89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr lumnos de ls opiones de Cienis, Tenologí o Biosnitris. En l unidd se trj on tres funiones: seno, oseno y tngente, dejndo pr ursos posteriores sus funiones inverss: osente, sente y otngente, sí omo ls reliones que se deduen de ells. Se plin dis funiones en l resoluión de triángulos, sen retángulos o no (álulo de l ltur), y por último, se estudi l onversión de grdos en rdines. RESUMEN DE LA UNIDAD Definiiones de seno, oseno y tngente. Cálulo de dis rzones pr ángulos notles: 0, 5 y 60. Signos del seno, oseno y tngente pr ángulos en distintos udrntes de l irunfereni goniométri. Rzones trigonométris de ángulos: omplementrios, suplementrios, opuestos, que difieren en 90, que difieren en 80 y myores de 60. Relión fundmentl y expresión de l tngente. Resoluión de triángulos retángulos y álulo de l ltur en triángulos no retángulos. Conversión de grdos sexgesimles rdines. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Rzones trigonométris. Definiiones de seno, oseno y tngente. Seno, oseno y tngente de triángulos retángulos.. Rzones trigonométris de los ángulos de 0º, 5º y 60º. Seno, oseno y tngente de los ángulos de 0º, 5º y 60º. Cálulo de ls rzones de ángulos notles.. Rzones trigonométris de ángulos ulesquier. Seno, oseno y tngente de ángulos de ulquier de los utro udrntes. Deduión del signo del seno, el oseno y l tngente en d uno de los utro udrntes.. Rzones de ángulos omplementrios y suplementrios. Seno, oseno y tngente de ángulos omplementrios. Seno, oseno y tngente de ángulos suplementrios. Cálulo del seno, el oseno y l tngente de ángulos omplementrios y suplementrios. 5. Rzones trigonométris de ángulos de distintos udrntes. 6. Reliones entre ls rzones trigonométris de un ángulo.. Apliiones de ls rzones trigonométris. Seno, oseno y tngente de ángulos opuestos, que difieren en 90, que difieren en 80 y myores de 60º. Relión fundmentl de l trigonometrí. Tngente en funión de seno y oseno. Cálulo de ldos y ángulos de un triángulo retángulo, onoidos lgunos de ellos. Otenión de l ltur de un triángulo no retángulo. Cálulo del seno, el oseno y l tngente de ángulos opuestos, que difieren en 90, que difieren en 80 y myores de 60º. Otenión de dos rzones trigonométris, onoid l terer. Apliión de ls definiiones de ls rzones trigonométris pr llr los elementos desonoidos de un triángulo retángulo. ADAPTACIÓN CURRICULAR 8. Medid de ángulos en rdines. Definiión de rdián. Conversión de ángulos notles expresdos en grdos rdines. MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 8 RAZONES OBJETIVO TRIGONOMÉTRICAS Ddo un triángulo retángulo, definimos ls rzones trigonométris de uno de sus ángulos gudos : seno sen = (teto opuesto dividido entre ipotenus) oseno os = (teto ontiguo dividido entre ipotenus) tngente tg = (teto opuesto dividido entre teto ontiguo) Determin ls rzones trigonométris del ángulo en el triángulo de l figur. sen = = 5 os = = 5 tg = = Complet ls igulddes y omprue que ls rzones trigonométris son independientes del tmño del triángulo elegido. Aplindo el teorem de Pitágors d uno de los tres triángulos de menor myor tmño, llmos, ' y '': 6 ' '' = ' = '' = = 8 = 8 = 6 = 0 5 = 5 = 5 = 5 ' '' 5 sen = = sen = = = sen = = = 8 8 0 0 ' '' os = os = = = os = = = = ' '' ' '' tg = tg = = = tg = = = = = ' '' Hll ls rzones trigonométris de los ángulos A $ y B $. 90 55 A $ B $ 8 8 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 9 OBJETIVO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0, 5 Y 60 Ls rzones trigonométris de los ángulos de 0 y 60 se deduen prtir de un triángulo equilátero de ldo l. Aplindo el teorem de Pitágors, lulmos su ltur: = l (l/) = l l / = l / = l / l 0 60 Ls rzones trigonométris del ángulo de 60 son: l / l/ sen 60 = os 60 = tg 60 = l / = = l l l/ l / = = / Dedue ls rzones trigonométris del ángulo de 0 prtir del triángulo equilátero nterior. Ls rzones trigonométris del ángulo de 0 son: l/ l / sen 0 = = ; os 0 = = ; tg 0 = l l l l/ / / = = / Ls rzones trigonométris del ángulo de 5º se deduen prtir de un udrdo y su digonl. Aplindo el teorem de Pitágors, lulmos l digonl: d = l + l = l d = l Ls rzones trigonométris del ángulo de 5 son: l l d 5 l l sen 5 = = = os 5 = = = tg 5 = l l l l = Complet l tl on ls rzones trigonométris de ángulos notles. 0 0 5 60 90 80 0 60 sen 0 0 0 os 0 0 ADAPTACIÓN CURRICULAR tg 0 no existe 0 no existe 0 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 0 OBJETIVO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA L irunfereni goniométri o írulo unitrio es un irunfereni de rdio l unidd. Sore di irunfereni, el vlor del seno oinide on el segmento AB y el oseno on el segmento OA. AB OA sen = =AB os = =OA L tngente oinide on el segmento MN, que es tngente l irunfereni, y que: AB MN MN tg = = = = MN OA OM N B O A M En el primer udrnte: os sen En el segundo udrnte: sen >0 sen sen > 0 os >0 os os < 0 tg >0 tg < 0 En el terer udrnte: En el urto udrnte: sen γ os γ γ sen γ<0 os sen < 0 os γ<0 sen os > 0 tg γ>0 tg < 0 Complet l siguiente tl on los signos que orrespondn ls rzones trigonométris indids. 0 0 0 0 00 sen os + + tg + Esrie, pr d udrnte, el signo del seno, el oseno y l tngente. + + + seno oseno tngente 0 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin OBJETIVO RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS Ángulos omplementrios son quellos uy sum vle 90. C O F 90 A B El teto opuesto l ángulo de 90 (BC ) es igul l teto ontiguo (OA): sen (90 ) = os El teto ontiguo l ángulo de 90 (OC ) es igul l teto opuesto (AB): os (90 ) = sen sen ( 90 ) tg (90 ) = os ( 90 ) os = = sen tg Determin ls rzones trigonométris del ángulo =60, siendo que ls rzones del ángulo de 0 (60 = 90 0 ) son: sen 0 = sen 60 = os 0 = os 0 = os 60 = sen 0 = tg 0 = = tg 60 = tg 0 = / = Hll ls rzones trigonométris del ángulo de 5, siendo que ls rzones de 5 son: sen 5 = 0,59 os 5 = 0,966 tg 5 = 0,68 Ángulos suplementrios son quellos uy sum vle 80. D C 80 + O A B El teto opuesto l ángulo de 80 (CD) es igul l teto opuesto (AB): sen (80 ) = sen El teto ontiguo l ángulo de 80 (OC ) es el ontrrio del teto ontiguo (OA): os (80 ) = os tg (80 ) = sen ( 80 ) os ( 80 ) sen = = tg os Otén ls rzones trigonométris del ángulo =0, siendo que ls rzones del ángulo de 60 (0 = 80 60 ) son: sen 60 = sen 0 = sen 60 = os 60 = os 0 = os 60 = tg 60 = tg 0 = tg 60 = ADAPTACIÓN CURRICULAR Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 55, siendo que ls rzones de 5 son: sen 5 = 0, os 5 = 0,906 tg 5 = 0,66 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin RAZONES OBJETIVO 5 TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE DISTINTOS CUADRANTES Los ángulos opuestos son los que miden igul, pero tienen distinto signo. O B A El teto opuesto l ángulo (AB') es el ontrrio l teto opuesto (AB): sen ( ) = sen El teto ontiguo l ángulo (OA) es igul l teto ontiguo (OA): os ( ) = os B' tg ( ) = sen os = tg Otén ls rzones trigonométris del ángulo = 0, siendo que ls rzones del ángulo de 0 son: sen 0 = 0, sen ( 0 ) = sen 0 = 0, os 0 = 0,90 os ( 0 ) = os 0 = 0,90 tg 0 = 0,6 tg ( 0 ) = tg 0 = 0,6 Hll ls rzones trigonométris del ángulo de 5 (enuentr en l tl del ojetivo ls rzones del ángulo de 5 ). ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90 B' A' 90 + B O A El teto opuesto l ángulo de 90 +(A'B') es el ontrrio l teto ontiguo (OA): sen (90 +) = os El teto ontiguo l ángulo de 90 +(OA') es igul l ontrrio del teto opuesto (AB): os (90 +) = sen sen ( 90 + ) os tg (90 +) = = = os ( 90 + ) sen tg Hll ls rzones trigonométris del ángulo = 0, onoiendo ls rzones del ángulo de 0. sen 0 = os 0 = os 0 = sen 0 = tg 0 = = = tg 0 / Hll ls rzones trigonométris del ángulo de 00, siendo que 00 = 90 + 0. sen 0 = 0, os 0 = 0,985 tg 0 = 0,6 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 80 B' A' 80 + O A B El teto opuesto l ángulo de 80 +(A'B') es el ontrrio l teto opuesto (AB): sen (80 +) = sen El teto ontiguo l ángulo de 80 +(OA') es igul l ontrrio del teto ontiguo (OA): os (80 +) = os sen ( 80 + ) tg (80 +) = os ( 80 + ) sen = os = tg Hll ls rzones trigonométris del ángulo =0º, onoiendo ls rzones del ángulo de 60º. sen 0 = sen 60 = os 0 = os 60 = tg 0 = tg 60 = Hll ls rzones trigonométris del ángulo de 50, siendo que: sen 0 = 0,90 os 0 = 0, tg 0 =, Ten en uent que 50 = 80 + 0. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES DE 90 : Reduión l primer udrnte Ls rzones trigonométris de ulquier ángulo superior 90 se pueden expresr en funión de ls rzones de otro ángulo perteneiente l primer udrnte.. er so: pr ángulos del segundo udrnte. = 80. o so: pr ángulos del terer udrnte. γ=80 +. er so: pr ángulos del urto udrnte. ε=60 80 80 + 60 Hll ls rzones trigonométris de los siguientes ángulos. ) 5 Como 5 pertenee l segundo udrnte, result que 5 = 80 sen 5 = = ) 0 Como 0 es myor de 80, pertenee l terer udrnte, pues 0 = 80 + sen 0 = = ADAPTACIÓN CURRICULAR os 5 = tg 5 = = = os 0 = = tg 0 = = MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin ) 0 Como 0 pertenee l urto udrnte, result que 0 = 60 0. sen 0 = = os 0 = = tg 0 = = d) 0 A qué udrnte pertenee el ángulo de 0? Si emos 0 = 60 + 60, vemos que está situdo en el primer udrnte. sen 0 = sen 60 = os 0 = os 60 = tg 0 = tg 60 = RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES DE 60 Si el ángulo es myor de 60, y que llr su ángulo equivlente, restndo el número entero de vees que ontiene 60. Sus rzones trigonométris son igules que ls del ángulo equivlente resultnte. Determin ls rzones trigonométris del ángulo =.0. Dividimos.0 entre 60:.0 = 60 + 0 dividendo = divisor oiente + resto sen.0 = sen 0 = os.0 = os 0 = tg.0 = tg 0 = 5 Hll ls rzones trigonométris de los ángulos. ) 80 Divide 80 entre 60 y expres: 80 = 60 + ).0 Divide.0 entre 60 y expres:.0 = 60 + sen 80 = sen = os 80 = os = sen.0 = sen = os.0 = os = tg 80 = tg = tg.0 = tg = ).95 Divide.95 entre 60 y expres:.95 = 60 + sen.95 = sen = os.95 = os = tg.95 = tg = d) 80 Divide 80 entre 60 y expres: 80 = 60 + sen 80 = sen = os 80 = os = tg 80 = tg = MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 5 OBJETIVO 6 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA: sen +os = Est relión se otiene l plir el teorem de Pitágors en un triángulo retángulo, junto on l relión que se dedue de l definiión de tngente: sen tg = os Conoiendo un de ls rzones trigonométris de un ángulo, podemos lulr ls restntes rzones. Siendo que os =, lul el seno y l tngente de dio ángulo. 5 6 9 sen = os = = = 5 5 5 sen 5 / tg = = = os 5 / Siendo que sen =0,8; ll os y tg. Ddo os =0,; otén sen y tg. Ddo tg =, lul sen y os. Llmmos sen =x y os =y. Ls reliones entre ls rzones trigonométris son: x y = x = y x + y = (y) + y = y + y = 5y = y = 5 = 0, = 0, x = y = 0, = 0,89 = sen y = os =0, ADAPTACIÓN CURRICULAR Siendo que tg =5, lul sen y os. MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 5
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 6 OBJETIVO APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Clul lo que miden los ldos y, y el ángulo β del triángulo de l figur. Como los tres ángulos de un triángulo sumn 80, tenemos que: 80 = 90 + +β β=80 = 5 Pr lulr el otro teto,, plimos l definiión de tg y usmos l luldor pr llr tg : tg = = 0,5 = Pr llr l ipotenus podemos utilizr tres métodos:. o Aplir el teorem de Pitágors.. o Utilizr l definiión de sen.. o Usr l definiión de os. Vmos usr el segundo método: sen = = = 5 06, Clul, en d triángulo, los ldos y ángulos que se indin. ) β, y ) β, y 66,8 8 0 β ) y d), y 9 0 60 8 8 5 Hll el áre del siguiente triángulo. Trzmos l ltur y, fijándonos en uno de los dos triángulos que se formn, llmos y l mitd de l se,. 0 m 0 m 0 0 6 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Desde un punto vemos el extremo superior del mpnrio de l iglesi jo un ángulo de 50º. Si nos lejmos 00 m, lo vemos jo un ángulo de 5º. Hll l ltur del mpnrio y l distni l que nos enontrmos iniilmente. Este tipo de prolems se resuelven utilizndo ls tngentes de los dos ángulos: tg 50 = =,9x x 5 50 tg 5 = = 0,(00 + x) 00 m 00 + x Igulndo ms, result:,9 x = 0,(00 + x) = 0 + 0,x 0,9x = 0 x =, m Sustituyendo en l primer de ls euiones, tenemos que l ltur del mpnrio es: =,9x =,9, = 69,6 m x Clul l ltur y ls distnis x y 60 x de l figur. Utiliz ls tngentes de los ángulos de 0 y 0. 0 0 x 60 x 60 Hll los vlores de y x. 0 5 5 m x 5 Determin l ltur del árol que, visto desde dos posiiones, distntes 0 m entre sí, form l siguiente figur. ADAPTACIÓN CURRICULAR 60 5 x 0 + x 0 m MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin 8 MEDIDA OBJETIVO 8 DE ÁNGULOS EN RADIANES Un rdián es el ángulo uyo ro tiene igul longitud que el rdio de un irunfereni. Como l longitud de ulquier irunfereni es πr, l equivleni entre grdos y rdines es: 60 = π rdines Podemos ompror gráfimente est equivleni, y que π =6,8, que es el número de seiones en ls que se umple que el ro es igul l rdio en el que podemos dividir l irunfereni. C r B D E G A A r 0,8 r B C D E F G A F Expres en rdines los ángulos de 90, 80 y 0. Convertimos los grdos en rdines plindo un regl de tres: 60 π rdines 90 π π 60 π rdines x = = 90 x 60 60 π rdines 0 x 80 x 0 π x = = π π = 60 x = 80 π 60 = π Convierte en rdines los ángulos de l tl. 0 0 60 90 0 50 80 0 0 0 00 0 60 π π 0 π π 60 π rdines 0 x x = 0 π π π = = 60 6 Convierte en rdines los ángulos orrespondientes d sill. π 5 π 5 5 π 5 π 8 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.