. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los ángulos y. El ángulo qued determindo l girr l semirret r, que se denomin semirret origen, hst l semirret s, que se denomin semirret etremo... Criterios de orientión de ángulo Se onsider que un ángulo está orientdo en sentido positivo undo el giro desde l semirret origen l semirret etremo se reliz en sentido ontrrio ls gujs del reloj. En so ontrrio, se onsider que el ángulo está orientdo en sentido negtivo... Sistem de medid de ángulos Sistem segesiml En el sistem segesiml se estlee que un ángulo ompleto mide 60 grdos segesimles (60º). Por tnto, un grdo segesiml (º) result de dividir un ángulo ompleto en 60 prtes igules. Un grdo segesiml se divide en 60 minutos (60 ) y d minuto en 60 segundos (60 ) º = 60 = 60 Se dedue fáilmente que un ángulo reto mide 90º y uno llno 80º Medid en rdines El rdián es el vlor del ángulo entrl que r un longitud de ro igul l rdio 5 rdián, rdines 0,5 rdines 4 4
Oservndo los ejemplos nteriores se puede generlizr: Ángulo (en rdines) Longitud de rdio ro r Por tnto, ángulo ompleto rd 60º rd r Luego un ángulo llno mide rd (80º rd) y un ángulo reto rd 90º rd.4. Reduión de ángulos l primer giro Pr representr geométrimente un ángulo se sitú sore unos ejes rtesinos y se tom omo semirret origen el semieje positivo de siss. Primer udrnte Segundo udrnte Terer udrnte Curto udrnte Pr representr geométrimente un ángulo myor de 60º se le restn tnts vuelts omplets omo se posile, soiándole de este modo un ángulo omprendido entre 0º y 60º. Ejemplo: Clulr l reduión l primer giro de un ángulo de 940º 940º 40º 60º 5 940º 560º 40º Este resultdo indi que 940º tiene 5 vuelts omplets más 40º, es deir, el ángulo equivlente en el primer giro 940º es 40º
. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Ddo un ángulo gudo ulquier, se puede onstruir sore él un triángulo retángulo en el que diho ángulo se uno de sus ángulos gudos. A prtir de l onstruión de l figur nterior se estleen ls siguientes definiiones: Seno del ángulo α longitud del teto opuesto sen longitud de l hipotenus Coseno del ángulo α longitud del os longitud teto ontiguo de l hipotenus Tngente del ángulo α longitud del teto opuesto tg longitud del teto ontiguo Ls definiiones nteriores no dependen de l dimensión del triángulo retángulo que se onstruy sore el ángulo y que todos los posiles triángulos retángulos sí onstruidos serán semejntes (son retángulos y tienen un ángulo gudo igul ). Por tnto, el vlor que result de dihs definiiones será siempre el mismo. L rzón invers del seno de se llm osente de α, l invers del oseno de se llm sente de α y l invers de l tngente de se llm otngente de α. Cosente del ángulo α Sente del ángulo α Cotngente del ángulo α ose sen se os otg tg.. Propieddes ) 0 sen y 0 os pr ulquier ángulo gudo Est propiedd es onseueni del heho de que, en todo triángulo retángulo, los tetos son menores que l hipotenus. ) Pr ulquier ángulo gudo se umple: sen os (Identidd fundmentl de l Trigonometrí)
Demostrión sen os definiión Teorem rzones trigonom. Pitágors ) sen tg y os os otg pr ulquier ángulo gudo sen Est propiedd se dedue de ls definiiones de sen, os, tg y otg 4) tg se pr ulquier ángulo gudo Demostrión Dividiendo en l identidd fundmentl por sen os os os os tg se os se tiene: 5) otg ose pr ulquier ángulo gudo Demostrión Dividiendo en l identidd fundmentl por sen os sen sen sen otg ose sen se tiene:.. Rzones trigonométris de los ángulos de 0º, 45º y 60º Pr deduir ls rzones trigonométris de 45º onstruimos un udrdo de ldo y trzmos un de sus digonles. L digonl divide l udrdo en dos triángulos retángulos mos isóseles, es deir, triángulos retángulos donde los dos ángulos gudos son de 45º. Por el Teorem de Pitágors digonl Por ls definiiones de ls rzones trigonométris de un ángulo gudo se otiene: sen45º ose 45º sen 45º
os45º se 45º os 45º tg45º otg 45º tg45º Pr deduir ls rzones trigonométris de 0º y 60º se onstruye un triángulo equilátero de ldo y trzmos l ltur por uno de sus vérties; ést divide l triángulo equilátero en dos triángulos retángulos igules de ángulos gudos 60º y 0º. Usndo el teorem de Pitágors en uno de estos dos triángulos retángulos tenemos: ltur 4 4 Por ls definiiones de ls rzones trigonométris de un ángulo gudo se otiene: sen0º ose 0º sen 0º os 0º se 0º os 0º tg0º otg 0º tg0º sen 60º ose 60º sen 60º os 60º se 60º os 0º tg60º otg 60º tg60º
0º rd 45º rd 60º rd 6 4 sen os tg ose se otg. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En un sistem de ejes rtesinos se onsider un irunfereni on entro en el origen de oordends. A d punto P de l irunfereni se le sign un ángulo orientdo del siguiente modo: es el ángulo determindo por el semieje positivo de siss y l semirret determind por el punto P y el origen de oordends O. A d ángulo le orresponde, en dih irunfereni, un solo punto P. Pr simplifir los álulos se tom un irunfereni de rdio unidd que se denomin irunfereni goniométri. Al punto P y l vlor de ls oordends les signmos: P ángulo (, y) (os,sen )
os sen y Est form de signión es totlmente onordnte on ls definiiones dds pr ls rzones trigonométris de un ángulo gudo. Ddo que el rdio es result: y sen y os 0º 90º 80º 70º 60º sen 0 0 0 os 0 0 tg 0 No eiste 0 No eiste 0.. Signo de ls rzones trigonométris L interseión de l irunfereni on los ejes de oordends determin utro udrntes. El signo de ls oordends de los puntos de d udrnte orresponde l signo de ls rzones trigonométris de los ángulos que estos puntos determinn. P(, y) os sen y sen os tg
.. Propieddes de ls rzones trigonométris ) sen y os pr ulquier ángulo En prtiulr, si es un ángulo gudo 0 sen 0 os ) sen os pr ulquier ángulo ) (Identidd fundmentl de l Trigonometrí) sen tg y os os otg pr ulquier ángulo sen 4) tg se pr ulquier ángulo 5) otg ose pr ulquier ángulo 6) sen ose sen ose ose sen Est propiedd nos permite hllr el oseno de un ángulo prtir del seno y vievers Con ests identiddes si onoemos dos de ls rzones trigonométris que preen en ells podemos hllr l terer Est propiedd nos permite hllr l tngente de un ángulo prtir de l sente y vievers Est propiedd nos permite hllr l otngente de un ángulo prtir de l osente y vievers L osente es l invers del seno y vievers 7) os se os se se os L sente es l invers del oseno y vievers 8) tg otg tg otg otg tg L otngente es l invers de l tngente y vievers
4. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE DIFERENTES CUADRANTES Primer udrnte ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS sen (90º ) os ose (90º ) se os (90º ) sen se (90º ) ose tg(90º ) otg otg (90º ) tg Segundo udrnte ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS sen (80º ) sen ose (80º ) ose os (80º ) os se (80º ) se tg(80º ) tg otg (80º ) otg ÁNGULOS QUE DIFIEREN 90º sen (90º ) os ose (90º ) se os (90º ) sen se (90º ) ose tg(90º ) otg otg (90º ) tg Terer udrnte ÁNGULOS QUE DIFIEREN 80º sen (80º ) sen ose (80º ) ose os (80º ) os se (80º ) se tg(80º ) tg otg (80º ) otg
ÁNGULOS QUE SUMAN 70º sen (70º ) os ose (70º ) se os (70º ) sen se (70º ) ose tg(70º ) otg otg (70º ) tg Curto udrnte ÁNGULOS QUE SUMAN UN ÁNGULO COMPLETO O QUE SON OPUESTOS sen (60º ) sen ( ) sen ose (60º ) ose ( ) ose os (60º ) os ( ) os se (60º ) se ( ) se tg(60º ) tg( ) tg otg (60º ) otg( ) otg ÁNGULOS QUE DIFIEREN 70º sen (70º ) os ose (70º ) se os (70º ) sen se (70º ) ose tg(70º ) otg otg (70º ) tg
5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo retángulo es hllr todos sus elementos desonoidos. En un triángulo hy que determinr 6 elementos: sus tres ángulos y sus tres ldos. Pr resolver un triángulo retángulo se puede utilizr: L propiedd que indi que l sum de los tres ángulos de un triángulo es 80º El teorem de Pitágors Ls definiiones de ls rzones trigonométris 6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Teorem de los senos Los ldos de un triángulo son proporionles los senos de los ángulos opuestos. A sen  sen Bˆ sen Ĉ C B Teorem del oseno En todo triángulo el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el dole del produto de estos ldos por el oseno del ángulo omprendido entre ellos. A os  os Bˆ os Ĉ C B