Estimación de la irradiancia de día claro sobre el territorio uruguayo

Transcripción

1 Estimación de la iadiancia de día clao sobe el teitoio uuguayo Ing. Rodigo Alonso Suáez 5 de noviembe de 2010 Resumen En este tabajo se explican los estudios pevios y peliminaes a la implementación final del modelo de Justus-Tapley pimeamente pesentado en [Ta79] y luego aplicado paa Estados Unidos, Mexico y Sudaméica en [Ta86]. En esta pimea etapa y con vistas a la implementación paa el teitoio uuguayo del modelo completo de Justus-Tapley que utiliza imágenes de satélite, se tabajó con una subpate del mismo que consta de tes de los cuato paámetos totales del modelo, sin utiliza en esta instancia las imágenes satelitales. Dado que el submodelo cuenta con dependencia espacial, estos tes paámetos {a, b, c} pueden se ajustados paa todo el teitoio y utiliza así un único set de paámetos. Oto enfoque seía ajustalos localmente paa vaias localidades (ajuste sólo tempoal) y luego intepola en el espacio los esultados obtenidos. Esta subpate del modelo puede intepetase como un modelo de día clao, con lo cual el ajuste debe ealizase limitándose sólo a utiliza datos de iadiancia hoaia coespondientes a días claos. El esultado de este poceso es un estimativo de la iadiación de día clao que cuenta con dependencia espacio-tempoal. Se detallan en este infome los esultados obtenidos, los datos utilizados y los valoes finales de los paámetos ajustados localmente y paa todo el teitoio en base a la estadística disponible, así como el poceso de ajuste de paámetos y el maco teóico necesaio. 1

2 1. Intoducción El modelo utilizado es una subpate del modelo de Justus-Tapley descipto en [Ta86] y po lo tanto este tabajo epesenta un pime paso hacia la implementación total del mismo. De ahoa en más, denominaemos modelo al submodelo de tabajo. El entenamiento del modelo -leasé, el ajuste de los paámetos- se ealiza en base a una estadística de días claos. La estadística utilizada coesponde a los datos geneados po los pianómetos que están ubicados en las estaciones de medida del INIA y que fueon instalados y son administados po la Facultad de Ingenieía, UdelaR. Estas estaciones de medida son ecientes y po lo tanto la estadística disponible es pacial no cubiendo el lago de un año en ninguna de las localidades. De todas fomas, el softwae implementado pemite ingesa como dato cualquie tipo de estadística disponible (en el fomato adecuado). De esta manea, a medida que se vayan geneando más datos en las estaciones de medida se puede i actualizando el entenamiento del modelo y de esta foma mejoa el ajuste. El objetivo final de este tabajo es genea una heamienta que pemita estima de foma espacio-tempoal la iandiancia hoaia paa un día clao mediante el ajuste de un modelo al teitoio uuguayo. Cuando se habla de dependecia espacial se efiee a que cuando se fija un instante de tiempo la iadiancia hoaia estimada po el modelo tiene vaiación sobe el teitoio uuguayo. Análogamente, el modelo tiene dependencia tempoal, esto implica que la estimación de iadiancia sobe el teitoio uuguayo evoluciona a lo lago del año pudiéndose se evaluado paa cualquie instante de tiempo a lo lago del año. La estimación es un valo de iadiancia hoaia medida en kj/m 2, cuando se evalúa el modelo en un instante de tiempo fijo lo que se obtiene es un mapa de iadiancia sobe el teitoio uuguayo que se coesponde con la enegía ecibida po meto cuadado en una ventana de tiempo de una hoa en tono al instante de tiempo seleccionado. En el capítulo 2 se binda una intoducción teóica al modelo completo de Justus- Tapley y al modelo utilizado en este tabajo, asi mismo, se especifican los paámetos necesaios paa su implementación. En el capítulo 3 se especifican los datos utilizados paa el ajuste del modelo y en el capítulo 4 se explica el ajuste implementado. Los esultados obtenidos se muestan en el capítulo 5, también es este capítulo pueden se encontadas vaias conclusiones especto al tabajo. Finalmente, en el capítulo 6, son pesentadas las conclusiones geneales del tabajo y los tabajos futuos pevistos al coto y lago plazo. 2. Maco teóico En esta sección se binda el maco teóico necesaio paa el coecto entendimiento del poceso ealizado. Muchas de las vaiables que aquí se desciben son bien conocidas en Solaimetía con lo cual no se las definiá extensivamente y se las asumiá como conocidas po el lecto. Nos limitaemos entonces a ecoda su foma de cálculo en la subsección Modelo de Justus-Tapley El modelo de Justus-Tapley es un modelo de estimación de iadiancia hoaia de concepción estadística. El modelo completo elaciona la iadiancia hoaia con el coseno 2

3 del ángulo cenital, la infomación extaída de las imágenes satelitales, la iadiancia hoaia sola extateeste y el facto de coección po vaiación estacional debido a la otación de la Tiea en una óbita elíptica en tono al Sol en uno de los focos F n = ( o. La foma del modelo puede obsevase a continuación en la ecuación 1, ( 0 ( ) ( ) I = I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 θ z + d B 2 m Bo 2 (1) donde θ z es el ángulo cenital, 0 es el valo medio de la distancia Tiea-Sol, es la distancia Tiea-Sol instante a instante (función del tiempo) e I sc es la notación que se ha escogido paa la iadiancia sola hoaia extateeste en un plano hoizontal a la línea Tiea-Sol, y se elaciona con la constante sola po I sc = 3600G sc 4921,2 kj/m 2. La infomación elativa a las imágenes de satélite están eflejadas en los valoes de B m y B o. Paa pode aplica y entena el modelo se debe dividi la supeficie teitoial en egiones, paa cada egión se utiliza la latitud y longitud del cento de la egión y el tamaño de la egión puede se ajustable. B m es el billo pomedio de la imagen satelital en la egión, mientas que B o suge de pomedia billos pomedios en la misma egión peo paa imágenes de día clao, o sea, B o suge de una estadística de imágenes de días claos. Po oto lado, en gan medida el tamaño de egión depende de la esolución de la imagen del satélite habiendo un compomiso ente el tamaño de la egión, la esolución de la imagen satelital y la exactitud del modelo. Lo impotante al elegi el tamaño de la egión es la cantidad de puntos de imágenes de satélite que caen dento de la egión de foma que la estadística de dichos puntos sea significativa. El tamaño de esta egión estaá asociado a la esolución espacial del mapa esultante. No obstante, se puede considea el esultado de iandiancia válido paa el cento de la egión, constui con esta infomación una gilla de puntos y luego intepolalos en el espacio paa obtene un mapa continuo. En la medida que el modelo esté bien ajustado y epesente de buena manea el ecuso sola en el teitoio a lo lago del tiempo, el esultado de este modelo es como tene una ed de pianómetos fomando una gilla espaciada según el tamaño de las egiones. La esolución tempoal de este modelo es igual a la cadencia de imágenes de satelite, que en el caso del satélite GOES-12 es de media hoa y las imágenes están públicamente accesibles en intenet paa un basta cantidad de años a Vaiables equeidas Como se puede despende de la subsección anteio, paa tene una descipción completa del modelo deben calcula pincipalmente dos vaiables solaiméticas: el coseno del ángulo cenital cos θ z y el facto F n. Si se tabaja paa plano hoizontal (β = 0) -como se ealiza en este tabajo-, la expesión paa el cálculo del ángulo cenital en un punto geogáfico dado y paa una hoa del día queda de la siguiente foma, cos θ z = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos ω (2) a Las imágenes satelitales son administadas po la NOAA (National Oceanic and Atmospheic Administation), 3

4 donde δ es la declinación, φ es la latitud del punto y ω es el tiempo sola en adianes. La latitud φ es infomación geogáfica conocida (paa el caso de un punto es infomación del punto, paa el caso de una egión es el medio de la egión), po tanto, es necesaio sabe como computa los valoes de δ y ω. La declinación δ es una vaiable con vaiación anual ente δ max = 23,45 o 0,41 ad y δ min = 23,45 o 0,41 ad, paa su cálculo se puede asumi que la misma depende sólo del día del año n (y no de una vaiable continua de tiempo pues vaía poco a lo lago del día). La expesión apoximada paa su cálculo es la que se muesta en la ecuación 3 y la dicha vaiación anual puede obsevase en la figua 1. ( ) 2π(n + 248) δ = δ max sin (3) 365 Figua 1: Vaiación anual de la declinación sola δ en adianes. Paa el caso de la vaiable ω su cálculo se debe ealiza a pati de un valo de tiempo estanda y utilizando la ecuación del tiempo. A pati de una hoa estanda h std se debe calcula una hoa sola h sol utilizando la ecuación del tiempo y luego conveti la hoa sola a tiempo sola en adianes w. Paa conveti la hoa estanda en hoa sola se debe utiliza la siguiente ecuación, ( ) 4(ψgmt ψ) + E h sol = h std (4) 60 donde ψ es la longitud del punto geogáfico en gados e incluida con su signo (nota que tanto h sol como ω tienen dependencia espacial), ψ gmt es la longitud del meidiano gmt estanda paa la hoa del teitoio en gados e incluido con su signo, y E es una vaiable en minutos que se calcula a pati de la ecuación del tiempo y es función del día del año n. Paa el 4

5 cálculo de E se debe usa la ecuación del tiempo que apaece a continuación y su vaiación anual puede obsevase en la figua 2. B = 2π ( ) n E = 229,2(0, , cos B 0, sin B 0, cos 2B 0,04089 sin 2B) (5) Figua 2: Vaiación anual del valo de E según la ecuación del tiempo. Ambos gáficos, el gáfico de la vaiación anual de la declinación δ y el gáfico de la vaiación anual de E fueon geneados po el softwae implementado a manea de testeo exhautivo del sistema. Dichos gáficos son consistentes con los que apaecen en la liteatua, en paticula, en [Duf91]. Finalmente, paa el cálculo del tiempo sola en adianes ω se puede ealiza la siguiente opeación: w = (h sol 12)π (6) 12 ω es una vaiable que vale ceo en el mediodía sola, po convención se toma negativo po la mañana y positivo po la tade, y aumenta 15 o po hoa (que se coesponde al facto pi/12 de la expesión). A lo lago del día, el valo de ω vaía ente un valo ω s que coesponde a la salida del Sol po la mañana y un valo ω s que coesponde al ocultamiento del Sol al empeza la noche. El valo de ±ω s se coesponde con un ángulo cenital θ z = π/2 ad (salida y ocultamiento del Sol), po lo tanto si evaluamos la ecuación 2 en ω = ω s se tiene que cos θ z = 0 y se puede despeja un expesión paa ω s que apaece 5

6 en la ecuación 7, que depende tempoalmente del día del año mediante la vaiable δ y que depende espacialmente mediante la vaiable φ. La vaiación anual de ω s y ω s puede obsevase en la figua 3, donde la dependencia espacial fue fijada en φ = 33,28 o (latitud) y ψ = 54,17 o (longitud). Estas coodenadas coeponden a la estación de medida de Teinta y Tes. ω s = ac cos ( tan φ tan δ) (7) Figua 3: Vaiación anual del valo de ω s coesponde al tiempo sola. que El ango compendido ente la línea azul supeio ω s (n) y la línea azul infeio ω s (n) es el ango donde vaía ω duante el día (hoas de sol) a lo lago del año. Este ango es muy impotante dado que caece de sentido utiliza datos de iadiación o ealiza estimación utilizando valoes de ω fuea de dicho ango. En paticula, los datos egistados cuyos valoes de ω sean cecanos a ±ω s son datos poco pecisos que conyevan mucho eo. Con lo cual paa el ajuste del modelo sólo se utilizaon los datos que estuviean en una banda inteio de este ango. El softwae implementado pemite vaia el ango pocentual a utiliza en el entenamiento del modelo, en el caso del pesente tabajo se utilizó 10 %, es deci, una banda inteio al 10 % de ±ω s. El la figua 6 que se muesta sobe la deecha apaece un ejemplo de lo mencionado. Figua 4: Datos utilizados y datos disponibles. Las cuvas en azul siguen epesentando el la vaiación anual del ango donde vaía ω duante las hoas de Sol. En ojo apaece la vaiación de ω a lo lago de todo el día (día y 6

7 noche), este ango cube el intevalo [π, π] b. En cambio, en vede, apaece los valoes de ω que tiene sentido considea a la hoa del ajuste de los paámetos. Si bien, al desplega los datos se utiliza todo el ango ±ω s, al momento de entena el modelo sólo se utilizaon los datos en vede que se encuentan compendidos en una banda al 90 % del ango ±ω s. Po oto lado, las datos cuya hoa coesponda a un ω > ω s genealmente son nulos o egistan iadiancia despeciable. En cuanto al facto F n, éste es una función de día del año n y puede se apoximado po: F n = ( o ) ( ) 2 2πn 1 + 0,033 cos 365 Una descipción detallada de la deducción de esta apoximación puede encontase en [Aba10] Submodelo a utiliza En el pesente tabajo se pescindió de la infomación de las imágenes satelitales y se utilizó un submodelo del modelo de Justus-Tapley explicado en la subsección 2.1. En el modelo que se pesentó en la ecuación 1 pueden se identificadas dos pates pincipales: el témino de la deecha d (Bm 2 Bo y el témino de la izquieda ( I 0 sc cos θz (a + b cos θ z + c cos 2 θ z ). Este modelo puede se intepetado como: un modelo de día clao dado po el témino de la izquieda c complementado po el témino de la deecha que binda la infomación de nubocidad en el teeno mediante las imágenes satelitales. En este tabajo nos inteesa entena un modelo de día clao y entonces utilizaemos el siguiente modelo de ahoa en más, ( 0 ( ) I = I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 θ z (9) donde habá que ajusta los paámetos {a, b, c} utilizando una estadística de días claos. De esta manea nos queda expesado un modelo de día clao donde la iandiancia hoaia I es función de los siguiente paámetos, (8) I = f(n, h std, φ, ψ) (10) pudiendo se evaluado en igo paa cualquie instante de tiempo (n, h std ) y cualquie punto geogáfico (φ, ψ). Se tiene que tene en cuenta que I epesenta la iadiancia hoaia expesada en kj/m 2 en tono al instante de tiempo escogido. En este tabajo los datos son dados en valoes de iandiancia en tono a los instantes de tiempo h std compendidos en el conjunto {0, 1, 2,..., 22, 23}, y po lo geneal también seán evaluados en dichos instantes. No obstante, se ecalca que el modelo pemite evalua en cualquie instante de tiempo con la b La azón po la cual no se cube todo el intevalo en el gáfico es que los datos son dados en hoa estanda en el intevalo [0, 23], y se coesponden con los natuales ( {0}) en este intevalo. c Si bien, esto no es clao a simple vista, los datos seleccionados coespondientes a días claos ajustan muy bien al este modelo lo que confima esta afimación. Esto puede obsevase en la sección 5. 7

8 salvedad de lo mencionado anteiomente. Si se quisiese intega los valoes en un día paa obtene un valo diaio de iadanción según el modelo, se debeá hace utilizando instante de tiempos adecuados de foma tal que los intevalos tempoales no se solapen. 3. Datos utilizados Los datos disponibles al momento de la ealización de este infome son escasos. La ed pianomética instalada y administada po la Facultad de Ingenieía está en sus pimeas etapas, y han habido poblemas de comunicación ente los equipos, con el almacenamiento de datos y con la calidad de los datos. No obstante, dichos poblemas se han solucionado y actualmente la ed pianomética está geneando datos nomalmente y se encuenta en poceso de expansión. La estadística accesible no es extensa ni en cuanto a cantidad de localidades de medición ni en cuanto a extensión tempoal de las mediciones. En ninguna de las localidades tabajadas los datos supean el año y se tabajó sólo con tes localidades. Con la educida estadística existente paa estas estaciones, el ajuste del modelo puede no epesenta fielmente a la ealidad año tas año. El mayo de los poblemas es no conta con más de un año de mediciones, el actual año podía se atípico (se tabajó con los datos geneados duante el coiente año 2010), además, no se tiene el año completo de mediciones. De todas fomas, debido a la foma que está implementado el softwae, se puede segui añadiendo la estadística a medida que se vayan geneando los datos Descipción de los datos y estaciones de medida Se utilizaon datos de tes estaciones de medida del INIA ubicadas en Las Bujas, Salto y Teinta y Tes. En la siguiente tabla se especifican las posiciones geogáficas de las mismas, el pianómeto que se está utilizando y el peíodo de datos disponible. Localidad Pianómeto Latitud ( o ) Longitud ( o ) Peíodo Las Bujas K&Z CMP / /2010 Salto K&Z CMP / /2010 Teinta y Tes K&Z CMP / /2010 Cuado 1: Ubicación geogafica y peíodo tempoal de los datos utilizados. No todos los peíodos de datos están disponibles. La estación de medida de Las Bujas estuvo inactiva desde el 26 de junio de 2010 al 18 de agosto de 2010, mientas que la estación de medida de Teinta y Tes estuvo inactiva desde el 18 de julio de 2010 al 27 de agosto de En la figua 5 que se muesta a continuación se puede ve un ejemplo de datos típicos de iadiancia hoaia. En la misma se muestan los datos coespondientes a la estación de medida de Teinta y Tes duante el peíodo compendido ente el 31 de mayo de 2010 y el 29 de junio de

9 Figua 5: Datos paa la estación de Teinta y Tes en el peíodo desde el 31 de mayo de 2010 hasta el 29 de junio de Selección de días claos En ausencia de datos de nubocidad u otos datos que pemitan detecta de foma indiecta los días claos, la selección de los días claos se ealizó en base a la obsevación de las medidas de iadiancia hoaia. Este poceso no se llevó a cabo con algún tipo de algoitmo automatizado de detección, sino que los días claos fueon seleccionados mediante el análisis visual de la evolución diaia de los datos de iandiancia hoaia. Se consideó paa el análisis y la selección de los días claos, que la evolución de iadiancia hoaia paa un día clao típico tiene la foma que se muesta en la figua de la deecha. De esta manea, se seleccionaon paa entena el modelo los días cuya evolución tempoal ea simila la de esta figua. Este poceso se selección se hizo paa todos los días disponibles en las tes localidades. Es clao que no es la manea más óptima de lleva adelante la selección, peo paa un pimea etapa se considea suficiente. 9 Figua 6: Foma típica de un día clao.

10 En caso de conta con los datos de iadiación (en kw/m 2 ) con mayo esolución tempoal se podía pensa en hace un análisis más ciudadoso al defini un día clao. De todas fomas, la escasa estadística existente pone de manifiesto la necesidad de conta con una selección de días claos amplia. Al conta con pocos datos no se considea que se deba efina po el momento el poceso de selección de los días claos. Es clao, que en la medida en que cesca el tamaño del set de datos se puede i efinando el poceso de selección paa elegi días claos más epesentativos, automatizalo e incluso incluí oto tipo de vaiables -o datos- en el mecanismo de selección (además seía inviable seguilo haciendo manualmente con un conjunto gande de datos). Po ejemplo, utilizando los datos mostados en la figua 5 paa la estación de Teinta y Tes, se muestan en la figua 7 los días que fueon seleccionados como días claos. Figua 7: Días claos seleccionados paa los datos de la figua 5. Se seleccionaon un total de 72 días ente las tes localidades, 32 días paa la localidad de Las Bujas, 23 días paa la localidad de Salto y 17 días paa la localidad de Teinta y Tes. En la siguiente tabla se puede ve un esumen de los datos seleccionados. Localidad Días seleccionados Días disponibles Pocentaje Las Bujas % Salto % Teinta y Tes % Cuado 2: Días seleccionados y días disponibles paa cada localidad. 10

11 La estación que se utilizaon más datos fue paa Las Bujas, esta es la estación paa la cual se disponen de más datos. Sin embago, es la que se usó menos pocentaje de días. Esto puede debese a que es la estación más cecana a la costa uuguaya. Si se obseva esta tabla, cuanto más adentado en el teitoio uuguayo más pocentaje de días claos seleccionados hubo. De todas fomas, con tan sólo tes localidades y seleccionando visualmente los días claos, no alcanza paa compoba esta afimación. 4. Implementación del ajuste Paa ealiza el ajuste del modelo se debe conta con datos de iandiancia hoaia geoefeenciados y tempoalmente ubicados. Tal es el caso de los datos accesibles ya desciptos y que denominaemos de ahoa en más como I data. Como se puede apecia en la ecuación 9 que el modelo implica ajusta los datos de iadiación hoaia a una expesión polinomial en cos θ z debiendo se ajustados, po localidad o paa todo el teitoio, los paámetos {a, b, c}. Una estategia común paa loga este ajuste es tabaja con el eo e ente los datos I data y el modelo I dado po la mencionada ecuación. ( 0 ( ) e = I data I = I data I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 θ z Como se puede deduci facilmente de la ecuación anteio, cada valo de e es una función de n, h std, φ, ψ e I data, así como de los paámetos a ajusta {a, b, c}. Intentando una estategia LMS (Least Mean Squae) en donde se desea minimiza la suma de los eoes cuadáticos se puede constui una función E LMS a minimiza en el espacio de paámetos {a, b, c} de la siguiente foma, (11) E LMS (a, b, c) = = e 2 (n, h std, φ, ψ, I data, a, b, c) [ ( 0 ( ) ] 2 (12) I data I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 θ z donde la suma es en el conjunto que compende la totalidad de los datos de iandiancia hoaia geoefenciados y tempoalmente ubicados, coespondientes a días claos seleccionados. Es deci, cada valo de I data le coesponde un único valo en el conjuto {n, h std, φ, ψ}, o sea que: {I data } {n, h std, φ, ψ} (13) Se desea entonces enconta un valo paa el set de paámetos {a, b, c} que minimize el funcional E LMS. Como es posible ve en la definición del funcional en la ecuación 12, se ha elegido la noma cuadática paa pesa los eoes e. Se podía pensa en otas nomas pondeadoes paa defini el funcional E LMS. En este caso, los datos utilizados ajustan de buena foma al modelo (como se veá más adelante) y no se vio la necesidad de implementa una minimización de mayo complejidad que ésta, ni la necesidad de utiliza 11

12 algún oto tipo de noma que dé poco peso a los oulies en el poceso de ajuste. Una foma de loga la solución a esta minimización es po ejemplo aplica las ecuaciones de Eule-Lagange, que en este caso se educen a simplemente computa las deivadas E LMS a, E LMS b y E LMS c Eule Lagange, e igualalas a ceo. E LMS a E LMS b E LMS = 0 c Como esultado del computo de estas deivadas se obtiene finalmente el sistema de ecuaciones en a, b y c: = 0 = 0 (14) E LMS a E LMS b E LMS c = 2 = 2 = 2 ( 0 (I data I) I sc cos θz = 0 ( 0 (I data I) I sc cos 2 θ z = 0 ( 0 (I data I) I sc cos 3 θ z = 0 (15) Este sistema de ecuaciones es un sistema lineal en a, b y c. Esto se despende sencillamente de que I es una función lineal de estos paámetos. Dado que se tata de un sistema lineal 3 3 el mismo se puede lleva a una foma más compacta. Si definimos el vecto de paámetos p como p = (a, b, c) T, este sistema se puede lleva a la siguiente foma en téminos de la matiz A y el vecto b que son calculados de foma apopiada: I sc A p = b (16) Las cuentas elativas a la deducción de esta ecuación pueden se encontadas en el apéndice A. También puede se encontada la foma de calcula la matiz A y el vecto b como esultado de dicha deducción. Este sistema de ecuaciones es el mismo que se obtendía aplicando las ecuaciones nomales. El set de paámetos p que es solución a este sistema de ecuaciones seá entonces solución al poblema de minimización que nos planteaamos, de esta foma, los valoes del ajuste paa a, b y c se obtienen de la siguiente manea: donde A, b e I sc son conocidos. p = a b c = 1 I sc A 1 b (17) 12

13 5. Resultados obtenidos En esta sección se mostaan los esultados obtenidos al aplica lo explicado en las secciones anteioes. También se pesentan algunos tests ealizados sobe el sistema de modo de evalua el coecto funcionamiento del mismo Ajuste paa todo el teitoio Este ajuste es el que se ealiza en el modelo de Justus-Tapley pesentado en [Ta86]. Al ealiza este ajuste, lo que se hace es entena los paámetos {a, b, c} paa todo el teitoio, obteniendo un solo set de valoes aplicables paa todo el teitoio. Como el modelo tiene dependencia espacial dada po φ y ψ esto es posible. Lo que se hizo en este caso fue junta los valoes de {I data } {n, h std, φ, ψ} paa todos los días claos seleccionados de las tes localidades y utilizalos a la vez en el poceso de ajuste. Como se mencionó anteiomente, el conjunto de datos total consta de 72 días. En la siguiente figua se puede obseva el ajuste de los datos. Figua 8: Ajuste de paámetos utilizando los datos de todo el teitoio. La figua anteio es una gáfica de iadiancia hoaia en función de cos θ z. En azul se muestan los datos paa los días seleccionados. Como se puede apecia en dicha figua, el gáfico de los datos muesta que la iadiancia de los días claos ajusta bastante bien a un compotamiento polinomial en cos θ z. El ajuste ealizado es la línea que se apaece en ojo mientas que la línea en amaillo es el compotamiento que esultaía si se usaan los paámetos dados en [Ta86] po Justus-Tapley. En la gáfica puede apeciase que ambos modelos, paa un mismo valo de cos θ z, pueden tene vaios puntos con distinta iadiancia (las líneas oja y amailla son guesas). Esto se debe a qué el valo de iadiancia no sólo depende del cos θ z sino que también depende del día del año n a taves del facto 13

14 F n = ( o /. En el siguiente cuado, el cuado 3, se muestan los valoes finales obtenidos paa los paámetos {a, b, c} ajustando el modelo a todo el teitoio y su compaación con los valoes dados po Justus-Tapley. Paámeto Justus-Tapley Teitoio uuguayo Difeencia % a % b % c % Cuado 3: Compaación ente los paámetos calculados y los paámetos dados po Justus-Tapley. La compaación ente estos paámetos no es del todo justa. Los paámetos del modelo Justus-Tapley dados en [Ta86] están ajustado paa datos de las llanuas estadounidenses. El valo de estos paámetos en pincipio podía depende de condiciones atmosféicas de la zona, humedad, velocidad del viento y otos paámetos meteoológicos. No necesaiamente el ajuste de los paámetos debiea da igual paa datos del teitoio uuguayo, aunque, se debe econoce que ambos climas son bastante similaes y po eso no sopende que los paámetos hayan dado muy cecanos ente sí. Así mismo, los paámetos dados po Justus-Tapley están ajustados utilizando el modelo completo. Esto, si bien afecta pues cambian las cuentas de la minimización, no debeía afecta mucho el valo de los paámetos a, b y c. Paa días claos, el témino d (Bm 2 Bo que está asociado a la nubocidad extaida de las imágenes satelitales, debeía apota al modelo apoximadamente ceo, siendo los téminos esponsables de apota a la iadiancia de día clao los téminos asociados a los paámetos {a, b, c}. Esto se puede ve de la siguiente manea, cuando ajustamos el submodelo estamos tatando de selecciona días donde B m = B o paa el entenamiento -al menos, en las egiones coespondientes a los lugaes donde se tienen las medidas-, olvidándonos de la vaiable d. De esta manea, esta compaación sive paa confima que la implementación fue ealizada coectamente y que se logó entende e implementa el modelo de día clao coectamente, pues los paámetos obtenidos son del oden a los dados po el entenamiento del modelo completo de Justus-Tapley. Incluso, en [Ta86] se asumen que estos valoes son válidos paa sudaméica y se genea con ellos un estimativo de mapas de iadiación diaia mensual. Esto da la pauta, de que los valoes podían se más o menos ajustados localmente, peo que lo más pobable es que fuesen del mismo oden como se concluye en este tabajo (a pesa de la educida estadística). Pasaemos a obseva ahoa, la evolución tempoal y espacial de este modelo. En la figua 9 puede obsevase el ajuste del modelo a los datos de la localidad de Teinta y Tes paa el peíodo desde el 29 de agosto de 2010 hasta el 27 de setiembe de 2010 (los datos teminan el 26 de setiembe). En azul se muestan los datos y en ojo la evolución tempoal del modelo paa esta localidad. Puede obsevase que paa los días en que el compotamiento de los datos es el espeable paa un día clao, el modelo ajusta de buena manea. Debe obsevase también la dependencia tempoal de este modelo de día clao: el alto del pico de iadiancia va en aumento confome avanza el tiempo (se haceca a los meses de veano). 14

15 Este evoluciona desde 2682 kj/m 2 el 29 de agosto a 3198 kj/m 2 el 27 de setiembe. Este compotamiento es el espeado paa un modelo de día clao confome se haceca el veano. Figua 9: Modelo de día clao y datos paa la estación de Teinta y Tes en el peíodo desde el 29 de agosto de 2010 hasta el 27 de setiembe de Si obsevamos la figua 10 donde apaece el gáfico del modelo paa el mismo peíodo de tiempo (desfasado un día) paa la estación de la bujas, podemos obseva la dependencia espacial del modelo. Figua 10: Modelo de día clao y datos paa la estación de Las Bujas en el peíodo desde el 30 de agosto de 2010 hasta el 28 de setiembe de

16 Dado que la estación de Las Bujas se encuenta más al su que la estación de Teinta y Tes, es de espea que el modelo de día clao estime menos iadiancia. En efecto, es lo que sucede. En el caso de la localidad de Las Bujas la adiación evoluciona tempoalmente desde 2597 kj/m 2 el 29 de agosto hasta 3122 kj/m 2 en el 26 de setiembe. Ambos valoes son menoes que en el caso de la localidad de Teinta y Tes. Se mantiene también la tendencia ceciente en el tiempo de la iadiancia hoaia que es consistente con la época del año en estudio. Se ealizaon vaias puebas más en estos sentidos (dependencia espacio-tempoal del modelo) y en todos los casos fueon satisfactoias. Si se fija un instante de tiempo dado, se puede genea un mapa de día clao sobe el teitoio uuguayo. Como no se disponía de la heamienta GTM (Geneic Mapping Tools) al momento de la ealización del pesente infome, los mapas de iadiancia de día clao fueon geneados en Matlab paa la egión geogáfica coespondiente al teitoio uuguayo. Se utilizó una egión que compende el ango de coodenadas [ 30 o, 35 o ] en latitud y [ 53 o, 59 o ] en logitud. En la figua 11 que se muesta a continuación se puden obseva el esultados de estos mapas paa las 12 del mediodía del 15 de eneo y del 15 junio. (a) 15 de eneo. (b) 15 de junio. Figua 11: Mapas de día clao paa las 12:00 del mediodía. El pime elemento a obseva son los angos en que vaía espacialmente la iadiancia hoaia. En el caso del 15 de eneo (veano) vaía apoximadamente ente 3720 kj/m 2 es la zona noeste a apoximadamente 3630 kj/m 2 en la zona suoeste. Sin embago, el 15 de junio (invieno) estos valoes son sensiblemente menoes, vaiando desde apoximadamente 2050 kj/m 2 a 1650 kj/m 2. Oto aspecto a obseva es la vaiación espacial del la iadiancia a tiempo fijo. En el caso de 15 de eneo la misma es de 100 kj/m 2 apoximadamente a lo lago del teitoio, mientas que en el caso del 15 de junio es de 400 kj/m 2 apoximadamente. Este efecto podía esta explicado po la posición del teitoio uuguayo especto al Sol en ambas estaciones, en veano la posición de la Tiea es tal que el país se encuenta de caa al Sol y po eso la meno vaiación espacial en la iadiancia hoaia, mientas que en invieno se encuenta en posición invesa teniendo entonces una mayo vaiación espacial de la iadiancia. 16

17 A tiempo fijo, estos mapas de iadiancia eflejan la modulación polinomial de la distibución espacial de la vaiable cos θ z. Las isolíneas de iandiancia en estos mapas son entonces consecuencia diecta de las isolíneas de la vaiable cos θ z (puntos del país con igual coseno del ángulo cenital) y no deben se compaadas con las isolíneas del actual Mapa Sola del Uuguay. A medida que la Tiea ota, la posición elativa del Sol especto a la Tiea cambiaá y po lo tanto la distibución espacial de la vaiable cos θ z seá vaiable en el Tiempo según esta posición y po ende, sus isolíneas. Como consecuencia de esto, los mapas de iadiancia de día clao tendán una vaiación diaía de sus isolíneas siguiendo la modulación polinomial del cos θ z. Este punto se pofundiza y ejemplifica en la siguiente sección Algunos testeos ealizados Además de los testeos ealizados en la sección anteio, se hicieon vaias puebas paa chequea la consistencia y la coheencia del modelo y el sistema implementado, de las cuales se ejemplifican algunas en esta sección. A continuación se muesta la evolución diaía distibución espacial de la vaiable cos θ z con el día del año fijo. (a) 09:00. (b) 11:00. (c) 13:00. (d) 15:00. Figua 12: Distibución espacial de la vaiable cos θ z paa el 15 de eneo. Los gáficos mostados son paa el día 15 de eneo paa difeentes hoas (09:00, 11:00, 13:00 y 15:00). Como es de espease, los valoes de cos θ z evolucionan dento de 17

18 lo espeado. En las hoas de la mañana los puntos con cos θ z más elevado se encuentan al este del país y en la hoas de la tade los puntos con cos θ z más elevado se encuentan al peste del país, lo cual es consistente con el sentido de otación de la Tiea. Si gaficamos la iandiancia que el modelo estima paa dichas hoas del mismo día veemos que si bien los valoes cambian bastante, la distibución espacial es básicamente la misma. (a) 09:00. (b) 11:00. (c) 13:00. (d) 15:00. Figua 13: Mapas de día clao paa el 15 de eneo. Como se puede apecia en estas últimos gáficos que apaecen en la figua 13 la iadiancia estimado a tiempo fijo es básicamente una modulación de la vaiable cos θ z y si bien los valoes son claamente distintos, el compotamiento espacial es simila. Puede obsevase también, que los menoes valoes de iadiancia hoaia son estimados a las 09:00hs aumentando a medida que avanza el día en los hoaios de las 11:00hs y 13:00hs y luego una pequeña disminución sobe las 15:00hs. Este compotamiento a lo lago del día es pefectamente consistente con lo espeado. Paa finaliza esta sección obsevemos como se compota la vaiable cos θ z paa una misma hoa en dos épocas del año distinta. Lo haemos nuevamente paa la hoa 12:00 de los días 15 de eneo y 15 de junio de modo de pode compaa con los estimativos de iadiancia hoaia mostados en la figua 11 (que son paa las mismas fechas y hoa). 18

19 (a) 15 de eneo. (b) 15 de junio. Figua 14: Distibución espacial de la vaiable cos θ z paa las 12:00 del mediodía. Puede obsevase notoiamente valoes sensiblemente mayoes paa el coseno del ángulo cenital paa las 12:00hs del 15 de eneo que paa las 12:00hs del 15 de junio. Nuevamente, esto es consistente con la posición de la Tiea especto al Sol Ajuste po localidad Como se mencionó anteiomente, el ajuste del modelo puede ealizase paa una localidad en paticula. De esta manea se obtendían valoes paa los paámetos {a, b, c} paa cada localidad. Si se tuviean suficientes datos de vaias localidades -no sólo de 3 localidades- se podía tene este modelo ajustado localmente y luego utliza las estimación locales paa intepola en el espacio y obtene mapas a tiempo fijo como en el caso de la sección anteio. Dado que no se dispone po el momento de la heamienta GMT, la elaboación de este tipo de mapa y su compaación con los mostados en la subsección 5.1 todavía no se ha llevado a cabo. En el cuado 4, puede obsevase los valoes obtenidos paa los paámetos a, b y c ajustando el modelo sólo paa la localidad de Las Bujas. Como se mencionó anteiomente, el set de días claos de entenamiento paa esta localidad consta de 32 días seleccionados. Paámeto Justus-Tapley Las Bujas Difeencia % a % b % c % Cuado 4: Compaación ente los paámetos calculados paa Las Bujas y los paámetos dados po Justus-Tapley. En la figua 15 que se muesta a continuación, puede obsevase el ajuste de los 19

20 datos al modelo. Figua 15: Ajuste de paámetos utilizando los datos de la localidad de Las Bujas. Dado que esta es la localidad paa la cual se dispone de mayo cantidad de días claos seleccionados, el ajuste paa esta localidad es mejo que paa las demás localidades. No sólo en la similitud de los paámetos calculados paa todo el teitoio dados po el cuado 3, sino con los paámetos dados po Justus-Tapley. El ajuste del modelo, como puede se obsevado en la figua 15, es bueno. En cambio, paa las localidades de Salto y Teinta y Tes se dispone de menos cantidad de datos, e incluso el mayo poblema es que la cantidad de datos accesibles no eccoe todo el intevalo tempoal coespondiente a un año. En el caso de Las Bujas, como los datos son desde febeo de 2010 a setiembe de 2010, gan pate del año es ecoida. Este poblema implica que hay algunos valoes de cos θ z que no son alcanzados po los datos, es deci, los valoes de cos θ z cecanos a 1. A continuación, en los cuados 5 y 6, pueden obsevase los valoes obtenidos paa los paámetos a, b y c paa las dos localidades estantes, a sabe, Salto y Teinta y Tes. Paámeto Justus-Tapley Salto Difeencia % a % b % c % Cuado 5: Compaación ente los paámetos calculados paa Salto y los paámetos dados po Justus-Tapley. 20

21 Paámeto Justus-Tapley Teinta y Tes Difeencia % a % b % c % Cuado 6: Compaación ente los paámetos calculados paa Teinta y Tes y los paámetos dados po Justus-Tapley. Se ecueda además, que se dispone paa ealiza el entenamiento de 23 días claos seleccionados paa Salto y 17 paa la localidad de Teinta y Tes. En la figua 16, es posible obseva el ajuste de los datos seleccionados paa estas localidades al modelo. (a) Salto. (b) Teinta y Tes. Figua 16: Ajuste del modelo utilizando sólo una localidad. Como puede se obsevado en estas figuas, el ajuste paa estas localidad no es tan bueno. En el caso de Teinta y Tes es consecuencia de la dispeción de los datos de día clao, y en el caso de Salto es consecuencia de la escasa cantidad de datos accesibles, y en paticula, no existe datos con cos θ z > 0,72 paa esta localidad Compaación con iadiancia extateeste Una buena idea es compaa este modelo de día clao con la iadiancia extateeste I o. Es clao que el valo de la iadiancia de día clao debe se meno a la iandiancia extateeste y, al tatase de un modelo de día clao, debeía acompaña su vaiación estacional. En base al valo I o puede calculase un índice de claidad paa día clao como, K T = I I o = I est I o (18) 21

22 donde es este caso paa el valo de I utilizamos la estimación de nuesto modelo de día clao I est. En la figua 17 que se muesta a continuación puede obsevase una compaación ente la salida del modelo de día clao y la iadiancia extateeste. La compaación se ealiza paa la localidad de Las Bujas, utilizando el modelo entenado paa los datos de todo el teitoio (a, b y c extaídos del cuado 3), paa el peíodo desde el 30 de agosto de 2010 hasta el 28 de setiembe de Figua 17: Compaación ente la estimación del modelo de día clao y la iadiancia extateeste paa la localidad de Las Bujas en el peíodo desde el 30 de agosto hasta el 28 de setiembe. Muchas obsevaciones pueden se ealizadas sobe esta última figua. La pimea es que el modelo de día clao sigue pefectamente la evolución de la iadiancia extateeste a menos de un cambio en el valo de la iadiancia, peo la foma es la misma. El cambio en los valoes de iandiacia viene dado po la adiación eflejada y absovida en la atmósfea, al tatase de un día clao se asume que está adiación es mayomente diecta. Es clao que el modelo de día clao estima menos adiación en todos los casos que la iadiancia extateeste. Po oto lado, tanto la iadiancia extateeste como el modelo aumentan la estimación de su adiación confome avanza el año, nuevamente, este esultado es claamente espeado debido a la época del año de estudio. Finalmente, la altua elativa ente ambos gáficos paece mantenese constante sin gande vaiaciones a los lago del año. Esto podemos estudialo de mejo manea al obseva la vaiación del índice de claidad definido en la ecuación 18 en este peíodo. En la figua 18 que se muesta a continuación puede se obsevado el índice de claidad paa le mismo peíodo del año que el gáfico 17 y paa la misma localidad (Las Bujas), utilizando el modelo entenado con el set completo de datos (los días claos seleccionados paa todas las localidades). 22

23 Figua 18: Compaación ente la estimación del modelo de día clao y la iadiancia extateeste paa la localidad de Las Bujas en el peíodo desde el 30 de agosto hasta el 28 de setiembe. Como se puede obseva en esta última figua, el índice de claidad cece velozmente el la mañana hasta situase en un valo elativamente estable duante el día y luego decece ápidamente. El valo en que paece mantenese estable duante el día onda el valo K T 0,73 y además paece mantese estable a lo lago del tiempo. Este valo paa el índice de claidad K T es un valo azonable paa el mismo, lo nomal es que dicho valo se mantenga en el ango [0,6; 0,8]. Este paámeto depende pincipalmente de condiciones atmosféicas de la zona geogáfica de inteés. El la siguiente sección se puede constata lo mencionado especto a la vaiabilidad tempoal de este paámeto Vaiación estacional Como es sabido, la iadiancia extateeste tiene una vaiación estacional. Dado que nuesto modelo de día clao debeía segui el compotamiento de la iadiancia extateeste a menos de la eflección y absoción en la atmósfea, es de espea que la estimación bindada po el modelo de día clao tenga también una vaiación estacional. Evaluando el modelo paa el peíodo de tiempo de datos disponibles de la localidad de Las Bujas se obtiene el esultado que se muesta en la figua??. El gáfico coesponde al modelo ajustado con los datos poveniente de días claos de todas las localidades de tabajo. El eje tempoal del gáfico comienza en el inicio del mes de febeo y temina al final del mes de setiembe. Lo gaficado es la salida del modelo en iadiancia hoaia y visto en zoom out. Como se puede apecia claamente, los picos de iandiancia de 23

24 la estimación ealizada po el modelo de día clao ajustado tienen la vaiación estacional espeada, egistando meno iadiancia de pico en invieno y aumentando hacia el veano. Figua 19: Vaiación estacional de la estimación. A continuación se muesta un gáfico simila peo paa el índice de claidad K T. Figua 20: Ajuste de paámetos utilizando los datos de la localidad de Las Bujas. 24

25 El peíodo de tiempo en ambos gáficos es el mismo. En la figua?? puede obsevase como el índice de claidad K T se mantiene apoximadamente constante a lo lago del año -o al menos, duante el peíodo mostado-, egistando leves vaiaciones estacionales en el ango [0,70; 0,73]. 6. Conclusiones Paa finaliza, y a modo de esumen, expondemos en esta sección algunas conclusiones del pesente tabajo y también tabajo futuo continuando esta línea de tabajo Conclusiones del tabajo Duante el pesente tabajo se logó entende, implementa y testea una subpate del modelo completo de Justus-Tapley que puede se entendida como un modelo de día clao. En base a los datos disponibles se logó ajusta un modelo de día clao paa el teitoio uuguayo. Este tabajo epesenta una pime etapa pevio a la implementación completa del modelo de Justus-Tapley, no obstante, se logó obtene un mapa de día clao paa el teitoio uuguayo con dependencia espacio-tempoal. El poceso de ajuste implementado pemite fácilmente obtene dos objetivos: inclui con pocas modificaciones el modelo completo agagando el paámeto d y tabaja con alguna ota noma pondeadoa paa la minimización en caso de que se considee conveniente a medida que se vayan obteniendo más datos. Además, esto modelo funciona en base a ajusta una seie de paámetos en base a una estadísitica, el softwae implementado pemite sencillamente ingesa más estadística al sistema de foma de obtene mejoes ajustes. El modelo espondió azonablemente a todos los tests ealizados sobe el. Tanto los valoes de los estimativos de iandiacia y las vaiaciones tempoales y espaciales de la vaiable cos θ z fueon azonables con lo espeado y evolucionaon de manea adecuada a lo lago de todas las puebas ealizadas. También las compaaciones ealizadas con la iadiancia extateeste fueon consistentes, y el índice de claidad obtenido se encuenta dento de los mágenes aceptados. El ajuste ealizado concueda muy bien con el ajuste que hiciea Justus-Tapley en [Ta86]. Tanto las gáficas de ajuste como el valo de los paámetos obtenidos concuedan de buena manea con el mencionado tabajo Tabajo a futuo Como pime paso de manea de genea mapas de día clao, se debe intega este tabajo con la heamienta GMT de foma de genea mapas con el contono del teitoio uuguayo en el. Realiza esto es algo bastante diecto una vez accesible el softwae GMT debido a que las gillas de puntos de los mapas aquí mostados están geoefeenciadas. También utilizando la heamienta GMT se puede ealiza puebas sobe el enfoque de hace los ajustes de los paámetos localmente en el teitoio y intepolalo en el espacio. Esta, quizá, sea una mejo estategia paa el modelo completo y no paa el submodelo de día 25

26 clao. A medida que vayan sugiendo datos los mismo deben se integados al ajuste paa mejoa la estimación de los paámetos. Además, se deben analiza las otas seies de datos disponible de foma de evalua su integación al set de datos. Seía muy beneficioso conta con seies de otas localidades de modo de agega infomación espacial al modelo ajustado. En camino de busca una explicación paa la otación de las isolíneas en el Mapa Sola del Uuguay, una idea a futuo que se estima pueda da sus futos es pomedia tempoalmente estos mapas duante el tanscuso de un mes. Este pomedio debe ealizase adecuadamente, se debe acumula las distibuciones espaciales de los valoes de iandiancia a lo lago de un día en intevales de tiempo adecuados (paa evita solapamiento) y luego pomedia el mapa esultante a lo lago de un mes. Finalmente, un tabajo a futuo evidente continuando estás líneas de tabajo es elaboa el modelo completo de Justus-Tapley incluyendo la infomación poveniente de las imágenes de satélite. 26

27 A. Cálculos En esta sección detallaemos los cálculos necesaios paa, patiendo de las ecuaciones que se muestan en la ecuación 15, llega al sistema de ecuaciones final que apaece en la ecuación 16. Patiendo del sistema de ecuaciones que se muesta a continuación (que es el mismo de la ecuación 15), E LMS = 2 ( 0 (I data I) I sc cos θz = 0 a E LMS = 2 ( 0 (I data I) I sc cos 2 θ z = 0 b (19) E LMS = 2 ( 0 (I data I) I sc cos 3 θ z = 0 c se puede despeja paa obtene, ( 0 I cos θz = ( 0 I data cos θz ( 0 I cos 2 θ z = ( 0 I data cos 2 θ z (20) ( 0 I cos 3 θ z = ( 0 I data cos 3 θ z Los téminos de la deecha no dependen de ninguna de las vaiables {a, b, c} y en efecto son númeos una vez computada la suma. Estos tes númeos definen el vecto b. Los téminos de la izquieda son los que genean el sistema de ecuaciones I sc Ap con p = (a, b, c) T. Como I es de la foma mostada en la ecuación 9 e I sc es una constante eal, estas ecuaciones pueden escibise como, ( 0 ( 0 ( ) ( I cos θz = I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 0 θ z cos θz ( 0 ( I cos 2 0 ( ) ( θ z = I sc cos θz a + b cos θz + c cos 2 0 θ z cos 2 θ z I ) 2 cos 3 θ z = I sc ( 0 ( 0 ( ) ( cos θz a + b cos θz + c cos 2 0 θ z cos 3 θ z donde A es una matiz 3 3 autoadjunta de la siguiente foma, = I sc A p (21) A = a 1 a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 3 a 4 a 5 a 1 = a 2 = a 3 = ( 0 ) 4 cos 2 θ z ( 0 ) 4 cos 3 θ z ( 0 ) 4 cos 4 θ z a 4 = a 5 = ( 0 ) 4 cos 5 θ z ( 0 ) 4 cos 6 θ z (22) 27

28 Como ya se mencionó anteiomente, el vecto b queda de la siguiente manea: b = b 1 b 2 b 3 b 1 = b 2 = b 3 = ( 0 I data cos θz ( 0 I data cos 2 θ z (23) ( 0 I data cos 3 θ z Obteniéndose finalmente el sistema I sc A p = b que se muesta en la ecuación 16. Bibliogafía [Aba10] G. Abal - Fundamentos de Enegía Sola, Unidad I: Radiación Sola. Facultad de Ingenieía, Univesidad de la República, Uuguay. Vesion 1.0, [Duf91] J. A. Duffie, W. A. Beckman - Sola Engineeing of Themal Pocesses. John Wiley & Sons, second edition, [Ta79] J. D. Tapley - Estimationg incident Sola adiation at the suface fom geostationay satellite data. Jounal of applied Meteoology and Climatology, [Ta86] J. D. Tapley, C. G. Justus, M. V. Pais - Satellite-Measued Insolation in the United States, Mexico, and South Ameica. Remote Sensing of Envionment 20, Elseive,