RESPUESTA EN FRECUENCIA DE AMPLIFICADORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA CÁTEDRA DE ELECTRÓNICA III RESPUESTA EN FRECUENCIA DE AMPLIFICADORES Federco Myr AÑO 994 - Rev. 200

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE AMPLIFICADORES. INTRODUCCIÓN Cosderremos crcutos eléctrcos leles co u etrd y u sld, cuyos prámetros se cocetrdos. Estos crcutos se puede descrbr mtemátcmete medte u ecucó dferecl ordr como l sguete: y ()... 0 y b m x (m)... b 0 x dode x(t) es l etrd, o exctcó, e y(t) l sld, o respuest. Aplcremos hor l trsformcó de Lplce mbos membros. S supoemos que el crcuto está clmete reljdo, es decr que y(t) tee codcoes cles uls, etoces plcdo l trsformcó de Lplce, de dode Y(s) ( s... 0 ) X(s) (b m s m... b 0 ), Y(s) X(s) m bms s L bo L o H(s). () L fucó H(s) es l fucó de trsferec del crcuto, y puede fctorzrse como H(s) bm (s c)(s c2 ) L(s cm ), (2) (s p)(s p2 ) L(s p ) dode c so los ceros y p los polos. Est fucó permte obteer l respuest culquer exctcó bjo l hpótess y eucd de que y(t) teg codcoes cles uls. E efecto, ddo que Y(s) H(s) X(s), (3) podemos utlzr l trsformcó vers de Lplce pr obteer: y(t) L ( H(s) X(s) ). (4) Nos teres hor plcr este resultdo l cso e que x(t) es u fucó seodl, debdo l gr mportc de este tpo de fucoes pr l crcterzcó de dversos sstems. S x(t) X se ωt, Los resultdos so desde luego plcbles culquer sstem físco goberdo por u ecucó dferecl ordr.

etoces X(s) X ω. (5) 2 2 s ω Susttuyedo (2) y (5) e (3) y desrrolldo e frccoes smples, Y(s) s A p A B C L, s p s jω s jω dode se h supuesto que los polos de H(s) so smples 2 y que o cocde co jω. S plcmos hor l trsformcó vers, e el segudo membro se obtee y(t) A e pt A e pt B e j ωt C e j ωt. S el crcuto es estble, los polos de H(s) tee prte rel egtv y ls correspodetes expoecles o modos turles (que costtuye el régme lbre) se extgue co el tempo, de modo que pr t grde Clculemos B y C: y(t) B e j ωt C e j ωt. (6) B lím (s s jωt jω) Y(s) X 2j H( jω) C lím (s s jωt jω) Y(s) X 2j H(jω) Susttuyedo e (6) result y(t) H(jω) X se (ωt rg H(jω)). (7) L ecucó (7) es de mportc fudmetl e l teorí de los sstems dámcos leles, y que estblece u coexó etre el proceso bstte bstrcto por medo del cul se defe l fucó de trsferec H(s) y l respuest cocret del sstem u exctcó seodl. E prmer lugr muestr que l respuest, después de extgudo el régme lbre o trstoro, será tmbé seodl. E segudo lugr dc e form precs de qué mer se modfc l mpltud y l fse co respecto l exctcó. E tercer lugr, ddo que l mpltud y l fse de l respuest se puede medr e el lbortoro, es posble obteer expermetlmete los vlores de H(s) sobre el eje mgro, lo cul segú se demuestr e l teorí de fucoes de vrble complej determ H(s) e todo el plo. L fucó H(jω) se deom respuest e frecuec o respuest frecuecl del crcuto o sstem bjo estudo. H(jω) se represet gráfcmete e u sstem de ejes co escls doblemete logrítmcs, obteédose el coocdo dgrm de Bode. Ls 2 Co lguos cmbos meores se puede exteder el rzometo l cso e que H(s) teg polos múltples.

propeddes más sobresletes de dcho dgrm so: ) permte trsformr el producto de fctores de u fucó de trsferec e u sum de gráfcs de dchos fctores, y 2) ls gráfcs de los fctores posee sítots rectlíes y puede proxmrse medte ésts. L prmer propedd es evdete por ser l escl vertcl logrítmc. L segud surge de cosderr u fctor de l form /( s/p). Pogmos s jω y clculemos el logrtmo del módulo: log jω/ p log 2 ( ω/ p) log 2 2 ( ( ω/ p) ) log jω/ p 0 log p log ω ω ω << >> p p Ambs expresoes correspode líes rects e fucó de log ω, que se tersect e el puto (log p, 0). Cudo H(jω) es dmesol (como e el cso de u gc de tesó), geerlmete se tom l escl vertcl e decbeles (db), dode H db 20 log 0 H(jω). (8) E l fg. se muestr el ejemplo de u sstem co dos polos. H db Fgur. Dgrm de Bode E los mplfcdores electrócos meudo es ecesro coocer lgo cerc de l respuest e frecuec, uque o es mprescdble u coocmeto summete detlldo de l msm. E geerl es sufcete co dspoer de los vlores de ls frecuecs superor e feror de corte (frecuecs e ls cules l gc ce 3 db por debjo de su vlor e l bd cetrl), y que ésts determ el rgo útl del mplfcdor. Ddo que el cálculo excto de l respuest e frecuec puede llegr ser teω 2. ESTIMACION DE LAS FRECUENCIAS DE CORTE DE UN CIRCUITO

doso, os propoemos obteer u método proxmdo pr clculr sólo los prámetros de terés. 2.. TEOREMA DE LAS CONSTANTES DE TIEMPO Cosderemos u crcuto formdo por resstecs, fuetes depedetes e depedetes, y cpctores C,..., C que o forme gú bucle cerrdo. E l fg. 2 () se muestr esquemátcmete tl crcuto, e el cul se h explctdo los cpctores. E l fg. 2 (b) se qutro los cpctores, queddo sí u crcuto que por sus elemetos costtutvos o depede de l frecuec. Procurremos relcor ls frecuecs de corte co ls costtes de tempo determds por cd cpctor y l resstec vst por él. I I Red resstv... C I V Red resstv... I V C V V () (b) Fgur 2. U red RC co cpctores. E () se h seprdo los cpctores y e (b) los msmos fuero retrdos Ahor psvemos ls fuetes depedetes y escrbmos l ecucó mtrcl que vcul ls corretes y ls tesoes e el crcuto (b): I M I g M g L L g V M M g V dode ls g j so coductcs. E form mtrcl brevd, I G. V. Notemos que s se formr u bucle cerrdo de cpctores ls tesoes V o serí depedetes, y que estrí vculds por l segud ley de Krchhoff. S dejmos descoectdos todos los pres de termles co excepcó del - ésmo, es decr I j 0 s j, se puede determr por medo de l regl de Crmer l tesó desrrolld e el -ésmo pr:

j ( ) G j V I j det G j G I, det G dode det G es el determte de l mtrz de coductcs y G j es el meor correspodete gj (es decr el determte de l mtrz que qued l suprmr l colum y l fl j). De quí result que l resstec vst por el cpctor C co todos los demás pres de termles e crcuto berto es G R o. (9) det G S hor cortocrcutmos los pres de termles excepcó del -ésmo obteemos e form drect I g V, de dode l resstec vst por C co los demás cpctores cortocrcutdos es R cc, (0) g Agreguemos hor l totldd de los cpctores. L uev ecucó mtrcl se obtee fáclmete de l teror, y que gules tesoes ls corretes se cremet e l correte scv que bsorbe el cpctor correspodete. Result I M I g sc M g L L g V M M g sc V O, e otcó mtrcl, I Y. V. Observemos que l etrd de este crcuto es u fuete depedete de señl ter l bloque de l fgur 2 (y que sólo se h seprdo los cpctores), y l sld es tmbé u vrble ter. S embrgo, los polos de l correspodete fucó de trsferec costtuye u subcojuto (propo o o) del cojuto de los ceros del determte de Y, uque dchs vrbles de etrd y sld o prezc e l ecucó mtrcl. Esto sucede porque todos los lmcedores de eergí h sdo tedos e cuet fuer de dcho bloque. De modo que pr prosegur co el álss de l respuest e frecuec cosderremos el sguete polomo de grdo : det Y s... s 0. () Podemos clculr lguos coefcetes que os será útles:

G det C G C g C C... C 0 j j j De quí result, utlzdo (9) y (0): cc C R C g o 0 C R G det G Defedo ls costtes de tempo e cortocrcuto τ cc y e crcuto berto τ o como τ cc R cc C, (2) τ o R o C, (3) podemos escrbr τ cc (4) τ o 0. (5) Hemos sí expresdo los cocetes etre los dos prmeros y etre los dos últmos coefcetes e térmos de ls costtes de tempo e cortocrcuto y e crcuto berto. A cotucó expresremos los msmos cocetes e térmos de los ceros de det Y. S s,..., s so los ceros de det Y, es decr det Y (s - s ) (s - s 2 )... (s - s ), podemos determr los prmeros y los últmos coefcetes de () como

0 j j s ) ( s ) ( s Etoces s (6) 0 s. (7) Comprdo l ecucó (4) co l (6) y l (5) co l (7), se cocluye, flmete, que τ cc s (8) τ o s. (9) Ests expresoes costtuye el teorem de ls costtes de tempo (o teorem de los cpctores), y vcul los polos del crcuto co ls costtes de tempo e cortocrcuto y e crcuto berto. L utldd de este teorem se podrá de mfesto e l próxm seccó. 2.2. APROXIMACIÓN DE LA FRECUENCIA SUPERIOR DE CORTE A modo de motvcó, lzremos prmero el cso prtculr de u crcuto s ceros tl que uo de sus polos, por ejemplo s, se mucho meor que los resttes. E l fg. 3 se muestr el dgrm de Bode de u crcuto de este tpo co tres polos, s, s 2 y s 3. L frecuec superor de corte estrá determd práctcmete por dcho polo, llmdo por ese motvo polo domte: ω sup s. Como s << s pr >, l sumtor del prmer membro de (9) puede proxmrse por /ω sup, de modo que

H(jω) db s s 2 s 3 ω Fgur 3. Dgrm de Bode de u crcuto co tres polos ωsup τo, (20) L ecucó (20) permte u cálculo proxmdo de l frecuec de corte s ecesdd de efectur los tedosos cálculos que e geerl se requere pr l determcó exct de ωsup. E efecto, metrs que e el cálculo excto prmero se debe determr e su totldd l fucó de trsferec (que volucr elemetos depedetes de l frecuec) y luego plter l ecucó lgebrc de orde 2 H(j ω sup ) 2 / 2, co l proxmcó (20) sólo hy que clculr resstecs e crcuto berto, s elemetos depedetes de l frecuec. S be (20) fue obted bjo el supuesto de que hbí u polo domte, su vldez se extede tmbé l cso de polos reltvmete próxmos etre sí, pues s be y o es certo que s s, tmpoco se cumple que ω sup s, tededo compesrse mbs dferecs. E efecto, como l prte rel de todos los polos es egtv (pues supoemos que el crcuto es estble) se verfc que > s s Por otr prte ω sup < s, ddo que los polos cercos s reduce el módulo de l fucó de trsferec, hcedo que l cíd de 3 db se produzc meor frecuec. Etoces

>. ωsup s De ls desgulddes terores es rzoble coclur que e geerl vle l proxmcó s ω sup y por lo tto tmbé l (20). Covee cotr el error cometdo, y pr ello cosderemos el peor cso, que se d cudo todos los polos cocde. Así, pr polos e ωo, se clcul fáclmete que ω sup ωo 2, metrs que l proxmcó (2) d u vlor ω sup ωo /. E l tbl sguete se muestr los errores pr lguos vlores de (los vlores se d co dos cfrs decmles). ω sup excto ω sup proxmdo Error 2 0,64 ωo 0,50 ωo -22 % 3 0,5 ωo 0,33 ωo -35 % 4 0,43 ωo 0,25 ωo -43 % 5 0,39 ωo 0,20 ωo -48 % 0 0,27 ωo 0,0 ωo -63 % Aú pr u orde t lto como 5 el error o super el 50 %, e el peor cso. S embrgo, medd que umet l complejdd del crcuto, y por cosguete su orde, los polos tede seprrse más debdo l efecto de coplmeto relcodo co l depedec de cd modo turl de todos los compoetes. Result etoces que l proxmcó es, e geerl, mejor cuto myor se el orde del crcuto. EJEMPLO Cosderemos u red de rotcó de fse como l mostrd e l fgur 4. Psvdo V (l úc fuete depedete) se obtee ls sguetes costtes de tempo e crcuto berto: T o RC, T 2o 2RC, T 3o 3RC,

R R R V C C C V 2 Fgur 4. Red de rotcó de fse del ejemplo. de dode, utlzdo (20) result medtmete ωsup 6 RC 0,667 RC El módulo de l fucó de trsferec e jω (cuyo cálculo requere u esfuerzo cosderble) es V2 V. 2 2 3 ( 5 (RCω) ) ( RCω (RCω) ) 2 Por proxmcoes sucesvs se obtee ω sup 0,943 / RC. El vlor de l proxmcó segú (20) result u 4 % meor. Como se ve, este error es mucho más bjo que el de 35 % correspodete l peor cso que se cosg e l tbl precedete. NOTA: Es tereste destcr que el vlor ddo por (20) es sempre meor que el rel, y por lo tto l respuest e frecuec es e reldd más mpl. E el cso de u mplfcdor, esto es beefcoso, y que el msmo resultrá mejor que lo estmdo. 2.3. APROXIMACION DE LA FRECUENCIA INFERIOR DE CORTE Cosderemos hor u crcuto que teg ceros e el orge e gul úmero de polos. Esto sgfc que pr bjs frecuecs l gc tede 0 y pr lts frecuecs tede u costte o ul 3. Supogmos demás que tee u polo mucho myor que los otros, dgmos, s. E l fg. 5 se muestr el gráfco de Bode de u crcuto de este tpo co tres polos y tres ceros. L frecuec feror de corte estrá determd práctcmete por el polo s: ω f s. Como s >> s pr <, l sumtor del prmer membro de (8) puede proxmrse por ω f, de modo que 3 Alguos ejemplos so los fltros RC psltos y los mplfcdores co coplmetos cpctvos.

ωf T cc (22) L ecucó (22), smlr l (20), permte u estmr l frecuec feror de corte s ecesdd de efectur cálculos tedosos H(jω) db s s 2 s 3 ω Fgur 5. Dgrm de Bode de u crcuto co tres polos y tres ceros. S be l (22) se obtuvo supoedo que s >> s, es váld tmbé cudo los polos so reltvmete próxmos etre sí. E efecto, como l prte rel de todos los polos es egtv (pues supoemos que el crcuto es estble) se verfc que s > s Por otr prte ω f > s, ddo que los polos cercos s reduce el módulo de l fucó de trsferec, hcedo que l cíd de 3 db se produzc myor frecuec. De ls desgulddes terores es rzoble coclur que e geerl vle l proxmcó s ωf, (23) y por lo tto tmbé l (22). Pr cotr el error cometdo uevmete cosde86remos el peor cso, que se d cudo todos los polos cocde. Así, pr polos e ωo, se clcul fáclmete que

ωo ω f, 2 metrs que l proxmcó (2) d u vlor ω f ω o. E l tbl sguete se muestr los errores pr lguos vlores de (tods ls cfrs se d co dos cfrs decmles). ω f excto ω f proxmdo Error 2,55 ωo 2 ωo 29 % 3,96 ωo 3 ωo 53 % 4 2,30 ωo 4 ωo 74 % 5 2,59 ωo 5 ωo 93 % 0 3,73 ωo 0 ωo 68 % S be los vlores excto y proxmdo so los recíprocos de los correspodetes ls frecuecs superores de corte, se puede precr que los errores reltvos so myores ( por qué?). De tods mers,:8 covee sstr e que u crcuto rel rr vez tee sus polos t próxmos, de modo que e l práctc l proxmcó es mucho mejor. S repetmos el ejemplo tercmbdo los cpctores y ls resstecs, el vlor rel es ω f 5,47/RC, y el proxmdo 6/RC, es decr u 7 % más lto, error mucho meor que el 53 % correspodete l peor cso. Destquemos que e este cso l proxmcó es por exceso, lo cul mplc e el cso de u mplfcdor que e reldd éste es mejor que lo estmdo. Est proxmcó puede geerlzrse l cso e que los ceros se o ulos, co l codcó de que se mucho meores que ω. S los ceros está demsdo próxmos, e geerl o vle. 2.4. CIRCUITOS CON FRECUENCIAS SUPERIOR E INFERIOR DE CORTE Hst hor hemos lzdo redes que teí solmete frecuec superor de corte (crcutos s ceros) o frecuec feror de corte (crcutos co gul ctdd de polos y ceros). E los crcutos que tee mbs frecuecs de corte, es decr co u respuest frecuecl como l de l fg. 6 (crcterzdos por teer más polos que ceros), o result posble plcr drectmete ls proxmcoes (20) y (22). E efecto, s s es el meor de todos los polos, el msmo rzometo que coduce l (20) permte coclur que s τo

sólo que hor s < ω f << ω sup, de modo que /Στ o o es u bue proxmcó de ω sup. Aálogmete, s s es el polo más grde, ω f << ω sup < s, por lo cul Σ(/τ cc ) tmpoco srve como proxmcó de ω f. H(jω) db H o s s 2 s 3 s 4 ω Fgur 6. Dgrm de Bode de u crcuto co cutro polos y dos ceros. E el cso de ω sup, el motvo de esto está e que o se tuvero e cuet los ceros y l ecucó (20) es váld sólo s o hy ceros. E el cso de ω f, o se tuvero e cuet los ceros flttes pr que l ctdd de ceros y de polos fuer l msm. Cudo ω f << ω sup es posble subsr este coveete y l vez smplfcr ú más el problem. Pr ello observemos prmero que hy dos grupos de polos: los polos de bj frecuec, que e combcó co los ceros d orge l frecuec feror de corte, y los polos de lt frecuec, que defe l frecuec superor de corte. Por lo geerl los polos de bj frecuec so credos por los msmos cpctores que produce los ceros 4, y es fácl detfcrlos porque cumple fucoes de coplmeto o descoplmeto de correte lter. Etre éstos se ecuetr los cpctores que vcul ls etps de u mplfcdor de correte lter, y los que cortocrcut l resstec de emsor e l polrzcó de u trsstor. Al cortocrcutr estos cpctores, se elm smultáemete los ceros y los polos de bj frecuec, queddo úcmete los de lt frecuec. Etoces puede plcrse l proxmcó (20). Obsérvese que se está utlzdo u form híbrd de (20), y que e el cálculo de ls costtes de tempo, lguos cpctores se bre pero otros se cortocrcut, y demás l sum se extede sólo los de lt frecuec. S C,..., C h so los cpctores que gober el comportmeto e frecuecs bjs y C h,..., C los correspodetes frecuecs elevds, etoces (20) tom l form 4 Auque o sempre es sí. Ver l NOTA l fl del ejemplo que sgue.

dode ωsup, (24) τo' h τ o Costte de tempo co C j cortocrcutdo pr j,..., h y berto pr j h,...,, j. Pr determr l frecuec feror de corte se utlz u procedmeto smlr. E ese cso se bre todos los cpctores de lt frecuec (es decr, los que o ecudre detro de los lzdos terormete) y luego se utlz l correspodete form híbrd de (22): dode ωf h τ cc', (25) τ cc Costte de tempo co C j cortocrcutdo pr j,..., h, j, y berto pr j h,...,, L clve de este tpo de álss está e l posbldd de socr lguos cpctores l respuest e lt frecuec y otros l respuest e bj frecuec. EJEMPLO 2 L red RC elemetl de l fg. 7 lustr este procedmeto. E este cso hy u polo de bj y otro de lt frecuec. Por smple speccó se verfc que C está ubcdo como coplmeto, y por cosguete cotrol ls bjs frecuecs. Cortocrcutádolo se obtee el crcuto de lt frecuec sobre el cul se determrá l úc C µf R 2 0 kω V R kω C 2 F V 2 Fgur 7. Red RC psltos y psbjos del ejemplo 2. costte de tempo e crcuto berto, que es l vst por C2 (e este cso l o hber otros cpctores pr brr, l costte de tempo e crcuto berto result ser e reldd e cortocrcuto!). Se obtee τ 2o ' R 2 C 2 0 µs. E form álog, result τ cc ' R C ms. De quí result fáclmete

f sup 5,95 khz f f 59,5 Hz (vlor excto: 5,932 khz) (vlor excto: 58,99 Hz) El error es de lrededor de u 0,% e mbos csos, co u esfuerzo de cálculo mucho meor. Nuevmete los errores tede reducr l bd de pso respecto l vlor rel, por lo cul el comportmeto rel es más exteso que lo estmdo. NOTA: S los vlores de ls resstecs y de los cpctores se huber tercmbdo (es decr R 0 kω, R 2 kω, C F y C 2 µf), C segurí sedo el que determ l exstec del cero, pues se ecuetr e el cmo drecto de l señl. Pero e cmbo serí C 2 el resposble del prmer polo, es decr el que ccel el efecto del cero. E este cso deberí cortocrcutrse C 2 pr obteer l frecuec superor de corte y brrse C pr determr l frecuec feror de corte. 2.5. INFLUENCIA DE LAS CONSTANTES DE TIEMPO INDIVIDUALES A prtr de ls ecucoes (8) y (9) o es dfícl cer e l tetcó de buscr u correspodec etre costtes de tempo y polos específcos. Est pretesó es v e geerl, y que qued clro que dchs ecucoes expres gulddes etre sums y de gu mer etre térmos de ess sums. S embrgo, e muchos csos es posble l meos dvdulzr qué compoetes tee myor efecto sobre ls frecuecs de corte, lo cul permtrí por ejemplo, vrr dchos compoetes f de justr l respuest desed. E el sguete ejemplo se muestr est stucó sobre l determcó de l respuest e bj frecuec de u etp trsstor. EJEMPLO 3 Cosderemos l etp mplfcdor trsstor que se muestr e l fg. 8 (). El trsstor tee h fe 200 y h e 2,6 kω, y los otros prámetros puede desprecrse. E l fg. 8 (b) se dc el modelo e pequeñ señl, e el cul se h psvdo l úc fuete depedete (el geerdor de señl) f de clculr ls costtes de tempo e cortocrcuto que se requere pr plcr (22). L úc resstec e cortocrcuto que ofrece u mím dfcultd es l vst por C2, y que e los otros csos l fuete depedete o fluye. Los vlores clculdos so τ cc (2,3 kω) C 23 ms τ 2cc (3 Ω) C 2,3 ms τ 3cc (3 kω) C 3 30 ms. Ddo que ω f, (26) τcc τ2cc τ3cc

V cc 8 kω C 0 µf 2 kω C 3 0 µf V 27 kω kω kω C 2 00 µf V 2 () 0 µf b 0 µf 2 kω 2,8 kω 200 b 2 kω kω kω 00 µf (b) Fgur 8. Determcó de l respuest e frecuec de u etp mplfcdor. () Dgrm crcutl. (b) Modelo e pequeñ señl. result evdete que τ 2cc, por ser mucho meor que ls otrs, es l que más cde e el vlor fl de l frecuec de corte; ello se debe l pequeño vlor de R 2cc. Co ls cfrs terores, l frecuec feror de corte result ser de 35 Hz, vlor demsdo lto pr determds plccoes (como por ejemplo e udo). Pr lustrr mejor l potec de est form de álss, vemos cómo permte propoer y evlur mejors e l respuest e ls bjs frecuecs de est etp. Supogmos que queremos u frecuec feror de 20 Hz. U prmer solucó serí umetr uo o más cpctores. L ecucó (26), reescrt explctdo los cpctores, ω f, (27) 2,3 kω C 3 Ω C2 3 kω C3 muestr que ú umetdo C ó C 3 ftmete, l mejorí logrd serí escs, de modo que es más lógco umetr C 2. Relzdos los cálculos result u vlor de C 2 540 µf. Aumetdo tmbé C y C 3, C 2 puede reducrse hst uos 650 µf,

pero este vlor result ú coveetemete lto. L ecucó (27) dc que el problem se org e el pequeño vlor de R 2cc, que vee ddo por R2cc he he Re //. hfe hfe Est resstec puede umetrse gregdo u resstec e sere co el cpctor o be co el emsor, como se dc e l fgur 9. Est solucó mplc l exstec de cert relmetcó e lter que reducrá l gc cosderblemete. 5 El uevo vlor de R 2cc será he R 2cc Re2 // Re. hfe Puede coservrse l polrzcó orgl tomdo R e R e2 kω. Ddo que R e2 >> R e, R 2cc se puede proxmr por R 2cc 3 Ω R e. Adoptdo R e 82 Ω, y s modfcr C C 3, se logr C 2 20 µf. S se cremet C y C 3 47 µf, el vlor orgl de C (00 µf) resultrá sufcete pr logrr que f f 20 Hz. R e R e2 C 2 Fgur 9. Iterclcó de u resstec degeertv pr umetr l resstec vst por el cpctor C 2. 5 E reldd es precsmete debdo est reduccó de gc que se logr reducr l frecuec feror de corte. E efecto, l relmetr u sstem co u polo y u cero, tto l gc como l frecuec feror de corte dsmuye e gul proporcó: β. S hy más de u polo y u cero, uque l proporcó y o es l msm, sgue reducédose mbs.

Notemos que s e lugr de lo que hcmos hubérmos clculdo l respuest frecuecl exct del crcuto, cluyedo todos sus prámetros, muy probblemete hbrímos ecotrdo u expresó summete complcd e l cul serí cs mposble deducr qué prámetros so sgfctvos y cuáles o. Lo teror muestr que el método que estmos cometdo o sólo es u efoque pr smplfcr el cálculo de l respuest e frecuec, so que demás costtuye u potete herrmet de álss que permte detfcr ls cuss prcples de dch respuest. De ese modo, es posble u compresó más tutv de los crcutos, lo cul result summete útl pr resolver co éxto ls dfcultdes que se preset e el dseño. E este setdo puede comprrse l método sstemátco de álss de mplfcdores relmetdos. 3. MODELOS DEL TRANSISTOR BIPOLAR EN ALTA FRECUENCIA Estudremos lguos modelos del trsstor váldos pr su opercó e lt frecuec. Comezremos co el modelo π, el cul relcoremos co el modelo cudrpolr de prámetros híbrdos h, co el doble propósto de estblecer los límtes de plccó de este últmo, y de ecotrr expresoes que permt obteer lguos prámetros del modelo π prtr del h, ddo que el modelo h tee mpl dfusó e ls hojs de especfccoes de los trsstores. 3.. EL MODELO HIBRIDO π DEL TRANSISTOR E l fgur 0 (b) se muestr el modelo híbrdo h del trsstor coectdo e su cofgurcó de emsor comú, dcd e l prte () de dch fgur. b c b b h e c c v be h fe b h oe v ce e () e e h re v ce (b) e Fgur 0. () Trsstor bpolr e cofgurcó emsor comú. (b) Modelo híbrdo del trsstor (prámetros h). Este es u modelo cudrpolr e pequeñ señl cuyos prámetros h e, h re, h fe y h oe permte relcor ls vrbles de etrd y sld trvés del sstem de ecucoes v be h e b h re v ce (28) c h fe b h oe v ce

Los prámetros h tee l vetj de que so fácles de medr e form drect o drect 6 y descrbe l trsstor bstte be e bj frecuec. Por est rzó se h populrzdo su clusó e ls hojs de dtos de los trsstores. S embrgo, dolece de lguos defectos que les rest vlor pr certs plccoes. E prmer lugr, depede fuertemete de vrs codcoes de fucometo tles como el puto de polrzcó, l tempertur y l frecuec, y ls respectvs leyes de vrcó o dmte u represetcó mtemátc secll. Esto se debe que los prámetros del modelo de l fgur 0 (b) o tee u relcó demsdo drect co los feómeos físcos detro del trsstor. E segudo lugr, más llá de us pocs deces de khz los prámetros dej de ser úmeros reles y su vrcó co l frecuec se hce muy ostesble, s que su comportmeto se fácl de modelzr por medo de elemetos crcutles cocetrdos. El modelo híbrdo π, represetdo e l fgur, permte superr ls dfcultdes del modelo h. E prmer lugr, cd compoete reflej lgú feómeo físco detro del trsstor. E segudo lugr, los vlores de los compoetes puede deducrse, e su C µ b r x b r µ c v b e r π C π g m v b e r o e e Fgur. Modelo híbrdo π del trsstor myorí, de ls codcoes de opercó, o be de dtos de fbrccó del dspostvo, trvés de ecucoes seclls. E otros csos, puede obteerse tmbé e form smple prtr de vlores fáclmete medbles. Por últmo, los prámetros del modelo híbrdo π se mtee rzoblemete costtes co l frecuec hst frecuecs bstte lts, de modo que el modelo es u utétco modelo crcutl. 3... PARAMETROS DEL MODELO π Estudremos cotucó los dferetes prámetros del modelo π, relcoádolos cudo se posble, co los prámetros h. Los tres prámetros más fudmetles del modelo π so g m, r π y C π. El vlor de g m puede obteerse prtr de l ecucó de Ebers y Moll proxmd pr polrzcó drect: 6 L medcó drect se hce por determcó de ls pedetes de ls curvs estátcs. Por ejemplo, hfe es l pedete de l curv Ic vs. Ib e u puto de trbjo especfcdo.

Vb'e / V I t c Is e, (29) dode I s es l correte de sturcó, y V t l tesó térmc dd por V t kt/q, sedo k,38 0 23 J/K l costte de Boltzm, T, l tempertur bsolut y q,6 0 9 C, l crg del electró. Dervdo (29) respecto V b'e se obtee Ic I g c m (30) Vb'e Vt Así, g m result ser u prámetro físco, completmete depedete de l frecuec y del tpo de trsstor (y por cosguete de su geometrí y dmesoes). Sólo depede de l tempertur y de l correte de polrzcó. Obsérvese que esto es váldo porque g m mplfc l tesó desrrolld e l jutur propmete dch, es decr V b'e, y o l tesó bse-emsor, que cluye u cíd de tesó óhmc dcol (debd r x ). L resstec r π, por smple comprcó co el modelo h e bj frecuec, result ser hfe hfe Vt r π (3) gm Ic Se observ que r π, trvés de h fe, depede fuertemete del tpo de trsstor, y hst de l udd prtculr, de llí que o se pued obteer s u coocmeto drecto de h fe (y se trvés de ls especfccoes o de su medcó, o estmádol). Obsérvese especlmete que uque h fe vrí co l frecuec, y hst se vuelve u úmero complejo, ello o ocurre co r π, y que l ecucó (3) sólo es váld e bj frecuec. L cpcdd C π está drectmete vculd los procesos físcos que tee lugr e l bse. Tee dos compoetes, cd u de ls cules respode u mecsmo dferete: C π C b C je. (32) C b reflej el feómeo de dfusó de portdores (yectdos desde el emsor) e l bse. Esto demor certo tempo que es smlble l proceso de crg de dcho cpctor. Vee ddo por tf Ic C b tf gm (33) Vt dode t f es el tempo de trásto drecto (forwrd) de los portdores e l bse, es decr el tempo medo que demor u portdor e cruzr l bse. E cuto C je, prece por el hecho de que e l jutur bse-emsor se geer u zo de crg espcl de dstto sgo uo y otro ldo de l uó. El vlor de l crg cumuld vrí co l tesó plcd. E polrzcó drect, est cpcdd dquere u vlor máxmo cerc de l tesó co que se polrz l bse. De tods mers, dcho vlor, que puede estmrse e pf, se puede desprecr e geerl, y trbjr co l proxmcó C π t f g m. (34)

Ddo que t f es u prámetro físco del trsstor mposble de medr e form drect, es tereste dspoer de lgu expresó que permt determr C π prtr de lgú dto expermetl de fácl obtecó. Dcho dto es l frecuec de trscó, f T, defd como quell frecuec l cul el módulo de l gc de correte co l sld e cortocrcuto se hce, es decr E l próxm seccó veremos que h fe (f T ). (35) ft gm 2π (Cπ, (36) Cµ ) de dode, teedo e cuet que C π >> C µ, result g C m π. (37) 2π ft Psemos hor los resttes prámetros. L resstec de sld r o es l resstec cremetl del colector co l jutur bse-emsor e cortocrcuto, es decr: ro Ic / V. (38) ce E l fgur 2 se muestr ls curvs de I c vs. V ce, juto co l extrpolcó de l zo ctv de cd curv hst llegr I c 0. Se observ el tereste hecho de que tods ls prologcoes se tersect proxmdmete e u msmo vlor de tesó V A, dode V A es l llmd tesó de Erly, cuyo vlor suele estr etre 50 y 00 V y es costte pr cd trsstor. De quí puede obteerse por smple semejz de trágulos l pedete de cd curv: Ic Vce Ic VA de dode result V r A o. (39) Ic E coclusó, l resstec de sld dsmuye l umetr l correte de colector. Por últmo, s desprecmos r µ, obteemos l sguete relcó etre r o y h oe, uevmete, váld e bj frecuec: r o, (40) hoe que permte clculr r o prtr de los dtos del modelo h e bj frecuec.

I c V be V be2 V be V A V ce Fgur 2. Tesó de Erly V A. L cpcdd C µ es l cpcdd de l zo de crg espcl, que por estr l jutur de bse-colector polrzd versmete 7 puede clculrse co l sguete fórmul: Cµ o Cµ (4) Vcb' ψo dode ψ o es l brrer ter de potecl, o potecl que se geer e l jutur e usec de polrzcó exter (es del orde de 600 mv), y C µo es el vlor que sume C µ e usec de polrzcó. El vlor de C µ es e geerl pequeño, pudedo desprecrse frete C π cudo mbs cpcddes v sumds. L resstec r µ etre colector y bse puede estmrse trvés de l desguldd r µ > 0 h fe r o, (42) uque su vlor puede obteerse co myor precsó s se cooce h re. L expresó, que se obtee plcdo l defcó cudrpolr de h re e el modelo π, es: vbe rπ rµ. (43) vce h 0 re b Flmete, l resstec extrísec de bse, r x, es l resstec óhmc de l bse. Depede lgo de l frecuec, uque su vlor es e geerl más pequeño que r π, por lo cul puede desprecrse hst frecuecs reltvmete lts, es decr, metrs l rectc que ofrece C π o se reduzc hst hcerse comprble co r x. Se puede determr por medo de 7 L fórmul es váld hst u tesó drect de ψo/2, rzó por l cul l cpcdd correspodete de l jutur bse-emsor o se puede clculr co est fórmul.

r x h e r π. (44) Debe teerse e cuet que ddo que h e y r π so de vlor precdo, culquer error e lgu de ells o e mbs mplc u error mucho myor e r x, uque s ello ocurre, es porque r x << r π, y etoces rx podrí desprecrse s ocsor errores mporttes. 3..2. LIMITACIONES DE LOS MODELOS h Y π El modelo híbrdo h se especfc por lo geerl co vlores reles, lo cul sgfc que su vldez se extederá hst quells frecuecs e ls cules l compoete mgr o provoque u error mportte, lo cul, desde luego, depede de l plccó. E térmos geerles podemos supoer que el modelo es váldo cudo l compoete mgr o super el 0% de l compoete rel. A f de plcr este crtero, clculemos prmero los prámetros h utlzdo el modelo π. Result hfe gmrπ rπ // rµ (Cπ Cµ ) s (45) rπ // rµ h e r x rπ // rµ (Cπ Cµ ) s (46) r r C s h oe g π µ µ m rπ rµ rπ // rµ (Cπ Cµ ) s ro (47) h rπ rµ Cµ s re (48) rπ rµ rπ // rµ (Cπ C µ ) s Vemos que l frecuec f β, dd por fβ, (49) 2π rπ (Cπ Cµ ) es l frecuec de corte de l gc de correte e cortocrcuto, es decr dode h fe ce 3 db. Se deom frecuec de corte β, y geerlmete puede proxmrse por f β, (50) 2π rπ

Teedo e cuet que r x << r π, f β represet tmbé l frecuec l cul he ce 3 db respecto de su vlor e correte cotu. De cuerdo l crtero eucdo precedetemete, l vldez de los prámetros h fe y h e sólo se extederí hst lrededor de f β /0. S embrgo, e los csos e los que sólo terese el módulo, el error cometdo e es frecuec será del 0,5%, lo cul puede ser ecesrmete precso, especlmete cosderdo los errores por dspersó de los vlores especfcdos e ls hojs de dtos. E f β /2 el error e el módulo será de pes u 2%, y ú llegdo hst f β los resultdos será bstte ceptbles pr muchs plccoes. E cuto h re y h oe, mbs expresoes cotee u cero correspodete u frecuec / 2πr µ C µ << f β. Esto mplc que hre y hoe comez crecer y frecuecs reltvmete bjs, e geerl del orde de us pocs deces de khz. Como los vlores e correte cotu de estos prámetros so pequeños, podrí creerse que u frecuecs myores que / 2πr µ C µ los errores troducdos o so mporttes. S embrgo, pr vlores muy ltos de resstec de crg el umeto tempro de hoe puede troducr grdes errores clusve frecuecs mucho meores que f β. Est, stucó suele drse e ls etps e emsor comú co crg ctv (fuete de correte), típcs de muchos crcutos tegrdos. Resumedo, el modelo h rel puede cosderrse váldo co tod segurdd hst / 2πr µ C µ. A prtr de llí, segú ls plccoes su vldez puede llegr extederse hst f β. L ecucó (45) puede utlzrse pr clculr l frecuec de trscó, reemplzdo s por jω y hcedo h fe (jω). Se obtee ft gmrπ 2π rπ // rµ (Cπ, (5) Cµ ) O be, cosderdo que r π << r µ, ft gm 2π (Cπ, (52) Cµ ) ecucó que y utlzmos e (36). Es mportte observr que relmete el modelo híbrdo π o es váldo hst f T, debdo cuss que proto exmremos. Por ello o debe sorpreder que l medr efectvmete l frecuec l cul h fe (jω) se obteg u vlor dstto del que predce est ecucó. S embrgo, ls ecucoes (5) y (52) so lo sufcetemete útles como pr llevr redefr f T de modo que ls msms resulte válds. Pr ello se cosder f T como l frecuec l cul l extrpolcó de l sítot de h fe (y o l prop h fe ) se vuelve. Esto tee l vetj de que permte todví u medcó bstte drect. E efecto, bst medr h fe u frecuec f vrs veces myor que f β (por ejemplo 0 veces), y etoces ddo que sobre l sítot vle h fe (j2πf).f costte (por ser u polo eseclmete de prmer orde), se obtee

f T h fe (j2πf ).f. (53) E muchs hojs de dtos, efectvmete se sumstr h fe cert frecuec bstte elevd e lugr de dr f T. E l fg. 3 se muestr l gráfc de h fe e fucó de l frecuec. h fe h feo h fe f β f f Fgur 3. Determcó drect de f T. f T El modelo híbrdo π dej de ser váldo e lgu frecuec termed etre f β y f T, debdo dos hechos. El prmero es l evtble exstec de us cpcddes prásts o extrísecs etre cd pr de termles del trsstor que o se tuvero e cuet e el modelo de l fgur. El segudo hecho es que muy lts frecuecs l bse o puede modelzrse por medo de elemetos de crcuto co prámetros cocetrdos, so que se comport más be como u líe de trsmsó co prámetros dstrbudos. E l fgur 4 se muestr u modelo crcutl proxmdo que podrí utlzrse hst frecuecs más lts. U mejor proxmcó podrí cosegurse s se susttuye r x y C be por u escler RC, que proxme mejor l culdd de líe C bc C µ b r x b r µ c C be v b e r π C π g m v b e r o C ce e e Fgur 4. Modelo híbrdo π co el gregdo de cpcddes extrísecs pr exteder su plcbldd frecuecs lts.

de trsmsó que preset l bse. Este modelo es demsdo complejo pr su utlzcó práctc, slvo e los progrms de smulcó pr computdor. S se prescde de ls cpcddes extrísecs, se ecuetr que el modelo híbrdo π es váldo hst l deomd frecuec de corte trsversl, f b, dd por l fórmul fb. (54) 2π rx // rπ (Cπ Cµ ) Normlmete es r x << r π y C π >> C µ, de mer que se puede proxmr por fb. (55) 2π rxcπ Comprdo co l (50), vemos que f b >> f β, lo cul muestr clrmete l superordd del modelo π sobre el h. Uo de los myores coveetes del modelo π se ecuetr e l dfcultd pr medr co gr excttud lguos de sus prámetros (como r x, C µ, r µ ), y esto es u lmtcó práctc que, e efecto, obstculz su empleo geerlzdo pr cálculo de crcutos. A pesr de ello, sgue sedo u herrmet teórc de gulble potecl pr evlur l respuest de dversos crcutos. Así, muchs de ls crcterístcs de los crcutos tegrdos leles puede predecrse por medo de este modelo. De hecho, dferec del modelo h (y tmbé del y) es u modelo crcutl, cuyos elemetos so compoetes crcutles estádr, como resstecs, cpctores y fuetes depedetes reles. 3..3. SIMPLIFICACIONES DEL MODELO π Segú el rgo de frecuecs, es posble smplfcr el modelo π trvés de lgus proxmcoes. Pr ello otemos que sempre se verfc que r π C π << r µ C µ. (56) Etoces, pr frecuecs meores que / 2π.r µ.c µ se puede desprecr mbos cpctores, obteédose u secllo modelo depedete de l frecuec. Pr u frecuec f compredd e l bd f 2π rµ Cµ 2π rπcπ puede desprecrse r µ, y que l rectc de C µ predom e el prlelo. Flmete, pr f > / 2π.r π.c π, se puede desprecr ls dos resstecs r π y r µ, y que etoces predom mbos cpctores. S embrgo, e este rgo de frecuecs cbe ls lmtcoes y cometds. Ests proxmcoes so útles porque permte trbjr co crcutos equvletes más secllos.

3..4. EJEMPLO DE APLICACION DEL MODELO π E el sguete ejemplo veremos u plccó del modelo π utlzdo el teorem de ls costtes de tempo. EJEMPLO 4 Cosderemos el crcuto de l fgur 8, e el cul supodremos que h feo 200, f T 00 MHz, V A 50 V, C µ 2 pf, r x 50 Ω y que l polrzcó es tl que I c 2 ma. Buscmos determr l frecuec superor de corte cudo el geerdor tee u resstec R g kω. Pr ello, plcdo ls cosdercoes de l seccó 2.4. cortocrcutmos los cpctores de coplmeto y de descoplmeto, ddo que está vculdos co el grupo de polos y ceros de bj frecuec. Qued e cmbo los cpctores del modelo π. Aplcdo ls ecucoes y proxmcoes de l seccó 3..., el crcuto equvlete result ser el que se muestr e l fg. 5. Observemos que ddo que r µ 50 MΩ, l hemos desprecdo. v kω 2 kω b 50 Ω v b 2,6 kω 2 pf 6 pf (77 S).v e c 25 kω 667 Ω v o Fgur 5. Modelo e señl del mplfcdor del ejemplo 4. Llmemos R (R g //R b r x ) // r π 725 kω R 2 R c // R l // r o 650 Ω, dode R b 2 kω y R c // R l 667 Ω. Podemos proxmr l frecuec (superor) de corte f sup por fsup ωsup, (57) 2π 2π( τπo τ µ o ) dode τ πo R πo.c πo, τ µo R µo.c µo.

Abredo C µ, l resstec vst desde C π es smplemete R πo R. Pr obteer l resstec vst por C µ l brr C π, exctmos co u fuete de correte de prueb I V v R g m v R 2 Fgur 6. Cálculo de l resstec vst por C µ. y clculmos l tesó V, como se muestr e l fgur 6. Result: Reemplzdo, se tee R µo V/I R ( R g m ) R 2. f sup,33 MHz. Result u vlor bstte pequeño comprdo co f T, pero s se cosder que e f T el trsstor dej de teer gc de correte, es lógco esperr que l máxm gc se mteg sólo hst u frecuec bstte meor que f T. 3.2. EL MODELO y DEL TRANSISTOR Vmos e l seccó teror que el modelo π es u modelo crcutl, lo cul mplc que puede plcrse co vetj téccs covecoles de álss y resolucó de crcutos. E prtculr, se puede utlzr el teorem de ls costtes de tempo pr estmr l frecuec de corte de u mplfcdor trsstores. Pero precsmete por ser u modelo crcutl co prámetros cocetrdos, o permte u represetcó demsdo exct del comportmeto de u dspostvo de turlez dstrbud como el trsstor, especlmete e l regó de ls lts frecuecs. S lo teror se greg l dfcultd pr medr los prámetros del modelo e form drect, se cocluye que el modelo π perde utldd e lt frecuec (por ecm de f b ). Los modelos cudrpolres, e cmbo, por o estr tdos u represetcó crcutl co elemetos estádr, y porque los cutro prámetros que crcterz uívocmete su comportmeto so reltvmete fácles de medr co excttud, o preset estos coveetes. Tl como se señló pr el cso del modelo h, los prámetros meddos depede de ls codcoes de opercó como el puto de polrzcó, l tempertur, y especlmete l frecuec. A prmer vst esto prece costtur u coveete y que serí ecesro especfcr los prámetros e umeross codcoes pr crcterzr el fucometo del trsstor e form más o meos complet. S embrgo, e geerl ls plccoes de lt frecuec suele ser de bd gost y e frecuecs bstte defds, rzó por l cul bstrí especfcr los

prámetros de los trsstores e dchs frecuecs (por ejemplo, l frecuec termed de TV). De hecho, l myorí de los trsstores de lt frecuec se fbrc pr plccoes específcs, y por lo tto co rgos de frecuec estblecdos, y los prámetros se d pr ess frecuecs. De los ses posbles juegos de prámetros cudrpolres, el que result más cómodo de medr e lt frecuec es el juego de prámetros y (dmtc), que d orge l modelo pseudocrcutl 8 de l fgur 6. b b c c y fe v be v be y e y oe v ce y re v ce e e Fgur 6. Modelo y de u trsstor bpolr Los prámetros y e, y re, y fe e y oe permte vculr ls vrbles de etrd y sld trvés del sstem de ecucoes b y e v be y re v ce (58) c y fe v be y oe v ce. Lo más usul e ls hojs de dtos es ecotrr los prámetros expresdos u o más frecuecs de terés. A veces los prámetros se sumstr e módulo y fse, y otrs veces se d l prte coductv y l cpctv. S el subídce x represet culquer de los cutro prámetros y, etoces se tee por defcó y x g x jω C x. (59) E lguos csos, e los que demás del vlor determd frecuec ωo es esecl l form e que vrí los prámetros lrededor de dch frecuec (como e el álss de oscldores o de mplfcdores stozdos), se puede obteer u desrrollo de Tylor de prmer grdo (o myor, s fuere ecesro), de l form y x g x g x '(ω ω o ) jω C x j(ω ω o ) C x '. (60) Los vlores de g x ' y de C x ' se puede determr s se cooce y x e ω o y e otr frecuec próxm, por ser smplemete ls pedetes de ls gráfcs de l prte rel e mgr de y x respectvmete. Aplcdo ls correspodetes defcoes de los prámetros que surge de este sstem, puede clculrse e form drect los prámetros y prtr del modelo híbrdo 8 Lo cosdermos u modelo pseudocrcutl porque sus elemetos o represet compoetes estádr como resstecs, cpctores, y fuetes cotrolds depedetes de l frecuec.

π. Ddo que trbjremos e lt frecuec, desprecremos l resstec r e todos los csos. Se obtee yfe rπ gm rx rπ rπ // rx (Cπ Cµ ) s (6) ye rπ (Cπ Cµ ) s (62) rx rπ rπ // rx (Cπ Cµ ) s yoe rπ (Cπ Cµ ) s gm (63) ro rπ // rx (Cπ Cµ ) s yre rπ // rx rµ Cµ s (64) rx rµ rπ // rx (Cπ Cµ ) s De (6), vemos que l frecuec de corte de y fe result ser l frecuec de corte trsversl dd e (54) como el límte de vldez del modelo π. Ests relcoes permte, etre otrs coss, determr lguos de los prámetros del modelo π prtr de medds de los prámetros y. Así, por ejemplo, prtr de (6) se puede clculr r x e lt frecuec, teedo e cuet que etoces podemos proxmr yfe gm rx (Cπ Cµ ) s Recorddo l ecucó (52), se obtee f r x (65) yfe (f ) ft Ddo que (6) es váld sólo hst f b, los fes de est fórmul y fe debe medrse u frecuec f < f b. 3.2.. UN EJEMPLO: EL AMPLIFICADOR SINTONIZADO Los mplfcdores stozdos so crcutos muy útles cudo es ecesro mplfcr señles compredds e u rgo muy estrecho de frecuecs, requrédose l msmo tempo teur tod otr señl fuer de dch bd. Los mplfcdores de frecuec termed de los receptores superheterodos costtuye u ejemplo de dch stucó. Debdo lo elevdo de l frecuec de opercó de estos mplfcdores, es coveete utlzr el modelo y pr los trsstores que tervee e ellos. E l fgur 7 () se muestr u mplfcdor stozdo de u etp que utlz u crcuto

tque RLC e el colector, y e l fg. 7 (b) se muestr el crcuto equvlete pr lt frecuec que utlz el modelo y del trsstor. S pr smplfcr supoemos que el V cc R L C C 2 C V R 2 R e C e R V 2 () y fe v be V y e R //R 2 L C R y re v ce y oe V 2 (b) Fgur 7. () Amplfcdor stozdo. (b) Su modelo y. geerdor de señl V es del, etoces R //R 2, y e, l fuete depedete y re v ce tee gú efecto. Etoces, por cálculo drecto se obtee V2 V y fe. / R yoe / jωl jωc S llmmos ω o l frecuec gulr de resoc, y s proxmmos y fe e y oe co u polomo de Tylor de prmer grdo lrededor de ω o (ú descoocdo), tedremos V2 V / R goe gfe gfe'( ω ωo ) goe'( ω ωo ) ( ωc / ωl ω C ( ω ω ) C ') j jωocfe j(ω ωo ) Cfe' o oe o oe. Debdo que L y C so grdes, ωc /ωl vrí mucho más rápdmete co ω que los otros prámetros, por lo que se puede supoer que l resoc se verfc cudo l prte mgr del deomdor se ul. Reemplzdo ω por dch frecuec ωo se tedrá, etoces,

ω o C /ω o L ω o C oe 0, de dode ω o. (C Coe )L A es frecuec, V2 V yfe. / R goe Vemos cómo el modelo y os permte llegr rápdmete l frecuec de resoc y l gc e resoc. Co lgo más de cálculos se podrí obteer tmbé el cho de bd y l gc de potec. El msmo cálculo relzdo sobre el modelo π hbrí resultdo extremdmete complejo, dejdo de ldo el hecho de que su excttud quedrí lmtd frecuecs meores que f b. 4. EL TRANSISTOR DE EFECTO DE CAMPO (FET) EN ALTA FRECUENCIA E l fgur 8 () se muestr u trsstor de efecto de cmpo (feld effect trsstor, FET), y e l fgur 8 (b) su modelo e pequeñ señl. E él se puede precr, demás de los elemetos usules pr bj frecuec, es decr el geerdor de correte cotroldo por l tesó etre compuert (gte) y fuete (source) y l resstec de sld, tres cpcddes: C gs, C gd y C ds. E los FETs tegrdos se greg, demás, C gd G D G D C gs g m v gs C ds r o S S S S () (b) Fgur 8. () U FET. (b) Su modelo pr lts frecuecs u cpcdd extrísec etre l compuert y el substrto. El vlor de l trscoductc gm puede clculrse prtr de ls expresó proxmd del comportmeto e gr señl, es decr Id 2 Vgs Idss, (66) V p

dode V p es l tesó de estrgulmeto (pch-off) e I dss es l correte de dreje pr V gs 0. Est expresó es váld cudo I d lcz l zo llmd de sturcó (que o debe cofudrse co l sturcó de u trsstor bpolr), es decr l zo de correte proxmdmete costte. Pr obteer g m dervmos respecto V gs, resultdo: gm I dss Vgs IdssId 2 2 (67) V p V p Vp Vemos que, dferec de lo que sucede co u trsstor bpolr, e el cso del FET l trscoductc umet co l ríz cudrd de l correte (e este cso I d, correte del terml dredor (dr)). Pr obteer r o, tegmos prmero e cuet que l correte e cortocrcuto dd por (66) sólo es váld pr bjos vlores de V ds. Al crecer V ds, I d tmbé umet, y lo hce co pedete /r o, de suerte tl que prologdo l rect de l zo de sturcó hst cortr el eje horzotl (eje de ls V ds ) se obtee u puto comú tods ls corretes, e form smlr lo que ocurrí co el trsstor bpolr (fgur 2). Dcho vlor, deomdo V A, es smlr l tesó de Erly pr el trsstor bpolr, y su vlor típco es de uos 00 V. Result, etoces, que V r A o. (68) Id Ddo que e fucometo orml, etre dreje y compuert y etre fuete y compuert exste u jutur polrzd versmete, se tee Cgd Cgs Cgdo (69) V 3 gd ψo Cgso (70) V 3 gs ψo E lugr de l ríz cudrd de l ecucó (4) prece u ríz cúbc, debdo que este tpo de jutur es grdul. L cpcdd C ds es u cpcdd etre electrodos, depedete de l polrzcó. 5. RELACION ENTRE RESPUESTA EN FRECUENCIA Y TRANSITORIA L relcó etre ls respuests e frecuec y trstor de u sstem es muy mportte, especlmete porque del esyo frecuecl es posble deducr el comportmeto trstoro y vcevers.

5.. RESPUESTA AL ESCALON DE UN PASABAJOS DE PRIMER ORDEN Cosderemos u sstem (y se electróco, mecáco, etc.) co u polo de prmer orde, es decr H(s) o s / ω (7) o cuyo dgrm de Bode se muestr e l fgur 9 (). S lo exctmos co u escló H(jω) y(t) o Y o 0,90 Y o 0,63 Y o ω o ω 0,0 Y o τ t t s 2,2 τ () () Fgur 9. () Dgrm de Bode de l respuest e frecuec de u psbjos de prmer orde. (b) Su respuest te u escló. de mpltud X o : l trsformd de l respuest será x(t) X o u(t), (72) Y(s) o s / ωo Xo s Desrrolldo e frccoes smples Y(s) o Xo s o Xo s ωo result fácl plcr l trsformcó vers de Lplce obteédose

y(t) ω t Yo ( e o ) (73) dode Y o o X o. Llmdo costte de tempo l (73) se puede escrbr como τ /ω o (74) y(t) t / τ Yo ( e ) (75) form muy utlzd porque permte u suerte de ormlzcó de l respuest reltv l costte de tempo. L evolucó de l respuest se muestr e l fgur 9 (b), e l cul se h dcdo lguos de sus vlores crcterístcos y propeddes. E prmer lugr pr t l respuest tede l vlor Y o, es decr l mpltud del escló por l gc e cotu. Otr prtculrdd es que l prologcó de l tgete l orge de l respuest lcz el vlor fl Y o e u tempo gul dch costte de tempo. E dcho tempo l verdder respuest e reldd lleg u 63,2% de Y o. El tempo de subd t s es otro prámetro comúmete utlzdo pr evlur l respuest u escló. Se lo defe como el tempo ecesro pr que l respuest pse del 0 % l 90 % de su vlor fl. Pr u sstem de prmer orde, tmbé está vculdo co l costte de tempo, y que vle t s 2,20 τ. (76) 5.2. RESPUESTA AL ESCALON DE UN PASAALTOS DE PRIMER ORDEN Cosderemos hor u sstem co u polo y u cero e el orge, es decr H(s) o s s ω. (77) o E l fgur 20 () se h dbujdo su dgrm de Bode. S exctmos este sstem co u escló como el de l ecucó (7) l trsformd de l respuest será Y(s) o Xo s ω, o que correspode u respuest y(t) ωot Yo e, (78) o be y (t) t / τ Y o e, (79)

cuy evolucó se lustr e l fg. 20 (b), co vlores crcterístcos correspodetes los y descrptos pr el cso teror. Se observ que ls propeddes de mbs respuests so smlres. H(jω) o Y o 0,90 Y o y(t) 0,63 Y o ω o ω 0,0 Y o τ t t s 2,2 τ () () Fgur 20. () Dgrm de Bode de l respuest e frecuec de u psltos de prmer orde. (b) Su respuest te u escló. 5.3. RESPUESTA AL ESCALON DE UN PASABANDA DE PRIMER ORDEN Cosderemos hor u sstem cuy fucó de trsferec es el producto de ls dos fucoes lzds prevmete, es decr H(s) o s / ωf, (80) ( s / ωf ) ( s / ωsup ) dode ω f es l frecuec (gulr) feror de corte y ω sup l superor. Supodremos demás que ω f < ω sup. E l fgur 2 se h trzdo el dgrm de Bode correspodete este tpo de sstem. Nuevmete exctremos el sstem co u escló como el de l ecucó (72). L trsformd de l respuest será hor Y(s) o Xo / ωf, ( s / ωf ) ( s / ωsup )

H(jω) o ω f ω sup que cocde co (75). De mer que poco después del escló, l respuest se comport tl como lo hrí u psbjos de frecuec (gulr) de corte ω sup, es decr coω Fgur 2. Dgrm de Bode de u psbd de prmer orde. que, desrrolld e frccoes smples, es o Xo ωsup Y (s). ω ω sup f s ωf s ωsup Aplcdo l trsformcó vers result o Xo ωsup ω t ωsup t y (t) e f e. (8) ωsup ωf Alcemos prmero el cso e que ω sup >> ω f (82) Etoces vle l proxmcó ω t ωsup t y (t) f o Xo e e. (83) o be, e térmos de ls costtes de tempo τ f y τ sup, t / τ t / τsup y (t) f o Xo e e. (84) Debdo (82), τ f >> τ sup. Estudremos el comportmeto de cd expoecl pr tempos pequeños y grdes. S t << τ f, l prmer expoecl es proxmdmete gul, de modo que (84) puede su vez proxmrse por y(t) t / τsup o Xo ( e ) (85)

mo s el cero y el polo de bj frecuec o exster. De u modo tutvo (uque poco rguroso), se puede cosderr que el flco muy rápdo del escló correspode frecuecs muy lts, por lo cul s es grde y etoces e (79) ( o Xo / ωf s / ωf ) ( s / ωsup ) o s / ωsup, S hor t >> τ sup, l segud expoecl de (84) se proxm 0, por lo que y(t) t / τ f o Xo e. (86) que cocde co (79). Esto sgfc que mucho después del flco, l respuest correspode l de u psltos co frecuec (gulr) de corte ωf, o lo que es lo msmo, el sstem se comport como s el polo de lt frecuec o exster. Itutvmete, el comportmeto pr tempos mucho myores que τ sup correspode frecuecs mucho meores que ω sup, y etoces s/ω sup puede desprecrse e (80). Luego vle l proxmcó ( o Xo / ωf s / ωf ) ( s / ωsup ) o s / ωf s / ωf, Todo esto dc que l seprcó e bds de frecuecs bjs y lts e form cs depedete que tee lugr e l respuest e frecuec cudo ω f << ω sup tmbé se mfest e l respuest trstor. E l fgur 22 se represet l respuest l escló típc. Se observ que tes de que l prmer expoecl (co costte de tempo τ f ) comece bjr precblemete, y se extguó l otr (co costte τ sup ). y(t) Y o τ sup τ f t Fgur 22. Respuest temporl te u escló de u psbd cuys frecuecs de corte está muy lejds.

Por últmo, s ω f o es mucho meor que ω sup, etoces (8) o dmte smplfccoes y por cosguete mbs expoecles tee mportc e todo mometo, obteédose u respuest como l dcd e l fg. 23, lczdo u máxmo meor que Y o. y(t) Y o τ sup τ f t Fgur 23. Respuest temporl te u escló de u psbd cuys frecuecs de corte está reltvmete próxms. BIBLIOGRAFÍA [] Serle, C. - Boothroyd, A. - Agelo E. (Jr) - Gry, P. - Pederso, D., "Propeddes de Crcuto Elemetles de los Trsstores". Tomo 3 de l sere SEEC, Ed. Reverté S.A., Brcelo, 97. [2] Thorto, R. - Serle, C. - Pederso, D. - Adler, R. - Agelo E. (Jr), "Crcutos Multetp de Trsstores". Tomo 5 de l sere SEEC, Ed. Reverté S.A., Brcelo, 97. [3] Gry, P. - Meyer, R., "Alyss d Desg of Alog Itegrted Crcuts". Ed. Joh Wley & Sos, Ic., Neω York, 977. [4] Mllm, J. - Hlks, C., "Itegrted Electrocs". Ed. McGrωHll Kogkush, Tokyo, 972 (hy edcó cstell). [5] Texs Istrumets, "Preferred Semcoductors d Compoets from Texs Istrumets". Dlls, 968. [6] Motorol, "RF Devce Dt, Vol I, Vol II". 988. [7] FAPESA, "Semcoductors d Itegrted crcuts, Prt 3: Hgh frequecy trsstors, Sωtchg trsstors, Accesores". 97.

INDICE ALFABETICO Almcedores de eergí, 7 Amplfcdor stozdo, 33 Amplfcdores relmetdos, 9 Acho de bd, 34 Brrer ter de potecl, 24 Bblogrfí, 42 Bode, dgrm de, 4, 9, 36, 38, 39 C π, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30 Cpctores, teorem de los, 8 C b, 22 C ds, 34, 36 Ceros, 2, 6, 8, 2, 4, 5, 29 C gd, 34 C gs, 34 Crcuto tque RLC, 33 C je, 22 Costtes de tempo, 5, 7, 8,, 5, 7, 40 Costtes de tempo e crcuto berto, 6 Costtes de tempo teorem de ls, 8, 29, 30 Ecucó de Ebers y Moll, 2 Etp trsstor, 7 f β, 25, 26, 27, 28 f b, 28, 3, 33, 34 FET, 34, 35 Frecuec de corte β, 25 Frecuec de corte trsversl, 28, 32 Frecuec de trscó, 23, 26 Frecuec feror de corte, 2, 4, 5, 6, 8 Frecuec termed de TV, 3 Frecuec superor de corte, 9, 4, 5, 6, 29 f T, 23, 26, 27, 29, 30 Fucó de trsferec, 2, 3, 4, 6, 9, 0,, 3, 39 Gc de Potec, 34 g m, 2, 22, 30, 35 h fe, 7, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27 h e, 7, 20, 25, 26 h oe, 20, 23, 26 h re, 20, 24, 26 Lplce, Trsformcó de, 2 Modelo e pequeñ señl, 7, 34 Modelo híbrdo π, 2, 26, 27, 28, 32 Modelo híbrdo h, 20, 25 Modelo y, 33 Modos turles, 3 Prámetros π, 28 Prámetros cudrpolres, 3 Prámetros h, 20, 2, 25 Psltos de prmer orde, 38 Psbjos de prmer orde, 37 Psbd de prmer orde, 39 Polo domte, 9 Polos, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 7, 29 Polos de lt frecuec, 5 Polos de bj frecuec, 5 Polos múltples, 3 r π, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29 Red de rotcó de fse, Régme lbre, 3 Resstec de sld, 23, 34 Resstec extrísec de bse, 24 Resoc, 34 Respuest l escló, 4 Respuest e lt frecuec, 6 Respuest e bj frecuec, 6, 7 Respuest e frecuec, 4, 5, 7,, 8, 9, 37, 38, 4 Respuest trstor, 4 r o, 23, 24, 29, 35 r x, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32 Tesó de Erly, 23, 35 Teorem de los cpctores, 8 t f, 22 Tempo de trásto drecto, 22 Tempo de subd, 37 Trsformcó de Lplce, 2 Trsformcó vers de Lplce, 2, 3, 37, 39 V A, 23, 24, 29, 35 y fe, 3, 32, 33, 34 y e, 3, 33 y oe, 3, 34 y re, 3, 33