MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO

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1 INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) ISSN MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO REALISTIC MODELS FOR VERIFYING SHEAR IN REINFORCED CONCRETE MEMBERS Fracisco Aguirre, Sebastiá Otiveros y Alejadra Orellaa Cetro de Ivestigacioes e Materiales y Obras Civiles (CIMOC) Uiversidad Privada Boliviaa faguirre@upb.edu (Recibido el 15 de juio de 2015, aceptado para publicació el 30 de juio 2015) RESUMEN Co el crecimieto acelerado de las resistecias del hormigó a compresió, es ecesario cosiderar modelos de cálculo de las estructuras rigurosos. Las ormas de cálculo de estructuras de hormigó armado tiee sus modelos matemáticos basados pricipalmete e esayos de laboratorio y usualmete so empíricos. Muchos códigos tiee modelos de cálculo de estructuras bastate coservadores y desactualizados, porque resulta complejo estudiar todas las variables que ifluye e el comportamieto de u elemeto sometido a esfuerzos cortates combiados co otros tipos de esfuerzos. Este trabajo está basado e ivestigacioes de Collis dode propuso la Teoría del Campo de Compresió (TCC), más adelate Vecchio y Collis desarrollaro la Teoría del Campo de Compresió Modificada (TCCM) y años más tarde Betz, Vecchio y Collis presetaro la Teoría del Campo de Compresió Modificada Simplificada (TCCMS), siedo este último u poco meos riguroso pero más simple de ser aplicado. E este artículo se propoe modelos basados e la TCCM y TCCMS y se muestra resultados de ejemplos aplicado estos modelos comparádolos co las ormas ACI y CAN E el cálculo de la armadura trasversal, la variació etre la TCCM y las ormas ACI y CAN fue de 33% y 64% respectivamete y la variació etre la TCCMS y las ormas ACI y CAN fue de 2% y 25% respectivamete. ABSTRACT As stregth i cocrete i stress grows fast, it is ecessary to cosider more accurate structural method. Most of the moder codes are based o the aalysis of laboratory tests ad they use very empirical expressios. The differet methods used o these codes remai coservative ad have bee left outdated because aalyzig each ad every variable that iflueces shear stregth is a complex matter. This article is based o the research made by Collis with their Compressio Field Theory (CFT), later Vecchio ad Collis preseted the Modified Compressio Field Theory (MCFT). Years later Betz, Vecchio ad Collis developed the Simplified Modified Compressio Field Theory (SMCFT), beig this oe less accurate but easier to apply. This article presets models based o MCFT ad SMCFT ad shows examples usig MCFT ad SMCFT compared to the results i the same example usig ACI ad CAN These results show that stirrups variatio betwee MCFT ad ACI ad CAN gave 33% ad 64% respectively, ad the variatio betwee SMCFT ad ACI ad CAN gave 2% ad 25% respectively. Palabras Clave: Resistecia, Cortate, Hormigó Armado. Keywords: Stregth, Shear, Reiforced Cocrete. 1. INTRODUCCIÓN El diseño a esfuerzos cortates de elemetos de hormigó armado viee determiado por u gra úmero de variables, etre las cuales se ecuetra: su geometría, la resistecia de sus materiales, sus dimesioes, dimesioes de los agregados, las cargas aplicadas, la flexió, el esfuerzo axial y la torsió actuates combiadas co el cortate, etc. E el cogreso de 1970 de la Fédératio Iteratioale de la Précotraite (FIP), Fritz Leohardt dijo que la pricipal razó por la cual se tiee teorías deficietes para torsió y cortate es justamete porque estos esfuerzos se ve iflueciados por más de 20 variables y que la mayoría de los resultados de laboratorio so imparciales o de baja calidad [4]. Muchos de los experimetos de laboratorio que se realiza para aalizar los esfuerzos cortates so aquellos que se aplica ua o dos cargas putuales e ua viga de hormigó armado o si armadura trasversal. Si embargo, lo más importate para el diseño a cortate es adoptar u modelo que se aproxime suficietemete a la realidad. El modelo más coocido y que fue el más aplicado es el modelo de la cercha co (Figura 1). 32 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

2 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE S 2 S 1 1 R c R s z V u z(cotg ) z(cotg ) x Figura 1 Modelo de cercha discreta geeralizada que es la estructura resistete de ua viga sujeta a flexió y cortate. 2. EVOLUCIÓN DEL DISEÑO A CORTANTE La idea de utilizar modelos de cercha para el aálisis de cortate comezó a ser desarrollado hace más de 100 años. Se asume que el hormigó etre fisuras diagoales e el alma de ua viga e combiació co la armadura trasversal resiste el esfuerzo cortate. Este modelo aú sigue siedo muy aceptado y utilizado hoy e día por la simplicidad de sus cálculos. E 1950, el Istituto de Cocreto Americao (ACI por sus siglas e iglés) se dedicó a desarrollar uevos modelos mejorados especialmete porque varias vigas de dos oficias de la Fuerza Aérea de los Estados Uidos se desplomaro. E 1962, se propusiero uevos métodos de cálculos, los cuales so aú la base de la ACI [5]. Segú Kaufma [6], por los años 50 fue aplicada la teoría de la plasticidad a estructuras de hormigó. Co este modelo, el pricipio de cerchas discretas se puede implemetar a campos de compresió discotiuos o regioes D y se puede aplicar los estados límites a regioes co iterrupcioes de cotiuidad como quiebres, huecos, muros, vigas peraltadas, etc. La Teoría del Campo a Compresió (TCC) desarrollada por Collis [1], fue u gra avace hacia el desarrollo de ua teoría racioal para cortate. Esta teoría cosidera codicioes de deformació e el alma de la viga para determiar el águlo de icliació θ de la biela comprimida mediate la relació ( ) ( ), dode estas variables se muestra e la Figura 2. E este método o se cosidera la tracció existete etre las fisuras diagoales, pero ya presetaba buea precisió e la determiació de la resistecia a cortate de elemetos de hormigó. Más adelate, Vecchio y Collis [2], desarrollaro la Teoría del Campo de Compresió Diagoal Modificado (TCCM) a partir de esayos e paeles de 89 cm x 89 cm por 7 cm de espesor cargados e su propio plao a cortate puro y cortate co esfuerzos axiales. Etre los resultados de estos esayos, se ha cosiderado al hormigó fisurado como u uevo material. Se desarrolla e base a las ecuacioes de equilibrio co tesioes ormales y cortates promedios, ecuacioes de compatibilidad de deformacioes y las relacioes costitutivas de los materiales, todas éstas aplicadas e u elemeto del alma de la viga (Figura 2). Tambié aaliza el equilibrio e ua fisura diagoal (Figura 8). De maera iteractiva, se obtiee la icliació de la biela comprimida y el factor de debilitamieto de las tesioes de tracció etre las fisuras, etre otros parámetros de diseño. Mediate la TCCM se lograro hallar resultados muy precisos de la resistecia a cortate e paeles de hormigó armado que e alguos casos alcazaba ua relació experimetalcalculado de 1,01. Fialmete, Betz, Vecchio y Collis [3], presetaro la TCCMS que es ua simplificació del TCCM partiedo de las mismas hipótesis y ecuacioes para hallar y, este modelo preseta meos iteraccioes. La orma AASHTO LRFD [8] adopta este modelo y e lugar de iteraccioes preseta tablas para las diversas situacioes. Co este método, a pesar de teer u procedimieto más práctico, los resultados hallados por Betz, Vecchio y Collis [3] e paeles de hormigó armado seguía siedo cosiderablemete precisos alcazado e alguos casos ua relació de la resistecia a cortate de 1,11. E todos los estudios de la resistecia al cortate de elemetos a flexió co armadura trasversal, se cosidera que ua parte del cortate es absorbido por lo que comúmete se deomia aporte del hormigó e la resistecia al cortate y todo el esfuerzo cortate e el caso de elemetos si armadura trasversal. El presete estudio es justamete para determiar, etre otros resultados, el valor de este aporte. Tradicioalmete, el aporte proviee de tres efectos, que e orde de importacia so: el aporte del hormigó comprimido o fisurado, la fricció etre los agregados y la armadura logitudial trabajado como pero a corte co su efecto de dovela. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 33

3 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA s R cc z b w Tesioes Tesioes Elemeto a ser cortates ormales estudiado a) b) c) x d) Tesioes y deformacioes e el alma de ua viga fisurada Figura 2 Alma de ua viga T fisurada sujeta a esfuerzos ormales, cortates y mometos flectores (adaptada de Aguirre [7]). x M u V u P u 1 y 2 f c2 f c2 f c1 f c2 f c1 f c2 z f c1 R st 3. APORTE DEL HORMIGÓN EN LA RESISTENCIA A CORTANTE E los primeros modelos de cercha para el cálculo de la resistecia a esfuerzos cortates, sólo se cosideraba el aporte de la armadura trasversal e la resistecia al esfuerzo cortate. Actualmete, se sabe que el hormigó aporta e la resistecia al cortate a través de la armadura logitudial trabajado co su efecto de dovela, esta acció aparece cuado ya se tiee aberturas e las fisuras diagoales razoables. Para aberturas moderadas de las fisuras diagoales, el efecto de dovela es pequeño frete al efecto de la compoete vertical de la trabazó de los agregados para la misma abertura, Figura 3. E el hormigó comprimido o fisurado, se ha verificado que su aporte e la resistecia al cortate es porque se geera esfuerzos pricipales diagoales que forma fisuras cortas y e presecia de la armadura trasversal compoe su resistecia al cortate, ormalmete la falla ocurre cuado la armadura trasversal alcaza la fluecia, Figura 3. Resistecia itera al cortate V it V cc V sd V ay V sw fisuras Iicio de Iicio de de fisuras fluecia falla flexio diagoales del estribo Cortate aplicado Figura 3 Distribució de los aportes resistetes e vigas co estribos. El hormigó o fisurado actúa como u aclaje de los refuerzos trasversales y de las diagoales comprimidas. Estas diagoales so comprimidas co ua tesió (Figura 2) y tambié aporta a la resistecia trasmitiedo las fuerzas de la cara superior del elemeto hacia el cordó iferior y los apoyos. Estas bielas al ecotrarse e compresió axial, tiede a expadirse lateralmete, lo cual geera presioes laterales y, de esta maera, se trasmite tesioes de tracció a través de las fisuras (so tesioes pricipales etre fisuras). Estas tesioes permite que las dos caras de la fisura se sujete etre si y aporte co su fricció para resistir el esfuerzo cortate. Simplificadamete, se puede asumir que los elemetos del alma de los paeles esayados por Vecchio y Collis [2] y elemetos del alma de vigas se comporta como u problema bidimesioal, podría ser cosiderados como elemetos de membraa y que su campo de tesioes se correspoda co su campo de deformacioes supoiedo u estado plao 34 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

4 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE de tesioes (EPT). E este trabajo o se limitará a obteer las relacioes costitutivas para el hormigó fisurado y para la armadura de refuerzo, será aalizado u modelo físico del aporte del hormigó e la resistecia al cortate. 4. MODELO QUE CORRESPONDE A UN ELEMENTO MEMBRANAL Cosiderado que los elemetos estructurales está sujetos a fuerzas exteras y gravitacioales, surge esfuerzos distitos e el iterior de los diferetes putos del cuerpo. La ecuació (1), escrita e forma tesorial, muestra la relació etre estos esfuerzos y su campo correspodiete de deformacioes para u puto del iterior de u elemeto tridimesioal. La expresió etre las tesioes y deformacioes se ecuetra e su forma más geeral y vale iclusive para materiales depedietes del tiempo. dode es el tesor de tesioes, es el tesor de deformacioes (estos tesores so simétricos y de 3 x 3 térmios) y la matriz de elasticidad que es u tesor de cuarta orde de 81 costates elásticas. Co la relació costitutiva de la ecuació (1) se cosigue obteer el úmero suficiete de ecuacioes para resolver el problema. El problema e el caso más geeral, cosiste e resolver 15 ecuacioes (3 ecuacioes difereciales del equilibrio itero, 6 ecuacioes difereciales de compatibilidad de deformacioes y 6 ecuacioes costitutivas) para obteer las 15 icógitas para cada puto del iterior del cuerpo (3 desplazamietos, 6 tesioes y 6 deformacioes específicas). E el caso de u elemeto del alma, Figura 2 y Figura 4, se puede asumir que se tiee sólo desplazamietos e u plao (o existe tesioes i deformacioes e la direcció z), so estados bidimesioales que represeta ua aproximació de u estado tridimesioal. (1) Y f y f x Y f x f y f x Z X a) b) Figura 4 Tesioes membraales. f y X Para determiar el estado de tesioes alrededor de u puto es ecesario coocer los térmios de la matriz simétrica del estado de tesioes o el llamado tesor de tesioes. La matriz del estado de tesioes debe satisfacer las ecuacioes de equilibrio que gobiera la distribució de tesioes e el iterior del cuerpo deformable, las ecuacioes de equilibrio de este elemeto diferecial se puede ecotrar e Timosheko y Goodier [9]. La ecuació (2) muestra el tesor de tesioes de u elemeto del alma de la viga. [ ] (2) De la misma maera que surge esfuerzos solicitates e el iterior de u cuerpo, se tiee variacioes etre las distacias etre los diferetes putos. La Figura 5 muestra las deformacioes de u elemeto del alma dode se asume que sus lados permaece rectos y paralelos después de la deformació. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 35

5 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA y y Figura 5 Deformacioes de u elemeto membraal. E u EPT, es ecesario cosiderar las deformacioes específicas lieares y la distorsió referete a las direccioes x y y. El estado plao de tesioes deberá satisfacer las ecuacioes de compatibilidad (Timosheko ad Goodier [9]). La ecuació (3) preseta la matriz del estado de deformacioes o tambié llamado de tesor de deformacioes. x g x [ ] (3) Para el hormigó o fisurado e isotrópico, la ecuació (4) preseta matricialmete la relació etre las tesioes y deformacioes para u EPT. ( ) [ ] ( ) (4) ( ) dode, es el módulo de deformació secate y es el coeficiete de Poisso del hormigó. Cuado el hormigó se fisura, la matriz de elasticidad se vuelve aisotrópica, co. E esta situació, e direcció perpedicular a la fisura es ulo e la fisura y etre fisuras su valor es proporcioal al módulo de deformació secate pero e la direcció perpedicular a las fisuras (direcció traccioada del sistema de coordeadas de las fisuras diagoales). Para el caso de los paeles de hormigó fisurado y atravesado por armaduras trasversales y logitudiales, la matriz de elasticidad tedría ua forma muy diferete. E el siguiete parágrafo, se preseta las relacioes costitutivas de forma experimetal para u elemeto del alma de la viga. 5. TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIÓN MODIFICADO Esta teoría muestra u modelo aalítico que represeta el comportamieto del hormigó, armado e direccioes perpediculares y discretizado como u elemeto de membraa sujeto a tesioes ormales y cortates (Figura 6). E esta teoría se represeta el alma de la viga como u cojuto de diagoales comprimidas etre fisuras diagoales, atravesada por estribos y armadura de piel. Es posible icluir las tesioes de tracció existete etre fisuras diagoales como ua maera de itroducir el aporte del hormigó e la resistecia al cortate a través de las fisuras diagoales. Esta teoría explica físicamete el aporte del hormigó e la resistecia al cortate si mayores cosideracioes sobre los porcetajes de cada tipo de aporte. Esta teoría se aplica para regioes co cotiuidad o regioes B. El modelo, para la simplicidad de sus cálculos, cosidera el promedio de tesioes y deformacioes e u pael co varias fisuras, las fisuras diagoales puede trasmitir esfuerzos cortates y ormales de compresió, Figura 7, para cada estado de deformació sólo existe u estado de tesió. 36 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

6 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE y y f y y 2 x x f x Figura 6 Elemeto de u pael de hormigó sujeto a tesioes y deformacioes medias (adaptada de Aguirre [7]). La TCCM está fudametada e las relacioes de compatibilidad de las deformacioes medias e el hormigó y e las armaduras, relacioes de equilibrio etre las tesioes medias e el hormigó y e las armaduras y relacioes costitutivas del hormigó fisurado y de las armaduras [7]. De las relacioes de compatibilidad de deformacioes aalizadas por Aguirre [7], la ecuació (5) muestra la relació etre las deformacioes específicas pricipales co las deformacioes específicas verticales (cosiderada igual a la de los estribos) y horizotales (cosiderada igual a la de la armadura logitudial traccioada). Estas relacioes fuero obteidas utilizado el círculo de Mohr de deformacioes. Ambas expresioes so fució del águlo de icliació de la tesió pricipal de compresió (cosiderada co igual icliació a la deformació específica pricipal de compresió, Figura 2). 1 f c1 f c2 2 f y f cx ( ) (5) f cy f x x c r sy.f sy c f sy f sx r sx.f sx De las ecuacioes de equilibrio e la TCCM aalizadas por Aguirre [7], equilibrado las tesioes e las direccioes x y y, cosiderado el diagrama de cuerpo libre de la Figura 6 y utilizado el círculo de Morh se obtiee las relacioes de las tesioes ormales y cortates co la tesió pricipal de tracció (particularmete, todos los materiales cotribuye co su resistecia, Figura 6). Las ecuacioes (6) y (7) muestra estas igualdades, dode so las tesioes e el hormigó, so las cuatías geometrías de las armaduras y so las tesioes de trabajo de las armaduras. Como se mostrará posteriormete, los valores de las tesioes y deformacioes pricipales puede ser obteidos mediate esayos de laboratorio. De la ecuació (7) es posible retirar el térmio de la tesió ormal vertical, porque el presete estudio correspode a ua regió de ua viga a flexió y ifluye muy poco. La ecuació (8) preseta la resistecia al esfuerzo cortate que viee de resolver la ecuació (7) para la tesió tagecial, ya si el térmio, (6) (7) (8) E la ecuació 8 se destaca tato el aporte del hormigó e la resistecia al cortate. como de la armadura trasversal Co las relacioes costitutivas estudiadas por Aguirre [7], se completa el úmero de ecuacioes para obteer las respuestas ecesarias. Estas relacioes so etre las tesioes medias y las deformacioes específicas medias para el hormigó fisurado y la armadura. Para la armadura se admite u estado de tesió axial, o sea, u comportamieto elasto-plástico perfecto, dode so: la tesió de trabajo, la deformació específica, el módulo de elasticidad y la tesió de fluecia de la armadura respectivamete. Para el hormigó, e Vecchio y Collis [2], Betz, Vecchio y Collis [3], Collis, et al. [10] y Vecchio [11], fuero realizados esayos e paeles de hormigó co armaduras perpediculares etre si y distribuida uiformemete e UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 37

7 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA ambas direccioes para diversas situacioes de carga. Durate los esayos, las tesioes era coocidas y sus correspodietes deformacioes fuero medidas para cada etapa de carga. Fue posible costruir u círculo de Morh e cada etapa de carga, obteiédose las tesioes y deformacioes pricipales para cada etapa. De esa maera, se logró las relacioes costitutivas durate los esayos para la tracció y compresió. Durate los esayos, las tesioes e las armaduras fuero obteidas por medició directa. Co los resultados de estos esayos, se estableció que la tesió pricipal de compresió de la biela del hormigó, está e fució de la deformació pricipal promedio a compresió y de la deformació promedio a tracció. Fue verificado que luego de que se produjero las fisuras diagoales, el hormigó trasmite esfuerzos de tracció etre las fisuras. La ecuació (9) muestra la expresió de e fució a la deformació pricipal, dode aparece el factor (factor de debilitamieto) que provoca u abatimieto de la curva de u esayo a compresió de ua probeta cilídrica, de esta maera se cosidera que el hormigó etre fisuras y atravesado por armaduras como u hormigó debilitado, ( ) ( ) ( ) (9) (10) dode, es la deformació específica correspodiete al pico de la curva (como las ormas ACI [12] y CAN3-A [13] o especifica el valor de la deformació pico, su valor fue adoptado de Vecchio y Selby [14] como {( ) ( ) } ). Para cosiderar los valores límites de las deformacioes pricipales, e este trabajo se adopta la deformació pico del hormigó debilitado, ecuació (5). Se supoe que ha ocurrido el aplastamieto de la biela cuado la compresió e la biela alcaza es la resistecia pico de la curva tesió-deformació específica del esayo del cilidro a compresió., dode Para la relació costitutiva del hormigó traccioado, después de que ocurre la fisuració diagoal (este modelo o cosidera la situació ates de la fisuració), la ecuació (11) preseta el valor de, dode puede ser cosiderado como u factor de debilitamieto de la resistecia a tracció del hormigó etre fisuras y la resistecia a tracció simple del hormigó adoptada de Collis, et al. [10]. (11) dode es la deformació correspodiete al iicio de la fisuració, co el módulo de deformació tagete e el orige de la curva. La ecuació (11) y Figura 12a muestra que la tesió pricipal de tracció etre las fisuras diagoales cuado los valores de aumeta. dismiuye Para elevados valores de, la armadura trasversal sufre deformacioes excesivas (mayores a la deformació correspodiete al iicio de la fluecia, Figura 13b) y comieza a ocurrir deslizamietos e la fisura. Las tesioes e el plao de la fisura, de fricció y tesioes ormales de compresió se obtiee del aálisis de la fisura, Figura 7. ci f ci a f ci ci w Figura 7 Trasmisió de tesioes tageciales y ormales por la fisura [7]. 38 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

8 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE 5.1 Cargas trasmitidas a través de las fisuras El estudio de la variació de tesioes e la fisura es importate porque muestra la capacidad última que podría soportar u elemeto de membraa, las expresioes ateriores o cosidera variacioes locales de tesioes. Si la deformació pricipal de tracció es elevada, la abertura de la fisura aumeta y el valor de la resistecia a la tracció dismiuye rápidamete (Figura 12a y Figura 13a). Es ecesario realizar u equilibrio de esfuerzos e la fisura que cosidere variacioes locales de tesioes y deformacioes. La Figura 8 muestra las tesioes e las armaduras y e el hormigó para ua secció etre dos fisuras (a) y e la fisura (b). S1 S2 f sy f c1 r sy.f sy f sy,fis f ci f x f x f y a) Tesioes etre fisuras Figura 8 Tesioes e ua fisura diagoal y etre fisuras diagoales [7]. Cosiderado el equilibrio de las tesioes e las direccioes x y y de la Figura 8b (e la secció de la fisura) y asumiedo el área de las seccioes S1 y S2 igual a la uidad y descosiderado las tesioes ormales de compresió e el plao de la fisura, Figuras 7 y 8, se obtiee: dode, las tesioes actuates e el plao de la fisura e las armaduras e las direccioes x y y, respectivamete. E Vecchio y Collis [2] se demuestra que es ecesaria la presecia de las tesioes para el equilibrio del elemeto de membraa. Resolviedo la ecuació (13) para la tesió tagecial y retirado la tesió ormal, por ser poco represetativa e vigas, se obtiee la ecuació (14), dode depede de la tesió de fricció juto a la fisura, Figura 7. Comparado la ecuació (14) y la ecuació (8), se puede deducir que cuado la tesió de trabajo e la fisura alcaza la fluecia ( ) se tiee que, que segú el modelo correspodería a ua situació límite, cuado puede ocurrir deslizamietos e la fisura, o sea, para que o ocurra deslizamietos e la fisura, Segú Walrave 1 apud Vecchio y Collis [2] las tesioes de fricció e la fisura se puede adoptar como. A favor de la seguridad, si cosiderar las tesioes ormales, la ecuació (16) determia el valor de, Segú Vecchio y Collis [2] la tesió de fricció máxima etre las fisuras puede ser adoptada como f sx r sx.f sx f sx,fis ci ( ) ] y cosiderado las ecuacioes (15) y (16), la tesió de tracció límite etre las f y b) Tesioes e la fisura (12) (13) (14) (15) (16) 1 Walrave, J.C., Fudametal Aalysis of Aggregate Iterlock, ASCE, v.107, ST11, November UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 39

9 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA fisuras se puede escribir como (la Figura 12a muestra cómo dismiuye el co el aumeto de la deformació pricipal y e la Figura 12b se muestra la dismiució de co el aumeto de ). El modelo o sirve para valores mayores a éste, la ecuació (17) muestra el valor de, ( ) (17) dode, a es el diámetro máximo del agregado e mm, es el acho medio de la fisura diagoal e mm y es la separació etre las fisuras diagoales que se obtiee de Vecchio y Collis [2] y que se muestra e la ecuació (18), ver Figuras 2 y 7, ( ) ( ) ) ( (18) dóde, so las compoetes de las separacioes medias etre las fisuras e direcció x y y, respectivamete, y puede ser calculadas co (adaptadas de Kaufma [6]): ( ) ( ) (19) ( ) ( ) (20) dóde, so los diámetros de la armaduras e relació a la direcció x y y, respectivamete. Para resolver todos los parámetros de la TCCM so ecesarias muchas iteraccioes y se platea 15 ecuacioes que se muestra e la Figura 2 de Betz, Vecchio y Collis [3]. E total so 23 pasos (Vecchio y Collis [2]), etre los cuales se comieza adoptado parámetros relacioados a las fisuras, se estima el águlo de icliació de las fisuras diagoales, se estima tesioes de trabajo de las armaduras y luego se comieza resolviedo las ecuacioes de equilibrio y se calcula las deformacioes específicas e las direccioes de los ejes x y y. Co el valor de éstas, se verifica si las tesioes de trabajo adoptadas correspode a las estimadas, si o correspode se vuelve a estimar valores hasta que cierre las iteraccioes y se alcace alguo de los estados límites (EL). Se cosidera falla (EL) cuado: 1), ocurrió u deslizamieto e la fisura; 2), ocurrió el aplastamieto de la biela comprimida y 3), ocurrió la fluecia de la armadura logitudial. Posteriormete e Collis, et al. [10], se defie el Método Geeral de Dimesioamieto a Esfuerzos Cortates ordeado mejor el modelo, la orma caadiese CAN [15] la adopta como u modelo alterativo de dimesioamieto de elemetos de hormigó armado sujetos a esfuerzos cortates. E este modelo se cosidera e la posició del cetroide de la armadura logitudial traccioada y el aporte del hormigó e la resistecia al cortate se defie como que se obtiee de la ecuació (8). Las expresioes de la TCCM permaece, quedado a ser ecotrados e forma iteractiva (e realidad el factor de debilitamieto del hormigó comprimido y traccioado y ). Para que pueda aplicarse ambos modelos so ecesarias varias iteraccioes, y el resultado fial os permite obteer los parámetros de diseño E vigas sujetas, por ejemplo, a cargas uiformes dode los tramos de vigas tiee esfuerzos cortates y mometos flectores, existe ua variació liear de los esfuerzos cortates. Los resultados obteidos por los paeles sujetos a cortate puro o cortate combiado co esfuerzos axiales co armaduras uiformemete distribuidas e direccioes x y y, o correspode totalmete a estos tipos de elemetos. Como las tesioes de trabajo y las deformacioes específicas de los estribos depede del valor de los esfuerzos cortates, sus valores será diferetes e cada estribo y a lo largo de su altura. Para cosiderar esta situació es ecesario realizar u aálisis o liear físico de la viga, discretizado el alma de la misma co elemetos de membraa e diferetes posicioes, cosiderado su posició real de cada elemeto e la viga. 6. MÉTODO SIMPLIFICADO DEL TCCM Cosiderado los motivos descritos e el último párrafo del ítem aterior y la ecesidad de que los proyectistas pueda ecotrar resultados rápidamete y co sigificados físicos. Betz, Vecchio y Collis [3] ha estudiado u modelo simplificado elimiado la ecesidad de iteraccioes. E este modelo simplificado se asume que y (Figura 8) será iguales a la tesió de fluecia (se asume que las deformacioes e las armaduras será mayores a la deformació que correspode al iicio de la fluecia ) y tesioes ormales verticales ulas (poco 40 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

10 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE represetativas). La ecuació (21) muestra el equilibrio etre las tesioes tageciales y las tesioes e las fisuras de la secció S2 e la Figura 8 (descosiderado las tesioes ormales de compresió, Figura 7), ver tambié la ecuació (13), De la misma forma, de la seguda ecuació de equilibrio (7), co las simplificacioes ya mecioadas e el aterior párrafo, se tiee: Las ecuacioes (21) y (22) se puede expresar como: Para seccioes co armaduras logitudiales y trasversales, el modelo TCCMS asume las siguietes expresioes simplificadas para ecotrar directamete el valor de la icliació de las tesioes pricipales de compresió, ecuació (24), y para el factor de debilitamieto del hormigó etre fisuras, ecuació (25): (21) (22) (23) (24) (25) El trabajo de Betz, Vecchio y Collis [3] preseta muchas expresioes para elemetos estructurales si armadura trasversal (SAT), que e este caso o so aalizados por o estar detro de los objetivos directos del estudio. Pero, por ejemplo, las expresioes simplificadas para e elemetos si armadura trasversal se preseta e las ecuacioes (26) y (27): ( ) ( ) (26) dode ( ) es u parámetro de la compoete horizotal efectiva de la separació etre fisuras diagoales y, e la TCCD es la compoete horizotal de la separació etre fisuras diagoales y e este modelo (si armadura trasversal), se permite cosiderar como separació vertical etre armaduras logitudiales. La orma CAN3-A [13] ya icluye el modelo simplificado de la TCCM y lo adopta como su método geeral e el dimesioamieto de elemetos estructurales sujetos a esfuerzos cortates pero, e su modelo simplificado, sugiere adoptar, para hormigoes co y resistecia de la armadura logitudial :. Está claro que al acercarse la falla e la armadura trasversal, el águlo dismiuye y las armaduras trasversales estará trabajado co su capacidad máxima, aumetado el aporte de. Al ocurrir esto, aumeta co la cosecuete dismiució del aporte del hormigó e la resistecia al cortate. Las ecuacioes (8) y (23) muestra estos aportes. (27) Betz, Vecchio y Collis [3] ha verificado tambié que ua gra dismiució de el esfuerzo de la armadura logitudial. tambié provocará u aumeto e Ua forma de adoptar e el modelo TCCMS, es cosiderar para qué valor de se tedrá la máxima cotribució del hormigó. Co las ecuacioes (23), (24) y (25) se obtiee la resistecia a las tesioes tageciales del elemeto, pero tambié so ecesarias iteraccioes para ajustar el valor de adoptado (e la TCCMS, correspode a la deformació a media altura de la viga). Lo iteresate del modelo es que o permite que la armadura logitudial alcace la fluecia (pero a media altura de la viga). Otros estudios preseta tablas e lugar de iteraccioes como e AASHTO, LRFD [8]. La orma ACI [12] para flexió simple y cortate matiee por casi 50 años (o ) costate para cualquier (tiee ua expresió alterativa, dode es la cuatía de armadura logitudial traccioada, d la altura útil y esfuerzos actuates e la UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 41

11 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA secció, esta expresió alterativa es muy poco utilizada). Este valor de valor de la tesió tagecial de formació de fisuras diagoales. de la ACI correspode supuestamete al Expresioes simples de ya fuero elimiadas por otros códigos desde hace mucho tiempo, por ejemplo hace casi 25 años el CEB-FIP 90 [16] tiee ua expresió más refiada. La orma CBH-87 [17] tiee ua expresió corta como de la ACI, que tampoco depede de, pero su resultado parece muy elevado. E el estudio de paeles fisurados Vecchio [11] ha presetado otro modelo, el Modelo del Campo de Tesioes Disturbadas (MCTD), dode se demuestra que para alguas situacioes de armado la icliació de las tesioes pricipales y deformacioes pricipales o es la misma, además ese modelo permite el deslizamieto e la fisura diagoal e icluye modificacioes e las ecuacioes costitutivas del hormigó fisurado comprimido y traccioado. Cabe distiguir que e elemetos co esfuerzos predomiates de flexió, como e el caso de vigas, e las verificacioes e el Estado Límite Último (ELU), las armaduras logitudiales se diseña para que trabaje e la fluecia pero e situacioes de servicio usualmete se ecuetra detro de las regioes elásticas. 7. APLICACIÓN PRÁCTICA E esta aplicació será aalizada ua secció sujeta a mometos flectores, esfuerzos ormales y esfuerzos cortates, el diseño será itegrado, pero será obteidas solamete armaduras trasversales. Para su diseño será utilizada la orma ACI [12], co comparacioes co la orma caadiese CSA [13]. Se realizará tambié comparacioes co los modelos de la TCCM y TCCMS. Las ormas ACI y CSA para el cálculo de sus materiales adopta el bloque rectagular de tesioes simplificado. La Figura 9 muestra ua secció rectagular co la omeclatura y parámetros de diseño utilizados e el ejemplo. Se ha trabajado co los límites impuestos por la orma como ser secció cotrolada por tracció, etre otros (Aguirre [18]). Aguirre [7] y Aguirre [19] ha utilizado diagramas realistas y para obteer el equilibrio de la secció frete a esfuerzos, e estos modelos se ha recurrido a la itegració umérica para obteer la resultate del hormigó comprimido. Desde Aguirre [7] se ha trabajado co u modelo dode el valor de se obtiee de la cofiguració de ruptura de la viga que equilibra los mometos flectores y esfuerzos axiales, de esta maera se evita las iteraccioes y el valor de se obtiee aalizado la posibilidad de deslizamieto de la fisura diagoal (idirectamete la deformació de la armadura trasversal ) y la posibilidad del aplastamieto de la biela comprimida ( ). cu = 3 0,85 f c A s2 M u c s2 a = β. c R st2 R cc h d N u k M A s1 b d S1 = x R st1 Figura 9 Diagramas del bloque de tesioes rectagular y deformacioes de la orma ACI. E este estudio, como se está trabajado e el ELU, para evitar la abertura de fisuras diagoales excesivas se ha defiido que. E la mayoría de las ormas o existe la limitació de, solo la limitació de la tesió de trabajo máxima de la armadura trasversal que idirectamete limita la deformació. E el modelo propuesto es posible saber cuál es la deformació de la armadura trasversal. Las ormas CEB-FIP 90 [16], CBH-87 [17], EUROCODE 2 [20] etre otras, establece ua deformació límite para la armadura logitudial (la orma ACI o establece u límite). Co la de la secció de aálisis 2 e la Figura 1, se puede obteer la tesió e la biela comprimida ( ), cosiderado estribos verticales ( ). 42 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

12 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE Como el modelo propuesto tiee lieamietos de la TCCM, es ecesario verificar el deslizamieto e la fisura y el aplastamieto de la biela comprimida, comparado la tesió actuate e la biela co. Se obtiee otros parámetros como el factor de debilitamieto del hormigó comprimido y traccioado, etc. La teoría descrita ateriormete se aplica al dimesioamieto de los estribos para ua viga co secció rectagular de 20 cm x 40 cm, sujeta a los siguietes esfuerzos últimos:. Los materiales so. Para calcular alguos parámetros relacioados co las fisuras, fuero adoptados los siguietes datos: diámetro de la armadura logitudial 12 mm, diámetro de la armadura trasversal 10 mm, diámetro máximo del agregado 25 mm, cuatía de armadura logitudial y cuatía de armadura trasversal. Para la elaboració de las rutias fue empleado el programa algébrico y simbólico Mathcad. Ambos métodos (TCCM y TCCMS) fuero adecuados a los parámetros de diseño de la orma CSA [13], co las cosideracioes del modelo de este trabajo. Co los datos del problema fue ecotrada la cofiguració de ruptura de la secció e estudio y se obtuvo para la deformació de la armadura traccioada. La orma ACI [12] aplica u solo factor sobre el esfuerzo cortate resistete (suma del aporte del hormigó y de la armadura trasversal) y la orma CSA [13] aplica dos factores, sobre el aporte del hormigó y sobre el aporte de la armadura. La Tabla 1 preseta los resultados de la TCCM y del modelo de este trabajo co las tetativas realizadas para diversos valores de (la variació de ha sido de 1º y se ha variado desde 25º hasta 65º, los valores extremos e itermedios que o iteresa o se muestra) y sus parámetros de diseño correspodietes. E este caso, el criterio para escoger el águlo ha sido de verificar que la biela o aplaste y o ocurra del deslizamieto e la fisura. Se ha marcado los parámetros que correspode al águlo escogido. Iicialmete, comparado el aplastamieto del hormigó, se verifica que el hormigó aplasta para (la Figura 11a tambié muestra esta coclusió). Aalizado el deslizamieto, para existe deslizamieto, sigifica que, la Figura 14a y la Tabla 1 muestra que a mayor águlo mayor es la catidad de armadura, luego se ha adoptado y para este águlo se ha obteido ua armadura trasversal por uidad de logitud de:. ε 1 TABLA 1 CRITERIO PARA ESCOGER ε y POR LA TCCM j θ f β c2max f c2 f c β c1 w f t β c1max [ ] [ ] [MPa] [MPa] [MPa] [cm] [mm] t.max [MPa] [cm 2 /m] ,35 33,78 0,126 2,52 4,04 0,182 0,269 28,31 11,42 0,078 0,115 2, ,37 29,82 0,135 2,70 3,93 0,188 0,277 27,92 10,43 0,085 0,125 3, ,71 27,16 0,144 2,89 3,83 0,194 0,286 27,56 9,57 0,092 0,136 3, ,34 24,78 0,154 3,07 3,73 0,199 0,294 27,21 8,80 0,100 0,147 3, ,20 22,65 0,163 3,26 3,65 0,205 0,302 26,88 8,12 0,108 0,159 3, ,28 20,73 0,173 3,45 3,57 0,210 0,310 26,56 7,51 0,116 0,171 3, ,54 18,99 0,182 3,65 3,51 0,215 0,318 26,26 6,97 0,124 0,183 3, ,97 17,41 0,192 3,84 3,44 0,221 0,326 25,97 6,48 0,133 0,196 4, ,53 15,98 0,202 4,04 3,39 0,226 0,333 25,70 6,05 0,142 0,209 4, ,22 14,67 0,212 4,23 3,34 0,231 0,341 25,44 5,65 0,151 0,222 4, ,03 13,48 0,222 4,43 3,29 0,236 0,348 25,20 5,30 0,160 0,236 4, ,18 5,63 0,320 6,40 3,10 0,280 0,414 23,34 3,08 0,258 0,381 6, ,67 5,12 0,329 6,59 3,10 0,284 0,420 23,21 2,94 0,268 0,396 7, ,19 4,64 0,339 6,77 3,10 0,288 0,425 23,09 2,81 0,278 0,411 7, ,75 4,20 0,348 6,96 3,11 0,292 0,431 22,97 2,70 0,288 0,426 7, ,33 3,78 0,357 7,14 3,13 0,296 0,437 22,86 2,59 0,298 0,440 7, ,94 3,39 0,366 7,32 3,14 0,299 0,442 22,76 2,49 0,308 0,455 8, ,58 3,03 0,375 7,50 3,16 0,303 0,447 22,67 2,40 0,318 0,469 8, ,24 2,68 0,384 7,67 3,19 0,307 0,452 22,58 2,31 0,328 0,484 8, ,91 2,36 0,392 7,84 3,22 0,310 0,457 22,51 2,23 0,337 0,498 9, ,61 2,06 0,401 8,01 3,25 0,313 0,462 22,44 2,16 0,347 0,512 9, ,33 1,78 0,409 8,17 3,29 0,316 0,467 22,37 2,09 0,356 0,525 10,15 s θ A sw UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 43

13 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA E esta misma Tabla 1 se verifica otros parámetros para como la deformació del estribo, mayor que la deformació del iicio de la fluecia y meor al límite establecido e este trabajo de. Se asume que para deformacioes específicas mayores que ocurrirá el deslizamieto de los agregados e la fisura diagoal. La abertura de la fisura diagoal correspode a ua situació de u EL, o correspode u estado límite de servicio (ELS). E la Tabla 2 se muestra para el águlo de la TCCMS y cuáles so los parámetros de diseño ecotrados. E este caso, pero correspode a la deformació de la mitad de la altura de la secció. TABLA 2 PARÁMETROS DE DISEÑO QUE CORRESPONDEN AL. Mu ε x z ε 1 ε y f θ c2 f c2max s f c1 f β θ w c1max [kn.m] [ ] [cm] t β t.max [ ] [ ] [MPa] [MPa] [cm] [mm] [MPa] [MPa] [cm 2 /m] 105 1,93 29,82 42,50 6,52 2,66 3,11 10,25 0,285 23,71 1,55 0,449 0,421 0,662 6,08 E esta Tabla 2 se obtiee co la ecuació (24) (si ecesidad de iteraccioes), e este modelo y para este águlo o se tiee aplastamieto de la biela y tampoco existe deslizamieto e la fisura diagoal y todos sus otros parámetros se ecuetra detro de valores razoables (ver tambié Figuras 11a y 11b). Fialmete, la Tabla 3 muestra u resume del área de las armaduras trasversales obteidas por la TCCM, TCCMS, y las ormas ACI-318M-11 [12] y CAN3-A [13] idicado los aportes del hormigó, de la armadura trasversal y otros importates parámetros de diseño. E la Tabla 3 se verifica que existe variació e los resultados de las armaduras, esto es porque los modelos so calibrados de forma diferete, por ejemplo, para obteer el por la CSA y la TCCMS se utiliza la misma ecuació (24), pero el valor de la deformació logitudial a media altura de la secció es diferete ( ), esto provoca resultados diferetes. E la misma Tabla 3, se observa que para la orma ACI existe u límite de armadura trasversal máxima, es ua forma idirecta de verificar el aplastamieto de la biela comprimida. Tambié o defie el águlo, pero se asume que es porque e sus expresioes de los aportes del hormigó y de la armadura e la resistecia al cortate o explicita. Las expresioes de la CSA tiee y los modelos TCCM y TCCMS tambié, ecuacioes (8) y (23). Método TABLA 3 RESUMEN DE LAS ÁREAS DE ARMADURA TRANSVERSAL θ fc1 ν c ν s V c [kn] V s [kn] [MPa] [MPa] [MPa] [kn] [cm 2 /m] [cm 2 /m] TCCMS 42,5 0,42 0,46 1,66 32,16 116,12-0,65 0,85 119,6 6,08 - TCCM 49,0 0,27 0,58 1,73 40,34 121,14-0,65 0,85 129,2 7,96 - CSA 38,7 0,58 0,58 1,52 36,63 106,13-0,65 0,85 114,0 4,86 - ACI - - 0,75 1,25 52,17 87,83 0, ,0 5,97 11,93 Ø Ø c Ø s Ø V A sw A sw,max A sw Para ver la variació de los diferetes parámetros de diseño, se ha graficado uas curvas comparado los modelos de la TCCM y TCCMS, estas curvas se muestra e las Figuras 10 hasta la Figura ε y [ ] ε 1 [ ] TCCM TCCM adoptado 5 TCCMS 3, θ o (a) (b) Figura 10 Curvas mostrado la variació de e fució del águlo ,3 TCCMS 49 adoptado θ o 44 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

14 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE Existe ua relació iversa etre y las deformacioes específicas. Para pequeños, la Figura 10a maifiesta deformacioes excesivas de las armaduras trasversales y la Figura 10b deformacioes pricipales medias excesivas, que sigifica aberturas de fisuras diagoales excesivas para pequeños. E las Figuras 10a y 10b está marcados los valores de las deformacioes específicas para el águlo adoptado y dóde se situaría los valores que correspode a TCCMS. E las Figuras 11a y 11b se muestra las tesioes pricipales e fució de, se comprueba que para ocurrirá aplastamieto de las bielas comprimidas (Figura 11a) y que para puede ocurrir u deslizamieto e las fisuras diagoales (Figura 11b), e ambos casos se eseña los valores máximos y de trabajo para el adoptado. Tambié está idicados los valores correspodietes al modelo TCCMS dode se verifica que e ambas situacioes o está ocurriedo u EL. 12 f c2 - f C2,max [MPa] ,14 3,13 f C2,max,TCCMS adoptado f C2,max,TCCM f C2,TCCM 0,7 f c1 f C1,max [MPa] 0,6 2 0,1 f C2,TCCMS , θ o θ o (a) (b) Figura 11 Curvas mostrado la variació de e fució del águlo. E la Figura 12a y 12b, se verifica la ifluecia de la deformació específica pricipal e el valor de las tesioes pricipales y sobre sus máximas correspodietes, dode se itersecta las curvas a la deformació límite, siedo que el límite para ambas figuras es del deslizamieto e la fisura diagoal o sea, Tabla 1 y Figura 12a. E estas figuras tambié se muestra los valores correspodietes a la TCCMS. 0,5 0,4 0,3 0,2 0,44 0,43 f C1,max,TCCMS f C1,TCCMS adoptado f C1,TCCM f C1,max,TCCM f C1,max,TCCMS 0,7 f c1 f C1,max [MPa] 0,6 12 f c2 f C2,max [MPa] 10 f C1,max,TCCMS 0,5 0,4 f C1,TCCM 8 0,3 f C1,TCCMS 6 f C2,TCCM 0,2 f C1,max,TCCM 4 2 0,1 f C2,TCCMS 6,5 6,5 f C1,max,TCCM 0, ε 1 [ ] ε 1 [ ] (a) (b) Figura 12 Curvas mostrado la variació de e fució del. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 45

15 AGUIRRE, ONTIVEROS Y ORELLANA La Figura 13a destaca la relació directa que existe etre la abertura de fisuras diagoales y la deformació específica pricipal, esto se aplica e todas las relacioes dode iterviee. Por ejemplo e el caso de las Figuras 12a y 12b las tesioes pricipales actuates y máximas dismiuye al aumetar la abertura de sus fisuras diagoales, que e el caso del águlo la abertura de la fisura es que correspode al EL del deslizamieto e la fisura (Tabla 1). Para el caso de la Figura 13b, existe ua relació directa etre y la deformació específica del estribo, y como se quiere evitar aberturas de fisuras diagoales excesivas es ecesario limitar el valor de (e este trabajo a 5 ). Normalmete, las ormas o establece u valor límite para, pero limita el valor de la tesió de trabajo de la armadura trasversal. 12 w [cm] ε y [ ] ε 1 [ ] ε 1 [ ] (a) (b) Figura 13 Curvas mostrado la variació de co y de co. La Figura 14a refleja u icremeto del valor de la armadura trasversal al aumetar, sigifica que sería más ecoómico adoptar valores de pequeños, pero e este caso se tedría aplastamieto de la biela comprimida o deslizamieto e la fisura diagoal. Para cumplir ambas situacioes su valor como míimo debe ser, podría adoptarse valores mayores a este pero sería atiecoómico. La Figura 14b idica la variació de las tesioes pricipales de tracció co la deformació de la armadura trasversal, se puede apreciar que sólo para deformacioes trasversales pequeñas o se tedría deslizamietos e la fisura. E la misma figura, se verifica que para la TCCMS y para este valor o existe deslizamieto e la fisura diagoal. 12 A sw [cm 2 /m] ,96 6 0,6 f c1 f C1,max [MPa] 0,5 0,4 0,3 f C1,max,TCCMS f C1,TCCMS f C1,TCCM 4 0,2 f C1,max,TCCM θ o (a) 49 0,0 0 5, ε y [ ] Figura 14 Curvas mostrado la variació de co y de co. 0,1 2,7 (b) 46 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015)

16 MODELOS REALISTAS EN LA VERIFICACIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE 8. CONCLUSIONES La TCCM le da u sigificado físico al dimesioamieto de elemetos sujetos a esfuerzos cortates. E la TCCM existe u modelo que explica los parámetros utilizados e el dimesioamieto e base a ecuacioes de equilibrio, a compatibilidad de deformacioes y e base a ecuacioes costitutivas que fuero obteidas de esayos de laboratorio. Se ha verificado que existe ua tesió de tracció etre fisuras que es perpedicular a las fisuras diagoales que es icorporada e el modelo para calcular el aporte del hormigó e la resistecia al cortate, cotradiciedo a las teorías del cálculo de seccioes de hormigó armado, e las cuales casi uca cosidera la resistecia a tracció del hormigó. Surge 2 parámetros importates que so factores que podera la resistecia a compresió y tracció del hormigó fisurado, tratado al hormigó fisurado como u uevo material. Estos parámetros está e fució de la abertura de las fisuras diagoales y de la deformació logitudial. Tambié se explica que a mayor deformació logitudial, meores será los aportes resistetes del hormigó armado al esfuerzo cortate (relació directa etre, ecuació (5)). El problema de la TCCM es que tiee muchas iteraccioes e la obteció de sus parámetros. Las armaduras ecotradas por el método modificado, simplificado, la orma ACI y la orma caadiese, e alguos casos tiee proximidad e sus resultados, pero las diferecias so producto de los diferetes parámetros que adopta sus modelos, e éstos el águlo, los modelos que tiee mayor águlo tiee cuatías de armadura mayor, que es lo que se ha verificado e la Figura 14a. Para la orma ACI, como se asume, la cuatía de armadura ecotrada correspode aproximadamete a este águlo. Co la TCCM y TCCMS es posible coocer la deformació de la armadura trasversal, que resulta e mayor cofiabilidad e la cuatía de armadura obteida. Tambié se ha verificado que co estos modelos se obtiee mayor catidad de armadura trasversal. Los resultados muestra variabilidad e las cuatías de armadura, que sigifica que es ecesario mayores ivestigacioes, por ejemplo, co modelos uméricos que cosidere o liealidades físicas y mecáica de la fractura cotrastado co resultados de más esayos de laboratorio. 9. BIBLIOGRAFÍA [1] M. P. Collis. Towards a Ratioal Theory for RC Memebers i Shear, Proccedigs. Joural of Structural Divisio - ASCE, vol. 104, o. 4, pp , April [2] F. J. Vecchio ad M. P. Collis. The Modified Compressio- Field Theory for Reiforced Cocrete Elemets Subjected to Shear. ACI Structural Joural, vol. 83, o. 2, pp , March-April [3] E. C. Betz et al. Simplified Modified Compressio Field Theory for Calculatig Shear Stregth of Reiforced Cocrete Elemets. ACI Structural Joural, vol. 103, o. 4, pp , July August [4] M. P. Collis et al. A Adequate Theory for the Shear Streght of Reiforced Cocrete Structures, i Morley Symposium o Cocrete Plasticity ad its aplicatio. Uiversity of Cambridge, July 2007, pp [5] M. P. Collis et al. Where is shear reiformet required? Review of Research Results ad Desig Procedures. ACI Structural Joural, vol. 105, o. 5, pp , September-October [6] W. Kaufma. Aalysis of RC Membraes i Desig Practice, i: Fib Symposium Prague, Proceedig, Prague, pp. 5, [7] F. Aguirre. Dimesioamieto Itegrado de Seccioes sujetas a mometos flectores y esfuerzos cortates para cocretos de alta Resistecia. Ivestigació & Desarrollo, Uiversidad Privada Boliviaa, vol. 10, pp , Marzo [8] AASHTO, LRFD Bridge Desig Specificatios ad Cometary, 3er editio, America Associatio of State Highway ad Trasportatio Officials, Washigto, DC, [9] S. P. Timosheko ad J. N. Goodier. Theory of Elasticity. Tokyo: McGraw-Hill, [10] M. P. Collis et al. A Geeral Shear Desig. ACI Structural Joural, vol. 93, o. 1,, pp , Jauary February [11] F.J. Vecchio. Disturbed Stress Field Model for Reiforced Cocrete Structures. ASCE, Joural of Structural Egieerig, vol. 126, o. 9,, pp , September [12] AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Buildig Code Requiremets for Structural Cocrete, ACI-318M-11, ACI Committee 318, September [13] STANDARDS COUNCIL OF CANADA, Desig o Cocrete Structures of Buildigs, CAN3-A , Caadia Stadard Associatio, Caada, [14] P.J. Vecchio ad R.G. Selby. A costitutive model for aalysis of reiforced cocrete solids. Cadia Joural of Civil Egieerig, vol. 24, pp , [15] STANDARDS COUNCIL OF CANADA, Desig o Cocrete Structures of Buildigs, CAN3-A Caadia Stadard Associatio, Caada, [16] CEB-FIP. Model Code For Cocrete Structures, MC 90. Comité Euro-Iteratioal du Béto, Thomas Telford Services Ltd., Switzerlad, [17] MINISTERIO DE URBANISMO Y VIVIENDA, Norma Boliviaa del Hormigó Armado, CBH-87, La Paz, UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 15, Vol. 1: (2015) 47