ECONOMETRIA - ECON 3301 - SEMESTRE II - 08 Profesor: Ramón Rosales; rrosales@unandes.edu.co Profesor Taller: Wllam Delgado; w-delgad@unandes.edu.co Profesor Taller: Juan Carlos Vasquez; jvasquez@unandes.edu.co Profesor Taller: Dego Marno; dmarno@unandes.edu.co Montor: Alejandro Urrego; j-urrego@unandes.edu.co Montor: Juan Sebastán Sánchez; jua-sanc@unandes.edu.co Montor: Francsco Correa; fr-corre@unandes.edu.co Montor: Carlos Morales; and-mora@unandes.edu.co EJC 15A: ESTIMACIÓN DE MODELOS ECONOMÉTRICOS BAJO EL ENFOQUE DE DATOS PANEL Nota: se utlza la notacón del lbro de Greene Análss Econométrco, 1999. 3ª edcón, Cap 14. Introduccón El térmno datos panel se refere a conjuntos de datos donde se tene nformacón para una msma undad de seccón cruzada o ndvduo sobre varos perodos de tempo. Uno de los contextos de estmacón más utlzados es el de funcones de produccón y de costos. Esta técnca permte estudar certa nformacón que no puede examnarse por sí sola con métodos de seres temporales o métodos de seccón cruzada. En el panel típco hay un gran número de observacones de seccón cruzada y unos pocos perodos de tempo. Entre tanto, la ventaja fundamental de los conjuntos de datos panel frente a los de seccón cruzada es que permten al nvestgador mucha más flexbldad para modelar las dferencas de comportamento entre los ndvduos, undades o grupos. El contexto básco para el análss es un modelo de regresón de la forma: y t = + X β + α (1) t t Donde hay K regresores en X t sn nclur el térmno constante. α es el efecto ndvdual. Para este modelo exsten dos marcos báscos para generalzarlo, el enfoque de efectos fjos que consdera α como un térmno constante específco del grupo en el modelo de regresón y en partcular donde α esta correlaconado con una o más varables ncorporadas en X t. El otro enfoque es el de efectos aleatoros el cual α es un error específco de grupo, smlar a t, estando α no correlaconado con X t. La estmacón del enfoque de efectos fjos se efectúa por mínmos cuadrados ordnaros y la de efectos aleatoros por mínmos cuadrados generalzados (MCG). Estructura del panel Consdérese un conjunto de datos consstente en observacones de n undades de seccón cruzada (países, provncas, personas, etc.) durante T perodos. Supongamos que cada 1
observacón contene los valores de K varables de nterés. El conjunto de datos está formado entonces por knt valores. Los datos deben de ordenarse "por observacón": cada fla representa una observacón; cada columna contene los valores de una varable en partcular. La matrz de datos tene entonces nt flas y k columnas. Exsten dos posbldades de ordenar los datos. 1. Flas agrupadas por undad. Pénsese en la matrz de datos como s estuvera compuesta de n bloques, cada uno con T flas. El prmer bloque de T flas contene las observacones de la undad 1 de la muestra para cada uno de los perodos; el sguente bloque contene las observacones de la undad para todos los perodos; y así sucesvamente. De hecho, la matrz de datos es un conjunto de datos de seres temporales aplados vertcalmente.. Flas agrupadas por perodo. Pénsese en la matrz de datos como s estuvera compuesta por T bloques, cada uno con n flas. El prmer bloque de n flas contene las observacones de cada undad muestral en el perodo 1; el sguente bloque contene las observacones de todas las undades en el perodo ; y así sucesvamente. La matrz de datos es un conjunto de datos de muestras de seccón cruzada, apladas vertcalmente. Puede utlzarse el esquema que resulte más convenente. El prmero es quzá más fácl de mantener ordenado y el más utlzado. El efecto no Observado en Datos Panel Consdérese una funcón de produccón agrícola (de un cultvo) que depende de la cantdad utlzada de fertlzante, cuyos datos corresponden a un conjunto de fncas durante 10 años. Cuando se desea estmar la funcón de produccón es posble que el nvestgador consdere que puede exstr un efecto partcular asocado a cada undad de seccón cruzada (cada fnca) que es no observado y además constante en el tempo, el cual afecta el nvel de produccón. Este efecto no observado puede estar representado por aspectos relaconados con el manejo de la fnca. Este efecto ndvdual esta representado por α en el modelo básco de datos panel. Estmacón por Pooled OLS, Efectos Fjos y Efectos Aleatoros Para la estmacón del modelo de datos panel se pueden presentar varas stuacones de acuerdo a la relacón que puede presentarse entre una o más varables ndependentes con el efecto ndvdual α. 1. S la (, ) = 0 Cov X t α, se pueden tener dos opcones: estmacón por Pooled OLS o estmacón por Efectos Aleatoros. A. Pooled OLS es un método de estmacón adecuado cuando el efecto no observado α = α, es decr no exsten dferencas entre grupos o undades de seccón cruzada, en este sentdo, exstrá una únca constante o ntercepto al
estmar el modelo y se aplcará la fórmula de Mínmos Cuadrados Ordnaros tomando todas las observacones, de allí el nombre de MCO para Datos Agrupados. B. Es mportante notar que al no presentarse relacón entre X t y α, el efecto ndvdual puede ncorporarse en el térmno de error para efectuar la estmacón, es decr, α es consderado como un error específco de grupo, smlar a t, entonces el modelo en la ecuacón (1) toma la forma: y = γ + X β + v () t t donde γ es el térmno constante del modelo y v t la parte aleatora conformada así: vt = α + El modelo de efectos aleatoros descompone la varanza resdual en dos partes, una parte específca a la undad de seccón cruzada o "grupo" ( σ α ) y la otra σ. asocada a una observacón en partcular ( ) El método de estmacón recomendado en este caso es MCG, el cual brnda estmadores nsesgados y efcentes. S se utlzara MCO para datos agrupados los estmadores serían consstentes pero sus errores estándares estarían subestmados. El estmador de efectos aleatoros sólo puede calcularse cuando el panel es lo sufcentemente "amplo", es decr, cuando el número de undades de seccón cruzada en el conjunto de datos excede el número de parámetros a estmar. El contraste LM de Breusch-Pagan permte probar la hpótess nula de que el estmador de MCO para datos agrupados es adecuado ( Ho : σ α = 0) contra la hpótess alterna de que MCG (efectos aleatoros) es más apropado Ha : 0. ( ) σ α. S la (, ) 0 Cov α, es convenente realzar la estmacón por Efectos Fjos. X t El modelo de efectos fjos añade varables fctcas a las undades de seccón cruzada, permtendo que varíe el ntercepto de la regresón en cada undad. Cuando α esta arbtraramente correlaconado con X t, no es posble dstngur los efectos observados de los no observados, por lo tanto, es necesaro efectuar una transformacón al modelo presentado en la ecuacón (1): Aplcando sumatora a lo largo de T a toda la ecuacón (1), y luego dvdendo por T se tene la sguente expresón: t t y = + X β + α (3) 3
Efectuando (1) (3): donde & y t X& & & t t = y t = X = t y t X & y = && β + & t X t t Posterormente se estma el modelo aplcando MCO a las varables transformadas. Se presenta un contraste F para la sgnfcacón conjunta de estas varables fctcas: s el valor de la probabldad (p-value) para este contraste es pequeño, entonces se rechaza la hpótess nula de que MCO de datos agrupados es adecuado ( Ho : α 1 = α = L = α n ) en favor del modelo de efectos fjos (Ha: al menos un α ). 1 Es mportante tener en cuenta que el estmador de efectos aleatoros es más efcente que el estmador de efectos fjos cuando el error especfco a la undad o grupo no esta correlaconado con las varables ndependentes Cov ( X t, α ) = 0 ; aunque ambos estmadores sean consstentes. S exste correlacón Cov ( X t, α ) 0, el estmador de efectos aleatoros es nconsstente, en cuyo caso es preferble el estmador de efectos fjos. Es posble comparar el modelo de efectos fjos versus el modelo de efectos aleatoros, medante el contraste de Hausman. La hpótess nula para el contraste de Hausman se refere a que el error específco de grupo no esta correlaconado con alguna X t, es decr, el modelo de efectos aleatoros es el adecuado ( Ho : Cov ( X t, α ) = 0 ), frente a la hpótess alterna de que efectos fjos es más convenente ( Ha : Cov ( X t, α ) 0 ). Por lo tanto, un valor de p (pvalue) pequeño para este contraste supone rechazar el modelo de efectos aleatoros en favor del modelo de efectos fjos. Ejercco Consdere un conjunto de frmas con nformacón sobre el costo total y el nvel de produccón de un ben en partcular. Use la sguente base de datos (tomada de Wllam H. Greene Análss Econométrco, 3ª edcón, Ejemplo 14.1, págna 533) para estmar una funcón de costos tpo doblemente logarítmca (esta es una versón smplfcada de la especfcacón translogartmca comúnmente ctada en economía de la produccón). Estme por Pooled OLS y Datos Panel para Efectos Fjos y Efectos Aleatoros utlzando el paquete estadístco Lmdep 7.0. 1 El contraste F de que los coefcentes de las n-1 varables artfcales son cero es déntco. 4
Costos y Nvel de Produccón por Frma FIRMA YEAR COST PROD 1 1955 3.154 14 1 1960 4.71 419 1 1965 4.584 588 1 1970 5.849 105 1955 3.859 696 1960 5.535 811 1965 8.17 1640 1970 10.966 506 3 1955 19.035 30 3 1960 6.041 480 3 1965 3.444 581 3 1970 41.18 975 4 1955 35.9 5668 4 1960 51.111 761 4 1965 61.045 1006 4 1970 77.885 1370 5 1955 33.154 6000 5 1960 40.044 8 5 1965 43.15 8484 5 1970 57.77 10004 6 1955 73.05 11796 6 1960 98.846 15551 6 1965 138.88 718 6 1970 191.56 30958 Resultados de Estmacón del Modelo 1. Estmacón por Pooled OLS (MCO para datos agrupados) REGRESS;LHS=LCOST;RHS=LPROD;STR=IND;PANEL$ +-----------------------------------------------------------------------+ OLS Wthout Group Dummy Varables Ordnary least squares regresson Weghtng varable = none Dep. var. = LCOST Mean= 3.03811490, S.D.= 1.709514 Model sze: Observatons = 4, Parameters =, Deg.Fr.= Resduals: Sum of squares= 1.0150369, Std.Dev.=.148 Ft: R-squared=.970686, Adjusted R-squared =.96935 Model test: F[ 1, Dagnostc: Log-L = ] = 78.51, Prob value = 3.9010, Restrcted(b=0) Log-L =.00000-38.4554 LogAmemyaPrCrt.= -.996, Akake Info. Crt.= -.158 Panel Data Analyss of LCOST [ONE way] Uncondtonal ANOVA (No regressors) Source Varaton Deg. Free. Mean Square Between Resdual 3.4787.15387 5. 18. 6.49573.119659 Total 34.635 3. 1.50576 +-----------------------------------------------------------------------+ Varable Coeffcent Standard Error t-rato P[T>t] Mean of X LPROD.887986818.3899564E-01 6.991.0000 8.3093515 Constant -4.174783135.7686839-15.079.0000 5
. Estmacón por Efectos Fjos (MCO a varables transformadas) +-----------------------------------------------------------------------+ Least Squares wth Group Dummy Varables Ordnary least squares regresson Weghtng varable = none Dep. var. = LCOST Mean= 3.03811490, S.D.= 1.709514 Model sze: Observatons = 4, Parameters = 7, Deg.Fr.= 17 Resduals: Sum of squares=.640608490, Std.Dev.=.1463 Ft: R-squared=.99375, Adjusted R-squared =.98968 Model test: F[ 6, 17] = 368.77, Prob value =.00000 Dagnostc: Log-L = 0.0610, Restrcted(b=0) Log-L = -38.4554 LogAmemyaPrCrt.= -3.909, Akake Info. Crt.= -1.088 Estd. Autocorrelaton of e(,t).01535 +-----------------------------------------------------------------------+ Varable Coeffcent Standard Error t-rato P[T>t] Mean of X LPROD.674788736.6113058E-01 11.030.0000 8.3093515 Estmated Fxed Effects Group Coeffcent Standard Error t-rato 1 -.69353 -.91173.3879.43957-7.03663-6.6398 3 -.43996.5868-4.61515 4 5 -.13449 -.31084.55880.5535-3.81979-4.17685 6-1.90351.60808-3.13037 +--------------------------------------------------------------------------- Test Statstcs for the Classcal Model Model Log-Lkelhood Sum of Squares R-squared (1) Constant term only -38.45540.346353619D+0.0000000 () Group effects only -5.1507.153869831D+01.9378079 (3) X - varables only 3.90105.10150369D+01.9706864 (4) X and group effects 0.06103.640608490D+00.993754 at 450 Lkelhood Rato Test F Tests Ch-squared d.f. Prob. F num. denom. Prob value () vs (1) 66.661 5.00000 54.85 5 18.00000 (3) vs (1) 84.713 1.00000 78.505 1.00000 (4) vs (1) 117.033 6.00000 368.769 6 17.00000 (4) vs () 50.37 1.00000 11.664 1 17.00000 (4) vs (3) 3.30 5.00001 9.67 5 17.00000 +------------------------------------------------------------------------- 6
NOTA: Modelo (3): Pooled OLS (MCO para datos agrupados) Modelo (4): Efectos Fjos (MCO a varables transformadas) Medante el contraste F se efectúa la hpótess nula de MCO de datos agrupados ( Ho : α 1 = α = L = α n ) frente al modelo de efectos fjos (Ha: al menos un α ). El resultado de la prueba de hpótess muestra que el modelo de efectos fjos es más apropado que el modelo de Pooled OLS, a un nvel de sgnfcanca del 5%. Como estamos nteresados en las dferencas entre grupos, podemos contrastar la hpótess de que los térmnos constantes son todos guales, medante un contraste F (de mínmos cuadrados restrngdos). Bajo la hpótess nula, el estmador efcente concde con mínmos cuadrados combnados (o agrupados). El modelo restrngdo contene un únco térmno constante para todos (para calcular el estadstco se pueden utlzar los R cuadrados o las sumas de los cuadrados de los errores). El contraste F de que los coefcentes de las n-1 varables son cero es déntco al anteror. 3. Estmacón por Efectos Aleatoros (MCG) +--------------------------------------------------+ Random Effects Model: v(,t) = e(,t) + u() Estmates: Var[e] =.155330D-01 Var[u] = Corr[v(,t),v(,s)] =.99166D-01.65837 Lagrange Multpler Test vs. Model (3) =5.87 ( 1 df, prob value =.015385) (Hgh values of LM favor FEM/REM over CR model.) Fxed vs. Random Effects (Hausman) =7.73 ( 1 df, prob value =.00541) (Hgh (low) values of H favor FEM (REM).) Reestmated usng GLS coeffcents: Estmates: Var[e] =.191747D-01 Var[u] =.606735D-01 Sum of Squares.137344D+01 R-squared.970686D+00 +--------------------------------------------------+ Varable Coeffcent Standard Error b/st.er.p[z>z] Mean of X LPROD.7963199945.4555460E-01 18.713.0000 8.3093515 Constant -3.413091444.3614860-9.44.0000 El modelo de efectos aleatoros descompone la varanza resdual v(,t) en dos partes, una parte específca a la undad de seccón cruzada o "grupo" (Var[u]) y la otra asocada a una observacón en partcular (Var[e]). La prueba de Breusch-Pagan (basada en el multplcador de Lagrange) permte probar la hpótess nula de que el estmador de MCO para datos agrupados es adecuado (Ho: Var[u]=0) contra la hpótess alterna de que MCG (efectos aleatoros) es más apropado (Ha: Var[u] 0). El resultado de la prueba de hpótess ndca que el modelo de efectos aleatoros es más adecuado que el Pooled OLS a un nvel de sgnfcanca del 5%. 7
Medante el contraste de Hausman se comparan los resultados del modelo de efectos aleatoros ( Ho : Cov ( lprod t, u ) = 0), frente a los del modelo de efectos fjos ( Ha : Cov ( lprod t, u ) 0 ). El resultado de la prueba de hpótess para este ejercco muestra que el modelo de efectos fjos es más adecuado que el modelo de efectos aleatoros, a un nvel de sgnfcanca del 5%. Se puede conclur para este ejercco que el modelo de efectos fjos es el más convenente. Esto quere decr que exsten efectos ndvduales no observados de las frmas que deben consderase en la estmacón de la funcón de costos. 8