VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

Transcripción

1 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

2 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES VARIABLE ALEATORIA Es una funcón que asgna un valor numérco a cada suceso elemental del espaco muestral. Más concretamente, es una varable cuyo valor numérco está determnado por el resultado de un epermento aleatoro. Las varables aleatoras se desgnan con letras mayúsculas,,..., y sus valores se denotan con letras mnúsculas, y,... La varable aleatora puede tomar un número numerable o no numerable de posbles valores, dando lugar a dos tpos de varables aleatoras: dscretas y contnuas. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Se dce que una varable aleatora es dscreta cuando toma un número fnto o nfnto numerable de valores reales. Así, una varable aleatora dscreta sería el número de llamadas telefóncas que entran en una centralta durante un perodo de tempo; el número de depóstos de una entdad bancara; el número de pezas defectuosas que aparecen en una proceso de fabrcacón, etc. FUNCIÓN de PROBABILIDAD o FUNCIÓN de CUANTÍA: Tabla formada por los valores que toma la varable junto con sus probabldades. Sea una varable aleatora dscreta que toma un número fnto de valores,,,n; ndcando la probabldad de que la varable aleatora tome un valor partcular por: p P( ) P() n P( ) P( ) P( ) P( ) P( n) sendo n P( ) La representacón gráfca es un dagrama de barras:

3 FUNCIÓN de DISTRIBUCIÓN: Sea una varable aleatora dscreta, se denomna funcón de dstrbucón de a la funcón acumulatva, no negatva, contnua por la derecha, sendo F( ) y F( ) F() P( ) P( ) P( ) representa la suma de las probabldades puntuales hasta el valor nclusve de la varable aleatora dscreta. Gráfcamente, esta funcón adopta una forma de escalera, tomando los saltos en los valores aslados que tome la varable, sendo en cada uno de éstos contnua por la derecha, como se muestra en el dbujo. Se tene que, P( ) P( ) F() P( ) P( ) P( ) F() F() Meda o esperanza matemátca: La meda o esperanza matemátca de una varable aleatora dscreta vene dada por la epresón:

4 n E(). P( ) S es dscreta fnta. P( ) S es dscreta fnta numerable En el caso de ser dscreta numerable hay que suponer que la sere es absolutamente convergente, es decr,.p( ) S constante E() Varanza. Desvacón típca: La varanza de una varable aleatora dscreta vene dada por la esperanza sguente: n E( ) ( ). P( ) S es dscreta fnta ( ). P( ) S es dscreta fnta numerable S constante E( ) E() La desvacón típca es la raíz cuadrada postva de la varanza, vene dada por n ( ). P( ) S es dscreta fnta ( ). P( ) S es dscreta fnta numerable Momentos: Dada una varable aleatora dscreta se llama momento de orden respecto del parámetro c a la esperanza matemátca de la varable ( c), es decr: n M E( c) ( c). P( ) S es dscreta fnta ( c). P( ) S es dscreta fnta numerable Momentos respecto al orgen cuando c, se denotan por.p( ).P( ).P( )

5 Momentos centrales cuando c, se denotan por ( ). P( ) E( ) ( ). P( ) ( ). P( ) ( ). P( ) Los momentos centrales y los momentos respecto al orgen están relaconados por la epresón: En partcular:.( )..( )..( )..( )..( ).. MEDIANA CUARTILES Sea una varable aleatora dscreta, con funcón de dstrbucón F(), se defne la Medana como el punto mínmo M donde F(M),5 Análogamente para los cuartles Q y Q : El prmer cuartl Q es el punto mínmo donde F(Q ),5 El tercer cuartl Q es el punto mínmo donde F(Q ),75 El rango o recorrdo ntercuartílco es RC Q Q La Moda representa el valor de la varable aleatora que más se repte ó el más probable, es decr, el que mamza la funcón de probabldad. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Se dce que una varable aleatora es contnua s puede tomar un número nfnto (no numerable) de valores, o ben, s puede tomar un número nfnto de valores entre dos puntos de la recta real. Stuacones que hacen referenca a tempo, peso o longtud son ejemplos de una varable aleatora contnua.

6 FUNCIÓN de DISTRIBUCIÓN: Sea una varable aleatora contnua, se denomna funcón de dstrbucón de a la funcón acumulatva, contnua por la derecha, no negatva F() P( ) f(t) dt F( ) F( ) FUNCIÓN de DENSIDAD: Dada una varable aleatora, una funcón real f() no negatva es una funcón de densdad de probabldad de (o smplemente funcón de densdad) s el área encerrada entre su curva y el eje O es gual a la undad y s, además, la probabldad de que se encuentre entre dos valores a y b con a b, es gual al área comprendda entre estos dos valores, es decr: f()d b P(a b) f() d a La probabldad de que tome un valor partcular es cero: P(a) P(a a) f() d P( a) P( a) F(a) f() d a b P(a b) F(b) F(a) f() d a a a Sendo, F() P( ) f(t) dt f() df() d S toma valores en el ntervalo (a, b) entonces: b f()d y a a F() f(t) dt a b a b 5

7 TRANSFORMACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Sea una varable aleatora contnua con funcón de densdad o cuantía f (), al realzar una transformacón monótona (crecente o decrecente) = g(), se calcula la funcón de densdad de la varable medante: d f (y) f g (y). dy Sea a b donde es una varable aleatora contnua y a d y ab b dy b y a Funcón de densdad de la transformada: f (y) f. b b Funcón de dstrbucón de la transformada: y a F sí b b F(y) y a F sí b b E() a be() Var() b Var() Meda o esperanza matemátca: La meda o esperanza matemátca de una varable aleatora contnua vene dada por la epresón: E() b a f()d, f()d a,b Cuando, hay que suponer que la ntegral es absolutamente convergente, es decr f()d Varanza. Desvacón típca: La varanza de una varable aleatora contnua vene dada por la epresón: f()d, E( ) b a f()d a,b La desvacón típca es la raíz cuadrada postva de la varanza: Momentos: Dada una varable aleatora contnua se llama momento de orden respecto del parámetro c a la esperanza matemátca de la varable ( c), es decr: 6

8 c f()d, b M E( c) a c f()d a,b Cuando, hay que suponer que la ntegral es absolutamente convergente, es decr ( c) f()d Momentos respecto al orgen cuando c, se denotan por f()d, E( ) b a f()d a,b Momentos centrales cuando c, se denotan por f()d, E( ) b a f()d a,b La relacón entre los momentos centrales y los momentos respecto al orgen es la msma que para las varables aleatoras dscretas, tenendo:.( ). en partcular, E( ) FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS La funcón que genera los momentos de una varable aleatora (dscreta o contnua) es la funcón generatrz, que se denota por g(t) Ee t P( ) e t varable aleatora dscreta t e f()d varable aleatora contnua En el caso dscreto, la sere correspondente al valor esperado tendrá que ser convergente. Análogamente, en el caso contnuo, la ntegral correspondente al valor esperado tendrá que ser convergente. La funcón generatrz de momentos g (t) depende úncamente de t, y cuando t, g() Ee E() 7

9 Utlzando el desarrollo de una sere de Taylor para t e t t e, se tene: (t ) (t ) (t ) (t )!!!! Tomando valores esperados: t (t ) t g (t) E e E E( ) t E() t E( ) t E( )!!!! Dervando sucesvamente la funcón generatrz g (t) respecto a t, se obtene:!! ' g (t) E() t E( ) t E( ) t E( ) '' t g (t) E( ) t E( ) E( )! Partcularzando para t, resulta: ' " "' () g () E() g () E( ) g () E( ) g () E( ) En caso de estr la funcón generatrz de momentos, se pude obtener cualquer momento respecto al orgen, pudendo generalzar: S este el momento de orden, respecto al orgen, para cualquer valor entero y postvo, se tene: () d g (t) g () dt t Es decr, el momento respecto al orgen de orden,, se puede obtener dervando la funcón generatrz de momentos veces, respecto a t, y partcularzando para t La funcón generatrz de momentos, cuando este, se puede obtener como una sere de potencas de t, cuyos térmnos ncluyen los momentos de la dstrbucón: t t t g(t) Ee t!! FUNCIÓN CARACTERÍSTICA La funcón característca de una varable aleatora es una funcón de varable real que t toma valores complejos: : tal que (t) E e Tenendo en cuenta que t t e cos(t) sen(t) e cos (t) sen (t) 8

10 t (t) E e E cos(t) sen(t) E cos(t) E sen(t) Dependendo del tpo de varable aleatora que se consdera, se tene: t tj Varable aleatora dscreta: (t) E e e. P j Varable aleatora dscreta: j t t (t) E e e.f() d S el momento de orden r de una varable aleatora este, r r E dervar veces la funcón característca (t) respecto a t, sendo r, se puede () () d (t) con,,,,r dt t r Sea una varable aleatora tal que E r (t) es nfntamente dervable y la funcón característca se puede obtener como: j (t) (t) (t) (t) (t) (t)!!! j! j j La relacón entre la funcón generatrz de momentos M(t) y la funcón característca (t) vene dada por las sguentes epresones: t M(t) (t) M t PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN CARACTERÍSTICA. La funcón característca (t) este sempre para cualquer v.a.. (). (t). Sea una v.a. y sea una transformacón lneal de la v.a., tal que a b, con a,b, entonces: (t) (t) e (at) tb ab t t (a b) ta tb tb ta tb (t) E e E e E e. e e. E e e. (at) 5. Sean,,, n varables aleatoras ndependentes. Sea aleatora. La funcón característca de S vene defnda por: n S una varable S n (t) (t) 9

11 6. Sea una varable aleatora smétrca respecto al orgen, tal que, entonces (t) (t) ( t) 7. es una varable aleatora smétrca respecto al orgen, sí y sólo sí, la funcón característca (t) es real. PROPIEDADES DE LA MEDIA La esperanza de una constante es la propa constante: E() Sea v.a. :.E E. E E E E Sea v.a. acotada, a b E(a) E() E(b) Sea v. a. con g() y h() funcones de y varables aleatoras: Ea.g() b.h() a.eg() b.eh() Sí g() h() Eg() Eh() PROPIEDADES DE LA VARIANZA La varanza de una constante es cero: Var () Var() Var() Var() Var() Var (. ).Var () Var(.) E.E(.) E..E() E. E() E E(). EE().Var() Var (. c).var () Var(.c) E.c E(.c) E. c.e() c) E..E() E. E() E E(). EE().Var() CAMBIO de ORIGEN y de ESCALA Sea una varable aleatora, se entende como un cambo de orgen cuando se realza la transformacón c Medante esta transformacón todos los valores de la varable aleatora se desplazan c undades del eje de ordenadas mantenendo la msma poscón relatva y la msma dstanca entre ellos.

12 Calculando el valor esperado de la nueva varable aleatora transformada, resulta: E E c E c es decr, c En la varanza del cambo de orgen: Var () Var ( c) Var () Indcando que la varanza de la varable transformada por un cambo de orgen queda nvarante. Es decr, el cambo de orgen lo únco que hace es desplazar los valores de la varable ncal mantenendo la msma poscón relatva y, en consecuenca no modfca la dspersón. Se entende como un cambo de escala e (e ) cuando se realza la transformacón: e Sí e Los nuevos valores transformados se alejan unos de otros y aumenta la dspersón respecto de ó Sí e Los nuevos valores transformados se acercan unos a otros, es decr, se concentran y dsmnuye la dspersón respecto de ó Calculando el valor esperado de la nueva varable aleatora transformada, resulta: E E E.E() e e e es decr,. e Interpretando que tambén se produce el msmo cambo de escala en el valor esperado o meda de la varable. En la varanza del cambo de escala: Var.Var (). e e e El cambo de escala modfca la dspersón de los datos de la varable aleatora ncal, dspersándose sí e o concentrándose sí e COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es una medda relatva a la dspersón, se defne como: CV E Epresa la dspersón de una varable aleatora respecto a su meda. Es muy útl para comparar dos dstrbucones de probabldad. El CV no tendría sentdo cuando la varable tome valores postvos y negatvos, pues en este caso la meda podría quedar compensada por los valores postvos y negatvos y no reflejaría el tamaño de. Es decr, el coefcente de varacón CV sólo tendrá sentdo cuando sea una varable aleatora que toma solo valores postvos. CAMBIO DE ORIGEN DEL CV: Sea la transformacón c

13 CV Var ( c) E(c) c c CV Concluyendo que el cambo de orgen afecta al coefcente de varacón CV CAMBIO DE ESCALA DEL CV: Sea la transformacón e CV e e e Var.. E e.. e e CV Observando que el coefcente de varacón CV es nvarante a los cambos de escala. CAMBIO DE ORIGEN DE ESCALA DEL CV: Sea la transformacón c e CV e e e c Var.. c.( c E c).( c) e e e CV El coefcente de varacón CV es nvarante frente a cambos de escala, pero no frente al cambo de orgen. Con el cambo de orgen se produce un cambo en la meda de la varable aleatora transformada, y en consecuenca camba el coefcente de varacón. MEDIANA. CUARTILES. MODA Sea una varable aleatora contnua, con funcón de densdad f() y funcón de dstrbucón F(), se defne la Medana como el punto M donde, M f()d tambén donde F(M) Análogamente en el caso de los cuartles: Prmer Cuartl Q: Tercer Cuartl Q : Q f()d tambén donde F(Q ) Q f()d tambén donde F(Q ) El rango o recorrdo ntercuartílco es RC Q Q

14 La Moda representa el valor de la varable aleatora que más se repte ó el más probable, es decr, el que mamza la funcón de densdad. TEOREMA DE CHEBSHEV ó TCHEBCHEFF Establece la probabldad máma de que la varable aleatora tome valores en los alrededores de la esperanza matemátca (meda de la dstrbucón). Para toda varable aleatora para la que este su esperanza y su varanza, se verfca que, para cualquer valor numérco postvo : P o tambén P P

15 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Ejercco.- Un epermento consste en lanzar tres veces una moneda. Sea la varable aleatora: ="número de caras que se obtenen". Se pde: a) Dstrbucón de probabldad de b) Funcón de dstrbucón de. Representacón gráfca c) Meda, varanza y desvacón típca de d) Probabldad de que salgan a lo sumo dos caras e) Probabldad de que salgan al menos dos caras Solucón: a) Espaco muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) (c,c,c) P( ) 8 (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) P( ) 8 (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) P( ) 8 (e,e,e) P( ) 8 La dstrbucón de probabldad será: P( ) p.p. p ,5 8 b) La funcón de dstrbucón: F() P( ) P( ) p F() P( ) P( ) F() P( ) P( ) 8 F() P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( )

16 P( ) F() P( ) F() 8 78 c) Meda, varanza y desvacón típca de Meda: E().P( ). p,5 8 E( ).P( ). p 8 E.P( ) Varanza:,5,75 Desvacón típca:,75,87 d) Probabldad de que salgan a lo sumo dos caras 7 P( ) P( ) P( ) P( ) o ben P( ) F() 8 e) Probabldad de que salgan al menos dos caras P( ) P( ) P( ) o ben P( ) F() 8 5

17 Ejercco.- La varable aleatora: ="número de hjos por famla de una cudad" tene la sguente dstrbucón de probabldad: 5 6 P( ),7,,,6,,, Se pde: a) Meda o esperanza matemátca. Sgnfcado b) Varanza y desvacón típca c) S el Ayuntamento de la cudad paga euros por hjo e., cuál es la dstrbucón de probabldad? d) Meda, varanza y desvacón típca de Solucón: a) P( ) p.p. p,7,,,,,,,6,8 9,5 5,,6 6,6 6 5,, 5,5 7 6,,6 6,6,7 Meda: 7 7 E().P( ). p S se toma al azar una famla de la cudad, el número de hjos que se espera que tenga por térmno medo es uno. b) Varanza y desvacón típca 7 E.P( ) Varanza: 7 7 E( ).P( ). p,7,7,7 Desvacón típca:, 7, c) Dstrbucón de probabldad de la varable. 6

18 y j P( y j) p j y,7 y., y., 6.,6 y5 8., y6., y7., d) Meda, varanza y desvacón típca de E(. ).E().. Var(. ).Var()., ,8 Ejercco.- Completar la ley de probabldad, conocendo que la esperanza matemátca es,8 P( ) p, a b, Solucón: p,ab, ab,5. p ab,9,8 a b,9 Resolvendo el sstema: a b,5 b, a b,9 a, 7

19 Ejercco.- Al lanzar cuatro monedas se consdera el número de escudos obtendos. De la varable aleatora así obtenda, se pde: a) Ley de probabldad. Representacón gráfca b) Funcón de dstrbucón. Representacón gráfca c) Esperanza matemátca y varanza d) Medana y moda de la dstrbucón e) Probabldad de obtener más de uno y menos de tres escudos Solucón: a) Sea ='número de escudos en la trada de cuatro monedas' (c,c,c,c),(c,c,c,e),(c,c,e,c),(c,c,e,e),(c,e,c,c),(c,e,c,e),(e,c,c,c),(e,c,c,e), (e,e,e,e),(e,e,e,c),(e,e,c,e),(e,e,c,c),(e,c,e,e),(e,c,e,c),(c,e,e,e),(c,e,e,c) (c,c,c,c) P( ) 6 (c,c,c,e) (c,c,e,c) (c,e,c,c) (e,c,c,c) P( ) 6 (c,c,e,e) (c,e,c,e) (e,c,e,c) (e,e,c,c) (e,c,e,c) (c,e,c,e) P( ) 6 6 (e,e,e,c) (e,e,c,e) (e,c,e,e) (c,e,e,e) P( ) 6 (e,e,e,e) P( ) 6 La ley de probabldad o funcón de cuantía: P( ) b) Funcón de dstrbucón: P( ) F() P( ) F()

20 Ley de Probabldad Funcón de dstrbucón c) Cálculo de la esperanza matemátca y varanza P( ) P( ) P( ) P( ).P( ) 5 Meda: 5 E().P( ) 5 E( ).P( ) 5 Varanza: Var() 5 d) Observando la ley de probabldad la moda Md Observando la funcón de dstrbucón la medana prmer valor que guala o deja por debajo a,5 Me por ser F( ) 6 el e) 6 P( ) P( ),75 o ben P( ) F() F()

21 Ejercco 5.- Calcular la meda, varanza y coefcente de varacón de la varable aleatora que tene como funcón de dstrbucón: Solucón:, F(),55 6, La ley de probabldad o funcón de cuantía: 6 8 P( ),,5,,5 Advértase que la funcón de dstrbucón F() es una funcón acumulatva, por tanto: P( ) F() F(), P( ) F() F(),55,,5 P( 6) F(6) F(),85,55, P( 8) F(8) F(6),85,5 Cálculo de la esperanza matemátca y varanza 6 8 P( ),,5,,5.P( ),,,8,.P( ), 8 5,6,8 9,6.P( ),8.P( ) 6,8 Meda: E().P( ),8 E( ).P( ) 6,8 Varanza: Var() 6,8,8,76 Desvacón típca:,76,9 Coefcente varacón: CV,, 9,8

22 Ejercco 6.- La varable dscreta tene como dstrbucón de probabldad P( ),,5,,5 Se realza un cambo de orgen haca la zquerda de dos undades y un cambo de escala de undades. Se pde: a) Meda y varanza de la b) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de orgen c) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de escala d) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de orgen y escala Solucón: a) P( ) p.p. p,,,,5,5,,, 9,9,5, 6 5,6,5 7,8 Meda: E().P( ). p,5 E( ).P( ). p 7,8 Varanza: 7,8,5,55 Desvacón típca:, 55, 5 Coefcente de varacón:, 5 CV, 98,5 b) Sea la varable transformada, al realzar un cambo de orgen haca la zquerda de dos undades hay que restar, quedando: ' ( ). Meda: E() E E( ) E() E(),5,5

23 Varanza: Var Var() Var(),55 Desvacón típca:, 55, 5, 5 Coefcente de varacón: CV,8 CV,5 En consecuenca, el cambo de orgen afecta a la meda y, en consecuenca, al coefcente de varacón. c) Al realzar un cambo de escala de undades, la varable transformada es,5 Meda: E() E. E(). Varanza:,55 Var.Var().., Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:.. CV CV, 98 El cambo de escala afecta a la meda y a la desvacón típca de la msma forma, en consecuenca deja nvarante al coefcente de varacón. Resultados que se observan en la tabla, donde y j P( y j) p j y.p j j y j y. p,, 9, 9,5,5 9 9,,,,5, 6 9 5,6 9,5 7,8 9 j j Meda:,5 E() y.p( y ) y. p. j j j j j j Varanza: 7,8 E( ) y.p( y ) y. p. E( ) j j j j j j ,8,5,

24 Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:.. CV CV, 98 d) Al realzar smultáneamente un cambo de orgen de undades a la zquerda y un cambo de escala de undades, la varable transformada es Meda: E() E. E( ). E(),5 con lo que, E(). E().,5,5 Varanza: Var() Var. Var( ). Var() Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:., 5 CV,8 CV.,5 El cambo de orgen y de escala afecta a la meda y desvacón típca de dstnta forma, en consecuenca tambén queda afectado el coefcente de varacón. Resultados que se observan en la tabla, donde y j P( y j) p j y.p j j y j y j. pj,,,, ,,5 5 9,5 9,5,7,,5,8 9 Meda:,5 E() y.p( y ) y. p,5 j j j j j j E( ) y j.p( y j) y j. p j j j,8 9

25 Varanza:.,8,5, Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:., 5 CV,8 CV,5,5.,5 Ejercco 7.- En un cne de verano hay nstaladas 8 sllas, sabendo que el número de asstentes es una varable aleatora de meda 6 y desvacón típca. Qué probabldad este de que el número de personas que vaya al cne un día cualquera sea superor al número de sllas nstaladas? Solucón: Sea la varable aleatora = "número de sllas del cne", donde 6, P 8 P 8 86 P 8,5 Ejercco 8.- La varable dscreta tene como dstrbucón de probabldad Se pde: P( ) sendo,,, a) Funcón de dstrbucón b) P( 7) c) P( 5) d) P( 7) Solucón: a) F() P( ) sendo,,, Advértase que entre dos valores consecutvos de la varable, la funcón de dstrbucón toma el valor menor. b) 6 P( 7) P( 7) F(7),

26 o ben, P( 7) P( 8) P( 9) P( ) P( ), c) P( 5) F(5), o ben, P( 5) P( ) P( ) P( ) P( ), 6 d) P( 7) F(7) F(), o ben, P( 7) P( ) P( ) P( 5) P( 6), Ejercco 9.- Se desea conocer el número de automóvles que se deben poner a la venta durante un perodo determnado para que se satsfaga una demanda meda de undades con una desvacón típca de undades, con una probabldad no nferor al 75%. Solucón: Sea la varable aleatora = "número de automóvles a la venta", Según Chebyshev: P P,75 P,75,5,5,5 5 automóvles Ejercco.- La demanda meda de un producto es de undades con una desvacón típca de undades. Calcular la cantdad del producto que se debe tener a la venta para satsfacer la demanda de forma que puedan ser atenddos al menos el 8% de los clentes. Solucón:, Según Chebyshev: P P 5

27 ,8 P,8, 89,,, Se deben poner a la venta 9 undades. Ejercco.- Un estudo de la DGT estma que el número de horas práctcas necesaras para la obtencón del permso de conducr sgue una dstrbucón normal N(, ). Se sabe que la autoescuela Fuenterrebollo ngresa por alumno una parte fja de 5 euros, más euros por hora de práctca. a) Qué probabldad hay de obtener el permso de conducr con horas de práctcas o menos? b) Cuántas horas de práctcas ha necestado un conductor para obtener el permso s el 68% de los conductores ha necestado más horas de práctcas que él? c) Calcular el ngreso por alumno esperado. d) Calcular la desvacón típca del ngreso por alumno. Solucón: a) = "número de horas de práctcas necesaras para obtener el permso de conducr" P( ) P P(z,) P(z,),98 b) Sea h = "número de horas necesaras" h h P( h) P Pz,68 h h Pz,68 Pz,68 h h h P z,68 P z,,6 h,6 h,6,6 c) Para un alumno cualquera, el ngreso de la autoescuela Fuenterrebollo por las práctcas es I 5 El ngreso por alumno esperado será: E(I) E( 5) E() euros 6

28 d) La varanza del ngreso del alumno: V(I) V( 5) V() euros I La desvacón típca del ngreso I euros Ejercco.- La varable ="número de centímetros a que un dardo queda del centro de la dana" al ser trado por una persona tene como funcón de densdad: Se pde: f() en otros casos a) Hallar para que f() sea funcón de densdad. Representarla b) Hallar la funcón de dstrbucón. Representarla c) Meda, varanza y desvacón típca d) P( ) e) Probabldad de acertar en la dana Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: f()d f()d f()d f()d f()d la prmera y tercera ntegral son cero al ser f() en esos ntervalos. d d En consecuenca, f() en otros casos b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt 7

29 En consecuenca, F() c) Meda E() f()d.. d d 5 cm Varanza: E( ) f() d.. d d 5 5 cm Desvacón típca: 5,9 cm d) P( ) F() o tambén, P( ) d d e) Probabldad de acertar en la dana: P( ) por ser una varable contnua P( ) f() d d d 8

30 Ejercco.- Se ha verfcado que la varable ="peso en los de los nños al nacer" es una varable aleatora contnua con funcón de densdad Se pde: f() en otros casos a) Hallar para que f() sea funcón de densdad. Representarla b) Hallar la funcón de dstrbucón. Representarla c) Meda, varanza y desvacón típca d) Probabldad de que un nño elegdo al azar pese más de los e) Probabldad de que pese entre y,5 los f) Qué debe pesar un nño para tener un peso gual o nferor al 9% de los nños Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: f()d f()d f()d f()d f()d La prmera y tercera ntegral son cero al ser f() en esos ntervalos. 6 f()d d d 6 6 f() 6 en otros casos b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt t t F() f(t)dt f(t)dt dt t t 6 F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt

31 F() c) Meda E() f() d.. d d, los Varanza: 56 6 E( ) f() d.. d d los ,,9 los Desvacón típca:,9,6 los d) 5 7 P( ) P( ) F(),58 o tambén, 9 7 P( ) f() d d 8, e),5 P(,5) F(,5) F(),6875,5,5,5 8,5 P(,5) f() d d, f) Sea el peso del nño, se tene:,5 F() P( ),9,9,8,8,8,85, es decr, el nño debe pesar,85 los para tener para tener al 9% de los nños con un peso gual o nferor.

32 Ejercco.- Gran número de fenómenos aeronáutcos tenen asocada una varable aleatora con ley de probabldad: Se pde: f() en otros casos e a) Puede tomar cualquer valor? b) Para, representar la funcón de densdad, la funcón de dstrbucón y su gráfca c) Sendo, hallar P( ) d) Para, calcular P(5 ) Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: f()d f()d f()d e d e d e e La funcón de densdad no depende del valor del parámetro, pudendo tomar éste cualquer valor postvo. b) La funcón de densdad para, será: f(),,. e otros casos La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt,t,t,t, e e,t, e e F() f(t)dt f(t)dt,. e dt,. e dt F(), e

33 c) P( ) P( ) F() e e e,. d) P(5 ) F() F(5) e e e e e e,., Ejercco 5.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de densdad Se pde: f() otros casos a) Representa la funcón de densdad b) Hallar la funcón de dstrbucón y su gráfca c) P( ) P( ) P Solucón: a) Se observa que el área encerrada es gual a la undad b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt t F() f(t)dt f(t)dt (t)dt t F() f(t) dt f(t)dt f(t)dt (t)dt (t )dt t t t t t t F() (t) dt (t ) dt t t

34 F() c) P( ) P( ) P P( ) F() F() P( ) F() F( ) 5 P F( ) F 8 Ejercco 6.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de dstrbucón: F() Se pde: a) Hallar la funcón de dstrbucón y representarla b) Meda, varanza, desvacón típca y coefcente de varacón c) P Solucón: a) La funcón de densdad es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada, entonces: df() f() d

35 f() otrosvalores b) Meda E() f() d.. d.( ). d d ( ).d 8 Varanza: E( ) f()d.. d.( ). d d ( ).d o Desvacón típca:, 6 Coefcente varacón:, CV, c) ( ) () 9 P F F.,75 8 8

36 Ejercco 7.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de dstrbucón: F() a) Calcular la funcón de densdad o funcón de cuantía b) Calcular la meda, medana y coefcente de varacón Solucón: a) La funcón de densdad o funcón de cuantía es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada, entonces: df() f() f() d enotrocaso b) Meda: E() f() d d,5 La Medana de una dstrbucón es el valor que deja el 5% de la dstrbucón a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: F(M e),5 Me,5 Me,5 Me Me Me f(),5 d,5,5 M e,5 Me,5 Coefcente de varacón: CV 8 7 E( ) f() d d 7 7 9,8,8 CV,5, 5 5

37 Ejercco 8.- La funcón de densdad de una varable aleatora es: a b f() en el resto Determnar a y b. Solucón: sabendo que P,666. Hay que calcular dos parámetros (a y b), por lo que se necestan dos ecuacones: Por ser funcón de densdad: 8a f() d (a b) d a b b 8a 6b, con lo que: / / / P f() d (a b) d a b,666 a a b 7a b a b b,666 7a b / en consecuenca, 8a 6b 6a b 6 6 a, 6b b, 7a b 7a b

38 Ejercco 9.- La funcón de dstrbucón asocada a la produccón de una máquna, en mles de undades, es del tpo: F() ( ) a) Determnar para que sea funcón de dstrbucón b) Hallar la funcón de densdad c) Calcular la meda, medana. moda y varanza de la produccón d) Hallar P(,5) y P(,5) Solucón: a) Para que sea funcón de dstrbucón se debe verfcar: lm F() lm F() lm ( ) ( ) En consecuenca, la funcón de dstrbucón es: F() ( ) b) La funcón de densdad o funcón de cuantía es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada. df() f() f() d enotrocaso c) Meda: E() f()d ()d ( )d Para calcular la Moda hay que ver el valor que hace mínma la funcón de densdad o de cuantía, es decr: f() f '() en otro caso en otro caso La dervada de la funcón de cuantía f '(), por lo que se trata de una funcón decrecente y toma el valor mámo en el etremo del ntervalo,, por tanto la moda Md f() f() f(), con lo que Md 7

39 La Medana de una dstrbucón es el valor que deja el 5% de la dstrbucón a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: F(M ),5 M M,5 M M,5 M M e e e e e e e 68 Me Me Me De las dos solucones se rechaza aquella que es mayor que, por lo que la Medana es: M e La Varanza de la produccón: E( ) f() d ( )d d) Funcón de dstrbucón F() ( ) P(,5) P(,5) F(,5),5 (,5),75 P(,5) P(,5) F(,5),5 (,5),565 Tambén medante la funcón de cuantía: f() enotrocaso,5,5 P(,5,5) f()d ( )d,5,75 P(,5) f()d ( )d (,5,65),565,5,5,5 8

40 Ejercco.- Dada la funcón - f() = e a) Comprobar s puede ser funcón de densdad de una varable aleatora cuando su campo de varacón es el ntervalo b) En caso de que no lo pueda ser, qué modfcacones habría que ntroducr para que lo fuera. Solucón: a) Para que sea funcón de densdad, debe cumplr dos condcones en el campo de varacón de la varable aleatora: f() no puede ser negatva La ntegral de f() en el campo de varacón es f() e L e L es postva e d e. No se cumple, luego la funcón dada no es de densdad en el ntervalo. b) Para que sea funcón de densdad, se defne f() e e d e d e En consecuenca, f() e Ejercco.- Dada la varable aleatora contnua con funcón de densdad: Hallar: () f() en el resto a) El valor de para que sea realmente una funcón de densdad b) La funcón de dstrbucón c) La varanza d) P( ) Solucón: a) f()d ()d ()d 6 6 9

41 ( ) f() 6 en el resto b) Funcón de dstrbucón: F() f(t) dt, en este caso: F() f(t) dt dt t F() f(t) dt dt (t ) dt (t ) dt t t F() f(t) dt dt (t ) dt dt t 6 6 F() c) Para calcular la varanza: ( ) f() 6 en el resto E f()d ( ) d ( )d E f()d ( ) d ( )d Var() 9

42 d) F() ( ) f() 6 en el resto P( ) F() F() 9 9 P( ) () d Ejercco.- Sea una varable aleatora contnua con funcón de densdad tal que 8 8 f() 7 otrocaso a) Calcular el prmer y tercer cuartl, el decl 7 y el percentl 85 b) Calcular la medana y moda Solucón: a) La Funcón de dstrbucón: 8 8 8() F() P f(t) dt dt 8 7t 7 t 7 susttuyendo, queda: 8(Q ) F(Q ) 7 Q (Q ) Q,8 Q P5,8 7Q 5 8(Q ) F(Q ) Q (Q ) Q,9 Q D5 P75,9 7Q 7 8(D ) 8 F(D ) 9D 8(D ) D,58 7D (P ) 8 F(P ) 595P 8(P ) P,9 7P b) Me Q D5 P5 8(M ) 6 F(M ) 7M 6(M ) M,78 7M 9 e e e e e e

43 La Moda M d se obtene calculando el mámo de la funcón de densdad: 8 6 f() f '() La funcón es decrecente 7 7 f(8) f() f(), con lo que Md Ejercco.- La demanda dara de un determnado artículo es una varable aleatora con funcón de densdad: 8 f() 6 otro caso Los benefcos daros dependen de la demanda según la sguente funcón: Calcular: 5 s 5 s B s 8 5 s 8 a) Probabldad de que en un día cualquera la demanda sea superor a b) Probabldad de que la demanda sea nferor a c) La esperanza y la varanza de la demanda d) Funcón de dstrbucón de la demanda e) Funcón de cuantía y funcón de dstrbucón de la varable aleatora benefcos daros. f) Esperanza y varanza de la varable benefcos Solucón: a) P f() d d,5 6 6 P f()d d, b) c) Meda o Esperanza

44 E().f() d.f() d.f() d. d. d 8 6 d ( )d = = =, 6 Varanza: E( ).f() d.f() d.f() d. d. d 8 6 d ( )d = = 5 = 8 = 6, Var () 7,89 9 d) La funcón de dstrbucón de la demanda F() f(t) dt s f() d d s f() d d d 8 8 F() s f() d d d s f() d d d d d 8 6 En resumen, 8 () 6 F s s s s e) La funcón de cuantía y la funcón de dstrbucón de la varable aleatora benefcos daros se hallan consderando:

45 5 s 5 s B s 8 5 s 8 8 f() 6 otro caso Funcón de cuantía o probabldad: b PB b f() d d,5 8 f() d d, f() d d, f() d d, Funcón de dstrbucón F(B) P(B b ) b P(B b ) F(B) =P(B b ) b.pb b b.p B b -5,5,5 -,5 6,5 5,5,5,5 6,5,75,875,75 7,5 5,5,875 8,5 b.pb b 5,65 f) Meda o Esperanza benefcos: Varanza benefcos: EB b.p B b 78,5 b E(B) b.p B b 5,65 Var (B) E(B ) 78,5 5,65 6,8 b b Desvacón típca de los benefcos: b 6,8 6,87 b.p B b 78,5

46 Ejercco.- Sea una varable aleatora contnua, cuya funcón de densdad es f() enotrocaso Sea una transformacón de la v.a. a) Calcular la funcón de densdad de la v.a. b) Calcular la funcón de dstrbucón de la v.a. Solucón: a) La transformacón asocada a la v.a. es dervable y estrctamente monótona cuando toma valores en el ntervalo (, ). En consecuenca, se puede aplcar la transformacón, quedando la funcón de densdad: d dy y y g (y) y La funcón de densdad de la varable contnua se obtene: d dy y f (y) f g (y). y y La funcón de densdad de la v.a. : y y f (y) enotrocaso b) Funcón de dstrbucón: y F (y) f(t)dt y y F (y) f(y)dy f(t)dt t dt (t) (y) y y y y F (y) f(y)dy y f(t)dt f(t)dt f(t)dt t dt La funcón de dstrbucón de la v.a. será: y F(y) (y) y y 5

47 Ejercco 5.- Sea una varable aleatora contnua, cuya funcón de densdad es f() enotrocaso Sea una transformacón de la v.a. a) Calcular la funcón de densdad de la v.a. b) Calcular la funcón de dstrbucón de la v.a. Solucón: La transformacón es dervable, pero no es estrctamente monótona, puesto que en el ntervalo (-, ) la transformacón es decrecente y en el ntervalo [, ) es crecente. En este caso, hay que determnar la funcón de dstrbucón de la varable aleatora para el caso general de las transformacones de una varable aleatora, ya que no se puede aplcar el método descrto en el ejercco 5. b) Cálculo de la funcón de dstrbucón y F(y) P y P y P y P y y f()d y y y d y y y La funcón de dstrbucón de la v.a. es: y F(y) y y y df (y) y a) La funcón de densdad f(y) y dy enotrocaso 6

48 Ejercco 6.- Sea una varable aleatora contnua con funcón de densdad tal que e f() otro caso a) Funcón generatrz de los momentos (f.g.m.) b) Esperanza y varanza a partr de la f.g.m. c) Funcón característca Solucón: a) b) t t (t) (t) M(t) E e e. f(). d e d e s t t t dm(t) d E() M () () dt t dt t (t) t t E( ) M () () dm(t) d d d dt dt dt t dt ( t) ( t) t t t t Var () c) La funcón característca se puede calcular utlzando la relacón entre funcón característca y los momentos: j (t) (t) (t) (t) (t) (t) j s t!!! j! j VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES 7

49 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández