Sistemas y Señales. Definiciones Básicas

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1 Sisemas y Señales Deiniciones Básicas Llamaremos sisema al conjuno de elemenos ísicos, que relacionados enre sí, consiuyen un odo para cumplir un deerminado objeivo. A las pares disinguibles las llamaremos componene del sisema. El comporamieno de un sisema esá deerminado por un conjuno de ecuaciones maemáicas que relacionan las variables que inerconecan dierenes elemenos del sisema. La elección de la variable debe ser al que : Exisa la acilidad para medirlas Enreguen una descripción oal del sisema Lo anerior se puede lograr a ravés de las leyes ísicas inherenes al sisema, represenándolo por una ecuación del sisema. Como el inerés se cenra en conocer cuando ocurren las cosas, lo que nos lleva a la conclusión de que las variables que esudiaremos esarán en unción del iempo. Visión Exerna de un Sisema Si se oma bajo observación un sisema y lo aislamos del reso del universo, podemos visualizar que para suminisrarle energía o medir alguna variable del sisema debemos aravesar la zona que separa el sisema del universo.

2 Teoría de Redes I Fuene de Energia Exciación Sisema Respuesa Insrumenos de medición Pueras del sisema Figura.. Visión exerna de un sisema. Los punos de enrada y salida del sisemas se llaman pueras y esas pueden ser: Pueras de alimenación (causas). Exciación Pueras de observación (eecos). Respuesa Diagrama de Bloque El diagrama de bloque es un elemeno que nos permie caracerizar en orma sencilla los sisemas, considerando ésos como simples cajas negras. Esas cajas negras poseen pueras de enrada y salida las cuales sirven para comunicarse con el exerior o con oros sisemas y así crear enes más complejos. Exciación Sisema Respuesa Figura.. Diagrama de Bloque. Exciación del sisema : Es un conjuno de señales independienes aplicadas simuláneamene al sisema. Respuesa del sisema : Es el conjuno de canidades ísicas, medidas en las pueras de observación que nos ineresan. Visión Inerna del Sisema Denro de un sisema, podemos enconrar subsisemas inerconecados enre sí Sisema Sub-Sisema Sub-Sisema Sub-Sisema 3 Figura.3. Visión Inerna de un sisema. Componene del sisema : Es el elemeno básico del sisema. Esos son subsisemas que por su simplicidad, no es necesario seguir dividiéndolas. Denro de esas componenes del

3 Sisemas y señales 3 sisema, exisen elemenos que almacenan energía, las cuales presenan un esado energéico del sisema. Esado energéico del sisema : Se deine esado energéico de un sisema en un insane de iempo deerminado, como el conjuno de los esados de odas las componenes que almacenan energía del sisema. Problemas del Análisis y Sínesis Se dice que se conoce un sisema si se conesan las siguienes inerroganes : Qué componenes orman el sisema? Cómo se inerconecan? Cuál es el esado del sisema? De acuerdo con eso podemos deinir dos siuaciones: Análisis del sisema : Es el esudio que nos permie deerminar como responde un sisema conocido a una ciera exciación dada. Sínesis del sisema : Es el esudio de la consrucción de un sisema a parir de una relación dada enre la exciación y la respuesa. Tipos de Variables Asociadas a los sisemas Los sisemas pueden ser represenados como simples cajas negras, la ig..4 esablece algunos elemenos básicos en la caja negra v v v n u u u n Sisema x (),..., x () n y y y n Figura.4. Variables asociadas a un sisema. Como se indica en la ig..4, se disinguen disinos ipos de variables: Enradas ( u i ): La enrada es un esímulo o exciación aplicada desde una uene de energía exerna. Usualmene para producir un respuesa deerminada por ésa.

4 4 Teoría de Redes I Perurbación (v i ): Es una enrada indeseable que aeca la salida del sisema, puede ser medible o no medible. Salidas ( y i ): Son las respuesas obenidas del sisema ane esímulos exernos aplicados. Exisen adicionalmene las salidas suprimidas, llamadas ambién variables inernas. Esados (x i ), Son las variables que deinen el esado energéico del sisema. Para el caso de un sisema deerminísico, el conocer la unción de enrada para odo >, y los esados iniciales en, es posible deerminar compleamene una única señal de salida para >. Clasiicación y Tipos de Sisemas Exisen dierenes ormas de clasiicar los sisemas, algunas de las cuales se indican a coninuación. Sisemas lineales y no lineales Sean e () la exciación de un sisema y r () la respuesa del sisema a e (). Sea e () la exciación al mismo sisema anerior r () la respuesa del sisema a e (). Se dice que el sisema es lineal si y solo si se cumple : Ae () + Be () Sisema Lineal Ar () + Br () Donde A, B ces. reales Figura.5. Enrada y salida de un sisema lineal. Es decir, en un sisema lineal se cumplen las principios de homogeneidad y superposición. Propiedad de Homogeneidad (proporcionalidad): Si la exciación es aumenada (o disminuida) por una consane, la respuesa ambién es aumenada (o disminuida) por la misma consane. Sisema Lineal Ae () Ar () Figura.6. Propiedad de Homogeneidad. Propiedad de Superposición: Si el sisema se excia con más de una señal (exciación) de enrada, la respuesa será la suma de las respuesas correspondiene a cada exciación de enrada.

5 Sisemas y señales 5 e () +e ()+e ()+...+e () 3 n Sisema Lineal r () +r ()+r ()+...+r () 3 n Figura.7. Propiedad de Superposición. Básicamene eso signiica que si se aplican dos (o más) exciaciones al sisema en orma separada, y se obienen dos (o más) respuesas, al aplicar ahora una exciación que corresponda a la suma de dos (o más) exciaciones, se debería obener, una respuesa igual a la suma de las respuesas independienes. Finalmene, un sisema lineal se caraceriza por ener una relación enrada - salida de la siguiene orma r (e) r (e) e e Figura.8. Curva caracerísica de un sisema lineal. Donde e es la exciación y r es la respuesa en unción de la exciación. Si la exciación es una unción dependiene del iempo, es decir, e(), la respuesa r ambién será unción del iempo. Ejemplo Sea la siguiene curva de enrada /salida de un sisema y e() la exciación. Aplicar la propiedad de homogeneidad. r (e) e() m A e Para aplicar esa propiedad, primero se debe deerminar la respuesa asociada a la exciación.

6 6 Teoría de Redes I r ( ) m e( ) Como la propiedad esablece que se debe muliplicar la exciación por una consane, enonces, sea e K ( ) K e( ) Luego, la respuesa a dicha exciación será reemplazando r K r K r K r K ( ) m e ( ) K ( ) m { K e( ) } ( ) K { m e( ) } ( ) K { r( ) } La propiedad de homogeneidad dice que la respuesa de un sisema someido a una exciación Ke(), deberá ser igual a la respuesa Kr(), donde r() es la respuesa produco de la exciación e(). Observe que si se oma la respuesa r ( ) m e( ) Y se muliplica por K, enonces esa nueva unción K r ( ) K m e( ) Será igual a r K (), luego se cumple la propiedad de homogeneidad. Ejemplo Considere el sisema del ejemplo anerior y las enradas e () y e (). Aplique la propiedad de superposición. r (e) e () m A e e () C

7 Sisemas y señales 7 El aplicar esa propiedad requiere conocer las respuesas de las dos exciaciones, sean ( ) m e ( ) r ( ) m e ( ) r Las respuesas del sisema debido a las exciaciones e () y e (). Luego, la propiedad de superposición esablece que se debe ingresar la suma de las dos exciaciones y deerminar su respuesa. Sea la nueva exciación ( ) e ( ) e ( ) e S + Luego, la respuesa a dicha exciación será Reemplazando r S ( ) m e ( ) S ( ) m { e ( ) e ( ) } r S + ( ) m e ( ) + m e ( ) r S ( ) r ( ) r ( ) r S + Ahora, si se consideran las respuesas individuales obenidas inicialmene, la propiedad de superposición dice que, la suma de esas respuesas individuales debe ser igual a la respuesa obenida usando como exciación la suma de las exciaciones individuales. Como se puede apreciar, esa siuación ocurre, pues r S () es igual a la suma de las respuesas obenidas individualmene. El sisema planeado en el ejemplo cumple con ambas propiedades, resula basane simple de rabajar, pues, su respuesa no es más que la exciación muliplicada por m, que es el parámero que relaciona la enrada con la salida. Tarea Demosrar ambas propiedades gráicamene, usando la curva de enrada salida y las exciaciones dadas en el ejemplo. Sisemas Acivos y Pasivos Sisemas Acivos: Son aquellos sisemas que bajo alguna condición de exciación y durane algún inervalo de iempo, son capaces ransormar algún ipo de energía que les ha sido suminisrada por la exciación para ser uilizada en la obención del objeivo del sisema.

8 8 Teoría de Redes I Energía Exciación Sisema Acivo respuesa Figura.9. Sisema Acivo. También se dice que un sisema acivo es un sisema que iene componenes acivas. Esas componenes acivas sirven para proveer la energía para el uncionamieno de oras componenes del sisema. Como odos los sisemas (elécricos, mecánicos, elecrónicos, ec.), ese ransorma la energía. Un ampliicador de audio recibe señales de baja poencia, ya sea de un sisema Toca cina ( DECK ) o de un CD Player, esas señales son ampliicadas y la señal de salida, que va a los parlanes (Música), es de mayor poencia. La canidad de energía resane, para proveer dicha poencia, es provisa por el ampliicador a ravés de su uene de alimenación (red de vols), la cual le permie uncionar. e() V r() DECK Enrada (Audio) Ampliicador Salida (Poencia) Parlanes Figura.. Equipo de audio. Podríamos considerar una radio, la cual capa a ravés de su anena la señal de la emisora, esa es ransormada y se maniiesa en la salida del parlane. Sisemas pasivos: Por lo general, odos los sisemas son pasivos cuando no exise ninguna exciación para que ocurra el proceso de ransormación de energía. Sisemas Varianes e In varianes en el iempo Sisema invariane en el iempo : Es cuando la relación exciación - respuesa no dependen del insane en que es aplicada la exciación. Eso implica que la componenes del sisema permanecen consanes. e () Sisema Invariane en el Tiempo r () e (-a) Sisema Invariane en el Tiempo r (-a) Figura.. Sisema Invariane en el iempo.

9 Sisemas y señales 9 En la prácica ningún sisema es invariane en el iempo, pues, sus parámeros son aecados por deerminados acores, sobreodo ambienales. La emperaura por ejemplo suele ser un acor imporane en muchos sisemas elecrónicos, ya que hace que la operación de dichos sisemas sea inapropiada. Si logramos conrolar algunos acores exernos, podríamos considerar que un sisema maniene sus parámeros invariables, pero sólo por un período muy pequeño de iempo. Por oro lado, un sisema mecánico puede ser considerado como un sisema variane en el iempo, pues, resula naural el hecho de que sus pares o componenes suran deerioros. Sisemas Deerminísicos y Probabilísicos Un sisema es deerminísico cuando exise una relación unívoca enre la exciación y la respuesa. Es decir, que exise cereza que para deerminada exciación la respuesa ambién será conocida. En el caso de un sisema probabilísico, solo enemos un valor de una deerminada probabilidad del valor de la respuesa. Los sisemas Esocásicos, son una exensión de los probabilísicos pero consideran además una variable emporal. Sisemas de Parámeros Concenrados y Disribuidos Los sisemas según su esrucura pueden ser de parámeros concenrados o disribuidos. Un elemeno puede considerarse concenrado, si su amaño es despreciable comparado con la longiud de onda, correspondiene a la recuencia normal de operación del sisema. En el caso de parámeros concenrados, el modelo maemáico que resula es un sisema de ecuaciones dierenciales ordinarias (las variables sólo serán en unción del iempo). Por el conrario, si el sisema se de parámeros disribuidos generará un sisema de ecuaciones en derivadas parciales; eso ocurre cuando al menos una de las variables es unción a la ve<za del iempo y del espacio. Ej. Una línea de ransmisión, pues, sus parámeros varían de acuerdo a la disancia. Sisemas Analógicos y Digiales Sisema análogo : Son aquellos cuyas exciaciones y respuesas pueden omar valores coninuos. Muchos ampliicadores de audio son odavía analógicos. Sisema digial : Cuando la exciación y la respuesa oman valores discreos. Por ejemplo un microprocesador (componene undamenal de un compuador) es un sisema digial. La gran mayoría de los sisemas digiales rabaja la inormación en orma numérica. () () Figura.. Señal Análoga y señal discrea.

10 Teoría de Redes I Sisemas Elecrónicos y de Poder Aniguamene la capacidad para manejar la energía elécrica hacía la dierencia enre los sisemas elecrónicos y de Poder. Hoy Muchos sisemas elecrónicos son capaces de manejar grandes canidades de energía. Sisema de poder : Son aquellos que pueden realizar rabajos que demanden gran canidad de energía, además ellos poseen dimensiones ísicas grandes. Por ejemplo, para sisemas elécricos que circulan corrienes alas de valores de más de un Ampere. Sisemas elecrónicos: Poseen dimensiones ísicas mucho menores que las aneriores y esán asociados al manejo de señales de pequeña poencia. Formulación de Sisemas Relaciones maemáicas del sisema : Eso implica, conocer las relaciones maemáicas de las variables de cada componene (leyes ísicas) y las relaciones maemáicas de las variables a ravés de las conexiones de las componenes. Sisema Físico Modelo Simbólico Modelo Maemáico Figura.3. Elemenos para la ormulación de un sisema. Para la ormulación del sisema se debe ener muy claro la simbología las leyes ísicas que gobiernan a cada uno de los componenes del sisema. a usar y Ejemplos de algunos sisemas Un generador elécrico, es un sisema que iene una puera mecánica y elécrica de enrada y una puera de salida que enrega energía elécrica. En ese caso una urbina o moor genera el movimieno, el cual es ransormado en energía elécrica. Un sisema de bases de daos puede ser viso de al orma que las exciaciones son las consulas realizadas por el usuario, cuyo resulado corresponde a la respuesa obenida. Un acondicionador de señal es un sisema que ransorma señales emiidas por algún sensor o ransducor, de al orma de enregar en su salida una señal de magniud esándar compaible con un insrumeno indusrial de medición. Un manipulador mecánico accionado digialmene, permie el posicionamieno de alguna herramiena (resa) el cual es conrolado por un compuador o microprocesador

11 Sisemas y señales Inerconexión de sisemas Los sisemas dependiendo del ipo de enrada y salida que engan pueden ser inerconecados, de al modo de ormar nuevos sisemas mucho más grandes y con objeivos disinos a los planeados para los sisemas originales. Exise una conexiones básica llamada conexión en cascada en la cual la salida de un sisema es conecada con la enrada de oro sisema. Como se indica en la ig..4, la enrada e () omará el valor de la salida r (). La relación de enrada salida del sisema esará dada por e / r. e r e r Sisema- Sisema- e r Nuevo Sisema Donde r e Figura.4. Sisemas conecados en cascada. Un ejemplo clásico de sisemas conecados en cascada, son los ampliicadores mulieapa, los cuales son conecados de esa orma para mejorar la capacidad de ampliicación. Exisen oro ipo de conexiones de sisemas que pueden ser más complejas en los cuales las enradas pueden alimenar a múliples sisemas y a su vez la salidas de ésos pueden ser sumadas. Ejemplo Considere los sisemas S y S los cuales son conecados en cascada, es decir, la salida de uno es la enrada del oro. Deermine la relación de enrada - salida, r/e del nuevo sisema. r (e ) r (e ) m e m e e r e r S S r Las respuesas de cada sisema individual Pero Luego Adicionalmene Finalmene ( ) m e ( ) r ( ) m e ( ) r ( ) e ( ) r ( ) m e ( ) m r ( ) m { m e ( ) } r ( ) r ( ) r

12 Teoría de Redes I ( ) m { m e ( ) } r Ejemplo Considerando los mismos sisemas del ejemplo anerior, deermine la curva r/e e r S + + r S r En el sisema mosrado, la enrada e alimena los sisemas S y S, por oro lado, las salidas de ambos sisemas son sumadas para obener una nueva respuesa del sisema. Considerando el sisema mosrado se iene Pero Finalmene ( ) m e ( ) r ( ) m e ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r + ( ) m e ( ) + m e ( ) r ( ) ( m m ) e ( ) r +

13 Sisemas y señales 3 Señales Muchos de los sisemas elécricos y elecrónicos son alimenados por uenes de energía las cuales pueden variar o no en unción del iempo. Las señales son unciones de una o más variables independienes y conienen inormación a cerca de la nauraleza o comporamieno de algún enómeno ísico, como por ejemplo, las corrienes o los volajes en un sisema elécrico, los cuales uerzan a una respuesa al sisema elécrico. Esas señales pueden ser represenadas mediane ormas de onda o unciones cuyo argumeno, para nuesro inerés, es el iempo. En el presene aparado se clasiican y caracerizan esas señales. () Figura.5. Señales como unciones variables en el iempo. Clasiicación desde el puno de visa de los sisemas Esas pueden ser de Enrada o de Salida. Señales de Enrada: Esas pueden ser de dos ipos Exciaciones y Perurbaciones. En las primeras, exise conrol sobre ellas, pueden ser manipuladas a volunad, pueden omar cualquier valor que se desee, obviamene dependiendo de los rangos máximos permiidos para dicha uene de energía y en las segundas no exise conrol y pueden ocurrir en cualquier momeno. Por lo general son enradas indeseables, ales como Ruido en el caso de un sisema de radio comunicación, la aperura de una puera en el caso de un sisema érmico, ec. Señales de Salida Esas señales pueden ser Respuesa o Variables Inernas. La respuesa es la señal enregada por el sisema como consecuencia de alguna señal de exciación (o perurbación). Las variables inernas son señales que represenan las salidas de las dierenes componenes inernas del sisema. Clasiicación desde el puno de visa de su comporamieno en el iempo. Esas señales se clasiican en Periódicas y aperiódicas. Sea () una señal, ésa será periódica si y solo si se cumple que ( ) ( nt) +

14 4 Teoría de Redes I Donde T es el período de la señal y n es un valor enero. Esas señales presenan un comporamieno que se repie después de deerminado iempo. En las señales aperiódicas no exise ese comporamieno repeiivo, luego no se cumple lo planeado inicialmene. La Fig..6 muesra señales periódicas clásicas usadas en ingeniería Elécrica y Elecrónica. Se iene un ren de pulsos, dienes de cierra, señal sinusoidal reciicada. () a () a T T 3T T T 3T () A (a) (b) π π 3π ω (c) Figura.6. Señales periódicas. (a) Tren de Pulsos. (b) Diene de Sierra. (c) Señal sinusoidal reciicaca. Señales Pares e Impares Una señal es par si es idénica a su relexión alrededor del origen es decir: Una señal es impar si se cumplen que : ( ) ( ) ( ) ( ) La Fig..7 muesra los ejemplos de señales pares e impares. A () (b)(-b) () A C (b)-(-b) -b b ω -b b ω -A -C -A (a) (b) Figura.7. Ejemplo de señales. (a) Pares. (b) Impares.

15 Sisemas y señales 5 Señales Típicas Exisen cieros ipos de señales que son enconradas recuenemene al rabajar con sisemas elécricos y elecrónicos, la gran mayoría son unciones que dependen del iempo. () ()C () A ()A sen ω C ω -A () k ()Ke -a () ()Ke α k Figura.8. Señales ípicas usadas en un sisema elécrico. La señal consane, es decir, la que iene un valor ijo para cualquier insane iempo, es comúnmene llamada señal coninua, se asocia habiualmene a una baería o pila, la cual enrega un valor ijo de volaje enre sus erminales para odo insane de iempo en condiciones ideales. La unción sinusoidal es una señal conocida como señal alerna es uilizada para el análisis de dierenes sisema elécricos y elecrónicos, pues la gran mayoría de ésos son exciados por ese ipo de señal. La señales exponenciales esán asociadas a la respuesa de algunos sisemas lineales, produco de haberse producido alguna conmuación en dicho sisema. No son las únicas, una combinación de dichas señales serán ambién pare del exhausivo análisis en ese curso. Señales singulares Las señales singulares son ormas de onda básicas no dierenciables ormalmene (presenan disconinuidades), represenables en orma maemáica muy simple, y sirven para consruir un gran número de señales. Esas señales sólo pueden concebirse en sisemas ideales. Señal Escalón Uniario u() u() - + u ( ) indeermin ado < > + Figura.9. Escalón Uniario.

16 6 Teoría de Redes I Esa señal se hace cero cuando el argumeno es negaivo y oma el valor cuando el argumeno es posiivo. Al muliplicar la unción escalón por una consane, esa oma el valor de la consane cuando su argumeno oma el valor posiivo y cero en el oro caso. ( ) C u( ) Observe que C puede omar disinos valores, en el caso de ser negaivo, C-K, enemos lo siguiene () ()-K u() -K Figura.. Escalón Uniario muliplicado por una consane negaiva. Se puede ambién arasar o adelanar la unción en el iempo, eso se logra cambiando el argumeno de la unción ya sea sumándole o resándole una consane, es decir () () a -a Figura.. Escalón Uniario arasado y adelanado en el iempo. Para inverir la señal con respeco al iempo (inversión de ase) sólo se debe cambiar el argumeno a menos su argumeno, es decir u(-) () Figura.. Escalón Uniario con argumeno negaivo. Físicamene la unción escalón se puede obener usando una uene de energía que enga un valor consane en conjuno con un inerrupor, pues, cuando ése esa abiero la exciación esa en cero y cuando el inerrupor se cierra, la exciación oma el valor de la uene de energía (Se produce un cambio abrupo). Evidenemene se debe considerar que el iempo que se demora el inerrupor en abrir y cerrar es cero.

17 Sisemas y señales 7 Sisema Sisema.5 Vols + _ Sisema Figura.3. Implemenación Física de un escalón. Señal Rampa Uniaria r() La siguiene señal se conoce como Rampa Uniaria. r() r ( ) Figura.4. Rampa uniaria. Esa señal Toma el valor cero cuando su argumeno es negaivo y oma el valor cuando su argumeno es posiivo. La rampa puede expresarse en unción de la señal escalón, es decir r ( ) u( ) La rampa uniaria iene pendiene igual a, y para cambiarla basa con muliplicar dicha rampa por una consane. La pendiene enonces omará dicho valor. ( ) C r( ) Al igual que el escalón uniario, la unción rampa puede desplazarse en el iempo, provocándose un adelano o un araso de la señal de la siguiene orma: r() r() a a+ -a -a r(-a) r(+a) Figura.5. Rampa Uniaria arasado y adelanado en el iempo.

18 8 Teoría de Redes I Para esa unción se cumple lo siguiene: Enonces o r r ( ) u( τ ) dτ ( ) τ u( τ ) u( ) dr u ( ) d ( ) Señal Impulso o Dela De Dirac δ() δ () La siguiene unción se conoce como Dela de Dirac o Función Impulso uniario () δ ( ) Figura.6. Impulso Uniario. La unción impulso uniario se relaciona con la unción escalón mediane la siguiene expresión: u ( ) δ( τ ) Donde la unción escalón uniario es la inegral de la unción impulso uniario. De la expresión se deduce que: dτ ( ) du δ ( ) d A parir de eso es posible deerminar el área bajo la curva, es decir Area δ ( τ ) dτ + du dτ ( τ ) dτ + du + ( τ ) u( τ ) u( + ) u( ) Es obvio que exise alguna diiculad ormal con la derivada, como una deinición de impulso uniario, ya u() es disconinua en y en consecuencia NO es dierenciable ormalmene.

19 Sisemas y señales 9 Sin embargo, podemos inerprear esa ecuación considerando a u() como el límie de una unción coninua. Deinamos uε() como se indica en la siguiene igura. u () ε δ ε () ε ε ε Figura.7. Funciones coninuas que llevadas al límie represena un escalón y una rampa respecivamene. Por lo ano u() se deine como Luego deinimos δ ε ( ) como: u ( ) lim u ( ) ε ε ε ( ) δ duε d ( ) Observemos que δε () iene un área uniaria para cualquier valor de ε, y es cero uera del inervalo (, ε). Noe que mienras más angoso se hace el inervalo, la unción se hace más angosa y más ala maneniendo el área uniaria en su orma límie. u () ε δ ε () ε ε ε ε ε Figura.8. Haciendo el límie en orma gráica. δ ( ) lim δ ( ) ε ε

20 Teoría de Redes I Observe que el área siempre es uniaria, debido al produco de la base por la alura del recángulo. En orma más general, la unción impulso muliplicada por una consane K endrá un área bajo la curva igual a K. Es imporane mencionar que la ampliud de impulso es ininia. Al igual que las señales aneriores, podemos desplazarla del origen sumándole o resándole una consane, la que producirá el corrimieno a ese valor cuando el argumeno sea cero. δ () δ () () () a δ ( a) δ ( + a) -a Figura.9. Impulso Uniario arasado y adelanado en el iempo. Señal Exponencial Compleja Y Sinusoidal Ese ipo de señal se caraceriza por la siguiene orma : Donde s±α ± jω y K es real. s ( ) Ke Dependiendo de los valores de esos parámeros, la exponencial compleja puede adopar varias caracerísicas dierenes. Considere s real, sα: α ( ) Ke Para sα, posiivo, se iene una exponencial creciene, cuyo valor para es K. Esa señal es uilizada para describir una amplia variedad de enómenos, incluyendo reacciones en cadena en explosiones aómicas, reacciones químicas complejas, ec. Para s-α, negaivo, se iene una exponencial decreciene, cuyo valor para es K. Esa orma de señal ambién es usada para describir una amplia variedad de enómenos ales como la respuesa de circuios RC, de sisemas mecánicos amoriguados y muchos oros más. La unidad de α, es la de -, ese coeiciene mide la rapidez de cambio de la señal. Al inverso de α se designa con la lera τ, llamada consane de iempo, y su unidad es la misma de.

21 Sisemas y señales τ ( ) Ke () k ()Ke α Ke- τ () ()Ke α Keτ k τ Figura.3. Curvas exponenciales decreciene y creciene. La consane de iempo τ corresponde al iempo en el cual la señal exponencial ha decaído un 63% del valor máximo. Esa señal puede ambién esar desplazada en el iempo, ello se logra sumando o resando un valor consane en el argumeno de la unción. () k ()Ke -a(+b) () k ()Ke -a(-b) -b b Figura.3. Curva exponencial decreciene desplazada en el iempo.(a) Adelanada (b) Rerasada Tarea Graicar las siguienes señales. Considere los valores de hasa cinco veces la consane de iempo. Cuál es la consane de iempo de cada curva?. ( ) 3e.5.5 ( ) ( e ). ( ) 4( e ) Para valores de s complejo conjugado : Si se uerza que s sea solo imaginaria, es decir, de la orma

22 Teoría de Redes I ± jω ( ) Ke, s ± jω Luego uilizando la relación de Euler, la cual asocia a las exponenciales complejas con las sinusoides, se iene: o Sea e j ω cos ω + j senω Ke j ω K cos ω + jk senω Ke jω K cosω jk senω Enonces, si se suman ambas ecuaciones Ke jω + Ke jω K cosω + jk senω + K cosω jk senω K cosω Claramene se llega a cosω Resando las ecuaciones, se iene e jω + e jω e senω jω e j jω Observe que se esá en presencia de una señal periódica. En orma general se puede decir que la pare real de una exponencial compleja, correspondería a una señal sinusoidal de la siguiene orma: { } K cos( ω + φ) j( ω+ φ ) ( ) Re Ke Y la pare imaginaria corresponde a { } K sen( ω + φ) j( ω+ φ ) ( ) Im Ke La Fig..3 muesra las señales seno y coseno adelanadas en un ángulo φ.

23 Sisemas y señales 3 () φ K sen( ω+ φ ) K cos( ω+ φ ) ω Figura.3. Señal sinusoidal. Donde ω es llamada recuencia angular de la sinusoide, y esá relacionada con el período de la señal T de la siguiene manera: ω π T rad seg Y φ corresponde al ángulo de ase de esa señal, es decir, que para, el valor de () es K corresponde a la ampliud de la señal. ( ) K cosφ Por lo general φ esá en grados, luego conviene dejar ω en [º/seg], es decir 36 º ω T seg Para K es real y s Se genera lo que llamamos señal coninua y su valor es igual a K. () ()K K Figura.3. Señal coninua.

24 4 Teoría de Redes I Descomposición de señales En ese puno se verá como se pueden componer dierenes ormas de señales, uilizando las presenadas aneriormene. Suponga que se quiere represenar la unción de la ig..33. como la suma de señales conocidas. () 4 a Figura.33. Señal compuesa por dierenes unciones variables en el iempo. Noe que dicha señal iene componenes con pendiene, componenes que se manienen en un valor consane durane un deerminado insane de iempo, componenes que cambian abrupamene y componenes que caen con ciera suavidad. () 4 ()r(+) () 3 6 ()-r(-3) 3 () () ()+ () () 4 4()-4u(-6) 5 () () ()+ () () (){u(-6)-u(-)} 4e 4 6 -(-6) () () ()+ ()

25 Sisemas y señales 5 () 8 ()-u(-) 8 () ()u(-5) 9 9 () () ()+ () () () ()+ () () 4 () () ()+ () a Finalmene sumando 7 () y () se obiene la señal original. La expresión analíica para la unción es la siguiene a( 6) ( ) r( + ) r( 3) 4u( 6) + { u( 6) u( ) } 4e u( ) + u( 5) o podría considerarse a( 6) ( ) r( + ) r( 3) 4u( 6) + u( 6) 4e u( ) + u( 5) Tomando en cuena que la exponencial es aproximadamene cero para 5 veces la consane de iempo. Tarea Consruir las señales periódicas de la Fig..6a y Fig..b en base a señales singulares. Considere período T. Valores Insanáneos, Máximos, Peak o Peak, Medios y Eecivos de señales Sinusoidales Valor Insanáneo El valor insanáneo de una señal se deine como el valor que oma dicha unción en un iempo deerminado. Ejemplo

26 6 Teoría de Redes I Sea () 4 sen ( o ) insanáneo en dicho iempo. Si evaluamos la unción en 6, endremos el valor ( ) 6 8 ( 6) 4sen π Sea () 3 e -, luego el valor insanáneo en 5 es (5) 3 e -*5 4, Valor Máximo y Valor Peak o Peak Es el valor máximo que oma la unción en algún inervalo de iempo considerado. También es llamado valor Peak Ejemplo Sea () 4 cos( 5π + 9), el valor máximo de esa señal es 4. El valor peak o peak o Valor Cresa a Cresa se deine como veces el valor máximo de la señal. () ()A sen ω A V máximo V peak-peak T ω -A Figura.34. Valor máximo y valor Peak de una señal. Valor Medio Se deine como la media algebraica de los valores insanáneos durane un periodo. El valor medio de la señal () F m, luego se iene Fm ( ) d

27 Sisemas y señales 7 Para el caso de una señal periódica, se iene T F m ( ) d T o Donde T es el periodo de la señal. En el caso de las sinusoides, siempre que no esé desplazada respeco de su origen, ese valor seria cero. Ahora, si la señal iene un desplazamieno, el valor medio corresponde a dicho desplazamieno, se indica en la siguiene igura. () T Valor medio ω Figura.35. Valor medio de una señal sinusoidal desplazada. Ejemplo Calcular el valor medio de la siguiene señal periódica. Si se considera que el periodo es T. () A T T ω El valor medio calculado sería en un semi-periodo, debido a que la señal vale cero en el reso del período. F F med med T T / T o / T o ( ) d ( ) d

28 8 Teoría de Redes I F π A π A ωdω { π} π sen cos π med o A π Valor Eicaz o Eecivo o RMS (Roo Means Square) Es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores insanáneos alcanzados durane un periodo o ciclo compleo. El valor eecivo de () será F e, luego El signiicado ísico es el siguiene: F e F RMS ( ) d La energía que disipará una corriene i() en una resisencia durane un lapso de iempo, -, se ideniica con lo que disiparía en iguales condiciones una corriene consane de valor I e. El valor I e así calculado se deine como el valor eecivo o eicaz de la corriene i() en el lapso -. Si la energía en el periodo de iempo - se deine como W ( ) p( ) En la cual p() es la poencia. Reemplazando, la poencia en unción de la corriene, donde R es la resisencia elécrica, se iene d Llamando a i()i e Simpliicando Inegrando Despejando I e W ( ) Ri ( ) d R i ( ) i ( ) d R R i ( ) d I e i Ie d d ( ) d I e d Ie ( ) d

29 Sisemas y señales 9 I e i ( ) d I e I RMS i ( ) d Ejemplo Calcular el valor eicaz de la señal sinusoidal de la Fig..34. F e F RMS π π ( Asen( ω) ) dω F e A π π sen ( ω) dω A π π{ cos(ω) } dω F e π π A cos(ω) dω dω π Finalmene F e A π π F e A Observe que es independiene del periodo de la señal. Luego, una señal sinusoidal cuyo valor eecivo es el calculado, produce el mismo eeco caloríico que una señal consane de valor F e A. Tarea Considere la señal ( ) Asen ( ω +φ) y ( ) A ( ω +φ) cos deermine el valor eicaz.

30 3 Teoría de Redes I