Introduccón a la Econometría VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS RESUELTOS: 9 ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN APLICADO A LA ECONOMÍA MEXICANA, CON MÉTODOS COMPLEMENTARIOS Y/O DIFERENTES 9 VII. Ejemplos Referdos a la Regresón Smple Suponga que el consumo (Y) y el ngreso (X) para los últmos 4 años (en mllones de pesos) son los sguentes: Año (Y ) (X ) y x x y x 3 5 - - 4 4 4 6 - - 3 5 8 0 + 0 4 8 9 +3 + 6 4 n4 0 8 0 0 0 Y 0/45 X 8/47 Se desea probar la hpótess de que el consumo en Méxco depende de las varacones que expermenta el ngreso, los pasos son los sguentes:. Se establece la relacón económca entre ambas varables a través de la ecuacón de regresón: y$ a$ + b$ X + e Donde: $y es el consumo estmado en la muestra del consumo real $a, b $ son los estmadores de los parámetros reales: a y b e y - $y resduo o dferenca Para encontrar los valores de $a y $ b se usan las ecuacones normales sguentes: Cuya solucón nos permte obtener: Y na$ + b$ X XY a$ X + b$ X X Y X nx ( X ) XY a ˆ a$ Y bx $ 6
Introduccón a la Econometría y b ˆ n n XY X X ( X ) Y Observacones: A menudo para smplfcar operacones se desvían los valores de x e y con respecto a X e Y para obtener $ b ; y las lterales x e y se usan para: Por lo tanto, el cálculo de los estmadores es: x X X e y Y Y $ xy b. x 0 a$ Y bx $ 5 (.) 7 7. Así, la ecuacón de regresón estmada es: y$ 7. +. X Obsérvese que $ b tene sgno postvo, lo cual es bueno por que corrobora la teoría económca de que a medda que aumenta el ngreso (X) tambén aumenta el consumo (Y).. Una vez obtendos los parámetros $a y $ b, se prueba su sgnfcacón estadístca, es decr, se verfca s hay o no relacón entre el ngreso (X) y el consumo (Y). Para ello se requeren las varanzas de los dos: Var.a$ σ u n Var. b $ σ u X x x Como generalmente se desconoce σ u nsesgado de σ u, cuya formula es: donde σ u es la varanza resdual, la varanza resdual, se estma con S que es un estmador e S $σ u n k n número de observacones k número de parámetros estmados 63
Introduccón a la Econometría Así, los estmadores nsesgados de las varanzas de $a y $ b son: S S a$ b$ e X n k n x e n k x Dervado de lo anteror podemos decr en general que S aˆ y Sb ˆ son los errores estándar de los estmadores. Como U tene dstrbucón normal, Y, $a, b $ tambén se dstrbuyen normalmente, y como la muestra n 4 es decr, menor que 30, usamos t con n - k grados de lbertad para probar la hpótess y construr ntervalos de confanza para $a y $ b. Para ello, a partr de los datos de la tabla anteror, se requere hacer adconalmente los sguentes cálculos. Año $y e Y y $ e.8 +0. 0.04 5 4 4 3.9 +0. 0.0 36 3 6. -.. 64 0 4 7. +0.8 0.64 8 4 9 n 4 0 0.9 06 0 4 Puesto que: X yˆ ˆ aˆ + bx. susttumos yˆ.7 +.(5).8 yˆ.7 +.(6) 3.9 yˆ 3.7 +.(8) 6. yˆ.7 +.(9) 7. 4 x y 64
Introduccón a la Econometría Gráfcamente: y Consumo 8 7 6 5 4 3 0 - - -3 0 4 6 8 0 Ingreso yˆ.7 +. X x con estos datos ahora calculamos Calculamos: S S S S aˆ aˆ bˆ bˆ e n k n.8 e ( n k) 0.308 X x x.9 (4 ) 06 4(0) 39.4 4.895 80.9.9 0.0950 (4 )(0) 0 Así, las hpótess nulas ( Ho) y alternatvas ( Ha) se plantean de la sguente manera: H o : a 0 H o : b 0 H a : a 0 H a : b 0 aˆ a.7 0 bˆ b. 0 t a.07 t b 3. 569 S.8 S 0.308 aˆ bˆ 65
Introduccón a la Econometría Como se recordará, en el análss de regresón se espera rechazar H o y aceptar H a, es decr que a y b sean dferentes de cero y por consguente, decr que hay relacón de Y con X. Ahora ben, puesto que t α con un nvel de sgnfcacón del 0% y grados de lbertad, es gual a +.90 en tablas (Apéndce + IV) decmos que t.90 < t b 3.569; Luego b es sgnfcatvo, de tal manera que aceptamos H a. Conclumos señalando que s hay relacón lneal entre X e Y. Tambén decmos que $a no es sgnfcatvo lo cual, sn embargo, no preocupa por que no se usa para estos fnes. Gráfcamente: H 0 :b0 H a b 0 Aceptamos H a Aceptamos H a Rechazamos -.90 b +.90 t α Como tα < tb ˆ rechazamos H 0. Al usar E-vews, la últma columna del cuadro que aparece en la pantalla del montor ndca la probabldad de cometer error I: rechazar H 0 cuando es certa, con α5%, al cual le corresponde una probabldad de 0.000, lo cual ndca que b es sgnfcatva estadístcamente, es dstnta de cero; en ese caso, se verá en las sesones de computacón, aceptamos H a. Con base en lo anteror: Se corrobora la teoría económca de que el ngreso determna el consumo. Pero En que magntud, que porcentaje de los cambos en Y son explcados por los cambos en la varable X? La respuesta se obtene calculando R que es gual al coefcente de determnacón cuya formula es: R y$ y e y Donde: y ( Y Y ) e.9 En nuestro ejemplo: R 0.357 0.864 86.4% y 4 66
Introduccón a la Econometría En este sentdo el coefcente de correlacón r R. 864 0. 996 o 9.96% ndca que exste una alta correlacón de carácter postvo entre X e Y; el cual es postvo por que b $ es postvo. Estos ndcadores se nterpretan así: El estmador $a -.7 es la ordenada al orgen Y, o el valor del consumo total cuando el ngreso dsponble es cero. El estmador $ dy b. es la pendente de la línea de regresón estmada que mde la dx proporcón margnal al consumo PMC o el cambo en el consumo que produce el cambo en una undad adconal en el ngreso dsponble. Dervado de bˆ se puede obtener la elastcdad ngreso del consumo E que mde el cambo porcentual en el consumo como resultado de un cambo porcentual en el ngreso dsponble y cuya formula es: ˆ X 5 E b. 0.7857 Y 7 Tambén se puede construr el ntervalo de confanza para $a y $ b.; en la practca se determna sólo para la pendente, es decr, para $ b con la formula: b b$ ± tα S b $ donde: b parámetro de la poblacón. Con dos grados de lbertad y con: 5% tenemos ξ nvel de confanza 95% se busca el valor de t en el apéndce IV y se halla que t ± 4.303 Luego el ntervalo de confanza al 95% para b esta dado por: b bˆ ± t S α bˆ.± (4.303)(0.308).±.36 De tal manera que b se halla entre -0.6 y.46 por lo que -.0.6< b<.46 con una confanza o segurdad del 95% y una probabldad de 5% de que no esté en dcho ntervalo. Recuérdese que las ecuacones para las relacones verdaderas (en la poblacón) y estmadas (con la muestra) entre X e Y son respectvamente: Y a + + µ bx y 67
Introduccón a la Econometría y$ a$ + bx $ + e Las ecuacones para las regresones verdadera (poblacón) y la estmada (con la muestra) entre X e Y son respectvamente: E ( Y ) a + bx y y$ a$ + bx $ Se acostumbra presentar en forma resumda los resultados de la sguente manera: y$ 7. +. R 0.864 r 0.996 X VII. Ejemplos Referdos a la Regresón y Correlacón Múltples Supóngase ahora que el Consumo (Y) depende del ngreso y de la nversón (Z), tal que: Y$ f ( X, Z) Cuya ecuacón de regresón es Y $ a + bx + cz Para encontrar los valores de a, b y c se necestan las sguentes ecuacones normales: y$ na$ + b$ x + c$ z $ $ $ yx a x + b x + c$ xz yz $ a$ z + b$ xz + c$ z Resolvendo este sstema de ecuacones smultáneas, tenemos: 68
Introduccón a la Econometría $ ( xy )( z ) ( zy )( xz ) b ( x )( z ) ( xz ) c$ ( zy )( x ) ( xy)( xz ) ( x )( z ) ( xz ) a$ Y bx $ cz $ Aquí $a tambén es la ordenada al orgen; b $ y $c se denomnan coefcentes de regresón parcales por que b $, por ejemplo, mde el cambo en Y por varacones untaras en X (el ngreso), mentras se mantene constante la nversón (Z ); gualmente, $c mde los cambos en Y como resultado de cambos untaros en la nversón (Z ), mentras el ngreso (X ) se mantene constante. Así, tomando como referenca los datos anterores para Y, X, les agregamos los de Z y tenemos. Año Y X Z y x z x y z y x z x z 3 5 - - - 4 4 4 6 - - 0 0 0 0 3 5 8 3 0 + + 0 0 4 8 9 +3 + 0 6 0 0 4 0 n4 0 8 8 0 0 0 3 0 Y 5; X 7; Z y Y Y; x X X; z Z Z Susttuyendo: ˆ ()() ()(3) + 6 6 b.4545 (0)() (3) 0 9 ()(0) ()(3) 0 33 3 cˆ.88 (0)() (3) 0 9 aˆ (5) (.4545)(7) [.88() ] 5 0.85 +.3636. 88 La ecuacón de regresón será: yˆ.88 +.4545X. 88Z Para encontrar cada $y susttumos los valores de X e Z : 69
Introduccón a la Econometría yˆ yˆ yˆ yˆ 3 4.88 +.4545(5).88().88 + 7.77.88 3.77.88 +.4545(6).88().88 + 8.77.3636 3.5455.88 +.4545(8).88(3).88 +.6364 3.5455 5.77.88 +.4545(9).88().88 + 3.0909.3636 7.909 Para probar la sgnfcacón de los parámetros abc $, $, $ hacemos los sguentes cálculos a partr de la tabla anteror: Año Y X Z $y e e y 3 5 3.77-0.77 0.0744 4 4 6 3.5455 0.4545 0.066 3 5 8 3 5.77-0.77 0.0744 0 4 8 9 7.909 0.0909 0.0083 9 n4 0 8 8 0 0 0.3636 4 Sabendo que para probar la sgnfcacón estadístca de los parámetros abc $, $, $ se requere conocer sus varanzas que venen dadas por: Como djmos antes $a no es de nterés prmordal, luego: Varbˆ σ u Varcˆ σ u x x z z Ahora ben, como no conocemos σ u, usamos S, la varanza resdual, como su estmador nsesgado, es decr E (S ) : σ u z ( x ( x z ) x z ) S e $σ u n k donde: n número de años k número de estmacones, de parámetros estmados Así, los estmadores nsesgados de la varanza de bc, $, $ serán: 70
Introduccón a la Econometría S S e z S S b$ b$ b$ n k x z ( xz ) ; e x c$ Sc$ Sc$ n k x z ( xz ) ; donde: S, S son los errores estándar de los estmadores b$ c$ Susttuyendo tenemos: S S bˆ cˆ 0.3636 4 3 0.3636 4 3 (0)() (3) 0 (0)() (3) 0.3636 * 0.3636 0 * 0.77 3.6360 0.066; S bˆ 0.3305; S ˆc 0.570 0.5749 VII.. Prueba de hpótess con t, F, X, LM y Jarque-Bera Para probar las hpótess nulas Planteamos: tambén: H o : b 0 H o : c 0 H a : b 0 H a : c 0 luego: t b bˆ b S bˆ.4545 0 5.6595 0.570 t c cˆ c S cˆ.88 0 0.5749.0556 Así, ahora buscamos en el Apéndce que trae los valores teórcos de t, vemos que el valor de t con 5% y un grado de lbertad, es t ±.706. Como t b, t c no exceden t decmos que b, c no son estadístcamente sgnfcatvos, es decr, se rechaza H a y en este caso, se concluye dcendo que se acepta H o, lo que ndca que no hay relacón de Y con X e Z. Gráfcamente para b H 0 :b0 7
Introduccón a la Econometría H a b 0 Aceptamos H a Aceptamos H a Rechazamos -.706 b +.706 t α Gráfcamente para c H 0 :c0 H a c 0 Aceptamos H a Aceptamos H a Rechazamos -.706 c +.706 t α Como t t α > bˆ y que t c, aceptamos H 0 es decr no hay relacón de Y con X e Z. Igualmente, al usar E-vews, la columna probabldad, en este caso debe mostrar una probabldad dferente de cero, lo cual ndca que bˆ y ĉ no son estadístcamente sgnfcatvas. Por otra parte, E-vews tambén usa la ESTADÍSTICA JARQUE-BERA (JB) para probar el comportamento de la hpótess o supuestos establecdos cuando usamos el método de mínmos cuadrados ordnaros para estmar los valores poblaconales, basados en los momentos de una varable (Sánchez Barajas. 005:98). Se plantea: H 0 JB0 Supone que hay normaldad Ha JB 0 Supone que no hay normaldad 7
Introduccón a la Econometría S E-vews ndca que el valor de JB es menor que el valor de χ (ch-cuadrada), estadístca con la que se compara por corresponder a la estadístca no paramétrca, es decr que la varable no tene un comportamento normal (con smetría respecto a la meda artmétca), entonces aceptamos H 0 porque revela que el modelo tende a la normaldad; aceptamos las 7 hpótess. Mentras JB más se aproxme a cero, mayor será el comportamento lneal del modelo. E-vews tambén calcula estadístcas para probar la correlacón seral, con la prueba LM, msmo que verfca el grado de asocacón entre la varable endógena y el resdual rezagado (n) en certos perodos. Cuando el resdual rezagado dgamos, para uno o dos perodos es mayor que cero, se dce que hay certo grado de asocacón con la varable endógena y que exste correlacón en el modelo. Como se verá posterormente, lo anteror no sempre es bueno porque en los estudos sobre seres de tempo, se dce que hay correlacón parcal cuando los errores asocados con las observacones en certo momento son llevadas a perodos futuros; por el momento dgamos que nos nteresa ver s hay correlacón de Y con e. En seguda se calcula R, que en regresón múltple se determna así: e R y 0.3636 0.9740 4 Al respecto como se recordará, el valor de R oscla entre 0 y. Es cero cuando la ecuacón de regresón no explca nada de la relacón en Y; es cuando s explca todo y por ello todos los puntos se ubcan sobre la línea de regresón. En este caso vemos que R tene un valor muy cercano a, se dce que X e Z sí explcan a Y. Sí R hubera resultado cercana a 0, se dría que X e Z no explcaban a Y por lo tanto no tene caso calcular r, coefcente de correlacón. Por otra parte cuando se toma en cuanta la reduccón de grados de lbertad a medda que se agregan varables ndependentes, como en este caso, se calcula R, que es R ajustado, y cuya fórmula es: Con nuestros datos sería: R R n ( ) n k R 4 ( 0.9740) 0.078 0.90 4 3 73
Introduccón a la Econometría VII.3. El uso de varables fctcas como varables explcatvas en la regresón y correlacón múltple. Comenta el Profesor Mason ( 00, 480) que en ocasones es convenente usar varables cualtatvas, denomnadas fctcas, dcotómcas, bnaras, categórcas o dummy (en nglés), para explcar mejor la varable dependente, tambén llamada endógena o explcada. Ahora ben, hasta el momento hemos usado varables cuanttatvas como varables exógenas; sn embargo, una vez que se toma la decsón de tambén nclur varables cualtatvas ( fctcas), por ejemplo el sexo, relgón, ocupacón, grado de estudos, etc. éstas sólo tenen dos resultados, que se codfcan como y 0, es decr al descrbr una cualdad, se codfcan con s la tenen y 0 cuando no la tenen. Ejemplo: la Empresa Arrba Juárez desea calcular los costos de calefaccón (Y) durante el nverno pasado y verfcar s tenen dchos costos relacón con la temperatura (X ), el aslamento térmco (X ), y la exstenca de un garage en las casas (X 3 ). Así, la varable ndependente garage es cualtatva y se defne con 0 cuando las casas no tengan garage y con cuando lo tengan. Para ello toma una muestra de 0 casas y encuentra que: Casa Y costo calefaccón. X Temperatura grados, Farenhat X aslamemto p ulgadas proteccón: de X 3 garage $50 35 3 0 360 9 4 3 65 36 7 0 4 43 60 6 0 5 9 65 5 0 6 00 30 5 0 7 355 0 6 8 90 7 0 9 30 9 0 0 0 55 0 73 54 0 05 48 5 3 400 0 5 4 30 39 4 0 5 7 60 8 0 74
Introduccón a la Econometría 6 7 0 5 7 94 58 7 0 8 9 40 8 9 35 9 0 0 39 30 9 0 Resolvendo el modelo por MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS se encontró la sguente ecuacón de regresón múltple: Y 393.67-3.968X-.334X+77.43X3 Donde 393.67a ; 3.968b ;.334c ; 77.43d Al analzar los sgnos de los coefcentes o parámetros se observa que la teoría económca se cumple porque efectvamente hay una relacón nversa entre Y e X, como tambén exste con X, pero en cambo, es postva con X3. Lo anteror es un buen ndco que ndca que podemos hacer el análss deseado. Con estas referencas, entonces dgamos por ejemplo, que se tenen dos casas guales, una junto a la otra, en Cudad Juárez, una tene garage y la otra no; ambas tenen 3 pulgadas de aslamento térmco y la temperatura meda en enero fue de 0 grados farenghet. Para la casa sn garage, X3 se susttuye por 0 en la ecuacón de regresón. Así, el costo estmado de calefaccón es de $80.90/mes, ya que Y 393.67-3.968(0)-.334(3)+77.43(0) $ 80.90 Para la casa con garaje, X3, luego Y 393.67-3.968(0)-.334(3)+77.43() $ 358.30/mes Su dferenca es 358.30-80.90 $77.40, luego se estma que el costo de calentar una casa con garage es $77.40 mayor que el costo de una casa equvalente sn garage. Pero es sgnfcatva estadístcamente esta dferenca? La respuesta se obtene probando la hpótess nula sguente. Ho: d0 ; Ha: d 0 Con α 5% se prueba la hpótess usando la estadístca t como en los ejemplos anterores, tal que se obtene la t calculada (tambén llamada empìrca) gual a 3.40, msma que se compara con la t de tablas (tambén llamada teórca), la cual con α 5% y n-k 0-4 6 grados de lbertad resultó ser gual a.. Como la t empírca 75
Introduccón a la Econometría resultó estar fuera de la zona de aceptacón de la Ho, es decr, está en la zona de rechazo de que d0, entonces vemos que el coefcente de regresón d no es cero, aceptamos la Ha, de manera que conclumos ndcando que el garage s es una varable explcatva de los costos de calefaccón en las casas, por lo que $ 77.40 es una dferenca sgnfcatva en el costo de calentar una casa en nverno en Cudad Juárez. Luego entonces s es convenente nclur la varable ndependente X3 en el análss de costos de calefaccón. VII.3. El coefcente de correlacón de Spearman. Domnck Salvatore (993:05) presenta el sguente ejemplo lustratvo sobre cómo medr la asocacón que exste entre dos varables cualtatvas. Dados os sguentes datos a) Hallar el rango o coefcente de correlacón de Spearman entre la nota de mtad de curso y el rango del CI (coefcente de ntelgenca) de una muestra aleatora de 0 estudantes de una gran clase, tal como la de la tabla sguente. b) Cuándo se usa la correlacón por rango? Respuestas: Con los sguentes datos: Nota de mtad de curso y rangos de CI Estudante 3 4 5 6 7 8 9 0 Nota de mtad de curso 77 78 65 84 84 88 67 9 68 96 Grado de CI 7 6 8 5 4 3 9 0 6 ' D a) r n( n ) donde D dferenca entre rangos de pares correspondentes de las dos varables (en orden ascendente o descendente, con el rango medo asgnado a observacones del msmo valor). N número de observacones. ' r 6D n( n ) 6(0.50) 0(99) 63 990 0.94 76
Introduccón a la Econometría Cálculos para hallar el coefc ente de correlacón por rangos n Nota de cclo Rango sobre mtad de cclo medo cclo Grado de CI D D 96-9 3 88 3 3 0 0 4 84 4.5 4 0.5 0.5 5 84 4.5 5-0.5 0.5 6 78 6 6 0 0 7 77 7 7 0 0 8 68 8 0-4 9 67 9 9 0 0 0 65 0 8 4 D 0.5 b) La correlacón por rangos se usa con datos cualtatvos tales como profesón, educacón, sexo, etc. cuando, por la ausenca de valores numércos, no se puede encontrar el coefcente de correlacón. La correlacón por rangos tambén se usa cuando no se tenen dsponbles valores precsos para todas o algunas de las varables (así que, una vez más, no se puede encontrar el coefcente de correlacón). Aún más, con un gran número de observacones de valores grandes, r se puede hallar como una estmacón de r con el fn de evtar cálculos muy dspendosos (sn embargo, el fácl acceso a las computadoras ha elmnado esta razón para usar r ). VII.4 Exámenes sobre regresón y correlacón EXAMEN UNO: REGRES IÓN Y CORRECCIÓN S IMPLE. Nombre del alumno: Planteamento: La teoría económca establece que el consumo, Y, es funcón del ngreso, X, relacón que en los últmos años es: 77
Introduccón a la Econometría Años Y X 0 4 00 8 3 08 6 4 0 30 5 36 6 4 40 7 8 48 8 30 56 9 4 60 0 48 64 50 70 54 78 Se estma la regresón y se hallan los sguentes resultados: Ŷ.30+0.86X donde: a.30, b0.86 S a 7.7, S b 0.05 Preguntas:. Cuál es el sgnfcado de a y de b? El estmador a.30 es la ordenada al orgen y el valor del consumo total cuando el ngreso dsponble es cero. Como a>0 se confrma que sempre habrá un consumo dy básco. El estmador b 0. 86 es la pendente de la línea de regresón estmada. dx Mde la propensón margnal al consumo o el cambo que expermenta el consumo con el cambo en una undad adconal en el ngreso. Como 0<b< confrma la teoría del consumo de que las personas ncrementan sus gastos de consumo cuando aumenta el ngreso dsponble, pero en menor proporcón que este. X. Sabendo que η b Y Donde: η Elastcdad ngreso del consumo X 45 Y 7 Calcule e nterprete η X 45 Tenemos η b * 0.86 0. 98 Y 7 Interpretacón: η mde el cambo porcentual en consumo dervado de un cambo porcentual en el ngreso dsponble. 78
Introduccón a la Econometría 3. Descrba las hpótess nula y alternatva para probar la sgnfcanca estadístca de los parámetros de la ecuacón de regresón estmada. Para probar la sgnfcacón estadístca de los parámetros poblaconales α y β con los muestrales a y b establecemos: Hpótess nula: H o : α 0 versus H A : α 0 H o : β 0 versus H A : β 0 Al nvestgador le nteresa rechazar H o y aceptar H A, es decr que α y β 0 con una prueba de dos colas, por lo general salvo planteamentos específcos. 4. Cuál es la forma de la dstrbucón muestral de a y b?. Como se supone que µ tene una dstrbucón normal, Y tambén tene una dstrbucón normal (dado que se supone que X es fja). Como resultado a y b tambén tenen dstrbucón normal. 5. Qué dstrbucón se usa para probar la sgnfcacón estadístca de α y β?. Se establece usar la dstrbucón t de student porque α yβ tenen dstrbucón normal, pero se desconocen, y n<30. 6. Para que srven los grados de lbertad y cuántos son? Los grados de lbertad srven para mejorar la exacttud o bondad de ajuste de los estmadores a y b. Se calculan con n-k -0 7. Con α 5% pruebe s α y β son estadístcamente sgnfcatvos. Interprete los resultados. aˆ a.30 0 t a 0.3. Dado que tα ±.8 en una prueba de dos colas decmos Saˆ 7.7 que no es sgnfcatva estadístcamente: no rechazamos Ho: bˆ b 0.86 0 Igualmente s t b 7.. Como t b >t a decdmos aceptar H A y decmos Sbˆ 0.05 que β es estadístcamente sgnfcatva, que X s explca a Y. Observacón s hubéramos aceptado H o, no se cumplría la relacón hpotétca de Y con X, msmo que debemos modfcar y reestmar hasta lograr una relacón estmada de consumo satsfactora. 8. Construya la banda de confanza al 95% para α y β. La banda o ntervalo de confanza se construye así: α a ± t S.30 ±.8(7.7).30 ± 5. 97 α a 79
Introduccón a la Econometría Tal que α está entre 3.67 y 8.7 con confanza del 95%. Como dce Salvatore (99:03) el ntervalo es más amplo (e nsensato), lo cual es consecuenca de que altamente nsgnfcatva. Para β tenemos β b ± tα Sb 0.86 ±.8(0.05) 0.860 ± 0., decmos que β está entre 0.75 y 0.97, en otras palabras 0.75< β <0.97 con 95% de confanza. Al no nclur este ntervalo de confanza el cero podemos decr que X s explca a Y. 9. Cuántos usos tene el error estándar de S a y S b? Aquí son : probar hpótess y para la banda de confanza pero tambén srve para obtener matemátcamente el tamaño de la muestra. 0.Encontrar R con cualquera de los métodos conocdos e nterprételo. Tenemos R 0.9687 ó 96.87% ndca que la varable dependente es explcada en un 96.87% por las varables ndependentes. EXAMEN DOS : REGRES IÓN Y CORRECCIÓN S IMPLE. Nombre del alumno:. Porqué es mejor el método de mínmos cuadrados para estmar parámetros muestrales de los parámetros de la poblacón?. Explque las propedades de los estmadores obtendos con el método de mínmos cuadrados. 3. Qué es un estmador nsesgado? 4. Qué es un estmador consstente? 5. Qué es un estmador sufcente? 6. Qué es un estmador efcente? 7. Explca las hpótess de supuestos báscos del modelo de regresón lneal clásco. 8. Con los datos de Y : nversón en mles de pesos, X : tasa de nterés en porcentos, estme la ecuacón de regresón de Y sobre X. 80
Introduccón a la Econometría Y Mles de X Tasa de pesos nterés 6 9 8 0 8 8 7 7 7 0 4 9 5 8 5 9 6 0 8 0 7 4 9 9 0 5 8 9. Con los datos anterores probar con un nvel de sgnfcacón del 5%, la sgnfcacón estadístca de los parámetros α y β. 0. Hallar e nterpretar R y R Curso de ntroduccón a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Segundo examen parcal. Nombre del alumno calf Regresón y Correlacón Múltples Suponga que la teoría económca establece que la rentabldad de la nversón (Y) depende de la tasa de nterés (X) y de la nflacón (Z), tal que: $ (, ) Y f X Z Tomando como referenca los datos para Y, X, Z y s tenemos. Año Y X Z 7 9 8
Introduccón a la Econometría 8 8 3 7 9 3 4 8 7 Preguntas:.- Obtenga la ecuacón de regresón: Y $ a + bx + cz.- Encuentre el valor para cada $y donde,,3,4: 3.- Encuentre el valor del error resdual 4.- Pruebe la hpótess nula de que la rentabldad de la nversón depende de la tasa de nterés y de nflacón, con un nvel de sgnfcacón del 5% e nterprete los resultados. 5.-Calcule R, R, R e nterprete sus resultados. Observacones: la respuesta a cada pregunta vale 0 puntos. Se puede usar la calculadora, las tablas estadístcas y los formularos de cada tema. VIII. MODELO LINEAL GENERAL O MÚLTIPLE, MLG: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE APLICADA A LA VERIFICACIÓN DE UNA TEORÍA ECONÓMICA Con el fn de lustrar el uso de este nstrumental en el desarrollo de una teoría económca a contnuacón se presenta un caso. Hasta el momento hemos vsto como se construye matemátcamente la relacón entre una varable dependente (Y) y las ndependentes: X, X, en esta ocasón, aprovechando la exposcón anteror, tambén aplcaremos la regresón múltple consderando el factor tempo. Este factor es muy mportante por que además de que permte conocer el dnamsmo del fenómeno bajo estudo (Y), permte predecrlo, es decr, estmar su valor futuro. 8
Introduccón a la Econometría La predccón es muy mportante en economía por que permte vsualzar, con certa segurdad, cual será el comportamento de una varable (Y) en el futuro, en funcón de las varables ndependentes: X, X. VIII. Ecuacón de Regresón Múltple Con base en este enfoque a contnuacón se expone un ejercco que permtrá lustrar: a) Como se prueba la teoría económca de que el consumo (Y) depende del ngreso dsponble (después de mpuestos) (X ) y de la nflacón (X ); de X en forma postva y de X en forma negatva. b) Su comportamento futuro Así, para desarrollar el prmer punto dremos que los datos en los últmos 0 años están expresados en mllones de pesos para Y, X y en porcentajes para X. De esta manera la ecuacón de regresón que servrá para probar la teoría económca quedará planteada de la sguente manera: donde: $y Y calculada o estmada y ˆ a bx ˆ cx + ˆ + + ˆ u u expresa que no hay una relacón exacta de Y con respecto a X y X por lo que u es conocdo como el complemento resdual Así, para encontrar $y se requere conocer los valores de abc $, $, $ msmos que se determnan con las tres ecuacones normales sguentes: Y $ na $ + b $ X + c $ X. $ $ $ YX $ a X + b X + c X X YX $ a$ X + b$ X X + c$ X Cuando se expresan en forma de desvacones con respecto a la meda artmétca se pueden resolver smultáneamente para byc, $ $ así: 83
Introduccón a la Econometría b$ ( xy)( x ) ( x y)( xx) ( x )( x ) ( xx ) ( xy )( x) ( xy )( xx ) c$ ( x )( x ) ( x x ) tal que: a$ Y bx $ cx $ Se dce que byc $ $ son estmadores óptmos lneales nsesgados, es decr: ( b $ ) b parámetro de la poblacón ( $c) c parámetro de la poblacón es el símbolo de la esperanza matemátca. En una regresón múltple bc $, $ son estmadores parcales de $y. Una vez establecdos tanto la teoría económca como la metodología para probarla, con los datos que aparecen en la tabla, hacemos los sguentes cálculos para obtener abc. $, $, $ Tabla : Relacón del consumo (Y) con el ngreso (X ) y la nflacón (X ) (del año al 0) Años Y X X y x x yx x x x x x y 3 8-3. -4.65 +0.9 4.45.63 0.8-4.85 -.79 5-4. -3.65 +7.9 4.965 3.33 6.4-8.835-3.39 3 4.5 0 -. -3.5 +.9 6.65 9.93 8.4-9.35-6.09 4 5 3 9 -. -.65 +.9.95 7.03 3.6-5.035 -.09 5 5 4 7 -. -.65-0..85.73 0.0 +0.65 +0. 6 7 5 6 +0.9-0.65 -. -0.585 0.43. +0.75-0.99 7 6 7 8-0. +.35 +0.9-0.35.83 0.8 +.5-0.09 8 8 8 4 +.9 +.35-3. 4.465 5.53 9.6-7.85-5.89 9 9 9 3 +.9 +3.35-4. 9.75.3 6.8-3.735 -.89 0 5 +5.9 +9.35-6. 55.65 87.43 37. -57.035-35.99 n0 6 56.5 7 0 0 0 09.349 6.03 40.9-3.5-98.0 Nota: Y, X,X son los valores orgnales, en tanto que y,x y x son mnúsculas e ndcan las desvacones de los térmnos con respecto a sus medas respectvas. Cuyas medas son: 84
Introduccón a la Econometría Susttuyendo tenemos: Y 6. X X 565. 7. ˆ (09.349)(40.09) ( 98.0)( 3.5) b (6.03)(40.09) ( 3.5) 5.38.7,08.0,558.69 5,65.93 3,37.69 7,39.77 0.4379 cˆ ( 98.)(6.03) (09.349)( 3.5) (6.03)(40.09) (3.5) 5,797.04 + 3,466.33,558.69 5, 65.9,330.7 0.35 7,39.77 aˆ 6. (0.4379)(5.65) ( 0.35)(7.) 6..474+.379 5.8638 Observamos que $ b 0.4379 tene sgno postvo y $c -0.35 tene sgno negatvo. Estos resultados confrman la teoría económca, motvo por el cual podemos contnuar probando la relacón que tene el consumo (Y) con el ngreso (X ) y la nflacón (X ). Por consguente, la ecuacón de regresón múltple es: $y 5.8638 + 0.4379X - 0.35X Con Evews fle/new/workfle/workfle Range/Undated or rregular/ escrbmos en stsrt date y en end date/ok vamos al menu de Quck Empty Group (edt seres) y escrbmos los datos de Y, X, X name group 0/ok/ salmos hacendo clc en la celda roja /Quck/Estmate Equaton aparece la pantalla y escrbmos Y C X X/ok/ y aparece la ecuacón de regresón Y5.8+.4X- 0.39X/name/eq0/ok. Vamos a Quck/Group Statstcs/Correlatons/ aparece en pantalla Seres Lst y escbmos Y X X/ ok aparece coefcente de correlacón parcal name/group 0/ok para grafcar: Quck/graph/lne graph/ seres lst: Y X X/ok y aparece la gráfca. Ahora ben en vrtud de que no hay una relacón lneal exacta de Y con X y X, necestamos calcular la relacón resdual que se expresa con u; msma que no conocemos porque pertenece al unverso, razón por la cual es estmada medante e, cuyo cuadrado e, mnmza la suma de cuadrados de todos los resduos: e Para obtener e (donde (),,3......8,9,0), antes necestamos determnar $y para cada uno de los 0 años. Así: 85
Introduccón a la Econometría yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ yˆ 3 4 5 6 7 8 9 0 5.8637 + 0.4379() 0.35(8) 3.7800 5.8637 + 0.4379() 0.35(5).05 5.8637 + 0.4379(.5) 0.35(0) 3.8065 5.8637 + 0.4379(3) 0.35(9) 4.3406 5.8637 + 0.4379(4) 0.35(7) 5.4089 5.8637 + 0.4379(5) 0.35(6) 6.60 5.8637 + 0.4379(7) 0.35(8) 6.4074 5.8637 + 0.4379(8) 0.35(4) 8.06 5.8637 + 0.4379(9) 0.35(3) 8.859 5.8637 + 0.4379(5) 0.35().70 Nota: estos resultados están redondeados ; la computadora ofrece más decmales; por ello las cfras no concden exactamente con las que se obtenen al correr los datos en computadora Estos resultados aparecen en la contnuacón de la tabla en la columna ntegrada por Ŷ. Contnuacón......Tabla : Relacón del consumo (Y) con el ngreso (X ) y la nflacón (X ) (del año al 0) Años $y e Y - $y e y 3.7800-0.7800 0.6084 9.6.05-0.05 0.000 6.8 3 3.8065 0.936 0.0375 4.4 4 4.3406 0.6594 0.4348. 5 5.4089-0.4089 0.67. 6 6.60 0.8380 0.70 0.8 7 6.4074-0.4074 0.660 0.0 8 8.06-0.06 0.03 3.6 9 8.859 0.408 0.098 8.4 0.70-0.70 0.037 34.8 6.0000 0.0000*.60 80.9 * Exsten pequeñas dferencas debdo a la magntud de los decmales. La suma técncamente da cero Observe que la suma de $y 6es la msma que Y 6 y por ello la suma de e Y ˆ 0; sn embargo, cada dato dfere y ello requere obtener e.60, para probar que es un mínmo. y VIII. Sgnfcacón Estadístca de b y c 86
Introduccón a la Econometría Con base en los cálculos anterores es posble obtener e Y y la e ( Y ˆ ). 60 en la forma que aparecen en las columnas correspondentes en la contnuacón de la tabla. y Como se observa la ( Y ˆ ) 0, mentras que ( Y ˆ ). 60 esto provene de la solucón de: e 3 3.7800 0.7800; e 0.6084 e e e e 3 4 5 6 7 8 9 0.05 0.05; e e 4 3.8065 0.936; e 5 4.3406 0.6594; e e 5 5.4089 0.4089; e e 7 6.60 + 0.8380; e 6 6.4074 0.4074; e y.70 0.70; e yˆ 0.000 0.0375 0.4348 e 8 8.06 0.060; e e 9 8.859 + 0.408; e 0.67 0.70 0.660 0.03 0.098 0.037 y e. 60 Con estos valores podemos probar la sgnfcacón estadístca de los parámetros poblaconales b, c, calculando prmero las varanzas de los estmadores. Las fórmulas de las varanzas son: Var b$ σ Var c$ σ u x x x ( xx ) x x x ( x x ) u No se acostumbra calcular la varanza de $a (pendente al orgen) por que no ayuda a probar la teoría económca, ya que $y $a cuando X 0; X 0 puesto que lo que se desea es probar las varacones de $y en funcón de las varacones de X, X. Por otra parte, como σ u es desconocda por que es del unverso, se estma con S, como una estmacón nsesgada, es decr, E (S ) σ u. 87
Introduccón a la Econometría e Su formula es: S $σ u n k donde: n número de térmnos (0 en este ejemplo) k número de parámetros estmados (3 en este ejemplo) Por lo que el numero de los grados de lbertad es de: 0-3 7 Con estas referencas, las estmacones nsesgadas de las varanzas de fórmulas: S S e n k x S x x ( x x ) ; Var b S b$ ( $ ) b$ b$ e x c$ Var( c$ ) Sc$ Sc$ n k x x ( x x ) ; b, c tendrán las sguentes S b $, S c$ son los errores estándar de bc $, $ con los que se pueden probar las hpótess sobre b, c, relatvos a que hay o no hay relacón de Y con respecto a X, X, con la estadístca t de Student porque n < 30 térmnos: Para b: Para c: H o : b 0 H o : c 0 H a : b 0 H a : c 0 t b b$ b S b$ t c$ c$ c S c$ Estas t`s empírcas u observadas se confrontan con las t`s teórcas o de tablas. Estas últmas se denotan con las lterales t, donde nvel de sgnfcacón que junto con los grados de lbertad (nk) determnan los puntos crítcos donde se toma la decsón de aceptar o rechazar H o. 88
Introduccón a la Econometría Así, para probar H o prmero calculamos S b $, S c$ fórmulas orgnales: ; susttuyendo los valores de las tablas en las S bˆ e Var( bˆ) n k x 40.9 0.3087,688.45 5,65.95 x x ( x x ) 40.9 7,5.5.60 40.9 0 3 (6.050)(40.9) ( 3.5) 0.3087(0.087) 0.0058 ; S bˆ 0.0058; S bˆ 0.0058 0.076 tambén S cˆ e Var(ˆ) c n k x x x ( x x ).60 6.050 0 3 (6.050)(40.9) ( 3.5) 6.03 6.03 0.3087 0.3087(0.04) 0.0066,688.45 5,65.95 7,5.5 ; S cˆ 0.0066; S cˆ 0.0066 0.08 Por lo tanto las t`s empírcas serán: bˆ b 0.4379 0 cˆ c 0.3087 0 t b 5.754 t c 3. 807 ˆ S 0.076 S 0.08 bˆ cˆ Ahora se determna con 5% y 7 grados de lbertad (n-k), el valor en tablas de t α ±. 365. Vemos que b, y c son estadístcamente sgnfcatvos. Interpretacón económca: Sí hay relacón del consumo (Y) con el ngreso (X ) y la nflacón (X ); luego entonces se sgue confrmando nuestra teoría. VIII.3 Determnacón del Grado (o porcentaje) de la Relacón que Exste entre Y y las Varables Explcatvas X, X 89
Introduccón a la Econometría Para llevar a cabo la determnacón del grado de la relacón que exste entre la varable dependente o explcada y las varables ndependentes o explcatvas prmero se determna el Coefcente de Determnacón Múltple. La formula y el cálculo del coefcente puede plantearse de la sguente manera: R R e y 0.9733 o.60 80.9 97.33% 0.067 Interpretacón: El ngreso y la nflacón determnan el 97.33% de los cambos que expermenta el consumo. S tomamos en cuenta la reduccón en los grados de lbertad conforme aumenta el número de varables ndependentes (aquí se supone que antes el consumo sólo era funcón del ngreso -regresón smpley ahora hemos agregado la nflacón como varable explcatva adconal), entonces se debe calcular el R ajustado o R, cuya formula es: n 0 R ( R ) ( 0.9733) n k 0 3 ( 0.9733)(.857) (0.067)(.857) 0.0343 R 0.9656 Interpretacón: R es un ndcador más exacto que R VIII.4 Prueba de la Sgnfcacón Global de la Regresón Múltple 9 En este caso la hpótess nula se prueba con F, estadístca que se refere al análss de varanza que es el cocente de dvdr la varanza explcada entre la varanza no explcada. Su formula es: y$ R ( k ) F k k n k, e ( R ) ( n k) ( n k) donde: (k-) son los grados de lbertad de la varanza explcada (n-k) los grados de lbertad de la varanza no explcada (ya es conocdo el sgnfcado de n y k) Como en el caso anteror - cuando usamos t - se requere encontrar en tablas la F teórca con un certo valor de para confrontarla con la F empírca. Así, prmero calculamos la F empírca: 90
Introduccón a la Econometría 0.9733 0.4866 F, 7 8.056 0.9733 0.0038 7 S decmos que %, buscamos F en tablas con grados de lbertad para el numerador (varanza explcada) y 7 grados de lbertad para el denomnador, vemos que F 9.55. Como F,7 8.056 > F 9.55 decmos que se acepta la hpótess alternatva (se rechaza la hpótess nula) de que b y c, y R son sgnfcatvamente dferentes de cero. Lo anteror ndca que a través de una sola estadístca se confrma la hpótess que hemos vendo desarrollando de que: Y f(x,x ). VIII.5 Coefcente de Correlacón Parcal Este coefcente es útl por que mde la correlacón neta entre la varable dependente (Y) y una varable ndependente (sea X o X ) después de exclur la nfluenca que sobre ellas ejerce la(s) otra(s) varable(s) ndependente(s) en el modelo unecuaconal. Notacón: r yx, x es la correlacón parcal entre X e Y después de elmnar el mpacto de X sobre Y e X. Sus fórmulas son: En forma análoga: r yx, x r yx, x ryx r r yx x, x r xx, r yx r r r yx yx x, x r x, x r yx Para ello necestamos hacer los sguentes cálculos a partr de la tabla : yx 09. 35 09. 35 09. 35 ryx 0959. x y 603. 80. 9 (. 68 )( 8. 99) 399. yx 98 r. 98. 98 yx. 0. 99 x y 40. 9 80. 9 ( 87. )( 8. 99 ) 06. 7 xx 35 35 35 rxx... 0. 88 x x 40. 9 603. ( 87. )(. 68 ) 50. 5 Susttuyendo: 9
Introduccón a la Econometría r yx, x r yx r r x, x r (0.959) (0.75) 0.08 (0.574)(0.387) 0. yx r x, x yx (0.959) ( 0.99)( 0.88) 0.33 0.5 r yx, x 0.936 o 93.6% t a mb én r yx, x r yx r r x, x yx rx, x r 0.99+ 0.784 0.35 0.838 (0.574)(0.8) 0.6 yx ( 0.99) (0.959)( 0.88) 0.33 0.08 luegor yx, x 0.838 o 83.8% Como r 0. 936 " y" r 0838. yx, x yx, x Se dce que el ngreso (X ) es más mportante explcando las varacones del consumo (Y) que la nflacón (X ); obvamente en sentdo nverso, como lo ndca la teoría económca. Se acostumbra presentar en forma resumda los resultados estadístcos, msmos que en computadora suelen aparecer así: b o 5.80083749 S b && 0.005779 S b && 0.076 b 0.44934 S c$ 0.006604 S c$ 0.08 b -0.3097507 R 0.97330500 R ajus 0.965678 calculado tablas t 5.8704.36 t -3.860.36 F 4.7400 6.54 9
Introduccón a la Econometría Las relacones de Y con X, X gráfcamente se expresan así: Actual Ajustado Resdual Gráfcamente.0986886.0897374 0.069645. *. 0.69347805.65875047-0.43344034 *...3869436.35695688 0.0605986783. *..60943794.46059347 0.83385978. *..60943794.60787004333 0.00567869. *..94590490.737648055 0.0860975. *.79759469.7898507450 0.0090874. *..07944546.03386598 0.046593757. *..9745773.586999987 0.038545844. *..4849066497.66547844-0.7660834.*. VIII.6 Predccón Para conocer el consumo, por ejemplo en el año, suponemos que el ngreso en ese año será de 6 y la nflacón.5 susttumos en la ecuacón de regresón y encontramos: 0.4586865 y 5.800837 + 0.4493(6) - 0.30579 (.5) 5.800837 + 7.075088 - y.43 Lo anteror usando Evews requere de los sguentes pasos:.- Estmar la ecuacón de regresón.- En la pantalla de Workfle modfcar el Rango RANGE y el SMPL ahora será de 3.- En la línea de comando dgtar el comando DATA segudo de las varables ndependentes que son las que conocemos sus valores futuros, así el consumo (X) para el año tene un valor de 6 y para la nflacón (X) es.5 4.- En la ventana aparece un botón que se llama Forecast, se da un clc y aparece una pantalla que nos solcta el nombre y perodo a que se desea pronostcas (por default aparece el nombre de la varable dependentes con una F, para nuestro ejemplo será YF), en la parte baja de la ventana muestra el perodo de tempo (SMPL) y se da OK. 5.- Se muestra una pantalla como la sguente 93
Introduccón a la Econometría 6 4 0 8 6 4 Forecast: YF Actual: Y Forecast sample: Included observatons: 0 Root Mean Squared Error 0.46475 Mean Absolute Error 0.369380 Mean Abs. Percent Error 7.645546 Thel Inequalty Coeffcent 0.034564 Bas Proporton 0.000000 Varance Proporton 0.006764 Covarance Proporton 0.99336 0 3 4 5 6 7 8 9 0 YF ± S.E. 6.- En la pantalla de Workfle se seleccona la varable Y y YF para conocer el valor pronostcado, o ben en la línea de comando dgtar el comando SHOW segudo de Y y YF y enter, de gual manera muestra los valores. obs Y YF 3 3.7650495.038963067 3 4 3.808835593 4 5 4.339660695 5 5 5.4035593 6 7 6.533000997 7 6 6.488544367 8 8 8.0993885444 9 9 8.8536093 0.39880359 7.5770687936.4306088 VIII.7 Cálculo de la Elastcdad Con base en la nformacón anteror se puede obtener: VIII.7.La Elastcdad Ingreso del Consumo: Mde el cambo porcentual en los nveles del consumo como consecuenca de un cambo porcentual en el ngreso dsponble (después de mpuestos). Es mportante señalar que la elastcdad no es constante, es decr, camba en cada uno de los puntos de la funcón de regresón. Su cálculo puede hacerse con la formula: E b$ X. 044. 565 044. ( 09. ) 040. b $ Y 6. 94
Introduccón a la Econometría VIII.7. De manera smlar se puede obtener la Elastcdad Preco de la Demanda Cuya nterpretacón es smlar a la elastcdad ngreso, pero ahora referda a los precos. Como no hay datos, conceptualmente se mde con: E p Parámetro estmado multplcado por el cocente que resulta de dvdr la meda de los precos entre la meda de la demanda o consumo VIII.7.3 Con base en lo anteror podemos obtener la Elastcdad Inflacón del Consumo así: E c X. $ c$ 03. 7 036. (. ) 036. Y 6. 95
Introduccón a la Econometría Curso de ntroduccón a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Tercer examen parcal. Nombre del alumno calf Tema: Marco teórco de la expresón matemátca de una teoría económca y de su verfcacón estadístca. I.-Conteste con una X en SI cuando la afrmacón sea verdadera y tambén con una X en NO cuando la afrmacón sea falsa:.- Una varable cualtatva no se puede expresar cuanttatvamente: S ; No..-Una varable dcotómca puede tomar más de dos valores: S ; No 3.-Para predecr la varable dependente es necesaro que antes se conozcan los valores proyectados de las varables explcatvas en el tempo: SI: ; NO: 4.- Cuando se verfca la hpótess de la relacón entre la varable dependente con las ndependentes, se espera que dealmente el valor del coefcentes de correlacón múltple no sea semejante a los valores de los coefcentes de correlacón parcal: SI: ; NO. 5.- Cuando se verfca con la estadístca F que las varables ndependentes s explcan a la varable dependente, teórcamente se debe de verfcar con la prueba t de Student que cada una de las varables ndependentes tambén explcan a la dependente: SI ; NO. 6.- Al correr la regresón, cuando los sgnos de los coefcentes obtendos de las varables regresoras no concden con la concepcón teórca de su relacón con la varable regresada, se debe cambar de varable regresora: SI ; NO : 7.- Al probar una hpótess nula con la t de Student, s la t real o calculada es mayor que la t teórca o de tablas, se acepta dcha hpótess nula: SI ;NO. 8.- Cuando F real o calculada es menor que F teórca o de tablas rechazamos la hpótess nula: SI ; NO. : 9.- en una regresón múltple s al probar una hpótess nula con certos grados de lbertad y nvel de sgnfcacón, cuando los valores de t no son estadístcamente sgnfcatvos pero F s lo es, se dce que posblemente se voló algún de los supuestos del modelo de estmacón: SI ; NO. 0.-Conocdo el valor del coefcente de la varable explcatva X, su meda artmétca como la de la varable explcada Y, la elastcdad se calcula as E Y bˆ X : SI ;NO. Observacones: Cada una de las respuestas correctas vale 0 puntos en escala de 0 a 00. No se puede usar la calculadora, n las tablas estadístcas n la bblografía correspondente a cada tema. 96
Introduccón a la Econometría IX. TRANSFORMACIONES DE FORMAS FUNCIONALES NO LINEALES EN LINEALES IX. Propósto En economía exsten fenómenos que no sempre tenen un comportamento lneal, dgamos como el comportamento del valor de las accones de cualquer empresa en el mercado bursátl. Este comportamento se detecta al grafcar los valores del fenómeno y obtener un dagrama de dspersón en forma de serras ; tambén ello se comprueba cuando certa teoría económca así lo establece, dgamos el valor de la produccón en funcón de los nsumos de mano de obra y de captal. Comenta el profesor Salvatore (99, p. 36) que la teoría económca puede a veces sugerr la forma funconal de una relacón económca; tambén, que la dspersón de los valores observados puede sugerr la forma funconal apropada en una relacón de dos varables, y que cuando nnguna teoría n dspersón de puntos es de ayuda, la funcón lneal se trata usualmente prmero debdo a la smplcdad. Algunas de las transformacones de funcones no lneales a lneales más útles y comunes son las funcones logartmo doble o doble-log, recíproca, y la polnomal. Una de las ventajas de la forma doble-log es que las pendentes representan elastcdades. La funcón semlog es apropada cuando la varable dependente crece en el tempo a un rtmo relatvamente constante, como en el caso de la fuerza laboral y de la poblacón. Las funcones recíprocas y polnomal son apropadas para estmar curvas de costo medo y costo total. La estmacón de una funcón doble-log transformada por el método de MCO arroja estmadores de pendente nsesgados. Sn ambago b 0 antlo b 0 * es un estmador sesgado pero consstente de b 0. El hecho de que b 0 sea sesgado no es de mucha mportanca, porque la constante no muestra un nterés especal en economía. En las otras funcones transformadas b 0 tambén es nsesgado. Se recomenda trasformar estas formas funconales no lneales en lneales cuando se aplca el análss de regresón con el objeto de que al utlzar el método de mínmos cuadrados, se obtengan funcones lneales trasformadas cuyas pendentes sean estmadores nsesgados. Estas nuevas pendentes aparte de ser nsesgadas, su valor es gual a la elastcdad de la varable dependente con respecto a la ndependente o explcatva, como es el caso de la forma funconal doble logarítmca. IX. Formas Funconales Transformadas más usadas en Economía: Doble Logarítmca, Exponencal, Semlogarítmca, Recíproca y Polnomal La forma funconal Y ax be $ $ u se puede transformar en la doble logarítmca log Y log a b $ log X log e u + +. La funcón exponencal Y ab x se transforma en log Y log a+ log bx que es semlogartmca por que sólo transforma Y, etc. 97
Introduccón a la Econometría IX.. Logartmos Comunes y Naturales Como se recordará los logartmos comunes tenen base 0 y los naturales base e.78 de manera tal que la relacón entre logartmos naturales y comunes es: logartmo natural (ln) de X.306*logartmo común (lc) de X Ejemplo: Cuando: X 40; su ln.306 (.380) 5.48064 X 480; su ln.306 (3.706) 7.9986 X 40; su ln.306 (.6784) 6.066 X 450; su ln.306 (.6533) 6.095 X 3; su ln.306 (0.47700).09857 X ; su ln.306 (0.30000) 0.69308 X 8; su ln.306 (0.90300).07947 X ; su ln.306 (0.000000) 0.00000 Es el nvestgador quen decde s trabaja con logartmos de base 0, base e o cualquer otra base; para evtar confusones basta pues con especfcar con que base de logartmos se trabaja. IX.3 Ejemplos Aplcando el Método de Mínmos Cuadrados Ordnaros IX.3. Funcón de Consumo Transformada a Forma Lneal Doble Logarítmca A partr de los datos de la tabla hacemos los sguentes cálculos que aparecen en la tabla Tabla : Funcón del Consumo Transformada a Forma Lneal Doble Logarítmca Años Y X X lny lny ln X lnx y lny-med lny 3 8.098689.0694896 0.0794454-0.5900496 5 0.693478 0.4804530 0.693478.7080500-0.99647004 3 4.5 0.3869436.9806 0.969073.30585093-0.3033843 4 5 3 9.6094379.5909039.098689.974577-0.080799 5 5 4 7.6094379.5909039.3869436.9459049-0.080799 6 7 5 6.9459049 3.7865663.6094379.79759469 0.569945 7 6 7 8.79759469 3.04099.9459049.0794454 0.0465 8 8 8 4.0794454 4.340773.0794454.3869436 0.38984337 9 9 9 3.974577 4.8779584.974577.098689 0.507607373 0 5.48490665 6.747606.7080500 0 0.79589446 Σ 6 57 7 6.896704 3.3397 4.63440894 7.58939.045 Med 6. 5.7 7..6896704 3.3397.463440894.758939 Contnuacón......Tabla : Funcón del Consumo Transformada a Forma Lneal Doble Logarítmca 98
Introduccón a la Econometría Años y (lny-med lny) x lnx -Med lnx x lnx -Med lnx yx yx 0.349868 -.463440894 0.3050969 0.86490076-0.89476 0.99955-0.7709373 0.949879 0.767574595-0.9457679 3 0.0900475-0.547506 0.5436537 0.6596343-0.649043 4 0.006487-0.36488605 0.4389655 0.095699-0.035499 5 0.006487-0.07746533 0.869787 0.00685554-0.049978 6 0.06568607 0.4599708 0.0387547 0.03748006 0.00843469 7 0.0043304 0.4846955 0.3050969 0.0498050 0.03737578 8 0.59630 0.66000648-0.3763756 0.403044-0.45639 9 0.576655 0.733783683-0.66039634 0.37474008-0.33583 0 0.634853.44609307 -.758939 0.98984645 -.39885999 Σ.5653348-8.8878.37 3.5300496-3.88383 Contnuacón......Tabla : Funcón del Consumo Transformada a Forma Lneal Doble Logarítmca Años x x lnyc x x e ln(y-yc) -0.46904688.46595 0.07646.089737 0.00484989-0.7309984 0.59335406 0.90085507.6587505 0.8787055 3-0.974599 0.99373300 0.95558770.35695683 0.0036700 4-0.599070 0.330999 0.90045.4605934 0.03363047 5-0.04447 0.00595588 0.034960857.607870043.4580000 6 0.0047974 0.0359 0.00077648.73764805 0.0433730 7 0.54636037 0.377658 0.07646.789850745 3.64330000 8-0.954498 0.379456797 0.3885875.033866 0.0030688 9-0.4845377 0.538438493 0.436009.58699993 0.0048444 0 -.898304.5490536 3.09384507.6654784 0.0390433 Σ -4.457640 5.894475785 5.98698344 6.896704 0.30807489 Como puede observarse en la tabla, los pasos fueron: a) Convertr los valores de Y, X, X a logartmos naturales (ly, lx, lx ) b) Obtener las desvacones de esos logartmos con respecto a las medas artmétcas Y, X, X. En el caso del consumo: para el prmer térmno, log Y -Y ; para el últmo térmno log Y 0 - Y. Un procedmento análogo se hzo para las desvacones de los logartmos de X, X con respecto a sus X, X. Como se recordará las desvacones se representan con letras mnúsculas, ello con el objeto de aplcar las fórmulas ya conocdas para obtener ab $, $, c $; que son: 99
Introduccón a la Econometría ( )( ) ( )( ln ˆ x y x x y x x b ( x x )( x ) ( x) ) lncˆ ( x y)( x ) ( x y)( x x ( x x x )( x ) ( ) ) lnaˆ LogY blogx ˆ clogx ˆ c) Susttuyendo en las fórmulas los datos de la tabla tenemos: (3.5)(5.3) ( 3.9)( 4.4) 8.66 4.0 ln ˆ b (5.89)(5.9) ( 4.4) 3.6 9.53 4.56.63 0.39 lncˆ ( 3.9)(5.89) (3.5)( 4.4) 8.79+ 5.56 (5.89)(5.9) ( 4.4) (5.89)(5.9) ( 4.4) 3.3 0.7.6 lnaˆ.68 (0.39)(.46) ( 0.7)(.76).69 0.57 + 0.47.6 d) La ecuacón de regresón será : log Yc.6 + 0.39 logx -0.7 logx así:: e) Para determnar la e relacón resdual prmero obtenemos las Y`s calculados o estmadas ln Y.6 + 0.39 (0) - 0.7 (.07).6-0.55.05 ln Y.6 + 0.39 (0.69) - 0.7 (.70).6 + 0.7-0.7.5 * * * * ln Y 5.6 + 0.39 (.39) - 0.7 (.94).6 + 0.54-0.5.6 * * * ln Y 0.6 + 0.39 (.70) - 0.7 (0).6 +.05.65 Nota: a cada uno de estos dez valores de Yc, se le saca el antlogartmo 00
Introduccón a la Econometría f) Luego que se tene Y, Yc se obtene e y - Yc, msma que se eleva al cuadrado (e ) y se obtene su suma que de acuerdo con la tabla tenemos e 0.30 g) En seguda se prueba la sgnfcacón estadístca de b y c para ello obtenemos: S S e x Var( b $ ) 0. 000395; S 0. 09 b n k x x ( x x ) b$ $ e x Var( c$ ) 0. 000489; Sc 0. 0 n k x x ( x x ) c$ $ Con ello probamos Ho: Para b Para c Ho: b 0 Ho: c 0 H A : b 0 H A : c 0 039. t b 05. t 0. 09 c 07.. 7 0. 0 Con α % y 7 grados de lbertad t α ±3. 499 luego b y c son estadístcamente sgnfcatvos, ndcando que s hay relacón del consumo con el ngreso y la nflacón. h) Ahora calculamos: R e 0. 879 o 87. 9% y luego r R 087. 0. 93 o 93. % la R R n ( ) 0845 o 84 5 n k.. % ) La prueba de la sgnfcacón global se hace con: Ho: b b......b x 0 H A : nnguna b es cero R F k k n k, 563. ( R ) ( n k ) 0
Introduccón a la Econometría Con α 5% y y 7 grados de lbertad F α 4. 74, luego como F α 4.74 F, 7 5. 63, decmos que se acepta la hpótess alternatva de que b, c, R son sgnfcatvamente dferentes de cero. j) Cálculo de la elastcdad: Como se ndcó prevamente, las pendentes en esta forma funconal doble logarítmca, equvalen a las elastcdades ngreso e nflacón del consumo, es decr, su valor es el valor de la elastcdad correspondente. Como b $ 0. 39 elastcdad respecto del ngreso; c $ 0. 7 elastcdad respecto de la nflacón. Nótese que estos valores son smlares a los obtendos prevamente en el punto VIII.7. y VIII.7.3, donde E 0.40 y E n - 0.36. Su dferenca se explca por el número de decmales utlzados. Tambén comenta el profesor Domnck Salvatore que cuando la suma los coefcentes estmados (elastcdades) de las varables ndependentes ( cuando son factores de la produccón, dgamos mano de obra y captal) es mayor que uno, hay economías de escala. En este sentdo el profesor Gujarat (990, p.53) complementa dcendo que cuando la elastcdad o pendente de la varable ndependente es menor que uno, se debe nterpretar como que hay nelastcdad de la varable dependente con respecto a la dependente. Esto se lustra en ejemplos subsecuentes. IX.3. Ejemplo adconal de ecuacón doble logarítmca Transformacón en forma lneal doble logarítmca Con los sguentes datos y sguendo los msmos pasos del ejemplo anteror obtenga: a). La ecuacón de regresón, b). las elastcdades (economías de escala) y c). el error estándar de estmacón. Así, s especfcamos en el modelo unecuaconal que Yf(X,X ) Año Y X X LnY LnX LnX LnY al cuadrado 000 3 8.09 0.00.08.9 00 9 0.69 0.69.9 0.48 00 4 3 0.39.09.30.93 0