INTRODUCCION Y ALCANCE DE LOS MÉTODOS

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1 INDICE Capítulo INTRODUCCION Y ALCANCE DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Itroduccó. Qué so los métodos umércos?. Métodos aterores a la aparcó de la computadora. Los métodos umércos y la práctca de la geería.5 Hay límtes para la capacdad de los métodos umércos?.6 Por qué estudar métodos umércos?.7 Leguaje de computadora Capítulo APROXIMACIONES Y ERRORES 7. Itroduccó. Cfras sgfcatvas. Defcoes de error. Lmtacoes y eacttud de los datos epermetales Capítulo SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 9. Itroduccó. Característcas de los métodos umércos. Método de apromacoes sucesvas. Método de bseccó.5 Método de falsa poscó.6 Método de Mote Carlo.7 Método de Newto Raphso.8 Método modfcado de Newto.9 Método de la secate Capítulo SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 6. Itroduccó. Coceptos y operacoes báscas co matrces. Métodos de solucó

2 Capítulo 5 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 6 5. Itroduccó 5. Iterpolacó leal 5. Iterpolacó polomal 5. Ajuste de curvas- apromacó fucoal 5.5 Apromacó a fucoes cotuas Capítulo 6 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 6. Itroduccó 6. Elemetos teórcos 6. Método trapecal 6. Método de Smpso 6.5 Método de Romberg 6.6 Cuadratura de Gauss Capítulo 7 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 8 7. Itroduccó 7. Métodos de solucó APÉNDICE A 7 APÉNDICE B APÉNDICE C 6 BIBLIOGRAFIA 9

3 RESUMEN Al co de cada capítulo, se preseta, de maera seclla, los coceptos báscos más comues relacoados co el tema que se desarrolla, de tal forma que el lector haga ua remembraza de los tópcos que debe coocer y tega ua motvacó medata. Ello facltará que las aplcacoes sea más epedtas y ameas, porque verá co satsfaccó que obtee resultados ta eactos como los que tedría co los métodos aalítcos, cuado sea posble hacerlos de esa forma. Referete a las téccas para resolver problemas, represetados por ecuacoes algebracas y trascedetes, se descrbe sete métodos etre los que destaca, por su secllez: Bseccó, Regla Falsa, Mote Carlo, Newto-Raphso ( llamado també Newto-Secllo, Newto Modfcado y Secate. Etre los métodos que resuelve sstemas de ecuacoes leales, se muestra la bodad y coveeca de los métodos: Elmacó completa de Gauss- Jorda, Matrz versa, Jacob y Gauss Sedel. Las téccas de terpolacó y ajuste de curvas presetadas, maeja los casos leales y o leales. E la terpolacó se eplca co clardad la aplcacó de las fórmulas de Gregory Newto y la fórmula de Lagrage, e el ajuste de curvas, se descrbe co detalle el método de mímos cuadrados, por ser de aplcacó seclla y resultados satsfactoros, s el estudate vsualza el polomo de ajuste más apropado. E la tegracó umérca se cluye, por ua parte: La Regla Trapecal, la Regla de Smpso y, por la otra: La Cuadratura de Gauss y el polémco método de Romberg. Para resolver ecuacoes dferecales, se ecotrará métodos de aplcacó seclla, pero de resultados muy apromados como: Euler, Euler mejorado y Heu; s embargo, també se muestra otros de mayor grado de dfcultad, pero de resultados mejorados, como los métodos de Ruge-Kutta e sus dferetes modaldades. E las aplcacoes, se platea problemas tpo, por áreas del coocmeto e el campo de geería. Los ejemplos presetados fuero resueltos co ayuda de ua computadora dgtal, ya que, se justfca amplamete que, co el advemeto de las computadoras, los métodos umércos adquere ua fuerza, cas superable. EL AUTOR

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5 Capítulo INTRODUCCIÓN Y ALCANCE DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Itroduccó Empezaremos este capítulo, dscutedo e forma breve el propósto y el poder de los métodos umércos; así como sus lmtacoes y posterormete presetaremos ua justfcacó para el estudo detallado de los msmos. E cada capítulo, prmeramete se presetas los elemetos teórcos báscos, co u leguaje fácl de dgerr y al fal de cada eposcó teórca, como u repaso de la teoría se resuelve varos ejerccos, co la faldad de que los estudates les permta, posterormete, adaptarlos a sus ecesdades propas, e sus aplcacoes profesoales o de vestgacó.. Qué so los métodos umércos? Los métodos umércos so ua clase de téccas para resolver ua gra varedad de problemas matemátcos. Estos problemas puede, aturalmete, teer su orge como modelos matemátcos o stuacoes físcas. Este tpo de métodos so etraordaros puesto que solamete so empleadas operacoes artmétcas y lógcas; de esta maera los cálculos puede hacerse drectamete o usado ua computadora dgtal. Auque e el setdo estrcto del térmo, cualquer cosa, desde los dedos hasta u ábaco, puede ser cosderados como ua computadora dgtal, s embargo, aquí usaremos este térmo para referros a computadoras electrócas, las cuales ha sdo usas razoablemete y e forma dfusa, desde a medados de 95. Actualmete los métodos umércos precede a las computadoras electrócas por muchos años y, e realdad, muchos de los métodos usados geeralmete data, e forma vrtual, desde el co de las matemátcas moderas; mas s embargo, el uso de estos métodos fue relatvamete lmtado hasta el advemeto de la calculadora mecáca de escrtoro y posterormete dramátcamete cremetada.

6 E u setdo real, los métodos umércos vero a revolucoar las téccas de solucó, de varos problemas complejos, co la troduccó de la computadora electróca. La combacó de métodos umércos y las computadoras dgtales ha creado ua herrameta de meso poder e el aálss umérco. Por ejemplo, los métodos umércos so capaces de maejar la o leardad, la geometría compleja y sstemas grades de ecuacoes smultáeas que so ecesaros para la smulacó perfecta de muchas stuacoes físcas reales. Las matemátcas cláscas, juto co las matemátcas aplcadas más geosas o puede competr co muchos de estos problemas e el vel requerdo por la tecología de hoy e día. Como resultado, los métodos umércos ha desplazado el aálss co las matemátcas cláscas e muchas aplcacoes dustrales y de vestgacó; s que ello sgfque que las sttucoes deba dejar de clur, e la formacó de los estudates, esta temátca... Métodos aterores a la aparcó de la computadora Ates del uso de la computadora dgtal, había tres métodos dferetes que los geeros aplcaba a la solucó de los problemas, a saber:. Solucoes eactas. Co frecueca, estas solucoes resultaba útles y proporcoaba ua compresó ecelete del comportameto de alguos sstemas. S embargo, las solucoes aalítcas puede ecotrarse sólo para ua clase lmtada de problemas. Estos cluye aquellos que puede apromarse medate modelos leales y també a aquellos que tee ua geometría smple y pocas dmesoes. E cosecueca, las solucoes eactas (aalítcas tee valor práctco lmtado, porque la mayor parte de los problemas reales o so leales, e mplca formas y procesos complejos.. Solucoes gráfcas. Estas solucoes tomaba la forma de grafos o omogramas. Auque las téccas gráfcas a meudo puede emplearse para resolver problemas complejos, los resultados o so muy precsos. Es más, las solucoes gráfcas (s ayuda de ua computadora so tedosas e etremo y dfícles, de mplemetar. Falmete, las téccas gráfcas está lmtadas a aquellos problemas que pueda descrbrse usado tres dmesoes o meos.. Cálculos mauales y reglas de cálculo. Auque e teoría estas apromacoes debería ser perfectamete adecuadas para resolver problemas complcados, e las práctcas, se preseta alguas dfcultades. Los cálculos mauales so letos y tedosos; además o este resultados cosstetes debdo a que surge equvocacoes cuado se efectúa las operacoes de esa forma.

7 ..- Los métodos umércos y la práctca de la geería Desde fales de la década de 9, la multplcacó y dspobldad de las computadoras dgtales ha llevado a cabo ua verdadera eplosó e cuato al uso y desarrollo de los métodos umércos. Al prcpo, este crecmeto estaba algo lmtado por el costo de acceso a computadoras grades, por lo que, muchos geeros cotuaba usado smples plateametos aalítcos e ua buea parte de su trabajo. No es ecesaro mecoar que la recete evolucó de computadoras persoales de bajo costo, ha dado a mucha gete u fácl acceso a poderosas capacdades de cómputo. Además, este u bue úmero de razoes por las cuales se debe estudar los métodos umércos, e cecas e geería:. Los métodos umércos so herrametas etremadamete poderosas para la solucó de problemas reales. So capaces de maejar sstemas de ecuacoes leales grades, la o lealdad y geometrías complcadas (como ya se djo ates, que so comues e la práctca de la geería aplcada y que, a meudo, so mposbles de resolver aalítcamete. Por lo tato, amplía la habldad de que los estuda para resolver problemas.. E el trascurso de su carrera, es posble que el lector tega la ocasó de usar software dspoble comercalmete que cotega métodos umércos. El uso telgete de estos programas depede del coocmeto de la teoría básca e la que se basa los métodos que se dscutrá e este trabajo; por lo que es ecesaro que el estudate los vea ( los métodos umércos, como ua respuesta a sus quetudes.. Hay muchos problemas, e las aplcacoes reales, que o puede platearse al emplear programas hechos. S se está versado e los métodos umércos y se es u adepto a la programacó de computadoras, etoces se tee la capacdad de dseñar programas propos para resolver los problemas, s teer que comprar u software costoso.. Los métodos umércos so u vehículo efcete para apreder a servrse de las computadoras persoales. Es be sabdo que ua maera efectva de apreder a programar las computadoras es al escrbr los programas. Como los métodos umércos e su mayor parte está elaborados para mplemetarse e computadoras, resulta deales para ese propósto. Aú más, está especalmete adaptados para lustrar la poteca así como las lmtacoes de las computadoras. Cuado el lector mplemete co bue resultado los métodos umércos e ua computadora persoal y los aplque para resolver problemas de otro modo resulta tratables, etoces tedrá ua demostracó tagble de cómo puede ayudarle las computadoras para su desarrollo profesoal. Al msmo tempo, aprederá a recoocer y cotrolar los errores de apromacó que so esperables de los cálculos umércos a gra escala. 5. Los métodos umércos so u medo para reforzar su compresó de las matemátcas. Porque ua fucó de los métodos umércos es la de reducr las matemátcas superores a operacoes artmétcas báscas, ya que profudza

8 e los sstemas que de otro modo resulta oscuros. Esta alteratva aumeta su capacdad de compresó y etedmeto e la matera..5 Hay límtes para la capacdad de los métodos umércos? Naturalmete que la respuesta a esta preguta es u efátco s. Está a la vsta de muchos vestgadores, cetífcos e geeros quees debería coocer mejor, que s u problema o puede ser resuelto de gú otro modo, debdo a que, todos y cada uo tee que estar frete a ua computadora. Este estado de cosas ( evetos es dudablemete debdo al eorme poder de los métodos umércos los cuales hemos dscutdo e la seccó ateror. S embargo, desafortuadamete es certo que hay muchos problemas que so aú mposbles ( e alguos casos deberíamos usar la palabra mpráctca de resolver usado métodos umércos. Para alguos de esos problemas o eactos, el modelo matemátco completo aú o ha sdo ecotrado, obvamete es mposble cosderar ua solucó umérca. Otros problemas so smplemete ta eormes que su solucó está más allá de los límtes práctcos e térmos de la tecología actual, de las computadoras. Por ejemplo, ha sdo estmado que para obteer u detalle de la solucó para problemas de flujo turbuleto, e fucó del tempo, que cluya los efectos de los remolos más pequeños, requerríamos del orde de años. Esta estmacó ha sdo basada e la tecología de 968 y es probablemete más o tal vez u poco meor co la tecología actual. Desde luego la preguta completa de practcabldad, frecuetemete depede de qué tato se dspoe para pagar la obtecó de ua respuesta. Alguos problemas so ta mportates que la dustra o el gobero está dspuesto a pagar muchos mlloes de dólares para obteer la capacdad computacoal ecesara y ayudar a hacer práctca la solucó de los problemas que prevamete había sdo cosderados co solucó mpráctca. E muchos casos, auque los límtes está costatemete reducédose, ahí permaece muchos problemas, los cuales está e la vestgacó co la tecología actual o e la formulacó del modelo matemátco o e térmos de la capacdad computacoal que hoy se tee..6 Por qué estudar métodos umérco? Podría parecer etraña la preguta; s embargo, para los coocedores del poder de los métodos umércos, que sabe de su eteso uso e cada faceta de la ceca, la tecología y el gobero; la preguta es justfcada, ya que, e el estudo de la ceca y la tecología tee ua justfcacó medata, por lo que,

9 5 mas be se recomeda su uso e la lcecatura y postgrado, debdo a que estos últmos tedría pocas aportacoes s o hace aplcacoes de éstos y de ada le servría los equpos más moderos de cálculo. E muchos casos, el trabajo hecho por los métodos umércos es altamete valorado, s embargo, e el uso de programas y subprogramas evtablemete se ecotrará dfcultades. Estas dfcultades puede depeder de muchas causas, cluyedo las sguetes: a Ua stuacó físca compleja o puede ser eactamete smulada por u modelo matemátco ( esto es u puto etremadamete crucal, pero está fuera del alcace de la presete dscusó. b El método umérco o lbera completamete todas las stuacoes. c El método umérco o está completamete lbre de error. d El método umérco o es óptmo para todas las stuacoes. Las dfcultades co los métodos umércos puede resultar e u programa preempaquetado o u subprograma de lbrería producedo resultados erróeos o o teer los resultados esperados. E adcó, el usuaro regstra subprogramas de lbrería para ejecutar o hacer certas tareas para ecotrar ua varedad de subprogramas y úmeros que geeralmete so aplcados, pero el materal descrptvo rara vez dará algú dcador de la efceca del subprograma o su coveeca para resolver el problema e específco. El usuaro co cualquera de esos problemas, pero que o tee el coocmeto de métodos umércos, debería buscar la formacó ecesara ( quzá u aalsta umérco, s de verdad es u asesor evaluado. S embargo, e esta stuacó podría ser dfícl que el usuaro plateara las pregutas adecuadamete y, e cosecueca la respuesta podría o ser la más adecuada, puesto que la epereca de los dos podría quzá sea bastate dferete. Podemos ver de esta maera que, este ua fuerte justfcacó para que el cetífco o el geero adquera coocmetos de los métodos umércos. Este coocmeto capacta al usuaro de u computador, a seleccoar, modfcar y programar u método para ua tarea específco, así como e la seleccó de programas y subprogramas pregrabados de la lbrería y hacer posble, para el usuaro, la comucacó co u especalsta efcete y de modo telgete buscar ayuda para u problema partcularmete dfícl. Falmete debería ser reorgazado, el gra volume de los que ha sdo llamados métodos desarrollados (cuyo objetvo es escrbr programas para smular problemas físcos complejos hecho por geeros y cetífcos y o por aalstas umércos. Obvamete, las téccas umércas más efcetes debería ser empleadas eactamete e tal trabajo y el coocmeto completo de métodos umércos es esecal para geeros y cetífcos e tales proyectos. A cotuacó se dscute, brevemete, alguos tópcos relevates de las herrametas de cálculo mecoadas: las computadoras electrócas.

10 6.7 Leguajes de computadora. La mayoría de los lectores de este lbro, tedrá e mete algua dea e programacó, e u leguaje de alto vel para computadora, tal como FORTRAN, ALGOL o BASIC. Esos leguajes de programacó permte al usuaro escrbr programas e ua forma e la que cluye fórmulas algebracas y proposcoes lógcas e glés, para struccoes de etrada y salda. Tales leguaje de alto vel so vrtualmete depedetes de la máqua e la cual correrá el programa. Medate el uso de u programa de computadora llamado complador, el programa de alto vel puede ser covertdo al códgo fudametal de la máqua co lo que el programa será actualmete ejecutado. Para la mayoría de las cosas es usado el leguaje algebraco para propósto cetífco es FORTRAN IV. Co alguas ecepcoes el ALGOL raras veces es usado para cálculos cetífcos, pero es etremadamete usado como u leguaje teracoal para descrbr algortmos. El BASIC es u leguaje popular para uso de sstemas de tempo compartdo y usualmete es usado para tareas programadas relatvamete smples. Otros leguajes de alto vel para uso cetífco so APL ( també usa, razoablemete el tempo compartdo y coveete tato para tareas de muy smples hasta sofstcadas, MAD ( co las msmas lmtates que el ALGOL y PL- ( u leguaje actualmete poderoso de terés prcpal para cálculos cetífcos. La aparcó de cada uevo leguaje de programacó es be recbda por u bue promedo de usuaros. Estos leguajes mpoe uevas reglas que tee que ser apreddas y posblemete cofuddas co otros leguajes. S embargo, cualquer perdoa razoablemete fleble ecotrará pocas dfcultades e adaptarse a u uevo leguaje s es ecesaro. Lo más mportate es la ecoomía, los programas de computadora largos so muy caros y la coversó de esos programas a otro leguaje puede ser la mejor tarea, pero volucrará muchos meses de trabajo. Esta es ua de las razoes prcpales por las que FORTRAN IV es el leguaje estádar e aplcacoes de la ceca y úcamete debe desplazarse haca el futuro.

11 7 Capítulo APROXIMACIONES Y ERRORES.- Itroduccó Las téccas umércas coduce a apromacoes e sus resultados, ya que, éstas se usa como se djo ates, como ua alteratva de solucó cuado el problema por resolver o tee u modelo matemátco de solucó o aú teédolo la respuesta esperada o es ecotrada co los métodos tradcoales. Por cosguete, los errores forma parte tríseca de los métodos umércos, debdo a que éstos so sólo ua apromacó de la solucó a u problema. E la práctca profesoal, lo errores puede resultar costosos y e alguas ocasoes catastrófcos, debdo a que por u error se puede perder hasta la vda s ua estructura o u dspostvo llega a fallar. Las fuetes de errores puede ser strumetales, por mperfeccoes o desajustes del equpo usado e la toma de meddas; persoales que se produce por la falta de habldad del observador para leer, co eacttud, los strumetos y de cálculo. E el presete capítulo se cubre varos aspectos que detfca, cuatfca y mmza los errores. Dos de los errores más comues so los de redodeo y de trucameto. Los prmeros se debe a que la computadora o el equpo de cálculo usado, sólo puede represetar catdades co u úmero fto de dígtos. Los errores por trucameto, represeta la dfereca etre ua formulacó matemátca eacta de u problema y la apromacó dada por u método umérco. Desde luego que o deja de dscutrse, auque de maera somera, los errores por equvocacó, que so debdos a ua mala formulacó de modelos, así como los errores por certdumbre de la obtecó de datos.. Cfras sgfcatvas El cocepto de cfras sgfcatvas se ha desarrollado para desgar el grado de cofabldad de u valor umérco. El úmero de cfras sgfcatvas es el úmero

12 8 de dígtos, más u dígto estmado que se pueda usar e los strumetos o dgtales. Los ceros o sempre so cfras sgfcatvas, ya que, puede usarse sólo para ubcar el puto decmal, así que, los sguetes úmeros tee cuatro cfras sgfcatvas Cuado se cluye ceros e úmeros muy grades, o se ve claro cuatos de ellos so sgfcatvos, s es que los hay. Por ejemplo, el úmero 5 puede teer tres, cuatro o cco dígtos sgfcatvos, depededo s los ceros se cooce co eacttud. La certdumbre se puede desechar usado la otacó cetífca; por lo que,.5,.5 y.5 muestra que el úmero e cuestó, tee tres, cuatro y cco cfras sgfcatvas. Las mplcacoes que se tee e el estudo de los métodos umércos so:.- Debe especfcarse claramete la toleraca e los cálculos, por ejemplo, se puede decdr que la apromacó sea aceptable sempre y cuado sea correcta hasta cuatro cfras sgfcatvas, o sea que, debe estr segurdad que las prmeras cuatro cfras so correctas..- Auque certas catdades (, e,, represeta úmeros específcos, o se puede epresar eactamete co u úmero fto de dígtos. Por ejemplo, el úmero es gual a hasta el fto. De aquí que estos úmeros sempre cotedrá el error por redodeo, puesto que los dígtos desplegados e ua computadora (o e ua calculadora de bolsllo sempre es ua catdad fta compredda etre sete y catorce cfras sgfcatvas, como se descrbe a cotuacó. Sstema Cfras sgfcatvas Calculadora programable 7- Mcrocomputadora 7- Mcomputadora 7- Computadoras 7-. Defcoes de error Los errores umércos se geera co el uso de apromacoes para represetar las operacoes y catdades matemátcas. Éstos cluye errores de trucameto,

13 9 que resulta de presetar apromadamete u procedmeto matemátco eacto, así como a los errores de redodeo, que se orga al represetar e forma apromada úmeros eactos. Por cosguete, la relacó etre u resultado eacto (Xv y el apromado (Xa está dada por: Xv Xa error (- De lo ateror se sgue que el error ( v se puede calcular co, Xv Xa (- v que geeralmete, es de más terés el valor absoluto de dcho error; ya que lo que realmete se quere medr es la cercaía del valor apromado ( Xa al valor eacto. E geeral, e stuacoes reales, es dfícl coocer el valor verdadero a pror; por lo que, cas sempre se hablará de error relatvo y error relatvo porcetual, que se obtee co las relacoes, Ev Er, e forma absoluta (- Vv Er Ev Vv *, e porcetaje. E la aplcacó de los métodos umércos, se ecotrará que usa esquemas teratvos para apromar resultados. E tales casos, el error se calcula de la sguete maera: Xa Xa v Xa (- dode Xa +, es la apromacó actual Xa, correspode a la apromacó preva.

14 Note usted que la ecuacó (- puede coducr a valores postvos ó egatvos, s la apromacó preva o el valor apromado es mayor que la apromacó actual o que Vv. Etoces, el valor del error ( o del error relatvo es egatvo y, postvo e caso cotraro. A meudo, cuado se realza cálculos, puede o mportar mucho el sgo del error, s o más be su valor absoluto, para compararlo co ua toleraca prefjada t, la cuál depede de la eacttud requerda e los resultados. Cuado es así, los cálculos se repte hasta que el valor absoluto del error sea gual ó meor que dcha toleraca. v t (-5 debdo a que cuado se cumple la relacó ateror, se cosdera que el resultado obtedo está detro de u vel aceptable fjado prevamete... Errores de redodeo E la seccó ( - se mecoó que, los errores de redodeo se debe a que las computadoras, sólo guarda u úmero fto de cfras sgfcatvas durate u cálculo. Las computadoras realza esta fucó de maeras dferetes; por ejemplo, s sólo guarda sete (7 cfras sgfcatvas y los cálculos volucra al úmero, la computadora sólo almacea y usa.59, omtedo las cfras restates y, por cosguete, geera u error de redodeo de: v =. 65 Sedo ésta, ua de las varas formas que utlza ua computadora para redodear úmeros. Esta técca de reteer sólo las prmeras sete cfras se le llama trucameto e el ambete de computacó; de prefereca se le llamará de corte para dstgurlos de los errores de trucameto que se aalzará e la sguete seccó. U corte gora las cfras restates, de la represetacó decmal completa; por ejemplo, para el caso ateror, el octavo dígto sgfcatvo es 6. Por lo tato, se represeta de maera más eacta como. 59, metras que co el corte fue. 59. De esta forma el error, por redodeo sería: v =. 5

15 Desde luego que las computadoras, se puede desarrollar para redodear úmeros de acuerdo co las reglas de redodeo, como la que se acaba de aplcar, auque esto agrega costo computacoal... Reglas de redodeo Las sguetes reglas puede aplcarse al redodear úmeros, cuado se realza cálculos a mao. Prmera: E el redodeo, se coserva las cfras sgfcatvas y el resto se descarta. El últmo dígto que se coserva se aumeta e uo, s el prmer dígto descartado es mayor de 5 ; de otra maera se deja gual, pero s el prmer dígto descartado es 5 ó 5 segudo de ceros, etoces el últmo dígto retedo se cremeta e uo, sólo s es par. Seguda: E la suma y la resta, el redodeo se lleva a cabo de forma tal que, el últmo dígto retedo e la respuesta correspoda al últmo dígto más sgfcatvo de los úmeros que está sumado o restado. Nótese que u dígto e la columa de las cetésmas es más sgfcatvo que uo de la columa de las mlésmas. Tercera: Para la multplcacó y para la dvsó, el redodeo es tal que, la catdad de cfras sgfcatvas del resultado es gual al úmero más pequeño de cfras sgfcatvas que cotee la catdad e la operacó. Cuarta: Para combacoes de las operacoes artmétcas, este dos casos geerales. Se puede sumar o restar el resultado de las multplcacoes o de las dvsoes. Multplcacó Ó Dvsó + _ Multplcacó Ó Dvsó

16 o també se puede multplcar o dvdr los resultados de las sumas y las restas, es decr, Suma Ó Resta X Suma Ó Resta e ambos casos, se ejecuta las operacoes etre parétess y el resultado se redodea, ates de proceder co otra operacó, e vez de redodear úcamete el resultado fal. Ejemplo. Ilustracó de las reglas de redodeo. a Errores de redodeo. Redodear los úmeros dados, al úmero de cfras sgfcatvas dcadas. Número Ical Cfras sgfcatvas Número redodeado b Sumas y restas. b..- Evalúese..768, redodeado a ua cfra sgfcatva..768 =. que redodeado es --. b..- Evalúese Covee epresar los úmeros co u msmo epoete, así que, =

17 De esta maera, se puede ver claramete que el (del 8. es el últmo dígto sgfcatvo retedo, por lo que, la respuesta se redodea de la sguete maera para a 6. - c Multplcacó y dvsó c..- Evaluar =.86. c..- Ahora evalúe 95/ /.85 = d Combacoes. d..- Calcular 5.( ( Prmero efectúese la multplcacó y la dvsó que está detro de los corchetes: Ahora, ates de sumar, se redodea las catdades ecerradas: = d..- Evalúese Igualado los epoetes, se tee: redodeado queda.

18 Errores de trucameto So aquellos que se preseta al apromar fucoes aalítcas por medo de alguos térmos de ua sere fta; esto se hace frecuetemete e los métodos umércos cuado es dfícl realzar operacoes co algua fucó complcada y se toma e su lugar los prmeros térmos de ua sere que aproma la fucó, trucado los demás. També se preseta cuado se utlza úmeros rracoales, tales como:, e,, etc., ya que para trabajar co ellos se toma u úmero determado de cfras sgfcatvas y se truca las demás. Ejemplo. El úmero e, base de los logartmos eperaos, co cco cfras decmales, es gual a.788; calcular el error absoluto y el error relatvo e el que se curre e cada caso, al tomar hasta el prmero, segudo, tercero y cuarto térmos de la sere e k! k Solucó. a Tomado hasta el prmer térmo e k! k! E cosecueca, el error absoluto es, v =.788 =.788 y el error relatvo r, resulta, r b S se toma hasta el segudo térmo de la sere, se tedrá

19 5 e k! k!! De aquí se cocluye que, v =.788 y r =.6 = 6.% c Ahora, tomado hasta el tercer térmo e k k!!!!.5 Este resultado coduce a, v =.88 y r =.8 = 8.% d Tomado hasta el cuarto térmo, se tee e k k!!!!!.6667 co lo que, se llega a, v =.56 y r =.899 =.9 %. Lmtacoes e la eacttud de los datos epermetales. El cetífco debe trabajar co datos dgos de cofaza. E esta seccó descrbmos alguas de las razoes por las cuales los datos puede resultar defectuosos.... Error humao Este puede deberse al descudo, dode quzás smplemete es ua mala lectura e ua escala. Las lecturas repetdas de la msma catdad a meudo revela este tpo de error.

20 6 El error e ua técca es muy dfícl de detectar, pues se comete e todas las meddas tomadas e la msma forma. Ua falla comú e este tpo de error es el paralaje. Este ocurre, por ejemplo, cuado se está leyedo la dcacó de ua aguja, e ua escala ( v.gr., e u croómetro. La fgura.-a, muestra tal aguja vsta desde arrba. La fgura.-b, es ua vsta de plata. Claramete se ota que la lectura Rc, de la escala, es correcta y, para obteer este resultado el ojo del observador debe estar colocado drectamete arrba de la aguja, e el puto Ec. E cualquer otra poscó, dgamos Ew, se tomará ua lectura de escala Rw, correcta. Co epereca y cudado uo se vuelve más apto para evtar errores como estos. El dseño de los strumetos puede també ayudar e este aspecto. Para evtar el paralaje, por ejemplo, muchos cuadrates corpora u espejo a lo largo de toda la escala- colocado el ojo e tal forma que la aguja y su refleó quede superpuestas, de esta maera el ojo queda drectamete arrba de la guja; es decr, la lectura tomada será como la Rc ( la correcta. Para reducr aú más el error, e la lectura, alguos strumetos actuales da la lectura e forma dgtal. Fg..-a Fg..-b

21 7... Lmtacoes strumetales Los strumetos tee sus propas lmtacoes heretes. Alguas so obvas, como el caso de las reglas de madera, dode uo puede ver a smple vsta que las dvsoes o está gualmete espacadas. S embargo, pezas más sofstcadas de equpo, puede estar sujetas a varas fuetes de error. Tome, por ejemplo. U mcroscopo. Auque los mcroscopos, fuero dseñados prmeramete para observar objetos pequeños, alguas veces es ecesaro medr el tamaño del objeto. La eacttud de tales meddas depede de u úmero de factores-la rgdez de la columa que sostee los letes, la rgdez co la cual el espécme se fja e la plata y la eacttud co la cual las dvsoes ha sdo gravadas e la escala. Las platas de alguos mcroscopos se mueve rotado u torllo calbrado; cada vuelta completa correspode a u certo movmeto de la plata ( fgura.. La eacttud de la medda hecha, e tales strumetos, depede de la uformdad de la rosca del torllo. A meudo també sucede, que cuado la plata se ha movdo algua dstaca e ua dreccó, ésta o respode medatamete cuado el torllo se mueve e setdo cotraro. Esto se llama retroceso. Por cosguete, se dará lecturas dferetes, depededo de la dreccó e la cual el mcroscopo se acerca a determada poscó. Desde luego que esta dfcultad se puede evtar smplemete apromádose a la poscó de la medda, sempre e u msmo setdo. Fg.. Mcroscopo de laboratoro

22 8 Problemas propuestos. La epasó e sere de Maclaur para el cos( es: cos(!! 6 6! 8 8!...! Icado co el prmer térmo cos( =; agréguese los térmos uo a uo para estmar cos(/. Después de agregar cada térmo, calcúlese los errores porcetuales relatvos, eactos y apromados... Repetr los cálculos del problema ateror, pero ahora usado la sere de Maclaur para el seo(: seo (! 5 5! 7 7! 9 9!...! y estme el seo(/... Úsese los térmos e sere de Taylor de cero a tercer orde para estmar f(, para f( = usado como puto base =. Calcule el error relatvo porcetual correcto para cada apromacó.

23 9 Capítulo SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES. Itroduccó U problema muy comú e el campo de cecas e geería, es la solucó de ua stuacó físca que pueda ser represetada por ua ecuacó del tpo (-. Por cosguete, e este capítulo se epodrá alguos métodos para ecotrar la solucó a esas ecuacoes. Ates de hacer la presetacó de los métodos umércos de solucó, es mportate teer clardad del cocepto de raíz ó solucó de ua ecuacó. Pues be, ecotrar ua solucó ó ua raíz real de ua ecuacó, es hallar el valor de la varable depedete, que aule el valor de la fucó f(, que se eprese e térmos de la varable ctada. E otras palabras, s la fucó se desarrolla e el plao cartesao y, la solucó real de esa fucó es el valor de que correspoda a la tercepcó del eje de las abscsas co la curva defda por la fucó f(, como se muestra e Fg... S la curva o corta al eje, etoces, la ecuacó o tee ua solucó real, pero puede teer raíces magaras, que o será tratadas e este lbro. E partcular, s la ecuacó a resolver es u polomo, etoces, debemos cosderar, e estrcto, la defcó: Sea f( C[], co gr f( = y f( = a a + a y se dce que c C es raíz de f(, s f(c = ; es decr, s a c a c + a = també es teresate, para la solucó de polomos, teer presete el teorema fudametal del álgebra, cuyo eucado es s f( C[], co gr f( =, etoces, f( tee al meos ua raíz compleja ( real o magara; además del

24 f( sguete corolaro: s f( C[], co gr f( =, etoces, f( tee raíces ( o ecesaramete dferetes. Por otra parte, actualmete las calculadoras de bolsllo resuelve los polomos, ecotrado los ceros de esas fucoes, s embargo, los métodos que se preseta tee la vetaja de resolver cualquer fucó f( s mportar del tpo que sea, sempre y cuado tega raíces reales. RAIZ f( Fg.. CONCEPTO GRAFICO DE RAIZ De acuerdo a las defcoes dadas, para ecotrar ua solucó real, las ecuacoes, s mportar que represete u polomo u otra cualquera, debe ser represetadas e la forma f( = ( - Alguos ejemplos de las ecuacoes que se resolverá e este capítulo, so: f ( 6 5 f ( se( f ( e ( f ( R.5 e R cos(.5.r. f ( y y.5 gy f (. 5 se

25 . Característcas de los métodos umércos Los métodos que se preseta recbe el ombre geérco de apromacoes sucesvas, los cuales desarrolla su covergeca medate la aplcacó de ua fórmula de recurreca. Se les da este ombre porque a partr de ua prmer apromacó, se obtee otra apromacó mejor, e geeral, más cercaa a la solucó. Desde luego que, auque recbe tal ombre, cuado el método coverge, la solucó es ta satsfactora como la solucó eacta, sedo la úca lmtacó la eacttud proporcoada por el úmero de dígtos empleados e el cálculo, o sea que, depede del error por redodeo o por trucameto que se admta. A cotuacó se descrbe los métodos: Apromacoes sucesvas, Bseccó, Mote Carlo, Falsa Poscó, Newto-Raphso, Newto Modfcado y Secate. Estos métodos so aplcables tato a ecuacoes algebracas y trascedetes como a ecuacoes o leales; es decr, se podrá solucoar, ecuacoes como las lstadas e la pága ateror. S embargo, s la ecuacó a resolver, o tee respuesta e los reales, el mejor método fallará, ya que los métodos que se preseta está estructurados para ecotrar las raíces reales de ua ecuacó. A modo de sugereca se señala que, e las aplcacoes a problemas reales, ua buea doss de epereca será u apoyo de decsó mportate, ya que, las solucoes resuelve, algebracamete ua ecuacó, pero o toma e cueta las stuacoes reales del problema.. Método de apromacoes sucesvas Este método cosste e propoer u valor cal apromado a la solucó - y, a partr de él obteer u valor mejorado de la raíz que es sometdo a ua prueba de covergeca, es decr, de apromacó y, s dcha prueba es superada, etoces, el valor obtedo es la respuesta buscada; e caso de que o se cumpla la codcó de covergeca, co el uevo valor se repte el proceso, tatas veces como sea ecesaro. Para dervar ua ecuacó recursva que permta realzar este proceso, se platea la sguete estratega. La ecuacó (- o camba s se suma, membro a membro, el térmo, quedado, f ( (-

26 s el membro derecho es otra fucó que se defe como g(, etoces ecuacó (- se trasforma e, g( ( - Es otoro que cualquer ecuacó de la forma (- puede epresarse como ecuacó (-. Como se ha dcho co aterordad, s = r es ua raíz, etoces se cumplrá que f( r = y, ecuacó (- queda como, g ( - r ( r Este método cosste e susttur u valor cal de la varable depedete, apromado a la raíz, e el segudo membro de ecuacó (-. S este valor propuesto es la raíz, resultará que se cumple (-, o sea que, g( E las aplcacoes es dfícl que lo ateror ocurra e =, ya que, el valor cal propuesto es solo, e el mejor de los casos, u valor cercao a la raíz, por tato resultará que esto o sempre se cumple la prmer vez, por lo que, puede escrbrse, g( o más propamete, g( dode será la ueva apromacó de la raíz. S ahora se susttuye e el segudo membro de (-, se obtedrá u valor más cercao a la raíz. Como esta es la seguda susttucó que se hace, puede escrbrse, g(

27 tomado e cueta que se repte el proceso, pero ahora co, para obteer, luego co para geerar y, así sucesvamete, hasta susttur para obteer + ; etoces el proceso descrto, se puede geeralzar co la ecuacó, g( ( -5 La ecuacó (-5 es la ecuacó recursva del método umérco de apromacoes sucesvas. El dagrama de flujo de este proceso teratvo, se muestra e fgura D.. co f (,, Hacer = Calcular g( = f( + =g(? o Escrbr s f Fg. D. Dagrama de flujo del método de apromacoes sucesvas

28 U crtero sao de covergeca es que la dfereca, e valor absoluto, etre dos valores cosecutvos, proporcoados por este proceso, será cada vez más pequeña, es decr, + será cada vez más cercao a, s embargo, puede medrse dcha covergeca co ecuacó (-, cuado se haya prefjado el error tolerable. Falmete, el estudate debe saber que este método o sempre coverge, por lo que, o será u error de cálculo el hecho de que ecuetre, e alguos casos, esta stuacó; tampoco se tee la certeza de que el problema o tega solucó real. Cuado esto ocurra, se recomeda el uso de otro método umérco y hacer u bosquejo del problema que se esté resolvedo; por lo que este método se preseta como u elemeto de coocmeto, para el estudoso.. Método de Bseccó o de Bolzao Para el desarrollo y aplcacó del método de bseccó, el cuál se basa e el teorema de cambo de sgo que se euca al fal de esta seccó, se requere del apoyo de dos valores de la varable depedete, que e el plao coordeado y correspoderá al eje de las abscsas. Estos valores so proporcoados por el usuaro y se desga co la letra a el meor de ellos y co b el mayor; tales que, f(a y f(b tega sgos dferetes, s mportar cuál de ambos sea postvo, auque la fgura. se ha dbujado de tal forma que f(a es postva y f(b egatva, pero també puede ecotrarse, e las aplcacoes, que f(a sea egatva y f(b postva. Cualquera que sea el caso, s la fucó es dervable y cotua e el tervalo a-b seleccoado, etoces e ese segmeto este al meos, ua raíz real. Ua vez cumpldo lo ateror, el método cosste e valuar la fucó f( e el puto medo del tervalo seleccoado a-b, el cuál está dado por = (b-a/. S f( o es ula ó meor que el error tolerable, etoces se compara el sgo de ésta co el sgo de f(a; cuado so guales ( observe que e la fgura. f(a es postva, por tratarse de ua fucó decrecete, el actual valor de a es susttudo por el valor umérco de, co lo que el tervalo se reduce a -b. Por el cotraro, s la fucó f( tee sgo dferete a f(a; lo que mplca que tee el msmo sgo que f(b, etoces, se camba b =, e cosecueca, el tervalo se reduce a a-. Cualquera que haya sdo el cambo, se repte el proceso a partr del uevo tervalo, es decr, se calcula uevamete f(, e el puto medo del uevo tervalo, como se djo, tatas veces como sea ecesaro hasta que la fucó f( sea cero o cas ula, lo que depederá del error que se admta, para deteer el proceso. E fgura D. se muestra la ruta de este método. El método descrto tee la vetaja de que sempre coverge, es decr, s se cumpló la codcó de arraque - esto es, s los valores umércos de f(a y f(b tuvero sgos dferetes, s mportar e que orde - e el tervalo a-b es ecotrada, al meos, ua raíz real. E cotraredad a lo ateror, debe decrse que la

29 f( 5 covergeca de este método es muy leta, ya que la solucó se obtee después de realzar ó más teracoes, cuado la ecuacó muestra certo grado de dfcultad y se requere ua apromacó, e la respuesta, de cuado meos tres decmales eactos. La eacttud de ua respuesta depede de la aplcacó real del problema; por ejemplo, s la solucó represeta la superfce de u terreo y la udad de medda es el metro, co sólo u decmal eacto se tedría ua ecelete apromacó; s embargo, s el problema a resolver represeta, e la stuacó real, la medda del dámetro de u pstó de u automotor, etoces, seguramete, s el metro es la udad de medda, ua apromacó al mlímetro será requerda, es decr, aquí se egría, al meos, tres decmales eactos; por el cotraro, s e la solucó se está volucrado el lazameto de ua ave espacal a u plaeta etoces, la solucó tee que ser eacta, esto es co ua toleraca del tpo = -, por ejemplo. f(a RAIZ =a =b f(b X Fg.. METODO DE BISECCION Teorema de cambo de sgo.- Sea f( R[] y sea a, b R tales que a < b. S el sgo de f(a f(b, etoces este r ]a, b[ tal que f(r =. Es decr, s a < b y los úmeros f(a y f(b tee sgos dferetes, etoces f( tee al meos ua raíz real etre a y b, como se observa e fgura..

30 6 co es el error admsble. a, b, Calcular f(a y f(b f(a*f(b <? o Calcular s ( a b Sea F = f( F? o s Escrbr b = F=f(a SIGNO? s f = a Fg. D.. Dagrama de flujo del método de Bseccó

31 7.5 Método de Falsa Poscó ( Regula fals Este método tee característcas smlares al método de bseccó, es decr, es covergete y útl cuado o se tee dea del valor de la solucó, sempre y cuado f(af(b < ; esto es, arraca a partr de dos putos de apoyo, como el método de bseccó. Puede afrmarse y demostrarse que tee la msma lógca de arraque, proceso y detecó que el método umérco descrto arrba, sólo camba e la forma de estmar el valor de. Ahora este valor, o es el puto medo del tervalo a-b, so que puede demostrarse, como se verá más adelate, que se obtee co, ( b a f ( a a ( -6 f ( b f ( a Teorema que susteta este método []. Sea f( u polomo de coefcetes reales, co gr f(, y sea a y b úmeros reales co a < b, tales que:. f(a f(b <.. f ( o tee raíces e [a, b]. S β es el etremo del tervalo [a, b], tal que f(β f ( β < [ es decr, β = a s f(af (a < ó β = b s f(bf (b < ] y α es el etremo del tervalo [a, b] tal que f(α f ( α > [ es decr, α = a s f(af (a > ó α = b s f(bf (b > ], etoces la sucesó { β }, dode β es como ya se djo, y f ( f ( f ( para =,,,..., coverge a la úca raíz ζ de f( e [a, b]. El procedmeto de cálculo, de este método, es como se platea e la ruta data e fgura D., cuya sítess se resume e los sguetes pasos:. Dados a y b, se calcula f(a y f(b, verfcado desde este mometo que estos úmeros tega sgos dferetes, tal y como lo establece el teorema dado arrba. Es elemetal que s los úmeros propuestos o hace que se cumpla la codcó f(af(b<, etoces, debe propoerse otra pareja de

32 f( 8 valores para a y b ó cambar solamete uo de ellos, hasta que se obtega cumplda la codcó de arraque.. S se desea, se hace la prueba de covergeca plateada por el teorema y se verfca s la seguda dervada o tee raíz e el tervalo propuesto ( opcoal.. Se traza ua recta que ua los putos de coordeadas [a, f(a] y [b, f(b], como se muestra e Fg... El puto dode esta recta corta al eje, se obtee por trágulos semejates llegado a la ecuacó (-6 que es smlar a la del teorema presetado. El método supoe que es la raíz, pero para u tervalo a-b cal seguramete, esto es falso, ya que la raíz (ζ es el puto dode la curva f( corta al eje.. Se calcula f( para verfcar que s se hace ula, co el valor de obtedo por ecuacó ( -6, es decr, se prueba que s este valor es la raíz ζ. 5. S co este valor o se resuelve la ecuacó, se sgue la ruta del método de bseccó, es decr, s f( tee el msmo sgo que f(a, etoces, se camba a por ( a = y f(a por f(, pero s f( tee sgo dferete a f(a, etoces, se camba b por ( b = y f(b por f(b por f( y se vuelve a calcular co ecuacó ( Se hace la prueba de covergeca para la fucó ó para dos valores cosecutvo de, deteedo el proceso, s ésta es cumplda. 7. E caso de que o sea detedo el procedmeto e paso 6, se repte los pasos 6, tatas veces sea ecesaro. f(a a Raíz ζ f(b b X Fg.. METODO DE FALSA POSICION

33 9 co es el error tolerable. a, b, Fa=f(a Fb=f(b Es fa*fb <? o s ( b a f ( a a f ( b f ( a F = f( Fb=F F? o s Escrbr b = o F=f(a SIGNO? f s Fa=F = a Fg. D.. Dagrama de flujo: método FALSA POSICION

34 .6.- Método de Mote Carlo Otra varate de los dos métodos aterores es el método de Mote Carlo. Este método parte de los msmos prcpos que el método de bseccó; es decr, se requere de dos putos de apoyo, uo a y el otro b, de tal maera que f(a y f(b tega sgos dsttos, para que cumpla la codcó de arraque ( Fg... El proceso de este método es como se descrbe a cotuacó:. Dados a y b, se escoge u úmero aleatoro, al, co dstrbucó de probabldad uforme, que se ecuetre etre cero y.99 ( estos úmeros puede tomarse de Apédce C.. Se calcula co la fórmula, a al( b a (-7. Al gual que e los dos métodos aterores, se calcula f( para comparar su valor co cero o la toleraca. S es dferete de él o o cumple co la toleraca, e el error, prefjada, etoces, se hace el cambo adecuado tal y como se realzó e el método de bseccó - y se repte el proceso a partr del paso, hasta que se ecuetre la solucó. El dagrama de flujo es smlar al dado e Fg. D., sólo debe cambarse el bloque que dca el cálculo de, el cual se susttuye por ecuacó ( Método de Newto Raphso Cosdere u puto, el cual o es ua solucó de la fucó f(, pero es razoablemete cercao a ua raíz. Epadedo f( e ua sere de Taylor alrededor de, queda. ( f ( f ( ( ( f f (... ( -8! S f( =, etoces, es ua raíz y el lado derecho de ecuacó ( -8 costtuye ua ecuacó para obteer esa raíz. Desafortuadamete, la ecuacó ( -8 es u polomo de grado fto. S embargo, u valor apromado de la raíz puede

35 ser obtedo, tomado solamete los dos prmeros térmos de la sere ateror, quedado, f ( ( f ( de dode, al resolver para, se tee, f ( ( -9 f ( Ahora represeta ua mejor apromacó de la raíz y puede reemplazarse por e ecuacó ( -9, para proporcoar ua raíz más eacta, e la sguete teracó. La epresó geeral de este método puede, por cosguete, escrbrse como, f ( ( - f ( dode el subídce deota valores obtedos e la -ésma teracó y + dca valores ecotrados e la teracó ( +. Este proceso teratvo covergerá a la raíz para la mayoría de las fucoes y, so coverge, será por su etremada rapdez. La ecuacó recursva (-, també se puede obteer resolvedo el trágulo rectágulo f( - de fgura. - observado que la tagete a la curva puede, por defcó, puede escrbrse como, f ( tg f ( ó ( f ( f ( de dode, al despejar, se obtee ecuacó (-, como se ota e la parte derecha. El dagrama de flujo de este método, se muestra e Fg. D.. El proceso es termado cuado la magtud de cambo, calculado e el valor de la raíz, h, es más pequeño que algua catdad predetermada. Esto o garatza ua eacttud de e la raíz. Auque aálss más sofstcados de covergeca so posbles, ua regla útl y práctca es, seleccoar como ua décma parte del error

36 permsble e la raíz. S embargo, debe teerse presete que o este error e caso de que el método dverja o o se ecuetre ua raíz e u úmero razoable de teracoes. Se recomeda clur u programa de computadora, de este dagrama de flujo., = Fu = f( Df = f ( H = - Fu/Df = + h h s Escrbr Fg. D. Dagrama de flujo del método de Newto No obstate su rápda covergeca, el método de Newto tee alguas dfcultades co certos tpos de fucoes. Estas dfcultades puede superarse y hacer u uso más telgete de este poderoso método, cosderado ua terpretacó gráfca del proceso. La Fg.. muestra la prmer teracó para ua fucó típca. La sguete suposcó para la raíz, es la terseccó co el eje de ua líea recta tagete a la fucó e el puto de coordeadas (, f( El valor de es más cercao a la raíz que el valor supuesto calmete y, es claro que teracoes sucesvas covergerá rápdamete a la raíz. Ahora cosdere la sguete fucó smple osclatora ( Fg..5. La prmer suposcó, es razoablemete cercaa a la raíz A. S embargo, la líea tagete corta al eje de las abscsas e, la cual es cercaa a la raíz B. La sguete teracó produce, y es claro que el método de Newto, e u valor cal o cercao a ua raíz, puede resultar covergete para ua raíz dstate. No

37 f( hay ua forma smple para evtar este tpo de comportameto co certas fucoes. S embargo, u bosquejo superfcal o tabulacó de la fucó dscutda aterormete, por lo geeral será sufcete para permtr la prmer suposcó e la cual el método evetualmete dará las raíces deseadas, es decr, deberá propoerse lo más cercao posble a la raíz deseada. E cualquer caso, esos putos asegurará que el programador está cocete de cualquera de las raíces, para las cuales el método puede haber fallado. f( Raíz X Fg.. Prmer teracó del método de New to El método de Newto també tee ua tedeca a caer e u mámo o e u mímo de ua fucó y, etoces, la tagete de pedete cero se drge fuera de la regó de terés, ya que es paralela al eje. El algortmo puede també ocasoalmete osclar haca atrás o haca delate, etre dos regoes que cotee raíces para u úmero bastate grade de teracoes, ecotrado después ua u otra raíz. Estas dfcultades puede ser evtadas fáclmete co algú coocmeto prevo del comportameto de la fucó. Desde luego, s la fucó o oscla, como la descrta e fgura.5, etoces, el método de Newto, ecotrará ua raíz s mayor dfcultad, sguedo la ruta dada e el algortmo D.. Deberá ser otado que algua dfcultad será ecotrada e el teto de usar el método de Newto para ecotrar raíces múltples. Para fucoes uformes, esas raíces múltples correspode a putos dode la fucó se vuelve tagete al eje y etoces puede o o cortar a dcho eje. Este comportameto quere decr que, como f( se aproma a cero y, por tato, f ( també. Metras que el método de Newto es ormalmete covergete para tales raíces, el rado de covergeca es leto y, e la práctca, puede hacer el cálculo de raíces múltples dfícles. El

38 f( método de Newto Modfcado, el cual es muy solctado para raíces múltples, será dscutdo e la seccó sguete. B A X Fg..5 Fucó osclatora.8-método de Newto Modfcado La dfcultad del método de Newto Raphso e el comportameto de ua fucó co raíces múltples oblga a cosderar ua modfcacó del método dscutdo por Ralsto. Como prmero se desea ecotrar las raíces de ua fucó f(. Defmos ua fucó ueva U(, dada por, f ( U( ( - f ( se observa que la fucó U( tee las msmas raíces que f(, etoces U( se vuelve cero e cualquer puto que f( es cero. Supoedo ahora que f( tee ua raíz múltple e = c de multcdad r. Esto podría ocurrr, por ejemplo, s f( cotee u factor (-c. Etoces, podría fáclmete demostrarse que U( tee ua raíz e = c de multcdad r, o ua raíz smple. Puesto que el método de Newto Raphso es efectvo para raíces smples,

39 5 podemos aplcar el método de Newto para resolver U( e lugar de f(. De esta maera, la ecuacó recursva de este método queda, U( ( - U ( dervado la fucó aular U(, dada por ( -,queda, f (. f ( U ( ( - f ( El algortmo de este método es détco al mostrado e Fg.D., sólo se susttuye el bloque de f( por U( y f ( por U ( o e todo caso se debe eteder u poco el dagrama de flujo, ya que, se requere el cálculo de la seguda dervada de f(. S embargo, el algortmo coserva el msmo rago de covergeca que el método referdo, sedo dferete de la multcdad de la raíz..9-método de la secate El método de la secate es, esecalmete ua modfcacó del método covecoal de Newto co la dervada reemplazada por ua epresó dferete. Esto es vetajoso, s la fucó a resolver es dfícl de dervar y, desde luego que es també coveete para programar, e el setdo de que solamete es ecesaro suplr u subprograma de fucó e el método, e lugar de subprogramas para ambas, fucó y dervada. Reemplazado la dervada e ecuacó ( - 9, por el cocepto elemetal de tagete recuerde, tagete es gual a la prmer dervadaresulta, f ( ( - f ( f ( / D dode D = -.

40 f( 6 Para usar este método, f( - y f( debe ser coocdas. El prmero es el valor de la fucó dos teracoes aterores a la presete. Puesto que o hay tal valor, será dspobles para la prmer teracó, dos valores cales supuestos, cercaos etre ellos, que deomaremos y, para los cuales se ha calculado los valores umércos de las fucoes, como se muestra e fgura.6, que deberá ser proporcoados al algortmo ( Fg.D.5. Para la mayoría de las fucoes, el método de la secate o covergerá ta rápdo como el método covecoal de Newto, pero su vetaja es u tato más mportate por la velocdad decrecete de la covergeca. S la prmer dervada de f( cosume mucho tempo para su evaluacó, este método puede requerr meos tempo de cómputo que el método de Newto. La prmer teracó de este método se muestra e fgura.6, dode se ha cado co los valores y, el cuál aproma la raíz a, como el cruce de la recta secate co el eje. E la sguete teracó se elma y f(, etrado co f(, para hacer pareja co el puto [, f( ], que defrá la ueva tagete. Esta recta cortará al eje e, la cual es la seguda apromacó a la raíz. S este valor o es la solucó, se elma el puto [, f( ], quedado ahora, los putos [, f( ] y [, f( ], por dode se trazará la ueva tagete que, obvamete, permtrá ecotrar, etc. f( f( raíz X f( Fg..6 Método de la SECANTE