Teoría de Meddas TEORÍA DE MEDIDAS ITRODUCCIÓ Las cencas epermentales operan con valores numércos que se obtenen como resultado de efectuar meddas de varables, por ejemplo una temperatura, una longtud o una dferenca de potencal eléctrco. Sn embargo, estas meddas nos proporconan valores apromados de dchas varables a que en el proceso ntervenen tanto las mperfeccones de los nstrumentos de medda, las lmtacones de nuestros sentdos o causas ncontrolables. Puede tambén suceder que, en algunas ocasones, el msmo proceso de la medda puede tener nfluenca sobre la magntud que deseamos medr. Admtremos como postulado que es mposble llegar a conocer el valor eacto de cualquer magntud. Esto no sgnfca que no esta dcho valor verdadero, sno que es mposble determnarlo sn un margen de ndetermnacón o ncertdumbre. El objetvo de la teoría de meddas consste precsamente en acotar dchas ncertdumbres, denomnadas tambén errores epermentales. La mportanca de esta acotacón radca en que, en muchas stuacones, obtener una conclusón o tomar una decsón dependerá del grado de ncertdumbre que se haa obtendo en el proceso de medda. Para evtar malentenddos dejaremos establecdo que el térmno error, que vamos a utlzar etensamente, es snónmo de ndetermnacón no de equvocacón. Por otra parte, muchas magntudes no se mden, sno que se obtenen ndrectamente como resultado de operar con meddas que sí se realzan drectamente (por ejemplo, determnar el volumen de una esfera a partr de la medda de su dámetro) o a partr de datos que venen en tablas. De esta forma, las ndetermnacones que se cometen en las meddas drectas se propagan a la magntud ndrecta a través de los cálculos. EL PROCESO DE MEDIDA Medr una magntud (medr la longtud de un objeto, por ejemplo) es un proceso o un conjunto de actvdades que se lleva a cabo utlzando un nstrumento. El resultado fnal de este proceso, que denomnamos medcón o proceso de medda es el número de veces que la magntud contene a un patrón de referenca (a sus múltplos submúltplos); decmos que ese es el valor de la magntud (por ejemplo, longtud 3.7 m). Es habtual utlzar la palabra medda para denomnar tanto la accón de medr como el resultado de dcha accón. En todo lo dcho ha mplíctos una sere de elementos que ntervenen en el proceso: el "objeto" que se ntenta medr, el nstrumento de medda, el patrón de referenca el observador. CLASIFICACIÓ DE LOS ERRORES Defnmos error de una magntud como la dferenca entre su valor eacto (desconocdo) el obtendo epermentalmente. Como a hemos ctado, este error no lo consderamos como consecuenca de una equvocacón al llevar a cabo la medda, sno como una ncertdumbre nherente a cualquer proceso, por ello, sería más adecuado darle el nombre de
Teoría de Meddas ncertdumbre de la magntud. Sn embargo, seguremos la nomenclatura tradconal, sn perder de vsta su verdadero sgnfcado. Atendendo a las causas que los orgnan, clasfcaremos los errores en dos grandes grupos: sstemátcos accdentales. Errores sstemátcos. Se denomna así a aquel error que se mantene constante a lo largo de todo el proceso de medda por tanto, afecta de gual manera a todas las meddas. Además, es el msmo para todas ellas. Estos errores tenen un sgno defndo sus causas más probables son: Defecto del nstrumento (error de cero, por ejemplo). Error del observador, a sea debdo a una mala realzacón de la medda o a una lmtacón físca. Error en la eleccón del método. Evdentemente, los errores sstemátcos se ponen de manfesto al cambar el nstrumento de medda, el observador o el método empleado. Ya que un error sstemátco afectará a todas las meddas en la msma forma, permte detectarlo corregrlo a través de un calbrado. Por ejemplo, un error sstemátco sería el cometdo al medr con un termómetro defectuoso. Comparando las meddas con las llevadas a cabo con un termómetro ben calbrado que proporcona datos correctos, se podría, de forma senclla, proceder a la correccón de las meddas. Error accdental o aleatoro es aquel que sucede cuando meddas sucesvas realzadas por el msmo observador, en condcones déntcas (con la reproduccón íntegra del proceso de medda), proporconan valores dferentes, que sólo por azar son guales. Son de valor mu pequeño comparados con la magntud a medr además, supondremos que es gualmente probable obtener un valor superor o nferor al valor verdadero. Tenen su orgen en fenómenos aleatoros, por tanto, son ncontrolables. Debdo a este carácter ncontrolable, no se pueden corregr (como sucedía en el caso de los errores sstemátcos); sn embargo, el empleo de métodos estadístcos nos permtrá llegar a algunas conclusones sobre el margen de ncertdumbre con el cual se determna una magntud. EXACTITUD, PRECISIÓ Y SESIBILIDAD opera: Conceptos mportantes en el proceso de medda, relatvos al nstrumento con el que se Eacttud se defne como la concordanca entre el valor eacto el obtendo epermentalmente. Un nstrumento será mu eacto s las meddas realzadas con él son todas mu prómas al valor eacto. Precsón se refere al acuerdo entre las sucesvas meddas de una magntud, llevadas a cabo en las msmas condcones de trabajo. De este modo, un nstrumento será mu precso s las meddas realzadas con él de una certa magntud se encuentran mu prómas entre sí. Eacttud mplca normalmente precsón, pero la afrmacón nversa no es certa, a que un aparato puede ser precso a la vez poco eacto (pensar en el caso de una persona que sempre llega cnco mnutos tarde). En general, se puede decr que es más fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud. Sensbldad de un nstrumento se defne como el valor mínmo de la magntud que puede aprecar. Por ejemplo, que la sensbldad de una balanza sea de 5 mg sgnfca que para masas nferores a 5 mg, la balanza no epermentará nnguna varacón. ormalmente se admte como sensbldad el equvalente a la dvsón más pequeña de la escala de medda. o obstante, con
Teoría de Meddas demasada frecuenca se toma meda dvsón como sensbldad, s dchas dvsones son lo sufcentemente amplas. Este últmo crtero no es demasado correcto pues, aunque el observador sea capaz de dstngur poscones ntermedas, el límte lo mpone el propo nstrumento (escala sumnstrada por el fabrcante). Ejercco. Cuál es el valor más pequeño que se puede aprecar con a) una regla mlmetrada b) una báscula de baño c) tu reloj d) el cuentaklómetros de un coche e) el velocímetro de un coche ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO Se defne el error absoluto de una medda como la dferenca entre el valor meddo el valor eacto 0 : () 0 El error absoluto representa la desvacón, en térmnos absolutos, de la medda respecto al valor eacto. Ya que no conocemos este valor eacto, deberemos establecer un procedmento para calcular este error (por ejemplo como se verá más adelante, defnr el valor eacto como el valor medo de las meddas realzadas). Se defne el error relatvo de una medda como el cocente entre el error absoluto el valor eacto de la magntud se suele dar tambén en forma de porcentaje: ε () r 0 ORDE DE MAGITUD es la potenca de dez más próma al valor meddo. 50 km Es del orden de 000 km 0 3 km 7650 km Es del orden de 0000 km 0 4 km 335 m Es del orden de 00 m 0 m 850 m Es del orden de 000m 0 3 m 0,5 m Es del orden de 0,0 0 - m 0, m Es del orden de 0, 0 - m CIFRAS SIGIFICATIVAS, son aquellos dígtos realmente representatvos de un proceso de medda. Dado el valor de una medda: La cfra más a la zquerda dferente de 0 es la cfra más sgnfcatva. Para un número entero, la cfra más a la derecha dferente de 0 es la cfra menos sgnfcatva. Con punto decmal, el número más a la derecha es la cfra sgnfcatva, aunque sea 0 Todos los dígtos comprenddos entre éstas, son cfras sgnfcatvas. Ejemplo: Los números 7.45, 0.745 0.000745 tenen todos ellos 4 cfras sgnfcatvas; el 7 es la cfra más sgnfcatva el fnal es la menos sgnfcatva. 3
Teoría de Meddas Ejemplo: 3.0 m supone que hemos meddo hasta los dm. Tenemos cfras sgnfcatvas. 3.33 m supone que hemos meddo hasta los mm. Tenemos 4 cfras sgnfcatvas. 3.33 m supone que hemos meddo hasta... Tenemos... Sn embargo, s se trata de un número como el 700 tenemos un problema de nterpretacón; aparentemente tene cuatro cfras sgnfcatvas, pero debemos dstngur el caso en que todos los ceros fnales son representatvos o s se han puesto para rellenar. Para resolver este dlema se utlza la notacón de mantsa eponente; por ejemplo, s solamente fuesen correctas las dos prmeras cfras el número debería escrbrse como 7 0 o, mejor aún, 7. 0 3. Ejemplo: Una medda de longtud de.3 m tene cfras sgnfcatvas, gual que 0.003 km. Podemos escrbr por tanto:.3 m.3 0 cm.3 0-3 km. Ejercco: Cuál es la ncorreccón en esta epresón?.3 m 30 cm ERRORES E MEDIDAS DIRECTAS. Intentemos ahora determnar el valor de una magntud por medda drecta con un nstrumento, así como su error absoluto asocado, epresándolo con las cfras necesaras. úmero de meddas En multtud de casos, la determnacón de una magntud muestra valores sensblemente dferentes en sucesvas tomas de datos (por su propa naturaleza, por la sensbldad del nstrumento de medda, etc.). Es convenente en estos casos tener en cuenta crteros estadístcos que valden el resultado fnal. Para ello deben realzarse un número determnado de meddas ndvduales, que dependerá del grado de dspersón de las msmas. El procedmento (basado en crteros estadístcos) para determnar este número es el sguente: Se realzan tres meddas de la magntud se calcula su valor medo como: donde es cada una de las meddas. (3) Se calcula la dspersón o rango D de las meddas, es decr la dferenca entre el valor mámo el mínmo obtendos. Fnalmente se calcula el porcentaje de dspersón T: (%) D T 00 (4) El valor de T determnará el número total de meddas necesaras: T de las 3 prmeras meddas º total de meddas necesaras T % 3 % < T < 8 % 6 8% < T < 5 % 5 T > 5 % al menos 50 4
Teoría de Meddas Una vez realzadas las meddas necesaras, se toma como: Valor eacto de la magntud:, el valor medo de todas las meddas Error absoluto de la magntud: a partr de la epresón: ( ) ( ) / (5) Esta últma es una epresón laborosa de aplcar s no se dspone de una hoja de cálculo o calculadora programable, de forma que se suelen utlzar apromacones más sencllas para el caso de que el número de datos no sea grande: S se han realzado hasta 3 meddas: el error absoluto es el valor de la sensbldad del aparato, S. S se han realzado entre 4 meddas: el error absoluto es el mámo valor entre la sensbldad del aparato el rango D dvddo por el número de meddas: { S, D } ma / (6) EXPRESIÓ DEL RESULTADO DEL PROCESO DE MEDIDA Una vez realzado un proceso de medda, sea ésta drecta o ndrecta (que se verá a contnuacón), el resultado se epresará de la sguente forma: ± (7) donde es el valor "verdadero" de la magntud está determnado con una ncertdumbre. Lo que esto sgnfca es que el valor de la magntud está comprendda, con una elevada probabldad, en el ntervalo: < < + Pero con cuántas cfras se debe epresar el resultado? Para la correcta epresón de una medda de su error, seguremos las sguentes normas o convencones. Se acepta que el error absoluto con el que se eprese el resultado puede tener como mámo dos cfras sgnfcatvas: Puede darse con dos cfras sgnfcatvas s la prmera de ellas es un, o s sendo la prmera un, la segunda no llega a 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cfra sgnfcatva, aplcando el proceso de redondeo que se eplca a contnuacón. o tene sentdo, por lo tanto, epresar el valor de la magntud obtenda con más precsón: debe tener sólo las cfras necesaras para que su cfra menos sgnfcatva sea del msmo orden decmal que la últma cfra sgnfcatva del error absoluto. 5
Teoría de Meddas Procedmento de redondeo o de elmnacón de cfras sobrantes. Suponemos en este ejemplo que debemos quedarnos sólo con dos cfras decmales: s la cfra a elmnar es menor que 5, la elmnamos drectamente (4.7 pasa a ser 4.7). s es maor o gual que 5, la últma cfra se aumenta en una undad (4.78 se converte en 4.73). Ejemplo. Una certa longtud es L.43 cm su error absoluto es L 0.54 cm. En prmer lugar aplcaremos los crteros menconados al error absoluto: aunque la prmera cfra sgnfcatva es un, no podemos mantener la segunda por ser 5, de modo que redondearemos a la prmera cfra sgnfcatva, resultando 0.3. Por lo tanto el valor de la longtud será L (.4 ± 0.3) cm. Ejemplo. La dstanca meda de la terra al sol es D (49500000 ± 5000) km. Según las normas, debemos escrbrla en potencas de 0, de modo que todas las cfras que aparezcan sean sgnfcatvas. De esta forma, la dstanca de la terra al sol es (49500 ± 5) 0 3 km. Más ejemplos. Valores ncorrectos Valores correctos 3.48 ± 0.3 3.4 ± 0. 6.3 ± 0.09 (630 ± 9) 0-4688 ± 540 (463 ± 5) 0 48.35 ± 0.7 48.4 ± 0.3 343.3 ± 99. (34 ± ) 0 En el caso de un valor que se obtene de leerlo en una tabla en la que no fgura el error absoluto, se toma para éste el correspondente a una undad de la últma cfra sgnfcatva ncluda en la tabla. Por ejemplo, s en una tabla aparece para la densdad del agua el valor 0.9983 g/cm 3, tomaremos como error absoluto 0.0000 g/cm 3. Asmsmo, para los números rraconales tendremos que fjar un número de cfras en su apromacón real de modo que no afecte al resultado fnal. En caso de no saber cuál sería el número de cfras que no afectan a dcho cálculo, es posble asocar a un número rraconal un error absoluto gual a la undad del orden de la últma cfra que se tene en cuenta. Por ejemplo se puede tomar un valor adecuado de π 3.4 ± 0.00. DETERMIACIÓ DE MAGITUDES IDIRECTAS Muchas magntudes no se mden drectamente, sno que se obtenen a través de aplcar una epresón matemátca en la que ntervenen varables que son medbles drectamente o se obtenen de tablas (por ejemplo, deseamos determnar el área de un círculo mdendo su dámetro: S π (d/4) ). Las magntudes de partda tenen un error nherente estos errores se propagarán a las magntudes ndrectas sucesvas, en el proceso que se denomna propagacón de errores. Sea F una magntud que depende de otras magntudes (,, z,...) que hemos meddo. De éstas, por lo tanto, conocemos su valor eacto su error absoluto. Epresamos esta dependenca como: (,, z,... ) F F (8) El valor de la magntud F será el resultado de susttur en la epresón anteror los valores de las magntudes (,, z,...) de las que depende. 6
Teoría de Meddas Para conocer el error absoluto de F, procederemos al cálculo de la dferencal total, que se epresa medante la sguente ecuacón: F F F df d + d + dz +... (9) z La dferencal se nterpreta como la varacón que sufre la funcón F al cambar el valor de las varables de las que depende. Así, el error absoluto en la determnacón de la varable, se sustturá en d, hallándose cómo afecta a la funcón F. Tendremos una fórmula que nos permtrá evaluar el error absoluto asocado a una magntud ndrecta, sempre que conozcamos los valores los errores de las magntudes drectas de las que depende. Es decr: F F F + F + z z +... (0) Se han puesto los valores absolutos de las dervadas porque los errores sempre se suman nunca se compensan. La determnacón de los errores de una magntud ndrecta se smplfca notablemente para el caso de funcones de la forma: a b c F z () sendo a, b, c constantes postvas o negatvas. S tomamos logartmos, se cumple que: al hacer la dferencal de ln(f) será: tenendo en cuenta que ln F a ln + bln + cln z +... () d ln F ad ln + bd ln + cd ln z +... (3) se reduce a du d ln u (4) u df F d a + b d + c dz z +... (5) en la que, s susttumos las dferencales por los errores absolutos, llegaremos a la epresón: F F a + b + z c z +... (6) La sguente tabla resume algunos de los casos más habtuales de la propagacón de errores: 7
Teoría de Meddas Relacón z + z - z * z / z n z ln z ep() Error z + z / z / + / z / z n / z / z / z Ejemplo: Se quere determnar el volumen de un clndro (V π R h ) a partr de meddas geométrcas. La altura se mde con una regla (sensbldad mm) el rado de la base con un calbre (sensbldad 0.05 mm). Los resultados de las meddas han sdo h 5.8 cm R 45.5 mm. Determne el volumen su error. La altura el rado se han meddo en undades dferentes (cm mm respectvamente). Las epresaremos en la más pequeña, en este caso a mm; h 58 ± mm; R 45.5 ± 0.05 mm Se toma un valor para π sufcentemente precso, para evtar que tenga repercusones en el resultado fnal: π 3.459. Cálculo del volumen. V 886054.5 mm 3 Cálculo del error que se comete: V V V R + R h h π h R R + π R h V π (667.55 + 89.5) 45.6 mm 3 Aplcando las reglas de redondeo de la epresón de cfras sgnfcatvas, llegamos a: V (886 ± 3) 0 3 mm 3 El error relatvo de esta determnacón: V / V 0.00339, es decr, nferor a 0.4 % Ejemplo: Determnacón de la resstenca eléctrca de un materal Para ello medmos con un amperímetro la ntensdad que atravesa el materal con un voltímetro la dferenca de potencal entre sus etremos. Ambos valores resultan ser en este caso: I 3. ± 0. ma V. ± 0. voltos. El valor de la resstenca de dcho materal se calculará aplcando la epresón de la le de Ohm: R V / I 656.5 Ω. Su error podemos calcularlo aplcando la regla de dferencacón a la le de Ohm: R R V V I + I 0. 0. + 0.07885. 3. 8
Teoría de Meddas por lo tanto, R R * 0.07885 5.745 Ω El resultado será: R 656.5 ± 5.745 Ω. Pero debemos aplcar ahora el crtero de cfras sgnfcatvas, con lo cual, el resultado fnal será: R (6.6 ± 0.5) 0 Ω. Ejerccos propuestos.. Con un termómetro que mde en grados centígrados se determna una temperatura resulta ser de 3.7 ºC. Calcular la temperatura en grados Kelvn, junto con su error.. En una tabla de datos encontramos que la longtud de una determnada peza es de 5. pulgadas. Calcular su longtud en centímetros junto con su error. 3. Tenendo en cuenta que los números que ntervenen en las epresones tenen todas sus cfras eactas, calcular el resultado el error de las sguentes operacones matemátcas: a) S.73 + 3.4 + 0.007 -.78 b) P.7305 /.4 4. Se han meddo las arstas de un cubo ha resultado un valor de.34 cm, con un error absoluto de 0.05 cm. Calcular el volumen del cubo junto con su error. 5. Se ha meddo un ángulo ha resultado ser de 8º.4. En nstrumento de medda tene un error de 0º.. Calcular el valor del seno del ángulo junto con su error. TOMA DE DATOS Y ELABORACIÓ DE TABLAS DE DATOS Prevamente a la toma de datos de un ensao, hemos de tener claro cuales son los datos que se van a medr, en que undades se van a medr qué sensbldad tene el nstrumento de medda. La tabla que se elabore ha de tener un nombre representatvo. Deberá estar confecconada en columnas, porque son más fácles de anotar de leer. Cada columna debe tener el nombre de la varable en qué undades se está mdendo. En la columna se anotará el dato meddo tal como se lee del nstrumento de medda. S es necesaro transformar este dato para hacer cálculos posterores, se hará en otra columna dferente. Por ejemplo, s se está mdendo una ntensdad en mlamperos, pero para los cálculos posterores se necesta en amperos, se añadrá otra columna con estos valores. Cuando se comete un error en la anotacón de un dato, no corregrlo encma; se tacha se escrbe ben al lado o debajo. Recordar Guardar la tabla en la que fguren los datos orgnales. Es un seguro para poder hacer verfcacones. Consegur un dato cuesta tempo ( a veces, en vda real, muchos recursos). Tomarlo ben cuesta poco. 9
Teoría de Meddas REPRESETACIOES GRÁFICAS Además de dsponer de una tabla de resultados epermentales, es convenente epresar dchos resultados en forma gráfca. Esta forma de presentacón tene las sguentes ventajas: Permte una vsualzacón global del comportamento del fenómeno en todo el ntervalo en que se han obtendo meddas epermentales. Es posble deducr el valor de datos que no se han meddo, por nterpolacón entre los valores que se han meddo en el ntervalo representado. (Cudado con las etrapolacones, que son sempre arresgadas). Pone de releve s alguna medda que se ha determnado ncorrectamente a que se puede ver s se dspone de forma anormal respecto del resto de datos. Las representacones gráfcas deben ajustarse a una sere de normas que facltan que se obtengan de ellas la máma nformacón posble. Por ejemplo: La gráfca debe realzarse en papel mlmetrado. Los ejes deben estar ben trazados en sus etremos se ndcará la magntud que se representa en dcho eje así como las undades de la msma. La gráfca llevará un título en la parte superor que sea sufcentemente eplícto. En general, la varable ndependente rá en abscsas la dependente en ordenadas. Las escalas han de escogerse de forma que comprendan solamente los ntervalos dentro de los cuales esten datos a representar. Es convenente utlzar escalas sencllas con el objeto de facltar la lectura de los datos. Sobre los ejes sólo se ndcan los valores correspondentes a las dvsones, unformemente espacadas. o se marcarán los valores de los datos meddos. Los valores se representarán medante un punto correspondente al dato meddo, rodeado de un rectángulo de error. Este rectángulo está centrado en el punto epermental (,) su base abarca desde - hasta + su altura desde - hasta +. En el caso en que cualquera de los errores sea desprecable en comparacón con la escala utlzada, el rectángulo de error se reduce a un segmento vertcal u horzontal. En caso de que ambos errores sean desprecables el rectángulo de error se reduce a un punto. Una vez representados los valores, puede trazarse una gráfca medante una línea fna contnua, nunca quebrada, que ajuste lo mejor posble el maor número de datos. S, una vez representada la gráfca, se observa algún punto claramente desplazado de la línea que ajustar el fenómeno, habrá que rechazarlo, s es posble, repetr la medda. Este punto erróneo no se debe nclur en los análss posterores. 0
Teoría de Meddas AJUSTE LIEAL POR EL MÉTODO DE LOS MÍIMOS CUADRADOS Muchas veces las varables representatvas de un fenómeno físco están relaconadas de forma lneal. Es decr, la varable depende la varable en la forma: a + b (7) a es la pendente de la recta que las relacona b es la ordenada en el orgen. Ejemplos de comportamento lneal:. La relacón entre la fuerza deformadora sobre un muelle el alargamento del msmo en la zona elástca F K l (8) En este caso, la pendente de la relacón, a, es la constante elástca del muelle K la ordenada en el orgen, b, es cero.. La relacón entre la dferenca de potencal aplcada a un materal conductor óhmco la ntensdad que lo atravesa (le de Ohm): V R I (9) En este caso la pendente es la resstenca eléctrca R la ordenada en el orgen será cero. La aplcacón del método de los mínmos cuadrados permte conocer s los datos (, ) descrben un comportamento lneal además determnar la ecuacón de la recta ( a + b) que mejor se ajusta al conjunto de los pares de datos.
Teoría de Meddas Pendente de la recta a (0) Ordenada en el orgen b () Lógcamente, los errores mplíctos en cualquer medda hacen que los puntos meddos no se dspongan sobre una recta sno que, a lo sumo, se stúen en una zona cercana a la msma. El análss por mínmos cuadrados nos permte calcular los errores de la pendente de la ordenada en el orgen: ( ) ( ) ( ) / b a a () ( ) ( ) ( ) ( ) / + b a b (3) El método tambén proporcona un coefcente de correlacón lneal, r, que da cuenta del grado de adecuacón de los puntos a una recta. La epresón del coefcente de correlacón es: r (4) En valor absoluto, r puede tomar valores comprenddos entre 0 : Abs(r) los puntos se ajustan perfectamente a una línea recta Abs(r) 0 los puntos se encuentran dspersos no este una correlacón entre ambos conjuntos de datos. r > 0 Este una correlacón postva entre ambas varables (a > 0) r < 0 Indca que una varable crece mentras que la otra decrece ( a < 0). S no se dspone de una calculadora programable o un paquete nformátco adecuado, se pueden obtener los valores del ajuste por mínmos cuadrados a una tabla de datos, generando una
Teoría de Meddas tabla como la sguente, en la que aparecen todas las varables que ntervenen en las fórmulas para determnar a b: (und) (und) 0.00 06 0.04. 36 0.9 4 0.054 8.396 5376 0.5 35 0.0630 33.885 85 0.78 50 0.0773 4.7 500 0.38 69 0.0 53.74 856.76 684 0.3338 78.93 95898 ().68 467856 Meda 0.55 36.8 (Meda) 0.0653 (utlzaremos el térmno m o, para representar el valor medo de la varable ): Una vez que se conocen a b, se construe una segunda tabla a partr de la que se determnan los errores de los parámetros el coefcente de correlacón: (und) (und) - m (- m ) -a -b (-a -b) 0.00 06-0.055 3.05e-3 -.46.36 0.9 4-0.06 6.86e-4.65.690 0.5 35-0.004.764e-5 0.4335 0.879 0.78 50 0.08 5.0e-4.083.79 0.38 69 0.068 3.94e-3 -.77.3853 Σ 0 Σ 8.e-3 Σ 0 Σ 6.467 Otro método alternatvo: Una vez construda la prmera de las tablas, es posble tambén resolver el problema utlzando los sguentes valores ntermedos: D G E F ( ) con ellos calculamos E a ; D b a Los errores de los parámetros el coefcente de correlacón se calculan como: ( a) DF E ( ) D D ( b) ( a) + r E DG Transformacones para ntentar lnealzar una dependenca no lneal. Es posble que la aparenca en la representacón de la varable frente a no sea lneal pero que medante una transformacón apropada pueda quedar con aspecto lneal. Veamos algunas de estas transformacones: 3
Teoría de Meddas S la relacón es del tpo: a / + b, utlzando la transformacón z /, puede quedar con aspecto lneal. S es una relacón de la forma, a + b. Para lnealzar utlzamos la transformacón z. S es una relacón en forma potencal, b a. Tomando logartmos se consgue una aparenca lneal: ln ln b + a ln. Una vez realzadas las transformacones de las varables, representaremos gráfcamente la nueva relacón para verfcar s hemos obtendo una relacón lneal. ITERPOLACIÓ En una tabla se puede presentar una magntud, en funcón de una varable ndependente, es decr f(); o en funcón de dos varables ndependentes z, es decr, f(,z). En el prmer caso, la tabla se denomna de entrada smple en el segundo la tabla es de entrada doble. Con frecuenca se precsan datos que no se encuentran dsponbles en las tablas, sno que se encuentran entre dos valores dados; tendremos entonces que realzar una nterpolacón entre dchos valores de la tabla. Interpolacón en tablas de entrada smple Queremos conocer el valor de la varable para un valor de que no está tabulado. El prmer paso consste en localzar los dos valores de la tabla entre los cuales se encuentra el dato. S a estos valores corresponden las varables ndependentes e respectvamente, el valor correspondente al valor se obtene suponendo que entre, la varacón de con es de tpo lneal. Por tanto: El error de será: ( ) ( ) ( ) (5) + (6) Ejercco. En una tabla aparece la temperatura que adquere un determnado compuesto en funcón de la presón a la que se le somete: Presón (bares) Temperatura ( C) 0.50 8.35 0.60 85.95 0.70 89.96 0.80 93.5 Obtener la temperatura para una presón de 0.55 bares junto con su error. 4
Teoría de Meddas Interpolacón en tablas de doble entrada En las tablas de doble entrada cada pareja de valores, z proporcona un valor de. En este caso ha que determnar los valores entre los que se encuentra el punto, z. Epuesto en forma de tabla: z z La relacón apromada que permte el cálculo de es: su error puede calcularse a través de: + ( ) + ( z z) (7) z z + z (8) z z 5
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