PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) eigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión del sol sore el horizonte. En este proedimiento se utilizó un relión entre ls longitudes de los ldos de un triángulo retángulo, que es lo que onoemos ho omo l relión pitgóri. 5. Triángulos retángulos omo se h definido, un triángulo retángulo es un triángulo on un ángulo reto. El ldo opuesto l ángulo reto se llm hipotenus los otros dos ldos se llmn tetos. : hipotenus del triángulo retángulo : teto : teto El triángulo de ldos, 5 uniddes, llmdo perfeto o sgrdo, fue usdo por los egipios pr trzr ángulos retos. En sus ppiros se oserv que después de ls inundiones del Nilo onstruendo triángulos retángulos on uerds, fijndo los límites de ls prels, trzn direiones perpendiulres. 5.. Teorem de Pitágors En todo triángulo retángulo el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. Es deir: = + est relión se le llm relión pitgóri. 05
5.. El reíproo del teorem de Pitágors Si en un triángulo se umple = +, entones reto es el ángulo uo vértie es. es retángulo el ángulo Not: Si tres números,, verifin un de ls tres reliones pitgóris entones, podemos onstruir un triángulo retángulo uos ldos tienen omo longitudes,. Qued pr el letor verifir que ls terns de números utilizds por los egipios los hindúes umplen on l relión pitgóri. 5.. pliiones del teorem de Pitágors Ejemplo : Los tetos de un triángulo retángulo miden m 5 m. uánto mide l hipotenus? Soluión Si llmmos: l hipotenus; los tetos, plindo el teorem de Pitágors tenemos = + 5 = 69 = 69 = por lo que otenemos que l hipotenus mide m Ejemplo : Ddo el triángulo de l figur, on los siguientes dtos: β = 0. lulr : f e = 9m, g =. 5m Soluión l plir el teorem de Pitágors, tenemos: e = f + g l reemplzr por los dtos, tenemos: e = f +.5 f = g.5 = 60.75 f = 60. 75 7. 8 F E g f e β G Por lo tnto: f 7. 8 m Pr lulr el ángulo, tenemos que β son omplementrios ( Porqué?), por lo tnto: = 90 0 = 60 Ejemplo : Ddo el tl que: ) = 0m, = 8 m = 6 m ) = 9 m, = m = 5 m Deidir si los dtos ddos en ) /o en ) orresponden un triángulo retángulo. Soluión Tenemos que plir el reíproo del teorem de Pitágors Pr los dtos ddos en ), si es retángulo, l hipotenus deerí ser lo otros dos los tetos, en onseueni deerí umplirse: = + () = 00 () + = 8 + 6 = 00 06
Por () (), se umple el teorem de Pitágors, por lo tnto on estos dtos el es retángulo en. Pr los dtos ddos en ), si es retángulo, l hipotenus dee ser lo otros dos los tetos, en onseueni dee umplirse: = + () = () + = 9 + 5 = 06 Por () (), tenemos que no se umple el teorem de Pitágors, por lo tnto on estos dtos el no es retángulo. Ejemplo : Ddo un triángulo de ldos m, 5 m 6 m, lulr l ltur sore el ldo menor el áre. E Soluión l oservr l figur, vemos que l ltur divide l triángulo ddo en dos triángulos: ID el IE. l onsiderr estos triángulos retángulos plindo el teorem de Pitágors, tenemos: 6m h 5m m I D 6 = h + 6 = h + 5 = h + ( ) 5 = h + ( ) l resolver el sistem, tenemos: h. 96m,. 8m 9. 90m 5. TRIGONOMETRÍ L ltur pedid es de.96 m el áre es de 9.90 m L trigonometrí pln tiene omo ojetivo resolver triángulos. d triángulo está onstituido por seis elementos, tres ldos tres ángulos. Resolver un triángulo, signifi determinr los elementos desonoidos undo se tienen lgunos dtos ierts reliones entre ellos. 5.. Rzones trigonométris del triángulo retángulo Ddo ulquier otro triángulo semejnte l ddo, por ejemplo, el, tenemos: Ddo ulquier triángulo retángulo, se pueden onsiderr ls siguientes rzones entre los ldos del triángulo:,,, =, = () = Figur 07
Por lo que podemos firmr: Ls rzones dds en (), no dependen de l longitud de los ldos, sino de l medid del ángulo se ls llm rzones trigonométris. Definiión: Ls rzones trigonométris de un triángulo retángulo, omo el ddo en l figur, son: teto opuesto de sen = = hipotenus teto dente de os = = hipotenus teto opuesto de tg = = teto dente de Not : Si ien h otrs funiones trigonométris, no vmos trtrls quí. Not : Oservmos que tnto el seno omo el oseno son reliones entre un teto l hipotenus, en tnto que l tngente es un relión entre tetos. Ejemplo : Enontrr el vlor eto de d un de ls tres funiones trigonométris. Soluión Pr enontrr l longitud del teto desonoido se us el Teorem de Pitágors. = + = 5 = 6 = 6 = m = 5m m hor podemos lulr ls rzones pedids: teto opuesto sen = =, hipotenus 5 teto dente os = =, hipotenus 5 tg teto opuesto = teto dente = Ejemplo : lulr ls rzones trigonométris del triángulo retángulo de ldos 7 m; 7, m, m. pr el ángulo de 9º. Soluión omo el triángulo es retángulo, el mor de los ldos es l hipotenus, o se 7, m. el otro ángulo mide: 90 º 9º = 7º Semos que mor ángulo se opone mor ldo, otenemos l siguiente figur. on lo ul, hor podemos lulr ls funiones trigonométris del ángulo de 9º. 9º 7. m. ) 7 ) sen 9º = = 0., os 9º = = 0. 95 7. 7. 7m. tg 9 º = = 0. 857... 7 08 7º. m
Not: Se pueden otener en form inmedit ls rzones trigonométris pr el ángulo 7. Ejemplo : Si los ros del sol formn un ángulo de 65 º on el suelo, l somr de un mástil es de 86 m. uál el l ltur del mástil medido en metros? Soluión h tg 65 = h = 86. tg 85 86 Usndo l luldor tenemos que tg 65. 5069 en onseueni: h 8. 76m. 8m El mástil mide proimdmente.8 m h 86 65 5.. álulo eto de ls rzones trigonométris pr ángulos prtiulres vees, neesitmos podemos lulr lguns rzones trigonométris pr unos determindos ángulos: ) Ángulo de 5º 5 Tenemos un triángulo retángulo e isóseles (es un de los dos esudrs lásis). Se lul l hipotenus suponiendo los ldos igules = se pueden suponer, sin pérdid de generlidd, de vlor. = + = = Supongmos que =, tenemos: =, omo puede oservrse 5 sen 5 º = = os 5 º = = son igules tg 5 º = ) Ángulos de 0º 60º 0º Est es l otr esudr lási: 60º 09
Usndo est esudr, se le dos otr esudr, omo lo muestr l figur siguiente, otenemos un triángulo equilátero, que todos sus ángulos miden 60º. 0 o 60 o o 60 ' omo el tmño no fet los álulos, podemos suponer que d ldo mide uniddes. L ltur h del triángulo es: h = = usndo el Teorem de Pitágors sen 0º = sen 60 º = h = 0 = h os º = os 60 º = tg 0 º = = = tg 60 º = h = h Not: Se oserv que: sen 0 º = = os 60º, os 0 º = = sen 60º No ps lo mismo pr ls tngentes, que un es l reípro de l otr: tg 0º = tg60 EJERIIO : Si nos lejmos en l líne ret 0 m, sólo h que levntr l vist 0º pr ver l punt de l nten. uál es l ltur de l nten?. Oservión: Los vlores otenidos pueden sintetizrse en l siguiente tl: Ángulo en grdos 0º 0º 5º 60º 90º sen 0 os 0 tg 0 no está definid 0
5.. lguns reliones fundmentles º Relión : Est tiene que ver on el Teorem de Pitágors. En el triángulo sen = = sen os = = os tenemos: Por Teorem de Pitágors = + sustituendo por ls fórmuls nteriores otenemos: = + + = sen os = sen + os dividiendo por otenemos: sen + os = º Relión: En el triángulo otenemos: sen =, sen tg = os os =, tg = / = / sen = os º Relión: Si es un ángulo gudo ( 0 < < ) entones: 0 < sen < 0 < os < = tg >0 Α Β
Not: El sen tg reen l reer el ángulo de 0. En mio el os deree l reer el ángulo de 0. Ejemplo : Siendo que Soluión sen + os = os = sen sen tg = = = = os Ejemplo : Se tg = lulr sen os sen = enontrr ls otrs dos rzones trigonométris. Soluión sen tg = = os sen = os os = reemplzndo en l º relión: sen + os = result: sen = = ( ) os + os = 9 os + os = 0 os = os = 0 Por lo tnto: 0 os = = = 0 0 0 0. 0 sen =. = 0 0 5. ÁNGULOS ORIENTDOS Reordemos que un ángulo es l figur engendrd por l rotión de un semirret lrededor de su etremo. O Figur L posiión iniil se llm ldo iniil, O, l posiión finl se llm ldo terminl, O. El punto fijo se llm vértie, O, (ver figur ). Si l rotión se reliz en sentido ntihorrio (levógiro) el ángulo se onsider positivo, omo en l figur, en so ontrrio negtivo (detrógiro). Representmos los ángulos orientdos referidos un pr de ejes perpendiulres e, llmdos ejes rtesinos ortogonles. Dd un semirret on origen en el origen de oordends oinidiendo on el semieje positivo, l rotrl gener un ángulo, ver figur. O O β Ángulo positivo Ángulo negtivo Figur
Diremos que un ángulo está en posiión norml si su vértie está en el origen de oordends su ldo iniil oinide on el ldo positivo del eje. L figur, muestr omo los ejes rtesinos dividen l plno en utro prtes, llmdos udrntes. Diremos que un ángulo pertenee un udrnte ddo si en él está uido el ldo terminl del ángulo. En l figur, se muestr un ángulo positivo, en el primer udrnte un ángulo β negtivo, uido en el urto udrnte. No h límite pr l mgnitud de un ángulo. Si un semirret efetú un rotión omplet en sentido ntihorrio, hrá generdo un ángulo de 60º o ángulo ompleto. Dos rotiones omplets en el mismo sentido generrán un ángulo de 70º. Si lo hen en sentido ontrrio determinrán ángulos negtivos.. Dos ángulos orientdos son igules si sólo si están generdos por l mism rotión L figur muestr dos ángulos distintos pesr que oiniden los ldos iniiles los ldos terminles. β β = + O β Figur 5. SISTEM IRULR: OTR FORM DE MEDIR ÁNGULOS demás del sistem segesiml que es l form usul de medir ángulos en l vid otidin, eisten otros sistems pr medir ángulos, entre ellos el sistem irulr. L ventj de este sistem es que medimos los ángulos en rdines, que son números reles. 5.. Rdines L longitud de un irunfereni de rdio r está dd por l fórmul: L = r En el so de un irunfereni unitri, es deir, un irunfereni de rdio r =, l longitud es de. onsideremos el ro se s l longitud de diho ro. L medid de un ángulo en rdines es: s longitud del ro = = () r rdio r O s Figur 5 Por ejemplo, un ángulo ompleto mide rdines, un ángulo llno, rdines un ángulo reto rdines, o en form proimd, 6.8 rdines,. rdines.57 rdines, respetivmente.
on ulquier de los dtos otenidos se pueden otener ls fórmuls de onversión de ángulos medidos en rdines ángulos medidos en grdos vievers. Ddo que un ángulo llno es equivlente rdines, otenemos: rdines =80 Por lo tnto rdián = = 80 80 grdos 57.0 rdines 0.00075 rd Not: Utilizremos rd omo revitur de rdines. Oservión: Reordemos de geometrí que, dds dos irunferenis onéntris de rdios r r, respetivmente, pr un mismo ángulo que sutiende los ros ' ' (ver figur 6), se ' ' umple: =. En onseueni, l rzón dd r r' en () sólo depende del ángulo por esto, se l tom omo medid del ángulo. En prtiulr, si r = result que l medid de es = s. ' r r' O ' Figur 6 Ejemplo: uántos grdos h en un ángulo de Soluión Por lo visto nteriormente tenemos: 80 rd = grdos por lo tnto: 80 rd = grdos = 0 9 9 rd? 9 undo se us l luldor pr lulr el vlor de ls rzones trigonométris, verifir que se enuentr en Modo Grdos (segesimles) o Modo Rdines según se l medid que se está usndo. Ejemplo : uántos rdines h en un ángulo de 60? Soluión En form nálog l ejeriio nterior, pero utilizndo l fórmul = rd 80 Tenemos: 60 =60 rd = rd =. 05 rd 80 Hiendo los álulos orrespondientes, podemos relizr l siguiente tl: grdos 0 0 5 60 90 0 5 50 80 rdines 0 6 5 6
5.5 LÍNES TRIGONOMÉTRIS Se (O, ) un irunfereni on entro en el origen de oordends O(0, 0) rdio l unidd. Si se onstrue un ángulo on vértie en el origen sentido positivo podemos otener ls rzones trigonométris de ese ángulo llmds funiones o línes trigonométris. Se determinn los triángulos O O ' tles que: el segmento tiene longitud, el O longitud, el ' ' tiene longitud O O ' por onstruión tienen longitud, es deir, (,), (, 0 ), (, ), (, 0). O on estos dtos otenemos : Figur sen = = = = O o se el seno es l ordend del punto. O O os = = = O = O el oseno es l sis del punto. ' ' ' ' tg = = = ' ' = ' es l ordend del punto O' Oservión: Esojmos otro punto P ulquier, un distni ρ > 0 sore el ldo terminl de. P' on oordends ( ',' ) determin un triángulo OP ' Q' semejnte l OPQ, P(,) P (, ) P' Q' PQ donde: =,es deir: OP' OP ' = = sen. ρ O Q(,0) Q (,0) Del mismo modo se otiene: ' ' os =, tn =. ρ ' Figur Por tnto, el vlor de ulquier líne trigonométri de un ángulo depende solmente de l mgnitud del ángulo no del punto que se h tomdo sore el ldo terminl. En prtiulr otenemos ls identiddes: os( + ) = os, sen( + ) = sen. Por est rzón, se ls llm funiones periódis, en este so, son de período. 5
Un euión del írulo unitrio on entro en el origen es + =. Y que = os e = sen se sigue que: sen + os = que es un de ls reliones fundmentles de l trigonometrí. Ejemplo : Hllr ls funiones trigonométris de un ángulo en posiión norml uo ldo terminl ps por d uno de los siguiente puntos : ) P (,) ; ) ( ) Qué oneptos teórios utiliz? P, ; ) P (-, -) ; d) P (, -) Soluión ) ρ = ; sen = ; os = ; tn = Qued pr el letor ompletr. En ls siguientes figurs se muestrn gráfimente l soluión. P P Ο O P P 5.5. Signo de ls línes trigonométris El signo de ls línes trigonométris de ulquier ángulo, depende de los signos de ls oordends de un punto ulquier del ldo terminl que ρ > 0. sí, en el primer udrnte, ms oordends son positivs, por lo tnto seno oseno son positivos omo onseueni tods ls demás. Tenemos entones el siguiente udro: I II III IV sen + + - - os + - - + tn + - + - Qued pr el letor her figurs similres l figur pr los udrntes restntes. 6
5.6 SITUIONES PROLEMÁTIS : Un ohete dist 00 m de l puert desde ell se oserv el etremo del ohete formndo un ángulo de 5º por enim de l horizontl. lulr l ltur que está el ohete. Si hemos un esquem tenemos un triángulo retángulo PQ P h tg 5 º = h = 00 tg5º = 00 h 00 0. 67999 5 5.58989 Q 00 m El ohete está proimdmente 5.60 m : Siendo que l torre Eiffel mide 00 m de ltur uánto h que lejrse pr que su etremo se ve, desde el suelo, 6º por enim de l horizontl. Soluión Hiendo un esquem 00 tg 6º = tg6º = 00 m 00m 00 = = =. 98 m tg 6º 0. 765 Dee lejrse de l torre si utro udrs. 6 00 m : vees, neesitmos usr triángulos superpuestos, sore todo, si h regiones inesiles. Desde un ptio vemos el etremo superior de un nten de televisión levntndo l vist un ángulo de 0. Si nos lejmos en l líne ret 0 m, solo h que levntr l vist 0º pr ver l punt de l nten. uál es l ltur de l nten?. Soluión D 0 0 0 m quí se tienen dos triángulos, d uno de ellos on dtos insufiientes pr resolver el prolem. Utilizndo mos, en el triángulo tenemos: tg 0 º = no se onoe ni de estos dtos, pero omo l tngente tg 0 º 0. 89 0. 89 = = 0. 89 En el triángulo 0 + 0 + D tenemos: tg 0 º = 0. 577 = = 0. 577 ( 0 + ) En onseueni tenemos un sistem de dos euiones on dos inógnits en ls ules se despej = 0. 89 = 0. 577 ( 0 + ) igulndo otenemos: 0. 89 = 0. 577( 0 + ) 0. 89 = 0. 577 0 + 0. 577 7
grupndo ls vriles en un solo miemro, result: 0 89 0. 577 = 7.. =. ( 0 89 0. 577) 7. 7. 7. = = 66.06870 m 66.069 m ( 0. 89 0. 577) 0. 6 = 0. 89 0. 89 66. 069 55. 8 m L ltur de l nten es proimdmente 55.8 m 8
5.7 Prátio: Resoluión de Triángulos Retángulos Ejeriio : Se se que l digonl del udrdo mide 7 m. uál es l longitud del ldo?. Ejeriio : lulr el perímetro el áre del triángulo isóseles en el que se se que: =, = m h = 5 m es l ltur orrespondiente l vértie d D Ejeriio : Se se que el áre del romo es, o se l mitd del produto de ls digonles. Otener el áre del romo de 0 m de perímetro l digonl menor d = m. Ejeriio : En un triángulo equilátero l ltur mide m. uánto miden los ldos? Ejeriio 5: L hipotenus de un triángulo retángulo mide 0 m uno de los tetos mide el triple que el otro. ) uánto miden los tetos? ) lulr el áre. Ejeriio 6: Determinr en d so ls medids de ls digonles de los retángulos de se ltur h ) = 8 m h = 6 m ) = m h = 8 m Ejeriio 7: lulr l medid de l digonl de un udrdo uo ldo L mide: ) L= m ) L= 0,6 m ) L= 5 dm Ejeriio 8: D El áre del udrilátero DE es de 7 m. El áre del triángulo DE es del áre del udrdo D. E lulr l longitud de los ldos del triángulo. Ejeriio 9: Psr de grdos segesimles rdines: ) 6º ) 5º ) 5º d) 60º e) 00º f) 0º Ejeriio 0: Psr de rdines grdos segesimles: ) ) 5 ) 6 5 d) 6 e) Ejeriio : Si sen σ = enuentre el vlor eto de: ) σ os 90 º σ os ) ( ) f) 5 Ejeriio : Si tg σ = enuentre el vlor eto de sen σ os σ Ejeriio : ) Siendo que es un ángulo gudo tl que sen = 0. 6. lulr os tg 7 ) Siendo que es un ángulo gudo tl que os =. lulr sen tg 7 9
Ejeriio : Resolver el triángulo retángulo, usndo l informión dd: I) = 5 β = 5º II) = 6 β = 5º III) = = º IV) = 5 = 0º v) = 0 = 0º β VI) = 9 β = 5º VII) = = 8 VIII) = = 5 IX) = = 6 Ejeriio 5: Se un triángulo retángulo en, tl que = m = m. Si,, son los ángulos, lulr: os, sen, tg, os, sen tg. Ejeriio 6: En un triángulo de ldos m, 6 m 8 m, lulr l ltur sore el ldo mor. Ejeriio 7: En el udrilátero D, el ldo tiene el dole de l longitud del ldo D. Siendo demás que los ldos D D son igules, siendo su medid m, lulr el perímetro el áre del udrilátero. Ejeriio 8: Un trmo de rreter form un ángulo de 5 on l horizontl. l reorrer 00 m por l rreter, uántos metros se h sendido en vertil? Ejeriio 9: De un romo se onoe un digonl, m, el ldo, m. Enontrr l medid de l otr digonl. Ejeriio 0: Enontrr l ltur de un trpeio isóseles uos ldos prlelos miden m 9 m los otros 6,5 m.. Ejeriio : Un mino reto on inlinión uniforme llev desde un hotel 60 metros hst un mirdor situdo 66 metros. Si l longitud del mino es de 65 metros. uál es l pendiente del mino?. Ejeriio : Pr determinr l ltur de un torre de trnsmisión de televisión, un grimensor min lejándose 00 metros de l se de l torre. Luego mide el ángulo de elevión enuentr que es de 0º. Si el teodolito está metros del piso undo l oservión se reliz, uál es l ltur de l torre?. 0 0 00 m m 0 0 0
Ejeriio : Enuentre l distni inesile, del estnque, siendo que = 5 metros el ángulo = 0º. Ejeriio : Pr medir l ltur de un montñ, un topógrfo tom dos oserviones de l im desde dos puntos seprdos un distni de 000 metros en líne ret hi l montñ. L primer oservión tiene omo resultdo un ángulo de elevión de 7º, l segund tiene un ángulo de elevión de 5º. Si el teodolito está dos metros del piso, uál es l ltur de l montñ?. h 0 0 5 7 000 m E m Ejeriio 5: En el siguiente diujo, T represent un torre, el pie de l torre, puntos linedos on, siendo = 50 m, el ángulo T = 60º el ángulo T = 0 º. uál es l ltur de l torre? T Ejeriio 6: En un vije por un rreter horizontl ret nos dirigimos hi el punto más lto de un montñ. En un instnte ddo medimos el ángulo de elevión es, de 0º, Reorremos kilómetros l medir éste es de 5 º. uál es l ltur de l montñ respeto de l rreter donde hemos heho ls mediiones? Ejeriio 7: Un esttu está olod sore un olumn de 5 metros. Desde un punto del suelo situdo en l mism horizontl que el pie de l olumn, vemos l olumn jo un ángulo de 5º, l esttu jo un ángulo de 5º más, uál es l ltur de l esttu?
Ejeriio 8: Se se que el ro de lonesto est, metros del piso. Los ojos de un jugdor de lonesto están,98 metros del piso. Si el jugdor se enuentr en l líne de tiro lire 5 metros del entro del ro de l nst. uál es el ángulo de elevión de los ojos del jugdor l entro del ro?. Ejeriio 9: Un ierto dí de primver, un edifiio de 00 m de ltur proetó un somr de 6,50 m de lrgo. uál er el ángulo de elevión del sol? Ejeriio 0: En un retángulo, uno de los ldos mide 5 m su áre es de 50 m. uánto mide l digonl?. Ejeriio : En un udrdo, uo perímetro es de 8 m se hn mrdo los puntos medios de los ldos. lulr el perímetro el áre del udrdo que se otiene l unir esos puntos. Ejeriio : Se insrie un udrdo en un irunfereni de rdio r = 8 m ) uánto miden el ldo l digonl de ese udrdo?. ) lulr proimdmente el áre de l porión del írulo que no está oupd por el udrdo?. ) Si se quisier el vlor eto del áre pedid en l prte nterior ómo se epresrí?. Ejeriio : En un triángulo retángulo los tetos miden 5 5. uánto mide su hipotenus?. uál es su perímetro?. Ejeriio : Enontrr el vlor eto de d un de ls tres funiones trigonométris de, es un punto en su ldo terminl. un ángulo positivo si ( ) Ejeriio 5: Ddo sen δ = os δ < 0, enontrr el vlor eto de d un de ls otrs dos funiones trigonométris. Ejeriio 6: Utilie l periodiidd de ls funiones pr enontrr el vlor eto de d un de ls siguientes epresiones. I. sen 05 º II. os 0 º III. tg IV. os.