Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 MEJORA EN EL CONTROL EN CASCADA PARA REACTORES TUBULARES IMPROVED CASCADE CONTROL SCHEME FOR TUBULAR REACTORS E. Hernández-Martínez *, R. Urrea y J. Álvarez-Ramírez Unversdad Autónoma Metropoltana Iztapalapa, Apartado postal 55-534, Iztapalapa, DF., 934 Méxco Resumen Recbdo 6 de Juno 8; Aceptado 8 de Octubre 8 Los reactores tubulares son dfícles de operar debdo al acoplamento ntrínsco entre los procesos de transporte, cnétca no lneal y su naturaleza dstrbuda. Debdo a las numerosas aplcacones ndustrales de los reactores tubulares, el problema de montoreo y control efectvo es de gran mportanca económca y de segurdad. En este trabajo ntroducmos una nueva confguracón del esquema de control en cascada basada en el promedo de la medcón de tres temperaturas dstrbudas a lo largo de la poscón axal del reactor tubular ( av ). La confguracón del control explota la nformacón provsta por dos sensores de temperatura adconales localzados cerca de la almentacón y salda del reactor. La confguracón con ( av ) mejora el comportamento del esquema clásco de control en cascada frente a perturbacones e ncertdumbre de los parámetros del modelo. Medante smulacones numércas se lustra y compara el desempeño del control propuesto. Palabras clave: control en cascada, temperatura promedo, reactor tubular. Abstract Tubular reactors are dffcult to operate due the ntrcate couplng beteen transport processes, nonlnear chemcal knetcs, and ther dstrbuted nature. Hoever, due to numerous ndustral applcatons for chemcal tubular reactors, the problem of montorng and controllng them effectvely s of great safety and economcal mportance. In ths ork, e ntroduce a ne cascade control scheme based on three-temperature measurement dstrbuted along the axal poston of the tubular reactor th respect to a eghted average temperature ( av ). The control confguraton explots the nformaton provded by to addtonal temperatures sensor located at the feed and the output of the tubular reactor. The confguraton th av mproves the behavor of the control scheme by enhancng the dsturbance and parameter s uncertanty. Numercal smulatons are used to llustrate and compare the control performance. Keyords: cascade control, average temperature, tubular reactor. 1. Introduccón Los prncpales reactores en la ndustra químca son el reactor tanque agtado y el reactor tubular. Para algunas reaccones químcas los reactores tubulares son más efcentes que los reactores tanque agtado, especalmente cuando los volúmenes son guales. Además el reactor tubular es relatvamente fácl de mantener sn partes móvles y usualmente produce más altas conversones por undad de volumen que cualquer reactor de flujo contnuo (Froment y Bschoff, 199). Los reactores tubulares son dfícles de operar debdo al acoplamento ntrínseco entre los procesos de transporte, la cnétca no lneal y su naturaleza dstrbuda. Sn embargo, debdo a las numerosas aplcacones ndustrales de los reactores químcos tubulares, el montoreo y control es de gran mportanca económca y de segurdad. El objetvo prmordal del control en reactores tubulares es la regulacón de la concentracón a la salda del reactor mantenendo la temperatura debajo de los valores máxmos especfcados. El problema de control en la composcón en reactores tubulares ha sdo extensvamente estudado con esquemas de control lneal (Pellegrne y col., 1993; Alvarez- Ramrez y col., ) y no lneal (Chrstofdes, 1; Hoo y Zheng, ; Wu y Huang, 3; L y Chrstofdes, 7). Dado que la medcón de la composcón tene generalmente retardos, debdo a las restrccones en la respuestas de los dspostvos de medcón y al transporte nterno, un lazo retroalmentado, basado úncamente en la medcón de la composcón puede sufrr un pobre desempeño y hasta nestabldades. Para alvar esta stuacón se * Autor para la correspondenca. E-mal: cb638874@xanum.uam.mx Tel. 584-4648 + 58 39
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 han empleado esquemas de control en cascada composcón-temperatura. Hua y Jutan () dseñaron un controlador no lneal en cascada con esquema nferencal basado en observadores no lneales de concentracón y temperatura, esta propuesta mejora la regulacón de la concentracón a la salda del reactor, además establza el hot spot en el perfl de temperatura. Urrea y col., (8) proponen un esquema de control en cascada composcón-temperatura, empleando para el lazo de temperatura una temperatura promedo ponderada basada de dos medcones de temperatura localzadas antes y después del hot spot en un reactor tubular exotérmco, este esquema de control en cascada mejora la respuesta del controlador en cascada clásco frente a perturbacones en la almentacón. Se han reportado en la lteratura sofstcados esquemas de control (Chrstofdes, 1; Hoo y Zheng, ; Wu y Huang, 3; L y Chrstofdes, 7), pero debdo a su complejdad y a la gran dependenca del modelo matemátco están lmtados para su aplcacón ndustral. Por otro lado los compensadores PI/PID son ben aceptados en la ndustra debdo a su facldad de dseño e mplementacón (Alvarez-Ramrez y col., 1). En este trabajo extendemos el uso del controlador en cascada basado en compensadores PI/PID, empleando la medcón de tres sensores de temperatura dstrbudos smétrcamente a lo largo de la poscón axal del reactor tubular. La confguracón del controlador explota la nformacón provsta por dos sensores de temperatura adconales localzados cerca de la entrada y salda del reactor lo que permte al reactor una respuesta más rápda a lazo cerrado. El desempeño del controlador se muestra medante smulacones numércas en un reactor tubular con dos dnámcas dferentes: con y sn hot spot. El trabajo está organzado de la sguente manera: en la sguente seccón se presenta el caso de estudo. En la seccón 3, la propuesta de control es dervado. En la seccón 4, se presentan las smulacones numércas del desempeño del controlador y fnalmente en la seccón 5 se presentan las conclusones del trabajo.. Modelo del Reactor tubular En esta parte presentamos el modelo matemátco del reactor tubular. El modelo del reactor no consdera gradentes de concentracón n velocdad en dreccón radal, el gradente de temperatura es descrto por el uso apropado del valor de la conductvdad efectva radal, se consdera reaccón homogénea, las propedades de la reaccón son caracterzadas por valores promedo, el mecansmo de mezclado axal es descrto por un solo parámetro del modelo y la velocdad de la reaccón es consderada de prmer orden. Las ecuacones de balance de masa y energía para el reactor son tomados de Varma y Ars (1977). c( x,t ) c( x,t ) = Dma t x E c( x,t ) RT V koc(x,t)e x (1) T( x,t ) λea T( x,t ) T( x,t ) = V t ρcp x x E ΔH kc(x,t)e RT o ρcp () 4h (T(x,t) T) ρcp con condcones ncales c( x, ) = c n ; T( x, ) = Tn (3) En sentdo determnsta exsten dos tpos de frontera, la frontera aberta y la frontera cerrada. En la frontera aberta la contnudad de la frontera se mantene y las partículas pueden a atravesar lbremente de un lado a otro la frontera. Este no es el caso con la frontera a la entrada y salda cerradas, en el cual las partículas entran y permanecen en el sstema una sola vez. Este tpo de condcones de frontera han sdo amplamente dscutdo (Darckerts, 1953; Pearson J, 1959), donde la contnudad de la concentracón se perde en el orgen: dc(,t ) Vc(,t ) Dma = Vcn ; dx λea dt(,t ) VT(,t ) = VTn ρcp dx (4) S el sstema de longtud L es cerrado a la salda tenemos la condcón de frontera en la salda como: dc( L,t ) λea dt( L,t ) D ma = ; = dx ρcp dx (5) Esta stuacón es una buena aproxmacón para muchos reactores práctcos y hasta para aquellos que exhben baja dspersón. Introducendo las varables admensonales en poscón, tempo, concentracón, temperatura y temperatura de enframento respectvamente como: x ξ = L (6) V τ = t L (7) cn c( x,t) y( ξτ, ) = cn (8) E T( x,t ) Tn ( ξτ, ) = RTn Tn (9) E T(x,t) Tn ϖ( ξ, τ ) = RTn Tn (1) obtenemos el sguente sstema admensonal 31
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 y( ξτ, ) 1 y( ξτ, ) = τ Pey ξ ( ξτ, ) 1+ ( ξ, τ )/ λ y( ξτ, ) + Da( 1 y( ξτ, ))e ξ ( ξ, τ ) 1 ( ξ, τ ) ( ξ, τ ) = τ Pe ξ ξ ( 1 1+ ( ξτ) ) ( (, ) ( ξ, τ) ) + BDa y, e + σ ϖ ξ τ ( ξτ, ) ( ξ, τ )/ λ (11) (1) con condcones ncales y de frontera y( ξ, ) = ; ( ξ, ) = (13) dy(, τ ) d(, τ ) = Pey y(, τ ) ; = Pe(, τ ) (14) dξ dξ dy( 1, τ ) d( 1, τ ) = ; = (15) dξ dξ Consderamos la dnámca del reactor tubular como: () dnámca cuas-lneal y () dnámca con hot spot en el perfl de temperatura..1 Perfl de temperatura cuas-lneal Los valores de los parámetros usados en las smulacones se reportan en Varma y Ars, 1977 y son: Pe = Pe y = 5, Da =.1745, B = 11, λ =, ϖ =.1, y σ =.5. Los resultados de las smulacones numércas a lazo aberto se muestran en la Fg. 1. En la Fg. 1a-b se muestra el perfl de concentracón dnámco (y(ξ,τ )) y en estado estaconaro (y(ξ)), respectvamente y en la Fg. 1c-d los correspondentes a la temperatura ((ξ,τ ) y (ξ )).. Perfl de temperatura con hot spot Para este caso los valores de los parámetros del modelo del reactor tubular son reportados en Lefervre y col., () y son: Pe = Pe y = 5, Da =.875, B = 5, λ =, ϖ =.1, y σ = 5. En la Fg. ab se muestran los perfles de concentracón dnámco y estaconaro respectvamente y en la Fg. c-d los perfles de temperatura a lazo aberto. 5.45 Concentracon admensonal.4.35.3..15.1.5.1..3.4.6.7.8.9 1 Longtud ξ.4. Temperatura admensonal 1.8 1.6 1.4 1. 1.8 c) d).1..3.4.6.7.8.9 1 Longtud ξ Fg. 1. Perfl de concentracón-temperatura a lazo aberto: perfl de temperatura cuas-lneal, a) perfl de concentracón en 3D, b) perfl de concentracón en estado estaconaro, c) perfl de temperatura en 3D y d) perfl de temperatura en estado estaconaro..6.4 311
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318.8.7 Concentracon admensonal.6.4.3..1..3.4.6.7.8.9 1 Longtud ξ.9.85.8 Temperatura admensonal.75.7.65.6 5 c) d).45.1..3.4.6.7.8.9 1 Longtud ξ Fg.. Perfl de concentracón-temperatura a lazo aberto: perfl de temperatura con hot spot, a) perfl de concentracón en 3D, b) perfl de concentracón en estado estaconaro, c) perfl de temperatura en 3D y d) perfl de temperatura en estado estaconaro. 3. Dseño del control El esquema de control en cascada puede ser manejado razonablemente con dseños de control lneal (IMC) y la localzacón de sensores de temperatura. Para el dseño de control consderamos modelos de prmer orden más tempo muerto, los modelos de entrada/salda (E/S) se obtenen ntroducendo cambos en escalón de +5% en la temperatura de la camsa admensonal (ϖ), y( s ) Kϖ y = G ϖ y(s) = exp( εϖ ys) (16) ϖ(s) τϖ ys+ 1 (s) K ϖ = G ϖ (s) = (17) ϖ(s) τ ϖ + 1 donde es la medcón de temperatura en una poscón nterna del reactor, ε ϖy > es el retrazo debdo a la medcón y al transporte nterno, K ϖy y K ϖ son la gananca del estado estaconaro y τ, ϖ y τ ϖ son las constantes de tempo. 3.1 Dseño de control en cascada convenconal El controlador en cascada estándar de composcóntemperatura está compuesto por: () un lazo de composcón, donde el lazo prmaro es manejado por la medcón de la concentracón y calcula los requermentos de temperatura en un punto del reactor y () un lazo de temperatura que manpula la temperatura de enframento ϖ, llevando al set pont la temperatura calculada en el lazo prmaro. Las reglas de sntonzado son de acuerdo a modelos de control nterno (IMC) (Morar y Zafrou, 1989). 3.1.1 Lazo de composcón La funcón de transferenca que descrbe la relacón entre la composcón-temperatura puede ser descrto por el cocente de las ecs. (16) y (17) tal que, y( s ) G ϖ y(s) = = G y(s) (18) (s) G ϖ (s) así que τϖ s + 1 G y(s) = K y exp( ε ϖ ys) (19) τϖ ys + 1 31
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 donde Ky = K ϖy / Kϖ. Para condcones cercanas al estado estaconaro se puede aproxmarτ s ϖ + 1 τ s ϖ y + 1, lo que ndca que la dnámca del retardo exp( ε ϖ ys ) domna la dnámca global. Esto mplca que G y(s) K yexp( ε ϖ ys) () y en consecuenca, la regulacón del lazo de composcón se puede realzar con una retroalmentacón ntegral smple, KI,y 1 C y (s) =, K I,y = s Kyτ I,y con la gananca ntegral K I,y ajustada de acuerdo a las reglas de sntonzado (IMC) (Morar y Zafrou, 1989): τ I,y alrededor de 1.5 a veces el tempo muerto ε. 3.1. Lazo de temperatura El lazo secundaro está basado en (17). En procesos de prmer orden un compensador PI es generalmente sufcente para alcanzar los objetvos de regulacón (Morar y Zafrou, 1989), y s el error de regulacón está dado por e(s) =,ref (s) (s) y la varable manpulada es ϖ, el controlador PI correspondente está dado por 1 1 τϖ C (s) K 1 ϖ = c, + ; K c, = τ I, Kϖ τ donde τ I, = τ ϖ, con gananca K c, y tempo τ c, ntegral. De acuerdo a las reglas de sntonzado (Morar y Zafrou, 1989): τ está alrededor de.75 a 1.5 veces de τ ϖ. 3. Dseño de control en cascada propuesto A fn de explotar las dferentes propedades de respuesta frente a perturbacones de los sensores en dferentes poscones a lo largo del reactor, redseñamos el control en cascada convenconal composcón-temperatura cambando el lazo de temperatura por un lazo de temperatura promedo ponderada ( av ), av es un promedo ponderado de las medcones de temperatura de tres sensores de temperatura colocados a lo largo de la poscón axal del reactor tubular, como se presenta en (1) av = α (., τ ) + β( 5., τ ) + γ( 8., τ ) (1) donde α, β y γ son parámetros de ponderacón por sntonzar, la suma de los parámetros de ponderacón debe ser la undad (α + β + γ = 1 ). El lazo de temperatura está basado en un modelo de prmer orden, empleando ahora un promedo de temperaturas obtenemos av(s) Kϖ av = G ϖ (s) = () av ϖ(s) τ ϖ + 1 av En comparacón con el control en cascada estándar de composcón-temperatura, la propuesta del esquema con tres medcones de temperatura debe tener una respuesta más rápda para el rechazo de perturbacones a lazo cerrado, dado que un sensor de temperatura cercano a la entrada del reactor detecta rápdamente los cambos en las condcones de entrada al reactor y un sensor de temperatura cercano a la salda del reactor se aproxma a las condcones requerdas a la salda del reactor. 4. Smulacones numércas En esta seccón se presentan smulacones numércas del esquema de control propuesto frente a un lazo de control en la composcón y frente al esquema de control en cascada convenconal en reactores tubulares. El objetvo del control es mantener la composcón a la salda del reactor a una referenca dada, consderando perturbacones en la concentracón y temperatura a la entrada del reactor y frente a ncertdumbres en los parámetros del sstema. La ntegral del error de regulacón al cuadrado, es usado como un índce para cuantfcar el comportamento del esquema de control. 4.1 Perfl cuas-lneal t = ref E (y y(t)) dt (3) El esquema de control en cascada convenconal de composcón-temperatura se basa en (17) y (), empleando úncamente una retroalmentacón Integral (I) para el lazo de composcón y una retroalmentacón Proporconal-Integral (PI) para el lazo de temperatura. El lazo de temperatura es propuesto para tres poscones del sensor de temperatura en ξ = {.,,.8). Los parámetros del controlador son determnados acorde a las reglas de sntonzado (IMC), la gananca ntegral del lazo de composcón es K I,y = {1.45,.6567, 4.5381} y los valores de las constantes del controlador PI para el lazo de temperatura son: K c, = {.881,.3179,.1861} y τ I, ={.718, 1.1367, 1.74} para las poscones ξ = {.,,.8}, respectvamente. Una vez que el reactor es establzado a una concentracón admensonal determnada (y = ), para los tres casos el reactor fue sujeto a una secuenca de perturbacones en la almentacón: ) a τ = un +1% en la concentracón de entrada al reactor; a τ = 6 un +% en la temperatura de entrada al reactor y fnalmente en τ = 1 un 1% en la temperatura de entrada al reactor. El desempeño del controlador en cascada frente a las perturbacones arrba menconadas, empleando dferentes medcones de temperatura a lo largo del reactor se muestra en la Fg. 3a. En la Fg. 3b se presenta la ntegral del error 313
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 a) Concentracon admensonal ξ(1) 4 3 1.49.48.47.46 4 6 8 1 1 14.9.8.7.6.4.3..1 cascada ξ(.) cascada ξ(.8) cascada ξ(.) cascada ξ(.8) 4 6 8 1 1 14 b) Fg. 3. Control en cascada convenconal con sensor de temperatura en poscón admensonal. y.8: perfl cuas-lneal, a) regulacón de concentracón a y ref = frente a perturbacones y b) ntegral del error al cuadrado. de los tres casos donde se apreca de manera general que el controlador en cascada con sensor de temperatura en la poscón ξ () tene un mejor desempeño. Sn embargo, se observa en la Fg. 3b que la respuesta del controlador a dferentes perturbacones depende de la poscón del sensor de temperatura, a perturbacones en la concentracón el control con lazo de temperatura en ξ (.) tene una respuesta más rápda que ξ (.8), por otro lado, frente a perturbacones en la temperatura el control con lazo de temperatura en ξ (.8) la respuesta es más rápda que en ξ (.), esto nos lleva reflexonar que lo deal sería poder explotar las propedades de los controladores combnados, lo que nos conduce al esquema de control en cascada empleando un promedo de las tres medcones. Para el dseño del controlador propuesto se emplean las ecs. () y (). Los valores de los parámetros del controlador son determnados para cada terca de valores de ponderacón. El peso de los valores α, β y γ es asgnado a partr de las respuestas del controlador frente a perturbacones (arrba descrtas). La ntegral del error al cuadrado correspondente las combnacones de parámetros α, β y γ más representatvos se muestran en la Fg. 4, donde se apreca que el controlador con mayor peso al sensor en ξ (.) tene un mejor desempeño, así.9.8.7.6.4.3..1,(α=.1,β=.,γ=.7),(α=.,β=.3,γ=),(α=.3,β=.4,γ=.3),(α=.7,β=.,γ=.1),(α=.4,β=,γ=.1),(α=.1,β=.8,γ=.1) 4 6 8 1 1 14 Fg. 4. de la respuesta a perturbacones del controlador en cascada con av para determnar los valores de ponderacón α, β y γ; perfl cuas-lneal. msmo la dstrbucón de peso entre los sensores en ξ (.) y ξ () dan un buen desempeño. Para fnes de comparacón dseñamos un controlador con un solo lazo de retroalmentacón, regulando la composcón medante la manpulacón de la camsa de enframento. El controlador está basado en (16); en modelos (E/S) de prmer orden más tempo muerto es sufcente emplear una retroalmentacón PI, los parámetros del controlador son: K c,ϖy =.7116 y τ Ι,ϖy = 1.4987 calculados en base a las reglas IMC (Morar y Zfrou, 1989). Consderamos los valores de ponderacón en α =.7, β =. y γ =.1 para hacer la comparacón de control propuesto con el controlador en cascada convenconal con sensor de temperatura localzado en ξ () y el controlador con un solo lazo de retroalmentacón. En la Fg. 5a se muestra el desempeño de los dferentes controladores frente a las perturbacones arrba menconadas. El cuadrado del error se muestra en la Fg. 5b, observamos que el comportamento del control en cascada propuesto tene mejor desempeño que el control en cascada convenconal y que un dseño de control con un solo lazo de composcón. La varacón dnámca de la temperatura admensonal (ξ = 1) y la varable de control se muestran en las fgs. 5c y 5d, respectvamente. Fnalmente, para verfcar la robustez del controlador propuesto frente a ncertdumbres en los parámetros del modelo, ntroducmos varacones en los parámetros del sstema y sometendo al sstema a perturbacones en la almentacón. Se realzaron cambos en los sguentes parámetros: ) varacón del número de Péclet másco (Pe ) ± 1% del valor nomnal y ) aumento de 1% en la energía de actvacón admensonal (λ). En la Fg. 6a se muestra el desempeño del controlador. La ntegral del error al cuadrado correspondente a la Fg. 6a muestra que el controlador propuesto es robusto frente a ncertdumbres en los parámetros de modelado. 314
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 6.5 4 Concentracon admensonal (ξ=1).48.46.44 sn cascada 1.5 1 sn cascada.4 4 6 8 1 1 14 5 1 15.5 Temperatura admensonal (ξ=1).4.3..1 1.9 1.8 1.7 sn cascada Varable de control (ϖ).3..15.1 sn cascada 1.6 4 6 8 1 1 14.5 4 6 8 1 1 14 c) d) Fg. 5 Desempeño de esquemas de control, un solo lazo de retroalmentacón PI, control en cascada clásco y control en cascada propuesto: perfl cuas-lneal, a) dnámca frente a perturbacones, b) ntegral del error al cuadrado, c) dnámca de temperatura admensonal (ξ = 1) y d) varable de control. 4.7 Cocentracon admensonal (ξ=1) 3 1.49.48 + 1% Pe - 1% Pe + 1% λ sn varacon.6.4.3..1 + 1% Pe - 1% Pe + 1% λ sn varacon.47 4 6 8 1 1 14 4 6 8 1 1 14 Fg. 6. Pruebas de robustez al controlador propuesto, varacón de los parámetros del modelo. Perfl cuas-lneal, a) regulacón de concentracón a y ref = frente a perturbacones y b) ntegral del error al cuadrado. 4. Perfl con hot spot Para este caso el control en cascada con una sola medcón se plantea como en la seccón anteror en tres poscones dstntas ξ = {.,,.8}, consderando que ξ =. corresponde a la localzacón típca de un hot spot en los reactores tubulares. Para las smulacones numércas empleamos los sguentes valores de los parámetros del controlador: la gananca ntegral del lazo de composcón es K I,y = {15.7894, 18.753, 16.3443} y las constantes del controlador PI para el lazo de temperatura son: K c, = {1.939, 1.193, 1.43} y τ I, ={.156,.1644,.1565} para las poscones ξ = {.,,.8) respectvamente. El reactor fue establzado a una composcón de y =.8 y posterormente el reactor fue sujeto a una secuenca de perturbacones en las condcones de almentacón: ) a τ = un +1% en la concentracón de entrada al reactor; a τ = 3 un +% en la temperatura de entrada al reactor y fnalmente en τ = 4 un 1% en la temperatura de 315
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318.8.815..18 Concentracon admensonal (ξ=1).81.85.8.795.79.785 ξ(.) ξ() ξ(.8).16.14.1.1.8.6.4.,(α=.,β=.3,γ=),(α=.,β=.4,γ=.4),(α=.3,β=.4,γ=.3),(α=.7,β=.,γ=.1),(α=.,β=,γ=.3),(α=.,β=.6,γ=.) a).78.35.3.5..15.1.5 5 3 35 4 45 5 ξ(.) ξ() ξ(.8) 5 3 35 4 45 5 b) Fg. 7. Control en cascada convenconal con sensor de temperatura en poscón admensonal. y.8: perfl con hot spot, a) regulacón de concentracón a y ref = frente a perturbacones y b) ntegral del error al cuadrado. entrada al reactor. La Fg. 7a muestra el desempeño de los controladores. Como en el caso anteror (perfl de temperatura cuas-lneal) el controlador con sensor de temperatura en ξ = () tene el mejor desempeño (ver Fg. 7b). Es nteresante señalar que el comportamento del contralor con sensor de temperatura en ξ = (.) es mejor que en ξ = (.8) para el caso con perfl cuas-lneal (ver Fg. 3b) y que para el caso con perfl con hot spot las repuestas son contraras (ver Fg. 7b), esta stuacón puede ser explcada de la sguente forma: cuando el perfl presenta hot spot la dnámca cercana a la entrada del reactor es domnada por el calor de reaccón dejando en segundo plano el transporte en la pared, así que es más dfícl controlar la temperatura del reactor medante la temperatura de enframento y en consecuenca un pobre desempeño del controlador, por otro lado cuando tenemos una dnámca con perfl de temperatura cuas-lneal, un sensor de temperatura localzado cercano a la entrada del reactor se ve favorecdo por la pronta deteccón en los cambos en la almentacón del reactor y toma rápdas accones de correccón. 5 3 35 4 45 5 Fg. 8. de la respuesta a perturbacones del controlador en cascada con av para determnar los valores de ponderacón α, β y γ; perfl con hot spot. La determnacón de los parámetros de ponderacón (α, β y γ) se realza de manera Heurístca proponendo varacones en la combnacón de los valores de ponderacón. La Fg. 8 muestra las combnacones de valores más representatvos, determnando que el controlador tene el mejor desempeño cuando el peso está cargado al sensor en ξ = (). Se compara el controlador propuesto con el esquema de control en cascada clásco y con un controlador PI con un solo lazo de retroalmentacón (regulacón de la composcón a la salda del reactor manpulando la temperatura de enframento). Los parámetros del controlador son K c,ϖy = 4.898 y τ Ι,ϖy =.376. En la Fg. 9a se muestra el desempeño de los controladores PI, control en cascada clásco y control en cascada con av, observando que el control propuesto tene un mejor desempeño (ver Fg. 9b). La dnámca de la temperatura admensonal del reactor en ξ =1 y la varable de control se muestran en las fgs. 9c y 9d respectvamente. La robustez del controlador se verfca a las msmas condcones que el caso anteror. La Fg. 1a muestra el desempeño del controlador frente a ncertdumbres en los parámetros del modelo y la Fg. 1b presenta la ntegral del error de regulacón al cuadrado de la Fg. 1b. A pesar de los dversos comportamentos que puede presentar un reactor tubular, el desempeño de un controlador en cascada de composcóntemperatura es mejor cuando el sensor de temperatura está localzado en el centro del reactor tubular. Un esquema de control en cascada composcón-temperatura puede ser reforzado medante el uso de múltples sensores de temperatura (esto provee al controlador nformacón del reactor en dferentes poscones) en el lazo secundaro. Es de esperar que a mayor cantdad de sensores el desempeño del controlador deba ser mejor (mayor cantdad de nformacón), sn embargo el problema de la asgnacón de peso a cada sensor se vuelve más 316
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318.85.4.8.35 Concentracon admensonal (ξ=1).815.81.85.8.795 sn cascada.3.5..15.1.5 sn cascada.79 5 3 35 4 45.9 5 3 35 4 45 5 Temperatura admensonal (ξ=1).85.8.75.7.65 sn cascada Varable de control (ϖ)..15 sn cascada.6.1 5 5 3 35 4 45 5 3 35 4 45 5 c) d) Fg. 9. Desempeño de esquemas de control, un solo lazo de retroalmentacón PI, control en cascada clásco y control en cascada propuesto: perfl con hot spot, a) dnámca frente a perturbacones, b) ntegral del error al cuadrado, c) dnámca de temperatura admensonal (ξ = 1) y d) varable de control..15.85 + 1% Pe Concentracon admensonal (ξ=1).8.815.81.85.8.795-1% Pe + 1% λ sn varacon.1.5 + 1% Pe - 1% Pe.79 + 1% λ sn varacon.785 5 3 35 4 45 5 5 3 35 4 45 5 Fg. 1. Pruebas de robustez al controlador propuesto, varacón de los parámetros del modelo. Perfl con hot spot, a) regulacón de concentracón a y ref = frente a perturbacones y b) ntegral del error al cuadrado. complejo. Por otra parte, emplear solo dos sensores de temperatura nos lleva a dscutr cual es la poscón más adecuada para colocar el sensor adconal, Urrea y col., (7) proponen colocar el segundo sensor antes del hot spot, sn embargo nuestro estudo muestra que para dnámcas donde se presenta el hot spot es más útl colocar el sensor de temperatura más cerca de la salda que a la entrada del reactor y para dnámcas con perfl cuas-lneal es más convenente colocar el sensor cerca de la entrada del reactor. Acorde a lo anteror podemos sugerr que el número mínmo de sensores para fortalecer un controlador en cascada de composcón-temperatura son tres, dstrbudos smétrcamente en la dreccón axal del reactor. Medante una adecuada dstrbucón de peso en los parámetros de ponderacón de los sensores garantzamos que el controlador tendrá un mejor desempeño que el control en cascada convenconal. 317
E. Hernández-Martínez y col./ Revsta Mexcana de Ingenería Químca Vol. 7, No. 3 (8) 39-318 Conclusones En este trabajo hemos mostrado medante smulacones numércas que la ncorporacón de dos medcones de temperatura dentro de un esquema de control en cascada clásco mejora el comportamento del dseño de control ncrementando la capacdad de rechazo a perturbacones del componente secundaro de control. La mejora en el desempeño del controlador se debe al acoplamento de las dferentes capacdades de rechazo de perturbacones de acuerdo a la localzacón del sensor de temperatura en el lazo secundaro del controlador en cascada, un sensor localzado en ξ =. detecta rápdamente las perturbacones a la entrada del reactor y un sensor localzado en ξ =.8 provee nformacón cercana a las condcones requerdas en la salda del reactor. Una mportante característca del dseño de control es que el ajuste de sensores de temperatura es fácl y económco. Nomenclatura B =( ΔHc n / ρcpt n )(E / RT n ), temperatura adabátca admensonal c concentracón, mol m -3 c n concentracón del reactante a la entrada del reactor, mol m -3 Cy ( s ) funcón de transferenca de control del lazo prmaro. C ϖ ( s) funcón de transferenca de control del lazo secundaro. Cp capacdad calorífca; J kg -1 K -1 d dámetro del reactor, m Da =(k o L / V)e -(E / RTn), numero de Damköhler D ma coefcente de dspersón másco en dreccón axal, m s -1 E energía de actvacón, J mol -1 h coefcente de transporte de calor de la pared del reactor, W m - K -1 ΔH calor de reaccón, J mol -1 k o constante cnétca, m 3 mol -1 L longtud del reactor, m Pe = ρcplv / λ ea, numero de Péclet de transporte de calor Pe y = LV / D ma, numero de Péclet de transporte de masa R constante de los gases deales, J mol -1 K -1 s varable de Laplace. t tempo, s T temperatura del reactor, K. T temperatura de enframento, K. T n temperatura de entrada al reactor, K. V velocdad lneal, ms -1 x poscón axal, m Símbolos gregos λ = E / RT n, energía de actvacón admensonal λ ea coefcente de dspersón de energía en dreccón axal, m s ρ densdad del fludo, kg m -3 σ = (4h / d)(l / ρcpv), parámetro admensonal de transporte de calor Referencas Alvarez-Ramrez J., Suarez R., and Morales A. (). Cascade control for a class uncertan nonlnear systems: A backsteppng desgn approach. Chemcal Engneerng Scence 55, 1695-171 Chrstofdes, P. D. (1). Nonlnear and robust control of PDE systems: Methods and applcatons to transport-reacton processes. Boston: BrkhXauser. Froment, G. and Bschoff, K.B. (199). Chemcal Reactor Analyss and Desgn, nd Ed., John Wley and Sons, Inc. Hoo K., Zheng D., (). Lo order control relevant models for a class of dstrbuted parameters systems. Chemcal Engneerng Scence 56, 6683-671. Hua X., Jutan A., (). Nonlnear nferental Cascade control of Exothermc Fed-Bed Reactors. AIChE J. 46 (5) 98-996. Morar M. and Zfrou E. (1989). Robust Process Control. Prentce Hall, Ne York. Lefervre, L., Dochan, D., Feyo de Azevedo, S., Magnus A. (). Optmal selecton of orthogonal polynomals appled to the ntegraton of chemcal reactor equatons by collocaton methods. Computers and Chemcal Engneerng 4, 571-588 L M., Chrstofdes D. (7). An nput/output approach to the optmal transton control of a class of dstrbuted chemcal reactors. Chemcal Engneerng Scence 6, 979-988. Pearson J.R.A. (1959). A note on the "Danckerts" boundary condtons for contnuous flo reactors. Chemcal Engneerng Scence 1, 81-84. Pellegrne L., Posso C.T., Alberton S., Bard G. (1993). Dfferent scenaros n a controlled tubular reactor th a counter current coolant. Chaos Solutons and Fractals 3(5), 537-549. Urrea R., Alvarez J., Alvarez-Ramrez J. (8), Lnear PI temperature-composton cascade control for tubular reactor. Chemcal Engneerng Communcatons 195, 7 83-8 Varma A., Ars R. (1977) Strred pots and empty tubes. In L. Lapdus & Admunson N. R. Chemcal Reactor Theory (pp. 79-154), Prentce Hall Wu W., Huang M. (3). Nonlnear nferental control for an exothermc packed-bed reactor: Geometrc approaches. Chemcal Engneerng Scence 58, 3-34. 318