TEMA 8. Tests de hipótesis Introducción Definiciones Pasos para la realización de un test

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1 TEMA 8. Tests de hipótesis 8.. Itroducció 8... Defiicioes 8... Pasos para la realizació de u test 8.. Tests paramétricos Cotrastes clásicos sobre los parámetros de ua distribució Normal 8... Cotrastes clásicos sobre los parámetros de dos distribucioes ormales idepedietes Cotrastes clásicos para ua proporció p Cotrastes clásicos para la comparació de dos proporcioes 8.3. Tests o paramétricos Cotrastes para la bodad de ajuste 8.3. Cotrastes de homogeeidad Cotrastes para la idepedecia de dos caracteres Cotraste de aleatoriedad. Test de rachas Test de Kolmogorov-Smirov Test de los ragos sigados de Wilcoxo Test de Ma-Whitey-Wilcoxo 8.4. Aálisis de la variaza 49

2 ! 8.. Itroducció! 8... Defiicioes. Test de ipótesis: Procedimieto estadístico mediate el cual se ivestiga la verdad o falsedad de ua hipótesis acerca de ua característica de ua població o u cojuto de poblacioes.. Tests paramétricos: Coocida ua v.a. co ua determiada distribució, se establece afirmacioes sobre los parámetros de dicha distribució.. Tests o paramétricos: Las afirmacioes establecidas o se hace e base a la distribució de las observacioes, que a priori es descoocida. 5

3 Ejemplos: Tests paramétricos: Sea,,..., ua m.a.s. de ua v.a. co distribució Normal, N ( µ, σ ). Establecemos la afirmació: µ Tests o paramétricos: " Aálisis de la aleatoriedad de la muestra " Ua variable aleatoria tiee ua distribució Normal " Dos variables aleatorias e so idepedietes " Dos muestras idepedietes procede de la misma població 5

4 . ipótesis del test:! ipótesis ula ( ) : ipótesis que se platea e u problema de cotraste! ipótesis alterativa ( ) : ipótesis cotraria a la hipótesis ula Ejemplos: Test paramétricos: : µ : µ > Test o paramétricos: : La muestra se ha seleccioado aleatoriamete : La muestra o se ha seleccioado aleatoriamete 5

5 3. Estadístico del test! Llamamos Estadístico del Test o Estadístico de Cotraste a ua variable aleatoria, co distribució de probabilidad coocida, y cuyos valores os permite tomar la decisió de aceptar o rechazar la hipótesis ula. : µ µ : µ µ σ N µ ;! Al valor cocreto que toma el estadístico del test para la muestra escogida se llama Valor Experimetal del Estadístico de Cotraste x, x,..., x x xi i 53

6 4. Errores asociados al cotraste! Error tipo I: Error que se comete al rechazar la hipótesis ula,, cuado ésta es cierta. P[ Error tipo I ] [ Rechazar / es verdadera] α P! Error tipo II: Error que se comete al o rechazar la hipótesis ula,, cuado ésta es falsa P[ Error tipo II ] [ No Rechazar / es falsa] β P Verdadera Falsa Rechazo Error tipo I (α) Correcto No rechazo Correcto Error tipo II (β)! Potecia del test: Probabilidad que se tiee e el cotraste de detectar que es falsa. [ ] β P Rechazar / es falsa 54

7 # Ejemplo Cotrate de ipótesis Cotrastar si la media de ua població N ( µ ; σ ) co σ coocida, toma u valor µ µ. Plateamieto del test:. Estadístico del test: : µ µ : µ µ σ N µ ; Bajo la hipótesis ula: σ N µ ; Se toma ua m.a.s. cocreta: x, x,..., x cuya media valdrá: xi i x Si es cierta, la mayoría de los valores de la media muestral debe estar próximos al valor µ. 55

8 3. Criterio de decisió: Comprobar si el valor cocreto de la media muestral calculada, está o o muy alejado de µ! Rechazamos si la media muestral o está próxima a µ.! No rechazamos si la media muestral está próxima a µ. 4. Determiació de las zoas de rechazo y o rechazo:! Zoa de rechazo: α % de los valores restates.!zoa de o rechazo: ( - α) % de los valores más cercaos a µ. α / α α / µ. Media muestral Rechazo No Rechazo Rechazo 56

9 5. Tipos de hipótesis. Regió Crítica. P-valor. Cotrastes uilaterales y bilaterales! ipótesis simples: La hipótesis asiga u úico valor al parámetro descoocido, : θ θ! ipótesis compuestas: La hipótesis asiga varios valores posibles al parámetro descoocido, : θ ( θ, θ ) : µ µ : µ µ Simple Compuesta : µ µ : µ > µ Compuesta Compuesta : µ µ : µ < µ Compuesta - Compuesta 57

10 Al aplicar u cotraste de hipótesis, clasificamos los putos del espacio muestral e dos regioes excluyetes y complemetarias:! Regió de Rechazo o Regió Crítica: La formada por el cojuto de los valores del estadístico de cotraste que os lleva a rechazar la hipótesis ula, se llama regió crítica (los putos que delimita la regió crítica se llama putos críticos)!regió de No Rechazo ó Regió de Aceptació: Es la formada por el cojuto de los valores del estadístico de cotraste que os lleva a aceptar la hipótesis ula Regió de rechazo Regió de o rechazo 58

11 ! p-valor o ivel de sigificació observado: Es el área que deja a la derecha el valor experimetal del estadístico.!elegido u ivel de sigificació α, se rechazará si p < α No rechazar hipótesis ula p-valor z exp z α Si α p - valor Rechazar Rechazar hipótesis ula p-valor z α z exp 59

12 ! Cotrastes uilaterales y bilaterales: " Si la hipótesis alterativa da lugar a ua regió crítica a ambos lados del valor del parámetro, diremos que el test es bilateral o de dos colas Regió crítica " Si la hipótesis alterativa da lugar a ua regió crítica a u solo lado del valor del parámetro, diremos que el test es uilateral o de ua sola cola Regió crítica 6

13 ! 8... Pasos para la realizació de u test. Fijar las hipótesis ula y alterativa : θ θ Si el cotraste es bilateral : θ θ : θ θ : θ > θ : θ θ : θ < θ Si el cotraste es de ua cola (derecha) Si el cotraste es de ua cola (izquierda). Buscar el estadístico del test que bajo la hipótesis ula tega u comportamieto coocido 3. Determiar la regió crítica 4. Seleccioar ua muestra de tamaño, para la cual el estadístico del test tome u valor umérico (valor experimetal del estadístico de cotraste) 5. Adoptar la decisió sobre el rechazo o o de la hipótesis ula 6

14 ! 8.. Tests Paramétricos! 8... Cotrastes sobre los parámetros de ua distribució ormal ( ),,..., m.a.s. de N µ ; σ! Cotrastes sobre la media Variaza Coocida ipótesis del test Estadístico de cotraste Criterio de rechazo : µ µ : µ µ : µ µ : µ > µ Z µ N(;) σ z z exp z α exp z α zexp z α : µ µ : µ < µ zexp z α 6

15 Variaza Descoocida Estadístico de cotraste T S µ t ipótesis del test : µ µ : µ µ : µ > µ : µ µ : µ µ : µ < µ Criterio de rechazo t t α exp ; t t α exp ; t t α exp ; t t α exp ; 63

16 # Ejemplo: E u preparado alimeticio ifatil se especifica que el coteido medio de proteías es al meos del 4%. Tratamos de comprobar esta especificació y para ello tomamos preparados que aalizamos para determiar su coteido e proteías, obteiedo ua media del 4% y ua cuasidesviació típica del 3.5%. Es correcta la especificació citada para u ivel de sigificació del.5, supoiedo ormal la distribució de la variable coteido proteico? : Coteido Proteico, N ( µ ; σ ) ; x 4; s 3.5 Cotraste de ipótesis: : µ 4 : µ < 4 64

17 ; x 4; s 3.5 Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste: x µ t S : µ 4 : µ < 4 α.5; t t ; 9.5; 9 t exp No rechazamos.5 t.95 ; 9 texp.95 Admitimos como correcta la especificació del preparado acerca del coteido proteico 65

18 66! Cotrastes sobre la variaza Media descoocida Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste ( ) S σ χ χ ; exp ; exp α α χ χ χ χ exp ; α χ χ exp ; α χ χ : : σ σ σ σ : : σ σ σ σ > : : σ σ σ σ <

19 # Ejemplo: La variaza habitual para la altura de los machos de Lhasa Apso es de.5. U criador está itetado reducir esta cifra. Después de u período de criaza selectiva, se seleccioa ua muestra de 5 perros a los que se mide, obteiedo ua cuasivariaza muestral de.. Teemos evidecias que os permita afirmar que ha dismiuído la variabilidad e la altura de esta raza de perros? : Altura de los machos de Lhasa Apso Cotraste de ipótesis: ( ; ) N µ σ 5; s. : σ.5 : σ <.5 67

20 5; s Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste: χ : σ.5 : σ <.5.95;4. α.5; χ 6.57 ( ) S σ χ χ exp No rechazamos χ.95;4 exp χ No teemos suficietes pruebas para sosteer la iformació de que la criaza selectiva haya reducido la variabilidad e las alturas de los machos de Lhasa Apso 68

21 ! 8... Cotrastes sobre los parámetros de dos distribucioes ormales idepedietes ( µ σ ),,..., m.a.s. de N ; ( ),,..., m.a.s. de N µ ; σ! Cotrastes sobre la diferecia de medias " Variazas coocidas " Variazas descoocidas, pero iguales " Variazas descoocidas, distitas o o. Muestras grades 69

22 7 Variazas coocidas Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste ( ) ( ) ; Z N µ σ σ + exp z z α exp z z α exp z z α exp z z α : : µ µ µ µ : : > µ µ µ µ : : < µ µ µ µ

23 7 Variazas descoocidas, pero iguales Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste ( ) p T S t µ + + exp ; t t α + exp ; t t α + exp ; t t α + exp ; t t α + ( ) ( ) p S S S + + : : µ µ µ µ : : > µ µ µ µ : : < µ µ µ µ

24 Variazas descoocidas, distitas o o, co x, y 3 Estadístico de cotraste Z ( ) S µ S + N ( ;) ipótesis del test Criterio de rechazo : µ : µ µ µ z z exp z α exp z α : µ : µ µ µ > z exp z α : µ : µ µ µ < z exp z α 7

25 # Ejemplo: E u estudio sobre la agia de pecho e ratas, se dividió aleatoriamete a 8 aimales afectados e dos grupos de 9 idividuos cada uo. A u grupo se le sumiistró u placebo y al otro u fármaco experimetal FL3. Después de u ejercicio cotrolado sobre ua cita si fi, se determió el tiempo de recuperació de cada rata, obteiédose los siguietes resultados: x S Placebo 9 39 seg. 45 seg. FL3 9 y 83 seg. S 43 seg. Se puede cocluir que el fármaco experimetal tiede a reducir el tiempo de recuperació? (Se supoe igualdad e las variazas poblacioales) : Tiempo de recuperació de las ratas co placebo : Tiempo de recuperació de las ratas co el fármaco N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) Idepedietes 73

26 Cotraste de ipótesis: : µ µ : µ > µ : µ µ : µ µ > Estadístico de cotraste: T S ( ) µ p + t + S p ( ) ( ) S + S t t exp.5; Rechazamos.95.5 t.5;6 texp El fármaco experimetal es eficaz e la reducció del tiempo de recuperació e ratas co agia de pecho. 74

27 75 Medias descoocidas Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste exp ; F F α + exp ; F F α + exp ; F F α + exp ; F F α +! Cotrastes sobre la igualdad de variazas ; S F F S : : σ σ σ σ : : σ σ σ σ > : : σ σ σ σ <

28 # Ejemplo: Se realiza u estudio de prácticas de prescripció. El propósito es aalizar la prescripció de digoxia, u fármaco importate, potecialmete tóxico y comúmete utilizado. El ivel de dosificació para los mayores de 64 años debe ser meor que el de persoas más jóvees. Se extrae muestras idepedietes de cada grupo y se obtiee el ivel de dosificació para cada paciete seleccioado. Los resultados so: x S Edad > 64 años 4.65 mg./día. mg./día Edad 64 9 y.68 mg./día S y.68 mg./día Se puede cosiderar que la dispersió e ambas poblacioes es la misma? : Catidad de digoxia e pacietes co > 64 años : Catidad de digoxia e pacietes co [ 64 años N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) Idepedietes 76

29 Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste:.5 4; 9; F.95 S S s s : σ : σ.5 σ σ ; F.mg./ día.68mg./ día. Fexp.5.68 F.5; 4, 8.5 F.975; 4, 8.55 f.5; 8, 4.94 Rechazamos Las variazas poblacioales so diferetes F.975; 4, 8 F.5; 4, 8 Fexp 77

30 ! Cotrastes para ua proporció Estadístico de cotraste Z pˆ p p N ( p ) ( ;) ipótesis del test Criterio de rechazo : p : p p p z z exp z α exp z α : p : p > p p z exp z α : p : p < p p z exp z α 78

31 # Ejemplo: Etre los pacietes co cácer de pulmó, el 9% o más muere geeralmete e el espacio de tres años. Como resultado de uevas formas de tratamieto, se cree que esta tasa se ha reducido. E u reciete estudio sobre 5 pacietes diagosticados de cácer de pulmó, 8 muriero e el espacio de tres años. Se puede afirmar que realmete ha dismiuido la tasa de mortalidad al ivel α.? Cotraste de ipótesis: : p.9 : p<.9 Estadístico de cotraste: Z pˆ p p N ( p ) ( ;) Estimació muestral del parámetro: Nº éxitos 8 p ˆ Nº observacioes

32 Cotraste de ipótesis: pˆ.853 : p.9 : p<.9 z exp pˆ p p ( p ).9(.9) 5.95 z α.;.46 z.9. Rechazamos..9 z exp z. 8

33 8 Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste exp z z α exp z z α exp z z α exp z z α! Cotrastes para la comparació de dos proporcioes ( ) ( ) : : p p p p p p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ˆ ˆ ˆ ˆ N p p p p p p p p Z + ( ) ( ) : : p p p p p p p p > ( ) ( ) : : p p p p p p p p <

34 # Ejemplo: Se quiere comprobar la teoría de que la vitamia C es ua ayuda e el tratamieto del cácer. Se examiaro dos grupos de 75 pacietes cada uo. Al primero de ellos se le dio gr. de vitamia C diariamete y se observó que 47 pacietes presetaro mejoría. A los pacietes del segudo grupo se les sumiistró u placebo y 43 experimetaro mejoría. Cotrastar las hipótesis: Estadístico de cotraste: : p p.4 : p p >.4 Z ( p pˆ ) ( pˆ pˆ ) p ( p ) p ( p ) ˆ N + ( ;) Estimació muestral de los parámetros: pˆ pˆ

35 : p p.4 : p p >.4 Z exp ( ) ( ) ( ) z zexp z α No rechazamos.95.5 z exp z.5 83

36 ! 8.3. Tests No Paramétricos! Cotrastes para la bodad de ajuste. El problema de bodad de ajuste cosiste e determiar a partir de u cojuto de datos muestrales si estos so cosistetes co ua distribució de Probabilidad teórica. Partiedo de ua muestra de valores observados x, x,..., x de ua v.a.. co distribució supuesta F ( x ), se platea el siguiete cotraste de hipótesis: : F( x) : sigue otra distribució 84

37 ! Plateamieto " Cosideremos ua v.a., discreta o cotiua, y ua muestra aleatoria de tamaño de la distribució de dicha variable agrupada e k clases exhaustivas y mutuamete excluyetes. " Sea i, i,,..., k, la frecuecia absoluta de la i-ésima clase " Supogamos ua cierta distribució teórica para cuyos parámetros poblacioales los estimamos a partir de los datos muestrales. " Si deotamos por p i la probabilidad asociada a la clase i, los valores p i será los valores esperados asociados a cada clase i. 85

38 Clases Marca de clase Fr. Absolutas empíricas Prob. Teóricas Valores esperados x p p x p p i x i i p i p i k x k k p k p k Si algú valor esperado es meor que 5, p i < 5, dicha clase se agrupará co otras cotiguas, de maera que e todas ellas dichos valores sea mayores o iguales a 5, reduciédose el úmero de clases. 86

39 ! Solució del test ipótesis ula : ( ) F x Estadístico de cotraste k i ( ) i pi i p χ ( k ) r Criterio de rechazo exp χ α ; ( k ) r " r es el úmero de parámetros estimados de los que depede la distribució teórica " k es el úmero de clases 87

40 # Ejemplo: Se mide el úmero de partículas que llega a ua determiada zoa procedetes de ua sustacia radioactiva e u corto espacio de tiempo siempre igual, aotádose los resultados e la siguiete tabla: Nº de partículas Nº de períodos de tiempo a) Ajustar ua distribució de Poisso b) Calcular la probabilidad de que llegue a dicha superficie,,,..., 6 partículas c) Verificar la bodad del ajuste mediate u cotraste de la χ Nº de Partículas Radioactivas Determiació de los parámetros de la distribució. Dado que o los coocemos, los estimamos:! λ x ixi i P( λ.4) 88

41 Cálculo de probabilidades P ( ).898 ; P ( ).3586 ; P ( ). ; P ( 3).99 P ( 4).85 ; P ( 5).7 P ( 6).4 Cotraste de bodad de ajuste o ( λ.4) : P : sigue otra distribució 89

42 Nº de Partíc Fr. Ab. i Prob p i Val. Esp. p i Como el último valor esperado es iferior a 5, uimos las dos clases cotiguas Nº de Partíc Fr. Ab. i Prob p i Val. Esp. p i ( i -p i ) /p i y

43 Estadístico de cotraste: k i ( ) i pi Nº de Gr. de Libertad, (k-) - r (6-) - 4; r Nº de Parámetros estimados Criterio de rechazo: χ.5;4 exp i i p 9.49 k χ ( k ) exp χ α ;.5335 ( k ) r r No rechazamos ( p ) i p i i.95.5 exp χ.5;3 Los datos proviee de ua distribució de Poisso 9

44 ! Cotrastes para la idepedecia de dos caracteres Se quiere determiar si existe relació etre dos características diferetes de ua població, dode cada característica se ecuetra subdividida e u cierto úmero de categorías B A A Total " TABLA DE CONTINGENCIA B B... j... s. A A i i A r r i r B j j ij rj.j B s s is rs.s Total. i. r... 9

45 ., i,,..., r. i. s j r, j,,..., s. j i ij ij Total de la i-ésima fila Total de la j-ésima columa " La decisió de rechazar o o rechazar la hipótesis ula de idepedecia de los dos caracteres, se basa e el mal o bue ajuste etre las frecuecias observadas y las frecuecias que se esperaría para cada celda si fuese cierta i.. j Valores esperados: e ij 93

46 ! Solució del test ipótesis ula : A y B so idepedietes U r Estadístico de cotraste s i j ( ) ij eij e ij χ ( r )( s ) U Criterio de rechazo exp χ α ; ( r )( s ) Correcció de ates para cotiuidad Si algú valor e ij es meor que 5, se aplica la siguiete correcció por cotiuidad al estadístico del test Estadístico de cotraste U r s i j (.5 ) ij eij e ij χ ( r )( s ) 94

47 # Ejemplo: U psicólogo realiza ua ivestigació para determiar si existe asociació aparete etre el peso de u muchacho y u éxito precoz e la escuela. Se seleccioa ua m.a.s. de 5. Se clasifica a cada uo de acuerdo a dos criterios: el peso y el éxito e la escuela, obteiédose los siguietes resultados: Éxito Sí No Sobrepeso Sí No A la vista de los datos, qué se puede decir sobre la afirmació del psicólogo? Cotraste de ipótesis: : Los caracteres peso y éxito so idepedietes : Los caracteres peso y éxito o so idepedietes 95

48 Cálculo de los valores esperados, e ij e ij.. i j e Sobrepeso Éxito Sí No Total Sí (7) (55) No (3) (45) Total

49 Estadístico de cotraste: U r s i j ( ) ij eij e ij χ ( r )( s ) U U exp exp ( 6 7) ( 63 55) ( 38 3) ( 37 45) ( r )( s ) Rechazamos o χ.5; χ.5; U exp La obesidad y la precocidad e la escuela o so idepedietes 97

50 ! Cotrastes de homogeeidad El problema geeral es determiar si varias muestras se puede cosiderar procedetes de ua misma població, e cuyo caso decimos que las muestras so homogéeas. " TABLA DE CONTINGENCIA Modalidades Muestras A A i A r Total B B... j... p. A i r i r B j j ij rj.j B p p ip rp.p Total. i. r... 98

51 ! Solució del test ipótesis ula : Las muestras so homogéeas Estadístico de cotraste U r p i j ( ) ij eij e ij χ ( r )( p ) U Criterio de rechazo exp χ α ; ( r )( p ) 99

52 # Ejemplo: U grupo de persoas ha sido expuesto a la radiactividad de u vertedero co desechos atómicos. Se realiza ua ivestigació para descubrir si hay algua asociació etre la exposició y el desarrollo de ua efermedad e la sagre. Se elige 3 persoas expuestas al peligro y 3 o expuestas y se estudia a cada sujeto para determiar si tiee o o la efermedad. Qué se puede cocluir a la vista de los resultados? Tiee la efermedad Radioactividad Sí No Sí 5 48 No 48 7 Cotraste de ipótesis: : ay homogeeidad : No hay homogeeidad 3

53 Cálculo de los valores esperados, e ij e ij.. i j e Radioactividad Sí No Total Tiee la efermedad Sí No 5 48 (48.39) (5.6) 48 7 (5.6) (68.39) 5 Total

54 Estadístico de cotraste: U r p i j ( ) ij eij e ij χ ( r )( p ) U U exp exp ( ) (48 5.6) (48 5.6) ( ) ( r )( p ) No rechazamos o χ.5; U exp χ.5; No hay evidecia de asociació etre efermedad saguíea y exposició a esta fuete de radioactividad 3

55 ! Cotraste de aleatoriedad. Test de rachas Aplicacioes del test: $ Determiar la aleatoriedad e el orde de aparició de los valores de ua variable $ Determiar si ua muestra se ha escogido de maera aleatoria EJEMPLOS:! E u proceso de producció de uas píldoras que se fabrica secuecialmete, la periodicidad de rachas de píldoras defectuosas puede ser sigificativa de la falta de aleatoriedad e la producció y sugeriría la revisió del proceso! Se está examiado el ivel de cotamiació atmosférica de ua ciudad, para ello se toma medicioes de diferetes partes de la ciudad. Se estudia si estas medicioes se ha realizado aleatoriamete por toda la ciudad y por lo tato los resultados del exame puede cosiderarse sigificativos. 33

56 Se defie ua racha como ua sucesió de símbolos idéticos cosecutivos. Ej: (6 rachas) Desarrollo del test: Supogamos ua muestra de tamaño de ua v.a. dicotómica co valores posibles a y a. Sea : r, total de rachas e la muestra. i, el úmero de veces que aparece el elemeto a i e la muestra, i, +, tamaño de la muestra Valores pequeños de i ( ) Estadístico de cotraste R r Criterio de rechazo (Tabla [F]) R I r α/ R S r -α/ R exp R R I, exp R S Valores grades de i : R Estadístico de cotraste Z r µ σ r r N( ;) µ r + + σ r + + ( ) ( ) ( ) N ( µ ; σ ) r r Criterio de Rechazo z exp z exp z z α α 34

57 Caso de variables cuatitativas Cuado los datos muestrales sea cuatitativos:. Se calcula la mediaa muestral. Se represeta por u sigo - los valores meores que la mediaa 3. Se represeta por sigo + los valores mayores que la mediaa 4. Se elimia los valores iguales a la mediaa 5. Se aplica el test aterior 35

58 Ejemplo: Se desea saber si e u proceso de fabricació de píldoras, la obteció de éstas e mal estado se produce de maera aleatoria. Para ello se aota el estado de 5 píldoras obteidas e la cadea de producció a ua determiada hora: B: Bue estado D: Defectuosa BDBDBBBDDBDBDDBDBBBBDBDBDBBDDDBDBD BDBBDBBDBBBBDBDB Test de ipótesis: Parámetros: r 35; 9; > R N µ, σ µ r ; + i : ay aleatoriedad : No hay aleatoriedad ( ) ( ) ( + ) ( + ) r r σ r 3.4 z z z exp r µ r σ r Rechazamos.5 ay algú fallo e el proceso de obteció de las píldoras -z z z α/ α/ exp 36

59 Ejemplo: Se puede cosiderar que el úmero de bacterias que aparece e u determiado cultivo al cabo de ua semaa es aleatorio, o por el cotrario habría que supoer que hay algo e el cultivo que propicia el desarrollo de tales bacterias? Los resultados a lo largo de semaas de observació fuero los siguietes: 498, 49, 5, 55, 495, 496, 497, 5, 5, 5 Test de ipótesis: : ay aleatoriedad : No hay aleatoriedad Paso : Cálculo de la Mediaa Muestral Ordeamos los datos: ( 5) + ( 6) Me Paso : Determiació de la ueva secuecia: Parámetros: r 4 rachas ; 5; 5 i < Tabla [F] Para α., R I 3, R S 9 R I r R S Aceptamos la aleatoriedad de los datos 37

60 ! Test de Kolmogorov -- Smirov Aplicacioes del test: $ Cotrastar si u cojuto de datos muestrales puede cosiderarse procedetes de ua distribució determiada $ Alterativa al test Chi Cuadrado cuado el modelo propuesto bajo la hipótesis ula es de tipo cotiuo y el tamaño muestral es pequeño Vetajas del test Kolmogorov Smirov frete al test Chi Cuadrado:! No requiere la agrupació de los datos e clases! Es aplicable a muestras pequeñas Icoveietes del test Kolmogorov Smirov frete al test Chi Cuadrado:! Sólo es válido para modelos de tipo cotiuo 38

61 Desarrollo del test: Sea,,..., ua m.a.s. de ua v.a. co distribució de tipo cotiuo. Cotraste: : sigue la distribució : F o sigue la distribució F Fudameto del cotraste: ˆ, F Comparar la distribució empírica, de la muestra co la distribució propuesta bajo, F. Si esta comparació revela diferecias sigificativas, se rechaza Solució del test: Estadístico de cotraste ( x) F( x) Regió crítica (Tabla [G]) D sup Fˆ [ [ dexp d α, + x 39

62 Cálculo del estadístico D:. Se ordea la muestra. Para cada i,,...,, se calcula: D D i máx máx i,..., { F x } ( ) F( x ) () ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x() Fˆ i i, x() i F x() i ( ) Fˆ, x() { Fˆ } 3. D exp máx{d i, i,,...,}, 3

63 Ejemplo: Realizar u test de Kolmogorov Smirov, a ivel α., para cotrastar si puede supoerse que los datos:.5, 8, 5,.,., 4.,., 8,.5, 6 procede de ua distribució ormal N(.84, 3.5). Ordeados los datos de la muestra, costruímos la tabla co los valores D i x (i) F ˆ ( ) ( ) x( i)..3.5 F D i max{.7,..7 } x (i) max , D exp máx{d i, i,,...,}.6 3. Regió Crítica, C [D -α, + [ [.368, + [ 4. Coclusió:.6<.368, por tato, o se rechaza que los datos proceda de ua distribució N(.84; 3.5) 3

64 ! Test de los ragos sigados de Wilcoxo Aplicacioes del test: $ Cotrastar la hipótesis ula de que ua muestra,,..., procede de ua v.a. co mediaa Me $ Cotrastar la simetría de la distribució de la variable Fudameto del cotraste: Si se dispoe de ua muestra,,..., procedete de ua v.a. de tipo cotiuo y simétrica respecto a su mediaa, Me, las diferecias D i i Me, estará distribuídas de forma simétrica respecto a Las diferecias positivas y egativas de igual magitud absoluta será igualmete probables 3

65 Se llama Rago de i a la posició que ocupa D i e la secuecia ordeada e orde creciete de los valores absolutos de las diferecias D i. Solució del test: ipótesis Nula : Mem Valores pequeños de ( < 5) Estadístico de cotraste "T + : Suma de los ragos de los D i positivos "T - : Suma de los ragos de los D i egativos Regió crítica (Tabla []) C C C : Me m ( ) ( + ) T, ti ts, : Me < m T ( ) T t,tomado α ' α : Me > m ( + ) t,t,tomado α ' α S, I Valores grades de ( 5) ( + )( ) + T N ( + ), 4 33

66 Ejemplo: Cotrastar si,., -., -.8, 3 y.9 so valores de ua muestra,,..., 6 extraída de ua població co distribució cotiua y mediaa Me., o si procede de ua població co mayor mediaa Test de hipótesis: : Me. : Me >. Cálculo de las diferecias D i : D -..8 D D -..9 D D D E orde creciete quedaría D < D < D 4 < D 3 < D 6 < D 5 Los ragos de D,, D,..., D 6 sería respectivamete,,, 4, 3, 6 y 5 Estadísticos de Wilcoxo: T T A ivel α.5 la regió crítica es C [T + 9], como T + exp 9 C, o rechazamos 34

67 ! Test de Ma Whitey - Wilcoxo Aplicacioes del test: $ Cotrasta la igualdad de las distribucioes de dos v.a. Dadas dos muestras de dos distribucioes idepedietes de tipo cotiuo:,,..., ; m.a.s. de F,,..., y ; x m.a.s. Se formula los cotrastes: : F : F F F Solució del test: : F : F F < F de F : F : F F > F. Ordear las x + y observacioes cojutamete. Difereciar de que muestra procede cada observació 3. Asigar ragos desde hasta x + y a las observacioes (salvo datos repetidos) 4. Calcular R i Suma de los ragos asociados a las observacioes de la muestra i, i x, y. 5. Estadístico de Ma Whitey: i ( i + ) U xy + Ri Nota: Las distribucioes de ambos estadísticos (, ) está relacioadas y proporcioa la misma prueba. 35

68 ipótesis Nula : F F Valores pequeños de ( < 5) Estadístico de cotraste Regió crítica (Tabla [I]) R (los resultados so los mismos sea cual sea la muestra escogida) C C : F F [ R, r ] [ r R] I S, : F < F [ R, r ], tomadoα' α I C Valores grades de ( 5) : F > F [ r, ], tomado α' α R S R i ( + + ) ( + ) i x y x y x y + N ; 36

69 Ejemplo: Idicar si, a ivel α., hay evidecia de diferecia etre las distribucioes a partir de los siguietes datos, procedetes de distribucioes idepedietes A: 5 3 B: Test de hipótesis: : : F F F F El resultado de las dos muestras ordeadas es: Difereciado los valores de ua y otra muestra y asigado los ragos, obteemos: A A A B B A B B E este caso, x y 4, y cosiderado la primera muestra resulta: R exp C[R ] [R 5], por lo que o hay evidecia muestral para creer que ambas distribucioes o sea idéticas 37

70 ! 8.4. Aálisis de la Variaza El aálisis de la variaza es el método que os permite determiar diferecias sigificativas etre el efecto medio que produce los distitos tratamietos o iveles del factor estudiado Aálisis de la variaza Paramétrico No Paramétrico De u factor De más de u factor 38

71 Ejemplos:! Ua compañía farmacéutica ivestiga los efectos de tres compuestos. Se diseña u experimeto que cosiste e iyectar los compuestos a ratas de la misma especie y aotar los tiempos que tarda e reaccioar. Los aimales se clasifica al azar e tres grupos A, B, C. A los 4 aimales del grupo A se les admiistra el primer compuesto, a los 4 aimales del grupo B, el segudo compuesto y a los 3 del grupo C, el tercero. Si se produce diferecias etre las reaccioes de los tres grupos, éstas se deberá a los compuestos, ya que las ratas se presupoe de características similares. El tipo de compuesto es el factor bajo estudio! De u producto dado, se tomaro 4 muestras similares y se procedió a u almaceaje utilizado 5 métodos diferetes. Trascurrido u cierto periodo de tiempo, se determió la catidad de agua que coteía cada muestra. Claramete, las posibles diferecias etre las catidades de agua se deberá al método de almaceamieto, que es el factor bajo estudio 39

72 ! Aova Paramétrico de u Factor Sea,,..., k v.a.i. co i N (µ i, σ), co µ i y σ descoocidos. Para cada variable i se cosidera ua muestra aleatoria de tamaño i :,..., i, i i i siedo el tamaño total de las k muestras: k i i El cotraste: : µ µ " µ k : µ µ para algú i i j j recibe el ombre de Aálisis de la Variaza de ua vía (o u factor) de clasificació (ANOVA) A las k categorías de clasificació se les dice tratamietos 3

73 ! ipótesis del ANOVA paramétrico " Aleatoriedad de las muestras " Idepedecia de las variables " Normalidad de las distribucioes " omogeeidad de las variazas 3

74 ! MODELO Sea i observacioes del tratamieto i x ij µ i + eij i N ( µ ; σ ), i,,..., i Siedo: µ Media del tratamieto i i eij Errores experimetales Se formula el test de hipótesis : µ µ " µ : µ µ, para algú i j i j k 3

75 ! Cálculos para el ANOVA: Muestra Observacioes x, x,, x Total T Medi a x x, x,, x T x k x k, x,, x k kk T k x k T x Notació: " Total de las observacioes del tratamieto i, i T i x ij, i,,...,k j " Media de las observacioes del tratamieto i, i T x x i i ij, i,,..., k i j i " Total de todas las observacioes, T k i i j x ij " Media total de todas las observacioes, x k i i j x ij T 33

76 ! Descomposició de la variabilidad Variabilidad Total de los datos: Desviació de los datos respecto de su media k i i j k i ( ) ( ) x x x x + ( x x) ij i j ij i k i i j i Variabilidad total de los datos Variabilidad detro de los grupos + VT VNE + VE Variabilidad etre grupos Distribucioes de las variazas bajo la hipótesis ula de igualdad de medias: " VT σ χ Bajo o, VNE y VE so idepedietes " VNE σ χ k ( k ) ( k ) VE VNE F k, k " VE σ χ k 34

77 Tabla ANOVA de ua vía Fuetes de variació Suma de Cuadrados Grados de libertad Variazas Estadístico del test Etre grupos Detro de grupos Total VE VNE VT k- -k - S e S R S t VE k VNE k VT S e S d S Rechazamos si Criterio de rechazo e S R S S e R Fk, k > Fα ; k, k 35

78 Ejemplo: Ua compañía farmacéutica ivestiga los efectos de 5 compuestos; el experimeto cosiste e iyectar los compuestos a ratas de características similares y aotar los tiempos de reacció. Los aimales se clasifica e 5 grupos, admiistrádole a cada uo de ellos u compuesto diferete. Se obtuviero los siguietes resultados: Familia , 7.6, 8.4, , 7. 8., , 8.5,. 7. Tiempo de reacció (miutos) Se puede cosiderar a u ivel α.5 que hay diferecias sigificativas etre los compuestos? Supodremos que se verifica las hipótesis de " Aleatoriedad de las muestras " Idepedecia de las variables " Normalidad de las distribucioes " omogeeidad de las variazas ecesarias para poder llevar a cabo u aálisis de la variaza. 36

79 ipótesis ula: Los tiempos medios de reacció puede cosiderarse idéticos e todos los grupos : µ µ : µ µ j, µ 3 para µ 4 µ 5 algú i j Cálculos: Compuesto Tiempos 8.3, 7.6, 8.4, 8.3 i 4 T i 3.6 xi , , , 8.5, Total " VNE k i i j ( ) x x 4. 3 ij i k " VE ( xi x) 7. i i 37

80 Tabla ANOVA: Fuetes de variació Suma de Cuadrados Grados de libertad Variazas Estadístico Etre grupos VE 7. k-4 S E.75 Detro de VNE 4.3 -k7 S R.6 grupos.8 Total VT.3 - E uestro caso: S e S R F 4,7 A partir de las tablas se obtiee que F.5;4,7 4. >.8 por lo que o se rechaza la hipótesis de igualdad de medias 38

81 Comprobació de las hipótesis previas al ANOVA " Aleatoriedad de las muestras $ Test de rachas " Idepedecia de las variables " Normalidad de las distribucioes $ Test de Idepedecia $ Aálisis de los residuos $ Test de Bodad de ajuste $ Teorema Cetral del Límite "omogeeidad de las variazas $ Test de Bartlett 39

82 33 omogeeidad de la variaza. Test de Bartlett Sea,,..., k v.a. i. co i N (µ i ; σ i ), co µ i y σ i descoocidos, i,,..., k. Para cada variable i se cosidera ua muestra aleatoria de tamaño i : i i i i,...,, siedo el tamaño total de las k muestras: k i i Se platea el cotraste: j i j i k algú para : : σ σ σ σ σ " Criterio de rechazo Estadístico de cotraste ( ) ( ) l l k k i i i k i i s s k c B χ ( ) ( ) ; l k i i k i i i k s s ( ) ( ) + k i i k i i k k 3 c exp χ α;k B > Solució del test:

83 Ejemplo: Se desea cotrastar la eficacia de tres fertilizates A, B y C. El primero se aplica e 8 parcelas, el B e 6 parcelas y el C e parcelas. Las parcelas so de características similares e cuato a su fertilidad, por lo que se cosidera que las diferecias e la producció será debidas al tipo de fertilizate. Las toeladas producidas e cada parcela e ua temporada y para el mismo producto so: A: B: C: Supoiedo que las tres muestras procede de poblacioes ormales idepedietes, cotrastar la igualdad de las toeladas medias producidas co cada fertilizate. ipótesis ula: Los tres fertilizates produce el mismo resultado Supodremos que se verifica las hipótesis de " Aleatoriedad de las muestras " Idepedecia de las variables " Normalidad de las distribucioes ecesarias para poder llevar a cabo u aálisis de la variaza. y comprobaremos la última hipótesis " omogeeidad de las variazas mediate el test de Bartlett 33

84 Test de Bartlett: : σ σ σ 3 Muestra i s i ( i -) s i ls i ( i -) ls i / ( i -) A 8 /7.34 7x.34 / 7 B 6 /5.38 5x.38 / 5 C 38/ x.5384 / Total Estadístico de cotraste: B k k i i i k c i i ( k) l s ( ) l s χ s k ( i ) l si i 6 l s k 3 ( i k) i k c + 3( k ) k i i i k i Bexp.468 No rechazamos χ., 9. ( )

85 ANOVA: Cálculos: Fert. A Producció i 8 T i 48 xi 6 B C Total Tabla ANOVA: Fuetes variació S.C. G.L. Variazas Estadístico Etre grupos (VE) 64.6 k- 3.3 Detro grupos (VNE) 6 -k Total (VT) f f exp ;,3 Rechazamos 333

86 Aálisis posteriores al ANOVA E caso de rechazar la hipótesis ula de igualdad de medias, qué medias so diferetes? Comparació de las medias por parejas Método de Scheffé para comparacioes múltiples Método de Scheffé para comparacioes múltiples: Cotraste de hipótesis: : L : L siedo L ua combiació lieal de las medias de los tratamietos: k L c i µ i i k y c i costates verificado: c i i El método de Scheffé está basado e la costrucció de itervalos de cofiaza para todos los posibles cotrastes de la forma idicada 334

87 Cosiderado:! Estimador isesgado de L: k L ˆ c i x i i! Variaza del estimador: Itervalo de cofiaza: S L S k d i co VNE ci i k VNE k i i j [ Lˆ S ( k ) F, Lˆ + S ( k ) F ] L α; k, k L ci i ( x x ) ij α; k, k k i i Coclusió: Si para algú cotraste L se obtiee u itervalo que o cotiee al, se rechaza la hipótesis ula 335

88 Ejemplo: Se desea cotrastar la eficacia de tres fertilizates A, B y C. El fertilizate A se aplica e 8 parcelas, el B e 6 parcelas y el C e parcelas. Las parcelas so de características similares e cuato a su fertilidad, por lo que se cosidera que las diferecias e la producció será debidas al tipo de fertilizate. Las toeladas producidas e cada parcela e ua temporada y para el mismo producto so: Fertilizate A B C Toeladas de producto 6, 7, 5, 6, 5, 8, 4, 7, 9, 9,,, 6 3, 4, 8, 3, 7, 6, 3, 6, 4, 7, 6, 3 a) Supuesto que las tres muestras procede de poblacioes ormales idepedietes co la misma variaza, cotrastar la igualdad de producció media e Tm. de las parcelas co cada fertilizate b) E caso de rechazar la igualdad e las produccioes, cotrastar la producció media co el fertilizate A frete al C y la producció media co A y C frete a B, co α. 336

89 a) ANÁLISIS DE LA VARIANZA ipótesis ula: La producció media es la misma idepedietemete del fertilizate Cálculos: Fertilizate A B C Total Producció 6, 7, 5, 6, 5, 8, 4, 7, 9, 9,,, 6 3, 4, 8, 3, 7, 6, 3, 6, 4, 7, 6, 3 i T i xi Fuetes variació Etre grupos Detro grupos Total S.C G.L. k- -k3-5 Variazas Estadístico.98 F.;, <.98 por lo que se rechaza la hipótesis de igualdad de medias 337

90 b) Comparacioes múltiples mediate el método de Scheffé: L µ - µ 3 ; L µ - µ - µ 3 Cotraste : : L : L Lˆ S L x x Itervalo de cofiaza: [.566 F, ] I.;, 3 F.;, 3 [.5, 3.53] Cotraste : : L : L I, por lo que podemos cosiderar µ µ 3 I Lˆ S L x x.696 Itervalo de cofiaza: x [.359 F, ] F 7.;,3.;, 3 [.83,.67] I, por lo que podemos cosiderar µ µ + µ 3 338

91 Aplicacioes del test:! Aova No Paramétrico Comparació de tratamietos cuado $ o es coocida la ormalidad de las distribucioes o o se verifica $ la variable respuesta es cualitativa u ordial Test de Kruskal Wallis o Aálisis de la Variaza de ua vía por ragos: " Permite decidir si k muestras idepedietes ha sido extraídas de la misma població o de poblacioes idéticas. ipótesis del test de Kruskal Wallis: " Las observacioes ha de estar medidas al meos e la escala ordial " La variable de iterés ha de teer como base ua distribució cotiua " Las poblacioes de las que se extrae las muestras ha de ser idéticas auque puede diferir e la localizació de la media 339

92 Desarrollo del test: Sea: (,..., ),..., (,,..., ), k k k k k muestras idepedietes de tamaños,,..., k, respectivamete, de distribucioes cotiuas : Las k distribucioes so idéticas : Las distribucioes difiere e su tedecia cetral Solució del test:. Ordear cojutamete las N,,..., k observacioes. Asigar ragos de a N a las observacioes 3. Calcular R i Suma de los ragos de las observacioes de cada ua de las muestras, i,,..., k Fudameto del test: El cotraste determia si la disparidad etre los R i respecto a los tamaños muestrales i es suficietemete sigificativa para sugerir el rechazo de la hipótesis ula 34

93 Estadístico de cotraste k R 3 ( ) i + k N N i i ( ) N + χ Criterio de rechazo exp > χ α,k 34

94 Ejemplo: Se desea comprobar si la itesidad del ruido ifluye e la duració de ua cierta tarea laboral. Para ello se tomaro tres muestras bajo tres iveles diferetes de ruido (bajo, medio y alto) de los tiempos (e segudos) empleados por obreros de características similares para llevar a cabo dicha tarea, obteiédose los siguietes datos: Nivel Nivel Nivel Cotrastar la igualdad de los tiempos medios de reacció de ambos grupos Difereciado los valores de las muestras y asigado los ragos, obteemos:

95 Que e forma de tabla: Nivel Nivel Nivel R R R 3 55 El estadístico de cotraste: N 3 3 ( N + ) ( + ) k i R i y como: χ., 9. i ( N + ) ( + ) exp 9.45 > 9. Rechazamos la hipótesis ula de igualdad etre los tiempos medios de reacció 343