s pdo p mos os qu sup los coidos dl mio. Igl d u ució ciol cudo l domido i ícs compljs múlipls P Si l solv l pimiiv d u ució ciol: d co Gdo d Q() > Gdo d P(), Q() i ícs Q º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP

37 compljs múlipls, s dci, su coizció pc émios d l om: Q c d P Q l máimo comú diviso d Q y Q ; Dscompomos l cció lgic como: u poliomio, d gdo uo mo qu D l poliomio qu sul dl coci Q ; u poliomio, d gdo uo mo qu l D, dmi; D, dmi. P d d co: Q D El dsollo qui s hilidd co ls psios lgics, y c popociodo u igl ciol cuyo domido i ícs compljs simpls. Volum d u sólido d volució gdo l gi oo l j OY Si,, ocs l volum dl sólido gdo l gi l ució oo l s u ució coiu l ivlo j OY s clcul co l igl: Logiud d u co d cuv Si V s u ució coiu l ivlo d,, ocs l logiud dl co d l cuv los puos d scis y s clcul como: L d Supici d u sólido d volució gdo l gi oo l j OX Si,, ocs l supici dl sólido gdo l gi l ució oo s u ució coiu l ivlo l j OX s clcul mdi l igl: S Ejmplos: Hll l volum d l plz d oos gd l gi l c dl j OY l ivlo,. d y lddo L igu cuyo volum qumos hll s l dl mg. S d clcul l igl: V d d u Hll l logiud d u cicuci d dio. Dmos uiliz l psió: L plicdo l gl d ow omos: Es dci: d, sí qu divmos l cució d l cicuci: y y y Eocs, uilizdo l simí d l cicuci o vz: d L d d d L pimiiv s sulv co l cmio: s d cos d como vimos l pdo., y popocio: L u d cos d d cs cs s L cs cs cs k º chillo. Mmáics II. píulo : Igls uos: Lici Gozálz y Álvo Vldés LiosMVd.k Rvisos: Mí Molo y Jvi Rodigo Iluscios: ds co GoG y l GIMP