T E S I S Q U E P R E S E N T A E L C. MARCO ANTONIO GARCÍA TORRES PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y E L E C T R Ó N I C A

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACAN MÉTODOS DE SINTONIZACIÓN DE UN PID PARA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO T E S I S Q U E P R E S E N T A E L C. MARCO ANTONIO GARCÍA TORRES PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y E L E C T R Ó N I C A ASESORES: Dr. Omar Jiménez Ramírez Dr. Juan Francico Márquez Rubio México, D. F. Abril del

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3 AGRADECIMIENTOS A Dio Por brindarme la oorunidad de uerarme día a día. A mi adre Vicoria y Juan or odo u amor, cariño, aoyo y dedicación ara er una erona de bien. Mucha gracia! A mi hermana Marlen or comarir mucho momeno ameno. Gracia mania! A mi abuelo Caalina, Mailde, Francico y Juan or comarir u vivencia y exeriencia invaluable ara mí. Al Iniuo Poliécnico Nacional. Por darme la oorunidad de ener una formación muy necearia ara mi aí. A mi novia. Wendy or ear iemre a mi lado e imularme en lo royeco y deciione. Gracia amor! A mi amigo Gracia a odo uede Jeica, Sandra, Alejandro, Cear, David, Francico, Sergio, Ñonhe y odo lo grande amigo del XC3M or brindarme ea gran amiad única e incomarable. A mi aeore Dr. Omar Jiménez Ramírez y el Dr. Juan Francico Márquez Rubio or comarir u conocimieno en ara de eguir uerándome, aí como a mi inodale or comarir el iemo ara la reviión de ee rabajo de anemano mucha gracia. " Sean reconocido u logro, y úblicamene alabada u obra!" Proverbio 3:3 Por y ara uede con odo mi cariño. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

4 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. Denro de la diferene rama de lo roceo ya ean induriale, biológico, elecomunicacione, ecéera, e encuenran lo llamado roceo con reardo de iemo. Lo conroladore ara ée io de iema requieren analizare y eudiare, ueo que no e ueden inonizar de la mima forma que lo roceo que no cuenan con el reardo. Dado que la función de un conrolador e deecar y corregir la eñal de error en el iema a lazo cerrado, dicho roceo requieren méodo de inonización ara oder dieñar e inegrar una acción de conrol eficiene. La rincial roblemáica ara conrolar iema con reardo e que u ecuación caraceríica reula con érmino racendenale. De ea manera, el análii de eabilidad debe realizare de una forma cuidadoa. El reene rabajo conie en realizar un eudio comaraivo de diferene meodología de inonización de conrol exiene en la lieraura ara iema con reardo; en aricular, e analiza el cao de lo iema de rimer orden eable con reardo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

5 JUSTIFICACIÓN Denro de lo roceo induriale que exien, ale como el iema érmico o el iema hidráulico reenan iemo muero. Eo iema ueden er modelado como iema de rimer orden eable. Se han dearrollado diferene méodo de inonización de lo conroladore del io PID ara conrolar ea clae de iema. Sin embargo, la mayoría de ea erucura, reenan eficiencia y venaja. E or ea razón que en ee rabajo evaluamo la eraegia de conrol má uilizada en la induria, con la finalidad de realar la venaja y devenaja que reenan cada una de ella. A coninuación e reena un breve análii ara morar la comlejidad que reena el dieño de conrol ara iema con reardo. Conidere la clae de iema lineale una enrada una-alida (UEUS) con reardo de iemo a la enrada: Y ( ) U( ) N( ) D( ) L G( ) L () Donde U () y () Y on la eñale de enrada y alida reecivamene; L e el reardo de iemo que e uone conocido; N () y D () on olinomio en la variable comleja ; y G () e la función de ranferencia libre de reardo. Nóee que en relación con la clae de iema de la ecuación (), una eraegia de conrol radicional baada en una reroalimenación de alida de la forma: U( ) [ R( ) Y ( )] G ( ) () c Produce un iema en lazo cerrado: Y ( ) Gc ( ) G ( ) U( ) G ( ) G ( ) c L L (3) Donde el érmino L localizado en el denominador de la función de ranferencia en la ecuación (3), dificula el análii de eabilidad [6] debido al número infinio de olo del iema en lazo cerrado. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

6 OBJETIVO GENERAL El objeivo de ee rabajo e el eudio o análii de lo roceo que ienen reardo de iemo, indicando qué on?, en dónde e ueden reenar?, cuál e la rereenación maemáica o función de ranferencia?, aí como alguno de lo diferene equema o méodo de conrol que ueden er alicado ara ée io de roceo. Se roone eudiar una lana de rimer orden eable con reardo de iemo. Poeriormene, e uilizan diferene meodología de conrol uilizando divero méodo de inonización como: regla de ajue, ieraivo, de redicción y eimación de eado, ara el dieño de lo conroladore del io PID. Lo méodo de conrol analizado on imulado mediane la herramiena SimuLink del Sofware MaLab 8. ara obervar y evaluar la diferene reuea de lo conroladore inonizado. Se confronan la reuea y e dicamina cuale méodo de inonización on lo má favorable ara que en la rácica uedan er uado. La caraceríica omada en cuena ara la realización del análii comaraivo de la diferene reuea on: M máximo obreimulo, d iemo de ubida, r iemo de reardo, iemo ico y iemo de eablecimieno. Eo arámero de análii no dan una idea má acerada obre la evaluación ara cada méodo. E imorane eñalar que el fin de la inonización de un conrolador, e que la reuea de lazo cerrado con la acción de conrol inegrada, ea eficiene al reonder cai inmediaamene a la eñale de enrada, que no enga ocilacione y que lo obreimulo no ean exceivo ya que, en la rácica, eo odría dañar al roceo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

7 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS. En el Caíulo I e reenan alguno ejemlo de roceo con reardo de iemo, aí como una reeña hiórica de lo conrole de lo roceo. En el Caíulo II e reenan lo ema relacionado al modelado de lo roceo. En rimer lugar e muera la rereenación maemáica del reardo de iemo. Poeriormene, e roorciona la aroximación de Padé ara el reardo, mimo que e uilizada en alguno méodo de inonización. Finalmene, e reena el modelo de la lana de rimer orden eable con reardo de iemo. El Caíulo III reena re méodo de regla de ajue. En el Caíulo IV e reena el méodo de inonización or el lugar geomérico de la raíce, en donde e uilizada la aroximación de Padé de egundo orden ara oder rabajar con una función de raferencia racional ara el dieño. El Caíulo V reena el méodo de redicción or Smih rooniendo uilizar un conrolador PI en dicha erucura. También e reena una de la mucha modificacione del redicor de Smih rouea or Xiang-Lu, la cual eá eecializada ara roceo ineable. Sin embargo, dicha erucura e uede alicar a la lana eable rouea. En el Caíulo VI e roorciona el méodo de eimación de eado, el cual e rabaja con la aroximación de Padé ara el érmino de reardo, eo con la finalidad de obener una función de ranferencia racional. Finalmene, baado en la eimación de eado, e inegra un conrol PI. En el Caíulo VII e reenan alguna imulacione de lo diino méodo reenado en ee rabajo y e realiza un análii de lo reulado. Finalmene e reenan alguna concluione, la ereciva del rabajo realizado, aí como la bibliografía conulada ara ee rabajo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

8 ÍNDICE GENERAL AGRADECIMIENTOS... DEFINICIÓN DEL PROBLEMA JUSTIFICACIÓN... 4 OBJETIVO GENERAL... 5 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS ÍNDICE GENERAL... 7 ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE TABLAS... CAPÍTULO I RETARDOS DE TIEMPO EN LOS PROCESOS INDUSTRIALES..... INTRODUCCIÓN..... VISUALIZACIÓN DE LOS RETARDOS DE TIEMPO MOLINO RODANTE FRÍO SISTEMA TÉRMICO SISTEMA HIDRÁULICO SISTEMA DE CONTROL DE VELOCIDAD SISTEMA CATALIZADOR CONTROL DE UNA NAVE ESPACIAL OTROS SISTEMAS CON RETARDO DE TIEMPO LOS CONTROLADORES UN REPASO A LA HISTORIA DE LOS CONTROLADORES CAPÍTULO II DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES..... INTRODUCCIÓN..... MODELADO DE LOS SITEMAS SISTEMA DE LAZO CERRADO PROCESO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS RETARDO DE TIEMPO APROXIMACIÓN DEL RETARDO DE TIEMPO ACCIÓN DE CONTROL PID CAPÍTULO III MÉTODOS HEURÍSTICOS DE SINTONIZACIÓN INTRODUCCIÓN RESPUESTA AL ESCALÓN A LAZO ABIERTO DE LA PLANTA PROPUESTA MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS MÉTODO DE CHIEN, HRONES Y RESWICK SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE CHIEN HRONES Y RESWICK SIMULACIÓN DEL MÉTODO II DE CHIEN HRONES Y RESWICK MÉTODO DE COHEN Y COON SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE COHEN Y COON ANÁLISIS DE RESPUESTAS DE LOS METODOS DE REGLAS DE AJUSTE CAPÍTULO IV MÉTODO ITERATIVO DE SINTONIZACIÓN INTRODUCCIÓN MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CAPÍTULO V. MÉTODOS DE PREDICCIÓN INTRODUCCIÓN PREDICTOR DE SMITH ESQUEMA PROPUESTO SIMULACIÓN DEL MÉTODO DEL PREDICTOR DE SMITH MÉTODO DE XIANG-LU ESQUEMA PROPUESTO Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

9 5.3.. DISEÑO DEL CONTROLADOR PROCESOS INTEGRAL CON RETARDO DE TIEMPO (IPDT) PROCESOS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO (FOPDT) SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE XIANG LU CAPÍTULO VI. MÉTODO DE ESTIMACIÓN DE ESTADOS INTRODUCCIÓN REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE DISEÑO DE ESTIMADOR CAPÍTULO VII. ANÁLISIS DE RESULTADOS INTRODUCCIÓN COMPARACIÓN DE RESULTADOS REGLAS DE AJUSTE COMPARACIÓN DE RESULTADOS MÉTODO ITERATIVO COMPARACIÓN DE RESULTADOS MÉTODO DIAGRAMAS DE PREDICCIÓN.... CONCLUSIONES REFERENCIAS Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8

10 ÍNDICE DE FIGURAS. Figura. Molino Rodane Frío 3 Figura. Siema Térmico. 3 Figura.3 Siema Hidráulico. 4 Figura.4 Siema de Conrol de Velocidad. 5 Figura.5 Siema Caalizador. 6 Figura.6 Conrol de una Nave Eacial. 6 Figura. Reuea al ecalón de lazo Abiero. Figura. Diagrama funcional de un iema de realimenación imle. 4 Figura.3 Reuea al ecalón uniario y ( ) / de lazo abiero de la lana. 5 Figura.4 Diagrama del conrolador PID con eñale. 8 Figura.5 Conrol PID de una lana. 3 Figura 3. Curva de Reacción del Proceo. 3 Figura 3. Puno de inflexión de la línea angene. 3 Figura 3.3 Trazado de la línea angene en el uno de inflexión. 34 Figura 3.4 Equema de conrol ara imulación. 37 Figura 3.5 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Ziegler y Nichol. 37 Figura 3.6 Reuea a ecalón de méodo de Chien, Hrone y Rewick. 4 Figura 3.7 Reuea a ecalón de méodo de Chien, Hrone y Rewick. 43 Figura 3.8 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Cohen y Coon. 47 Figura 4. Siema a lazo cerrado. 5 Figura 4. Diagrama que muera la medición de lo ángulo de lo olo y cero en lazo abiero ara el olo dominane. 53 Figura 4.3 Diagrama que muera la medición de lo ángulo de lo olo y cero en lazo abiero con la adición del olo y lo do cero del PID con reeco al olo dominane. 55 Figura 4.4 Ubicación de la Raíce del Siema Comenado con una Aroximación de Padé de rimer Orden. 57 Figura 4.5 Ubicación de la Raíce del Siema Comenado con una Aroximación de Padé de Orden. 59 Figura 4.6 Reuea de la Plana Prouea y la Plana con Aroximación de Padé de n. 6 Figura 4.7 Ubicación de la Raíce en el Plano. 6 Figura 4.8 Lugar Geomérico de la Raíce del iema comenado. 63 Figura 4.9 Reuea al ecalón de la lana con lazo abiero y con el conrolador PID. 64 Figura 4. Diagrama de roceo conrolado. 65 Figura 5. Diagrama a bloque del roceo con reardo de iemo y la acción de conrol en erie. 67 Figura 5. Diagrama morando la idea de Smih. 67 Figura 5.3 Diagrama ideal eóricamene ero no alicable de Smih. 68 Figura 5.4 Equema del redicor de Smih. 68 Figura 5.5 Lugar Geomérico de la Raíce de la lana 7 Figura 5.6 Equema de redicción con lo valore de la lana rouea y conrolador inonizado. 7 Figura 5.7 Reuea de la lana rouea v diagrama de redicción. 7 Figura 5.8 Equema roueo or Xiang-Lu. 73 Figura 5.9 Equema de redicor roueo or Xiang-Lu 8 Figura 5. Erucura del redicor roueo or Xiang-Lu con ganancia en lo conroladore. 8 Figura 5. Reuea de la lana rouea v diagrama de redicción de Xiang-Lu. 8 Figura 6. El Eimador analógico del roceo con reardo de iemo. 85 Figura 6. Diagrama a bloque ara n -ar y ara n -imar. 88 Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

11 Figura 6.3 Equema de conrol con un redicor ainóico coninuo. 88 Figura 6.4 Diagrama a bloque de un iema y obervador de eado. 9 Figura 6.5 El redicor roueo de iemo coninuo. 9 Figura 6.6 Diagrama a bloque del eimador roueo del iema y la aroximación del reardo. 96 Figura 6.7 Reuea de Error de Eimación. 97 Figura 6.8 Reuea de la lana rouea v equema de eimación. 98 ÍNDICE DE TABLAS Tabla. Tabla de io de roceo, función de ranferencia y reuea al ecalón. 3 Tabla. Tabla de io de roceo, función de ranferencia y reuea al ecalón. 7 Tabla 3.. Regla de inonía de Ziegler y Nichol uea ecalón de la lana. 35 Tabla 3.. Regla de inonía de Ziegler y Nichol baada en la reuea ecalón de la lana. 36 Tabla 3.3. Reuea ranioria de la Regla alicada de inonización de Ziegler y Nichol. 38 Tabla 3.4 Lo arámero ara el conrolador or Chien, Hrone y Rewick 39 Tabla 3.5 Lo arámero ara el conrolador or el méodo de Chien, Hrone y Rewick. 4 Tabla 3.6. Reuea ranioria del méodo de Chien, Hrone y Rewick. 4 Tabla 3.7 Parámero ara el conrolador or el méodo de Chien, Hrone y Rewick. 4 Tabla 3.8. Reuea ranioria del méodo de Chien, Hrone y Rewick. 44 Tabla 3.9 Parámero del conrolador or el méodo de Cohen y Coon. 45 Tabla 3. Parámero del conrolador or el méodo de Cohen y Coon. 46 Tabla 3.. Reuea ranioria de la Regla alicada de inonización de Cohen y Coon. 48 Tabla 4.. Ordene de aroximacione de Padé. 56 Tabla 4.. Reuea ranioria Lugar Geomérico de la Raíce. 64 Tabla 5.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Smih. 7 Tabla 5.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Xiang-Lu. 83 Tabla 6.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Smih. 99 Tabla 7. Reuea Méodo I de Sinonización or Regla de Ajue. Tabla 7. Reuea Méodo II de Sinonización or Regla de Ajue. 3 Tabla 7.3 Reuea Méodo III de Sinonización or Regla de Ajue. 4 Tabla 7.4 Reuea Méodo IV de Sinonización or Regla de Ajue. 5 Tabla 7.5 Reuea Méodo V Lugar Geomérico de Sinonización. 9 Tabla 7.6 Reuea Méodo VI Diagrama de Predicción. Tabla 7.7 Reuea Méodo VII Diagrama de Predicción. Tabla 7.8 Reuea Méodo VIII Diagrama de Predicción. 3 Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

12 CAPÍTULO I RETARDOS DE TIEMPO EN LOS PROCESOS INDUSTRIALES.. INTRODUCCIÓN. Denro de oda la gama de roceo, exien eecialmene lo que on diinguido como roceo con reardo de iemo o iemo muero. Lo iema con reardo de iemo on aquello iema en lo cuale exien iemo muero enre la alicación de la enrada o conrol del iema y u efeco reulane en el mimo. En ora alabra, el reardo de iemo e el lao que rancurre dede el inane en que e roduce un cambio de una variable de enrada al roceo haa el inane en que el efeco de dicha variación comienza a obervare en la variable de alida. Enre lo iema má obervado odemo enconrar a lo iema induriale, ya ean: químico, mecánico y biológico. En ee Caíulo e reenan alguno ejemlo de iema con reardo, una breve reeña hiórica obre el conrol de roceo y finalmene e roorciona la juificación de ee rabajo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

13 . VISUALIZACIÓN DE LOS RETARDOS DE TIEMPO. Lo reardo de iemo e roducen a caua de una eñal de enrada, en la cual, deué de un ciero iemo rancurrido comienza a obervare u reuea. Ee fenómeno cai iemre involucra el ranore de maerial y/o energía. Nooro odemo obervar el iemo muero en diino roceo y la mayoría e encuenran en una gran variedad de ervomecanimo y conrole. Por ea razón, eo iema ienen funcione de ranferencia que incluyen reardo de iemo. A coninuación e reenan alguno ejemlo de roceo induriale que incluyen en u dinámica un reardo de iemo... MOLINO RODANTE FRÍO. Uno de lo iema con iemo muero e el molino rodane frío [] morado en la Figura.. Ee iema conie en monar una laca de acero de 8 milímero de eeor y aarla or 5 rodillo ara que éa enga al final un eeor de 9 milímero. Podemo decir que el rimer rodillo fue dieñado ara alanar la variacione o la imerfeccione en el eeor de la hoja enrane. Poeriormene, ara calibrar el eeor de la hoja, éa e aada or una radiografía, de la cual, u eñal e mandada al conrolador y, oeriormene, ee úlimo ajua la reión de lo rodillo. El eacio que e encuenra enre lo rodillo y lo enore (lo cuale miden u efeco en lo cambio de reión) e de 6 ie. Eo rereena un reardo de iemo de enre. 5 egundo y 5 egundo, deendiendo de la velocidad de la hoja de acero. El rimer rodillo e conidera rincialmene como un regulador y no como un conrol fino. Podemo obervar en la Figura., que la hoja de acero coninúa a ravé de cuaro rodillo haa que llega al úlimo rodillo. Deué de aar or ée, ora radiografía mide el eeor final, en el cual el conrol e má fino ya que i el eeor e muy grueo lo rodillo acúan aumenando la enión enre ello. De la mima forma, la diancia enre el conrolador y el enor e ambién de 6 ie, eniendo un reardo de iemo equivalene a. 5 y. 5 egundo, deendiendo la velocidad de la hoja de acero. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

14 Figura. Molino Rodane Frío.. SISTEMA TÉRMICO. Ee iema conie en hacer circular aire caliene, con un venilador hacia una habiación, y aí manenerla a una emeraura conane. Aquí el reardo de iemo que e oberva e cauado or la longiud que e encuenra enre el horno y la habiación []. La lecura de la emeraura en la habiación e omada or un ermómero que funciona como enor, la eñal e llevada hacia el conrolador y ée acciona el acuador, el cual e una llave de ao ara regular la canidad de combuible que alimena el horno, como e muera en la Figura.. Figura. Siema Térmico. En general lo reardo de iemo e reenan en odo lo iema érmico, ya ean ara lo roceo de deilación u oro de igual nauraleza [7]. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

15 ..3 SISTEMA HIDRÁULICO. En un iema hidráulico el objeivo e llenar un conenedor a un nivel como e oberva en la Figura.3. El conenedor eá a un nivel h y e debe manener conane a ee nivel a ravé de un floador, el cual acúa como un enor mandando la eñal al conrolador y aí accionando la válvula []. El reardo de iemo e oberva en la diancia d que e encuenra enre la válvula y el deóio del líquido, omando en cuena que, i el iema iene una diancia relaivamene cora, el reardo de iemo erá cai imerceible o muy equeño ara obervarlo, cao conrario que i euviee a una diancia coniderable. Figura.3 Siema Hidráulico...4 SISTEMA DE CONTROL DE VELOCIDAD. Uno de lo rimero iema de conrol fue el creado or Jame Wa en el iglo diecinueve. Ee rudimenario iema conie en un ar de efera que roan gracia al moor, lo cuale e encuenran conecada a una válvula de vaor que alimena al mimo moor; de ea forma e uede decir que cierra el lazo del iema, ueo que éa acuará como regulador de velocidad del moor. La efera giran a deerminada velocidad y i éa llegaen a girar con mayor raidez, or u nauraleza, la fuerza cenrífuga la elevaría auomáicamene, accionando la válvula de conrol del moor, ocaionando que el moor enga menor alimenación de vaor y, or coniguiene, bajaría u velocidad raando de manenere a una velocidad conane (deendiendo de la calibración del iema de conrol), como e muera en la Figura.4. El reardo de iemo e uede obervar cuando incremena o decremena u velocidad, debido a la inercia del mimo iema []. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

16 Figura.4 Siema de Conrol de Velocidad...5 SISTEMA CATALIZADOR. Lo reado de iemo on vio comúnmene en lo roceo químicoinduriale, como e el cao de la refinería. El iema caalizador irve ara roducir gaolina a arir del eróleo []. La roorción de eróleo e conrola or el conrolador de flujo, el cual hace ambién el inercambio de calor. Ée e eguido or un horno que e regulado or un conrolador de emeraura de la alida del eróleo (e en ea are del roceo en donde odemo obervar el reardo de iemo). El eróleo enra deué de habere mezclado con el caalizador or el regenerador, al fondo del reacor. Lo roduco del reacor aan a do orre de earación de lo que e obienen la gaolina, aceie eado y oro obrane; eo uede er vio en la Figura.5. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

17 Figura.5 Siema Caalizador...6 CONTROL DE UNA NAVE ESPACIAL. Lo reardo de iemo incluo e reenan ambién en la ranmiione de eñale de conrol y de comunicación de la nave o vehículo eaciale, ya ean ranbordadore, aélie, eacione, ecéera []. Eo e debido a la gran diancia que uede haber enre ella, ya que la velocidad de ranmiión de la onda elecromagnéica en el eacio libre e de 3, Km, ee reardo eria uficienemene coniderable ara ener efeco en la dinámica del iema. Tomando como ejemlo, una nave eacial que viaja a la luna, la eñale de conrol ranmiida de la ierra udiera omar ano como un egundo ara alcanzar a la nave ver Figura.6. Figura.6 Conrol de una Nave Eacial...7 OTROS SISTEMAS CON RETARDO DE TIEMPO. Exien innumerable iema con reardo de iemo, lo cuale no olamene e encuenran en iema mecánico, de ingeniería y químico, ino ambién en iema biológico. Tale iema on generalmene mucho má comlejo y difícile de modelar. Un arículo elaborado or Paul Ra Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

18 (976) habla reciamene del ael del reardo de iemo en iema biológico aorando alguna referencia. En ee enido, lo reardo de iemo reulan relevane, or ejemlo, en el eudio de la eidemia como el aramión, en donde arículo como lo de Yorke (97) y Maynard Smih (974) hablan de lo efeco de la demora en iema biológico dede un uno de via elemenal. Oro cao en donde e manifiean lo reardo de iemo e en lo iema olíico y económico, en donde e ha inenado alicar la eoría de conrol. La referencia ara eo iema e ueden enconrar en lo rabajo de Baeman (945) y Tuin (953), aunque má recienemene en la inveigacione de Howarh (973) y Park (97)..3 LOS CONTROLADORES. Generalmene lo conroladore on reviamene calculado y anexado a una lana o iema ara regular u acción en lazo cerrado; eo ermie que la lana acué auomáicamene y, en ocaione, ale conroladore dan como reulado reuea ráida de alida, rechazo a erurbacione y eguimieno de referencia. En el inicio de la década de lo 3, la mayoría lo conroladore de roceo uilizado eran del io roorcional P. En el rancuro de vario año e dearrollaron lo conroladore que comúnmene e le conoce como PI (Proorcional- Inegral). A finale de la década de lo 3, e dearrolló el conrolador que má auge ha enido dede enonce, el cual e le conoce como PID (Proorcional-Inegral- Derivaivo). El conrolador PID e la forma má común de realimenación. Lo érmino del PID regulan el error acual de conrol P, errore aado de conrol I y redice el error que el iema ueda ener en el fuuro D. Nóee que acualmene el conrol PID no ha dejado de er uilizado, eo debido a u fácil maniulación y la bondade que iene ara lo diino roceo que exien, aegurando que ee io de conrolador endrá odavía baane uo en la induria, incluyendo lo iema con reardo de iemo. El conrolador e un elemeno crucial ara el conrol de iema, ya que in la ayuda de ée no e odría hacer oible la auomaización. De la mima forma, lo roceo con reardo de iemo neceian de conroladore ara obener una auomaización, aegurando la eabilidad y que la reuea aifagan la eecificacione de dieño. Sin embargo, el dieño de lo conroladore ara iema con reardo de iemo no uede er calculado direcamene con análii de conrol cláico. Debemo noar que ara lo roceo de ee io e ienen diino méodo Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

19 de inonización, enre lo que e encuenran: méodo analíico, regla de ajue y dieño de diagrama..3. UN REPASO A LA HISTORIA DE LOS CONTROLADORES. Como ya e había mencionado, lo reardo de iemo e reenan en mucho roceo, mimo que neceian er conrolado ara lograr u auomaización. Pariremo de uno de lo rimero conrole de roceo roueo or Jame Wa en el iglo XIX conrol de velocidad. Ée eronaje hizo un conrol rudimenario ara una máquina de vaor, oniendo un eo muero roaorio en la flecha de velocidad de la máquina y conecándola a una válvula de alimenación de la mima. Nóee que en ee iema e iene un reardo de iemo or la mima inercia del iema. Obérvee ambién que ee conrol de velocidad no reena ningún conrolador PID, ni mucho meno un méodo ara la inonización de la lana, y aunque ee conrolador e muy rudimenario, e muy ingenioo ya que no muera uno de lo rimero indicio del hombre or eudiar el conrol ara lo ano iema que exien. Tomado como referencia ee conrol de velocidad, e fueron dearrollando lo iema de conrol haa obener un conrol roorcional P, y aí iguieron dearrollándoe haa llegar al conrolador PID. Era neceario dearrollar méodo y écnica ara la inonización de dicho conroladore. En la éoca de la egunda guerra mundial, el dearrollo ecnológico fue imreionane ueo que era de uma imorancia el avance de la ecnología ara la deerminación de la fuerza en conflico de aquel enonce. En la década de lo 4 Ziegler y Nichol [4] reenaron un manifieo de regla de inonización de lo conroladore del io P, PI y PID. Ée méodo e encillo y eficaz ara hacer cálculo ráido ara la obención de lo arámero de un conrolador, ya ea P, PI o PID. Para oder uilizar ea regla, e neceario obener la reuea de la alida enre una enrada ecalón del roceo en lazo abiero. La reuea debe de er en forma de denominada curva de reacción del roceo; ea regla uiliza la eimación de lo arámero del modelo uando un méodo de angene en el uno de inflexión de la curva de reacción, definiendo lo arámero ara lo conroladore. Del méodo de inonización de Ziegler y Nichol, e han generado varia modificacione o méodo, enre lo cuale e ueden obervar lo rabajo de Cohen y Coon [4]; el méodo roueo or Chien, Hrone y Rewick [3], enre oro. Todo eo méodo e le conideran como méodo or regla de ajue o en lenguaje má coloquial méodo or aneo. Alguno auore han uilizado ea regla de Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8

20 inonización ara conrolar iema con reardo. En ee rabajo e analiza ee méodo ara el cao de un iema de rimer orden eable con reardo. De la mima manera exien lo e llaman méodo ieraivo, lo cuale ueden er alicado a lo iema con reardo de iemo. Lo méodo ieraivo on lo méodo analíico y gráfico ara ajuar un conrolador en el dominio del iemo o la frecuencia; de enre lo que e encuenran lo méodo de inonización or lugar geomérico de la raíce y lo de análii de reuea en frecuencia, reecivamene. Técnicamene eo méodo roorcionan una rimera aroximación de lo arámero deeable del conrolador y, aunque on mucho má exaco que la regla de ajue, reulando er má comlejo ara el cálculo de lo arámero de conrolador. En ee rabajo e analizará la inonización de lo conroladore del io PID or el lugar geomérico de la raíce. Cabe mencionar que ane de alicar dicho méodo e conidera una aroximación del érmino del reardo ara el dieño del conrolador. En el año de 957, O. J. Smih dearrolló un eudio de diagrama ara el conrol de lo roceo eable con reardo de iemo, el cual e llamado El Predicor de Smih []. Ee méodo conie en un equema que no ermie eliminar el érmino de reardo de la ecuación caraceríica en lazo cerrado. De ea manera, e oible dieñar un conrolador ara el iema libre de reardo. Ee diagrama e la una de lanza ara una nueva gama de méodo que e fueron dearrollando a lo largo de lo año ara lo roceo que neceiaban mayor robuez y ara roceo ineable con reardo de iemo de diino órdene. Uno de lo rabajo má reciene obre modificacione al redicor de Smih e el que dearrolló Xiang-Lu [3] en el año del 5. En ee rabajo e roone un diagrama y un méodo encillo ara lo cálculo de dicho diagrama. También e conidera el rechazo de erurbacione de io ecalón. Un méodo que uede er alicado a lo roceo que ienen reardo de iemo on lo Eimadore de Eado. Ée méodo conie en el modelado y conrol de iema baado en variable de eado. Ée méodo e muy imilar al del Predicor de Smih ya que e reende eimar una eñal inermedia enre la lana y el reardo de iemo. Para el dieño del eimador e conidera una aroximación de Padé [7] ara el érmino de reardo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

21 CAPÍTULO II DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES.. INTRODUCCIÓN. En el reene caíulo e revian la diferene reuea de lo roceo induriale en lazo abiero a una enrada a ecalón uniario y un modelo maemáico correondiene al io de reuea, la reuea ea dada en egundo. Para oder enender lo roceo con reardo de iemo, e neceario obervar la dinámica del reardo de iemo uro, morando cómo e la reuea al ecalón de alguno roceo que conengan el reardo. Ahora bien, ara oder rabajar con el reardo de iemo uro en forma de una función de ranferencia racional, e reena el méodo ara aroximar lo reardo roueo or Padé, ya que en alguno méodo de inonización no e oible rabajar con el reardo de iemo de forma que no ea rereenado como función de ranferencia. También e muera cómo e rereena el conrolador io PID, ya que e la acción que gobierna el iema cuando e cierra el lazo. Aunado a eo, e reenada la lana rouea en la cual recaen odo lo méodo de inonización. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

22 . MODELADO DE LOS SITEMAS. En el reene rabajo e conidera que el modelo del iema e conocido, como ya e había mencionado ane, e uiliza un iema de rimer orden eable con reardo de iemo ara el análii de lo conroladore. Sin embargo, en ea ección e roorciona una forma imle y encilla ara obener el modelo de un iema en cao de que ée no fuera conocido. Cuando el dieñador de conroladore no conoce el modelo de un iema, la dinámica de un roceo uede er deerminado a arir de la reuea del roceo a lo ulo, a lo ecalone, a la rama u ora eñale deerminada. La dinámica de un iema lineal e en rinciio, dada excecionalmene de la reuea ranioria. Éo requiere que el iema ee en reoo ane de que la enrada ea alicada y que no haya ningún error de medición. Sin embargo, en la rácica, e difícil aegurar que el iema no enga errore de medición, en conecuencia el méodo de la reuea ranioria eá limiado a la deerminación de modelo imle. Lo modelo obenido de un exerimeno raniorio on a menudo uficiene ara la inonización del conrolador PID. En la Figura. e reenan alguno ejemlo de reuea al ecalón de alguno iema a lazo abiero. Mucha roiedade del iema ueden er leída direcamene de la reuea al ecalón. En la Figura.A, la alida del roceo e cambiado a un nuevo valor eacionario. En la.b, la alida del roceo ocila alrededor de u valor eacionario final. Un cao donde ocurre éa iuación e en el conrol de concenración de fluido de recirculación. En dieño mecánico lo roceo ocilaorio on comune, or ejemlo en maeriale eláico. Lo iema en la Figura.A y B on eable, mienra que lo iema morado en la Figura.C y.d on ineable. El iema en la Figura.C indica la alida de un roceo inegrador. Lo ejemlo de roceo inegrale on: el conrol de nivel, el conrol de reión en un deóio cerrado, el conrol de concenración y el conrol de emeraura en cámara ailada. El facor común en odo eo roceo e que alguno io de almacenamieno ocurren enre ello. En el conrol de nivel, reión y almacenamieno ocurre una concenración de maa; mienra que en conrol de emeraura hay un almacenamieno de la energía. El iema en la Figura.E iene un iemo muero largo. El iemo muero ocurre cuando hay demora de ranore en el roceo. El iema en la Figura.F e un iema de fae no mínima, donde la eñal de medición inicialmene cambia con reeco a la dirección habiual. El nivele de agua en la caldera a menudo reacciona de ee modo deué de un cambio al ecalón en la circulación de agua de la alimenación. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

23 Si el iema e lineal, oda la reaccione del ecalón on roorcionale al amaño del ecalón en la eñal de enrada. E conveniene normalizar la reaccione dividiendo la eñal de medición or el amaño del ecalón de la eñal de conrol. La reuea al ecalón e una manera conveniene de caracerizar una dinámica de roceo debido a u inerreación fíica imle. Mucho méodo de inonización eán baado en ello. Ademá, ueden uilizare lo méodo generale ara el dieño de iema de conrol. Para la erurbacione equeña, el modelo del roceo eáico uede er decrio or un arámero llamado ganancia del roceo. Éa e ólo la roorción de lo cambio de eado de un roceo de enrada y de alida. La ganancia uede er obenida direcamene de una reuea al ecalón uniario. Para iema no lineale la ganancia del roceo deenderá de la condicione oeraiva. Para ale iema, un arámero decribe la roiedade eáica. Sin embargo, e requieren arámero adicionale ara caar la dinámica del iema. Lo roceo eable con una reuea al ecalón uniforme, como e muera en la Figura.A, on muy comune en la induria. Mucho méodo ara obener lo arámero de modelo de una reuea al ecalón han ido reenado en la lieraura con el ao de lo año []. Figura. Reuea al ecalón de lazo Abiero. Como e menciona, una forma de obener la función de ranferencia a ravé de la reuea ecalón. Ee análii e ua en circunancia en donde e difícil alicar la leye fíica que decriben al iema en forma meódica. Para llevara Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

24 acabo dicho rocedimieno, rimero e realiza un regiro exerimenal de la reuea ecalón del iema, e decir, e alica una enrada de io ecalón y luego e miden lo cambio rovocado en la eñal de alida en función del iemo. Para eo, e requiere ener a la mano un inrumeno de medición y una imreora conecada a la eñal de alida o bien una memoria ara almacenar lo dao obenido. Deué de eo, con ayuda de la Tabla. (or ejemlo), e idenifica la función de ranferencia que má e aroxima a la reuea obenida. La Tabla. muera la relación que exie enre la función de ranferencia y la reuea ecalón ara alguno iema comune en la ingeniería de conrol. Tio de roceo Función de ranferencia Reuea al ecalón Conane G( ) k Una conane de iemo k G( ) T k T Do conane de G( ) iemo ( )( T ) Inegración G( ) k Inegración y una G( ) conane de iemo ( T) k Proceo de egundo orden con obreimulo G ( ) a k b Tabla. Tabla de io de roceo, función de ranferencia y reuea al ecalón..3 SISTEMA DE LAZO CERRADO. Podemo omar en cuena cualquiera de lo iema mencionado en Caíulo I como ejemlo de iema de rimer orden con reardo. En la Figura. e muera Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

25 un diagrama a bloque de un lazo de conrol imle. Todo iema iene do comonene muy imorane, el roceo y el conrolador. Eo a u vez, on rereenado como bloque funcionale que denoan la relación enre la enrada y la alida. El roceo iene una enrada (la variable maniulada), ambién llamada enrada de conrol, la cual e denoa or u. La alida del roceo e llama variable del roceo (VP) y e denoa or y. E imorane mencionar que ea variable e mide con un enor. Por oro lado, el valor deeado de la variable del roceo e llama valor de referencia (Se-Poin) y e denoa or y. Se uede decir que el error de conrol e la diferencia enre el valor de referencia y la variable del roceo, eo e e y y. Nóee que el conrolador que e muera en la Figura. iene como enrada la eñal de error ( e ), oeriormene el conrolador y el roceo on conecado en un lazo cerrado de realimenación. El roóio del iema de conrol e llevar la variable del roceo cerca del valor deeado. Eo e conigue con el lazo de realimenación, el cual rabaja de la iguiene manera. Suoniendo que or alguna razón la variable del roceo e má grande que el valor de referencia, el error e enonce, negaivo y la alida del conrolador aumena. Ee io de realimenación e llamado la reacción negaiva, orque la variable maniulada e mueve en la dirección ouea a la variable del roceo. El conrolador iene alguno arámero que ueden er ajuado. El lazo de conrol funciona bien i lo arámero on calculado aroiadamene. El rocedimieno de enconrar lo arámero del conrolador e llamado inonización. Figura. Diagrama funcional de un iema de realimenación imle. Para oder ener una inonización adecuada, debemo llevar lo roceo a varia écnica. Una de ella e la écnica analíica, la cual conie en dearrollar un modelo maemáico del roceo y dieñar un conrol dinámico (o eáico), coniderando la caraceríica de dicho modelo maemáico con méodo analíico, or ejemlo el lugar geomérico de la raíce. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

26 Ora manera de inonizar la accione de conrol de lo roceo, e ecoger alguno arámero del conrolador, obervar el comoramieno del iema de realimenación, y modificar lo arámero haa que el comoramieno deeado ea obenido..4 PROCESO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS. Para ee rabajo e roone una lana de rimer orden con reardo de iemo eable, dada or: k G ( ) T 6.7 L 4.3 (.) Ea lana e el uno de referencia ara la confronación de lo diino méodo o écnica de inonización. Como e uede obervar, en la ecuación (.) e iene una lana con un reardo de iemo de L 4. 3 egundo y una conane de iemo de T 6. 7 egundo. Eo do arámero on imorane ya que on uilizado ara la diferene écnica de conrol que on uea a rueba. Figura.3 Reuea al ecalón uniario y ( ) / de lazo abiero de la lana. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

27 En la Figura.3 e muera la reuea al ecalón uniario de la lana y () dada or la ecuación (.). La lana o roceo e analizada con una erucura de lazo cerrado con lo conroladore P, PI y PID ara lo méodo de regla de ajue, ieraivo, redicción y eimación de eado. E imorane eñalar que la reene ei e baa en la reuea imulada or el ofware MATLAB SIMULINK..5 RETARDO DE TIEMPO. Lo reardo de iemo e reenan en vario roceo induriale, de ahí u imorancia ara u eudio y má ara u enendimieno maemáico. Si una eñal x () e alicada a un elemeno de reardo uro, el reulado de alida erá el defaamieno de ea eñal x (), L unidade de iemo. La eñal no ufrirá diorione, oda la frecuencia que e reenan en la eñal x () e aada in aenuación. La alida e decria or ( L) x donde L e el reardo de iemo. Dejando que x () ea cero ara lo valore de, aí que x( L) e cero ara lo valore de L. enemo: Ahora bien alicando la ranforma de Lalace, la eñal de alida mencionada, x L) ex( L) x( L ( L) d (.) T ex( L ) x( L) d (.3) ex( L) e x( ) d (.4) ex( L) X ( ) (.5) Donde ( ) Lx ( ) X, enonce, L L x( L) ex( TL) X ( ) ( X ) (.6) Donde L * e igual a la ranformada de Lalace *. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

28 La ecuación (.6) e rereenación del reardo uro de la variable comleja de. E imorane recordar que ee reulado e de ineré olo ara funcione x () que e cero ara o má generalmene ara L donde L e mayor o igual a. La relación enre la función de ranferencia y la reuea al ecalón ara alguno iema con reardo de iemo e mueran en la Tabla.. Tio de roceo Función de ranferencia Reuea al ecalón Una conane de iemo y un reardo k G( ) T L Inegración y reardo G( ) k L Tabla. Tabla de io de roceo, función de ranferencia y reuea al ecalón..5. APROXIMACIÓN DEL RETARDO DE TIEMPO. Para coniderar una aroximación del reardo, e uiliza la aroximación de Padé [7]. El rabajo original de Padé (Padé, H., 899) fue inicialmene relacionado con una exanión fraccionaria coninua ara la función exonencial. Exie una erecha relación enre la aroximación de Padé y alguna rama del análii numérico. La aroximación de Padé dione que la función exonencial eá dada como el radio de do olinomio y uede rereenare como N ( ) D ( ). El olinomio del numerador N n () y el olinomio del denominador () n n D n ienen el mimo orden. Exie una relación adicional ara dicho olinomio, eo e N ( ) D ( ), la cual e eencial ara reervar la roiedade de un filro aa ala y baja. La aroximación de Padé ara el érmino L eá dado or: n n N ( ) L n (.7) D ( ) n Donde n rereena el orden de la aroximación de Padé y la conane k oma lo valore de k,,,..., haa un quino orden e mueran a coninuación: n. La aroximacione de Padé dede un rimer orden Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

29 Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8 L L D N L ) ( ) ( (.8) 6 6 ) ( ) ( L L L L D N L (.9) ) ( ) ( L L L L L L D N L (.) ) ( ) ( L L L L L L L L D N L (.) ) ( ) ( L L L L L L L L L L D N L (.).6 ACCIÓN DE CONTROL PID. En ée aarado e muera el iema de lazo cerrado con un conrol PID y e decriben la caraceríica generale de dicho conrolador. La accione de conrol PID, dicho de forma coloquial, acúan de la iguiene manera: Proorcional, el cual conidera el error acual del conrol ; Inegral, conidera el error del aado ; y Derivaivo, conidera el error fuuro. Figura.4 Diagrama del conrolador PID con eñale. Un comenador o conrolador del io PID eá formado or la accione roorcional, inegral y derivaiva. De acuerdo a la erucura morada en la Figura

30 .4, la eñal m () e la acción del conrolador PID, la cual acúa obre la eñal de error e (), como e muera en la iguiene ecuación: K de( ) m( ) K e( ) e( ) d K Td (.3) T d i Alicando la ranformada de Lalace a la ecuación (.3), odemo obener la función de ranferencia del comenador PID dada or: G c M ( ) ) K E( ) T Ti d ( (.4) La conane K, T i y T d on lo arámero del conrolador, donde K e la ganancia roorcional, valore de ganancia grande en el facor T i e el iemo inegral, y K y /Ti creciene reduce la eabilidad [8]. T d e el iemo derivaivo. Lo /Ti reducen lo errore del iema, mienra La ecuación (.3) ambién e uede ecribir como: K K d K K i i Gc ( ) K K d (.5) Dónde: K =Ganancia roorcional K i = Ganancia inegral K d = Ganancia derivaiva En ee cao K, K y i K d on la ganancia del conrolador. Como uede noare en la ecuación (.5) la función de ranferencia del conrolador PID iene do cero y un olo, enonce al inroducir un comenador PID en cacada con la lana morada en la Figura.5, modifica la reuea del iema en lazo cerrado debido a la incluión de eo do cero y el olo. Con el conrol PID inonizado Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

31 adecuadamene, la caraceríica de la reuea de alida debe ener lo valore de la eecificacione de dieño. Figura.5 Conrol PID de una lana. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

32 CAPÍTULO III MÉTODOS HEURÍSTICOS DE SINTONIZACIÓN. 3. INTRODUCCIÓN. En ee caíulo e reena la reuea de alida ane una enrada de io ecalón ara la lana rouea. Ea reuea e uiliza oeriormene ara la alicación de la regla de ajue ciada en ee caíulo. En cada méodo de inonización e reenan reulado en imulación. Coniderando el modelo eable de rimer orden con reardo de iemo roueo, e oible alicar divera écnica de dieño con el fin de deerminar lo arámero del conrolador que cumla con la eecificacione; or ejemlo una reuea ráida o un obreimulo oco ignificaivo. Nóee que lo méodo heuríico fueron dieñado ara roceo que generan una curva de reacción a la alida en forma de (como muera la figura 3.). Sin embargo, en ee rabajo on alicado dicho méodo a la lana rouea, la cual cuena con un reardo de iemo. Lo méodo uilizado en ee caíulo ara la inonización de lo conroladore del io P, PI y PID on lo roueo or: Ziegler y Nichol, Chien, Hrone y Rewick, aí como el roueo or Cohen y Coon. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

33 La regla de ajue urgen en la década de lo 4 creada originalmene or Ziegler y Nichol ara conroladore de io P, PI y PID. Ea regla e baan en omar la reuea al ecalón en lazo abiero de la lana que e reenda inonizar, obervando que la alida de la reuea debe de er en forma de morada en la Figura 3., ea reuea e le denomina curva de reacción del roceo. Figura 3. Curva de reacción del roceo. Ea regla roone que en la alida de la reuea al ecalón del roceo e debe razar una línea angene en el uno de inflexión de la curva de reacción, obeniendo do arámero imorane ara el cálculo de lo valore de lo conroladore. Eo do uno on llamado reecivamene. Eo e ilura en la iguiene Figura 3.. L y a ara el eje x aí como el eje y, Figura 3. Puno de inflexión de la línea angene. 3.. RESPUESTA AL ESCALÓN A LAZO ABIERTO DE LA PLANTA PROPUESTA. Generalmene la regla de ajue on alicada a roceo que reenan la curva de reacción del roceo. Sin embargo ea ueden er alicada a lo roceo con reardo de iemo como e roone en rabajo. Eo uede realizare debido a la imiliud que iene la reuea de alida del iema con reardo de iemo reeco a la reuea en forma de. En ea ección e alica una enrada de io ecalón a la lana rouea ara obener lo arámero de inonización L y a. Una vez Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 3

34 obenido lo arámero de iema en la ección, e alican la regla de inonización mencionada aneriormene. Conidéree la lana rouea en ee rabajo, dada en el caíulo anerior y ecria nuevamene en la ecuación (3.). k G ( ) T 6.7 L 4.3 (3.) Para lo méodo de regla de ajue e neceario ener la reuea de lazo abiero de la lana rouea (ecuación 3.), en la cual debe razare la línea angene en el uno de inflexión en la alida del roceo como e muera en la Figura 3.3. De ea forma e obienen lo arámero neceario ara la inonización de lo conroladore roorcional, inegral y roorcional inegral derivaivo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 33

35 Figura 3.3 Trazado de la línea angene en el uno de inflexión. De la Figura 3.3 e obuvieron la iguiene conane: L 4. 3 y a Dicha conane e uilizan en lo méodo de la regla de ajue roorcionada aneriormene. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 34

36 3.3 MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS. Un méodo cláico ara deerminar lo arámero ( K, T i y T d ) de lo conroladore PID, fue reenado or Ziegler y Nichol [4] en el año de 94. Ee méodo odavía e amliamene alicado en la induria, coniuyendo la bae ara ajuar el roceo de conrol en una lana, ya que u reuea ueden er mejorada or ora écnica. El méodo eá baado en la deerminación de la caraceríica de la dinámica de roceo. Para calcular la ganancia del conrolador, como e muera en la Tabla 3., e uilizan lo arámero a y méodo a la lana rouea e uiuyen dicho arámero en la abla. L. Para alicar ée Tio de conrolador K T i T d P a PI.9 3 L a PID. L a Tabla 3.. Regla de inonía de Ziegler y Nichol uea ecalón de la lana. L De la formula obervada en la Tabla 3., la ganancia k, T i y T d e uiuyen en la función de ranferencia del PID ecuación (3.). K Gc ( ) K K Td (3.) T i Como e había mencionado aneriormene, el méodo de Ziegler y Nichol fue dieñado ara lo iema que ienen u reuea de alida a lazo abiero en forma de. Sin embargo, or la emejanza que reenan lo iema de rimer orden eable con reardo FOPDT (or u igla en ingle Fir Order Plu Time Delay) a ée io de reuea, al méodo uede er alicado a dicho iema, de igual manera uede er alicado a lo iema de una inegración eable con reardo de iemo IPDT (or u igla en ingle Inegraing Plu Time Delay). E or éa razón Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 35

37 que en ée rabajo e roone alicar el méodo de Ziegler y Nichol al iema de rimer orden eable con reardo de iemo SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS. Lo méodo de regla de ajue ara la inonización de lo conroladore baado en la curva de reacción del roceo en forma de, in duda, ueden er alicado ara roceo con reardo de iemo. Como e oberva, lo valore que e obienen de la reuea al ecalón Figura 3.3 del roceo, e uiuyen en la Tabla 3., la cual muera lo valore de la conane ara la accione de conrol. Tio de conrolador K T i T d P. 8 PI PID Tabla 3.. Regla de inonía de Ziegler y Nichol baada en la reuea ecalón de la lana. Aí, enemo lo valore de la conane obervada en la Tabla 3., la cuale, e uiuyen en la ecuación (3.). Lo conroladore P, PI y PID eán dado or la ecuacione (3.3), (3.4) y (3.5), reecivamene: P Gc ( ).8 (3.3) PI.589 Gc ( ).5 (3.4).374 PID Gc ( ) (3.5) Una vez calculada la ganancia del conrolador, e uiliza el equema de conrol morado en la Figura 3.4. Dicho iema e imula en el ofware SIMULINK ara obervar el comoramieno de la eñal de alida en el lazo cerrado. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 36

38 Figura 3.4 Equema de conrol ara imulación. La eñal de alida e muera en la Figura 3.5. Figura 3.5 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Ziegler y Nichol. La Figura 3.5 muera la reuea de alida de la lana, coniderando una enrada ecalón uniario y la re accione de conrol dada or la ecuacione (3.3), (3.4) y (3.5) ara obervar cual uede er la mejor oción ara obener una reuea de alida adecuada, en donde ( ) y y ( ) y ( ) alida cuando e conideran lo conrole P, PI y PID reecivamene. y rereenan la eñal de 3 Para el análii comaraivo de lo conroladore uilizado e conideran lo iguiene arámero de la reuea de alida e, M, d, r, y. Lo valore de lo iguiene arámero: e Error en el eado eacionario, M Máximo obreimulo, d Tiemo de reardo, r Tiemo de ubida, Tiemo ico, Tiemo de eablecimieno y N / A (ignifica No Alica), obenido de la Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 37

39 imulacione de lo conrole P ( ) 3.3. y, PI y ( ) y PID ( ) y e mueran en la Tabla 3 Señal e M d r y ( ) 3 % 7.5% N / A N / A N / A N / A y ( ) N / A 4 % y ( ) N / A 6 % Tabla 3.3. Reuea ranioria de la regla alicada de inonización de Ziegler y Nichol. De la Tabla 3.3 odemo obervar que la reuea y ( ) (cuando e conidera un conrol roorcional) no alcanza la referencia, or lo que exie un error en eado eacionario e, eo e debido a que el iema e de io. El error en el eado eacionario e del 3 %. Para eliminar ee error e neceario aumenar el io de iema. La adición de un elemeno inegral elimina dicho error. La reuea del iema de lazo cerrado, cuando e conidera un conrol con una ganancia roorcional, reena un máximo obreimulo M del 7.5%. Eo muera que la rimera acción de conrol P ara la regla de ajue, no roorciona una reuea de alida eable; in embargo, el M e exceivo. La eñal ( ) y en la Tabla 3.3 rereena la reuea del iema uilizando un conrolador (PI). De la abla 3.3 e oible ver que el conrolador PI ermie al iema eliminar el error en el eado eacionario e, llegando iemre a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 3.5 donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea alcanza un máximo obreimulo M del % 4, el cual, ambién reula exceiva ara fine rácico; y or úlimo obervamo un iemo de eablecimieno de 4 egundo. Eo indica que la reuea de alida fue mejorada con reeco al eguimieno de referencia, ero e conveniene mencionar que el obreimulo obenido con el conrol PI e un facor que uede dañar al iema en un cao rácico. La eñal y ( ) rereena al PID obervando que en ea reuea de alida 3 e ineabiliza con lo arámero calculado or ée méodo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 38

40 3.4 MÉTODO DE CHIEN, HRONES Y RESWICK. Han ido mucha la rouea hecha ara mejorar el méodo de inonización de Ziegler y Nichol (ZN). Enre ello e encuenran lo de Chien, Hrone y Rewick (CHR) [3], quiene rouieron obener una reuea con % de obreimulo o una "reuea má ráida con % de obreimulo" como crierio de dieño, a lo que on llamado méodo y méodo, reecivamene. De ea forma, al inonizar el conrolador de acuerdo con el méodo de CHR, lo arámero a y L del modelo de roceo (lazo abiero) e deerminado del mimo modo que ara el méodo de Ziegler y Nichol. Lo arámero del conrolador on dado como funcione de eo do arámero, de manera imilar a la Tabla rouea or (ZN). La forma de calcular lo arámero del conrol con la rouea (CHR) e reena en la Tabla 3.4. Méodo Conrolador k T i P PI PID.3 a.6 a.95 a T d k T i.7 a.7 4 L a..4l.4l a Tabla 3.4 Lo arámero ara el conrolador roueo or Chien, Hrone y Rewick. T d.3l.4l L Ee méodo e reena como una mejora al Méodo de Ziegler Nichol, ueo que aora do alernaiva de inonización ara el conrol de un roceo. Báicamene el méodo (crierio del % de obreimulo) indica que endrá un mínimo de ocilacione y una reuea ráida en comaración con el méodo vio aneriormene (ZN). En el cao del méodo II (crierio del %), dará una reuea má ráida ero con la devenaja de que el obreimulo uede alcanzar el %. De igual forma ee méodo e uede alicar a lo roceo de rimer orden con reardo de iemo. A coninuación e alica la inonización el méodo de (CHR) ara la lana rouea. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 39

41 3.4. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE CHIEN HRONES Y RESWICK Uilizando lo valore que e obuvieron de la reuea al ecalón en la Figura 3.3 del roceo, e obienen lo arámero de lo conroladore coniderando dicho méodo. Eo e muera en la Tabla 3.5 Méodo Conrolador k T i P.6849 PI PID Tabla 3.5 Parámero ara el conrolador or el méodo de Chien, Hrone y Rewik. T d P Gc ( ).6849 (3.6) PI.796 Gc ( ).3699 (3.7). PID Gc ( ) (3.8) Figura 3.6 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Chien, Hrone y Rewick. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

42 En la Figura 3.6 odemo obervar la reuea de alida de ée méodo, uilizando lo conrole P eñal ( ) y, PI eñal y ( ) y PID eñal ( ) or la ecuacione (3.6), (3.7) y (3.8), reecivamene. y inonizado 3 De la mima forma que la imulación del méodo de (ZN), e uiliza, ara el análii comaraivo de lo conroladore, lo iguiene arámero de la reuea de alida e, M, d, r,, y N / A morado en la Tabla 3.6. Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. r : Tiemo de Crecimieno de (%) : Tiemo Pico : Tiemo de Eablecimieno (5%). N / A No alica Señal e M d r y ( ) 6 % N/A N / A N / A N / A N / A y ( ) N / A N/A 7. N/A y ( ) N / A 6.3% Tabla 3.6. Reuea ranioria del méodo de Chien, Hrone y Rewick. De la Tabla 3.6 e uede obervar que la reuea y ( ) (cuando e conidera un conrol roorcional), al igual que en el méodo de (ZN), no alcanza la referencia, or lo que exie un error en eado eacionario e del 6 %. Eo muera que la rimera acción de conrol P ara el rimer méodo de (CHR), roorciona una reuea de alida eable; in embargo, al igual que el conrol roorcional de (ZN), Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

43 ée no logra alcanzar la referencia. La eñal y ( ) en la Tabla 3.6 rereena la reuea del iema uilizando un conrolador PI. De la abla 3.6 e oible ver que el conrolador PI ermie al iema eliminar el error en el eado eacionario e, llegando iemre a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 3.6, donde el valor final de la eñal y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea no logra alcanza un máximo obreimulo M, no obane, e logra viualizar una equeña ocilación que ara cao rácico no rereena alguna afecación hacia la lana, y e obervado un iemo de eablecimieno de egundo. Eo indica que la reuea de alida fue mejorada con reeco al eguimieno de referencia, ero e conveniene mencionar que el iemo de eablecimieno e ma leno al alcanzar la referencia que en el méodo de (ZN) ara el conrol PI. La eñal y ( ) rereena al PID, conaando que éa reuea de alida, a diferencia del PID del méodo de (ZN), no e ineabiliza, la eñal alcanza la referencia eniendo un máximo obreimulo M de 6.3%, en donde el iemo de eablecimieno e de egundo, lo que indica que ée conrolador uede er facible ara el conrol auomáico de la lana rouea SIMULACIÓN DEL MÉTODO II DE CHIEN HRONES Y RESWICK. Chien, Hrone y Rewick rouieron variane de u méodo. La egunda variane conie en hacer má ráida la reuea del lazo cerrado, ero eniendo un obreimulo má alo. Uilizando lo arámero que reviamene fueron obenido ( a y L ) ara la lana rouea, e iene como reulado lo dao de la Tabla 3.7. Méodo Conrolador k T i P.598 PI PID Tabla 3.7 Parámero ara el conrolador or el méodo Chien, Hrone y Rewik.. T d Donde e obienen lo arámero ara lo conrole P, PI y PID. De ea manera, la ganancia de lo conroladore eán dada or: P Gc ( ).598 (3.9) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 4

44 PI.66 Gc ( ).598 (3.).386 PID Gc ( ) (3.) Figura 3.7 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Chien, Hrone y Rewick.. En la Figura 3.7 odemo obervar la reuea de alida del egundo méodo de (CHR), uilizando lo conrole P eñal ( ) y ( ) 3 y, PI eñal ( ), inonizado or la ecuacione (3.9), (3.) y (3.), reecivamene. y y PID eñal De la mima forma que la imulacione de lo méodo aneriore, e uiliza ara el análii comaraivo de lo conroladore lo iguiene arámero de la reuea de alida e, M, d, r,, y N / A morado en la Tabla 3.8. Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 43

45 r : Tiemo de Crecimieno de (%) : Tiemo Pico : Tiemo de Eablecimieno (5%). N / A No alica Señal e M d r y ( ) 38 % N/A N / A N / A N / A N / A y ( ) N / A 5 % y ( ) N / A 58.7% Tabla 3.8. Reuea ranioria del méodo de Chien, Hrone y Rewick. De la Tabla 3.8 odemo obervar que la reuea y ( ) (que e conidera un conrol roorcional) no alcanza la referencia, or lo que exie nuevamene un error en eado eacionario e. El error en el eado eacionario e del 38 %. La eñal y ( ) en la Tabla 3.8 rereena la reuea del iema uilizando un conrolador (PI). De la abla 3.8 e oible ver que el conrolador (PI) elimina el error en el eado eacionario e llegando a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 3.7 donde el valor final de la eñal y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea alcanza un máximo obreimulo M del % 5 el cual reula no an exceivo ara fine rácico y or úlimo e oberva un iemo de eablecimieno de 6.87 egundo. Eo indica que la reuea de alida mejora, con reeco a la reuea de alida del conrolador PI del méodo de (ZN) y al conrolador PID del rimer méodo de (CHR). La eñal y ( ) rereena al PID, conaando que en ea 3 reuea de alida, al igual que el conrolador PID del méodo de (ZN), e ineabiliza con lo arámero calculado or ée méodo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 44

46 3.5 MÉTODO DE COHEN Y COON. cao e iene: El méodo de Cohen y Coon [4] eá baado en el modelo del roceo, en ee G k T 6.7 L 4.3 (3.) arámero ( El méodo de inonización eá baado en la caracerización de lo re k, L y T ). De ea manera, ée méodo ugiere dar fórmula ara obener lo arámero del conrolador. Tale fórmula fueron obenida or Cohen y Coon (CC) baándoe en cálculo analíico y numérico. Lo reulado de ée méodo ueden obervare en la Tabla 3.9 donde e uilizan lo arámero: a k L T c (3.3) L L T (3.4) Conrolador k T i P PI PID T d.35 a c.9 a c.35.8 a c L..5 L.39 Tabla 3.9 Parámero del conrolador or el méodo de Cohen y Coon L SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE COHEN Y COON. A coninuación e alicara el méodo a la lana rouea ecuación (3.). Lo valore de lo arámero on: k, L 4. 3 y T 6. 7 en la ecuacione (3.5) y (3.6), obeniendo:. Eo valore e uiuyen a k L T 6.7 c (3.5) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 45

47 L (3.6) L T Lo valore obenido a c y on uiuido en la Tabla 3.9 ara obener lo arámero de lo conroladore. Un reume de eo e reena en la Tabla 3.. Conrolador k T i P.98 PI PID Tabla 3. Parámero del conrolador or el méodo de Cohen y Coon. T d Lo conrole obenido or ée méodo on: P Gc ( ).98 (3.7) PI.365 Gc ( ).478 (3.8).69 PID Gc ( ) (3.9) Se realiza una imulación del iema en lazo cerrado como referencia a una enrada de io ecalón uniario como e muera en la Figura 3.8. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 46

48 Figura 3.8 Reuea a ecalón de méodo de inonización de Cohen y Coon. En la Figura 3.8 e uede obervar la reuea de alida del egundo méodo de (CC), uilizando lo conrole P eñal ( ) y ( ) 3 y, PI eñal ( ) y y PID eñal, inonizado or la ecuacione (3.7), (3.8) y (3.9), reecivamene. La caraceríica de la reuea de alida via en la Figura 3.8 eán dada en la Tabla 3.. Se realiza un análii comaraivo de lo conroladore, uilizando lo iguiene arámero de la reuea de alida morado en la Tabla 3.. e, M, d, r,, y N / A Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. r : Tiemo de Crecimieno de (%) : Tiemo Pico Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 47

49 : Tiemo de Eablecimieno (5%). N / A No alica Señal e M d r y 34.38%.97% N / A N / A N / A N / A y N / A 94.5% y 3 N / A 55.5% Tabla 3.. Reuea ranioria de la Regla alicada de inonización de Cohen y Coon. En la Tabla 3. ara el méodo (CC) e uede obervar que la reuea y ( ) (e el conrol roorcional), de igual manera que en lo méodo de (ZN) y (CHR), el conrolador no alcanza la referencia, or lo que exie error en eado eacionario e del 34.38%. La eñal ( ) y en la Tabla 3. rereena la reuea de alida del iema con el conrolador PI. De la abla 3. e oible ver que el conrolador PI llega a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 3.8 donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. No obane, la reuea alcanza un máximo obreimulo M de.5% 94, el cual e demaiado ara la lana, ueo que ara eándare de conrol, e recomienda que el obreimulo no ea mayor de %, ya que en la racica el iema odría dañare, or úlimo e oberva un iemo de eablecimieno de 5 egundo. Eo indica que la reuea de alida del conrolador PI inonizado con ée méodo no e muy eficiene dado que reena un obreimulo muy alo, cai al doble de la eñal de enrada al ecalón uniario; or i fuera oco, el iema ocila demaiado haa que llega a u iemo de eablecimieno que no e menor a 5egundo. La eñal ( ) 3 y rereena al PID, e oberva que ea reuea de alida a diferencia del conrolador PID del méodo de (ZN) y el méodo II de (CHR) no e ineabiliza, la eñal alcanza la referencia eniendo un máximo obreimulo de 4. 4 egundo. M de 55.5%, en donde el iemo de eablecimieno e Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 48

50 3.6 ANÁLISIS DE RESPUESTAS DE LOS METODOS DE REGLAS DE AJUSTE. En ee rabajo comaráramo la reuea de alida del iema de lazo cerrado con la accione de conrol, inonizado con 3 méodo de regla de ajue. Lo arámero del análii comaraivo on: que el valor de alida ea la reuea al ecalón uniario, que el máximo obreimulo iemo de eablecimieno ea el má bajo. M ea máximo de % y que el Se oberva que la mejore reuea de lo méodo de inonización de la regla de ajue ara la lana rouea on: lo conroladore PI del méodo y roueo or (CHR), la reuea de alida de lo iema de lazo cerrado con la accione de conrol inonizado cuenan con diina caraceríica. La reuea de alida del rimer méodo, no iene obreimulo y alcanza la alida al ecalón uniario con un iemo de eablecimieno que e un oco má leno a comaración del méodo. de egundo, El méodo, como indican lo auore, acrecena al máximo obreimulo M que e de 5 %, ero con un mínimo de ocilacione, eniendo un iemo de eablecimieno de egundo. Por lo que el mejor méodo de la regla de ajue vio en ee rabajo on la rouea or Chien, Hrone y Rewick. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 49

51 CAPÍTULO IV MÉTODO ITERATIVO DE SINTONIZACIÓN. 4. INTRODUCCIÓN. En ee aarado e reena el méodo ieraivo de inonización or lugar geomérico de la raíce. En el cao de lo iema con reardo de iemo, e neceario llevar el reardo a un modelo maemáico con el que e ueda rabajar ara obener una función de ranferencia racional. En ee cao, e uiliza un méodo de aroximación de Padé ara oder inonizar la acción de conrol. Nóee que en el Caíulo II e reeno como e uede aroximar el reardo or dicho méodo. Lo méodo ieraivo roorcionan una rimera aroximación gráfica del dieño ara lo arámero del conrolador, eo en uo del dominio del iemo o de la frecuencia. En el dominio del iemo e uiliza el Lugar Geomérico de la Raíce y en el dominio de la frecuencia lo Diagrama de Bode. 4. MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. El dieño or el lugar geomérico de la raíce e baa en dibujar el lugar de la raíce del iema, añadiendo olo y cero a la función de ranferencia en lazo abiero del iema y hacer que el lugar de la raíce ae or lo olo deeado (el Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

52 lazo cerrado). El dieño del lugar geomérico de la raíce uilizado en ée rabajo conidera que el iema en lazo cerrado iene un ar de olo dominane (nóee que lo cero y lo olo reane ambién afecan a la caraceríica de la reuea). El lugar geomérico de la raíce e un méodo ieraivo gráfico ara la deerminación de la ubicación de odo lo olo en lazo cerrado, eo e obiene ariendo de la ubicacione de lo olo y cero de lazo abiero, variando algún arámero (generalmene la ganancia), ya ea de cero a infinio. Para comenzar el análii del lugar geomérico de la raíce e conidera el iema de la Figura 4.. Figura 4. Siema a lazo cerrado. or: De ee iema e derende una función de ranferencia, la cual eá dada Y ( ) R( ) G( ) G( ) H( ) (4.) De ea manera, la ecuación caraceríica racional ara el iema de lazo cerrado e obiene haciendo que el denominador del lado derecho (de la ecuación 4.) ea igual a cero eo e: G ( ) H( ) O bien ( ) H( ) G (4.) Donde ( ) H( ) G e un cociene de la variable comleja. Como, G ( ) H( ) e una canidad comleja, la ecuación (4.) e divide en do ecuacione igualando lo ángulo y magniude de ambo lado ara obener La Condición de Angulo: G ( ) H( ) 8(k ) Donde ( k,,,... n) (4.3) Y la condición de magniud: G ( ) H( ) (4.4) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

53 Lo valore de que cumlen ano la condicione de ángulo como la de magniud on la raíce de la ecuación caraceríica o lo olo en lazo cerrado. El lugar de la raíce e una gráfica de lo uno del lano comlejo que ólo aifacen la condición del ángulo. La raíce de la ecuación caraceríica, (lo olo en lazo cerrado) que correonden a un valor eecífico de la ganancia, e deerminan a arir de la condición de magniud. En mucho cao G ( ) H( ) coniene un arámero de ganancia K y la ecuación caraceríica e ecribe como: K( z)( z )...( z ( )( )...( n ) ) m (4.5) Enonce, lo lugare de la raíce ara el iema on lo lugare de lo olo en lazo cerrado cuando la ganancia K varía de cero a infinio. Obérvee que, ara emezar a dibujar lo lugare de la raíce de un iema mediane el méodo analizado aquí, e debe conocer la localización de lo olo y lo cero de G ( ) H( ). Recuérdee que lo ángulo de la canidade comleja que e originan a arir de lo olo y lo cero en lazo abiero ara el uno de rueba, e miden en enido conrario al de la aguja del reloj. Por ejemlo, i G ( ) H( ) e obiene mediane: G( ) H( ) K( z) ( )( )( (4.6) 3 )( 4 ) Donde y 3 on olo comlejo conjugado y H ( ) (reroalimenación uniaria). El ángulo de G ( ) H( ) con reeco al uno de rueba e: G ( ) H( ) (4.7) 3 4 Donde,,, 3 y 4 e miden en enido conrario al de la aguja del reloj, como e muera en la Figura 4.. La magniud de G ( ) H( ) ara ee iema e: KB A A A A G( ) H( ) (4.8) 3 4 Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 5

54 Donde A, A, A 3, A4 y B on la magniude de la canidade comleja,, 3, 4 y z, reecivamene, como e muera en la Figura 4.. Obérvee que i exien olo comlejo conjugado y/o cero comlejo conjugado en lazo abiero, el lugar geomérico de la raíce, iemre e iúan iméricamene con reeco al eje real, e decir, lo lugare de la raíce iemre on imérico con reeco a ee eje. Por ano, ólo e neceario conruir la miad uerior de lo lugare de la raíce y dibujar la imagen eecular de la miad uerior en el lano inferior. Figura 4. Diagrama que muera la medición de lo ángulo de lo olo y cero en lazo abiero ara el olo dominane deeado. Por oro lado, la comenación del iema e uede hacer con un conrolador PID, el cual iene una función de ranferencia: G ( ) c M ( ) K E( ) Kc ( Td Ti a b) K( a)( b) (4.9) Aquí e obervan do cero libre y un olo en el origen. Para la comenación, e debe comenzar rooniendo un olo dominane. Ee olo dominane uede obenere rooniendo un y un coeficiene de amoriguamieno. Se uiliza Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 53

55 .77 ara obener reuea ub-amoriguada aceable. A arir de eo, el valor de la frecuencia naural amoriguada n uede er calculada con: 4 (4.) n De ea manera la ubicación de lo olo dominane que e obervan en la Figura 4.3, on: (4.), n n Una vez obenida la ubicación de lo olo dominane y la función de ranferencia del PID, el iema en cacada queda de la iguiene manera: G ( ) G( ) H( ) c K( a)( b)( z)( z)...( z ( )( )...( ) m (4.) n ) De lo comenado aneriormene, el conrolador aora un olo en el origen y do cero a la función de ranferencia de la lana, como e muera en la Figura 4.3. De ea manera, e alica la condición de ángulo y ara obener lo arámero del conrolador PID. Debe noare que lo arámero del conrolador a, b y k no on conocido. De hecho, eo arámero libre on lo que conribuyen ara que lo olo en lazo cerrado ean lo olo dominane deeado or el dieño. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 54

56 Figura 4.3 La medición de lo ángulo de lo olo y cero en lazo abiero con la adición del olo y lo do cero del PID con reeco al olo dominane. 4.. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE SINTONIZACIÓN POR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. Conidere la función de ranferencia del iema de rimer orden con reardo: G ( ) (4.3) Donde 4.3 e el érmino de reardo. Como ya e mencionó aneriormene, el érmino de reardo comlica el análii de eabilidad. A ear de ee inconveniene, e oible rabajar con erie numérica llamada aroximacione de Padé (Caíulo II). Para alicar el dieño del lugar geomérico de la raíce e realiza una aroximación de Padé. Ea aroximación uede er de vario órdene, alguno de ello e mueran en la Tabla 4.; ermiiendo rereenar el reardo con la exaciud que e deee, aumenando el orden del olinomio. El objeivo de ea aroximación e llevar u exreión maemáica a una función de ranferencia racional del reardo y obener u lugar geomérico de la raíce como e obervará má adelane. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 55

57 () G r n n n 3 L L ( L ) ( L ( L ) ( L ) ) ( L ) (( L) ( L ) (( L) ) (( L) ) (( L) 3 3 ) ) Tabla 4.. Ordene de aroximacione de Padé. n E el orden de la aroximación de Padé y L e el reardo de iemo en egundo, quedando de ea forma: () L G r iene: Uilizando la aroximación de Padé con n ara el érmino del reardo, e L L L L L (4.4) Con L 4. 3: L L (4.5) Como e uede ver, uilizando la aroximación de Padé, el reardo de iemo e conviere en una función de ranferencia con un olo y un cero. Suiuyendo la aroximación (4.5) en (4.3), e obiene lo iguiene: 4.3 G( ) (.49)(.465) (4.6) Penando en uilizar el conrolador PID ara comenar el iema de la ecuación (4.6) e endría el iguiene iema en cacada: G ( ) G ( ) H k( a b)(.465) ( ) (.465)(.493) c (4.7) Coniderando que H ( ) (reroalimenación uniaria), con eo e ueden ubicar la raíce que e conocen en el lano. Si e raza el lugar geomérico de la raíce obre el eje real ara la ecuación (4.7), dejando a un lado la ubicación de lo Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 56

58 cero del PID y olamene e anexa el olo del conrolador, obeniéndoe la Figura 4.4. Para cualquier valor oiivo de la ganancia de k y cualquier ubicación de lo cero del conrol, el iema de conrol a lazo cerrado eria ineable debido a que el olo en e aroxima al cero en. 493, conforme aumenamo k, rovocando que al meno uno de lo olo de lazo cerrado e ubique en el emilano derecho del lano. Con bae en ee análii e concluye que el iema de la ecuación (4.3) no e odría comenar uando la erucura PID, cuando el reardo e aroxima con la funcione de Padé uilizando en rimer orden de la aroximación. Figura 4.4 Ubicación de la Raíce del Siema Comenado con una Aroximación de Padé de rimer Orden. Pueo que en la Figura 4.4 e oberva que el iema llega a un uno ineable or la ubicación del cero en el emilano derecho, e neceario llevar el reardo de iemo de la lana al iguiene nivel de la aroximación. Por coniguiene, e uede dearrollar el iema con reardo de iemo uando la aroximación de Padé con orden n, rovocando que e enga una función de ranferencia de la lana de la iguiene forma: Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 57

59 ( L ) ( L ( L ) ( L ) ) L (4.9) O bien: 6 L L L (4.) 6 L L Suiuyendo lo valore de L, e iene que la aroximación de egundo orden ara el reardo de iemo de la lana e: (4.) Facorizando la ecuación (4.), e roorciona: [ ( j)][ ( j)] [ ( j)][ ( j)] 4.3 (4.) Por lo ano: G 4.3 ( ) 6.7 (.49)[ ( j)][ ( j)] (.49)[ ( j)][ ( j)] (4.3) En donde e oberva que exien re olo en. 49 y j, ademá de do cero ubicado en j. Como un rimer ao, e reenará un lugar geomérico de la raíce coniderando un conrol roorcional. De la figura 4.5 e uede obervar que el iema en lazo cerrado uede eabilizare con un conrol roorcional. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 58

60 Figura 4.5 Ubicación de la raíce del iema comenado con una aroximación de Padé de orden. En la figura 4.6 e uede obervar la reuea de la alida en lazo abiero, en donde la función de ranferencia de la lana original y la función de ranferencia de la lana con la aroximación de egundo orden. En ambo cao, e conidera una enrada ecalón y (), en donde la emejanza de la reuea ueden obervare en la Figura 4.6. A coninuación e dearrolla la meodología del lugar geomérico de la raíce ara el dieño del conrolador PID ara el roceo con reardo de iemo dado or la ecuación (4.3). Donde: y () Rereena la eñal de alida de la función de ranferencia de la lana original. Y n y ( ) E la eñal de alida de la función de ranferencia de la aroximación de egundo orden de Padé. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 59

61 Figura 4.6 Reuea de la Plana Prouea y la Plana con Aroximación de Padé de n. Para comenzar con la comenación, e debe obener un olo dominane (la dinámica mejorada del iema con reardo), eo e, baándoe en el conocimieno que e iene del iema, e uede rooner lo arámero que e deean mejorar de la reuea en el iemo. De anemano e abe que el iemo de eablecimieno debe er reducido; de ea forma, e roone un iemo de eablecimieno de 4 egundo, el cual e un oco menor al iemo del iema. Uando. 77, e uede obener reuea ub-amoriguada aceable, or lo cual e oible calcular el valor de la frecuencia naural amoriguada n a arir de: 4 (4.4) n De la ecuación (4.4), e conoce y (eecificacione de dieño), aí que rocedemo a deejar n, quedando: n (.77)(4) (4.6) La ubicación de nuero olo dominane e da en la iguiene ecuación (4.7): Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

62 (4.7), n n Suiuyendo lo valore de y ubicación del olo dominane en: n en la ecuación (4.7), e queda la [(.77)(.44)] [(.44) (.77) ].. j (4.8), En la Figura 4.7 e uede ver la ubicacione de lo olo y cero de lazo abiero y la conribucione de fae obre el olo dominane roueo. Se oberva ambién que e ha incluido el olo del PID en y u conribución de fae. C G (4.9) G ( PH ) a b Z 8 Z. 49 P P Donde: G G C P H( ) a b 8 (4.3) adición de Realizando lo cálculo neceario e encuenra que el iema requiere una 43.4, eo erá comenado or lo cero del conrolador PID, de lo cuale cada cero conribuye con a b.353 a,b. 7, lo que imlica obener una ubicación en. De ea forma, e garaniza que el iema comenado con un PID enga un lugar geomérico de la raíce que ae or el olo dominane roueo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

63 Figura 4.7 Ubicación de la Raíce en el Plano. Para obener la ganancia K C, con la cual el iema en lazo cerrado aa or el olo dominane deeado, e conidera la condición de magniud exreada de la iguiene forma: G G H( ) C P (4.3) Suiuyendo lo valore de la funcione de ranferencia ano del PID como la lana con el reardo aroximado en la ecuación (4.3) y deejando el valor de la ganancia del conrolador K C, e obiene: (.493)( ) K C.94 (4.3).493(.353) ( ).. j Por lo ano, la función de ranferencia del iema comenado queda de la iguiene forma: Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 6

64 .94(.353).493( ) GCGP H( ).94G ( ) aux (4.3) (.493)( ) Lo valore del conrolador PID quedan de la iguiene forma:.6 G c ( ) (4.33) En la Figura 4.8 e uede obervar el lugar geomérico de la raíce G aux () de la ecuación (4.3). Figura 4.8 Lugar Geomérico de la Raíce del iema comenado. Con el realdo del lugar geomérico de la raíce, e uede realizar la imulación del iema comenado a lazo cerrado y con lo valore de la ecuación (4.3) e obiene la reuea en el iemo morada en la Figura 4.9. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 63

65 Figura 4.9 Reuea al ecalón de la lana con lazo abiero y con el conrolador PID. La Figura 4.9 muera la reuea de alida de la lana, coniderando una enrada ecalón uniario y la acción de conrol dado or la ecuación (4.3), rereenada or y ( ), la cual la eñal de alida cuando e conideran el conrol PID. Para el análii del conrolador uilizado e conideran lo iguiene arámero de la reuea de alida e, M, d, r, y. Lo valore de lo iguiene arámero e Error en el eado eacionario, M Máximo obreimulo, d Tiemo de reardo, r Tiemo de ubida, ico, Tiemo de eablecimieno y imulación del conrol PID y ( ), e mueran en la Tabla 4.. Tiemo N / A (ignifica No Alica), obenido de la Señal e M d r y ( ) N / A 7.86% Tabla 4.. Reuea ranioria Lugar Geomérico de la Raíce. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 64

66 De la Tabla 4. e uede obervar que la reuea y ( ) rereena la reuea del iema uilizando un conrolador PID. E oible ver que el conrolador PID ermie al iema eliminar el error en el eado eacionario e, llegando iemre a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 4.9 donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea alcanza un máximo obreimulo M del.86% 7, el cual e uede coniderara que e mu bajo ara fine rácico, y or úlimo e oberva un iemo de eablecimieno de egundo. Eo indica que e oible realizar la inonización del conrolador PID or el lugar geomérico de la raíce, llevado la función de ranferencia de la lana a una forma racional mediane la aroximación de Padé ara el reardo de iemo. Como e uede obervar, el méodo ieraivo ara la inonización de la lana rouea olo e uede realizar al llevar el reardo a una forma racional ara la función de ranferencia, en ee cao, uilizando el méodo de aroximación de Padé ara realizar el dieño del PID. Figura 4. Diagrama del roceo conrolado. El equema coniderado ara la imulación e muera en la Figura 4.. Nóee que el dieño del conrolador PID ea baado en una aroximación del reardo de iemo y la imulación e realiza direcamene obre la lana in aroximación ara la imulación y e conidera una eñal de enrada de io ecalón uniario. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 65

67 CAPÍTULO V MÉTODOS DE PREDICCIÓN. 5. INTRODUCCIÓN. Para lo iema que reenan reardo de iemo e dieñaron méodo eeciale baado en diagrama de redicción, como or ejemlo el Predicor de Smih [] que aoró un innovador méodo ara realizar el conrol auomáico de lo iema de la induria que reenaban reardo de iemo. Ee caíulo decribe dicho méodo y una mejora, de ee dieño de inonización. E evidene que ee dieño de redicción ha enido varia rouea de mejora en eecial ara raar roceo ineable con reardo de iemo. Un ejemlo de ello e la rouea de Xiang-Lu [3]; in embargo, en ee rabajo e uiliza con la lana eable rouea. 5. PREDICTOR DE SMITH. Dede que Ziegler y Nichol lograron obener un méodo de inonización encillo y eficiene, fueron vario lo creadore de méodo imilare, alguno de ello e reviaron en caíulo aneriore. Sin embargo, en el cao de iema con reardo de iemo había la neceidad de una nueva erucura eecializada ara la inonización de conroladore ara ea clae de iema, la cual aifaciera la neceidade de la induria. El innovador equema de conrol ara iema de una Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 66

68 ola enrada y una ola alida (SISO) fue creado en el año de 957 or O. J. Smih [], el cual iene el oencial de mejorar el conrol de lo lazo con iemo muero. Ee equema e le llama el Predicor de Smih (Smih Predicor PS) o comenador de iemo muero (Dead Time Comenaor DTC), el cual e coniderado el rimer comenador ara lo reardo y quizá, e el méodo má uilizado. Báicamene lo el DTC que hace e reroducir la lana earándola del reardo de iemo y dieña un conrolador ara el roceo libre de reardo. 5.. ESQUEMA PROPUESTO. Como ya e mencionó, uno de lo rimero equema de conrol imlemenado ara el mejoramieno del comoramieno en el lazo cerrado de lo iema que conienen reardo fue roueo or O.J. Smih [] en el año de 957 y acualmene e conocido como redicor de Smih o PS, el cual e muy aracivo y encillo de enender. Conie en el uo de un diagrama a bloque, como uede obervare en la Figura 5., lo bloque G c y L al conrolador y a la lana real con iemo. G G correonden reecivamene G donde L e el reardo de Figura 5. Diagrama a bloque del roceo con reardo de iemo y la acción de conrol en erie. El iemo muero e la fuene del roblema. Lo má conveniene e que la variable conrolada ea medida ane del reardo como e muera en la Figura 5.; in embargo, ea variable no e uede medir en la rácica. E ea la razón or lo cual e debe dieñar un obervador ara eimar dicha eñal. Figura 5. Diagrama morando la idea de Smih. El modelo del roceo G uede er uado ara redecir el efeco de la eñal de alida del conrolador morado en la Figura 5.3. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 67

69 Figura 5.3 Diagrama ideal eóricamene ero no alicable. Ee ería un modelo hioéicamene erfeco, in embargo, eo e un redicor en lazo abiero in oción de corrección. Por ea razón Smih rouo enconrar el error, de al modo, que ea adherida la mima redicción morada en la Figura 5.4. Figura 5.4 Equema del redicor de Smih. En ea erucura e realimena la redicción de la alida del roceo, uando un modelo de la lana in reardo G. Ademá, ara comenar el efeco de la erurbacione y corregir lo efeco de lo errore de modelado, e realimena ambién la diferencia enre la alida del roceo y la alida del modelo, incluyendo el G L reardo eimado Del diagrama anerior Figura 5.4, e uede ver la función de ranferencia de lazo cerrado enre la eñal de enrada y la alida, en el cao ideal ara un modelado erfeco, e decir G ) G ( y L L eá dada or: Y R Gc G G Gˆ c L (5.) Como uede vere el conrolador G c uede dieñare coniderando el roceo libre de reardo, en ee cao la ecuación caraceríica ya no ienen ningún ermino rancendenal. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 68

70 5.. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DEL PREDICTOR DE SMITH. G ( ) Conidéree la lana rouea (5.) Y e roone un conrolador del io PI dado or: k ( k ) k i i k( a) k(.4) Gc ( ) k (5.3) Suiuyendo la ecuacione (5.) y (5.3) en la ecuación (5.), e iene: G G G Gˆ Y c L R (5.4) c k( a) 6.7 k( a) 6.7 k( a) k( a) conviere en: Para el dieño del conrolador PI e roone a. 4 La ecuación (5.4) e G G G Gˆ Y c L 4. 3 R c k(.4) k(.4) (5.5) El arámero a fue roueo con la idea de que la reuea de la alida fuee ma ráida y mayor al valor de la dinámica del iema en lazo abiero. Dado que el dieño del conrolador PI e hace coniderando el roceo libre de reardo el lugar geomérico de la raíce ara el conrol PI y el roceo libre de reardo enemo la Figura 5.5. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 69

71 Figura 5.5 Lugar Geomérico de la Raíce de la lana En la Figura 5.5 e muera el lugar de la raíce donde e uede obervar el olo en el origen aorado or el PI, el olo de la lana ubicado en. 496, la variable a roueo y ubicado en. 4. Se uede obervar que lo olo roueo en. 79 y. 654 requieren de una ganancia k 8. 7, ara iuare en ea oición. De ea forma, la ganancia k e uiuye en la ecuación (5.4) obeniendo: k(.4) 8.7(.4) G c ( ) 8.7 (5.6) Lo valore de la ganancia del conrolador PI on inegrada juno con lo valore de la lana rouea en el arreglo de redicción Figura 5.6. Figura 5.6 Equema de redicción con lo valore de la lana rouea y conrolador inonizado. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

72 Una vez obenida la variable del arreglo de redicción, ea e imulada ara obener la reuea de la Figura 5.7. Figura 5.7 Reuea de la lana rouea v diagrama de redicción. La Figura 5.7 muera la reuea de alida de la lana, coniderando una enrada ecalón uniario y la acción de conrol ara obener una reuea de alida adecuada y ( ), la cual rereena la eñal de alida cuando e conidera el conrol PI. De la mima forma que la imulacione de lo méodo aneriore, e uiliza ara el análii del conrolador lo iguiene arámero de la reuea de alida M, d, r,, y N / A morado en la Tabla 5.. e, Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. r : Tiemo de Crecimieno de (%) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

73 : Tiemo Pico : Tiemo de Eablecimieno (5%). N / A No alica Señal e M d r y ( ) N / A 8 % Tabla 5.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Smih. De la Tabla 5. e uede obervar que la reuea y ( ) rereena la reuea del iema uilizando el conrolador PI. De la abla 5. e oible ver que el conrolador PI ermie al iema eliminar el error en el eado eacionario e llegando a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 5.7, donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea logra alcanzar un máximo obreimulo M % 8, coniderando que e muy bajo y or coniguiene no odría reenar afecación a la lana; or úlimo e oberva un iemo de eablecimieno de 9. 3 egundo. Eo indica que la reuea de alida e mejorada con reeco a lo méodo de lo caíulo aneriore. E evidene que ee méodo dieñado or O. J. Smih e una clara mejora ara oder conrolar lo iema con reardo de iemo; no obane, e imorane comenar que ea erucura de redicción e uilizada únicamene ara lana eable con reardo de iemo, como ha ido ilurado. 5.3 MÉTODO DE XIANG-LU. En lo roceo de conrol, el méodo del redicor de Smih [] e el comenador de iemo muero en lo roceo de conrol eable, mayormene uilizado or u oularidad y eficiencia. Sin embargo, ee equema de conrol an eficiene iene comlicacione al alicarle roceo ineable de cualquier orden. Para recificar ee roblema, e han ideado diferene modificacione al equema original morado or Smih. Una de ea modificacione on lo equema roueo or Xiang-Lu [3] ara roceo de conrol ineable; eo con la finalidad de obener buena Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 7

74 reuea de la eñal de enrada or medio de una encilla inonización de lo conroladore. Se ha roueo ee nuevo equema o erucura ara roceo de conrol con reardo de iemo e ineable. Para la inonización de ee nuevo méodo, e iene cuaro conroladore que influyen en el denominador y numerador de la función de ranferencia de lazo cerrado. Se uede obervar que ee equema innovador facilia la inonización de lo conroladore y ueden encaminar hacia un mejoramieno ubancial del funcionamieno del conrol ESQUEMA PROPUESTO. Oro rabajo de la modificación del redicor de Smih eán orienado a roceo de conrol ineable con la finalidad de ener un mejor rechazo a erurbacione. Ee méodo no e la exceción. El auor de ee equema lo direcciona, como ya e había comenado, a roceo de conrol ineable, ero ambién e oible uilizarlo ara roceo eable como e morará má adelane. Teniendo eo en cuena, el nuevo equema de conrol o la modificación del redicor de Smih roueo queda de la iguiene manera: Figura 5.8 Equema roueo or Xiang-Lu. G G L L Donde y ˆ on un roceo dado y u modelo, reecivamene, on G y Ĝ. Dicho modelo on funcione racionale con al meno un olo ineable. En ea nueva erucura, enemo cuaro conroladore dieñado ara diferene roóio. El ael de K e eabilizar el roceo libre de reardo, G y K eá ara eabilizar el roceo de reardo G e L. Sin embargo, la 3 erucura rouea e de do grado de liberad; K y K 4 on emleado ara elevar el rendimieno del rechazo de la erurbación y la reuea de la eñal de enrada, reecivamene, en lugar de un olo conrolador G c. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 73

75 Para oder obervar la bondade de ee nuevo equema, e debe uoner que el modelo coincide con la dinámica de la lana; or ejemlo Gˆ G y Lˆ L iguiene función de ranferencia de lazo urge de alguna maniulacione algebraica, la cual eá dada or la iguiene ecuación:. La H r Y R G K G K 4 L ( ) e (5.7) Como e uede obervar, el denominador y el numerador de la función de ranferencia H r en la ecuación (5.7) ueden er maniulada con lo do conroladore roorcionale K y K 4, reecivamene. Como la función de ranferencia H r no iene rerao de iemo en u denominador, el conrolador K uede er dieñado ara colocar lo olo de lazo cerrado en la oicione deeada uando el méodo de aignación de olo. El refilro K 4 uede er inonizado ara alcanzar la reuea óima a la eñal de enrada. El equema de la rayecoria del rechazo a la erurbacione e uede morar en la iguiene función de ranferencia: H d L Ge ( GK Ge L ( G K )( G e K L 3 K ) e ) L (5.8) Aquí, la función de ranferencia e de do grado de liberad dado que dieñada con la función quedar la función r K e H, la cual e le adiciona un érmino G L ) haciendo H d (ecuación 5.8), en donde el ael de ( K3 K e eabilizar el roceo 3 de reardo G e L y K ara alcanzar la aenuación oima de una erurbación obervada en la ecuación (5.8). En el numerador e encuenra el conrolador K, que uede er emleado ara oimizar el rechazo de la erurbación. Lo dieño deallado ara K i, i,, 3 y 4, on diino ara cada roceo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 74

76 5.3.. DISEÑO DEL CONTROLADOR El dieño del conrolador ara la erucura rouea coniderando lo iguiene: El conrolador roorcional K eabiliza G, y el conrolador roorcional K 4 irve ara modelar H r en la ecuación (5.7), e decir, ara obener la reuea de enrada deeada y K 3 funciona ara eabilizar G e L. Mucho de lo roceo induriale íico on roceo IPDT y FOPDT, or lo que el dieño de conrol e llevado a dealle ara eo cao PROCESOS INTEGRAL CON RETARDO DE TIEMPO (IPDT). Ea ei habla obre lo méodo de inonización de una lana de rimer orden eable; in embargo, ara ee equema e uede coniderar un iema inegral con reardo de iemo, como e muera a coninuación, e conidera el iguiene modelo IPDT: K L L L G G (5.9) En la ecuación (5.9) e uede obervar que odo lo coeficiene on oiivo. Teniendo la función de ranferencia de lazo cerrado ara la eñal de enrada y e obienen lo iguiene: H r K4G G K L L (5.) Al reeco, lo que e raa de hacer con la ecuación (5.7) e raar de aroximarlo a un modelo má imle, eo e muera con el dearrollo de ea ecuacione. En donde e uede decir que e un arámero de dieño ajuable ara el lazo cerrado. Un valor equeño de roduce una reuea ráida y un valor grande de aumena la robuez de nuero iema de lazo cerrado. El modelo ara ecoger dicho arámero eá dado or Majhi y Aheron []. Una vez que e deerminada, lo auore recomiendan rabajar con el valor, en donde K y K 4 on calculada como e muera a coninuación: Suiuyendo la ecuación (5.9) en (5.7), e obiene: Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 75

77 H r K K 4 k K L (5.) ecuación: Dearrollando la ecuación (5.), e llega a una aroximación de la iguiene K4K K K L K K 4 KK K K 4 L L (5.) Lo anerior rereena la exanión de la ecuación (5.7), donde e uede obervar la imiliud con la ecuación (5.). Al obener ee reulado, e rocede a calcular lo coeficiene K y K 4 morado con: K K (5.3) 4 Y e obiene: K4 (5.4) k Y de: K K 4 (5.5) Se obiene: K K 4 (5.6) De ea forma, ara lo roceo de io IPDT lo cálculo ara lo arámero K y K 4 eán dada or la ecuacione (5.6) y (5.4), reecivamene. La función de ranferencia ara el rechazo de erurbacione eá dada or: Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 76

78 H d K( KK ( )( K K 3 L L ) ) L (5.7) Haciendo noar que K 3 e dieñada ara eabilizar a la función de ranferencia K L, en donde K 3 e obiene con: K 3 6LK (5.8) En ara de alcanzar un rendimieno óimo en el rechazo de erurbacione, K e eleccionada ara la minimización del error inegral cuadrado (ISE) en cao de erurbacione io ecalón, haciendo a K como un conrolador PD, como e muera en la iguiene ecuación: K K K (5.9) P D Para obener el error cero en el eado eacionario, el cálculo de e obiene con: K P (5.) K K D L ( L KK3L)( ) KK3L 4 K( L KK3L) K K3L 4 K y P K D (5.) PROCESOS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO (FOPDT). Coniderando el iguiene modelo FOPDT eable. G T K T L L L G (5.) El rocedimieno ara acar lo coeficiene de K y K 4, e rácicamene el mimo. Únicamene e diferencia en que e debe uiuir en la ecuación (5.5) en la ecuación (5.7) e igualar con la ecuación (5.). H r K4G G K L (5.7) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 77

79 K K 4 T K K T L (5.3) KK4 T K K L (5.4) T K K 4 KK K K 4 L L (5.5) Con: (5.6) T K K 4 Se obiene: T K4 (5.7) K De: K K K K (5.8) 4 K K K K 4 (5.9) Se obiene: K K K 4 (5.3) K Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 78

80 K T K K K (5.3) K T K (5.3) De ea forma, e obienen lo arámero K y K 4 con la ecuacione (5.3) y (5.7), reecivamene, ara lo roceo FOPDT eable. Para lo do dieño aneriormene morado, e uede decir que k 4 ha ido eleccionada ara ajuare a la función de ranferencia del uno de referencia de la eñal de enrada. Eo lleva a fórmula de dieño má encilla ara lo dieño de roceo imle, como lo morado aneriormene. De la mima forma, la función de ranferencia de lazo cerrado ara el rechazo a la erurbacione eá dada or la iguiene ecuación: H d G ( T KK K K e T( )( K G e ) 3 L L ) e L (5.33) El conrolador K 3 eá dieñado ara eabilizar G L mediane un conrolador roorcional ara eabilizar un roceo de rimer orden con reardo de iemo FOPDT, eo e: T K3 (5.34) Lk Del mimo modo que en el roceo inegral con reardo de iemo IPDT, ara oder obener lo arámero ara un buen rendimieno en el rechazo a la erurbacione, K e deerminado ara minimizar el error inegral cuadráico (ISE) de la reuea de la erurbación, coniderando K como un PD: K K K (5.35) P D Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 79

81 Y ara obener el error cero en el eado eacionario, el cálculo de K D e obiene con: K P y T K P (3.36) K K D TL T TL (T L TL( T ) 4 TL L k ( TL (T L TL) k L 4 T L (5.37) 5.3. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE XIANG LU. La Figura 5.9 rereena el méodo roueo or Xiang-Lu, el cual e alicado a la lana rouea en ee rabajo: Figura 5.9 Equema de redicor roueo or Xiang-Lu G G K T 6.7 L L 4.3 (5.38) De la ecuación (5.) e derenden lo arámero ara el cálculo de la ganancia de la Figura 5.9, en donde T 6. 7 e la conane iemo de la lana in el reardo de iemo, K e la conane de iemo de la lana, 4. 3 L e el reardo de iemo y e una conane de dieño rouea en la ección Suiuyendo eo arámero en la ecuacione (5.7) y (5.3) e iene: T 6.7 K (5.39) K () K T 6.7 K.35 (5.4) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8

82 La ganancia K 3 y K on calculada a arir de la ecuacione (5.34) y (5.37), obeniendo: T 6.7 K (5.4) Lk 4.3() K K K (5.4) P D T 6.7 K P 3.35 (5.43) K () K D TL T TL (T L TL) ( T ) 4 TL L k [ TL (T L TL) K L ] 4 T L (5.44) (6.74.3) 6.7 ( ) ( 6.7 (4.3) ( ) (6.7 ) 4 6.7(4.3) { ( ) [6.7 (4.3) ( )] (4.3) } KD (5.45) ecuación: Lo valore ara la ganancia del conrolador PD e mueran en la iguiene K (5.46) La ganancia calculada on uiuida en el diagrama de la Figura 5.. Figura 5. Erucura del redicor roueo or Xiang-Lu con ganancia en lo conroladore. En la Figura 5. e oberva la reuea de la eñal de alida y ( ) del méodo de redicción de Xiang-Lu. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8

83 Figura 5. Reuea de la lana rouea v diagrama de redicción de Xiang-Lu. La Figura 5. muera la reuea de alida de la lana, coniderando una enrada ecalón uniario y la acción de lo conroladore ara obener una reuea de alida y ( ). De la mima forma que la imulacione de lo méodo aneriore, e uilizan, ara el análii del conrolador lo iguiene arámero de la reuea de alida M, d, r,, y N / A morado en la Tabla 5.. e, Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. r : Tiemo de Crecimieno de (%) : Tiemo Pico : Tiemo de Eablecimieno (5%). Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 8

84 N / A No alica Señal e M d r y ( ) N / A N / A N / A. 38 Tabla 5.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Xiang-Lu. De la Tabla 5. odemo obervar que la reuea y ( ) rereena la reuea del iema. De la abla 5.; e oible ver que lo conroladore del diagrama de redicción ermien al iema eliminar el error en el eado eacionario e llegando a la referencia. Éo uede obervare en la Figura 5., donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea no logra alcanzar un máximo obreimulo M, obervándoe que no odría reenar afecación alguna a la lana, aunado a que e conaa un iemo de eablecimieno de. 38 egundo. En la Tabla 5. e mueran lo arámero a evaluar de la reuea de alida. E evidene la mejora de la reuea, de igual forma e de imorancia coniderar que ea modificación del redicor de Smih fue dieñada ara roceo ineable de rimer orden. Ee equema eá dieñado ara rechazar la erurbacione, in embargo ee ema no fue dearrollado en ee rabajo analíicamene y, or lo que odría er un ema de eudio oerior (aunque uede robare al meno en imulación numérica). Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 83

85 CAPÍTULO VI MÉTODO DE ESTIMACIÓN DE ESTADOS. 6. INTRODUCCIÓN. Un méodo ara la inonización de la lana de rimer orden eable con reardo de iemo e el dieño de un conrolador baado en la eimación de eado. La finalidad de ee caíulo e eimar la variable W () del iema ane del reardo de iemo, debido a que ea eñal no uede er medida, ueo que e encuenra inmera en el iema y lo roblema analíico on má comlicado ara iema coninuo con reardo de iemo que ara iema libre de reardo; en ee cao e uede rabajar el reardo de iemo L de la lana con la aroximación de Padé [7]. Una vez obenido el dieño de eimador e agrega una acción de conrol del io PI, el cual, e inoniza coniderando la lana in el reardo como en el Predicor de Smih [7], e imorane comenar que el dieño del eimador de la referencia rabaja con ganancia roorcionale. 6. REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO. Un equema general de conrol con la realimenación del eado eimado e muera en la Figura 6.. El equema de conrol cona de la acción de conrol, la Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 84

86 Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 85 lana o roceo que e deea conrolar y un obervador o eimador de eado coninúo. El obervador de eado eima la variable de eado con bae en la medición de la variable de alida y de conrol. Figura 6. El Eimador analógico del roceo con reardo de iemo. Se dearrolla un rocedimieno ara enconrar una rereenación en variable de eado ara una función de ranferencia que rereena una aroximación de Padé. Se conidera un iema en el cual la alida eá dada como ) ( ) ( W Y L. Al uar una aroximación de Padé de orden n (valore are), e uede ecribir el comoramieno de la eñal de alida como: ) ( ) ( W a a a a a a a a a a a a Y n n n n n n n n n n n n (6.) La función de ranferencia en el lano e muera en la ecuación (6.), en donde el coeficiene a iene el valor uniario. n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a W Y ) ( ) ( (6.) Para obener la rereenación en variable de eado a arir de la función de ranferencia anerior, e rocede de la iguiene forma: Primero e hace un cambio de variable, obeniéndoe la do iguiene ecuacione:

87 n n n d d d d d... n n n n n n y a a a a a d d d d d (6.3) n n n d d d d d... n n n n n n w a a a a a d d d d d (6.4) x x x r Aignación de eado d x d d x d r r r r3 x d d n rn n x rn (6.5) Suiuyendo la aignación de eado (6.5) en la ecuacione (6.3) y (6.4), e obiene y x a x a x... a x a x a x rn rn rn n r3 n r n r (6.6) w x a x a x... a x a x a x rn rn rn n r3 n r n r (6.7) De la ecuacione (6.5), (6.6) y (6.7) e obiene la iguiene rereenación: x x x r r x r r3 x a x a x... a x a x a x w rn rn rn n r3 n r n r y a x a x... a x a x w rn 3 rn n3 r 4 n r (6.8) En general, una realización en variable de eado del reardo e uede rereenar de la iguiene forma: x A x ( ) B w( ) r n r n y( ) C x ( ) D w( ) n r n (6.9) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 86

88 Donde lo coeficiene de la ecuacione aneriore ara una aroximación ar, e ueden deerminar en forma general como: A n, an an an an3 a B n, (6.) C a a a n n 3 y Dn (6.) La rereenación en variable de eado del érmino reardo ara una aroximación de Padé de orden n -imar e uede obener fácilmene iguiendo el rocedimieno decrio aneriormene, obeniéndoe una rereenación de la forma (6.9), donde lo coeficiene A n y B n eán dado de igual forma or (6.). Lo vecore de alida eimado eán dado or: C a a a n n 3 n y D (6.) Lo vecore de alida ara ambo cao e ueden generalizar de la iguiene forma: n C a a a ( ) n 5 3 y D ( ) n n (6.3) La rereenación en un diagrama a bloque de imulación de forma canónica conrolador e muera en la Figura 6.. Ea rereenación correonde a una aroximación del reardo a ravé de una función de ranferencia de orden n. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 87

89 Figura 6. Diagrama a bloque ara n -ar y ara n -imar. El dieño del eimador e hace a arir de una aroximación de Padé de orden n del érmino reardo, con la finalidad de eimar la variable de eado W () del iema ane del reardo de iemo, debido a que ea eñal no e uede medir. Un equema de conrol con la realimenación del eado eimado e muera en la Figura 6.3. El obervador de eado eima la variable de eado con bae en la medición de la variable de alida y de conrol. Se uede dieñar el obervador de eado i y olo i e aiface la condición de obervabilidad. G G G El vecor de ganancia T del eimador de eado e deermina a arir de un modelo maemáico analógico, que cona de do are: una derivada direcamene de la are lineal libre del reardo y la ora derivada del érmino reardo. Figura 6.3 Equema de conrol con un redicor ainóico coninuo. El rimer ao en el dieño del eimador de eado e obener el modelo maemáico en forma racional, ara lograr ee roóio e hace el iguiene Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 88

90 rocedimieno. Se are de un iema lineal e invariane en el iemo con reardo a la enrada como e muera a coninuación: x( ) A x( ) B u( L) y( ) C x( ) l l l (6.4) Donde L e un iemo muero o reardo aociado con la eñal de enrada, el vecor de eado e la marice A x nxn, n, B nx y x e la enrada y la alida e y. Finalmene, C e uonen conocida. La función de xn ranferencia cláica del iema (6.4) e obiene mediane la alicación direca de la ranformada de Lalace, quedando de la iguiene manera: X( ) A X ( ) B Y ( ) C l l X ( ) l L U( ) (6.5) Lo cual roduce, Y U( ) ( ) Cl l L L L I A B G( ) l N( ) D( ) (6.6) Donde N () y D () on olinomio en la variable comleja. Una rereenación en variable de eado (obervable y conrolable) G () uede obenere fácilmene ara el iema (6.4) con L (iema in reardo) como e muera a coninuación: x A x ( ) B u( ) l l l l w( ) C x( ) D u( ) l l (6.7) Se uede enconrar una rereenación en variable de eado del reardo de la forma (6.9), eo e: L x A x ( ) B w( ) r n r n y( ) C x ( ) D u( ) n r n (6.8) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 89

91 Se ueden inegrar fácilmene a una ola rereenación en variable de eado ambo ubiema (6.7) y (6.8), de la iguiene forma: x A x( ) B u( ) ln ln y( ) C x( ) D u( ) ln ln (6.9) Lo coeficiene de la rereenación en variable de eado anerior e ueden deerminar fácilmene alicando la iguiene ecuacione: A ln An BnCl BnDl A Bln l B, l, Cln Cn DnC l D D D. (6.) ln n l El vecor de eado queda definido como: x( ) x ( ) x ( ) T r l (6.) dinámico: Suoniendo que el eado x e debe aroximar al eado ˆx del modo xˆ A ln yˆ( ) C xˆ B ln ln u ( y C xˆ( ) D ln u( ) ln xˆ) (6.) La ecuación anerior rereena al obervador de eado. El érmino que coniene al vecor de ganancia G en la ecuación anerior e denomina elemeno de corrección. El érmino de corrección conrola el eado dicreancia enre la marice Aln B y ln ˆx, en reencia de uada en el modelo aroximado y en el iema real, la adición del érmino correcivo ayuda a reducir lo efeco debido a la diferencia enre el modelo dinámico aroximado y el iema real. En la Figura 6.4 e muera un diagrama a bloque del iema en variable de eado (aroximación) y el obervador de eado de orden comleo. A coninuación e hace un análii en el cual e uone que la marice ln B uilizada en el modelo y la del iema real, on iguale. Aln y Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

92 Figura 6.4 Diagrama a bloque de un iema y obervador de eado. El orden del obervador de eado e el mimo que el del iema. Suonga que el iema eá definido or la ecuacione (6.9) y (6.) y que el modelo del obervador eá definido or la ecuación (6.). La ecuación del error del obervador e obiene al rear la ecuación (6.9) de la ecuación (6.), eo e: x x ˆ A x A x ˆ G y C x ˆ ln ln ln (6.3) Suiuyendo el valor de la eñal de alida de (6.6) en (6.8) e obiene: ˆ ln ln x xˆ A GC x x (6.4) Se define el vecor de error e como recribe como: e x xˆ. Enonce la ecuación (6.4) e e A GC e ln ln (6.5) El cálculo de la ganancia ara el obervador debe hacere calculando el vecor G, de al forma que la ecuación caraceríica de( I ( A ln GC )) ea eable. En donde e oberva que e raa de una realización A, ) obervable. ( C ln ln La eabilización del olinomio de( I ( A ln GC )) garaniza que lim x( ) x ) ˆ(. ln ln Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

93 Lo má imorane de ee equema e que el obervador roorciona una eñal eimada en forma analógica, uilizando una ganancia de inyección G, que e deerminada a arir de una aroximación de Padé. El redicor e alicará al iema con reardo como el de la Figura.3, cuando el orden de la aroximación de Padé ienda al infinio e cumle la uoición de que él limx( ) x ) ˆ(. E oible ahora conruir un eimador ainóico ara la función w() como el de la Figura (6.3). Se uede conruir un eimador de orden reducido o imlemene un eimador ara la función w () ; in embargo, ara imlificar el rocedimieno e dieñará un eimador comleo ara el eado y a arir del eado eimado ) ^ ˆ x ( e obendrá la función del eado eimado l redicor analógico e muera en la Figura 6.5. w( ) C xˆ( ). El Figura 6.5 El redicor roueo de iemo coninuo. iguiene: La redicción de la eñal w () e obenida or un redicor de la forma xˆ ( ) A xˆ ( ) B wˆ ( ) G e ( ) r n r n y (6.6) xˆ ( ) A xˆ ( ) B u( ) G e ( ) l l l l y wˆ( ) C xˆ ( ) l l (6.7) Donde: e ( ) ( ) ˆ y y y( ) y, ˆ( ) C ˆ ( ) ˆ( ) n xr Dnw (6.8) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 9

94 Y T G g g g G g g g n T (6.9) (6.3) Lo valore de la ganancia ara el obervador uede hacere calculando el vecor G, al que la raíce de la ecuación caraceríica de( I ( A ln GC )) eén en el emilano izquierdo del lano, eo uede hacere uilizando la inrucción acker de MATLAB. ln Una vez eniendo el eimador inonizado del roceo, el iguiene ao e dieñar el conrolador ara oder auomaizar el iema, uilizando cualquier méodo de inonización ara lo conroladore. 6.. SIMULACIÓN DEL MÉTODO DE DISEÑO DE ESTIMADOR. Como e ha vio, no e oible medir una eñal W () direcamene de la lana con función de ranferencia de rimer orden con reardo, eo e aí oda vez que e iene un reardo de iemo inmero en el iema, or ea razón e neceario eimar dicha eñal en donde e uedan obervar la dinámica del iema y el reardo de forma earada. Y ( ) 4. 3 (6.3) U( ) 6.7 Para oder deerminar la ganancia del eimador e neceario ener el modelo maemáico del iema, ara lo cual e roone uilizar una aroximación de Padé de egundo orden ara el érmino del reardo. Suiuyendo lo valore del reardo L 4. 3 (ecuación (.9) Caíulo II) e obiene lo iguiene: L N ( ) D ( ) 6 L L 6 L L (6.3) La ecuación (6.3) e el modelo maemáico aroximado del reardo de iemo y e omada como función de ranferencia, or lo que: Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 93

95 Y ( ) U( ) (6.33) La función de ranferencia rereenada or ecuación (6.33) e mulilica con la variable () obeniendo la iguiene ecuacione: Y ( ) ( ) ( ) ( ) (6.34) U( ) ( ) ( ) ( ) (6.35) Al alicar la ranformada de Lalace en la ecuacione (6.34) y (6.35), e obiene lo iguiene: Y ( ) ( ) ( ) ( ) (6.36) U( ) ( ) ( ) ( ) (6.37) Ya eniendo la ecuacione e rocede a la aignación de eado a arir de la ecuación (6.37): ( ) x (6.38) (6.39) x ) ( x ( Deejando la variable ) de la ecuación (6.37), e obiene lo iguiene: x ( ) u( ) ( ) ( ) (6.4) Por lo ano: x u( ) x x (6.4) Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 94

96 Se uiuye la ecuación (6.45) en la variable ) de la ecuación (6.36), quedando de la iguiene manera: ( y( ) u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.4) y( ) u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.43) y( ) u( ) ( ) u( ).79696x (6.44) Tomando la ecuación (6.9) ara realizar la rereenación en variable de eado, donde lo coeficiene e ueden deerminar de la forma de la ecuacione (6.) y (6.), e obiene: A B n n (6.45) C D n n [] (6.46) Ahora bien, la rereenación en variable de eado de la lana in el reardo ea dada or la ecuación (6.7) como e muera a coninuación: A l Bl (6.47) C l l [] D [] (6.48) En la Figura 6.6 e muera la rouea del eimador del iema con la aroximación de egundo orden del reardo de iemo de la lana rouea. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 95

97 Figura 6.6 Diagrama a bloque del eimador roueo del iema y la aroximación del reardo. La rereenación en variable de eado del roceo libre de reardo y el reardo ueden inegrae en una ola rereenación dada or la ecuación (6.9), en ee cao: A B ln ln (6.49) C D ln ln [ [].796 ] (6.5) El iguiene ao e calcular la ganancia de la inyección G ariendo de la ecuación caraceríica de( I ( A GC)), omando lo valore de la ecuacione (6.56) y (6.57) g3 g 6.7 g.796 (6.5) Dearrollando la ecuación caraceríica rooniendo lo olo ubicado en..3 4, el vecor reulane eá ubicado en lo olo de lazo cerrado con ganancia G. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 96

98 Ahora bien, la ecuación caraceríica de( I ( A GC)) eabiliza el olinomio y garaniza que él limx( ) x ) ˆ( ea igual a. La reuea del error y e muera en la Figura 6.7. E imorane eñalar que ea reuea e únicamene con condicione iniciale del roceo diferene de y la aroximación del reardo de egundo orden, or lo que i e rabajara con órdene mayore, la reuea del comoramieno de la eñal ería mejorada. Figura 6.7 Reuea de Error de Eimación De la Figura 6.7 e uede comenar que ea eñal no uede er medida fíicamene, olo e llevó de forma de imulada ara corroborar que el eimador e encuenra bien dieñado. Cabe mencionar que ea reuea rereena el comoramieno del iema juno con el conrolador PI ecuación (6.5), inonizado ara el redicor de Smih (Caíulo V), eo a razón de que erán comarado lo do equema. k(.4) 8.7(.4) G c ( ) 8.7 (6.5) En la Figura 6.8 e muera la eñal y ( ) que rereena la eñal de alida del iema con la acción de conrol y el eimador. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 97

99 Figura 6.8 Reuea de la lana rouea v equema de eimación. La Figura 6.8 muera la reuea de alida de la lana, coniderando una enrada ecalón uniario y la acción de lo conroladore ara obener una reuea de alida y ( ). De la mima forma que la imulacione de lo méodo aneriore, e uiliza ara el análii del conrolador lo iguiene arámero de la reuea de alida M, d, r,, y N / A morado en la Tabla 6.. e, Donde: e : M : Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. d : Tiemo de Reardo. r : Tiemo de Crecimieno de (%) : Tiemo Pico : Tiemo de Eablecimieno (5%). Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 98

100 N / A No alica Señal e M d r y N / A.3% Tabla 6.. Reuea ranioria del diagrama de redicción de Smih. De la Tabla 6. e uede obervar que la reuea y ( ) rereena la alida del iema uilizando el conrolador PI, que e el mimo que fue inonizado ara el redicor de Smih (PO), éo con la finalidad de comarar enre eo do méodo debido a u imiliud. De la abla 6. e oible ver que el conrolador PI ermie al iema eliminar el error en el eado eacionario e llegando a la referencia. Eo uede obervare en la Figura 6.8, donde el valor final de y ( ) e el valor del ecalón uniario. La reuea de alida logra alcanzar un máximo obreimulo M de.3%, el cual, al igual que en el méodo del (PO), e bajo y or coniguiene amoco odría reenar afecación a la lana; or úlimo, e oberva un iemo de eablecimieno de. 8 egundo. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica. 99

101 CAPÍTULO VII ANÁLISIS DE RESULTADOS. 7. INTRODUCCIÓN. En ee caíulo e aborda el análii comaraivo de la reuea al ecalón de lo diferene méodo vio en ee rabajo. Ea comaración e baa en la reuea la alida imulada or el ofware MATLAB SIMULINK. E imorane coniderar que ara un iema de lazo cerrado lo arámero imorane on: un obreimulo bajo o nulo; un iemo de eablecimieno bajo; y que el iema ueda ener rechazo a erurbacione, ya ean inerna o exerna, al iema. En ee rabajo coniderándoe conidera únicamene la comaración de reulado con lo arámero iguiene: Máximo Sobreimulo M, el cual e imorane ya que al adicionar la eñal de conrol y cerrar el lazo, el valor ico máximo de la curva en condicione reale uede dañar nuero iema o roceo; el oro arámero a coniderar e el Tiemo de Eablecimieno con 5% en u valor final, ara verificar cual méodo ienen un iemo de eablecimieno má coro. En lo méodo obervado en lo caíulo aneriore, fueron morada la reuea al ecalón de la lana rouea G( ) 4.3 ( 6.7 ) y u diferene Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

102 accione de conrol. No obane, ara ener un mejor enendimieno de la reuea ara un análii comaraivo, fue neceario agregar Tabla morando lo valore de lo iguiene arámero: a) e b) M c) d Error en el eado Eacionario Máximo Sobreimulo. Tiemo de Reardo. d) r Tiemo de Crecimieno de (%) e) Tiemo Pico f) Tiemo de Eablecimieno (5%). Lo arámero indican cómo e comora la reuea ranioria a la enrada de ecalón uniario alicado a odo el iema. Por lo ano, lo valore que arrojen en eo arámero no mueran la caraceríica de funcionamieno del iema de conrol inonizado, en una forma cuaniaiva. 7. COMPARACIÓN DE RESULTADOS REGLAS DE AJUSTE. Ahora bien, e imorane indicar que or el io de meodología de la regla de ajue, éa reenan arámero ara inonizar conroladore ya ean P (roorcional), PI (roorcional-inegral) y PID (roorcional-inegral-derivaiva); la reuea de alida ( ) y, y ( ) y y ( ) 3, la cual correonde a lo conroladore P, PI y PID, reecivamene. En odo lo cao lo arámero de comaración e reenan en Tabla. El Error en el Eado Eacionario e e reena únicamene en lo méodo de regla de ajue ya que la nauraleza de dicho méodo no roorcionan un valor de la ganancia k. Mienra ano, en el méodo ieraivo y en lo diagrama de redicción e aegura que él e. En la Tabla 7. e uede obervar el Méodo (I) que rereena la rouea de inonización de Ziegler y Nichol; El méodo (II) Tabla 7. y (III) Tabla7.3, rereenan la rouea de Chien, Hrone y Rewick, que a u vez roone la inonización con % y % de obreimulo, reecivamene; y finalmene el méodo (VI) rereenado or la Tabla 7.4 correonde a la rouea de Cohen Coon. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.

103 Tabla 7. Reuea Méodo I de Sinonización or Regla de Ajue. Ingeniería en Comunicacione y Elecrónica.