Uversdad Austral de Chle Escuela de Igeería Comercal ICPM5, Ecoometría Clase Modelo Leal Smple Profesor: Carlos R. Ptta Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta, Uversdad Austral de Chle.
El Modelo de Regresó Smple = + + u Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Alguos térmos uevos E el modelo de regresó leal smple, e dode = + + u, ormalmete os refermos a como: Varale Depedete, o Varale de Lado Izquerdo, o Predcha, Eplcada, o Regresados, Edógea u Ojetvo Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3
Alguos térmos uevos E la regresó leal smple de sore, típcamete descrremos a como: Varale Idepedete, o Predctor, o Varale Eplcatva, o Regresor, o Idepedete, o Eógea Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4
Supuestos El Valor Promedo de u, el térmo de error, e la polacó es. Es decr, E(u) = Esta o es u supuesto restrctvo, dado que sempre podemos usar para ormalzar E(u) a Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 5
Meda Codcoal Nula Necestamos hacer u supuesto crucal sore la maera e que se relacoa u Queremos que sea certo que el coocer algo sore o os rde gua formacó sore u, de maera que esté completamete o relacoados. Es decr: E(u ) = E(u) =, lo que mplca qué: E( ) = + Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 6
E( ) como ua fucó leal de, dode para cada la dstrucó de se cetra e E( ) f().. E( ) = + Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 7
Mímos Cuadrados Ordaros (MICO) Idea ásca: estmar parámetros polacoales a partr de ua muestra Defa {(, ): =,,} como ua muestra aleatora de tamaño oteda a partr de la polacó Para cada oservacó de la muestra, será certo qué: = + + u Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 8
Líea de regresó polacoal, datos muestrales sus térmos de error asocados 4 E( ) = + u 4 {. 3.} u. 3 u {. } u 3 4 Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 9
Dervado u estmador MICO Para ecotrar u estmador MICO teemos que daros cueta que uestro supuesto prcpal de que E(u ) = E(u) = tamé mplca qué: Cov(,u) = E(u) = Porqué? Recuerde de proaldad ásca que Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Dervado u estmador MICO Podemos escrr uestras restrccoes solo e térmos de,,, dado que u = E( ) = E[( )] = Dchas ecuacoes so llamadas restrccoes de mometos Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Dervado MICO vía Mometos El método de mometos para la estmacó mplca mpoer las restrccoes de los mometos polacoales a los mometos muestrales Qué sgfca esto? Recuerde que para E(X), la meda de ua dstrucó polacoal, u estmador muestral de E(X) es smplemete la meda artmétca de la muestra. Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3 Dervado MICO vía Mometos Queremos escoger los valores de los parámetros que os asegure que las versoes muestrales de uestras restrccoes de mometos so verdad Las versoes muestrales so:
Dervado MICO vía Mometos Dada la defcó de meda muestral, las propedades de suma, podemos escrr la prmera codcó cómo:, ó Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 5 Dervado MICO vía Mometos
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 6 De maera que el estmador MICO de la pedete es: sempre que
Estmador MICO de la pedete El estmador de la pedete es la covaraza muestral etre e dvdda por la varaza muestral de S e está correlacoadas postvamete, la pedete será postva S e se ecuetra correlacoadas egatvamete, la pedete será egatva Solo ecestados que varíe e la muestra Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 7
Más sore MICO Itutvamete, MICO es ecotrar ua líea a través de los putos muestrales tales que la suma de los resduos al cuadrado sea lo más pequeña posle, de allí el térmo mímos cuadrados. El resduo, û, es ua estmacó del térmo de error, u, es la dfereca etre la líea estmada (la fucó de regresó muestral) el puto de la muestra. Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 8
Líea de regresó muestral, dato muestral los térmos de error estmados asocados 4 3 }. û. 3 û { û 4. { }. û 3 4 Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 9
Métodos alteratvos para la dervacó Dado lo tutvo de la dea de ecotrar ua líea, podemos escrr el prolema formal de mmzacó Esto es, queremos escoger uestros parámetros de maera de mmzar lo sguete: u Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta Métodos alteratvos para la dervacó S usamos cálculo para resolver el prolema de mmzacó e dos parámetros oteemos las sguetes codcoes de prmer orde, que so las msmas que otuvmos ates, multplcadas por
Propedades Algeracas de MICO La suma de los resduos MICO es cero Por lo tato, el promedo muestral de los resduos MICO tamé será cero La covaraza muestral etre los regresores los resduos MICO es cero La líea de regresó MICO sempre pasa por las medas muestrales. Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3 E térmos más precsos: u u u por lo tato,
Más termología Podemos pesar a cada oservacó como la composcó de ua parteeplcada, ua parteo eplcada, u u Etoces defremo s : suma de cuadrados totales (SCT) suma de cuadrados eplcada (SCE) suma de cuadrados resduales (SCR) Etoces, SCT SCE SCR Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 5 Pruea de SCT = SCE + SCR qué : saemos SCE SCR u u u u u
Bodad del Ajuste Cómo saremos qué ta e se ajusta uestra líea de regresó a los datos muestrales? Podemos calcular la fraccó de la suma de cuadrados totales (SCT) que es eplcada por el modelo, le llamaremos el R- cuadrado de la regresó: R = SCE/SCT = SCR/SCT Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 6
Usado Stata para calcular MICO Ahora que hemos dervado la fórmula para calcular los estmados MICO de uestros parámetros, estarás felz de saer que o teemos que calcularlos a mao La regresó e Stata es mu smple, para correr la regresó de e, solo ha que escrr: reg Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 7
Los estmadores MICO so sesgados Asumamos que el modelo polacoal es leal e parámetros = + + u Asumamos que podemos usar ua muestra aleatora de tamaño, {(, ): =,,, }, etraída del modelo polacoal. Etoces podemos escrr el modelo muestral como = + + u Asumamos que E(u ) = por que por lo tato, E(u ) = Asumamos que este varacó e las Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 8
Los estmadores MICO so sesgados Para poder pesar e el sesgo, ecestamos reescrr uestro estmador e térmos de los parámetros polacoales Comezamos smplemete reescredo la fórmula cómo:, dode s s Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 9
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3 Los estmadores MICO so sesgados u u u
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3 Los estmadores MICO so sesgados etoces :, umerador puede ser reescrto como : que el así, s u u s
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 3 Los estmadores MICO so sesgados Etoces :, que : de maera, defa u E d s E d u s d
Coclusoes sore Sesgo Los estmadores MICO de so sesgados La pruea para ello depede de 4 supuestos s alguo de ellos falla, etoces los estmadores MICO o so ecesaramete es sesgado Recuerde que es sesgo es ua descrpcó del estmador e ua muestra dada, podemos estar cerca (sesgado) o lejos (sesgado) del parámetro polacoal. Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 33
Varaza de los Estmadores MICO Ahora saemos que la dstrucó muestral de uestra estmacó se cetra alrededor del parámetro real Queremos determar qué ta dspersa se ecuetra la dstrucó Es mucho más fácl pesar a esta varaza ajo u supuesto adcoal Asumremos que Var(u ) = s (Homocedastcdad) Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 34
Varaza de los Estmadores MICO Var(u ) = E(u )-[E(u )] E(u ) =, so s = E(u ) = E(u ) = Var(u) Etoces s es tamé la varaza o codcoal, llamada la varaza del error s, la raíz cuadrada de la varaza del error, es llamada la desvacó estádar del error. Podemos decr que: E( )= + Var( ) = s Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 35
Homocedastcdad f( ).. E( ) = + Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 36
Heterocedastcdad f( )... E( ) = + 3 Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 37
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 38 Varaza de los Estmadores MICO s s s s Var s s s d s d s u Var d s d u Var s d u s Var Var
Varaza de los Estmadores MICO: U Resume Etre maor sea la varaza del error, s, maor será la varaza del estmador de la pedete Etre maor sea la varaldad e los, meor será la varaldad el estmador de la pedete Cómo resultado, u tamaño de muestra maor deerá dsmur la varaza del estmador de la pedete El prolema es que la varaza del error es descoocda Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 39
Estmado la varaza del error E realdad o coocemos la varaza del error, s, porque o podemos oservar los errores, u Lo que sí oservamos so los resduos, û Podemos usar los resduos para formar u estmado de la varaza del error Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4
Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4 Estmado la varaza del error / es : de u estmador sesgado Etoces, SCR u u u u s s
Estmado la varaza del error s se s / s Recuerde Error Estádar de la que :sd S susttumos s por s tedremos : El error Estádar de, s s Regresó Ecoometría, Prof. Carlos R. Ptta 4