8QYHUVGD 7HQROJ DRQDO )DXOWD 5HJRQD %XHQR $UHV CURSO DE ESPECIAIZACIÓN QWURGX D pwrg G (OHPHQWR )QWRV &RQHSWR G HiQ G OR 6OGRV Dr. Ing. Cladio E. Joglard Notas del Crso dictado en el º catrimestre de
QGH CONCEPTOS DE MECÁNICA DE OS SÓIDOS... Estados planos de tensiones deformaciones.... Deformaciones desplazamientos.... Ecaciones de eqilibrio... 4.3 Relaciones tensión-deformación... 7 Trabajo energía... 9. Trabajo de na ferza... 9. Energía de deformación....3 Ejemplo: Energía de deformación para igas... 4 3 Principios ariacionales... 7 3. Nociones de cálclo ariacional... 7 3. Principios ariacionales asociados a ecaciones diferenciales... 8 3.3 Principio de mínima energía potencial... 3.4 Principio de los trabajos irtales... 3.5 Ejemplo de aplicación: igas de ejes recto... 3 Referencias... 5
&RQHSWR G HiQ G OR 6OGRV Se mostrarán en este apnte algnos conceptos básicos de mecánica de los sólidos. En primer lgar describiremos estados planos de tensiones deformaciones lego se detallarán los conceptos de trabajo energía de deformación finalmente se darán algnas nociones de cálclo ariacional se describirán los principios ariacionales más sales para la resolción de problemas estrctrales. ESTADOS PANOS DE TENSIONES Y DEORMACIONES os conceptos fndamentales definiciones ecaciones sadas en el análisis de tensiones deformaciones se tratan específicamente en la disciplina llamada teoría de la elasticidad. Estos fndamentos son sados para resoler problemas de tensiones por métodos clásicos ó analíticos también por el método de elementos finitos. Por simplicidad sólo abordaremos problemas en dos dimensiones en coordenadas cartesianas. Un tratamiento más detallado generalizado pede encontrarse en los libros clásicos de teoría de la elasticidad [].. Deformaciones desplazamientos. as relaciones entre deformaciones desplazamientos son n ingrediente clae en la formlación de elementos finitos para problemas de análisis de tensiones. Analizaremos en el caso particlar m sal en estrctras ciiles de las deformaciones de cerpos sometidos a desplazamientos m peqeños. Consideremos na barra de longitd l qe es sometida a n estiramiento niforme l en s etremo hasta alcanzar na longitd l f. l l l f igra. Deformación longitdinal de na barra. a deformación longitdinal de la barra es definida como el cociente entre el estiramiento la longitd original esto es
Conceptos de Mecánica de los Sólidos l l f l () l l En general na barra pede estar sometida a estiramientos ariables a lo largo de s longitd. ego es coneniente definir la deformación a niel infinitesimal considerando n segmento diferencial de barra d como se mestra en la figra. Si llamamos () al desplazamiento en la dirección longitdinal de n pnto en la posición entonces n pnto sitado a na distancia d sfrirá n desplazamiento d. d d d d igra. Deformación longitdinal de n segmento diferencial de barra. Debido a los desplazamientos de ss etremos el segmento de barra d se estira na cantidad (d). Por la definición de deformación longitdinal es el cociente de la ariación de longitd respecto a la longitd original por lo tanto: Analizando la figra tenemos resltando Sbstitendo en la ecación () reslta d () d d d d d (3) d d (4) d (5) d ego esta epresión nos dice qe la deformación longitdinal de n segmento de barra d debe ser igal a la deriada del desplazamiento en la dirección longitdinal respecto de. Este concepto se pede etender a dos dimensiones si consideramos n elemento de área diferencial de lados d d sometido a n estiramiento niforme en la dirección (igra 3). En este caso la deformación longitdinal en la dirección se define como d (6) d Analizando la figra 3 tenemos n resltado similar al anterior esto es d d (7)
Introdcción al Método de Elementos initos 3 d d d d d d igra 3. Deformación longitdinal de n elemento diferencial de area. Pero ahora el desplazamiento en la dirección será en general na fnción de pero dado qe hemos spesto qe el desplazamiento es niforme para el elemento de área diferencial esto es no aria en la dirección entonces se debe cmplir qe ego reemplazando en la ecación (6) reslta Un análisis similar en la dirección nos dá: d d d (8) (9) () donde es el desplazamiento en la dirección. Además de las deformaciones longitdinales en n elemento de área tenemos también deformaciones anglares ó por corte. a deformación por corte es definida como la ariación anglar de n ánglo inicialmente recto. Consideremos n ánglo recto formado por la intersección de dos segmentos de longitd diferencial paralelos a los ejes coordenados qe se deforma como se mestra en la figra 4. Si llamamos β al ánglo formado por el segmento d con el eje si llamamos β al ánglo formado por el segmento d con el eje entonces el ánglo de distorsión por corte iene dado por la sma β β. Como los desplazamientos son asmidos m peqeños podemos aproimar al ánglo con s seno. Por lo tanto la deformación por corte es: γ β β sen β sen β ( d) ( d) d d ()
4 Conceptos de Mecánica de los Sólidos d β d d β d igra 4. Distorsión de n ánglo recto. notando qe a lo largo de la dirección tenemos a lo largo de la dirección tenemos por lo tanto reslta d d () d d (3) γ (4) En resmen las relaciones deformación desplazamiento en dos dimensiones en coordenadas cartesianas son: γ Como fe citado anteriormente formas especiales de estas relaciones como por ejemplo para sólidos de reolción ó s etensión a tres dimensiones peden encontrarse en los libros tradicionales de teoría de la elasticidad.. Ecaciones de eqilibrio. Eisten mchos problemas de ingeniería donde podemos considerar a n cerpo tridimensional como si fese n cerpo plano de espesor h mediante hipótesis de (5)
Introdcción al Método de Elementos initos 5 comportamiento apropiadas podemos asmir qe las cantidades de importancia arían en este plano permaneciendo constantes a lo largo del espesor. Así por ejemplo consideremos n cerpo plano deformable en eqilibrio sometido a ferzas de sperficie t en s contorno posiblemente también a ferzas de olmen b en s interior. Debido a estas ferzas el cerpo se deforma con desplazamientos en las direcciones respectiamente. En parte de s contorno estos desplazamientos peden estar restringidos (ig. 5). c b d d t igra 5. Cerpo plano cargado en eqilibrio. Debido a las deformaciones en el interior del cerpo se generan tensiones esto es ferzas por nidad de área qe deben estar en eqilibrio con las ferzas eternas actantes. Si tomamos n elemento de área diferencial de espesor constante h sobre las caras de este elemento actúan tensiones τ como se mestra en la figra 6. τ d d d τ τ b b τ d τ d d τ igra 6. Tensiones ferzas de olmen en n elemento de área diferencial. as ferzas de olmen b b tienen dimensiones de ferzas por nidad de olmen peden proenir de la acción de la graedad aceleración n campo magnético ó calqier
6 Conceptos de Mecánica de los Sólidos otra acción. Se las considera positia si actúan en las direcciones positias de los ejes coordenados. Sobre el elemento diferencial prodcen las ferzas diferenciales b dv b dv siendo dv el diferencial de olmen dv h d d. ego el eqilibrio de ferzas en la dirección reqiere qe: h d τ h d d h d (6) τ τ d h d b h d d Análogamente tenemos na ecación similar en la dirección. ego de simplificar estas ecaciones tenemos: τ b (7) τ Estas son las ecaciones diferenciales de eqilibrio qe deben cmplirse para calqier pnto del cerpo. Además en el contorno donde haa ferzas aplicadas deben eqilibrarse con las tensiones. b d n cosα n ds t d α α t senα n ds τ d τ ds d igra 7. Tensiones ferzas de sperficie en el contorno. as ferzas de sperficie t t tienen dimensiones de ferzas por nidad de sperficie proienen de acciones sobre el contorno del cerpo. Se las considera positia si actúan en las direcciones positias de los ejes coordenados. Sobre el elemento diferencial prodcen las ferzas diferenciales t h ds t h ds siendo ds el diferencial de n segmento de línea sobre el contorno ca normal es n. ego el eqilibrio de ferzas en la dirección reqiere qe:
Introdcción al Método de Elementos initos 7 diidiendo ambos lados por ds tenemos: t h ds h d τ t n τ n h d (8) (9) donde n n son las componentes según los ejes del ector nitario normal. De manera análoga en la dirección tenemos: t n τ as ecaciones de eqilibrio (7) no son sficientes para determinar el estado de tensiones de n cerpo deformable sometido a ferzas a qe tenemos dos ecaciones diferenciales de eqilibrio para tres ariables incógnitas τ. ego es necesaria na ecación adicional qe es proista por la condición de compatibilidad. Esta ecación se epresa en términos de deformaciones como n γ El cmplimiento de esta ecación asegra qe los desplazamientos qe generaron estas deformaciones son continos nialados esto es poseen n alor único para cada pnto. ego es necesario relacionar las deformaciones con las tensiones para poder tilizar esta ecación..3 Relaciones tensión - deformación. Casi todos materiales sados en ingeniería poseen hasta n cierto grado la propiedad de elasticidad. Esto implica qe si las ferzas eternas qe proocaron la deformación de n cerpo cesan de actar entonces las deformaciones desaparecen el cerpo recobra s configración original. Un caso particlar de sólidos elásticos son los qe satisfacen relaciones lineales entre tensiones deformaciones. Si además estos sólidos poseen las mismas propiedades en todas las direcciones el material es llamado isotrópico. Podemos distingir dos tipos particlares de problemas de estados planos: estados planos de tensiones estados planos de deformaciones. En los problemas de estados planos de tensiones se desprecian todas las tensiones perpendiclares al plano. Para este caso aplicable a sólidos planos de espesor m peqeño las relaciones tensión-deformación para n material elástico lineal isotrópico son: τ E ( ) γ donde E es el módlo de elasticidad es el módlo de Poisson. Usando notación matricial esta relación se pede epresar como () () () D (3) Donde son los ectores de tensiones deformaciones respectiamente
8 Conceptos de Mecánica de los Sólidos γ τ (4) D es la llamada matriz constittia qe para estados planos de tensiones ale ) ( E D (5) En los problemas de estados planos de deformaciones se desprecian todas las deformaciones perpendiclares al plano. Para este caso aplicable por ejemplo a presas de gran longitd las relaciones tensión-deformación para n material elástico lineal isotrópico son: E γ τ ) ( ) )( ( (6) Nótese qe si definimos las constantes E* E /(- ) * /(-) las reemplazamos en las relaciones (5) para estados planos de tensiones se obtienen las relaciones (6) para estados planos de deformación. Esto es importante desde el pnto de ista de implementación comptacional a qe n programa diseñado para resoler estados planos de tensiones pede ser sado sin modificaciones para resoler problemas de estados planos de deformaciones simplemente tilizando las constantes elásticas apropiadas a cada caso. ego es posible inertir las relaciones de la ecación (5) para obtener las deformaciones τ en fnción de las deformaciones γ como E τ γ ) ( (7) Reemplazando estas relaciones en la ecación de compatibilidad (5) reslta τ ) ( (8) ego para obtener el estado de tensiones de n cerpo plano sometido a ferzas eternas de olmen b de sperficie t debemos resoler simltáneamente el sistema de tres ecaciones diferenciales formado por las ecaciones diferenciales de eqilibrio (7) la ecación de compatibilidad en tensiones (8). En general la solción directa de estas ecaciones diferenciales solo es posible en n número m redcido de casos de geometría bastante simple. ego es necesario tilizar técnicas alternatias de solción para casos más complicados. Entre las alternatias posibles tenemos las técnicas basadas en principios ariacionales métodos de residos ponderados. a importancia de estas técnicas radica no
Introdcción al Método de Elementos initos 9 solo en el hecho de poder consegir la solción eacta en na forma alternatia sino qe además siren para obtener solciones aproimadas formando el fndamento de na gran parte de los métodos nméricos actalmente tilizados como el método de elementos finitos. TRABAJO Y ENERGÍA os conceptos de trabajo energía son importantes para el planteo de los llamados principios energéticos de la mecánica sobre los qe se basan la maoría de los métodos nméricos empleados para obtener solciones aproimadas de problemas estrctrales.. Trabajo de na ferza. Considere na ferza actando sobre na partícla con ector posición r qe se traslada sobre na traectoria cra entre dos pnto a b. a r a r dr r dr r b b igra 8. Desplazamiento de la ferza sobre na traectoria cra. Para n desplazamiento diferencial dr de la partícla la ferza realiza n trabajo incremental W qe se define como: W. dr d d ego el trabajo total realizado por la ferza sobre la partícla entre a b es: b W W a rb ra (9). dr (3) En na gran cantidad de casos en la natraleza las componentes del ector peden deriarse de na fnción escalar V esto es: V (3) V
Conceptos de Mecánica de los Sólidos Y el ector de ferzas peden epresarse como menos el gradiente de la fnción V esto es V a fnción V es conocida como la energía potencial asociada al campo de ferzas para este tipo particlar de ferzas el incremento infinitesimal de trabajo W se pede epresar como na diferencial eacta: ego el trabajo total realizado por la ferza es: (3) V V W d d dv (33) b b V V W W d d a a b a dv V Nótese qe trabajo total solo depende de los alores de la fnción potencial en a en b por lo tanto es independiente de la traectoria empleada para nir estos pntos. as ferzas cas componentes se peden deriar de na fnción potencial son llamadas conseratias. Consideremos ahora na ferza de dirección constante sea el desplazamiento en la dirección de la ferza para el pnto donde está aplicada la ferza. Si el módlo de es na fnción () creciente con el desplazamiento como se mestra en la figra 9 a V b (34) a d d a igra 9. erza de magnitd creciente con los desplazamientos. ego el trabajo de la ferza al recorrer na distancia a en s dirección es: a a W dr d (35) Esto es el trabajo es igal al área encerrada bajo la cra. Si la relación entre es lineal como en el caso de na ferza elástica (figra ) esto es: e k (36) Donde k es na constante. ego el trabajo realizado por esta ferza a recorrer na distancia es: W k ( k ) d ( k ) e d (37)
Introdcción al Método de Elementos initos e e k e igra. Trabajo de na ferza elástica. O sea el trabajo es el área encerrada por el triánglo. W e d ( k ) e (38) Notemos qe los trabajos de ferzas elásticas son conseratios.. Energía de deformación. Cando n cerpo elástico es sometido a deformaciones ss ferzas internas realizan trabajo qe se designa como energía de deformación. Consideremos el incremento diferencial de trabajo de las tensiones en n elemento diferencial de olmen d d dz cando los desplazamientos se incrementan en na cantidad infinitesimal d d d ( d) igra. Trabajo incremental de las tensiones. El trabajo realizado por las ferzas resltantes de las tensiones en cada cara d dz drante n incremento diferencial de los desplazamientos es. ( d dz) (( d d dz)( d) W ) Despreciando infinitésimos de orden sperior el incremento de trabajo es (39)
Conceptos de Mecánica de los Sólidos Y notando qe en la dirección ( d dz) d W (4) d d d (4) ego el incremento diferencial d para el elemento de longitd d ale: d d por lo tanto el incremento infinitesimal de trabajo es W d d d d dz Si llamamos U a la energía de deformación por nidad de olmen n incremento diferencial du de esta energia debe ser igal al incremento del trabajo interno por nidad de olmen esto es du ego la energía de deformación especifíca U será U (4) (43) d (44) (45) Y finalmente la energía de deformación total será la integral sobre todo el olmen de la energía de deformación específica U U d U d d d (46) En general las tensiones peden ser fnciones no lineales de las deformaciones d igra. Relación no lineal tensión deformación. Para el caso particlar de n material lineal (esto es qe cmple la le de Hooke) reslta U d (47)
Introdcción al Método de Elementos initos 3 Para las tensiones de corte el incremento de trabajo proocado por las ferzas resltantes de las tensiones τ en cada cara d dz por las ferzas resltantes de las tensiones τ en cada cara d dz drante incrementos diferenciales de los ánglos β β es (figra 3) W [( τ dτ ) d dz ( d) ] [( τ dτ ) d dz ( d) ] Despreciando infinitésimos de orden sperior el incremento de trabajo es ( τ d dz) d ( τ d dz) d (48) W (49) d τ dτ d d τ dτ β d d β d igra 3. Trabajo incremental de las tensiones de corte. Y notando qe reslta d d (5) d d d d d (5) d d d ego el incremento infinitesimal de trabajo es W τ d d dzd τ d d dzd (5) Esto es W τ d d ddz (53) O sea
4 Conceptos de Mecánica de los Sólidos es W τ dγ d d dz (54) ego n incremento diferencial du de la energia de deformación por nidad de olmen du τ dγ (55) por lo tanto la energía de deformación U por nidad de olmen será U γ τ γ (56) Y la energía de deformación total será la integral sobre todo el olmen de la energía de deformación específica U U d γ U d τ dγ d (57) Para el caso particlar de n material lineal (esto es qe cmple la le de Hooke) reslta U τ γ d inalmente si el material es elástico lineal la energía de deformación total prodcida por todas la tensiones es: ( τ γ ) U d (58) (59).3 Ejemplo: Energía de deformación para igas. Consideremos na iga de eje recto sección constante A adoptamos n sistema de coordenadas con el eje coincidiendo con el eje centroidal de la iga con los ejes z siendo ejes pricipales de inercia de la sección (er fig. 4): p z igra 4. Viga de eje recto sección constante. Consideramos a la iga en n estado plano de tensiones despreciando las tensiones erticales por ser mcho más peqeñas qe las tensiones τ. ego asmiendo n comportamiento lineal para el material la energía de deformación de la iga reslta U V ( τ γ )dv (6)
Introdcción al Método de Elementos initos 5 Considerando deformaciones peqeñas el mantenimiento de secciones planas es posible despreciar las deformaciones de corte. ego la energia de deformación qeda: U V dv (6) p θ p igra 5. Desplazamiento del eje de la iga de eje recto. lamando a los desplazamientos de n pnto del eje centroidal entonces los desplazmientos de n pnto p contenido en la misma sección se peden epresar como sen θ ( cos θ) Como por hipótesis las deformaciones son asmidas m peqeñas tenemos θ << esto implica qe Resltando cos θ sen θ tan θ d d (6) (63) (64) Para n material isotrópico lineal tenemos para n estado plano de tensiones ego de la última ecación reslta E E d d ( ) ( ) (65)
6 Conceptos de Mecánica de los Sólidos por lo tanto E a componente de deformación se pede epresar en fnción de los desplazamientos centroidales como d d Y la energía de deformación de la iga es d d d d (66) (67) (68) U esto es U d d (69) V dv E da d A d d d d d d d d (7) E da da da d A A A d d d d d d Notando qe el área iene dada por siendo el eje centroidal reslta da A (7) A Además el momento de inercia I de la sección iene dado por da A (7) A da I ego la energía de deformación para la iga qeda (73) U d d (74) E A d E I d d d Donde la primera integral representa la energía de deformación por esferzo aial la segnda integral es la energía de deformación por fleión. Notemos qe el esferzo normal N el momento flector M se obtienen integrando las tensiones sobre la sección N M d d d da E I d da E da E A (75) A A A da A E Por lo tanto la energía de deformación también se pede escribir como
Introdcción al Método de Elementos initos 7 U N M d d (75) E A E I 3 PRINCIPIOS VARIACIONAES. os principios ariacionales tienen n rol m importante en el método de elementos finitos a qe permiten generalizar la formlación para calqier problema gobernado por ecaciones diferenciales a deriadas parciales. 3. Nociones de cálclo ariacional. El cálclo ariacional se aplica sobre fncionales. Un fncional pede definirse como na fnción de fnciones así como na fnción f() depende de las ariables n fncional () depende de las fnciones. por ejemplo: () d d (76) donde () () son fnciones de las ariables independientes. En general el fncional también pede ser fnción de las deriadas de las fnciones también de. Por ejemplo ( ) (77) es n fncional qe depende de las ariables independientes de las ariables dependientes donde hemos sado la notación / / para las deriadas. Así como el diferencial df de la fnción f() iene dado por f f df d d (78) también es posible definir en forma análoga na ariación infinitesimal del fncional qe indicamos como δ donde el símbolo δ tiene el significado de ariación. Así para el fncional de la ec. (4) la ariación de iene dada por: /) /X /Y /X /Y /X /Y qe es similar al concepto de diferencial de na ariable pero aplicado solamente a las ariables dependientes. as ariaciones δ δ δ δ δ δ son arbitrarias pero peden estar sjetas a ciertas restricciones. Por ejemplo en la figra 6 emos la ariación δ de na cierta fnción () en n interalo [a b] donde se han impesto las restricciones qe las ariaciones sean nlas en los etremos del interalo esto es δ(a) δ(b). Se pede erificar qe las lees de ariación de las smas prodctos potencias etc. son completamente análogas a las lees de la diferenciación. Por ejemplo si () () entonces se cmple qe: (79)
8 Conceptos de Mecánica de los Sólidos b () δ a () a δ b igra 6. Variación de () sjeta a restricciones en los etremos. ( / / ) (8) /) /) Además el operador ariacional tiene la propiedad: d ( ) /) /) δ d (8) δ d d esto es la deriada de la ariación es igal a la ariación de la deriada. 3. Principios ariacionales asociados a ecaciones diferenciales. Un sistema de ecaciones diferenciales tiene n principio ariacional asociado si eiste n fncional tal qe la anlación de s primera ariación genera las ecaciones diferenciales del sistema. Por ejemplo considere el sigiente fncional definido sobre na región del plano: Π ( ) ( )d d Se desea encontrar n par de fnciones tales qe hagan estacionario a este fncional esto es: (8) δ Π() (83) Por el momento se spondrá qe son arbitrarias sobre la frontera Γ de. lego aplicando la condición de fncional estacionario reslta: δπ δ δ δ δ δ δ d d (84)
Introdcción al Método de Elementos initos 9 Considere la integración por partes por ejemplo del tercer término de esta epresión aplicando el teorema de Green: Γ d d ds n d d d d δ δ δ δ (85) donde n es la proección de la normal en la dirección. Con n procedimiento similar en los otros términos es posible eliminar todas las ariaciones de las deriadas qedando únicamente ariaciones de fnción resltando Γ ds n n n n d d δ δ δ δ δπ (86) Como esta epresión debe ser álida para ariaciones arbitrarias δ δ lego sobre el dominio deben ser nlos los términos entre corchetes esto es: (87) Estas ecaciones diferenciales obtenidas de la condición de hacer estacionario n fncional se llaman ecaciones de Eler. Además sobre el contorno Γ deben anlarse los términos entre corchetes de las integrales de contorno: n n n n (88) Estas condiciones de contorno se llaman condiciones de contorno natrales deben cmplirse en todo pnto del contorno donde las ariables peden ariar libremente. Si sobre algna parte del contorno las ariables tienen alores impestos estas condiciones de contorno son llamadas condiciones de contorno esenciales las ariaciones no deben alterar estos alores. En general si las ecaciones diferenciales (87) tienen deriadas hasta de orden m siendo m el orden de la máima deriada en entonces las condiciones de contorno qe contienen deriadas hasta orden m- son llamadas condiciones de contorno
Conceptos de Mecánica de los Sólidos esenciales las qe contienen deriadas de orden m hasta m- son llamadas condiciones de contorno natrales. Eisten fncionales para problemas de condcción de calor para ciertos tipos de fljos de flido para na gran ariedad de problemas de ingeniería. En general estos fncionales se derian de principios físicos. En mecánica estrctral los fncionales más tilizados son los obtenidos a partir de la aplicación del principio de mínima energía potencial ó del principio de los trabajos irtales. 3.3 Principio de mínima energía potencial. Considere na ferza actando sobre na partícla con ector posición r qe se traslada sobre na traectoria cra entre dos pnto a b. a r a r dr r dr r b b igra 7. Desplazamiento de la ferza sobre na traectoria cra. a segnda le de Newton para na partícla establece qe m r esto es la ferza resltante actando sobre la partícla debe ser igal al prodcto de la masa de la partícla por s aceleración. Donde hemos indicado con pntos a las deriadas respecto del tiempo (89) dr r (9) dt dr d r r dt dt Para n desplazamiento diferencial dr de la partícla la ferza realiza n trabajo incremental W qe se pede epresar como: dr dr W. dr m r. dr m. dr m dr. dt dt m dr. r d ( m r. r ) dt donde el lado derecho es el diferencial de la energía cinética T. (9)
Introdcción al Método de Elementos initos Diidiendo las ferzas qe actúan sobre la partícla en conseratias no conseratias tenemos W Wnc dv dt donde V es la energía potencial de las ferzas conseratias W nc es el incremento de trabajo de las ferzas no conseratias. Reagrpando términos tenemos ( T V ) de W nc d donde E TV es la denominada energía mecánica la ecación anterior epresa qe la ariación de energía mecánica de la partícla es igal al incremento de trabajo de las ferzas no conseratias. Ahora bien si sobre la partícla solo actúan ferzas conseratias además se encentra en eqilibrio estático (T ) tenemos qe dv Si consideramos n cerpo formado por infinitas partíclas donde los desplazamientos de cada partícla del cerpo ienen dados por fnciones entonces debe cmplirse qe δv esto es la ariación de la energía potencial debe ser nla. Notando qe esta es la condición para qe la fnción V tenga n etremo (se pede demostrar qe si el eqilibrio es estable V debe ser mínimo en la configración de eqilibrio) lego al cmplimento de la epresión anterior se lo denomina Principio de mínima energía potencial. Para el caso de n cerpo elástico la energía potencial total V se pede descomponer en dos partes: a) energía potencial U de deformación elástica asociada al trabajo de las tensiones internas b) energía potencial V c asociada al trabajo de las ferzas eternas conseratias aplicadas al cerpo. ego la energía potencial total es V U el aplicando el principio de mínima energía potencial reslta V e (9) (93) (94) (95) (96) δv δu δv (97) a energía potencial de deformación U iene dada por la integral e U U d donde U es la fnción densidad de energía de deformación qe para deformaciones peqeñas elásticas se pede epresar como: T T U D (98) (99) esto es como na fnción de las deformaciones γ U U γ ) ( ()
Conceptos de Mecánica de los Sólidos ego s ariación es δu U δ U δ U γ δγ () a ariación del potencial de ferzas eternas conseratias V e dependerá de la natraleza de estas ferzas. Por ejemplo si las ferzas eternas qe actúan sobre n cerpo tanto de sperficie como de olmen son de magnitd constante no arían de dirección drante s aplicación es sencillo probar qe son conseratias s potencial ale 3.4 Principio de los trabajos irtales. Ve b b d t t dγ () Consideremos n cerpo deformable en eqilibrio estático bajo la acción de ferzas eternas de sperficie olmen. Debido a estas ferzas el cerpo se deforma con desplazamientos generándose en s interior ferzas internas qe eqilibran a las ferzas eternas. Si sperponemos a los desplazamientos en eqilibrio n campo de desplazamientos arbitrarios δ δ compatible con las condiciones de ínclo de magnitd infinitesimal tales desplazamientos son llamados desplazamientos irtales. Si ealamos el incremento de trabajo hecho por las ferzas eternas drante la aplicación de los desplazamientos irtales tenemos el trabajo irtal eterno (TVE) qe ale Γ TVE b δ b δ d t δ t δ dγ (3) Usando las ecaciones de eqilibrio en el contorno la integral de sperficie se pede escribir como Γ t δ t δ dγ Γ ( n τ n ) δ ( n τ n ) Γ δ dγ Aplicando el teorema de la diergencia a la última integral de sperficie reslta Γ t δ t δ dγ δ δ δ δ τ d τ τ δ δ δ δ d (4) (5) Notando qe la deriada de na ariación es igal a la ariación de la deriada agrpando términos en la última integral tenemos Γ t δ t δ dγ δ τ δ τ τ δ δ d δ d (6) Dado qe las tensiones están en eqilibrio sando la definición de deformaciones reslta
Introdcción al Método de Elementos initos 3 Γ t δ t δ dγ Pasando la última integral a la izqierda tenemos TVE ( δ δ τ δγ ) ( b ) δ ( b ) δ d b δ b δ d t δ t δ dγ Γ ( δ δ τ δγ ) d TVI d (7) (8) donde la integral de la derecha representa el incremento de trabajo realizado por las ferzas internas ante la aplicación del campo irtal de desplazamientos se denomina trabajo irtal interno. ego al cmplimento de la epresión anterior se lo denomina Principio de los trabajos irtales debe ser álido para calqier campo de desplazamientos compatible con las condiciones de ínclo. Este principio es m general se aplica tanto para ferzas conseratias como no conseratias. Si las ferzas internas son conseratias el trabajo irtal interno iene dado por la ariación de la energía de deformación pes la ariación se pede tomar como n desplazamiento irtal esto es δu Comparando resltan δu d U ( δ δ τ δγ ) U δ U δ U γ d γ δγ d (9) U U τ () Siendo álidas estas epresiones para calqier cerpo elástico aún cando la energía de deformación U sea no lineal. 3.5 Ejemplo de Aplicación: Vigas de eje recto. Consideremos na iga de eje recto de sección constante empotrada en n etremo libre en el otro sometida a n cargamento distribido p arbitrario. p igra 8. Viga de eje recto sección constante.
4 Conceptos de Mecánica de los Sólidos Deseamos hallar la ecación diferencial las condiciones de contorno de este problema. Para ello saremos el principio de mínima energía potencial. a energía de deformación para la iga despreciando las deformaciones por corte es d () U E I d d Siendo el desplazamiento del eje centroidal de la iga. El trabajo de las ferzas eternas asmidas de módlo dirección constante es ego la energía potencial total es V e p d () d (3) V E I d p d d Por el principio de mínima energía potencial debemos tener esto es δv d d δv d d E I δ d pδ d Notando qe la ariación de la deriada es la deriada de la ariación tenemos (4) (5) δv d d δ d d E I d Integrando por partes la primera integral reslta δv pδ d 3 d d d dδ E I δ E I 3 d d d d d Voliendo a integrar por partes tenemos δv 3 4 d d d d E I δ E I δ 3 E I δ d 4 d d d d Agrpando términos tenemos pδ d pδ d (6) (7) (8) δv 4 d d E I p δ d E I δ d d 4 d d 3 d E I δ 3 d (9) Esta epresión debe ser álida para ariaciones arbitrarias δ qe no alteren las condiciones esenciales de contorno lego debe cmplirse la sigiente ecación diferencial: 4 d E I p () 4 d
Introdcción al Método de Elementos initos 5 jnto con las sigientes condiciones de contorno: E I d δ d d d 3 d E I δ d 3 ( ab) E I d δ d d d 3 d E I δ 3 d ( cd) Notemos qe las ariaciones deben respetar las condiciones esenciales de contorno esto es aqellas impestas sobre la fnción ó s deriada. En el etremo empotrado ( ) el desplazamiento el giro deben ser nlos lego ( ) δ ( a) d d δ ( b) d d Por lo tanto las condiciones de contorno esenciales se satisfacen atomáticamente en ( ) a qe en ese etremo las ariaciones deben ser nlas. En el etremo libre ( ) se deben cmplir las condiciones de contorno ( ab). Como las ariaciones de desplazamiento giro son arbitrarias en ese etremo entonces debe cmplirse qe d E I d 3 d E I d 3 (3 ab) Notando qe el momento flector M el esferzo de corte Q en na sección ienen definidos como d M E I (4) d 3 d Q E I 3 d Entonces las condiciones de contorno anteriores se peden epresar como M ( ) Q( ) (5 ab) ego la aplicación del principio de mínima energía potencial nos ha permitido obtener la ecación diferencial ec.() ss condiciones de contorno ecs.(). REERENCIAS. [] S. Timoshenko J.N. Goodier Theor of Elasticit da ed. McGraw-Hill 95. [].B. Hildebrand Métodos de la Matemática Aplicada Edeba Manales 973. [3] Y.C. ng ondations of Solid Mechanics Prentice-Hall 968.