TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) TEMA 6

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1 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaia) TEMA 6 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA. CINEMÁTICA Y DINÁMICA. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS. Esquema 1. Intoducción.. Cinemática de la otación de una patícula..1. Movimiento cicula unifome... Movimiento cicula unifomemente aceleado..3. Relación ente magnitudes angulaes y lineales.. 3. Dinámica de la otación de una patícula Componentes intínsecas de la fueza. 3.. Momento de la fueza sobe la patícula Momento Angula de una patícula en otación Vaiación del Momento Angula 4. Consevación del Momento Angula de la patícula en otación Sistema en otación aislado. 4.. Condiciones de Momento Angula constante Impulso Angula. Relación con el Momento Angula. 5. Movimiento de otación en sistemas no-ineciales Movimiento elativo Velocidad Aceleación. 5.. Fueza centífuga Fueza de Coiolis. 6. Aplicación al movimiento de los astos Definición de Fueza Cental. 6.. Teoema de las áeas. Velocidad aeola. (ª ley de Keple) Fueza cental invesamente popocional al cuadado de la distancia Enegía de la patícula sometida a fueza cental Óbitas elípticas. Leyes de Keple.. 1/0

2 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 TEMA 6 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA. CINEMÁTICA Y DINÁMICA. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS. 1. INTRODUCCIÓN Muchos de los movimientos que obsevamos a nuesto alededo, como el de un tiovivo de feia, el de una pueta, el de una peonza, etc. son movimientos de otación. Así, fenómenos obsevados en la natualeza, como el movimiento de los astos son también de otación. Nomalmente, los movimientos obsevados en la natualeza no son puamente taslaciones o otaciones. Así, las uedas de una bicicleta gian al mismo tiempo que se tasladan. Un tonillo gia y se taslada cuando se intoduce en un mateial. El movimiento más geneal de un cuepo es la composición de una taslación y una otación, independientes ente sí. Mientas nos ocupemos únicamente del movimiento en línea ecta estaemos lejos de compende los movimientos obsevados en la natualeza. Paa entendelos nos vemos obligados a estudia movimientos sobe tayectoias cuvas y detemina las leyes que los igen. En el estudio del movimiento de otación de los cuepos, éstos son muchas veces consideados como una patícula al compaa su tamaño con la amplitud de su movimiento. Así po ejemplo, paa un astónomo, una estella, e incluso una galaxia, pueden se consideadas como patículas. Los esultados que obtenemos del estudio del movimiento de otación de una patícula, son fundamentales paa el análisis del movimiento de un sólido ígido (sistema de patículas unidas ígidamente) puesto que conocido el movimiento de una de sus patículas, se conoceá el de cualquiea de las que lo constituyen.. CINEMATICA DE LA ROTACION DE UNA PARTÍCULA. En el movimiento de otación de una patícula, ésta descibe una tayectoia cicula. Este movimiento cicula se caacteiza po un adio de cuvatua R constante e igual al adio de la cicunfeencia tayectoia..1. Movimiento Cicula Unifoma. En todo movimiento cicula se veifica que mientas el punto mateial descibe un aco de cicunfeencia s, el adio bae un ángulo ϕ. De la Fig.1 tenemos que: s=r ϕ. Aplicando la ecuación de definición de la velocidad instantánea (v=ds/) y consideando que el adio es constante (R = cte.), obtenemos: ds dϕ dϕ v = = R. y el cociente: = ω (1) /0

3 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Temaio Específico-Tema 6 se denomina velocidad angula y está definido como la vaiación del ángulo descito po el vecto posición en la unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Intenacional es el ad/s. (Recodemos que el adián es el ángulo que subtiende un aco de cicunfeencia igual en longitud a su popio adio). La velocidad angula puede expesase como un vecto cuya diección es pependicula al plano del movimiento y cuyo sentido es el del avance de un sacacochos que gia como la patícula (Fig.) y está elacionada con el vecto velocidad de la patícula v po la expesión: v =ω R siendo los vectoes velocidad y vecto velocidad angula siempe pependiculaes. De inteés especial es el caso del movimiento cicula unifome, en el que la velocidad angula es constante ω=cte. y po tanto se puede escibi: d ω = ϕ = cte d ω. ϕ = integando d ϕ = ω. ϕ = ω.t + C Paa aveigua el valo de C, hacemos t=0 y obtenemos: C=ϕ 0 (desplazamiento angula inicial). La ecuación del desplazamiento angula quedaá: ϕ = ϕ 0 + ω.t Nomalmente se toma t=0 en el instante en que el móvil pasa po el oigen de ángulos, entonces: ϕ=ω t ω = ϕ t En el movimiento cicula unifome, la única aceleación existente es la aceleación centípeta, aceleación nomal o aceleación adial ya que es la diección el único atibuto de la velocidad que vaía y viene dada po la expesión: v a n = R Este movimiento es peiódico puesto que la patícula pasa po cada punto de la cicunfeencia-tayectoia a intevalos egulaes de tiempo. El peiodo (T) se define como el tiempo que tada el móvil en da una vuelta completa y la fecuencia (ν) se define como el númeo de vueltas dadas en la unidad de tiempo. Así, po ejemplo, si en el tiempo t, la patícula ealiza n vueltas, el peiodo es T = t/n y la fecuencia ν=n/t. Se obseva que ambas magnitudes están elacionadas po la expesión: 1 ν = T.. Movimiento Cicula Unifomemente Aceleado. Cuando la velocidad angula de una patícula cambia con el tiempo, apaece una aceleación angula que viene definida po el vecto: dω α = () cuya unidad, en el Sistema Intenacional es el ad/s. 3/0

4 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Cuando la aceleación angula es constante, es deci, movimiento unifomemente aceleado, tenemos, integando la ecuación (): d ω = α. ω= α.t + C y haciendo t=0 esulta C=ω 0 velocidad angula inicial, la expesión anteio quedaá: ω = ω 0 + α t (3) como: dϕ ω = d ϕ = ω. = ( ω0 + α. t) e integando: 1 ϕ = ω 0 + α t. ϕ = ω0t + αt + C' haciendo t=0 tenemos que C =ϕ 0 (ángulo inicial); po tanto el valo del desplazamiento 1 angula ϕ es: ϕ = ϕ 0 + ω 0 t + αt (4) Eliminando t ente las ecuaciones (3) y (4) esulta: ω = ω0 +. αϕ. Las ecuaciones (3) y (4) son análogas a las deducidas paa el movimiento ectilíneo unifomemente aceleado. 1 s = s 0 + v 0 t + a. t v v 0 a. t = + v v =. a. s 0 + La aceleación angula puede expesase, al igual que la velocidad angula, como un vecto que está elacionado con la aceleación tangencial a t po el poducto vectoial: =α R FIG.3 a t.3. Relación de las magnitudes lineales y angulaes. La elación existente ente el espacio lineal o aco ecoido s y el espacio angula o ángulo subtendido po dicho aco, ya ha sido intoducida en la Fig.1: s =ϕ.r Vamos a deduci las elaciones existentes ente las velocidades y aceleaciones lineales y angulaes. Como la velocidad se define como la deivada del espacio especto del tiempo: ds dϕ v = siendo s = ϕ. R y R=cte esulta: v = R. = R. ω (5) ecuación escala que elaciona los módulos de ambas magnitudes. Paa enconta la elación vectoial ente v y ω hay que considea que una patícula se mueve siempe alededo de un eje. Si tenemos en cuenta la definición de ω se deduce que es un vecto pependicula al plano de gio y po tanto al adio R (Fig.). A su vez v seá pependicula a R y a ω, y po tanto, la expesión vectoial de la ecuación (5) seá: v =ω R (6) Puede definise la velocidad lineal como el momento de la velocidad angula especto de la patícula A luego: v = ω y siendo = R sustituyendo esulta: v = R ω = ω R 4/0

5 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Si a la ecuación (5) la deivamos especto al tiempo, se obtiene: dv dr dω = ω. +. R (7) El pimeo de los sumandos del segúndo miembo es nulo, ya que la tayectoia es cicula y po ello R=cte, y teniendo en cuenta que a t =dv/ (según las componentes intínsecas de la aceleación) podemos escibi la ecuación (7) de la foma: a t = α. R (8) ecuación que nos elaciona los módulos de ambas aceleaciones. Po definición del módulo de la aceleación nomal (según las componentes intínsecas) a n =v /R y teniendo en cuenta la ecuación (5) obtenemos: a n = ω R Paa obtene la elación vectoial ente las aceleaciones angula, tangencial, nomal y total, deivemos con especto al tiempo la expesión (6) y tendemos lo siguiente: dv dω dr = R + ω Po las definiciones de aceleación total, aceleación angula y velocidad lineal, la expesión quedaá: a = α R + ω v o bien, sustituyendo la expesión (6): a = α R + ω ( ω R) (10) y si compaamos ésta con la expesión vectoial de las componentes intínsecas de la aceleación, a = a t + an obtenemos: at = α R (11) an = ω ( ω R) = ω v Po ota pate, si aplicamos la elación vectoial: A ( B C ) = ( A C) B ( A B)C a la segunda de las ecuaciones (11) tenemos paa la aceleación nomal o centípeta, la siguiente expesión en dos componentes: = ω ω R = ω R ω ω ω a n ( ) ( ) ( )R El pime témino del segundo miembo es ceo, pues ω y R son pependiculaes y su poducto escala es nulo; el segundo témino se escibe: ( ω ω) R = ω R. El signo negativo indica que el témino es opuesto a la diección del adio R (o sea, hacia el cento) luego tendá un vecto unitaio nomal u n ( = R / R), esultando: a = ω R =ω R. n u n Igual que hemos azonado antes con la velocidad lineal, si obsevamos la expesión (11) paa la aceleación tangencial, puede definise como el momento de la aceleación angula. 5/0

6 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 3. DINÁMICA DE LA ROTACIÓN DE UNA PARTÍCULA 3.1. Componentes intínsecas de la Fueza. Cuando se aplica sobe una patícula una fueza neta F que vaía de diección con el tiempo F (t) o bien, las diecciones de F ( t) y v ( t) son distintas, se poduce en ambos casos, un movimiento cuvilíneo. Se puede obtene infomación consideando las componentes intínsecas de la fueza (adial y tangente a la tayectoia de la patícula). La elación de las componentes de la aceleación y la fueza en un movimiento cuvilíneo, se ilustan en la Fig.5. De la elación F=m.a y de las definiciones de las componentes de las aceleaciones: a = dv t an v R esultan las componentes de la fueza: F = m. a = m dv (1) t t. Fn = m. an = m. v R (13) La fueza tangencial es la esponsable del cambio en la magnitud de la velocidad y la fueza nomal o centípeta es esponsable del cambio en la diección de la velocidad. Si F t =0 entonces a t =0 y el movimiento es cicula y unifome. Si F n =0 entonces a n =0 y el movimiento es ectilíneo. Si la patícula ecoe una tayectoia cicula de adio R entonces: F n =m. v /R=m.ω R. Paa el caso del movimiento cicula unifome, la única aceleación es la aceleación centípeta y la fueza puede expesase vectoialmente: Fn = m. a n sustituyendo (11): F n = m. ( ω v ) = ω ( m. v ) = ω p (14) donde p es el momento lineal de la patícula. Ésta es una elación matemática útil ente la fueza, la velocidad angula y el momento lineal de una patícula en movimiento cicula unifome. Debe obsevase que la fueza centípeta no es una fueza más a añadi a las que actúan sobe la patícula, sino que llamamos así a la esultante de las componentes de todas las fuezas eales actuantes, en la diección adial y sentido hacia el cento de cuvatua. 3.. Momento de la fueza sobe la patícula. Consideemos una fueza F que actúa sobe una patícula localizada en un punto P del espacio y un punto fijo O en un cieto sistema de efeencia inecial. El momento de la fueza F especto a O es el poducto vectoial del vecto posición de la patícula con especto a O po el vecto F. Designamos po M a dicho momento: 6/0

7 M = F (15) de modo que el momento M es un vecto pependicula al plano deteminado po y F y su sentido es deteminado po la egla del sacacochos (Fig. 6). Obsévese que el momento de una fueza tiene dimensiones de fueza po longitud (ML T - ) que son las mismas que las del tabajo. Sin embago, ambas son magnitudes físicas conceptualmente distintas. El momento es una magnitud vectoial y el tabajo es escala. El Momento se mide en N.m. Oposiciones Secundaia-Física y Química- Temaio Específico-Tema 6 El momento de la fueza sobe la patícula es la causa de que ésta sufa otación. Si consideamos las componentes intínsecas de la fueza, esultaá: M = F = ( Ft + Fn ) = Ft + Fn El segundo témino del segundo miembo es nulo, ya que y F n son paalelos, luego: M = Ft (16) o sea, que la componente nomal de la fueza no poduce momento Momento angula de una patícula en otación. El Momento Angula es en la otación lo mismo que el Momento Lineal o cantidad de movimiento en la taslación y mide el estado dinámico otacional que va a depende de la masa, de la velocidad y de la distancia de la patícula al cento. Supongamos una patícula de masa m, cuyo vecto de posición en un instante dado es, moviéndose con velocidad v especto a un punto O, oigen del vecto (Fig.7). Llamamos Momento Angula de la patícula con especto a O, a un vecto L que es el poducto vectoial de po el vecto Momento Lineal p de la patícula. Es deci, el Momento Angula es el momento del Momento Lineal de la patícula. L = p = m. v L es un vecto pependicula al plano definido po y deteminado po la egla del sacacochos. mv y su sentido es el Paa el caso de una tayectoia cicula, el valo del momento angula es máximo ya que y p son vectoes pependiculaes. Teniendo en cuenta que v =ω y ω = 0 [ se sigue que: L = m. v = m ( ω )] y aplicando: A ( B C ) = ( A C) B ( A B)C esulta: L = m. ω m( ω ) o sea: ω L = m (18) 7/0

8 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Temaio Específico-Tema Vaiación del Momento angula. Con objeto de investiga aceca del significado físico del Momento angula L, estudiaemos como vaía en el tanscuso del tiempo. Paa ello, ealizaemos la deivada con especto al tiempo: dl d d dv dv ( mv) = = mv + m = v mv + m donde, el pime témino del último miembo es nulo v mv = 0 pues donde, v y son vectoes paalelos, luego la expesión quedaá: dl = ma = F = M y constituye la ª ecuación del movimiento. Esta ecuación nos dice que el momento de la fueza neta, especto de un punto, que actúa sobe una patícula es igual a la deivada tempoal del momento angula de ésta, especto de dicho punto, o sea, a la vaiación del momento angula a lo lago del tiempo. Esta ecuación guada semejanza con la 1ª ecuación del movimiento F = dp que expesa que la fueza poduce vaiación del momento lineal a lo lago del tiempo. 4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR DE LA PARTÍCULA EN ROTACIÓN 4.1. Sistema de otación aislado. Si el momento, especto de un punto, de la fueza neta que actúa sobe una patícula es nulo, su momento angula especto del mismo punto, pemanece constante con el tiempo. (Teoema de la consevación del Momento Angula). Si M = 0 dl / = 0 L = cte Un sistema que no está sometido a ningún momento, se dice que es un sistema de otación aislado. 4.. Condiciones de Momento Angula constante. El momento angula de una patícula es constante en ausencia de momento de fueza ( M = F = 0). Natualmente, el momento seá nulo si la fueza aplicada o la esultante de las fuezas aplicadas es nula, esto es, cuando se tata de una patícula libe. Peo el momento de la fueza también es nulo cuando la fueza es paalela al vecto de posición. Una fueza de estas caacteísticas, ecibe el nombe de fueza cental que se estudiaá más adelante. El que el momento angula de la patícula sea constante, significa que debido a su caácte vectoial, seá constante su módulo, su diección y su sentido. La constancia en la diección y sentido implica que la tayectoia de la patícula está confinada en un plano invaiable que seá pependicula a la diección del vecto momento angula, es deci, la patícula se mueve en un plano fijo que no puede cambia de oientación. Es lo que se llama invaianza en el plano de otación. Los planetas, sometidos exclusivamente a la fueza cental gavitatoia del Sol, mantienen constante su momento angula y no pueden vaia el plano de otación alededo del Sol. mv 8/0

9 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema Impulso angula. Relación con el Momento Angula. De la ª ecuación del movimiento dl / = M se deduce que el cambio en el momento angula de la patícula duante un intevalo de tiempo infinitesimal es igual al poducto del Momento de la fueza aplicado po el difeencial de tiempo : d L = M. (0) La vaiación total que sufe el momento angula duante un intevalo de tiempo compendido ente t 1 y t vendá dado po la ecuación integal: t = L J M. = dl = L L = L (1) 1 t L 1 1 donde J es el Impulso Angula y la ecuación anteio se intepeta diciendo que el impulso angula que poduce el momento de la fueza que actúa sobe la patícula duante un tiempo es igual a la vaiación del momento angula que sufe la patícula. El impulso angula es una magnitud vectoial y mide, en cieto modo la efectividad del momento de la fueza paa poduci cambios en el momento angula, o sea, en el estado dinámico otacional de la patícula. La ecuación (1) es análoga a la del Impulso Lineal definido en la dinámica de t = p I F. = dp = p p = p taslación: t1 p MOVIMIENTO DE ROTACIÓN EN SISTEMAS NO INERCIALES La ventaja de escoge un sistema de efeencia inecial paa descibi los pocesos dinámicos es evidente, ya que en esos sistemas, las leyes del movimiento se pueden expesa mediante las leyes de Newton. Sin embago, existen algunos poblemas que pueden se esueltos más fácilmente utilizado un sistema de efeencia no-inecial. Así, paa descibi el movimiento de una patícula sobe la supeficie teeste puede esulta más conveniente utiliza un sistema de efeencia ligado a la Tiea (que gie con ella), que es no-inecial y aunque la solución de muchos poblemas puede obtenese con alto gado de exactitud ignoando esa cicunstancia, existen impotantes fenómenos que son el esultado de la natualeza no inecial de estos sistemas de efeencia (sistema teeste o laboatoio) Movimiento elativo. Vamos a considea el movimiento de un punto mateial efeido a un sistema de efeencia en movimiento y a su vez, dicho sistema en movimiento lo efeenciamos a oto sistema de efeencia que consideaemos fijo absoluto. Estudiaemos a continuación tanto la velocidad como la aceleación del punto móvil en su movimiento geneal efeido a ambos sistemas Velocidad. Supongamos un sistema de ejes fijos (OXYZ) y oto (O X Y Z ) dotado de un movimiento cualquiea (sistema no-inecial), e independientemente una patícula móvil 9/0

10 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 P se mueve en el sistema. Conocido el movimiento de P especto al sistema no-inecial, (O X Y Z ) vamos a detemina el movimiento especto al sistema inecial (OXYZ). Tal como se apecia en la Fig.9, el vecto de posición de la patícula con especto al sistema fijo es: = ' + 0 () deivando con especto al tiempo tenemos: d d' d0 = + o sea v = v' + v0 (3) Vamos a adopta las siguientes notaciones: P(x,y,z) Coodenadas de P especto de O P(x y,z ) Coodenadas de P especto de O O (x 0,y 0,z 0 ) Coodenadas de O especto de O de esta foma llamaemos a:: d dx dy dz v = = i + j + k (4) velocidad absoluta de P especto de O. El vecto ' lo expesaemos: ' = x' i ' + y' j' + z' k ' y como i ', j ' y k ', que son los vectoes unitaios (vesoes) unidos al sistema móvil (O X Y Z ), no son constantes con el tiempo, sino que vaían con el movimiento del sistema, esulta: d ' dx' dy' dz' di ' dj' dk' = i ' + j' + k' + x' + y' + z' (5) Al pime paéntesis lo llamaemos velocidad elativa ( v ) de la patícula efeida a O (velocidad medida po un obsevado situado en O ) d' dx' dy' dz' v = = i ' + j' k' (6) Paa conoce el segundo paéntesis de la igualdad (5) necesitamos calcula el valo de las deivadas, especto del tiempo, de los vectoes unitaios. Esta cuestión se esuelve como un caso paticula del movimiento del sólido ígido, consideando al sistema como si estuviese fomado po los tes vectoes unitaios como tal. De la Fig.10 obtenemos que el vecto i ' especto de O viene dado po i ' = i 0 Deivando con especto al tiempo: di ' = vi v0 peo po tatase de un movimiento de un sistema ígido, tenemos que: = v + ω O I = v + ω ' v i 0 ' 0 i ecuación que expesa que la velocidad, especto de O, de un punto designado po el vecto de posición, i ' en este caso, es igual a la velocidad del sistema móvil O especto del sistema fijo O, designada po v 0 más la velocidad del punto especto del sistema móvil O, designada po ω i '. 10/0

11 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Esta ecuación sustituida en la anteio, esulta: di ' =ω i ' y haciendo lo mismo paa j ' y paa k ' obtenemos: dj' dk' =ω j' =ω k ' que constituyen el gupo de las llamadas fómulas de Poisson, que sustituidas en (5) nos queda: v' = v + ω x' i ' + ω y' j' + ω z' k ' = v + ω (7) ( ) ' Po oto lado, teniendo en cuenta que la posición del sistema móvil especto del fijo es: 0 = x0i + y0 j + z0k la velocidad del sistema móvil especto del fijo seá: d dx dy dz v0 = = i + j + k (8) Y finalmente, obtenemos paa la velocidad absoluta v -ecuación (3)-, sustituyendo la ecuación (7) la siguiente expesión: v = v + ( v 0 + ω ' ) (9) donde, al segundo sumando (enceado en el paéntesis) se le llama velocidad de aaste ( v a ) y es la velocidad que tendía el punto P si estuviese unido a O fomando un sistema ígido. Nos queda como igualdad fundamental de movimiento elativo: v = v + v a Aceleación. Obtenemos la aceleación con que se mueve la patícula con especto a O, deivando (9) con especto al tiempo: dv dv dv0 dω d' a = = + + ' + ω (30) El Pime témino de esta expesión ( dv / ), se detemina deivando (6) especto al tiempo, es deci: dv d x' d y' d z' dx' di ' dy' dj' dz' dk' = i ' + j' + k ' (31) y llamamos el pime paéntesis, aceleación elativa de P especto a O (aceleación medida del móvil P po un obsevado colocado en O ) y teniendo en cuenta las fómulas de Poisson, nos queda: dv dx' dy' dz' = a + ( ω i ') + ( ω j' ) + ( ω k' ) =... dx' dy' dz'... = a + ω i ' + j ' + k ' = a + ω v (3) dv0 El Segundo témino de (30) es: = a0 11/0

12 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 dω El Tece témino de (30) es: ' = α ' d' El Cuato témino de (30) se tansfoma así: siendo = v + ω ', según la expesión (7), tenemos paa dicho cuato témino: d' ω = ω v + ω ( ω ') (33) y sustituyendo (3) y (33) en la expesión (30) tenemos finalmente: d a a ω = + a ( ) 0 + ' + ω ω ' + v. ω (34) expesión cuyos sumandos tienen el siguiente significado físico: 1) a : Aceleación del punto P que mediía un obsevado desde el sistema O pescindiendo del gio de S, (Aceleación elativa). dω ) a a = a0 + ' + ω ( ω ' ) : aceleación de aaste constituida po las siguientes componentes: dv0 a) a0 = aceleación del Sistema O con especto al Sistema O debido a la taslación del Sistema O. dω b) ' = α ' aceleación tangencial poducida po el gio del Sistema O. c) ω ( ω ') aceleación centípeta debida al gio del Sistema O. 3) a c = ω v : aceleación complementaia o de Coiolis que apaece siempe que el sistema O gia y la patícula tiene una velocidad v no paalela a ω. Luego la aceleación absoluta del punto P seá: a = a + a + a 5.. Fueza centífuga. Sabemos que la aceleación nomal o centípeta de una patícula P viene dada po ω ( ω ) de modo que la fueza inecial asociada con esta aceleación viene dada po: mω ( ω ) y estaá diigida pependiculamente al eje de otación y hacia fuea, de ahí que eciba el nombe de fueza centífuga. Esta fueza apaece siempe que las obsevaciones se hagan desde un sistema de efeencia en otación. En efecto, un obsevado situado sobe una platafoma que gia con velocidad angula ω (obsevado no inecial) entendeá que existe una fueza misteiosa que actúa sobe él y que le impide pemanece en eposo sobe la platafoma, a menos que él mismo ealice ota fueza diigida hacia el eje de otación, fueza que debe tene de módulo mω, siendo la distancia a que se encuenta el eje de otación. Está bien clao que la Fueza Centífuga F c no es una fueza en el sentido usual de la palaba, es deci, como el esultado de una inteacción, sino que es una fueza ficticia que apaece en los sistemas de efeencia no ineciales. Así, po ejemplo, si un cuepo está giando alededo de un cento de fueza fijo, la única fueza eal que actúa sobe el a c 1/0

13 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 cuepo es la de atacción hacia el cento de la tayectoia (fueza centípeta) necesaia, desde el punto de vista de un obsevado inecial, paa que el cuepo pueda descibi una tayectoia cuvilínea; dicha fueza (tensión de la cueda en la Fig.11) popociona la aceleación centípeta caacteística de todo movimiento cuvilíneo. FIG.11 Sin embago, un obsevado situado en un sistema de efeencia no inecial, obsevaá que el cuepo no pesenta aceleación alguna en la diección de la fueza aplicada y paa econcilia este esultado con el equeimiento de que la fueza neta que actúa sobe el cuepo sea nula, el obsevado supone la existencia de una fueza igual y de sentido contaio a la centípeta, esto es, postula la existencia de una fueza centífuga que no tiene existencia eal y que sólo esulta útil al obsevado no inecial paa pode escibi la ª ley de Newton en su foma usual: F = m. a ef 5.3. Fueza de Coiolis. La fueza de Coiolis F Co = m ω v es también una fueza ficticia que apaece cuando intentamos descibi el movimiento de la patícula desde un sistema de efeencia no inecial. Paa compende su oigen y significado físico vamos a considea una platafoma giatoia hoizontal sobe la cual puede desliza (sin ozamiento) un pequeño objeto. Paa analiza el movimiento del objeto utilizaemos dos sistemas de efeencia: el OXY (sistema S) fijo en el espacio y el Oxy (sistema S') fijo en la platafoma; el oigen de ambos sistemas lo tomaemos en el cento de la platafoma. En el instante inicial (t=0), cuando ambos sistemas coinciden, lanzamos un objeto hoizontalmente a lo lago del eje OY (u Oy) con una velocidad v. Tanscuido un tiempo t el objeto se encontaá en P, sobe OY (puesto que al no habe ozamiento el objeto no es aastado po la platafoma) a una distancia del cento =v t. Mientas la platafoma ha giado un ángulo ϕ, de modo que si efeimos la posición del objeto a los ejes de otación, paeceá que éste ha ecoido además un aco: s=ϕ.=ω t.=ω v.t en sentido contaio al de otación de la platafoma. Evidentemente el movimiento del objeto sobe la platafoma es el esultado de la composición de los movimientos indicados. Un obsevado no inecial, en eposo sobe la platafoma descibiá el movimiento del objeto como cuvilíneo (fig.1b), en tanto que un obsevado inecial (en eposo sobe tiea) lo descibiá como un movimiento ectilíneo y unifoma (fig. 1a). 13/0

14 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Si el obsevado situado en la platafoma no sabe que está giando, achacaá la cuvatua de la tayectoia a una fueza que debeá actua pependicula a la velocidad de la patícula desviándola hacia la deecha de la tayectoia. Esta es la llamada, fueza de Coiolis. La ecuación del movimiento de la patícula paa un obsevado no inecial, se escibe: F + f = m. a ef 6. APLICACIÓN AL MOVIMIENTO DE LOS ASTROS Co 6.1. Definición de Fueza Cental. Como ya hemos dicho anteiomente, el Momento Angula de una patícula es constante en ausencia de momento dinámico de fueza ( M = F = 0). Esto ocue no sólo si la fueza aplicada es nula sino también si F es paalela a, en otas palabas, si la ecta diectiz de la fueza pasa siempe po el punto O elegido como cento de momentos. Una fueza de estas caacteísticas ecibe el nombe de Fueza Cental y el punto O ecibe el nombe de Oigen de Fuezas. Atendiendo a esto, podemos establece que: Cuando una patícula se mueve bajo la acción de una fueza cental, su Momento Angula con especto al cento de fuezas es constante. Este esultado es muy impotante ya que muchas fuezas de la natualeza tienen caácte cental. Así, po ejemplo, la Tiea se mueve alededo del Sol bajo la acción de una fueza de este tipo (la gavitatoia) cuya línea de acción pasa siempe po el cento del Sol, en consecuencia, el momento angula de la Tiea con especto al Sol seá constante. El movimiento de una patícula bajo la acción de una fueza cental tiene caacteísticas muy impotantes. El que L = cte significa, que debido a su caácte vectoial, lo seá en módulo, diección y sentido. La constancia en la diección implica que la tayectoia de la patícula está confinada en un plano pependicula a la diección del momento angula. En consecuencia, la tayectoia de la patícula bajo la fueza cental se encuenta en un plano que contiene al cento de fuezas. Este enunciado es de inteés históico en elación con el movimiento planetaio y se conoce como 1ª Ley de Keple. 6.. Teoema de las áeas. Velocidad aeola. (ª ley de Keple). Cuando una patícula expeimenta un desplazamiento infinitesimal, acción de una fueza cental, su vecto de posición (adio vecto) bae un áea ayada en la Fig.13). En vitud de la intepetación geomética del poducto vectoial podemos escibi: 1 ds = d (35) d, bajo la ds (áea donde ds es el vecto elemento de supeficie, que tiene la misma diección que el momento angula L. Entonces, el áea baida po el adio vecto en la unidad de tiempo, o velocidad aeola es: FIG.13 14/0

15 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Temaio Específico-Tema 6 ds 1 d 1 = = v (36) siendo v la velocidad de la patícula y, como L = m v, se tiene que: ds L = (37) m que es la expesión de la velocidad aeola en función del momento angula. Como el momento angula es constante, también lo seá la velocidad aeola, de modo que tendemos: En el movimiento bajo la acción de fuezas centales, el adio vecto de la patícula bae áeas iguales en tiempos iguales, o sea, el áea baida po la unidad de tiempo (velocidad aeola) es constante. Este enunciado se conoce como ª ley de Keple Fueza Cental invesamente popocional al cuadado de la distancia. La ley de popocionalidad invesa al cuadado de la distancia es la más impotante de todas las efeentes a fuezas de tipo cental. La ley de la fueza y la enegía potencial asociada se esciben de la foma: K F K = e y EP = (38) donde el nivel ceo (u oigen) paa la enegía potencial se ha escogido a una distancia infinita del cento de fuezas EP ( ) 0 cuando a fin de evita la pesencia de un témino adicional constante en la expesión de la enegía potencial EP(). Ejemplos de este tipo de fuezas lo constituyen la inteacción gavitatoia ente dos masas, m 1 y m sepaadas po una distancia y la fueza electostática ente dos cagas elécticas q 1 y q sepaadas una distancia. Cuando una patícula se mueve bajo la acción de una fueza cental se consevan dos magnitudes físicas, una de caácte vectoial, el momento angula de la patícula con especto al cento de fuezas y ota de caácte escala, la enegía total. El momento angula de la patícula viene dado po: L = m. v = m. v (39) y utilizando las componentes adial y tansvesal de la velocidad podemos escibi: L = m. ( v v ) + φ = m. vφ (40) ya que v = 0 po se vectoes paalelos. Si utilizamos coodenadas polaes dadas po (,φ) ve Fig.14-: y = x + y y φ = actg x siendo los vectoes unitaios, adial y angula, espectivamente: e = cosφ. i + sen φ. j (41) eφ = sen φ. i + cosφ. j calculaemos la velocidad deivando el vecto posición, que en coodenadas adiales es: 15/0

16 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6. = o sea v = ( e ) e d d d de =. = e + (4) Deivando la pimea ecuación de (41) y sustituyendo la segunda: de dφ dφ = ( sen φ. i + cosφ. j) = e φ (43) de modo que la velocidad de la patícula ecuación (4)- seá: d dφ v = e + eφ (44) que puede escibise como: d v = e (46a) v v e v e =. + φ. φ (45) siendo dφ vφ = e φ (46b) Teniendo en cuenta que =. e y la ecuación (46b), la expesión (40) queda: dφ dφ dφ L = m. e. eφ = m. e eφ = m κ de donde el módulo de L viene dado po la expesión escala: dφ L = m (47) 6.4. Enegía de la patícula sometida a Fueza Cental. Puesto que una fueza cental de la foma F ( ) e es consevativa, y la enegía asociada a ella es tan sólo función de la distancia a la que se encuenta la patícula del cento de fuezas, la consevación de la enegía total de la patícula (EC+EP) expesa: 1 E = m. v + EP( ) (48) Cuando utilizamos coodenadas polaes planas (,φ), el cuadado del módulo de la velocidad, según (44) seá: d dφ v = + que sustituyendo en la expesión de la Enegía, (48) esulta: y teniendo en cuenta que: 1 d 1 d E m. φ = + m + EP( ) 1 d 1 m L E = m. + + EP( ) = 4 m dφ dφ L L = m esulta = 4 m 1 d L m. + + EP( ) m (49) sustituyendo: Si compaamos esta ecuación con la expesión geneal de la enegía de un cuepo bajo la acción de una fueza consevativa, dada po: (50) 1 1 d E = EC + EP = mv + EP = m + EP( ) (51) 16/0

17 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 en lo que se efiee al movimiento adial, la patícula consideada tiene de una enegía potencial efectiva, dada po: L EP '( ) = + EP( ) m que desempeña el papel de enegía potencial equivalente en el poblema unidimensional adial. El témino adicional L /m tiene en cuenta que el vecto de posición está cambiando no sólo en magnitud sino en diección en el tanscuso del movimiento. Se puede detemina la natualeza de las óbitas de los astos que obedecen la ley de las fuezas invesamente popocionales al cuadado de la distancia. Paa ello hemos epesentado en la Fig.14 la enegía potencial efectiva expesada paa EP=K/: L K EP '( ) = + m coespondiente a divesos valoes de L y K. Paa una fueza epulsiva (K>0) sólo son posibles enegías totales E positivas y no hay óbitas limitadas. La patícula viene desde el infinito hasta el punto de etono y egesa de nuevo al infinito. En ausencia de fueza (K=0) la situación es análoga a la anteio, si bien el punto de etono estaá más ceca del cento de fuezas, la tayectoia seá una ecta. Si la fueza es atactiva (K<0) con L 0, el movimiento seá ilimitado si E>0, peo en este caso el punto de etono se halla muy póximo al cento de fuezas. Las óbitas seán hipobólicas con un peicento o punto de óbita de máxima apoximación al cento de las fuezas. Paa una fueza atactiva (K<0) y enegía total compendida ente: mk < E < 0 L la óbita está limitada po dos puntos de etono o absidales, el peicento y el apocento (punto de la óbita más alejado del cento de fuezas) y las óbitas pesentaán nomalmente foma elíptica.. 17/0

18 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Paa una fueza atactiva (K<0), con L 0 y E = -mk /L la óbita es una cicunfeencia de adio 0 = -L /mk. [Demostación en el anexo al final del tema]. Po último, si K<0 y L=0, el poblema se educe al movimiento unidimensional sobe una ecta que pasa po el cento de fuezas Óbitas elípticas. Leyes de Keple. Tas un laboioso análisis de las numeosas y pecisas obsevaciones y mediciones astonómicas ealizadas po Tycho Bahe ( ), el que fue su discípulo y asistente, el astónomo alemán Johanes Keple ( ), enunció las leyes del movimiento planetaio. Estas leyes empíicas, conocidas como Leyes de Keple, son una descipción cinemática del movimiento de los planetas en el sistema sola y sivieon de base a Isaac Newton ( ) paa la descipción dinámica del movimiento planetaio y paa el descubimiento de la ley de la fueza esponsable de dicho movimiento, la Ley de la Gavitación Univesal. Keple enunció las tes leyes, en la foma siguiente: 1. Los planetas desciben óbitas elípticas, en las que el Sol se encuenta en uno de sus focos.. El vecto de posición de cualquie planeta con especto al Sol bae áeas iguales en tiempos iguales, esto es, la velocidad aeola es constante. 3. Los cuadados de los peiodos de evolución de los divesos planetas alededo del Sol son popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de sus óbitas elípticas. Hemos de destaca que la 3ª ley de Keple, al igual que la ª, es válida solamente paa fuezas invesamente popocionales al cuadado de la distancia al Sol. Es de espea que el movimiento de los plantes se apate ligeamente de lo pevisto po las leyes de Keple. En pime luga supuso que el Sol, como objeto más másico del sistema sola, pemanece fijo, definiendo así un cento de fuezas estacionaio; de hecho el Sol habá de tene algún tipo de movimiento como esultado de las fuezas con que es ataído po los planetas que se mueven a su alededo. Este efecto es muy pequeño y puede coegise. En segundo luga, sobe un planeta dado actúan también los otos planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas epesentan una pequeñísima popoción de la del Sol, la acción de los demás planetas sobe oto planeta dado epesentaá sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las óbitas planetaias especto a las pedichas po las leyes de Keple. 18/0

19 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 ANEXO L K Enegía potencial efectiva: EP '( ) = + m Deivando con especto a e igualando a ceo, paa calcula el valo mínimo, esulta: dep 4mL K = + = 0 4 d 4m L K simplificando: 3 = L K = m m L = mk que es la condición de mínima Enegía Potencial. Sustituyendo en la ecuación inicial esulta: L K mk mk mk EP = = = c.q.d. 4 L L L L L m m K mk BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enique BURBANO GARCIA y Calos GRACIA MUÑOZ. Física Geneal. XXXI Edición. Mia Editoes. ZARAGOZA. Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editoial. Selecciones Científicas. MADRID. Macelo ALONSO y Edwad J.FINN. Física.Vol.1. Mecánica. Addison-Wesley Ibeoameicana. MEJICO. Manuel R.ORTEGA GIRON. Lecciones de FISICA. Mecánica 1. Depatamento de Física Aplicada. Univesidad de Códoba. CORDOBA. Maio GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan Miguel SCARON. Física. Elementos Fundamentales. Mecánica y Temodinámica Clásica. Tomo 1 Editoial Reveté. BARCELONA. Robet M.EISBERG y Lawence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicaciones I. Editoial. McGaw-Hill. MADRID. 19/0

20 Oposiciones Secundaia-Física y Química- Antonio Abisqueta Gacía, 1999 Temaio Específico-Tema 6 Tatamiento Didáctico OBJETIVOS Estudio cinemático y dinámico del movimiento de otación de una patícula como uno de los movimientos más fecuentes en la Natualeza. Establece claamente las magnitudes básicas de la otación de la patícula. Explica y compende el concepto de aceleación centípeta como causa básica de cualquie movimiento cuvilíneo. Aplica e intepeta los conceptos explicados a situaciones eales. UBICACIÓN En la E.S.O., se ubicaá el tema en el 4º cuso (segundo ciclo de ESO) dento del módulo de Cinemática donde se desaollaán los conceptos básicos de iniciación. El tema completo, con todos sus conceptos, sólo se puede ubica en el 1º de Bachilleato, con un nivel y matemático mediano y pescindiendo del movimiento elativo. Algunos conceptos como velocidad elativa, fueza de Coiolis, enegía de las óbitas, etc., son de nivel supeio al Bachilleato y ha de ubicase en pimeo de Facultades. TEMPORALIZACIÓN Cinco hoas de clase dedicadas a la explicación teóica del tema incluidas las aplicaciones a la cinemática celeste y dos hoas dedicadas a ejecicios y pácticas. METODOLOGÍA Exposición de los conceptos del tema, oientando al alumno en el azonamiento, en una metodología inductiva, pesentado hecho y fenómenos de lo que él va a deduci unas conclusiones. Utilización del lenguaje científico peciso y unificado, tanto en lo que se efiee a conceptos como a medidas. Realización de expeimentos de laboatoio que ilusten al alumno los fenómenos estudiados y sus aplicaciones a la vida eal y a la mecánica celeste.. Resolución de poblemas numéicos de las distintas situaciones dinámicas estudiadas en el tema. CONTENIDOS MÍNIMOS Magnitudes de otación: ecoido angula, velocidad angula y aceleación angula. Ecuaciones de los movimientos ciculaes: unifome y unifomemente aceleado. Relaciones ente magnitudes lineales y angulaes. Aceleación centípeta y fueza centípeta, esponsables del movimiento cicula. Momento angula. Vaiación del momento angula. Su consevación. Óbita cicula como la más sencilla del movimiento celeste. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS Libo de Texto complementado con apuntes tomados en clase de las explicaciones del Pofeso, subayando los conceptos fundamentales. Mateial de laboatoio sencillo y adecuado a pácticas de otación utilizando discos y ecipientes giatoios, péndulos, conómetos y dinamómetos. Hojas de poblemas de otación escogidos de dificultad ceciente. EVALUACIÓN Puebas objetivas sobe los conceptos fundamentales del tema, valoando compensión, memoización y aplicación de estos conceptos a situaciones eales. Puebas escitas con poblemas numéicos exigiendo esolución completa con utilización de máquinas calculadoas. Valoación de las pácticas ealizadas en el aula o en el laboatoio. Puebas de opción múltiple con peguntas de vaias espuestas (3 falsas y 1 cieta) que obligue al alumno al azonamiento de las situaciones planteadas. 0/0