GYMNÁZIUM BUDEJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. CÓNICAS. TEORÍA.

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1 GYMNÁZIUM BUDEJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. CÓNICAS. TEORÍA. ÍNDICE:. Inroducción.. L elise. Ecución elemenos.. L hiérol. Ecución elemenos.. L ráol. Ecución elemenos. 5. Posiciones relivs. 6. Recs ngenes un cónic.

2 .- INTRODUCCIÓN. Ls cónics fueron inroducids inicilmene en l nigu Greci or Menecmo lrededor del ño 5.C. unque fue Aolonio de Perg, lrededor del ño.c. quien ls nlizó con rofundidd or rimer vez llegndo muchs de sus crcerísics que conocemos ho en dí. Inicilmene, ls cónics se inroducen como secciones lns de un cono. Así, imginmos un lno que s or el vérice del cono que, demás, coniene dos generrices del cono. Cundo movemos el lno rlelmene, ése cor ods ls generrices del cono eceo ls dos que conení l rinciio (que son rlels l lno). L sección que se gener se denomin hiérol. Imginemos hor un lno que s or el vérice que coniene un generriz. Al mover el lno de form rlel, ése cor ods ls generrices eceo l que conení, que es hor rlel l lno. L sección que qued se denomin ráol.

3 Por úlimo, cundo el lno s or el vérice no coniene ningun generriz, l moverlo rlelmene, ése cor ods ls generrices, roduciendo un elise. En el cso riculr de que el lno se, demás, erendiculr l eje del cono, l sección (elise) es un circunferenci. Se uede demosrr que cd cónic cumle un roiedd geoméric que ls crceriz sirve r dr un definición indeendiene del cono. L elise es el lugr geomérico de los unos del lno cu sums de disncis dos unos fijos, llmdos focos, es consne. L hiérol es el lugr geomérico de los unos del lno cu diferenci de disncis dos unos fijos, llmdos focos, es consne.

4 L ráol es el lugr geomérico de los unos del lno cu disnci un uno fijo, llmdo foco, equidis de su disnci un rec, llmd direcriz. Tno los focos como l direcriz (mién eisen direcrices en el cso de l elise l hiérol), ienen un visión mu gráfic rir del cono l sección ln. Eso se ilusrrá en el éndice. Por oro ldo, se uede demosrr que od ecución olinómic de segundo grdo en e A B C D E F define un cónic. L cónic iene sus ejes rlelos los ejes de coordends si, sólo si, el érmino no rece en l ecución. Cundo sí rezc, los ejes de l cónic esrán girdos reseco de los ejes cresinos. Eso no lo esudiremos.

5 .- LA ELIPSE: ECUACIÓN Y ELEMENTOS. Un elise es el conjuno de los unos del lno cu sum de disncis dos unos fijos, llmdos focos, es consne ( mor que l disnci enre ellos). ( P F ) d( P F ) k P e d Eso nos sirve r oener l ecución de l elise. Pr no ener unos cálculos demsido frrgosos (comlicdos) suongmos que los focos esán sore el eje OX disuesos siméricmene reseco del origen de coordends. Enonces F ( c ) F ( c ) el eje OX. Llmémosle A ( ). Enonces d( A F ) c d ( A F ) c, r lgún número osiivo c. Tomemos un uno de l elise que esé sore como uede verse en el diujo. Enonces, ( A F ) d( A F ) c c k d, es decir, l consne que crceriz odos los unos de l elise es, recismene. Por oro ldo, si nos fijmos en el uno de l elise que esá sore el eje OY, l que llmmos B ( ), enemos que el riángulo FB F es isósceles, que los ldos F B F B son igules or simerí. Y de quí se deduce que F B. El eorem de Piágors nos d l relción enre los semiejes, l semidisnci focl c. Deduzcmos hor l ecución: ( P F ) d( P F ) k P e d (( )( c )) d( ( )( c ) ) d c ( c) ( c) M ( c) ( c) ( c) M ( c) ( c) ( c) M c c c ( c) M : ( ) ( c) c M 5

6 ( c c ) c c ( c ) c M c c c r dejr un ldo los érminos con e, l oro los érminos indeendienes. ( c ) ( c ) Uilizmos l idenidd c c M : r que el érmino indeendiene se. que es l fórmul reducid o cnónic de l elise (érmino indeendiene coeficienes de e igul ). Oservción : Si en vez de esr el cenro S en el origen de coordends, huier esdo en el uno S ( ) ecución huier sido ( ) ( ), enonces l Oservción : Si disonemos los focos lo lrgo del eje OY en vez de en el eje OX, se deduce l ecución de l elise vericl luego se cenr en un uno culquier, oeniendo: ( ) ( ) H que oservr que es siemre el semieje mor, el semieje menor c l semidisnci focl. Por lo no, cundo el mor de los números esé en l frcción de, l elise será horizonl ( lo lrgo del eje OX) cundo el mor de los números esé en l frcción de, l elise será vericl. Descrimos hor los elemenos de un elise: horizonl vericl Ecución: ( ) ( ) ( ) ( ) Cenro: S ( ) S ( ) semieje mor: semieje menor: 6

7 disnci focl: c c Focos: F ( c ), F ( c ) F ( c), F ( c) Vérices: A ( ), A ( ) A ( ), A ( ) B ( ), B ( ) B ( ), B ( ) ejes: ecenricidd: c e e e L ecenricidd es un número osiivo que mide lo "lsd" que esá un cónic. En ls elises, como < c < se iene que < e <. Más ún, cundo e l elise es un circunferenci cundo e (es imosile, ero esmos hlndo de un siución imginri límie) lo que se oiene es un ráol. Como veremos, cundo se mor que se rrá de un hiérol. Ejemlo : (oener los elemenos de un elise rir de su ecución) Hllr odos los elemenos de l elise de ecución 6 Cudrmos l ecución r oder ser el cenro si es vericl u horizonl. 6 Scmos el coeficiene de fcor común en l re de ls el ( ) ( ) 6 M 6 ( ) ( ) 6 coeficiene de en l re de ls. M : 6 Dividimos or el érmino indeendiene r que se ( ) ( ) 6 Lo rimero, si es osile, es hllr el cenro, S ( ), deducir si es vericl u horizonl. De los dos denomindores, el más grnde es. Por no 6 como esá en l frcción de, los focos esán rlelos l eje OX, es decir, es horizonl. Lo siguiene es inenr hllr c. El denomindor más equeño es. Así enemos que. Ahor, l fórmul que relcion ls res lers nos d c. c c 6 c L ecenricidd es e &. 86, que se suele dr como número deciml. Los focos los vérices se hlln rir del cenro uilizndo, c. Si hce fl, hremos un diujo de l elise, ondremos los elemenos veremos qué h que ñdir qué coordend. F ( ) F ( ) A ( ) A ( ) A ( ) A ( 6 ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) 7

8 Por úlimo los ejes de l elise: e (recs rlels los ejes de coordends que sn or el cenro). Ejemlo : (Hllr l ecución de un elise "culquier" rir de l definición) Hllr l ecución de l elise con focos en F ( ) F ( ), que s or el uno ( ) P. Como los focos no esán linedos rlelmene ninguno de los dos ejes de coordendos, no odemos uilizr ls fórmuls hllds h que deducirl direcmene de l definición. Como veremos l finl, eso hce que rezc un érmino en l ecución. Pr ello hcen fl los focos l consne. És úlim l hllremos uilizndo el uno P. ( P F ) d( P F ) d( ( ) ( ) ) d( ( ) ( ) ) k d Por no, enemos que P e d( P F ) d( P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 5 5 ( ) Ejemlo : (Hllr l ecución los elemenos rir de lgunos elemenos conocidos). Hllr l ecución odos los elemenos de un elise que iene los focos en los unos F ( ) F ( ) e,., ecenricidd El ojeivo rimero dee ser hllr l ecución. Lo necesrio es conocer el cenro, ser si es vericl u horizonl los semiejes mor menor. Los focos ienen l mism coordend, luego esán linedos rlelos l eje OX (l coordend sí vrí). Luego l F elise es horizonl. El cenro es el uno medio de los focos, ( ) ( ) F S. Oservmos que l coordend c es mién. De l ecenricidd oenemos que e, 5 de donde 5 c. El eje focl es l disnci enre los focos, luego c c de quí 5. L relción enre, c, c nos d c 5. Por no l ecución de l elise es ( ) ( ) Hllmos hor los elemenos que fln. Los ejes son e ( ) B. 5. Los vérices son A ( ), ( 6 ) A, ( ) B 8

9 .- L HIPÉRBOLA: ECUACIÓN Y ELEMENTOS. Un hiérol es el lugr geomérico de los unos del lno cu disnci dos unos fijos, F F, llmdos focos, es consne k. ( P F ) d( P F ) k P H d Oengmos l ecución de l hiérol de form nálog como hemos hecho con l elise. Primero siuemos los focos en el eje OX, de form siméric reseco del origen de coordends, eso es, F ( c ) F ( c ). Pr emezr rjr con l ecución rimero h que hcer lguns oservciones sore cuál uede ser el vlor de l consne k. Pr ello oservmos que si P es un uno del eje OY (mediriz del segmeno F F ) enonces ( P F ) d( P ) de donde d ( P F ) d( P F ). Si ( ) d F o l izquierd de P es un uno en el eje OX con > c ( l derech de F F ) enonces d( P F ) d( P F ) d( P F ) d( F F ) d( P F ) c del lno enonces d ( F P) d( F F ) d( F P). Si P es culquier oro uno, donde l iguldd se iene sólo cundo el uno nuevo, en ese cso F esá linedo enre los dos unos iniciles. Por no, enemos que ( F P) < d( F F ) d( F P) d ( F P) d( F P) < d( F F ) d. Análogmene d ( F P) d( F F ) d( F P) d( F P) d( F P) < d( F ) <. Si un eresión su oues son F menores que un número, enonces su vlor soluo mién, es decir: ( P F ) d( P F ) d( F F ) c d. Es decir, k c. Suongmos ues que k < c <. Consideremos un uno ( ) origen el foco. Enonces d( F A) c d ( F A) c ( A F ) d( A F ) c ( c ) A, con < < c, es decir, A esá enre el. Enonces, el uno esá en l hiérol si, sólo si, k d. Como k es consne r odos los unos de l hiérol, enemos: ( P F ) d( P F ) P H d. (( ),( c )) d( ( ),( c ) ) d ( c) ( c) Pr quir el vlor soluo h que serr l ecución en dos csos: ( c) ( c) M ( c) L L. Tomemos el rimero. ( c) ( c) M ( c) c c c c M c c 9

10 ( c) c M : ( c) c M ( c c ) c c M c c c ( c ) ( c ) Ahor, más or necesidd que or visulizción geoméric, inroducimos l consne, donde c c. Osérvese que como < < c, l cnidd c es negiv no iene senido oligr que cuml enemos: M : ( ) c. Enonces Que es l ecución cnónic de l hiérol cenrd en S ( ). Pr un cenro culquier S ( ) l ecución qued: ( ) ( ) Comenrio : Si huiésemos omdo l or osiilidd l quir los vlores soluos, se oiene l mism ecución. Es fácil comrorlo. Comenrio : Si disriuimos los focos rlelos l el eje OY, oenemos l ecución: ( ) ( ) Es decir, l consne esá siemre jo l frcción osiiv. Y es hí, en ese eje, donde esán los focos.

11 or l disriución de los focos: Horizonl Vericl Ecución: ( ) ( ) ( ) ( ) Cenro: S (, ) S (, ) Relción,, c: c c Focos: F ( c, ) F ( c, ) F (, c) F (, c) Dis. Focl: c c Vérices: A (, ) A (, ) A (, ) A (, ) Eje rel:, sore, sore Eje Imginrio:, sore, sore c c Ecenricidd: e > e > Asínos: ± ( ) ± ( ) Ejemlo : (elemenos de l hiérol rir de su ecución). Hllr los elemenos de l hiérol de ecución 8. Primero deemos cudrr l ecución r hllr el cenro decidir si es vericl u horizonl. ( ) ( ) 8 M ( ) ( ) M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 Por no, el cenro es [ ] S, es vericl, ues el signo osiivo esá en l. El semieje rel es el semieje imginrio es 5. Por no c. Ls sínos son ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ( ) Cenro: [ ] S Semiejes:, Disnci focl: Focos: F [ ] [ ] c Asínos: ± ( ) F Vérices reles: A [ ] A [ ] imginrios: B [ ] B [ ] 5 Ejes:, Ecenricidd: e. Ejemlo 5: (Hllr un hiérol rir de lguno de sus elemenos) Hllr l ecución de un hiérol siendo que s or el uno [ ] r : 8. El cenro de l hiérol es el uno donde se corn ls sínos: S [ ]. P que sus sínos son r : Oservmos, con un diujo si hce fl, que el uno P ddo qued l izquierd del cenro, luego l hiérol es horizonl su ecución es de l form ( ) ( ). Además, como P esá linedo con S, es uno de los vérices. Por d S P. lo no, odemos hllr, ( ) Por oro ldo, ls endienes de ls sínos nos dn un relción enre. Concremene. Lo qe nos ermie hllr,, deducir comlemene l ecución. ( ) ( ) 9.

13 .- LA PARÁBOLA: ECUACIÓN Y ELEMENTOS. Un ráol es el lugr geomérico de los unos del lno, P, cu disnci un uno fijo, F, llmdo foco es igul su disnci un rec fij, r, llmd direcriz (que no s or el foco). ( P, F ) dis( P r ) dis, L disnci del foco l direcriz se llm semirámero se reresen or. A l rec erendiculr l direcriz que s or el foco se le llm eje de l ráol. Al uno de l ráol que esá en el eje se le llm vérice. L ráol es l únic de ls res cónics que no iene cenro. Deduzcmos hor su ecución. Pr simlificr el rolem, omemos el vérice en el origen de coordends el eje de l ráol en el eje de sciss, eje X, esndo el foco ( l ráol en sí) en el semilno de l derech. Enonces, l direcriz iene ecución, l de l rec vericl r :, el foco es el uno ( ) F el vérice (, ), V. Vemos l ecución de l ráol rir de l definición. Tomemos un uno, Q, del lno l que esá en l ráol, es decir, L disnci de un uno ( ) l de un uno ( ) dis P, oro ( ) ( P, F ) dis ( P, r ) dis F, viene ddo rvés del eorem de Piágors: ( P, F ) dis (, ), (, ) ( ) ( ) ( ) P, un rec r : c rvés de l fórmul corresondiene: dis ( P, r ) dis (, ) ( )

14 or lo no, enemos ( ). Elevndo l cudrdo mos miemros, l ríz el vlor soluo desrecen, luego qued ( ) ( ).. Desrrollmos simlificmos oenemos finlmene Es fácil ver que, si el eje coincide con el eje de ordends, eje Y, el foco esá en el semilno suerior, enonces l ecución resulne es. Tenemos los siguienes curo csos osiles: Práol horizonl, con l ráol en el ldo osiivo del eje X (l derech): Práol horizonl, con l ráol en el ldo negivo del eje X (l izquierd): Práol vericl, con l ráol en el ldo osiivo del eje Y (rri): Práol vericl, con l ráol en el ldo negivo del eje Y (rri): En el siguiene diujo se resumen ls curo osiiliddes sí como los elemenos en cd uno de los csos. Suongmos un ráol con eje rlelo uno de los ejes coordendos, hci l re osiiv ero con vérice en un uno del lno disino del origen de coordends V (, ). Podemos hcer un cmio de coordends.

15 L ráol esá, reseco de ls nuevs coordends,, en el uno (, ) V l ecución es, suoniendo l ráol horizonl en el ldo osiivo, ( ). Cmindo coordends l ecución enemos ( ) ( ) Los elemenos de l ráol se hlln rsldándolos, eniendo en cuen que el vérice es el que jueg el el de origen de coordends. Ejemlo 6: (Elemenos de l ráol rir de su ecución) Dd l ráol de ecución, hllr odos sus elemenos. Cudremos l ecución r oder ser qué io de ráol enemos. ( ) ( ) Como es quien esá elevd l cudrdo, l ráol es horizonl. Además, como el coeficiene de es negivo, l ráol esá oriend hci l izquierd. Tmién se deduce que el vérice es [ ] Vérice: V [ ] Foco: [ ] 5 F Direcriz: Eje:. V. Ejemlo 7: (Ecución de l ráol rir de lguno de sus elemenos). Hllr ls ráols, con eje rlelo lguno de los ejes de coordends que engn vérice en el uno V [ ] sen or el origen de coordends. Es fácil ver, medine un diujo si fuer necesrio, que h dos ráols que sisfcen esos requisios. Un vericl un horizonl. Por l osición del vérice del uno de l ráol (el origen de coordends), vemos que un es horizonl oriend hci l derech l or es vericl oriend hci jo. Hllemos sus ecuciones. Si es horizonl oriend hci l derech, l ecución es ( ) ( ). Como h de sr or el uno [ ] susiuendo enemos que de donde l ecución es ( ) ( ) Si es vericl oriend hci jo, l ecución es ( ) ( ) en ese cso mién es ( ) ( ) ( ) ( )., con lo que l ecución qued ( ) ( ). O,. Susiuendo el uno or el que s enemos. 5

16 6 5.- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CÓNICA Y UNA RECTA CASO DE LA ELIPSE. Tomemos un rec un elise ( ) ( ). Susiuendo l ecución de l rec en l hiérol enconrremos los vlores de r los que un uno de l rec esá mién en l hiérol, es decir, los unos de inersección. Al susiuir nos enconrmos con un ecución de segundo grdo en ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es ecución de segundo grdo en iene coeficiene líder l ecución iene ls soluciones que nos d l fórmul cudráic, cundo éss eisn. Pr hllr los unos de inersección, s resolver l ecución de segundo grdo neriormene menciond. Es evidene que l siución es comlemene nálog r elises vericles CASO DE LA HIPÉRBOLA. Tomemos un rec un hiérol ( ) ( ). Susiuendo l ecución de l rec en l hiérol enconrremos los vlores de r los que un uno de l rec esá mién en l hiérol, es decir, los unos de inersección. Al susiuir nos enconrmos con un ecución de segundo grdo en : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es ecución iene coeficiene líder, que se nul cundo ±, es decir, cundo l rec es rlel ls sínos de l hiérol (ienen l mism endiene). En ese cso, l inersección es un uno o ninguno (si l rec dd es recismene l síno). En el reso de los csos, l ecución es urmene cudráic en l fórmul cudráic nos d dos soluciones, un o ningun. Pr hllr los unos de inersección, s resolver l ecución de segundo grdo neriormene menciond CASO DE LA PARÁBOLA. Análogmene l cso nerior, ommos un rec un ráol ( ) ( ). De nuevo, enconrmos un ecución de segundo grdo en cu resolución nos d los unos de inersección. ( ) ( )

17 ( ) ( ) ( ) Es ecución no es de grdo cundo, es decir, cundo l rec es horizonl, or no, rlel l eje de l ráol. En l cso, h un únic solución que el érmino en no uede desrecer l no oder ser simulánemene cero, no es nunc. Si l rec no es rlel l eje de l ráol, enonces l ecución es de segundo grdo. En l cso, ls soluciones vienen dds, cundo h, or l fórmul cudráic. Podemos resumir l osición reliv en el siguiene cudro resumen: Elise Hiérol Práol L rec es rlel un síno: L rec es rlel l eje: No h csos eseciles Un uno de core no es ngene Un uno de core no es ngene Secne: H dos unos de inersección Tngene: H un uno de inersección ( no es rlel l síno/eje) Eerior: No h ningún uno de inersección Ejemlo 8: Hllr l osición reliv de l rec 7 5 con l elise de ecución 8 7. Esudimos el sisem formdo or ms ecuciones: De l ecución linel desejmos, or ejemlo, 7 5, susiuimos en l ecución cudráic ( ) 8( ) 7 M ± ± 78 ± 8 79 Luego h dos soluciones A [ 9 ] [ ] L rec es secne. 5 5 B e Ejemlo 9: Hllr l osición reliv de l rec : l hiérol ( ) ( ). 9 7

18 L endiene de l rec es m ls sínos ienen endiene m ±, de donde no es un rec rlel lgun de ls sínos. Ls ecuciones rmérics de l rec son. Susiuendo enemos l ecución en : ( ) ( ) 9( ) ± Que iene dos soluciones: 5 L rec es secne. 89. Que nos d, susiuendo en l rec, los dos unos de inersección. Ejemlo : Hllr l osición reliv de l rec con l hiérol de ecución L rec iene endiene m. Cudrndo l ecución de l hiérol, ( ) ( ) 9, vemos que sus sínos ienen endiene m ±, or no, l rec dd es rlel un de ls sínos. L rec cor l hiérol en un uno siendo rlel un de ls sínos. Ejemlo : Hllr l osición reliv de l ráol 7 con l rec de ecución 7. Ls ráols que esudimos quí siemre ienen eje horizonl o vericl. Como l rec dd no es ningun de ls dos coss, no uede ser un cso esecil. Así que esudiremos el sisem que formn ms ecuciones. Desejndo en l ecución linel susiuendo en l ecución cudráic, oenemos: ( 7) como el discriminne es negivo, no h unos comunes. 9± 8 9± 59 L rec es eerior l ráol, es decir, no l cor en ningún uno. 8

19 6.- RECTAS TANGENTES A UNA CÓNICA. H dos rolems de recs ngenes diferenes: hllr un rec ngene un cónic que se or un uno concreo (ien se eerior, ien esé sore l cónic) hllr un rec ngene l cónic que se rlel un rec dd. El rolem de l rec ngene que s or un uno ddo se resuelve medine l rec olr del uno reseco de l cónic. Si el uno es "eerior" l cónic, enonces l rec olr del uno reseco de l cónic l inersec recismene en los unos de ngenci. Si el uno esá inscrio en l cónic, l rec olr es recismene l rec ngene l cónic or ese uno. Si el uno es "inerior", l olr es un rec eerior l cónic, ero en ese cso no h ningun rec que se or el uno se ngene l cónic. El cálculo de l rec olr un cónic se hce desdolndo los érminos susiuendo ls coordends del uno en un desdole sí en oro no. Ejemlo : Hllr ls recs ngenes l cónic 8 Hllmos l rec olr l uno reseco de l hiérol: que sen or el uno [ ] P olr : P Hllmos los unos de core de l olr con l hiérol. Ésos son los unos de ngenci ± cus soluciones son, 6 ( ) 7 A B [ ] 6. Pr hllr ls recs ngenes uscds odemos hllr ls recs que sn or A P or B P resecivmene o ien hllr l olr en A en B resecivmene. Eso úlimo es más sencillo. A: B: r : 7 7 r : Por no, los unos de ngenci son [ ] 6 Ejemlo : Hllr l rec ngene l hiérol 8 en el uno [, ] P. Como indic el méodo, hllmos l olr de P reseco de l hiérol:. Un vez oenid l olr, hllmos sus inersecciones con l hiérol, es decir, resolvemos el sisem 8. Desejndo en l rec 8 9

20 susiuendo en l hiérol oenemos ( ) ( 6 6 ) 8 8 que iene soluciones ± 88 ± 76 6 ± 8. Pr enemos Pr enemos. Por úlimo l rec ngene es l rec que s or el uno eerior el uno de ngenci ( eso con cd uno de los dos unos oenidos). Tomndo (, ) 8 Q l endiene es m PQ l rec es ( ). L or rec se consigue omndo (, ) 9 8 Q llegmos ( ) r : ( ) ( ) 69 r :. 69 El rolem de l rec ngene que es rlel un rec dd se resuelve omndo ods ls recs rlels l rec dd. Eso nos dej l re de ls vriles invrine el érmino indeendiene es desconocido. Eslecemos un sisem de l cónic con el conjuno de recs lo oligmos que eng un únic solución. Hrá que ener cuiddo en los csos de l hiérol l ráol que ienen csos eseciles. Ejemlo : Hllr ls recs que son ngenes l elise de ecución son erendiculres l rec : Ls recs erendiculres son de l form C. Así que el sisem C dee ener un únic solución. Por no, cundo susiuimos l ecución linel en l de l cónic, qued un ecución de segundo grdo que dee ener discriminne igul. Eso nos drá un ecución en C resolviéndol oendremos ls recs uscds. ( 6C C ) 8( C) 7 8 5( C ) 9C 8 7 C 9 9 C 5 ( C ) 8 ( 9C 8C 7) 6C 7C 77 Necesimos hllr los vlores de C que hcen que el discriminne se. 7± ± C C C ± 8 r : 8 r : 8.