La integral de Riemann

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. L itegrl de Riem Est itegrl perteece l estudio del Aálisis Mtemático. L itegrl de Riem, es u form de ordr el prolem de l itegrció, otd usulmete de l siguiete form: f ( x ) Defiició forml: pr este estudio ecesitmos defiir cutro coceptos, el último siedo el que os iteres: el primero u prtició de u itervlo [, ], el segudo l orm de u prtició, el tercero u sum de Riem y el último que u fució cotd se Riem itegrle e u itervlo [,].. Prtició de u Itervlo y su Norm: Se [,] u itervlo cerrdo e los reles. Etoces u prtició de [,] es u sucojuto fiito P = {x =, x,...,x = } tl que x i > x i -, co i =,...,.. L orm de l prtició es el itervlo más grde: P mxx x : i,, i i Lo que estmos hciedo e pocs plrs es cortr l itervlo e suitervlo disjutos, cuy uió form el itervlo origil, l orm simplemete es l logitud del itervlo de myor logitud. 3. Sum de Riem: Se f u fució e [, ] y tomemos u prtició del itervlo [, ], que deotremos por P = {x =, x,...,x = } etoces llmmos sum de Riem u sum de l form: k f (tk )( xk xk ), co x k- t k x k De mer ituitiv est sum x k - x k- f(t k ) represet l sum de áres de rectágulos co se y ltur. Simolizmos est sum como S(P, f), tmié se utiliz l otció más extes pero más explícit: S( p, f, t ) i i 4. Itegrilidd de Riem: U fució f cotd defiid e u itervlo [, ] se dice que es Riem itegrle e [, ] si existe u úmero I e los reles tl que, pr todo úmero rel positivo ε existe u δ positiv tl que si P es u prtició de [, ] co P < δ y

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. S(P,f) es culquier sum de Riem etoces S(P, f) - I < ε. Usulmete pr fucioes coocids que semos itegrles se tom u prtició regulr del itervlo y se tom los t k como lguo de los putos extremos de cd itervlo (ce otr que si o supiérmos que l fució es itegrle etoces o podrímos tomr culquier puto del itervlo ritrrimete, es decir, o podrímos tomr los vlores extremos, tedrímos que revisr que t k x k-,x k pr culquier vlor que tomármos e cd itervlo l sum de Riem meos lgú úmero rel I es meor e vlor soluto que culquier ε que huiérmos tomdo, e cso de cumplirse hrímos demostrdo que l fució f es itegrle segú Riem e [, ] y hrímos hlldo su vlor; e cso de o cumplirse o hrímos prodo d e soluto), cudo llevmos l límite est prtició, se puede demostrr que oteemos el vlor de l itegrl: ( ) f(x) lim k f k( ) Est últim expresió es sore todo útil pr fucioes que semos que so itegrles como por ejemplo ls cotius, podemos demostrr que tod fució que es cotiu e u itervlo [, ], es itegrle, e cuyo cso lo úico que restrí serí ecotrr el vlor de l itegrl, por supuesto si y estmos fmilirizdos co el Segudo Teorem Fudmetl del Cálculo, etoces st hllr u fució F(x) (deomid "u primitiv" de f(x)) cuy derivd os dé uestr fució origil f(x) y etoces el vlor de l itegrl es F()-F(). No siempre podemos hllr u fució primitiv de l que estmos itegrdo, e esos csos se recurre u expresió como l terior o métodos de proximció. Codició ecesri y suficiete pr l itegrilidd de Riem E este prtdo os referiremos fucioes cotds e u itervlo cerrdo [,] (igul que e los prtdos teriores). U fució o h de ser cotiu pr ser itegrle de Riem (o ostte est es u codició suficiete); de hecho u fució cotiu e todo el itervlo slvo e u puto es itegrle de Riem, icluso u fució co u úmero umerle de discotiuiddes es itegrle y e el cso extremo cierts fucioes co u úmero o umerle de discotiuiddes puede ser itegrles. El siguiete teorem estlece que u fució es itegrle si y solo si su

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. cojuto de discotiuiddes se puede recurir por cojutos iertos tles que l sum de sus churs puede hcerse ritrrimete pequeñ. Criterio de Leesgue pr l itegrilidd de Riem Se f u fució defiid y cotd e [,] y se D el cojuto de ls discotiuiddes de f e [,]. Etoces, (co R el cojuto de ls fucioes Riem itegrles) e [,] si, y solo si, D tiee medid cero. De este modo culquier fució cotiu o co u cojuto umerle de discotiuiddes es itegrle. Como ejemplo de fució co u cojuto o umerle de discotiuiddes e itegrle teemos por ejemplo:, si xc f (x) siedo C el cojuto de Ctor ()., si xc Defiicioes equivletes: Existe defiicioes que so equivletes l defiició de itegrl de Riem. So equivletes e el setido de que podemos demostrr que u fució es itegrle respecto u ciert defiició si y sólo si es itegrle co respecto otr defiició. U muy utilizd es l itegrl de Droux que se uxili de los supremos e ífimos de los itervlos e los cules se prticio. U segud, que es l que de hecho se utiliz pr defiir l itegrl de Riem-Stieltjes, co los justes ecesrios (y o l defiició que se ecuetr rri, porque cudo se extiede ser de Riem-Stieltjes o cumple co todo lo que os gustrí que se pudier derivr de dich defiició) es l siguiete: Def: U fució f cotd defiid e u itervlo [, ] se dice que es Riem itegrle e [, ] si existe u úmero I tl que, pr todo úmero rel positivo ε existe u prtició Pε de [, ] tl que si P es u refimieto de Pε (es decir P cotiee Pε) y S(P,f) es culquier sum de Riem etoces S(P, f) - I < ε. De mer ituitiv, l difereci etre l defiició de l itegrl de Riem y est últim defiició, es que l primer hce uso del cocepto de l orm de l prtició meor que u cierto delt pr oteer mejores proximcioes, e l segud por cotrste os olvidmos de l orm de l prtició y e vez de eso mplimos ls prticioes, es decir les ñdimos putos, pr oteer mejores proximcioes. Est difereci es muy importte pr el cocepto de l itegrl de Riem- Stieltjes, porque e l segud defiició podemos decir específicmete qué putos queremos icluir e l prtició, e cotrste l primer, e l que estmos tdos u ciert orm, que uque se cumpl que l orm se meor que u cierto delt, puede ser que l prtició o icluy putos que queremos que icluy e específico (que e el cso de l itegrl de Riem o os import, pero cudo utilizmos l itegrl de Riem-Stieltjes, hy putos que so críticos pr que se cumpl cierts propieddes).

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. NOTA: Algus fucioes o so Riem itegrles tl es el cso de l fució de Dirichlet. L itegrl de Droux, l itegrl de Leesgue, l itegrl de Riem-Stieltjes y otrs más que se puede ver e rtículo sore itegrció so otrs forms de tcr el prolem de l itegrció, logrdo e lguos csos que fucioes que o so Riem itegrles se por ejemplo Leesgue itegrles. Históricmete, Riem cociió est teorí de itegrció, y proporcioó lgus ides pr el teorem fudmetl del cálculo diferecil e itegrl. L teorí de l itegrció de Leesgue llegó mucho más trde, cudo los putos déiles de l itegrl de Riem se compredí mejor. Iterpretció Geométric. E Aálisis rel, l itegrl de Riem es u form simple de defiir l itegrl de u fució sore u itervlo como el áre jo l curv de l fució. Se f u fució co vlores reles defiid sore el itervlo [, ], tl que pr todo x, f(x) (es decir, tl que f es positiv). Se S f ( x, y ) / y f(x) l regió del plo delimitd por l curv correspodiete l fució f, el eje de ls sciss y ls rects verticles de ecucioes x= y x=. Estmos iteresdos e medir el áre del domiio S, si es que se puede medir. Pr oteer u proximció l áre ecerrd dejo de u curv, se l puede dividir e rectágulos como idic l figur.

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. El áre de cd rectágulo, es el producto de l fució e u puto, por el cho del itervlo. Al umetr el úmero de rectágulos se otiee u mejor proximció.. CONCEPTOS TEÓRICOS SOBRE LA INTEGRAL DE RIEMANN CONTENIDO: Cosiderremos u fució rel y = f(x) positiv y cotd, defiid e el itervlo cerrdo [, ]. Se llm itegrl defiid de l fució f (x) etre y (los límites de itegrció), l áre de l porció de plo limitd por l gráfic de l fució, el eje X y ls rects prlels x = y x =. Comezremos co ls defiicioes de sum superior y sum iferior de Droux de u fució defiid e u itervlo [,], socids u prtició del mismo. Ests sums so proximcioes l áre que queremos clculr. Veremos lgus de sus propieddes, e prticulr ls referetes l relció etre ms sums y su comportmieto cudo se cosider prticioes cd vez más fis (que correspoderá proximcioes del áre cd vez mejores). Ests propieddes os grtiz l existeci del supremo de ls sums iferiores y del ífimo de ls sums superiores, siedo estos vlores ls itegrles iferior y superior, respectivmete, de Droux, e el itervlo [,]. Al ser f positiv e [,], estos vlores os proporcio estimcioes, por dejo y por rri del áre ecerrd por f e [,]. Se dirá que f es itegrle Droux e [,] si "ms proximcioes coicide". L itegrl de Riem se defie de form ligermete diferete, prtir de prticioes evluds. L itegrl de Riem y l de Droux so equivletes. Deido este hecho os referiremos como Itegrl de Riem tods ells. E este cso se defie l itegrl de f e el itervlo [,] como el vlor comú de ls itegrles iferior y superior. El criterio de itegrilidd de Riem os permite estudir l itegrilidd de u fució si ecesidd de clculr ls itegrles superior e iferior. Esto os permite hcer diferetes tipos de proximció de l itegrl.

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. Etre ls propieddes fudmetles de l itegrl está l lielidd, l mootoí y l ditividd respecto del itervlo. Prtició de u itervlo: U prtició P del itervlo cerrdo [, ] es u cojuto fiito de putos P = { x, x, x,..., x } tl que: = x < x < x <... < x - < x = L difereci máxim etre culesquier dos putos cosecutivos de l prtició, se llm orm de l prtició, y se deot por P, es decir: P = mx {x j - x j-, j =... } U refimieto de l prtició P es otr prtició P' que cotiee todos los putos de P y demás otros putos dicioles, tmié ordedos e orde de mgitud. Sum de Riem superior e iferior. Se P = { x, x, x,..., x } u prtició del itervlo cerrdo [, ] y f u fució cotd defiid e ese itervlo. Etoces: L sum superior de f respecto de l prtició P se defie sí: S(f, P) c ( xi xi dode c i es el supremo de f(x) e el itervlo x, x i- i i i ) L sum iferior de f respecto de l prtició P se defie sí: I(f, P) d ( x j x j dode d j es el ífimo de f(x) e el itervlo [x j-, x j ]. j j ) Vrició de ls sums de Riem Se P = { x, x, x,..., x } u prtició del itervlo cerrdo [, ] y f u fució cotd defiid e ese itervlo. Etoces: L sum iferior umet medid que se v tomdo refimietos de l prtició P, porque cd rectágulo se divide e otros de ltur igul o superior, y el áre siempre umet. Es decir: I (f,p) I (f,p ) pr todo refimieto P' de l prtició P. Gráficmete, se puede ver e color rj el áre que umet:

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. L sum superior dismiuye medid que se v tomdo refimietos de l prtició P, porque cd rectágulo se divide e otros de ltur igul o iferior, y el áre siempre dismiuye. Es decir: S(f, P') S(f, P) pr todo refimieto P' de l prtició P Gráficmete, se puede ver e color rj el áre que dismiuye. Itegrl de Riem superior e iferior. Fucioes Riem-Itegrles Se f u fució cotd defiid e u itervlo cerrdo [, ]. Se defie: L itegrl superior I * ( f ) = if { S(f, P) : P es prtició de [, ] } L itegrl iferior I * ( f ) = sup { I(f, P) : P es prtició de [, ] } Etoces si I * ( f ) = I * ( f ) l fució f es Riem-Itegrle y l itegrl de Riem de f sore el itervlo [, ] se deot por: f(x). Hy que destcr que ls sums superior e iferior depede de l prtició prticulr escogid, mietrs que ls itegrles superior e iferior so idepedietes de ls prticioes elegids. Si emrgo, est defiició es difícil pr ser plicd de form práctic, pues es ecesrio coocer el ífimo y el supremo sore culquier prtició. Crcterizció de ls fucioes Riem-Itegrles Supogmos que f es u fució cotd defiid e el itervlo cerrdo [, ]. Etoces f es itegrle Riem si y sólo si pr todo > existe l meos u prtició P tl que

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. S(f, P) - I(f, P) < dode S(f, P) es l sum superior de f respecto de l prtició P, e I(f, P) es l sum iferior de f respecto de l prtició P Sums de Riem: Si P = { x, x, x,..., x } es u prtició del itervlo cerrdo [, ] y f es u fució defiid e ese itervlo, etoces l Sum de Riem de f respecto de l prtició P se defie como: R( f,p ) i f ( t i )( xi xi ) dode t i es u úmero ritrrio e el itervlo [x i-, x i ]. l sum de Riem correspode geométricmete co l sum de ls áres de los rectágulos co se x j - x j- y ltur f(t j ). Tipos de proximció de l itegrl Por tto, surge l dud de qué puto t j tomr detro de cd suitervlo de l prtició pr evlur l fució e ese puto. E este setido hy vris posiiliddes pr elegir el puto t j e el suitervlo [x j-, x j ], y ls más utilizds so ésts: Puto izquierdo: se tom como vlor t j el límite iferior del suitervlo, es decir, x j-. Gráficmete: Puto derecho: se tom como vlor t j el límite superior del suitervlo, es decir, x j. Gráficmete:

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. Puto medio: se tom como vlor t j el puto medio etre los límites del suitervlo, es decir, (x j- + x j ) /. Gráficmete: Puto letorio: se tom como vlor t j u puto elegido letorimete etre todos los putos del suitervlo. Gráficmete: Puto ífimo: se tom como vlor t j quel puto del suitervlo tl que f(t j ) es el ífimo e ese suitervlo. Gráficmete: Puto supremo: se tom como vlor t j quel puto del suitervlo tl que f(t j ) es el supremo e ese suitervlo. Gráficmete: Los dos últimos tipos de proximció o so útiles e l práctic, pues pr plicrlos serí ecesrio clculr el ífimo o el supremo de f(t j ), teiedo que recorrer todo el suitervlo. Recordemos que: Si u fució es Riem-Itegrle, podemos proximr l itegrl por sums de Riem R(f,P) tomdo t j como quermos. Vemos esto: si l fució es Riem-Itegrle, culquier sum de Riem R(f,P) tiede l vlor de l itegrl, porque pr culquier puto t j teemos que d j I( f ( t ) c (siedo d j el ífimo y c j el supremo e ese suitervlo), luego j f,p ) R(f,P) S(f,P). j

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. Fucioes Riem-Itegrles Tod fució cotiu e u itervlo cerrdo y cotdo es Riem-Itegrle. Tod fució cotiu y cotd e u itervlo cerrdo y cotdo, excepto e u ctidd umerle de putos, es Riem-Itegrle. Recíprocmete, si u fució cotd defiid e u itervlo cerrdo y cotdo es Riem-Itegrle, etoces es cotiu e ese itervlo excepto como mucho e u ctidd umerle de putos. Tod fució moóto y cotd e u itervlo cerrdo y cotdo es Riem-Itegrle. Vemos u ejemplo de u fució Riem-Itegrle o cotiu. Defimos l fució: f ( x) E( x, ), x x, L represetció gráfic de est fució es: Est fució es Riem-Itegrle, porque se puede clculr ls áres de los rectágulos esclodos. Y si emrgo, o es cotiu e u ctidd umerle de putos, es decir, e siedo u úmero turl., Teorem Fudmetl del Cálculo Se f u fució itegrle defiid e el itervlo cerrdo y cotdo [, ], se defie u uev fució: F ( x) f (t ) dt Etoces F es cotiu e [, ]. Es más, si f es cotiu e u puto c del itervlo (,), etoces F es derivle e c y F' (c) = f(c)

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. Evlució de l itegrl: Regl de Brrow. Relcio el Cálculo Itegrl co el Cálculo Diferecil, vemos: Se f u fució Riem-Itegrle defiid e el itervlo cerrdo y cotdo [, ]. Y se F u primitiv de f e [, ], es decir, F' (x) = f (x) pr todo x perteeciete [, ]. Etoces: f ( x) F() F( ) Itegrl de Riem de fucioes o positivs. Hst hor se h lizdo l itegrl de fucioes positivs. Pr ls fucioes positivs, el vlor de l itegrl coicide co el áre que delimit co el eje X y ls rects x= y x=. estudiremos quí ls fucioes o positivs. Dd u fució rel o positiv defiid e el itervlo [,], se puede descompoer e dos f ( x) f fucioes y ( x) defiids sí: f ( x ) mxf(x), y f ( x) mx- f(x), Así, teemos que ms fucioes so positivs y f se puede defiir co e se ells de est mer: f ( x) f ( x ) f ( x) Así que el prolem se reduce clculr l itegrl de dos fucioes positivs. Teemos, por tto, que: f ( x ) f ( x ) f ( x) Propieddes de l itegrl de Riem Se f, g fucioes itegrles Riem defiids e el itervlo [, ]. Etoces se cumple ls siguietes propieddes:. Propieddes de lielidd: f ( x) f ( x) Si es u úmero rel, etoces c f(x) es itegrle e [, ], y se cumple: c f ( x ) c f ( x)

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. L fució (f + g) (x) es itegrle e [, ], y se cumple: f ( x) g( x ) f ( x ) g( x). Propiedd de ditividd respecto del itervlo: Si < c < etoces f ( x) f ( x) 3. Propieddes de mootoí: c c f ( x) Se cumple que f es itegrle y: f ( x) f ( x) Si g es otr fució defiid e [, ] tl que g( x) f ( x ) e [, ], etoces g(x) f ( x) Apliccioes: Se muestr cotiució lgus de ls pliccioes práctics de l itegrl de Riem: Cálculo de volúmees de revolució: Se f u fució rel cotiu e [, ], etoces el volume de revolució egedrdo l girr e toro l eje x, el recito limitdo por ls rects x=, x=, el eje x y l gráfic de f(x) viee ddo por: V f ( x) Cálculo de l logitud de u curv: Se f u fució rel cotiu e [,], tl que su derivd f tmié es cotiu e [,]; etoces l logitud de l gráfic de f etre x= y x= es: L f ( x) E coordeds prmétrics, u curv viee defiid por l expresió: x x(t) t, y y(t)

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. E este cso, l logitud de l curv viee dd por: L x (t ) y (t ) dt Cálculo del áre lterl de u superficie de revolució: Se f u fució rel cotiu e [,], tl que su derivd f tmié es cotiu e [,]; etoces el áre lterl de revolució egedrd por f(x) l girr e toro l eje X, etre ls rects x= y x=, es: S f(x) f (x) Ahor vemos lguos ejemplos pr ilustrr l teorí plted. Ejemplo. Dd l fució f(x) = x -3x ecotrr el áre e los itervlos:. 6 6 6 6 6 6 3 f(x) x 3x x -3x x -3 x ( x 3 3 x ) 6 ( 4454) 9 ud. ( x - 3x) = ( x 3 3 3-3x) x x 3 3 3 6 ud Ejemplo. y x x Clculr el Áre jo l siguiete práol e el itervlo. Etoces: 3 f ( x) x f ( x) F (x) x Por tto el áre A viee dd por: 3 A 3 x x ud 3. 3 De hí que el áre de l práol e el itervlo x es A ud 3 Ejemplo 3. Hllr el áre compredid etre l curv y x x, l rect y 4x 3, l y x rect y l rect. Solució: Cosiste e clculr el áre de itegrció, pr relizrlo se igul ls fucioes y se ecuetr l itersecció que teg ls dos gráfics. Esto es: y y

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. x x x 4x 3 esto implic que x x Al plicr l formul cudrátic teemos: y x, por tto e l itervlo de itegrció es x. Ahor deemos clculr el áre sí: 3 4x 3x -x x x 3x -( 3 x x x 3 ud Ejemplo 3. Demostrr que x Dm: como x lim i (x ) x i dode x, y x i i, oteemos: lim i i x i i x lim i i i i x que es equivlete x Not: () El cojuto de Ctor, llmdo por ser porte de George Ctor e 883, es u destcdo sucojuto frctl del itervlo rel [, ], que dmite dos defiicioes equivletes: l defiició uméric: es el cojuto de todos los putos del itervlo rel [,] que dmite u expresió e se 3 que o utilice el dígito. l defiició geométric, de crácter recursivo, que elimi e cd pso el segmeto ierto correspodiete l tercio cetrl de cd itervlo. Además de u curiosidd mtemátic, cotrdice u ituició reltiv l tmño de ojetos geométricos: es u cojuto de medid ul, pero o es vcío i umerle. Lo que Ctor o sí er que este cojuto y hí sido estudido e 875 por u mtemático duliés, Hery Joh Stephe Smith (86-883). Pero como Smith flleció y su descurimieto er prácticmete descoocido, fue Ctor el que quedo socido este cojuto Costrucció geométric: Se costruye de modo recursivo ddo los siguietes psos: El primer pso es tomr el itervlo [, ]. El segudo pso es quitrle su tercio iterior, es decir el itervlo ierto (/3; /3). El tercero es quitr los dos segmetos resttes sus respectivos tercios iteriores, es decir los itervlos iertos (/9; /9) y (7/9; 8/9). Los psos siguietes so idéticos: quitr el tercio de todos los itervlos que qued. El proceso o tiee fi. L figur muestr ls siete primers etps:

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. El cojuto de Ctor es el cojuto de los putos resttes: etre ellos, es clro que los extremos de cd suitervlo perteece y, /3 y /3, /9, /9, 7/9 y 8/9, /7..., hy u ifiidd de putos: los /3 está todos icluidos, co descriiedo los turles. Pero hy mucho más, por ejemplo /4 es u elemeto del cojuto de Ctor. Propieddes Medid: Si emrgo, el cojuto es pequeño cudo se cosider su logitud: el itervlo iicil [,] mide, y cd pso, se le quit u tercio, lo que hce que su logitud se multiplique por /3. L sucesió geométric u = (/3) tiede hci cero, Por lo tto el cojuto de Ctor es de medid ul. Esto implic, e prticulr, que el cojuto de Ctor o puede coteer igú itervlo de medid o ul. Crdilidd: Podemos demostrr el siguiete resultdo prdójico: el cojuto de Ctor está e iyecció co el segmeto [, ], es decir, tiee ttos elemetos como él. Pr demostrr eso, vmos costruir u fució supryectiv desde el cojuto de Ctor (llmémosle C) l cojuto de los reles [, ]. De est form, l Crdilidd de C h de ser o meor que l de [, ]. Por otr prte, como C es u sucojuto de [, ], C demás h de teer u crdilidd o myor. Por tto se cocluye que ls crdiliddes de C y [, ] h de ser igules. L fució supryectiv l costruiremos sí: Si se cosider l escritur e se tres de los úmeros, se ot que, l quitr siempre el segudo tercio de todos los segmetos, se suprime exctmete los úmeros que tiee u e su escritur triel: el itervlo (/3; /3) correspode los úmeros que empiez por, (meos el /3 que tmié se puede escriir,... e se tres); el itervlo (/9;/9) correspode los úmeros que empiez por,, el (7/9;8/9) por, y sí sucesivmete. L supryecció se costruye sí: cd úmero escrito co sólo ceros y dos se le hce correspoder el úmero e se dos oteido remplzdo todos sus dos por uos. Por ejemplo,, e se tres (que vle /3 + /8 = 56/8) tiee como imge, e se dos (que vle / + /6 = 9/6). Se otiee sí todos los úmeros e se dos que empiez por,... y que tiee ceros o/y uos después de l com: es el itervlo [,] etero! Propieddes topológics: El cojuto de Ctor es cerrdo e los reles, l ser el complemeto de l uió de iertos. Al ser tmié cotdo, por plicció del teorem de Heie-Borel, puede firmrse que es compcto. Se demuestr que es u cojuto deso e igu prte. Autosimilridd: El cojuto de Ctor puede cosiderrse tmié como el trctor socido l IFS (sistem de fucioes x iterds) formdo por ls pliccioes cotrctivs f( x ) 3, y f x ( x ) 3 3, ms defiids sore el compcto [,]. Oservmos que l imge del cojuto de Ctor por l homoteci de cetro y rzó /3 es u prte del propio cojuto de Ctor. Esto es u mifestció de utosimilridd, que es u de ls propieddes ásics de los frctles. Su dimesió de Husdorff es meor que uo, cocretmete Log()/Log(3)=.63. Geerlizcioes. E dimesió uo: E lugr de elimir e cd pso l tercer prte cetrl, podrímos plteros elimir culquier otro porcetje fijo (distito de % o de %) de l zo cetrl. Los cojutos resulttes sigue siedo homeomorfos l cojuto de Ctor. Si emrgo, mietrs l logitud del itervlo elimido se myor o igul l tercer prte, l medid de Leesgue del cojuto será cero; e otro cso, l medid será positiv (más específico, l medid de Leesgue es de -, dode es l rzó de logitudes etre el itervlo elimido e el primer pso y /3). Elimido porcetjes que dismiuy progresivmete e cd pso, podemos costruir cojutos tmié homeomorfos l cojuto de Ctor, pero co medid de Leesgue positiv. U ejemplo de dich costrucció es el cojuto de Smith- Volterr-Ctor. E otrs dimesioes: E culquier dimesió se defie el producto crtesio del cojuto de Ctor por sí mismo, que recie el omre de polvo de Ctor. Además, e dimesió se defie l lfomr de Sierpiski, y e dimesió 3 l espoj de Meger. Adjutos e ls siguietes imágees: Polvo de Ctor e 3 D. Alfomr de Sierpiski. Espoj de Meger.

Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. Elces exteros Itegrl de Riem (Deprtmeto de Mtemátic Aplicd. Fcultd de Iformátic de l Uiversidd Politécic de Mdrid) Itegrl defiid (Muel Sd Allo): Ejemplo Ejemplo Biliogrfi. APOSTOL, Tom M. Aálisis Mtemático (Mthemticl Alysis), trd., ed. Reverté S. A. 976. APOSTOL, Tom M. Cálculus Volume y (Clculus), trd., ed. Reverté S.A. 984. BARTLE, Roert G. Itroducció l Aálisis Mtemático (The Elemets of Rel Alysis), trd., ed. Limus S.A. 98. BARTLE et l. Itroducció l Aálisis Mtemático de u Vrile (Itroductio to Rel Alysis), trd., ed. Limus S.A. 9. Georg Ctor, O the Power of Perfect Sets of Poits (De l puissce des esemles prfit de poits), Act Mthemtic 4 (884) 38--39. Eglish trsltio reprited i Clssics o Frctls, ed. Gerld A. Edgr, Addiso-Wesley (993) ISBN --587-7 Glvíz Css, José (.996). «El cojuto de Ctor» (pdf). Miscele Mtemátic (México) 4: pp. 3-37. ISSN 665-5478. http://www.miscelemtemtic.org/misc4/glviz.pdf. Cosultdo el 5/5/.. GRIBBIN, Joh. Asi de Simple. El cos, l complejidd y l prició de l vid. MAdrid, Critic. ISBN: 84-843-76-7 KURTZ et l.theories of Itegrtio The Itegrls of Riem, Leesgue, Hestock-Kurzweil d McShe, ed. World Scietific Pulishig Co. Pte. Ltd. 4. L. A. Stee, J. A. Seech. Couterexmples i topology. Courier Dover Pulictios, 995. ISBN -486-68735-X M. Brsley. Frctls everywhere.acdemic Press Ic, 988. ISBN --796-9. SPIVAK, Michel. Cálculo Ifiitesiml (Clculus), trd., ed. Reverté S.A. 99.