Equilibrio y deformación de vigas rectas

Transcripción

1 Euilibrio y deformción de vigs rects Jime lns Rosselló tedrático de Universidd Universidd olitécnic de Mdrid ETS de Ingenieros de minos, nles y uertos Deprtmento de ienci de Mteriles rofesor rnguren, sn, Mdrid jime.plns@upm.es Nots de clse, orrdor 6, corregido 2009/12/ Introducción En este documento se recogen los conceptos básicos de l teorí de vigs rects pr ser plicd en un curso breve (3 créditos) de resistenci de mteriles, en el ue se hn introducido previmente, los conceptos de euilibrio, comptibilidd y ecución constitutiv de termoelsticidd uniil con plicción l estudio del euilibrio y l cinemátic de sistems de biels o tirntes y sólidos rígidos. 2. Fleión pur y momento flector 2.1. Ejemplo L figur 1 muestr l imgen de un brr de plástico flectd plicndo, con pulgres e índices, dos pres de fuerzs, uno en cd etremo. Este tipo de crg se denomin fleión en cutro puntos. Si imginmos un corte recto de l vig en el trmo centrl (Fig. 1b), el sistem de fuerzs interiores ue ctún sobre l sección de corte debe ser euivlente un momento M (en rojo) ue euilibr l del pr de fuerzs eteriores. Tomndo momentos en el punto e igulndo cero tenemos + M =0: M F d = 0 M = F d (1) Obvimente, el momento M es igul pr culuier punto del vno centrl de l vig, como se deduce de ue el corte es pr un punto rbitrrio, y se confirm del euilibrio de un trmo de vig completmente contenido en el vno centrl, como el de l figur 1c. Un trmo de vig cuyo sistem de fuerzs interiores sobre un sección rect se reduce un momento, se dice ue está solicitdo en fleión pur, y el esfuerzo correspondiente se denomin momento flector. Verifiue ue se obtiene el mismo resultdo si se plnte el euilibrio de un trmo de vig ue incluy el etremo izuierdo, en lugr del derecho. 1

2 () (b) F F (c) (d) F F d F M M Figur 1: Vig sometid fleión en cutro puntos: en el vno centrl el momento flector es constnte riterio de signos omo se h indicdo, un momento flector es un esfuerzo, y es conveniente escoger un criterio de signos. r vigs horizontles, se elige trdicionlmente el signo positivo cundo l deformd de l vig es cóncv hci rrib (Fig. 2), y negtivo cundo es cóncv hci bjo (Fig. 2b). Sin embrgo, l orientción de l concvidd no es un propiedd intrínsec, como puede comprobrse dibujndo un form cóncv hci rrib en un hoj de ppel y girándol 180 en su plno, con lo ue rrib ps ser bjo. Tenemos pues ue definir unos ejes unidos l vig (o l ppel) ue indiuen de form únic lo ue se entiende por rrib. Lo primero es situr el eje lo lrgo del eje geométrico de l vig con un sentido ue podemos elegir rbitrrimente, y ue suele tomrse, pr vigs horizontles, de izuierd derech, como en l figur 2c. El eje y se tom siempre perpendiculr l eje y orientdo de mner ue pr llevr el semieje positivo sobre el semieje positivo y se reliz un giro de 90 en sentido positivo; nosotros tomremos el sentido de giro ntihorrio como positivo (Fig. 2c). on est orientción de ejes, el esfuerzo flector en un rebnd de un vig con fleión positiv tiene los signos mostrdos en l prte inferior de l figur 2c, por lo ue generlizremos el criterio de signos utilizndo el mono de l figur 2d, unue muchs veces indicremos sólo un flech indicndo el sentido del eje, ue debe entenderse como l orientción ue se le d l vig o el sentido de recorrido, tl como muestr el digrm de l figur 2e. En l sección 3.2 mpliremos los criterios de signos. M M F d F F 2

3 () (b) (c) y F + F F M M F (d) y (d) Figur 2: riterio de signos pr los momentos flectores. 3. Fleión simple y esfuerzo cortnte undo un vig, o un trmo de ell, está sometid un momento flector vrible, siendo el esfuerzo il nulo, decimos ue se encuentr solicitd en fleión simple, en cuyo cso, demás del esfuerzo flector prece un esfuerzo cortnte, norml l eje de l vig Ejemplo El ejemplo más simple es el de un ménsul con un fuerz en su etremo, tl como se represent en l figur 3. Si cortmos por un plno norml por el puntto X l distnci del empotrmiento, el euilibrio del trmo X de vig situdo su derech reuiere ue el sistem de fuerzs interiores en X puedn hor reducirse un momento M X y un fuerz verticl ue denominmos esfuerzo cortnte Q X ; sus vlores se obtienen de ls condiciones de euilibrio de fuerzs y de momentos: + Fy =0: F Q X = 0 Q X = F (2) () y X ` ` F (b) Q X M X F (c) M e R y Q X M X Figur 3: Ménsul sometid fleión simple. 3

4 + MX =0: F (l ) M X = 0 M X = F (l ) (3) El resultdo indic ue el esfuerzo cortnte es constnte e igul F, y ue el esfuerzo flector, en cmbio, vrí linelmente con, vliendo F l en el empotrmiento y 0 en el etremo de l ménsul. uesto ue l vig enter debe estr en euilibrio, l rección verticl en el empotrmiento R y y el momento de empotrmiento M e (l rección R es trivilmente nul) deben stisfcer el euilibrio de l vig enter, es decir + Fy =0: F + R y = 0 R y = F (4) + M =0: F l + M e = 0 M e = F l (5) ompruebe ue imponiendo el euilibrio del trmo X de l vig (Fig. 3c) resultn los mismos vlores de los esfuerzos flector y cortnte en X riterio de signos onsideremos un vig orientd de l form trdicionl (horizontl y eje hci l derech) y consideremos el trmo comprendido entre dos secciones rects tl como se muestr en l figur 4. D ue l sección situd más l derech es l sección frontl y l situd l izuierd l sección dorsl. En un cso generl de un trmo de vig inclind, l sección frontl es uell pr l cul el sentido de su norml eterior coincide con el sentido positivo del eje de l vig; l sección dorsl es uell pr l cul l norml eterior tiene sentido contrrio l positivo de l vig (Fig. 4b). El sistem reducido de fuerzs eteriores sobre l sección frontl se denomin frontl, y de igul form sus componentes: fuerz il frontl, fuerz cortnte frontl y momento flector frontl; y nálogmente pr l sección dorsl. onsiderndo un rebnd de peueño espesor tl como se muestr en l figur 4c, el criterio de signos se resume diciendo ue un esfuerzo es positivo si su correspondiente cción frontl es positiv de cuerdo con los signos definidos pr los ejes y los giros. Esto llev los criterios de signos y conocidos pr el il y pr el momento flector, y l convenio de ue el esfuerzo cortnte es positivo si su correspondiente fuerz cortnte frontl tiene el sentido del eje y positivo, tl como se muestr en l figur 4d, o, simplificdmente, en l figur 4e, en l ue el sentido del eje y es implícito. () (b) n frontl dorsl frontl dorsl n (c) (d) y (e) Figur 4: riterios de signos. 4

5 3.3. Leyes de esfuerzos cortntes Fuerzs concentrds onsideremos un vig rect sometid fuerzs concentrds normles su eje, como l indicd en l figur 5, en l cul se supone ue ls fuerzs están en euilibrio, es decir ue 5 i = 0 i=1 y M i = 0 (6) odemos clculr muy rápidmente el esfuerzo cortnte en culuier punto de l vig, por ejemplo el, sin más ue cortr por este punto y escribir el euilibrio de fuerzs verticles ue ctún sobre el trmo de l vig situdo l derech del corte (Fig. 5b) o su izuierd (Fig. 5c). omenzndo por el trmo derecho, tendrímos: + Fy =0: Q = 0 Q = 5 i=4 i (7) Si escribimos el euilibrio pr el trmo izuierdo tendremos + Fy =0: Q = 0 Q = 3 i=1 i (8) y, evidentemente el resultdo es el mismo en virtud de ls condiciones de euilibrio globl (6). onsideremos hor el euilibrio de un trmo de l vig sobre el ue no ctú ningun fuerz eterior, como el mostrdo en l prte izuierd de l figur 5d. En este cso se tiene, pr el esfuerzo cortnte: + Fy =0: Q Q = 0 Q = Q (9) es decir, ue en un trmo libre de fuerzs eteriores el esfuerzo cortnte es constnte. onsideremos,finlmente, un trmo como el de l prte derech de l figur 5d, cuyos etremos están uno cd ldo de un de ls fuerzs concentrds. En este cso tenemos, pr el cortnte + Fy =0: Q E Q D + 4 = 0 Q E Q D = 4 o Q D Q E = 4 (10) () (b) Q 4 5 (c) Q (d) Q Q Q 4QE D Figur 5: Vig sometid crgs concentrds rbitrris (no se hn dibujdo los momentos flectores). 5

6 lo cul signific ue el esfuerzo cortnte eperiment un slto l psr de un ldo otro de l fuerz concentrd, y ue el slto tiene signo contrrio l de l fuerz yendo de izuierd derech, y el mismo signo de l fuerz yendo de derech izuierd. Vemos un ejemplo Ejemplo 3.1 En l vig de l figur, dibujr un digrm ue represente gráficmente l ley de esfuerzos cortntes (fuerzs en kn, cots en m) Solución: Numerndo los vnos de izuierd derech: (1) (2) (3) Fy =0: 6 + Q 1 = 0 Q 1 = 6; + Fy =0: Q 2 = 0 Q 2 = 16; + Fy =0: Q = 0 Q 3 = 0; y (4) 11 + Fy =0: 11 Q 4 = 0 Q 4 = 11. on lo ue el digrm de momentos result: Q odrí hberse hecho incrementlmente, por ejemplo empezndo por l derech: Q 4 = 11, Q 3 = Q 4 +11, Q 2 = Q 3 +16, Q 1 = Q 2 10, o por l izuierd: Q 1 = 6, Q 2 = Q 1 +10, etc. or supuesto los resultdos son idénticos Fuerzs distribuids onsideremos un vig rect sometid fuerzs distribuids normles su eje, es decir en l dirección del eje y. Se p() l fuerz por unidd de longitud en el punto (Fig. 6). El euilibrio de un trmo culuier entre dos secciones rects () p p() (b) p Q 1 Q Q 2 Figur 6: Vig sometid crgs distribuids. 6

7 ls distncis 1 y 2 > 1 reuiere ue l sum de fuerzs verticles se cero, es decir + Fy =0: Q 2 Q 1 + p 1 2 = 0 (11) donde p 1 2 es l resultnte de ls fuerzs distribuids entre 1 y 2 (Fig. 6b). Est resultnte puede clculrse escribiendo ue l fuerz ue ctú sobre un elemento de vig de longitud d es p() d y ue, por tnto, l resultnte es p 1 2 = 2 1 p() d = re del digrm de fuerz distribuid (12) es decir, ue con ls uniddes decuds, l resultnte de ls crgs distribuids es el áre sombred de gris en l figur 6b, por lo ue, si se trt de un form de cuy áre conozcmos l epresión (rectángulo, trángulo, trpecio, prábol,...) podemos utilizr dich epresión directmente; en cso contrrio hy ue integrr. Vemos un ejemplo: Ejemplo 3.2 En l ménsul de l figur, determinr l ley de esfuerzos cortntes y dibujr el digrm correspondiente. p 0 ` ` Solución. ortndo por un punto situdo l distnci del empotrmiento y islndo del trmo de l derech result p p -` donde l resultnte de l sobrecrg p -l = áre del triángulo = p (l )/2 y p = (p 0 /l)(l ), por semejnz de triángulos. L ecución de euilibrio d directmente + Fy =0: p -l Q = 0, de donde Q = p 0 2l (l )2, ue es l ecución de un prábol de eje verticl con vértice en el etremo de l ménsul y cuyo vlor en el empotrmiento es p 0 l/2, por lo ue el digrm de esfuerzos cortntes es el siguiente: Q 1 Q 2 p 0` p 0 (` )2 2` Not: es posible tmbién resolver el problem plntendo el euilibrio del trmo de l vig l izuierd de l sección. En este cso hy ue clculr primero l rección en el empotrmiento, ue es Ry e = p 0 l/2, y, por tnto, l ecución de euilibrio serí + Fy =0: Ry e + p 0- + Q = 0 donde p 0- es el áre del trpecio de sobrecrg limitdo por ls verticles en 0 y. Obvimente el resultdo es el mismo, y sólo ligermente más lborioso Euilibrio locl Si en lugr de plnter el euilibrio de un trmo finito de vig plntemos el euilibrio de un rebnd infinitesiml de longitud d con el etremo dorsl en, 7

8 entonces en l ecución (11) tenemos Q 1 = Q(), Q 2 = Q(+d) y p 1 2 = p() d, y l ecución de euilibrio se reduce Q( + d) Q() + p() d = 0 Q + p = 0 (13) En est ecución diferencil, ue corresponde un punto del eje de l vig, el primer término represent l resultnte de ls fuerzs interiores por unidd de longitud, y el segundo l resultnte de ls fuerzs eteriores por unidd de longitud. ompruebe ue l ecución de euilibrio locl se cumple pr l solución del ejercicio nterior. Si en un punto 1 hy un fuerz concentrd 1, entonces p( 1 ) = y l ecución nterior no es plicble (Q no es derivble en este punto) y es preciso escribir l ecución de slto ue y se h pltedo nteriormente, tomndo un rebnd con un cr infinitésimmente l izuierd del punto 1, ue representmos como 1 y l otr infinitésimmente su derech ( + 1 ). L ecución de euilibrio result [ Q( + 1 ) Q( 1 ) ] + 1 = 0 (14) Superposición de leyes de esfuerzos En muchos csos prácticos, el sistem de crgs eteriores sobre un vig es complejo, y puede subdividirse en subsistems más sencillos. Evidentemente, si l vig es isostátic, ls recciones y los esfuerzos pr el sistem completo serán igules l sum de ls recciones y esfuerzos ue se obtendrín pr cd subsistem. Esto es sí porue ls ecuciones de euilibrio son lineles (son sums de fuerzs o de momentos). Debe notrse, sin embrgo, ue en sistems hiperestáticos esto sólo se cumple si l respuest crg-desplzmiento del sistem es linel; volveremos sobre esto l estudir ls deformciones inducids por los esfuerzos. Ejemplo 3.3 Determine l ley de esfuerzos cortntes en l ménsul del ejemplo 3.2 si, demás de l crg tringulr, se plic un fuerz concentrd verticl de módulo p 0 l/2 y sentido hci bjo, en el centro de l vig. Solución: Y se clculó el cortnte debido l crg tringulr. El cortnte debido l crg concentrd vle 0 pr > l/2 y p 0 l/2 pr 0 < < l/2, por tnto l ley de = p 0l cortntes totl es Q = 2 + p 0 2l (l )2 = p 0 ( 2l) pr < l/2 2l = p 0 2l (l )2 pr > l/2 cuy gráfic es Q 1 8 p 0` 3 8 p 0` 8

9 3.4. Leyes de momentos flectores Fuerzs concentrds onsideremos de nuevo l vig sometid fuerzs concentrds del prtdo 3.3.1, ue representmos de nuevo en l figur 7, ue cumplen ls ecuciones de euilibrio globl (6). odemos clculr muy rápidmente el momento flector en culuier punto de l vig, por ejemplo el, sin más ue cortr por ese punto y escribir el euilibrio de momentos en él pr el trmo de l vig situdo l derech del corte (Fig. 5b) o su izuierd (Fig. 5c). omenzndo por el trmo derecho, tendrímos: + M =0: M 4 + M 5 M = 0 M = 5 i=4 M i (15) Si escribimos el euilibrio pr el trmo izuierdo tendremos + M =0: M 1 + M 2 + M 3 M = 0 M = 3 i=1 M i (16) y, evidentemente el resultdo es el mismo en virtud de ls condiciones de euilibrio globl (6). onsideremos hor el euilibrio de un trmo de l vig sobre el ue no ctú ningun fuerz eterior, como el mostrdo en l prte izuierd de l figur 7d. En este cso se tiene tomdo momentos en el punto : + M =0: M M + Q( ) = 0 M = M Q( ) (17) es decir, ue en un trmo libre de fuerzs eteriores el momento flector vrí linelmente con l posición. Derivndo l primer de ls dos ecuciones nteriores con respecto result M + Q = 0 (18) ue, unue deducid en un cso prticulr en ue Q es constnte en el trmo considerdo, es válid en generl como veremos más delnte l estblecer l ecución de euilibrio locl pr los momentos. onsideremos,finlmente, un trmo como el de l figur 7d, cuyos etremos están simétricmente dispuestos uno cd ldo de un de ls fuerzs concentrds () (b) 4 5 M (c) M (d) M Q M Q Q 4 M M + s sq + Figur 7: Vig sometid crgs concentrds rbitrris. 9

10 y un distnci s de ell. En este cso tenemos, pr el momento flector izuierd (M ) y derech (M + ) + Mcentro =0: M + M + Q + s + Q s = 0 M + M 0 pr s 0 (19) lo cul signific ue el momento flector es continuo cundo se ps de un ldo otro de l fuerz concentrd, unue su derivd es discontínu. Vemos un ejemplo Ejemplo 3.4 En l vig de l figur, dibujr un digrm ue represente gráficmente l ley de momentos flectores (fuerzs en kn, cots en m) Solución: Numerndo los vnos de izuierd derech: () Método nlítico directo (1) (2) (3) M dch =0: M + 6 = 0 M = 6 (knm); + M dch =0: M ( 4) = 0 M = (knm); + M izd =0: M + 11(14 ) 11(22 ) = 0 M = 88 (knm); (4) + M izd =0: M 11(22 ) = 0 M = 11(22 ) (knm). on lo ue el digrm de momentos result, dibujndo como es hbitul los momentos positivos hci bjo (es decir, dibujndo siempre el momento del ldo de ls fibrs trccionds): M (b) Método de puntos crcterísticos: Sbiendo ue el momento vrí linelmente entre puntos de crg, bst determinr el momento flector en cd punto de plicción de crg y unirlos medinte trmos rectos; numerndo los puntos de crg de izuierd derech (de 1 5) result del euilibrio de los trmos izuierdos, M 1 = 0, M = 0 M 2 = 24 knm, M = 0 M 3 = 88 knm, y del de los trmos derechos, M = 0 M 3 = 88 knm (comprueb el cierre o euilibrio globl), M = 0 M 4 = 88 knm, M 5 = 0. or supuesto los resultdos son idénticos Fuerzs distribuids onsideremos de nuevo l vig rect sometid fuerzs distribuids normles su eje del prtdo (Fig. 8). El euilibrio de momentos de un trmo culuier entre dos secciones rects ls distncis 1 y 2 > 1 puede escribirse de dos mners lterntivs: un tomndo momentos en l sección dorsl (i.e. respecto del punto del eje situdo en 1 ) y otr tomndo momentos en l sección frontl (i.e. respecto del punto del eje situdo en 2 ); ls ecuciones correspondientes son + M1 =0: M 2 M 1 + Q 2 ( 2 1 ) + M p = 0 (20) + M2 =0: M 2 M 1 + Q 1 ( 2 1 ) + M p = 0 (21) 10

11 () p p() (b) p G 1 2 p M 1 Q 1 Q 2 M 2 Q Figur 8: Vig sometid crgs distribuids. donde M p i 1 2 es el momento de ls fuerzs distribuids entre 1 y 2 respecto del punto i. Este momento puede clculrse escribiendo ue l fuerz ue ctú sobre un elemento de vig de longitud d es p() d y ue, por tnto, los respectivos momentos se pueden escribir como M p = 2 1 ( 1 )p() d, y M p = 2 1 ( 2 )p() d. (22) hor bien, se sbe ue l resultnte del sistem de fuerzs prlels se puede reducir su resultnte plicd en el centro de grvedd, estndo el centro de grvedd, en consecuenci, definido por l condición de ue el momento del sistem respecto dicho punto se nulo, es decir ue se verifiue 2 1 ( p G 1 2 )p() d = 0, p 1 2 G1 2 = 2 1 p() d (23) donde p 1 2 es, según se dijo, el áre definid por l curv de distribución de crg, igul l resultnte de ls fuerzs de sobrecrg. Enconsecuenci, si se conoce l posición p G 1 2 del centro de grvedd de l sobrecrg sobre el trmo 1 2, podemos escribir su momento en l form M p = p 1 2( p G ), y M p = p 1 2( 2 p G 1 2 ) (24) on ests epresiones, es inmedito comprobr ue ls ecuciones (20) y (21) son euivlentes: restndo ls segund ecución de l primer y sustituyendo ls epresiones (24) result (Q 2 Q 1 + p 1 2)( 2 1 ) = 0 (25) ue es un identidd debido l ecución (11) de euilibrio de fuerzs normles ue segur ue el primer préntesis es idénticmente nulo. En l práctic se utilizrá l ecución (20) cundo sen conocidos el cortnte y el momento en l sección frontl, con lo cul se puede despejr M 1. Recíprocmente, l ecución (21) se utilizrá cundo sen conocidos los esfuerzos en l sección dorsl y podrá despejrse M 2. Vemos un ejemplo: 11

12 Ejemplo 3.5 En l ménsul de l figur, determinr l ley de momentos flectores y dibujr el digrm correspondiente. p 0 ` ` Solución. ortmos por un punto situdo l distnci del empotrmiento islmos el trmo de l derech: p G p -` p M 1 3 (` ) el áre del triángulo y se clculó en el ejemplo 3.2 y vle p -l = p 0 2l (l )2. or otr prte, el centro de grvedd del triángulo está situdo 1/3 de su bse, con lo cul l ecución de euilibrio de momentos d directmente + M =0: M + p -l (l )/3 = 0 de donde M = p 0 6l (l )3, ue es l ecución de un prábol cúbic cuyo vlor en el empotrmiento ( = 0) es p 0 l/2, por lo ue el digrm de momentos es el siguiente: 1 6 p 0`2 M p 0 (` )3 6` Not: es posible tmbién resolver el problem plntendo el euilibrio del trmo de l vig l izuierd de l sección. En este cso hy ue clculr primero l rección en el empotrmiento, ue es Ry e = p 0 l/2, y el momento de empotrmiento, ue es M e = p 0 l 2 /6 por tnto, l ecución de euilibrio serí + M =0: M +M e +Ry+ e p 0- p G 0 = 0 donde p 0- es el áre del trpecio de sobrecrg limitdo por ls verticles en 0 y y p G 0 su centro de grvedd, ue serí necesrio clculr; en l práctic es mejor clculr el momento del trpecio de crg descomponiéndol en dos áres (dos triángulos o un triángulo y un rectángulo), lo ue es euivlente l cálculo implícito del centro de grvedd y ue G = 1 G1 + 2 G2. Obvimente el resultdo es el mismo, pero el desrrollo result sustncilmente más lborioso Euilibrio locl Si en lugr de plnter el euilibrio de un trmo finito de vig plntemos el euilibrio de un rebnd infinitesiml de longitud d con el etremo dorsl en, entonces en l ecución (21) tenemos Q 1 = Q(), M 2 = M( + d) y M p (p() d)d/2 = o(d) = infinitésimo de segundo orden, y l ecución de euilibrio se reduce M( + d) M() + Q() d + o(d) = 0 M + Q = 0 (26) ompruebe ue l ecución de euilibrio locl se cumple pr l solución del ejercicio nterior. En est ecución diferencil, ue corresponde un punto del eje de l vig, el primer miembro represent el momento resultnte de ls fuerzs interiores por 12

13 () D (b) D (d) (e) 2 /2 /2 M (c) /2 / Figur 9: Ejemplo de vig sometid un momento concentrdo: () estructur complet; (b) euilibrio de l brr D isld; (c) euilibrio de l vig isld; (d) euilibrio del trmo izuierdo de l vig pr 0 < ; (e) euilibrio del trmo derecho de l vig pr < 2; (f) ley de momentos flectores con un slto de vlor bsoluto. unidd de longitud, y se supone ue sólo ctún fuerzs distribuids. En el cso de ue eistiern momentos eteriores distribuidos, l ecución de euilibrio serí (f) M + Q + m = 0 (27) donde m es el momento eterior por unidd de longitud. En l práctic, pocs veces se encuentrn csos con momentos distribuidos. 1 or el contrrio, no es rro encontrrse con momentos eteriores concentrdos, ue trtmos continución Momentos eteriores concentrdos Empecemos por un ejemplo: l figur 9 muestr un estructur formd por un vig bipoyd unid rígidmente otr vig verticl D, estndo el conjunto sometido un fuerz horizontl en D. omenzmos por islr l vig D (Fig. 9b) y estblecer ls ecuciones de euilibrio con el sistem de fuerzs ejercido sobre ell por l vig en ; el problem es tn simple ue puede resolverse de cbez con los resultdos mostrdos en l figur 9b. continución islmos l vig (Fig. 9c) ue está sometid en cciones igules y contrris ls ue ctún sobre D (lo ue incluye un momento concentrdo de vlor y sentido horrio) y ls recciones, ue pueden clculrse con tod fcilidd con el resultdo mostrdo en l figur 9c. Yendo hor directmente l ley de momentos flectores, islmos primero un trmo de vig como el de l figur 9d, ue incluye el etremo y termin l distnci <, y tommos momentos en l sección de corte + M =0: M + (/2) = 0 M = /2 pr <. continución hcemos lo mismo con un trmo de vig como el de l figur 9e, ue incluye el etremo y comienz 1 Un ejemplo serí un fibr ferromgnétic con imnción il permnente sometid un cmpo mgnético eterior 13

14 Q M e M M + s s Q + Figur 10: Euilibrio de un rebnd centrd en l sección de ctución de un momento concentrdo. l distnci <, y tommos momentos en l sección de corte, con lo ue result + M =0: M + (/2)(2 ) = 0 M = (2 )/2 pr >. El correspondiente digrm de momentos flectores se h dibujdo en l figur 9f, y se observ ue en el punto donde ctú el momento concentrdo hy un slto cuyo vlor (yendo en el sentido de ls s positivs) es igul y de sentido contrrio l momento eterior concentrdo. Este resultdo es totlmente generl, lo ue puede demostrrse con sencillez prtir del euilibrio de momentos de un rebnd de l vig simétricmente dispuest respecto de l sección en l ue ctú el momento concentrdo como se muestr en l figur 10. Tomndo momentos respecto del etremo dorsl se tiene + Mizd =0: M + M + M e + Q + 2s = 0; con lo ue cundo s tiende cero el último término se nul y result l ecución de slto pr momentos 3.5. Ejercicios [M + M ] + M e = 0 (28) Ejercicio 3.1 Un vig bipoyd está sometid un sobrecrg uniforme en su primer mitd tl como se muestr en l figur. lculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. = = L Ejercicio 3.3 Un vig bipoyd está sometid un sobrecrg tringulr en su segund mitd tl como se muestr en l figur. lculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. Ejercicio 3.2 Un vig bipoyd está sometid un sobrecrg tringulr simétric como se muestr en l figur. lculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. = = L Ejercicio 3.4 Un ménsul codd está sometid un fuerz horizontl en su etremo, tl como se muestr en l figur. lculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. = = L L 45 L F 14

15 Ejercicio 3.5 r l vig codd bipoyd de l figur, clculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. F 2 Ejercicio 3.6 r el sistem de dos vigs rticulds de l figur, clculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. F F = = = = 2L 3 Ejercicio 3.7 r el sistem de dos vigs rticulds de l figur, clculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes. 2 Ejercicio 3.9 r l vig doblemente codd de l figur, dibujr los digrms de esfuerzos cortntes y momentos flectores Ejercicio 3.11 r el pórtico ermpotrdo-rticuldo-poydo de l figur, dibujr los digrms de esfuerzos cortntes y momentos flectores. Ejercicio 3.8 r l vig doblemente codd de l figur, dibujr los digrms de esfuerzos cortntes y momentos flectores. Solución 2 Ejercicio 3.10 r el sistem de tres vigs rticulds de l figur, clculr ls leyes de cortntes y de momentos flectores y dibujr los digrms correspondientes Ejercicio 3.12 r el pórtico ermpotrdo-rticuldo-poydo de l figur, dibujr los digrms de esfuerzos cortntes y momentos flectores

16 4. Tensiones y deformciones longitudinles en un vig rect Hst este punto, hemos considerdo solmente el euilibrio de culuier trmo de un vig, pero no hemos descendido nlizr ls distribuciones de tensiones ni ls deformciones de l vig. En este prtdo plntemos ls ecuciones de comptibilidd de deformciones en dirección longitudinl en un vig sometid etensión pur, fleión pur y fleión compuest y utilizmos ls ecuciones constitutivs y ls ecuciones de euilibrio nivel de sección pr obtener relciones entre esfuerzos iles y deformción longitudinl, y entre momentos y curvtur. L hipótesis básic pr estblecer l comptibilidd de movimientos entre distintos puntos de un sección rect es l Hipótesis de Nvier ue estblece ue ls secciones rects de l vig permnecen plns l deformrse est, y perpendiculres l eje deformdo. Est es un hipótesis proimd ue se cumple muy bien en secciones lejds de los puntos singulres de l vig (etremos, puntos de plicción de crgs concentrds); l distnci l cul se estblece el régimen de Nvier es del orden del cnto de l vig, por lo ue l teorí ue uí se desrroll será válid pr vigs esbelts, es decir, pr vigs en ue l longitud es mucho myor ue el cnto Etensión il pur Ecuciones de comptibilidd de deformciones onsideremos un vig rect esuemtizd en l figur 11, en l ue, por el momento, suponemos ue l sección rect es de form rbitrri y tommos unos ejes crtesinos cuyo eje es prlelo l eje de l vig. Decimos ue un vig está sometid etensión il pur cundo l deformrse, permnece rect. Esto signific ue, slvo por un desplzmiento de sólido rígido, el desplzmiento debe tener l dirección del eje, y, puesto ue ls secciones deben permnecen plns, el desplzmiento debe ser uniforme en un sección rect, es decir, ue u = u() no depende de y ni de z. De est mner, los elementos del mteril en un rebnd de espesor diferencil eperimentn un deformción longitudinl ue, como se vio en l primer prte de l signtur pr l deformción uniil de tirntes y biels, viene dd por ɛ = u () (29) de lo ue result ue l deformción longitudinl debe ser uniforme en tod un sección rect (es decir, ue no depende de l posición del punto sobre l sección). y z Figur 11: Esuem de un vig rect de sección rbitrri. 16

17 Est es l condición de comptibilidd de deformciones en distintos puntos de l sección Queremos hor relcionr ls deformciones con ls cciones, por lo ue, en primer lugr, escribimos ls ecuciones de euilibrio ue relcionn ls tensiones con los esfuerzos y, en segundo lugr, utilizmos ls ecuciones constitutivs pr relcionr ls tensiones con ls deformciones Euilibrio de esfuerzos iles or definición, el esfuerzo il es l resultnte de ls tensiones longitudinles ue ctún sobre l sección, es decir: N = σ d (30) S r obtener el vlor del il correspondiente un deformción longitudinl dd ɛ tenemos ue usr l ecución constitutiv uniil según l cul, en generl σ = ˆσ(ɛ ) (31) ue en el cso linel se reduce l ley de Hooke σ = Eɛ. Si el mteril es uniforme (misms propieddes mecánics en todos los puntos de l sección), entonces l tensión es uniforme y puede scrse fuer de l integrl, con lo ue, trivilmente, y si es linel N = ˆσ(ɛ ) mteril uniforme generl (32) N = ɛ E mteril uniforme linel (33) En muchos csos prácticos, especilmente en ingenierí de mteriles, el mteril de l vig no es uniforme, bien porue esté compuest por vrios mteriles pegdos entre sí, o porue se trte de un mteril con función grdiente, en el cul ls propieddes mecánics vrín de un punto otro. entrándonos en el cso de secciones no uniformes de mteriles hookenos, pr ls cules el módulo de elsticidd no es uniforme (es decir ue d epende de l posición, E = E(y, z)), l epresión pr N result N = Eɛ d = ɛ E d (34) y, definiendo el módulo de elsticidd medio de l sección E en l form E = Ed, (35) result S N = ɛ E mteril no uniforme linel (36) ue es l generlizción de l ecución (33). Ejemplo 4.1 onsidérese un elemento prismático de sección rectngulr de longitud l, 17

18 cnto c y nchur b, ue está constituido por un mteril con función grdiente, cuys propieddes vrín continumente lo lrgo del espesor. En el cso ue se estudi el mteril se comport linelmente y el modulo de elsticidd es E 1 en l cr inferior y 2E 1 en l cr superior, y vrí linelmente lo lrgo del cnto. Determinr el esfuerzo il cundo el prism se somete un etensión uniil uniforme ue produce un lrgmiento l. z y ` b c Solución. En este cso, l deformción es uniforme y vle ɛ = l/l. El módulo de elsticidd vrí linelmente con l distnci y l cr inferor de mner ue vle E 1 pr y = 0 y 2E 1 pr y = c, por lo ue su ecución es E = E 1 +(E 1 /c)y = E 1 + E 1 y/c = E(y). onsecuentemente, el producto E es E = ɛ E(y)d = S c 0 E(y)bdy, donde, pr integrr, hemos tomdo como diferenciles de áres l fmili rectángulos infinitesimles de bse b y ltur dy mostrdos en l figur siguiente: y d 2E 1 z c b dy E(y) Sustituyendo l epresión sel módulo de elsticidd result c ( E = E y ) ) bdy = E 1 (bc + c2 c 2 b/c E = 1,5E 1 0 E 1 E donde = bc es el áre de l sección rect. onsecuentemente N = 1,5E 1 l/l. En el cso de sección compuest por n mteriles distintos ue identificmos con un subíndices 1, 3 n de módulos de elsticidd E 1, E 2, E n y ue ocupn áres de l sección 1, 2, n l ecución nterior se reduce E = E E E n n = n E i i (37) i= Euilibrio de momentos L resultnte de un sistem de vectores (en este cso de ls tensiones longitudinles) no crcteriz el sistem completmente; es preciso determinr el momento en lgún punto del espcio. hor bien, en el cso de un sistem de vectores prlelos, como el ue nos ocup, se demuestr ue eiste un punto respecto del cul el momento es cero. Este punto se denomin centro del sistem, y en el cso prticulr ue nos ocup lo denominremos centro de iles, y tiene l propiedd de ue el sistem de tensiones longitudinles se reduce l vector il plicdo en ese punto. or lo tnto buscmos el centro de iles como el punto de coordends (y N, z N ) en el plno de l sección en el cul el momento de ls tensiones es cero, es decir, ue cumple ls condiciones (y y N )σ d = 0 y (z z N )σ d = 0 (38) S 18 S

19 pr ls componentes z e y, respectivmente, del momento. Despejndo l coordend y N result y N σ d = yσ d y N σ d = yσ d (39) S S En el cso de ue el mteril se uniforme, sigm sle de ls integrles en mbos miembros y result ue el centro de iles coincide con el centro de grvedd de l sección: y N = yd y N y G pr mteril uniforme (40) S En el cso de ue l respuest se elástic pero el mteril no se homogéneo, puede ponerse σ = Eɛ con lo ue result y N E = yed (41) ue puede interpretrse como el centro de grvedd de un chp con l form de l sección y con un espesor en cd punto proporcionl l módulo de elsticidd correspondiente. Ejemplo 4.2 En l vig de un mteril con función grdiente del ejemplo 4.1, determinr el centro de iles. Solución. Sustituyendo ls epresión nteriormente hllds por E y E en l ecución (41), result c ( y N 1,5E 1 = E 1 y 1 + y ) [ ] b cy 2 c bdy = E 1 0 c c 2 + y3 5 = E bc2 = 5 6 E 1c con lo ue result y N = 5 9 c S S S En el cso de un sección compuest por n mteriles homogéneos, el segundo miembro se reduce un sum: n ye(y, z)d = E 1 yd + E 2 yd + E n yd = E i yd (42) S S 1 S 2 S n S i donde S i es l prte de l sección ocupd por el mteril i, y puesto ue cd un de ls integrles de l sum es, por definición, el producto del áre correspondiente i por l coordend y Gi del centro de grvedd de l mism, result, finlmente i=1 y N E = y G1 E y G2 E y Gn E n n = n y Gi E i i (43) i=1 donde E está ddo, en este cso, por l ecución (37) Es de notr ue eisten muchos csos prácticos en los ue el cálculo del centro de iles es inmedito debido condiciones de simetrí: en efecto, si l sección tiene un eje de simetrí geométric y mteril (es decir, ue ls propieddes del mteril son ls misms en puntos simétricos respecto de ese eje), entonces el centro de iles está sobre el eje de simetrí. En este curso considerremos siempre secciones simétrics respecto l eje y, por lo ue el centro de iles, igul ue el centro de 19

20 grvedd del áre, estrá sobre dicho eje. En muchos csos, eiste tmbién un eje de simetrí perpendiculr l eje y (secciones rectngulres, circulres, en doble T o I, etc.) en cuyo cso el centro de iles está en el punto de intersección de mbos ejes, ue es el centro de simetrí de l sección. Vemos, con un ejemplo, como orgnizr el cálculo cundo no eiste un eje de simetrí perpendiculr l eje y: Ejemplo 4.3 Un vig de sección rectngulr de 100 mm de cnto y 200 de nchur, de un mteril elástico de módulo de elsticidd E 1 se refuerz pegndo en su cr inferior un lámin de 5 mm de espesor 100 de un mteril cuyo módulo de elsticidd es E 2 = 5E 1. Determinr el centro de iles y el módulo de elsticidd medio Solución. Disponemos los dtos en un tbl de 8 columns ue en cd fil contiene los dtos de un componente ue son, de izuierd derech: el número de componente, su nchur, su ltur, su áre, su módulo de elsticidd el producto de su áre por el módulo de elsticidd E, l posición (respecto de l cr inferior) de su centro de grvedd y G y, finlmente el producto y Gi E i i de los elementos de l set y séptim columns; tods ls longitudes se epresn en cm i b i c i i E i E i i y Gi y Gi E i i E 1 200E E E 1 50E E E1 1225E 1 L sum de l curt column es el áre totl = 210 cm 2, l sum de l set column es, de cuerdo con l ecución (37), el producto E = 250E 1 y l sum de octv column es, de cuerdo con l ecución (43), el producto y N E = 1225E 1, por lo tnto, y N es igul l sum de l octv column dividid por l sum de l set: y N = 1225/250, i.e., y N = 4,90 cm, 0.35 centímetros por debjo del centro de grvedd geométrico de l sección. or su prte, el módulo de elsticidd medio se obtiene dividiendo l sum de l set column por l de l curt: E = 25E 1 /21, i.e., E = 1,19E Fleión pur Ecuciones de comptibilidd de deformciones Estudimos continución el cso vig rect con un plno de simetrí en el cul flect. Tommos el plno de simetrí com plno y y el eje z perpendiculr él, como se esuemtiz en l figur 12. En fleión pur, un trmo de vig de longitud inicil l 0 flect en el plno y sometid únicmente fuerzs interiores cuy resultnte generl en culuier sección rect se reduce un momento flector constnte en l dirección del eje z. En ests circunstncis ls fibrs mteriles prlels l eje de l vig ue vn de un cr otr, como l de l figur 12, doptn l form de rcos de circunferenci contenidos en plnos prlelos l y ue, proyectdos sobre el plno y precen como rcos de circunferenci concéntricos tl como se represent en l figur 13; su vez, ls secciones rects se trnsformn en secciones rdiles en virtud de l Hipótesis de Nvier. En dich figur se muestr, l izuierd, el trmo de vig de longitud l 0 ntes de deformrse y, l derech, el mismo un vez deformdo. Ls fibrs y O O se deformn en rcos de circunferenci con centro en. Debido l fleión, ls fibrs más eterns de l prte conve de l curv 20

21 y y z z Figur 12: Esuem de un vig de sección rect simétric respecto del plno y. θ ρ y O y l 0 y 0 O y ρ l y O l 0 y y 0 O y 0 Figur 13: Esuem de ls deformciones en fleión pur. se lrgn y ls de l prte cóncv se cortn, por lo ue debe eistir un fibr intermedi O O ue mntiene su longitud, l cul denominmos fibr neutr y cuy posición y 0 debemos determinr. Se ρ el rdio de curvtur de l fibr neutr O O; entonces, l condición de ue su longitud se mntiene igul l inicil es ρθ = l 0 θ = l 0 ρ (44) or otr prte, suponiendo, como es usul cundo ls deformciones no son muy grndes, ue l distnci entre fibrs permnece proimdmente igul l inicil, l longitud finl de un fibr situd l distnci y es, en virtud de l comptibilidd de deformciones longitudinles eigid por l Hipótesis de Nvier representd figur 13, l(y) = ρ y θ = [ρ (y y 0 )] l 0 ρ = l 0 l 0 ρ (y y 0) l(y) = l 0 ρ (y y 0) (45) de l ue se sigue l deformción de l fibr sin más ue dividir por l 0 : ɛ = 1 ρ (y y 0) = κ(y y 0 ) (46) 21

22 y O z eje neutro O plno neutro Figur 14: Esuem del plno neutro de l vig y del eje neutro de l sección. donde κ = 1/ρ = curvtur de l fibr neutr. En el rzonmiento nterior, hemos singulrizdo un fibr pr ver como se lrg, pero es evidente ue tods ls fibrs ue están l mism distnci y del plno z eperimentn l mism deformción y ue tods ls ue están l distnci y 0 eperimentn un deformción nul. En el espcio, el lugr geométrico de ls fibrs ue no se lrgn es un plno, ue denominmos plno neutro (figur 14). L intersección del plno neutro con el plno de l sección es un rect l ue denominremos eje neutro de l sección. En generl se d por supuesto ue el eje idel de l vig es l intersección del plno neutro y el plno de simetrí de l vig y se dice ue ρ y κ son el rdio de curvtur y l curvtur de l vig. L ecución (46) estblece l comptibilidd de deformciones entre ls fibrs impuest por l Hipótesis de Nvier y tiene dos grdos de libertd: l curvtur κ y l posición de l fibr neutr y 0, ue debemos relcionr con los esfuerzos, lo ue se consigue estbleciendo ls condiciones de euilibrio y utilizndo, continución l ecución constitutiv junto con l nterior ecución de comptibilidd Euilibrio de esfuerzos iles: posición de l fibr neutr L primer ecución de euilibrio es l de iles, ue epresrá ue el esfuerzo il resultnte de ls tensiones normles σ es cero; en consecuenci, igulndo el segundo miembro de l ecución (30) cero, obtenemos l condición σ d = 0 (47) S Dd hor l ecución constitutiv del mteril σ = ˆσ(ɛ ), obtenemos l condición ˆσ[ κ(y y 0 )] d = 0 (48) S ue en el cso generl, estblece un relción no linel entre y 0 y κ ue, slvo csos de secciones con centro de simetrí, hy ue desrrollr en cd cso prticulr. En el cso linel, sin embrgo, l condición puede resolverse con generlidd y l posición de l fibr neutr es independiente de κ. En efecto, si el mteril es linel tenemos σ = Eɛ y l integrl se reduce κ E(y y 0 ) d = 0 y 0 E d = ye d (49) S S S 22

23 Teniendo en cuent l definición de módulo de elsticidd medio de l ecución (35), l condición se reduce y 0 E = ye d (50) ue coincide ectmente con l ecución (41), lo cul signific ue en el cso de ue l respuest de tods ls fibrs se linel, l posición y 0 de l fibr neutr coincide con l posición y N del centro de iles, y tods ls ecuciones del prtdo nterior son plicbles l determinción de l posición de l fibr neutr Euilibrio de momentos: relción momento curvtur Un vez estblecido el euilibrio de iles ue firm ue l resultnte de l distribución de tensiones normles es nul, ued por estblecer ue el momento flector es igul l momento resultnte de dich distribución. r ello podemos tomr momentos en culuier punto porue, l ser l resultnte nul, el momento es idéntico en todos los puntos. Elegimos, por simplicidd, tomr momentos en un punto del plno neutro. L componente z del momento (ls otrs son nuls por ls condiciones supuests de simetrí), ue llmmos simplemente M, viene dd por M = (y y 0 )σ d (51) S donde el signo menos corresponde ue tensiones positivs por encim de l fibr neutr dn lugr un momento negtivo. En el supuesto de comportmiento linel del mteril (unue no necesrimente uniforme) result, después de sustituir σ = Eɛ = κe(y y 0 ), M = κ (y y 0 ) 2 E d = κei (52) donde se h escrito S S S EI = (y y 0 ) 2 E d (53) Ejemplo 4.4 r l vig de mteril con función grdiente del ejemplo 4.1, determinr el eje neutro y l rigidez fleión EI. Solución. El eje neutro ps por el centro de iles, resultdo ue se obtuvo en el ejemplo 4.2, por lo ue y 0 = y N = 5c/9. En consecuenci, tenemos, usndo el mismo esuem de integrción ue en el citdo ejemplo EI = c 0 (y 59 ) 2 ( c E y ) bdy }{{ c }}{{} d E(y) = E 1 b c 0 ( y 5 ) 2 ( 9 c 1 + y ) dy c L últim integrl puede relizrse mnulmente sin dificultd (el integrndo es un polinomio), pero es tedioso y cometer errores es fácil, por lo ue puede ser interesnte utilizr un softwre de álgebr simbólic. ui se h usdo el progrm Mim porue es de dominio público 2 y muy fácil de usr. L integrl se resuelve teclendo l instrucción integrte((y-5*c/9)^2*(1+y/c),y,0,c); (incluido el punto y com) y presionndo return. El resultdo es 13c 3 /108, por lo ue l rigidez fleión es EI = E bc3 y teniendo en cuent ue E = 1,5E 1 result, tmbién EI = E bc3. 2 uede descrgrse en Vénse instrucciones pr integrr en Windows en el pendice. 23

24 undo el mteril es uniforme, E constnte y puede scrse fuer de l integrl y result, simplemente, EI = EI (54) donde I es el momento de inerci del áre respecto del eje neutro, ue, en este cso, ps por el centro de grvedd del áre de l sección: I = (y y 0 ) 2 d (55) S undo el áre está formd por un combinción de forms geométrics simples, es conveniente clculr el momento de inerci del áre como l sum de los momentos de inerci de ls áres simples: I = I 1 + I I n = n I i (56) i=1 Estos momentos de inerci deben ser todos respecto del eje neutro de l sección, por lo ue usulmente será necesrio usr el teorem de los ejes prlelos pr psr de un eje centrl (i.e. ue ps por el centro de grvedd del áre considerd) l eje neutro: I i = Îi + (y Gi y 0 ) 2 i (57) donde Îi es el momento centrl de inerci pr un eje prlelo l neutro, e y Gi l posición del centro de grvedd, todo ello pr el áre i-ésim. Ejemplo 4.5 Un vig de sección en T de 200 mm de ltur, 200 de nchur y 30 mm de espesor de l y de lm, hech de un mteril de módulo de elsticidd 70 G v trbjr fleión en su plno de simetrí. Determinr l posición del eje neutro, el momento de inerci del áre respecto de él y l rigidez fleión en knm 2. Solución. Descomponemos el áre en dos rectángulos: (1) ls ls y (2) el lm y empezmos por clculr l posición del centroide, con un tbl similr l utilizd en el ejemplo 4.3. onemos ls distncis en cm y medimos desde l cr inferior: i b i c i i y Gi y Gi i y , ,5 433, ,5 13, donde l últim celd inferior derech es el cociente entre l sum de l set column y l sum de l curt y es l posición del eje neutro (y del centro de grvedd de l T). continución clculmos el momento de inerci prtiendo de los centrles de cd rectángulo (los resultdos en cm 4 ): i b i c i Î i i y Gi y 0 (y Gi y 0 ) 2 i I i , , , , Finlmente l rigidez fleión es EI = = 2, Nm 2, es decir, EI = 2821 knm 2. En el cso de ue los componentes de l sección sen mteriles de distinto módulo de elsticidd, se puede clculr l rigidez EI sumndo l contribución de 24

25 cd uno de los componentes, con lo cul tendrímos l rigidez fleión epresd como n EI = E 1 I 1 + E 2 I E n I n = E i I i (58) con lo cul, el cálculo de l rígidez se limit ñdir dos columns l tbl del ejemplo nterior, donde un pr los módulos de elsticidd y otr pr los productos E i I i. Ejemplo 4.6 r l vig reforzd del ejemplo 4.3, determinr l rigidez fleión si E 1 = 40 G. Solución. En el citdo ejemplo se clculó l posición del eje neutro, ue result estr 4,9 cm de l cr inferior. onstruimos entonces l tbl siguiente, con ls dimensiones en cm y los módulos de elsticidd en G i b i c i Î i i y Gi y 0 (y Gi y 0 ) 2 i I i E i E i I i , , , , i=1 es decir EI = G cm 4 = Nm 2, i.e., EI = 1128 knm Distribución de tensiones normles En los prtdos nteriores hemos rrncdo de ls condiciones de comptibilidd pr determinr ls deformciones, prtir de ls cules hemos clculdo ls tensiones medinte l ecución constitutiv y de ello hemos clculdo l relción momento flector-curvtur. odemos hor cerrr el bucle y clculr ls tensiones pr un momento flector ddo. iñéndonos l cso linel (unue no necesrimente uniforme), hemos obtenido ue M = κei es decir ue κ = M/EI y, de l ecución de comptibilidd ɛ = κ(y y 0 ) y l ley de Hooke pr cd fibr, llegmos l epresión σ = E(y, z) M EI (y y 0) (59) donde se h hecho eplícito ue, en el cso generl linel, el módulo de elsticidd puede depender de l posición dentro de l sección, con lo ue l distribución de tensiones puede ser no linel, como se ve en el siguiente ejemplo Ejemplo 4.7 r l vig de mteril con función grdiente del ejemplo 4.1, determinr l distribución de tensiones normles pr un momento flector ddo. Solución. En el citdo ejemplo se clculó l posición del eje neutro, ue result estr 5c/9 cm de l cr inferior, y l distribución de módulos de elsticidd, ue es E = E 1 (1+y/c), y en el ejemplo 4.4 l rigidez EI = 13E 1 bc 3 /108, de mner ue sustituyendo en l ecución (56) result σ = 108M (1 13bc 2 + y ) ( y c c 5 ) 9 ue muestr ue l distribución de tensiones es prbólic. 25

26 En el cso de mteril uniforme, EI = EI y E es constnte, por lo ue se obtiene un distribución linel sobre tod l sección: σ = M I (y y 0) (60) lo cul implic ue l tensión máim, en vlor bsoluto, ocurre siempre en l fibr más lejd de l fibr neutr, es decir σ má = M I y y 0 má (61) ecución usd etensmente pr diseñr vigs bsds en el criterio de l tensión dmisible, en el cul debe cumplirse ue l tensión máim en en l sección más desfvorble se inferior un cierto vlor dmisible σ. Est es tnto como obligr ue se cumpl l condición M má y y 0 I má σ (62) Se trt, sin embrgo de un criterio muy simplificdo ue supone un simetrí en l resistenci del mteril en trcción y en compresión. En vigs compuests por distintos mteriles, l distribución de tensiones normles dentro de cd componente es linel, pero diferente. l epresión de l distribución de tensiones pr el componente i es, de cuerdo con l ecución (56) σ i = E im EI (y y 0) (63) y el criterio de tensión dmisible debe plicrse cd componente independientemente Ejercicios Ejercicio 4.1 En un vig de sección rectngulr uniforme de espesor b y cnto c, determinr ls relciones entre el momento flector y el il pr ls ue tods ls fibrs de l sección están comprimids. Ejercicio 4.2 onsidérese un vig de sección cudrd de ldo con un hueco concéntrico circulr de diámetro d = 0,9. Determinr el máimo momento flector ue puede plicrse l vig si l tensión dmisible es σ, () si el momento flector es prlelo uno de los ldos del cudrdo (figur de l izuierd), y (b) si el momento flector es prlelo un de ls digonles del cudrdo (figur de l izuierd). plicción numéric: = 40 mm, σ = 120 M. y y z z Ejercicio 4.3 L estructur de l figur, de longitud totl l está formd por dos vigs de igul sección y mteril unids por un rótul. se pide: () determinr l posición de l rótul pr ue los momentos máimos en los trmos y sen igules en vlor bsoluto; (b) determinr el cnto de l vig si l sección es rectngulr, de cnto c y espesor c/2 y l tensión dmisible es σ ; (c) determinr el cnto de l vig si se us un perfil lmindo IE. 3 plicción numéric: l = 6 m, = 10 kn/m, σ = 150 M. l 3 3 Vénse ls crcterístics geométrics de perfiles lmindos estructurles en 26

27 Ejercicio 4.4 r l vig de l figur, se pide: () determinr l posición del poyo pr ue los momentos máimo y mínimo (positivo y negtivo) sen igules en vlor bsoluto; (b) determinr el cnto de l vig si l sección es rectngulr, de cnto c y espesor 2c/3 y l tensión dmisible es σ ; (c) determinr el cnto de l vig si se us un perfil lmindo HE. 3 plicción numéric: l = 4,5 m, = 7 kn/m, σ = 210 M. l 2.htm# Toc

28 5. Deformciones de vigs rects esbelts En est sección nlizmos l teorí más simple de ls deformciones de vigs rects esbelts, en ls ue l hipótesis de Nvier es plicbe, lo ue signific, por un ldo, ue se desprecin los efectos locles de ls secciones etrems y de ls singulriddes, y, por otro, ue se desprecin ls deformciones inducids por el cortnte; ests simplificciones son ceptbles si l vig es esbelt, es decir, ue su cnto es mucho menor ue su longitud. demás de ls simplificciones nteriores, limitremos el estudio los csos en ue el mteril tiene un comportmiento linel (unue puede no ser uniforme) y en los ue son peueños: (1) los desplzmientos de todos los puntos de l vig comprdos con l longitud de l vig; (2) los giros de ls fibrs longitudinles; y (3) ls curvrurs de ls fibrs longitudinles comprdos con el cnto de l vig. En virtud de los resultdos de l sección nterior, representremos l vig por su eje de iles, ue es el lugr geométrico de los centros de iles de tods sus secciones y, grcis l linelidd supuest, trtremos seprdmente los desplzmientos longitudinles y los trnsversles, siendo los primeros debidos l esfuerzo il, y los segundos debidos l momento flector Desplzmientos longitudinles Von ele eje en l dirección longitudinl de l vig, l ecución de comptibilidd epresd en corrimientos es u = ɛ (64) Si l distribución de esfuerzos iles es conocid, podemos clculr l distribución de deformciones longitudinles prtir de (36), y podemos continución integrr (64) entre dos puntos y del eje de l vig: u d = ɛ d (65) y l primer integrl se resuelve inmeditmente pr dr l diferenci de corrimientos entre los puntos y, y l segund puede interpretrse como el áre encerrd por el digm de deformciones iles, con lo ue podemos poner u = u + ɛ d u + ɛ, (66) ecución ue, conocido el corrimiento il en un punto de l vig, permite clculr el corrimiento il en culuier otro prtir de l distribución de deformciones, es decir, de l distribución de iles. Ejemplo 5.1 L vig bipoyd de l figur tiene sección uniforme de áre y está hech de un combinción de mteriles lineles con módulo de elsticidd medio E. Si está sometid un il cuyo digrm es el ue se muestr en l figur, determinr el desplzmiento del poyo izuierdo y del punto medio de l vig. N 1 N = = 1 /2 ` 28