UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Apreder el cocepto de atiderivada e itegral idefiida y resolver itegrales usado las formulas básicas. ocepto: Dada ua fució, sabemos como hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferecial. uado se cooce la derivada de ua fució y se desea coocer la fució origial, se usa el cálculo itegral. La atiderivada o primitiva de ua fucio f() es otra fució () dode es ua costate. Si al derivar () os da como respuesta f() Es decir () f() A la fucio () se le llama ua atiderivada de la ua fucio f(). Ejemplo Qué se derivo para que la derivada sea f '( )? Por el método de Esayo y Error se puede ver que la fucio que se derivo es: () pero tambié las fucioes () ()- ()- () 6 ()8 ()
Es decir que la fucio cuya derivada es es ua familia de fucioes e este caso lieales cuyos miembros todos tiee pediete de pero diferetes iterseccioes co el eje y como vemos e las graficas para los diferetes valores de la costate 0-8 Se puede afirmar que la fucio () es la atiderivada de f() EJEMPLO Hallar la atiderivada de f ( ) La fucio que se derivó es () pero tambié () () 9 () - () () Pues todas tiee pedietes es decir se puede afirmar que la fucio () es la atiderivada de f ( ) co
diferetes iterseccioes co el eje y como vemos e las graficas para los diferetes valores de la costate 9 - / INTEGRALES INDEINIDAS INTEGRAION Al proceso de hallar las atiderivadas se le llama itegració y a la familia de fucioes que se obtiee mediate este proceso se llama itegrales idefiidas y se represeta mediate los símbolos o sigo de la itegral, d idica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de itegració los símbolos siguietes siempre va jutos y e el cuadro va la fucio f() que se debe itegrar así: f ( ) d
dode f() es la derivada de la fucio descoocida llamada itegrado y la respuesta es ua familia de fucioes así f ( ) d ( ) A la costate se le llama costate de itegració Por lo tato e los ejemplos ateriores la atiderivada de f ( ) se escribe mediate ua itegral idefiida así: d y la atiderivada de d c f ( ) se escribe REGLAS BASIAS DE INTEGRAION A cotiuació se preseta u cojuto de reglas para ecotrar la itegral idefiida de ua fucio - INTEGRAL DE UNA UNION ONSTANTE ()K dode k es u umero real kd k EJEMPLOS - 9d 9 d 8 8 πd π - -
- d - m d m - INTEGRAL DE UNA POTENIA f ( ) d co uado el itegrado es elevado a algú epoete real se aumeta el epoete de e,se divide e el uevo epoete y se suma la costate de itegració EJEMPLOS d 6 7 6 d c - - c - d medios y etremos resulta así: 7 d c - c es decir después de efectuar el producto de d c
d d c cada vez que aparece ua itegral co radical, se vuelve a reescribir la itegral co el radical e forma de potecia fraccioaria como e el último ejemplo uado la potecia esta e el deomiador se reescribe subiedo la potecia co epoete egativo d d EJEMPLOS 8 8 9 - d d c 9 - d d c - 7 d 7 d 7 7 c 7 7 - INTEGRAL DE UNA ONSTANTE MULTIPLIADA POR UNA POTENIA k d k d k Las costates sale de la itegral y multiplica por las potecias
EJEMPLOS 0 9 7 7 d 7 c 0 0 d c 8 8 ( ) 0 d 0 c c - - - 6 c c - 0 d INTEGRAL DE UNA SUMA O RESTA DE UNIONES Se itegra cada sumado es decir se distribuye el símbolo de la itegral y se suma ua sola costate [ ( ) g ( )] d f ( ) d ± f ± g ( ) d EJEMPLOS - 6 d d d (8 ) 8 d Por lo tato itegrado cada termio se tiee : 8 INTEGRAL DE LA POTENI A - f ( ) co f ( ) O 0 6 d
d l INTEGRAL DE LA UNION EXPONENIAL (BASE E) Es la misma fucio epoecial e d e c EJERIIOS RESUELTOS APLIANDO LAS REGLAS BASIAS - ( 6 8)( ) d primero se efectúa el producto idicado y se obtiee la itegral de ua suma de costates por potecias 7 8 ( 0 8 ) d se reduce térmios semejates si los hay y después se itegra cada termio aplicado las formulas básicas de itegració e este caso suma de costates por potecias 9 0 8 6 8 9 8 6 Simplificado se obtiee: 9 8 6 6 8 9 --------------------------------------------------------------------------- - 7 ( ) d se desarrolla el biomio idicado ( 6 0 6 9) d Ahora se itegra cada térmio y se obtiee:
6 6 6 9 6 --------------------------------------------------------------- - ( 7) d se cambia el radical por potecia fraccioaria y luego se sube la potecia y se efectúa el producto ( 7) d ( ) d Se itegra cada térmio 9 ) () 9 ( Simplificado 60 9 9 0 ATIVIDAD I MATEMATIAS II INTEGRAL INDEINIDA OBJETIVOS. Afiazar el cocepto de itegral idefiida resolviedo itegrales.. Aplicar las formulas básicas de itegració después de resolver operacioes algebraicas Actividades. ) Halle la atiderivada de las siguietes fucioes a) b) 7 c) 8 d) e) ) alcule las siguietes itegrales idefiidas
( ) d - d - - d d - ( ) 6-7- 8- d e ( e ) d d ( ) d 9- ( ) d 0- ( ) d