Métodos Estadístcos de la Ingenería Tema 3: Meddas Estadístcas Grupo B Área de Estadístca e Investgacón Operatva Lceso J. Rodríguez-Aragón Enero 2010 Contendos............................................................... 2 Meddas de Poscón 3 Introduccón........................................................... 4 Meda Artmétca, Arthmetc Mean.......................................... 5 Meda Artmétca con R................................................... 6 Meda Ponderada, Weghted Mean........................................... 7 Meda Geométrca, Geometrc Mean.......................................... 8 Meda Armónca, Harmonc Mean............................................ 9 Medana, Medan....................................................... 10 Moda, Mode.......................................................... 11 Cuartles, Quartle...................................................... 12 Percentles, Percentle................................................... 13 Observacones......................................................... 14 Meddas de Poscón con R................................................ 15 Meddas de Dspersón 16 Introduccón.......................................................... 17 Recorrdo............................................................ 18 Momentos............................................................ 19 Momentos con R....................................................... 20 Varanza y Desvacón Típca.............................................. 21 Varanza con R........................................................ 22 Coefcente de Varacón, Varaton Coeffcent.................................. 23 Meddas de Forma 24 Asmetría, Skewness..................................................... 25 Curtoss, Kurtoss...................................................... 26 Asmetría y Curtoss con R................................................ 27 Hstograma de Ingresos.................................................. 28 Hstograma de Ingresos.................................................. 29 1
Contendos Meddas de Poscón Medas, Medana, Moda, Cuartles y Percentles. Mean, Medan, Mode, Quartle and Percentle. Meddas de Dspersón, Devaton. Absoluta y Relatva. Meddas de Forma, Shape. Asmetría y Curtoss. Skewness and Kurtoss. Las Meddas Estadístcas tenen como objetvo susttur toda la nformacón, por unos pocos valores que la caractercen. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 2 / 29 Meddas de Poscón 3 / 29 Introduccón Las Meddas de Poscón tenen por objetvo proporconar valores en torno al los cuales se encuentran las observacones. Algunas de ellas se denomnan Meddas de Tendenca Central, porque suelen stuarse en torno al centro de los datos. Meda: Artmétca (Arthmetc), Ponderada (Weghted), Geométrca (Geometrc), Armónca (Harmonc). Medana (Medan). Moda (Mode). Cuartles y Percentles (Quartle and Percentle). Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 4 / 29 2
Meda Artmétca, Arthmetc Mean Se defne como la suma de los datos dvdda por el número de ellos. x = n x n = 1 n n x = f x La meda es muy sensble a los valores extremos. Es la medda más utlzada, muchos procedmentos estadístcos se basan en ella. La Meda Artmétca representa el centro de gravedad del hstograma. Arthmetc Mean: The quantty commonly referred to as the mean of a set of values s the arthmetc mean, also called the average. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 5 / 29 Meda Artmétca con R > lbrary(usngr) > ngresos<-cfb$income[1:15] > mean(ngresos) > hst(ngresos,breaks=seq(0,100000,by=10000),freq=false, + man="hstograma de Ingresos",ylab="Densdad de Frecuenca") > ponts(mean(ngresos),-0.0000005,pch=24,cex=2.8) Hstograma de Ingresos Densdad de Frecuenca 0.0e+00 1.0e 05 2.0e 05 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 ngresos Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 6 / 29 3
Meda Ponderada, Weghted Mean La meda ponderada se utlza en los casos en los que no todas las observacones tenen la msma mportanca. Para tener en cuenta la mportanca se asgna a cada observacón un peso, w. x w = n w x n w The Weghted Mean s smlar to an Arthmetc Mean (the most common type of average), where nstead of each of the data ponts contrbutng equally to the fnal average, some data ponts contrbute more than others. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 7 / 29 Meda Geométrca, Geometrc Mean Cuando trabajamos con valores observados postvos: x G = n n Tene una aplcacón menos frecuente que la Meda Artmétca, pero mportante: Año Captal Tasa de Factor de Captal Incal Crecmento Expansón Fnal 1 10000 0.05 1.05 10500 2 10500 0.20 1.20 12600 3 12600 0.50 1.50 18900 Factor de Expansón = 1,25 Factor de Expansón G = 1,2364 x Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 8 / 29 4
Meda Armónca, Harmonc Mean Se defne: x A = 1 1 n m Se toman los nversos de los datos, se promedan y por últmo se toma el nverso de ese promedo. S un coche recorre una dstanca d a 100km/h y deshace el camno a una velocdad de 120km/h, la velocdad meda a la que ha realzado el vaje es: n x 1 velocdad A = 1 2 ( 1 100 + 1 120 ) = 109.1km/h velocdad meda = Dstanca Recorrda Tempo Empleado = 2d d 100 + d 120 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 9 / 29 5
Medana, Medan Es el valor de la varable estadístca que deja gual número de observacones a su derecha que a su zquerda. Ordenando los datos de menor a mayor, la medana será el dato central o el promedo de los centrales (tamaño par). The statstcal medan s an order statstc that gves the mddle value of a sample. More specfcally, t s the value such that an equal number of samples are less than and greater than the value (for an odd sample sze), or the average of the two central values (for an even sample sze). 1,1,1,2,2,2,3,3,4,5,5,6, 6, 6, 8 Frecuenca Acumulada 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/2 0 2 4 6 8 1,1,2,2,2,3,3,4,5,5,6,6, 6, 8 Frecuenca Acumulada 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/2 0 2 4 6 8 En el caso de datos agrupados, lo más adecuado es hablar del ntervalo medano. Gráfcamente la medana se obtendría: Frecuenca Acumulada 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F +1 F 1/2 b Me b +1 0 2 4 6 8 10 Medante semejanza de trángulos: Me = b + 1/2 F F +1 F (b +1 b ). Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 10 / 29 6
Moda, Mode Es el valor de la varable estadístca que se presenta con mayor frecuenca. No tene por qué ser únca y puede no poderse calcular. The most common value obtaned n a set of observatons. Ejemplo: Ejemplo: 1,1,2,2,2,2,3,3,4,5,5,6, 6, 6, 8 Moda = 2 1,1,2,2,2,3,3,4,5,5,6,6, 6, 8 Moda = 2 y 6 En el caso de datos agrupados, se suele hablar de ntervalo modal, aquél de mayor frecuenca. Hstograma de Ingresos Densdad de Frecuenca 0.0e+00 5.0e 06 1.0e 05 1.5e 05 Md 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Ingresos Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 11 / 29 7
Cuartles, Quartle Q k para k = 1,2,3, se defne Cuartl k ésmo como el valor de la varable que deja nferores o guales a él las k/4 partes de las observacones. Q 2 = Me Ejemplo: n = 16 1,1,2,2,2,3,3,4,4,5,5,5,6,6,6,8 Q 1 deja nferores o guales a él, 1/4 de las observacones, 4. Q 2 deja nferores o guales a él, 1/2 de las observacones, 8. Q 3 deja nferores o guales a él, 3/4 de las observacones,12. One of the four dvsons of observatons whch have been grouped nto four equal-szed sets based on ther statstcal rank. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 12 / 29 8
Percentles, Percentle El k ésmo Percentl P k, se defne como el valor de la varable estadístca que deja nferores o guales a él las k/100 observacones. P 25 = Q 1, P 50 = Q 2 = Me, P 75 = Q 3. Para datos agrupados el cálculo es análogo al de la medana: P k = b + k/100 F nk 100 (b +1 b ) = b + N (b +1 b ). F +1 F N +1 N Sendo (b,b +1 ) el ntervalo de clase que contene P k. The kth percentle s that value of X, say x k, whch corresponds to a cumulatve frequency of nk 100, where n s the sample sze. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 13 / 29 Observacones La Medana es un estadístco basado en propedades ordnales. Valor de la varable que ocupa el orden (n + 1)/2. La Medana dvde al hstograma en dos partes de áreas guales. La Moda es el valor con mayor frecuenca de aparcón. La Moda corresponde a la mayor altura del hstograma. Cuando trabajemos con dstrbucones con valores atípcos o asmétrcas, trabajaremos con la Medana en lugar de con la Meda. Los valores extremos nfluyen gravemente en la Meda. S la dstrbucón es smétrca y unmodal, los tres puntos concden, Meda, Medana y Moda. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 14 / 29 9
Meddas de Poscón con R > lbrary(usngr) > ngresos<-cfb$income[1:15] > summary(ngresos) Mn. 1st Qu. Medan Mean 3rd Qu. Max. 7195 14900 35980 35130 47800 78120 > quantle(ngresos,c(0.1,0.25,0.5,0.6,0.75,0.90)) 10% 25% 50% 60% 75% 90% 10854.74 14904.70 35976.87 37210.37 47797.85 64758.37 > X<-c(1,1,2,2,2,3,3,4,5,5,6,6,6,8) > summary(x) Mn. 1st Qu. Medan Mean 3rd Qu. Max. 1.000 2.000 3.500 3.857 5.750 8.000 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 15 / 29 Meddas de Dspersón 16 / 29 Introduccón Las Meddas de Dspersón tenen como objetvo cuantfcar la varabldad de los datos. Recorrdo, Recorrdo Intercuartílco, Recorrdo Semntercuartlco. Range, Interquartle Range, Quartle Devaton. Varanza, Desvacón Típca, Cuasvaranza. Varance, Standar Devaton, Quasvarance. Coefcente de Varacón. Varaton Coeffcent. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 17 / 29 10
Recorrdo Recorrdo: es la dferenca entre el máxmo y el mínmo de los valores de la varable aleatora. R = máx(x) mín(x). Recorrdo Intercuartílco: Longtud de un ntervalo central que contene el 50% de las observacones. Anchura de la caja en un dagrama Box Plot. R I = Q 3 Q 1. Recorrdo Semntercuartílco: Corresponde con la mtad del anteror. R SI = R I /2. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 18 / 29 Momentos Defnremos la expresón general de un Momento respecto del punto v y de orden r: M r (v) = 1 n n (x v) r Momentos Respecto al Orgen, Raw Moment, v = 0: a r = 1 n n x r Casos partculares: a 1 = 1 n n x = x Meda Muestral. a 2 = 1 n x 2 = x n 2 Meda Muestral de Cuadrados. Momentos Centrales, Central Moment,v = x: m r = 1 n n (x x) r Casos partculares: m 1 = 1 n n (x x) = 0 m 2 = 1 n (x x) 2 = s 2 Varanza. n Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 19 / 29 11
Momentos con R > lbrary(usngr) > ngresos<-cfb$income[1:15] > sum(ngresos)/length(ngresos) [1] 35127.13 > mean(ngresos) [1] 35127.13 > lbrary(e1071) > moment(ngresos,order=1,center=false) [1] 35127.13 > moment(ngresos,order=1,center=true) [1] 3.395447e-12 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 20 / 29 Varanza y Desvacón Típca La Varanza, Varance, es una de las meddas de dspersón más usadas. s 2 = 1 n n (x x) 2 = x 2 x 2 = a 2 a 2 1. El problema es que sus undades son el cuadrado de las undades de los datos. Por eso habtualmente se trabaja con su raíz cuadrada, la Desvacón Típca, Standar Devaton: s = s 2. En estadístca se usa con frecuenca la Cuasvaranza muestral, Quasvarance: s 2 c = 1 n 1 n (x x) 2 = n n 1 s2. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 21 / 29 12
Varanza con R > lbrary(usngr,e1071) > ngresos<-cfb$income[1:15] > sum((ngresos-mean(ngresos))^2)/length(ngresos) [1] 456585857 > moment(ngresos,order=2,center=true) [1] 456585857 > var(ngresos) [1] 489199132 > var(ngresos)*(length(ngresos)-1)/length(ngresos) [1] 456585857 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 22 / 29 Coefcente de Varacón, Varaton Coeffcent Las meddas de dspersón que hemos vsto hasta ahora dependen de las undades de medda de la varable. Para comparar la varabldad de grupos o de valores de una msma varable en conjuntos dferentes se utlzan meddas de dspersón relatvas. Coefcente de Varacón: CV = s x. Es una cantdad admensonal que mde la dspersón respecto a la meda. Tambén se denomna Varabldad Relatva y puede expresarse en porcentaje. Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 23 / 29 13
Meddas de Forma 24 / 29 Asmetría, Skewness Defnremos Asmetría Postva cuando Md Me x. Esto queda reflejado en el dagrama de barras o en un hstograma presentando la dstrbucón de los datos una cola a la derecha. Defnremos Asmetría Negatva cuando x Me Md. Esto queda reflejado en el dagrama de barras o en un hstograma presentando la dstrbucón de los datos una cola a la zquerda. El coefcente de Asmetría (de Fsher) se defne: g 1 = m 1 m 3 s 3 = n n (x x) 3 s 3. Asmetría Postva Asmetría Negatva g 1 =1.85 g 1= 1.66 Smétrca g 1 = 0.028 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 25 / 29 14
Curtoss, Kurtoss Tomando como orgen de coordenadas la meda x, y como undad de medda la desvacón típca, aparecen dferentes tpos de dstrbucones de frecuencas de los datos. Defnendo el coefcente muestral de exceso: Platcúrtca g 2 < 0. g 2 = m 4 s 4 3 = 1 n m n (x x) 4 s 4 3. Mesocúrtca g 2 = 0. Leptocúrtca g 2 > 0. Platcurtca Leptocurtca 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 g 2 = 1.06 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 g 2 =2.32 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 Mesocurtca 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 g 2 =0.056 10 5 0 5 10 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 26 / 29 15
Asmetría y Curtoss con R > lbrary(usngr,e1071) > ngresos<-cfb$income > moment(ngresos,order=3,center=true)/moment(ngresos, + order=2,center=true)^(3/2) [1] 8.083549 > skewness(ngresos,type=1) [1] 8.083549 > help(skewness) > kurtoss(ngresos,type=1) [1] 82.83009 Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 27 / 29 Hstograma de Ingresos Hstograma de Ingresos Densdad de Frecuenca 0.0e+00 4.0e 06 8.0e 06 1.2e 05 0 500000 1000000 1500000 ngresos Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 28 / 29 16
Hstograma de Ingresos > lbrary(usngr) > edad<-cfb$age > skewness(edad) [1] 0.3639585 > kurtoss(edad) [1] -0.6366239 Hstograma de Edades Densdad de Frecuenca 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0 20 40 60 80 100 edad Lceso J. Rodríguez-Aragón Tema 3, M.E.I. 29 / 29 17