( 32 x )= 53 arcsen ( 32 x ) sen x +7 cos x 1 dx. x x. e 2 x +1 dx. 5x 7 dx. x sen x dx. x 4 x x 1 dx. x 2 dx. dxx. x x x dx. 1 x.
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- Magdalena Mora Márquez
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1 IES Jun Clos I Mmáics II Cimpozulos Mdid * nálisis III: Ingls Ingls inmdis o csi inmdis: b d c d d d sn d f sn cos d g g d h d i d j d k cos bd l d m n d o d p q d C d sn d cos sn d cos d dcos sn d d d d cos bd cos b d sn b d d d ln C d d d d d g d g d dg ln C ln * d d d d ln C dcg d d d csn csn
2 s d d u d v d w d d cn d ln d ln d d d d y d z d Divd d un cocin d ln d ln ln ln Ingls d funcions compuss / cmbio d vibl: d d d d d b d c d d d cos sn f d d d d ln ln d d d d h d i ln d ln d d d d d ln ln d sn d d sn d cos d d sn cos d g d sn d cos d d d d sn d d d ln ln dln ln ln
3 d j k ln d l m d sn cos n o p q d d csn d d d d s sn d ln d d d ln d d sn d cos d d u d v g g d w g d d y z d ln d d d d ln d d d d d d ln ln g C cos d sn d d ln ln cos ln sc d d ln d d cn ln ln sn d cos d d ln dcn cn d sn cos d d cos g d g d sn d d d cos d d d d csn d d d d ln cos d sn d d d d d ln ln d d d d d d csn d d d cn ln cos
4 Ingls po ps: b c d d u u ' v ' v d u u d v ' d u ' v d u ' v v ' u ' u v v ' d d d d u u ' v v ' d u v ' d u ' u v ' v u ' v d ln d ln d ln ln ln d ln ln u ' v uln v ' f ln d v ' g h i ln d v u ln u ' ln ln d Iln I I ln I ln u ln u ' v' vln I d u ' u v ' v d d u u ' v ' v d v ' u u ' v d j k l sn d d cos d u u ' v ' sn v cos cos cos d cos sn sn d u v ' cos u ' vsn I Icos sn I Isn cos I sn cos u v ' u 'ln v u u ' v ' cos v sn ln ln d I ln ln I I I sn sn d sn cos ln ln
5 m sn d sn sn d u sn v 'sn I u ' cos sn cos cos cos dsn cos cos d v cos sn cos sn dsn cos d sn d Isn cos I sn cos I n cn d u cn v v ' o d cn d cn cn d d ccos d u ccos ccos u ' v v ' p cn u ' ln d uln v ' ln v u ' d d d ln ln d ccos d ccos ccos u ln u ' v ' v ln ln d ln ln q d u u ' v ' v d d u u ' v ' v ln d v ' v s u ' ln ln d ln uln d ln d uln v ' ln d u ' v ln ln Ingls cionls: d b d d d d d ln ln ln d d d ln ln ln C : Rso : c d d C d d d d ln ln ln C C
6 d d d d d d d ln ln ln d : Rso : d d d d ln ln ln f d C d d d C d ln ln ln g d C d d d ln ln ln h C C d C d d d ln ln ln C C d d d d lnln ln i d j d k C d d d d ln ln ln ln ln d d d d d ln ln ln C
7 l d C d d d C d ln ln ln m d C D d d n D d D C D C D d ln ln ln d C d d d C C d ln ln o d d d : Rso : C d d ln ln ln ln p C d C d d d d ln ln ln q d d d d d C d ln ln d d d d d C d ln cn C C
8 s d d d d ln ln C dd d d d d d C d d ln ln cn C u d C d d d d d d d dln cn C C d d v d C D d d D d D C D d ln cn C w d C d d d d d d d d dln ln C C d d d C d d d d C C d d d d d ln cn d d y d d d d C d d d d C C d d d d d ln ln cn C d d
9 z d d d d d d d d ln cn d Ingls igonoméics: b c cos d cos d sn d ln ln sn C sn d cos d sn cos d sn sn d cos g sn d cos d sn sn sn sn cog d d f cos cos d sn cos d d d cos cos d sn d d cos cos C cos dsn d g d sncos d sn C sn cos sn d cos cos sn d d sn sn dcos d d d cos sn cos cos d sn d d d cos cos sn cos d sn d ln ln cos cos cos d sn cos cos d sn sn cos d d d sn d cos d sn sn h i d cos sn cos sn cos d cos d d d sn sn sn d cos d d sn sn dsn sn sn sn d d d d sn sn sn cos cos d sn cos cos d sn d n sn d n n Cn sc cos cos
10 j sn d cos d d d d d d sn cos d sn cos sn cos cos cos d d sn cos sn cos n n n n n n sn cos d n sn cos cos n n d n n Tmbién con l cmbio n d d d sn cos n Dmin ls siguins ingls po l méodo qu consids más convnin: d d d d d ln d ln d c ln d v ' v u ln u ' ln d ln ln u ln u ' v ' v d cos ln d ln d d I ln d ln cos ln d d cn cn ln C ucos ln u ' snln v ' v cosln snln d cos ln v ' v u snln u ' cosln snln cosln I cosln snln I I f d : Rso: b d cn cn ln d dln sn d cos d sn cos cos cos d I u cos u 'sn v ' cos v sn cosln sn ln sn cos sn d sn cos cos d sn cos d I I sn cos csn csn I sn cos cos csn g h d d d d d d d d d d dlnln ln
11 i d d d d d u u ' v ' v d C j d d d d d d d ln ln ln Clcul l función f qu cumpl qu f'', f y f f ' f ' ' d f f ' d D f D f f Encun l fmili d funcions qu inn como sgund divd f'' sbindo qu inn un máimo livo n - Dmin cuál d ls funcions d l fmili ps po l puno f ' f ' f ' ' d f f ' d D, Po l puno, Fmili: f D Máimo f usc un pimiiv F d l función f qu vifiqu qu F, F d Si hcmos C ndmos: F ℝ Hll f sbindo qu: f ' ' cos f ' dsn f sn dcos D f ' cos f f ' C f cos f D f, g, h Clcul l á ncd n l gáfic d ls funcions g f d g h d d d uds Ingls dfinids: sn d b cos cos cos ln d v u ln u ' v ' c d ln ln d ln ln si si > d d
12 d d u u ' v ' v ln d d d d d ln d v ' v función p u ln u ' d d ln d j d i ln d d h d d d si si > g d f d d d cn Dds l pábol y y l c y, psn y clcul l á d los siguins cinos: Rcino codo limido po mbs cuvs Inscción d funcions: d d uds b Rcino codo limido po l pábol l izquid, l c l dch y l j OX po dbjo d d uds c Rcino codo limido po l j OY l izquid, l pábol l dch, l c po ncim y l j OX po dbjo d d uds Clcul l á ncd n ls gáfics d ls siguins funcions n cd cso: f g Inscción d funcions: ± d Función d uds p b f g Inscción d funcions: ± d Función d uds p
13 c f g Inscción d funcions: d d uds d g f Inscción d funcions: d ln ln uds f sn g cos con Inscción d funcions:sn cos n º º sn cos d cos sn uds f f g d d d si si > Inscción d funcions: uds g f g Inscción d funcions: d d uds Hll l á dl cino codo limido po ls gáfics d ls funcions f, g y l j OY Inscción: d uds Consid l á d l gión ncd n l pábol y y l c y Es gión s divid mdin un c hoizonl y Dmin qu hc qu dich gión qud dividid n mids d igul supfici Inscción con y: ± Inscción con y : ± TOTL d uds Á bjo y: d TOTL Dduc l fómul dl á d un cículo d dio y No: Un cicunfnci d dio
14 cnd n l oign in po cución y qu, p vlos d y posiivos, pud pss como y Dspués n n cun l simí Inscción con j : ± Á bjo l cuv: d sn θ d θ p cos θd θ sn θ θ d Función d d d d snθ d cosθd θ cos θ cos θ d θ d θ Es á s sólo l mid supio dl cículo: CÍRCULO Dduc l fómul dl volumn d un sf d dio No: Consid qu l sf s gn como un cupo d volución pi d un smicículo qu gi sob un diámo; v jcicio Considmos un sf como l cupo gndo l o un smicículo con spco l j OX Considmos l función f qu dmin un smicicunfnci ingmos n - y b V f d d d Sólido d volución Consid l pábol y Dmin l cución d ls cs ngns dich pábol n los punos d bscis y - y clcul l á dl cino codo limido po l pábol y mbs ngns Tngns: : y y : y y Inscción d ls ngns : d d uds f ' Clcul l á limid po l j OX, l gáfic d l función f y ls cs vicls y Clcul l lími d s ingl cundo inp l suldo d d d d uds lim lim uds Es un cino infinio con á fini Dmin l volumn ngnddo l gi un lóbulo d l función sn lddo dl j OX b V f d sn d cos d Sólido d volución cos d sn udv cos d
15 S consid l pábol y Comp l volumn d los dos cupos ngnddos l hc gi con spco l j OX y l j OY spcivmn l cino plno ncdo n l pábol y l j OX Cos con l j OX : y Límis d ingción: b - Ej d gio OX : V f d d d Sólido d volución udv b - Ej d gio OY : V f d d udv Sólido d volución Si s hc gi con spco l j OX l cino plno ncdo n l popio j OX, l gáfic d l función f > y ls cs y s obin un cupo con fom d mbudo Dmin l vlo d p qu l volumn d s cupo s d unidds d volumn b V f d d d udv Sólido d volución ln ln Tnindo n cun qu l clción s l divd d l vlocidd y qu és s l divd dl dsplzmino con spco l impo, d dduci l cución dl dsplzmino n un MRU No: Ing l iguldd v', y lugo s'v nindo n pcución con ls consns d ingción y su inpción cundo v ' v d - Cundo s in v v vlocidd inicil Cv v v s ' v s v d v - Cundo s in ss posición inicil Cs s v s PU P cd vlo d c>, clcul l á d l gión cod compndid n l gáfic d l función f c, l j OX y ls cs, c c c d c c uds c c c b Hll l vlo d c p l cul l á obnid n l pdo s mínim d c ' c dc d c c dc c ' c c c ' ' c > c> Mínimo locl c
16 PU Dd l función f s pid: Dibuj l gáfic d f sudindo l ccimino, dccimino, punos d inflión y sínos Vicls : No psn y qu Domf ℝ Hoizonls : sínos: Oblicus : l dch: lim lim lim y l izquid: lim No is l dch: No is puso qu hy síno hoizonl l izquid: pndin m lim lim No is Ccimino: f ' Poduco Cuvu: f ' ' Poduco f dcc ℝ }, f ' ' > f cóncv - Puno d inflión n, f ' ' < f conv - Puno d inflión n, f ' ' > f cóncv f d b Clcul d u u ' v ' v d u u ' v ' v d f d PU Clcul ln d dond ln s l logimo npino d ln d u ln u ' v ' v ln ln d ln ln ln d Indicción: P dshc l cmbio d vibl uiliz ln d d d p clcul b Uiliz l cmbio d vibl d d d d d ln PU Dd l función f clcul l á d l gión cod ncd po su gáfic y l j OX ± Sán los límis d ingción f <, Á: f d d Función d p Cos con j OX: Dom f ℝ d d d d cn cn uds d cn d d d cn cn
17 PU Dd l función f dmin un función F l qu su divd s f y dmás F d d d F C F ln F d d d ln ln PU Dd l función f, s pid: Hll un vlo > l qu l c ngn l gáfic d f n l puno, f s pll l c y- P qu l ngn y l c sn plls sus pndins hn d s iguls, d modo qu buscmos l qu f ' f ' > b Hll l á d l gión cod limid po l gáfic d f y l p posiiv dl j OX Cos con j OX: Sán los límis d ingción Dom f ℝ d PU Clcul Á: d uds f >, d d d d ln ln ln ln d d ln ln ln PU Dd l función f, s pid: Dibuj su gáfic indicndo su dominio, sínos, invlos d ccimino y dccimino, máimos y mínimos livos, invlos d concvidd y convidd y punos d inflión Vicls : No psn y qu Dom f ℝ Hoizonls : sínos: Oblicus : l dch: lim No is l izquid: lim lim y l izquid: No is puso qu hy síno hoizonl l dch: pndin m lim lim No is f ' < f dccin - Mínimo locl n, f ' > f ccin, Ccimino: f ' Poduco Cuvu: f ' ' Poduco, f ' ' < f conv - Puno d inflión n -, f ' ' > f cóncv
18 b Clcul l á compndid n l j OX y l gáfic d f cundo d d u u ' v ' v f < < f > > f d f d uds PU f Esudi y psn gáficmn l función Dominio: Dom f ℝ },, sínos: Hoizonls : lim f y Vicls : lim ± ± Oblicus : No isn po isi sínos hoizonls, f ' > f ccin, f ' < f dccin - f no s nul No hy máimos ni mínimos locls f ' ' > Dom f f cóncv n odo su dominio Ccimino: f ' Cuvu: f ' ' b Hll l á d l gión cod compndid n l gáfic d l función nio y ls cs Inscción f y c y: f d y, ± < < DISC > d uds PU Dd l función f : Hll sus máimos y mínimos locls y/o globls f f ', Signo d f':,, PRODUCTO f ' < f dccin f in máimo locl n y mínimo locl n Son mbién mos bsoluos f ' > f ccin b Dmin l vlo dl pámo > p l cul s f d d d d d ± > PU S f un función divbl n, y coninu n, l qu f y f ' d Uiliz l fómul d ingción po ps p hll f ' d u u ' v ' f ' v f f ' > f ccin f ' ± f d f f d f f d f d f d
19 PU Clcul un polinomio d c gdo p b c d sbindo qu vific: i Tin un máimo livo n ii Tin un puno d inflión n l puno d coodnds, p d iii } p' b c p' ' b Ps po puno, : Máimo n : p' b c b d c p Inflión n : p ' ' b p d p d d PU S consid l función f p : Clcul los mos locls y/o globls d l función f f ' Signo d f':, f ' > f ccin f in máimo locl n Es mbién mo bsoluo, f ' < f dccin f ' COCIENTE f d b Dmin l vlo dl pámo l qu d d d d ln f, g PU S considn ls funcions Rpsn f y g n l mismo gáfico b Clcul l ángulo qu fomn n los punos d co Vmos qu l poblm psn simí p Esudimos l smij posiivo y ndmos conclusions l ngivo Inscción : En l puno d co: f ' únic solución > Ángulo f: cn,º Ángulo g: º Ángulo f, g,º o bin Ángulo f, g,º c Clcul l á compndid n l gión cod n ls dos funcions PR d d PU Dmin los invlos d concvid y convidd, p f cos f ' sn uds,, d l función, f ' ' > f cóncv f ' ' cos INFLEX cos, ±, f ' ' < f conv, f ' ' > f cóncv
20 b Esboz l gáfic d l función nio n l mismo invlo c Hll l á compndid n ls gáfics d l función nio f, g cos y ls cs, Inscción f con g : cos cos ±, f >g, f g d d ln ln ln uds PU S consid l función f Clcul ls sínos, l máimo y l mínimo bsoluos d l función f f vicl:no psn Domf ℝ hoizonl: lim f lim ± ± f ' COCIENTE y Dch izd f ' > f ccin, f ' < f dccin, f ' > f ccin, b Clcul f d d d d d ln ln d d PU S l función f Hll sus máimos y mínimos livos y sus sínos f vicl:no psn Domf ℝ ℝ hoizonl: lim f y ± Dch izd f ' COCIENTE, f ' < f dccin Mínimo n, f ' > f ccin Máimo n, f ' < f dccin b Dibuj l gáfic d l función uilizndo l infomción obnid n l pdo nio, nindo n cun, dmás, qu f in cmn s punos d inflión cuys bsciss son spcivmn,, Mínimo n Máimo n
21 c Clcul l á dl cino limido po l gáfic d l función f, l j OX, l c, y l c En l invlo l función no co l j OX y s posiiv d d d d uds PU Clcul: b sn cos d cos d sn d d si si c d ln ln d d d PU Clcul l ingl indfinid d d d d d d d d d ln ln PU S consid l función f : Hll l c ngn su gáfic n l puno d inflión d bscis posiiv f ' ' Inflión n ± f f ' Rc ngn n : y f f ' y y b Clcul l á dl cino limido po l gáfic d f, l c nio y l j En l invlo, l c ngn qud po ncim d l función d d d d d d d cn cn uds PU Dd l pábol y, s consid l iángulo cángulo T fomdo po los js coodndos y l ngn l pábol n l puno d bscis > Hll p qu T ng á mínim
22 f f ' Rc ngn n : y f f ' y y Ej OX : Cos d l c con los js : El á dl iángulo sá T y Ej OY : y y Dsollndo : T T ' EXTREMOS T ' ' T ' ' > El mo ncondo s un mínimo b Clcul l á d l gión dlimid po l pábol, su ngn n l puno d bscis, y l j vicl En l invlo, l c ngn qud po ncim d l función - Rc: yf f ' y y d d d uds PU S consid l función f Esudi y psn gáficmn l función f Vicls : No psn y qu Dom f ℝ Hoizonls : sínos: l dch: lim No is Oblicus : l izquid: lim lim y l izquid: No is puso qu hy síno hoizonl l dch: pndin m lim lim No is, Ccimino: f ' Poduco f ' < f dccin - Mínimo locl n, f ' > f ccin, Cuvu: f ' ' Poduco f ' ' < f conv - Puno d inflión n, f ' ' > f cóncv b Sbindo qu l á d l gión dmind po l gáfic d f y l j OX n y p p> vl d u u ' v ' v uds clcul l vlo d p d p f > > p p d p p p PU S consid l función l d vibl l f Dmin sus máimos y mínimos livos f ' ±, f ' < f dccin Signo d f': f in mínimo locl n - y máimo locl n, f ' > f ccin Son mbién mos bsoluos, f ' < f dccin f ' COCIENTE
23 b Clcul l vlo d > p l cul s vific l iguldd f d d d d d ln ln ln f PU S l función f d Clcul d dz dz zz z z z dz d d d z dz z z z dz zz z z dzlnzln z ln z z b S dfin g f d Clcul lim g f d g lim lim L ' Hôpil g ' g' g pimiiv d f f PU S l función f sn Clcul > l qu l á ncd po l gáfic d f, l j y, y l cs y s En l invlo, l función sn no co l j OX y s posiiv uscmos n pincipio, : sn dcos cos cos, b Clcul l cución d l ngn l gáfic d f n l puno d bscis y Rc ngn : y f f ' y sn cos y c Clcul l á d l supfici ncd po l ngn nio, l gáfic d l función f y ls cs y sn d cos cos cos u En l invlo, l función sn qud po dbjo d l c ngn
24 PU Hll l vlo d l ingl dfinid d d d d d b Clcul l ingl indfinid d l función f mdin un cmbio d vibl d z dz d d d z dz z z z dz z z dz z z dz zz z z dzlnzlnz ln z z PU Dmin l á dl cino plno codo compndido n ls gáfics d ls funcions f, g y l c Inscción f con g : f <g > g f d d uds
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Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem
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Modlo monocomprimnl. dminisrción orl Tm 11 Índic d connidos 2 Inroducción Curvs concnrción-impo Ecucions dl modlo Prámros frmcocinéicos Fcors qu fcn l prfil concnrción-impo Timpo d lnci Fnómno flip-flop
24. Estudia la continuidad de la siguiente función: Dominio : . 3. lim f(x) lim. 3x 1. x 2. x x
. Estudi l continuidd de l guiente unción: () Dominio : Dom () : ( ),, Present discontinuiddes en, y () () Presentun discontinuidd ntótic de primer especie de slto ininito.., : ( ) () () No está deinid.
Lección 2. Integrales y aplicaciones. 4. Integrales impropias: definición y propiedades.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Integles y licciones. 4. Integles imois: definición y oieddes. Hst este momento hemos clculdo integles definids de funciones con ngo finito en intevlos