Integración Breve reseña histórica. Tema 7

Transcripción

1 Tem 7 Itegrció El cocepto de itegrl se remot los orígees del Cálculo Ifiitesiml, cudo Newto y Leibiz descubre que el problem del cálculo de áres puede bordrse medite l operció ivers de l derivció, el cálculo de primitivs, cosistete e obteer u fució prtir de su derivd. De est form, dos problems geométricos clásicos, el cálculo de l rect tgete u curv y el cálculo de áres, puede verse cd uo como iverso del otro. L primer defiició riguros de itegrl, si bsrse e l resbldiz ide de ifiitésimo, se debe Cuchy, y es exctmete l que quí vmos estudir, limitádoos cosiderr l itegrl de u fució cotiu e u itervlo cerrdo y cotdo. El Teorem de Heie, que os segur l cotiuidd uiforme de u tl fució, jugrá u ppel esecil e l defiició de l itegrl. A decir verdd, Cuchy o distiguí etre cotiuidd y cotiuidd uiforme, tomb como hipótesis l cotiuidd y usb l cotiuidd uiforme, pero está clro que co ello o cometí igú error. Durte todo el siglo XIX se estudiro diverss geerlizcioes de l itegrl defiid por Cuchy, si llegr u teorí de l itegrció que pudier cosiderrse cbd. E 192, el mtemático frcés H. Lebesgue ( ) hizo ver, co su tesis doctorl, que los métodos usdos hst etoces o er los más decudos, e iterpretdo de otr form ls ides de Leibiz, cosiguió u cocepto de itegrl mucho más geerl y efectivo que culquier de los teriores, ddo lugr u teorí de l itegrció plemete stisfctori. Setó sí ls bses pr el desrrollo del Aálisis Mtemático, y de otrs muchs disciplis, todo lo lrgo del siglo XX. Como se h dicho, quí estudimos sólo l itegrl de Cuchy Breve reseñ históric Se, b R co < b y f u fució cotiu e [, b]. Pr explicr l form e que Leibiz etedí l itegrl, supogmos pr simplificr que f o tom vlores egtivos y pesemos cómo clculr el áre limitd por el eje de bsciss, l gráfic de l fució f y ls rects verticles de ecucioes x = y x = b. Buscmos pues el áre del cojuto T = {(x,y) R 2 : x b, y f (x)} y est es l iterpretció geométric de l itegrl que vmos estudir. 51

2 7. Itegrció 52 Leibiz cosiderb, pr cd puto x [,b] u itervlo de logitud ifiitesiml dx, de form que etre x y x + dx puede dmitirse que l fució f se mtiee costtemete igul f (x). Por tto, el ifiitésimo f (x)dx es el áre de u rectágulo, precismete l prte del cojuto T coteido etre ls rects verticles de bsciss x y x+dx. Sumdo ls áres de todos los rectágulos que se obtiee cudo x recorre el itervlo [,b], debemos obteer el áre del cojuto T, de modo que Leibiz etedí l itegrl como u sum ifiit de ifiitésimos. E su tiempo se usb l letr S e lugr de l ctul Σ pr represetr u sum, de modo que pr idicr que su itegrl er u sum bstte peculir, Leibiz propoe lrgr l S y deotr su itegrl por f (x)dx, otció que hoy seguimos usdo. Nos pregutmos etoces cul es l relció etre l itegrl sí etedid y el cocepto de derivd. Supogmos que dispoemos de u primitiv de f, es decir, que f es l derivd de otr fució F. Co l otció de Leibiz, escribirímos f (x)dx = df(x) = F(x+dx) F(x). Etoces, l sumr todos estos ifiitésimos, como si de u sum fiit se trtr, podemos pesr que ls diferecis cosecutivs se v cceldo y l sum result ser f (x)dx = F(b) F() Est fórmul básic del cálculo itegrl permite clculr áres co sorpredete fcilidd. Tmbié l coocí Newto, que esecilmete l usb como defiició de l itegrl y l tribuí su mestro I. Brrow ( ), por lo que suele coocerse como regl de Brrow. Es fácil hor divir el método usdo por Cuchy pr formlizr rigurosmete ls ides de Newto y Leibiz: igul que co l derivd, sustituir los ifiitésimos por ctiddes reles que se hce teder cero, de form que l itegrl se obtiee, o como u misterios sum de ifiitos ifiitésimos sio como límite de sums fiits de úmeros reles. Pr eteder tod l discusió que sigue, uque o dispoemos de u oció riguros de áre, coviee pesr e l itegrl como u áre, co u slvedd: permitimos que uestr fució tome vlores egtivos, co lo que e lguos putos su gráfic está situd por debjo del eje de bsciss. L itegrl se iterpret geométricmete como l difereci etre el áre del cojuto T tes descrito, y l del cojuto S = {(x,y) R 2 : x b, f (x) y } Defiició de itegrl E todo lo que sigue, fijmos,b R co < b y u fució cotiu f : [,b] R, es decir, f C[,b]. Nuestro objetivo es defiir l itegrl de f, u úmero rel que respod uestr ide ituitiv de áre, explicd teriormete. Llmremos prtició del itervlo [, b], todo subcojuto fiito de [, b] que coteg los extremos y b, y deotremos por Π[,b] l cojuto de tods ls prticioes del itervlo [,b], u cojuto o umerble. Los putos de u prtició se umer siempre de meor myor; más cocretmete, si pr P Π[,b], escribimos P = {t,t 1,...,t }, se sobreetiede que = t < t 1 <... < t = b. Pr resltr este coveio podemos directmete escribir: P = { = t < t 1 <... < t = b} (5)

3 7. Itegrció 53 Cd prtició P Π[,b] os d clrmete u estimció por defecto y otr por exceso del áre e l que estmos pesdo: I( f,p) = S( f,p) = ( mí f [tk 1,t k ] ) (t k t k 1 ) ( máx f [tk 1,t k ] ) (t k t k 1 ) Decimos que I( f, P) es l sum iferior y S( f, P) l sum superior de f pr l prtició P. Tmbié podemos, pr k = 1,2,...,, elegir u puto x k [t k 1,t k ] y cosiderr l sum α = f (x k )(t k t k 1 ) Decimos que α es u sum itegrl de f pr l prtició P. Observmos que ls sums superior e iferior so sums itegrles, de hecho so respectivmete l máxim y l míim, pues tod sum itegrl α verific evidetemete que I( f,p) α S( f,p). Como y se h dicho, el áre que buscmos debe myorr tods ls sums iferiores y miorr tods ls sums superiores que se obtiee l vrir l prtició P. Por tto, el siguiete resultdo es u primer pso hci uestro objetivo. El cojuto { I( f,p) : P Π[,b] } de tods ls sums iferiores de f está myordo, el cojuto { S( f,p) : P Π[,b] }, de ls sums superiores está miordo y se tiee: sup{i( f,p) : P Π[,b]} íf { S( f,p) : P Π[,b] } (6) L demostrció cosiste e observr como vrí ls sums superior e iferior l cmbir l prtició, empezdo por ñdirle u solo puto. Se pues P Π[,b] dd por (5), se P = P {c} co c ],b[\p y k {1,2,...,} tl que t k 1 < c < t k. Al psr de P P, todos los sumdos de S( f,p) se mtiee slvo el k-ésimo, que se sustituye por l sum de dos, co lo que teemos: S( f,p ) S( f,p) = ( máx f [t k 1,c] ) (c t k 1 ) + ( máx f [c,t k ] ) (t k c) ( máx f [t k 1,t k ] ) (t k t k 1 ) ( máx f [t k 1,t k ] )[ (c t k 1 ) + (t k c) (t k t k 1 )] = Por tto, S( f,p ) S( f,p). Aálogmete verímos que I( f,p ) I( f,p). E resume, l ñdir u puto l prtició cosiderd, l sum superior se mtiee o dismiuye, y l iferior se mtiee o umet. El siguiete pso es u obvi iducció: lo mismo ocurrirá l ñdir u cojuto fiito de putos, psdo de u prtició culquier otr que l coteg. Así pues, teemos: P,P Π[,b], P P = I( f,p) I( f,p ) S( f,p ) S( f,p)

4 7. Itegrció 54 Si hor tommos dos prticioes culesquier P, Q Π[, b] tedremos: I( f,p) I( f,p Q) S( f,p Q) S( f,q) sí que culquier sum iferior es meor o igul que culquier sum superior. Fijdo por u mometo l prtició Q, vemos que l sum superior S( f,q) es u myorte del cojuto de tods ls sums iferiores, sí que dicho cojuto está myordo y se tedrá sup{i( f,p) : P Π[,b]} S( f,q) Como est desiguldd es ciert pr tod prtició Q Π[,b], cocluimos que el cojuto de tods ls sums superiores está miordo y se verific (6). Nos hemos cercdo uestro objetivo, pues el xiom del cotiuo y os segur l existeci de úmeros reles que cumple lo esperdo pr el áre que buscmos. Pero, poco que se piese, l desiguldd (6) o es suficiete, ecesitmos l iguldd pr que el úmero rel que buscmos esté determido de mer úic. L ide es probr que, tomdo u prtició suficietemete fi, podemos coseguir que l difereci etre ls sums superior e iferior se t pequeñ como se quier, lo que clrmete implicrá que (6) es u iguldd. Llmremos chur de u prtició P, dd por (5), l úmero positivo P = máx{t k t k 1 : k = 1,2,...,}. Ituitivmete, u prtició será tto más fi cuto más pequeñ se su chur. Lem. Pr cd ε > se puede ecotrr u δ > verificdo que: P Π[,b], P < δ = S( f,p) I( f,p) < ε (7) Demostrció. Por el Teorem de Heie, f es uiformemete cotiu: ddo ε >, existe δ > tl que f (y) f (x) < ε/(b ) pr culesquier x,y [,b] que verifique y x < δ. Se pues P Π[,b], dd por (5), co P < δ. Pr k = 1,2,...,, se x k,y k [t k 1,t k ] tles que f (x k ) = mí f [t k 1,t k ] y f (y k ) = máx f [t k 1,t k ]. Como y k x k t k t k 1 P < δ, teemos f (y k ) f (x k ) < ε/(b ), de dode S( f,p) I( f,p) = ( f (yk ) f (x k ) ) (t k t k 1 ) < ε b (t k t k 1 ) = ε Pr deducir que se d l iguldd e (6) sólo qued segurrse de que existe prticioes co chur rbitrrimete pequeñ, lo cul es bie obvio, podemos por ejemplo subdividir el itervlo [, b] e u úmero suficiete de itervlos de igul logitud. Más cocretmete, pr cd N, l prtició P dd por P = { = t < t 1 <... < t = b} co t k = + verific evidetemete que P = (b )/. k(b ) pr k =,1,..., (8) Podemos y culmir todo el trbjo relizdo co el siguiete teorem, que icluye l defiició de itegrl y otr form más cómod de obteerl.

5 7. Itegrció 55 Teorem (de l itegrl de Cuchy). Pr,b R co < b y f C[,b], se tiee: sup{i( f,p) : P Π[,b]} = íf{s( f,p) : P Π[,b]} (9) Este úmero rel es, por defiició, l itegrl de l fució f e el itervlo [,b] y se deot por f (x)dx. Además, si {P } es u sucesió de prticioes de [,b] tl que { P } y, pr cd N, α es culquier sum itegrl de f pr l prtició P, se tiee: f (x)dx = lím α Demostrció. Se {P } culquier sucesió de prticioes de [,b] que, como l que prece e (8), verifique { P }. Pr cd ε > el lem terior os proporcio u δ > verificdo (7). Podemos etoces ecotrr m N de form que pr m se teg P < δ, y por tto, S( f,p ) I( f,p ) < ε. Esto prueb que {S( f,p ) I( f,p )}. Puesto que, pr todo N, teemos tmbié íf{s( f,p) : P Π[,b]} sup{i( f,p) : P Π[,b]} S( f,p ) I( f,p ) vemos que se verific l iguldd (9), que permite defiir l itegrl. De dich defiició deducimos clrmete que I( f,p ) f (x)dx S( f,p ) N y sbemos que {S( f,p ) I( f,p )}, luego f (x)dx = lím I( f,p ) = lím S( f,p ) Ahor, si pr cd N elegimos u sum itegrl α de l fució f pr l prtició P, teemos I( f,p ) α S( f,p ) N de dode deducimos que l sucesió {α } tmbié coverge l itegrl. L últim expresió de l itegrl que prece e el teorem terior es l más cómod. Obteemos l itegrl como límite de sums itegrles, e ls que sólo prece los vlores de l fució e ciertos putos del itervlo, que demás se puede elegir co bstte libertd. Por ejemplo, usdo l sucesió de prticioes defiid e (8) teemos f (x)dx = lím b ( f + ) k (b )

6 7. Itegrció 56 1 Nótese que el úmero rel f (x)dx prece como límite de u sucesió de medis b ritmétics de vlores de f, luego puede etederse como u promedio de los vlores de f e el itervlo [, b]. Cudo = y b = 1, l iguldd terior es muy sugestiv: 1 f (x)dx = lím f 7.3. Aclrcioes sobre l otció ( ) k Merece l pe u breve cometrio cerc de l otció referiros l itegrl de u fució cotiu f : [,b] R. f (x)dx que usmos pr Aprte de respetr el simbolismo de Leibiz, permite referirse de form rápid l itegrl de u fució f, que solemos llmr itegrdo, si deteerse defiirl por seprdo, pues idic el itervlo [, b] e el que está defiid dich fució, llmdo itervlo de itegrció, sí como el vlor de f e u puto geérico x [,b]. Por ejemplo, l escribir x 2 dx, qued bie clro que el itervlo de itegrció es [,1] y el itegrdo es l fució f : [,1] R dd por f (x) = x 2 pr todo x [,1]. E ocsioes, icluso debemos divir el vlor del itegrdo e lgú puto x [,b] pr el que l expresió f (x) o tiee e pricipio setido, queddo dicho vlor determido x 1 por el requerimieto de que f se cotiu. Por ejemplo, podemos escribir dx x pr referiros l itegrl e el itervlo [,1] de l fució f : [,1] R defiid por 1 + x 1 f (x) = pr todo x ],1] y f () = 1/2. x El símbolo dx tiee tmbié su ppel, idic l vrible de itegrció x, que como hemos visto represet u puto geérico del itervlo [,b]. Puede ocurrir que l expresió de f (x) ivolucre otrs vribles, que se suele llmr prámetros. Clrmete l itegrl depederá de los vlores de los prámetros, pues l cmbir dichos vlores, cmbi l fució que se itegr. Por el cotrrio, es bsurdo decir que l itegrl depede de l vrible de itegrció, que sólo sirve pr que etedmos l fució que estmos itegrdo y puede ser x o culquier otr letr que os coveg usr. Por ello, suele decirse que l vrible de itegrció es u vrible mud, y que, u vez idetificd l fució que se itegr, o tiee d que decir. Cosideremos por ejemplo ls itegrles x t dx y x t dt. E l primer, l vrible de itegrció es x, mietrs que t es u prámetro, que o podrá tomr vlores egtivos. Nos estmos refiriedo l itegrl e el itervlo [,1] de l fució x x t, múltiplo de l fució idetidd, pero u múltiplo distito segú el vlor de t. L segud es l itegrl e el mismo itervlo de l fució t x t, múltiplo de l fució ríz cudrd, que depede obvimete del prámetro x. Más delte veremos tmbié que el símbolo dx yud recordr l fórmul de cmbio de vrible, u método muy útil pr clculr itegrles.

7 7. Itegrció Propieddes de l itegrl. Vmos probr tres propieddes básics de l itegrl recié defiid, ls dos primers describe su depedeci respecto del itegrdo, mietrs l tercer se refiere l itervlo de itegrció. Lielidd. Pr f,g C[,b] y λ,µ R, se tiee: (λ f + µg)(x)dx = λ f (x)dx + µ g(x) dx (1) L comprobció es csi evidete teiedo e cuet l descripció de l itegrl como límite de sums itegrles. Si {P } es u sucesió de prticioes de [,b] co { P } y, pr cd N, γ es u sum itegrl de l fució λ f + µg pr l prtició P, es clro que γ = λα + µβ dode α es u sum itegrl de f y β u sum itegrl de g, e mbos csos pr l prtició P. Por tto, l sucesió {α } coverge l itegrl de f y {β } coverge l itegrl de g. Pr obteer (1) bst hor pesr que (λ f + µg)(x)dx = lím γ = λ lím α + µ lím β Podemos ver l itegrció como u proceso medite el cul, cd fució cotiu e u itervlo fijo [,b], sigmos u úmero rel, l itegrl de dich fució. Teemos sí u plicció defiid e C[,b], co vlores e R. Llmemos I dich plicció: I : C[,b] R, I( f ) = f (x)dx f C[,b] (11) Pr eteder mejor ls propieddes de l itegrl co respecto l itegrdo, coviee teer presete l plicció I. Por ejemplo, recorddo que C[, b] es u espcio vectoril sobre R, l propiedd recié demostrd os dice que I es u plicció liel. Ls pliccioes lieles de u espcio vectoril X e el cuerpo sobre el que está costruido suele llmrse fucioles lieles e X. Así pues, l itegrció os h permitido defiir u fuciol liel I e el espcio vectoril C[, b]. Positividd. Si f C[,b] y f (x) pr todo x [,b], etoces f (x)dx. Est segud propiedd de l itegrl es ú más evidete, pues tods ls sums itegrles de f so úmeros reles o egtivos. E el cojuto C[,b] hy u relció de orde muy turl: pr f,g C[,b] podemos escribir g f, o tmbié f g, cudo se teg g(x) f (x) pr todo x [,b]. Es bie fácil ver que efectivmete se trt de u relció de orde, pero coviee observr que o es u orde totl: pr f,g C[,b], mbs desigulddes f g y g f puede ser flss. Recorddo (11) y deotdo por l fució costtemete igul cero e [,b], que es el vector cero del espcio vectoril C[,b], cbmos de probr que pr f C[,b] co f, se tiee I( f ), por lo que suele decirse que I es u fuciol liel positivo.

8 7. Itegrció 58 L positividd de l itegrl, juto co l lielidd, produce iterestes cosecuecis que vmos desgrr. Si f,g C[,b] verific que g f teemos evidetemete f g, luego I( f g) = I( f ) I(g). Vemos que l itegrl preserv el orde o, si se quiere, es u plicció creciete: f,g C[,b], g f = I(g) I( f ) Pr culquier f C[,b] teemos evidetemete f f f, luego l preservció del orde os dice que I( f ) I( f ) I( f ), es decir, I( f ) I( f ). Más explícitmete, teemos f (x)dx f (x) dx f C[,b] Est desiguldd se us meudo pr obteer cotcioes de cierts itegrles. Pr f C[,b], pogmos m = mí f [,b] y M = máx f [,b]. De l defiició de itegrl, o comprdo f co fucioes costtes, deducimos m(b ) f (x)dx M (b ) Dividiedo por b y plicdo el Teorem del Vlor Itermedio pr fucioes cotius, obteemos l que se cooce como propiedd de l medi: Si f C[,b], existe c [,b] tl que f (c) = 1 f (x)dx. b 1 Recuérdese que el cociete f (x)dx puede verse como el promedio de los vlores de b f e el itervlo [,b]. L propiedd de l medi os dice que este promedio es efectivmete u vlor de l fució f. Tomdo vlores bsolutos obteemos clrmete f C[,b] = f (x)dx ( máx{ f (x) : x [,b]} ) (b ) propiedd que puede etederse como u cotiuidd de l itegrl co respecto l itegrdo. Pr explicrlo, coviee plicrl l difereci etre dos fucioes y obteemos l firmció que sigue. Pr todo ε >, existe u δ >, de hecho podemos tomr δ = ε/(b ), tl que: f,g C[,b], g(x) f (x) < δ x [,b] = I( f ) I(g) < ε Est propiedd evoc clrmete l ide de cotiuidd del fuciol I. Vemos y l tercer propiedd básic de l itegrl, referete l itervlo de itegrció. Aditividd. Si f C[,b], pr todo c ],b[ se tiee: f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx c

9 7. Itegrció 59 Pr comprobrlo tommos u prtició P Π[,b] y escribimos P {c} = P 1 P 2 dode P 1 Π[,c] y P 2 Π[c,b]. Teemos clrmete I( f,p) I( f,p {c}) = I( f,p 1 ) + I( f,p 2 ) c f (x)dx + c f (x)dx dode hemos usdo que ls itegrles de f e los itervlos [,c] y [c,b] so myortes de los respectivos cojutos de sums iferiores. Puesto que l desiguldd terior es válid pr tod prtició P Π[, b], usdo hor l defiició de l itegrl e el itervlo [, b] como supremo del cojuto de ls sums iferiores, obteemos f (x)dx c f (x)dx + f (x)dx c Pr obteer l otr desiguldd bst plicr l terior l fució f. Cocluimos este estudio de ls propieddes de l itegrl co u cosecueci secill, pero bstte útil: Se f C[,b] verificdo que f, y supogmos que existe x [,b] tl que f (x ) >. Etoces: f (x)dx >. E efecto, l cotiuidd de f e el puto x (coservció del sigo), os d u δ > tl que, f (x) > pr todo x ]x δ,x + δ[ [,b]. Como máx{x δ,} < mí{x + δ,b}, podemos tomr c,d R de form que máx{x δ,} < c < d < mí{x + δ,b}, co lo que [c,d] ]x δ,x + δ[ [,b] y tedremos f (x) > pr todo x [c,d]. E prticulr será mí { f (x) : x [c,d] } = m >. Usdo etoces l ditividd y positividd de l itegrl, cocluimos que f (x)dx = c f (x)dx + d c f (x)dx + d f (x)dx d c f (x)dx m(d c) > como querímos demostrr. Este resultdo permite decir que l itegrl es u plicció estrictmete creciete. Pr etederlo, dds dos fucioes f,g C[,b] podemos escribir g < f cudo se teg g f y g f. Debemos teer cuiddo co est otció: de g < f o podemos deducir que se teg g(x) < f (x) pr todo x [,b], sólo podemos segurr que g(x) f (x) pr todo x [,b] y que existe lgú x [,b] tl que g(x ) < f (x ). Qued clro que etoces l fució f g verific l hipótesis del resultdo terior. Así pues, podemos escribir: f,g C[,b], g < f = g(x)dx < f (x)dx y qued hor bie clro por qué podemos decir que l itegrl es u plicció estrictmete creciete.

10 7. Itegrció Ejercicios 1. Probr, usdo directmete lgu descripció de l itegrl, que x p dx = 1 p + 1 p N {} Deducir que, pr culquier poliomio P, se tiee P (x)dx = P(1) P() 2. Probr que pr,b R co < b y f,g C[,b], se tiee f (x)g(x)dx 1 ( ) f (x) 2 dx + g(x) 2 dx 2 Deducir l llmd desiguldd de Cuchy-Schwrz: ( 2 ( f (x)g(x)dx) ) ( ) f (x) 2 dx g(x) 2 dx