Competencia: Objetivos.

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1 UNIDAD IV PRUEBA DE IPOTEI Competeia: -El estudiate debe utilizar orretamete las diferetes formas del protoolo para efetuar pruebas de hipótesis,tato paramétrias omo o paramétrias sobre ualquier parámetro o distribuió de ua poblaió para la toma de deisioes oheretes. Objetivos. -Utilizar orretamete la Doimasia de hipótesis para probar ualquier aspeto de ua poblaió que o lleva u grado de iertidumbre para tomar deisioes oheretes. Desripió geeral de la uidad: -Esta uidad omprede el desarrollo de los siguietes oeptos: ipótesis estad ístia,lases de hipótesis estadístias,tipos de errores; omo tambié la realizaió de las dieferetes pruebas de ipótesis tales omo :aera de la media o variaza poblaioal ooida omo desooida,aera de la variaza de la razó de variazas, aera de la proporió omo difereia de proporioes. Letura:Millar/Freud/Joso Probabilidad Estadístia para Igeieros Edo.de Méio 99 Pgs.5 al 86 Córdova Zamora Estadístia Desriptiva e Ifereial ª ed.perú 996 Pags,385 al 44 Bibliografía Básia: Moa aravia (988) Probabilidad e Ifereia Estadístia((ª ed) Perú.Pags.7al 749 Refereia eletróia: Ifereia-Estadístia/pruebas-hipotesis.html 7

2 PRUEBA DE IPOTEI INTRODUCCIÓN E la estadístia ifereia el área de las pruebas de hipótesis ostitue uo de los aspetos importates por su utilizaió. La maoría de las pruebas de hipótesis estadístia se refiere a aspetos: ) A probar los valores de los parámetros de ua variable o poblaió, llamadas pruebas paramétrias. ) Tambié se refiere al tipo o aturaleza de las diferetes distribuioes de las diferetes variables o poblaioes, llamádose pruebas o paramétrias. La que geeralmete se utiliza o las pruebas paramétrias, la que supoe ooer la aturaleza de la poblaió. Para desarrollar las diferetes pruebas de hipótesis es eesario desarrollar alguos oeptos básios omo ser: IPÓTEI ETADÍTICA Ua hipótesis estadístia es ua afirmaió ó ojetura o relaió a los valores de los parámetros ó o relaió a las distribuioes de ua ó más variables aleatorias o poblaioes. De auerdo a su espeifiaió teemos tipos de hipótesis: ) IPÓTEI ETADÍTICA IMPLE o aquellas hipótesis ompletamete espeifias, es deir está defiidos sus valores el tipo de distribuió. ) IPÓTEI ETADÍTICA COMPUETA o aquellas hipótesis que o está ompletamete espeifiadas, es deir puede o estar bie defiido los valores de sus parámetros ó o estar espeifiado el tipo de distribuió de la variable ó poblaió. DOCIMACIA DE IPÓTEI Es el proeso por el ual se efetúa la prueba de hipótesis. Para doimar se eesita tipos de hipótesis: ) LA IPÓTEI NULA Es aquella hipótesis ompletamete espeifiada es la que se quiere probar o el fi de rehazarla. Para idetifiar si ua hipótesis es ula debe teer por lo meos la igualdad ; ; ) IPÓTEI ALTERNA Es aquella hipótesis otraria a la ula, es deir que o está ompletamete espeifiada que se aepta uado se rehaza la hipótesis ula que geeralmete para idetifiarla o debe teer el sigo de la igualdad > < TIPO DE ERRORE e toma deisioes e base a las muestras, os odue ievitablemete a ometer tipo de errores: 73

3 ) ERROR TIPO I e omete este tipo de error uado se rehaza se aepta uado es verdadera. ) ERROR TIPO II e omete este tipo de error uado se rehaza se aepta uado es falsa. Estos errores se los resume de la siguiete maera NATURALEZA DECIION :VERDADERO : VERDADERO ACEPTA CORRECTA ERROR TIPO II ACEPTA ERROR TIPO I CORRECTA NIVEL DE IGNIFICANCIÓN Al ometer estos tipos de errores, se preseta bajo iveles de sigifiaió: ) NIVEL DE IGNIFICACIÓN igifia: P[omete error tipo I] P[rehazar / verdadero] ) NIVEL β DE IGNIFICACIÓN igifia: P[omete error tipo II] P[aeptar / verdadero] Geeralmete el ivel de sigifiaió mas utilizado es %, 5%, %, para tomar deisioes se debe estableer regioes rítias /ó regioes de aeptaió. REGION CRÍTICA R.C. Es parte del rago del estimador que de auerdo a ua prueba presrita os odue a rehazar aeptar a ierto ivel de sigifiaió. Esta RC se sugiere determiar o utilizar uado se preseta pruebas uilaterales. REGION DE ACEPTACIÓN R.A. Es parte del rago del estimador que de auerdo a ua prueba preseta permite aeptar rehazar. e sugiere utilizar esta RA uado se preseta pruebas bilaterales. TIPO DE PRUEBA De auerdo a los plateamietos de los problemas se tiee 3 tipos de pruebas:. BILATERAL Plateamieto : ϕ ϕ vs : ϕ ϕ dode ϕ ualquier parámetro ( ) μ,, et, ϕ valor del parámetro 74

4 . UNILATERAL DERECA Plateamieto : ϕ ϕ vs : ϕ > ϕ 3. UNILATERAL IZQUIERDA Plateamieto : ϕ ϕ vs : ϕ < ϕ Nota.- El tipo de prueba lo sugiere geeralmete la hipótesis altera. PROCEDIMIENTO PARA DOCIMAR. Platear las hipótesis : ϕ ϕ vs : ϕ ϕ Bilateral : ϕ ϕ vs : ϕ > ϕ Uilateral Dereha : ϕ ϕ vs : ϕ < ϕ Uilateral Izquierda. Elegir el ivel de sigifiaió %, 5%, % si o se ooe se elige 5%. 3. Elegir el estadístio de prueba apropiado, ua distribuió muestral sea ooido, bajo el supuesto de que es ierto 4. Estableer la RC ó la RA (determiado los valores rítios: tablas) 5. Determiar o alular los valores de los estadístios de prueba 6. Comparar estos valores o la RC /o RA oluir si: El valor alulado RC rehazar aeptar El valor alulado RC aeptar rehazar El valor alulado RC aeptar rehazar Al ivel de sigifiaió. PRUEBA RELATIVA A MEDIA MUETRA GRANDE ( μ ) El estadístio de prueba es ; Z N(.) tambié se puede utilizar e reemplazo de uado o se ooe TIPO DE PRUEBA BILATERAL R.A (ACEPTAR Y RECAZAR ) : μ μ vs : μ μ Z Z ; UNILATERAL DERECA : μ μ vs : μ > μ Z ; UNILATERAL IZQUIERDA : μ μ vs : μ < μ Z R.A (RECAZAR Y ACEPTAR ) 75

5 U bao estudia la posibilidad de abrir ua suursal e la iudad de El Alto, para ello establee el siguiete riterio para tomar la deisió abrir la suursal si el igreso per ápita familiar o es meor a Bs. 5.- e otrario o abrir. Para ellor toma ua m.a. de igresos familiares, de esa iudad la que da ua media de Bs a) Cuál es la deisió a tomar al ivel del 5% de sigifiaió supoiedo que la desviaió típia de esa poblaió es de Bs. 5.- OLUCION Plateamieto: ) : μ 5 vs : μ < 5 48 : 5 : abrir la suursal No abrir la suursal ) 5%.5 ( μ ) 3) El estadístio de prueba es ; N(.) 4) La RC Z ;. 645 ;. 5 ( 48 5) 5) Calulado Z C 4 5 6) Comparado: Como Z -4 RC Rehazamos aeptamos, es deir o debe abrir la suursal al 5% de sigifiaió. PRUEBA RELATIVA A LA MEDIA: MUETRA PEQUEÑA <3 DE UNA VARIABLE O POBLACION NORMAL El estadístio de prueba es T ( ) μ t (<) g.d.l. TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y RECAZAR ) BILATERAL t t UNILATERAL DERECA UNILATERAL IZQUIERDA ; R.A (RECAZAR Y ACEPTAR ) t ; t e sabe que el igreso per ápita de u gra úmero de iudadaos, se distribue ormalmete o u promedio de $us. 5.- U estudio estadístio reiete ua m.a de 9 persoas de esa poblaió ha dado los siguietes resultados e $us.58, 54, 5, 56, 5, 5, 53, 55, 57. Al 5% de sigifiaia. a ambiado el igreso per ápita de ésa poblaió?. 76

6 OLUCION Plateamieto : μ 5 vs : μ 5 54 : abrir la suursal No abrir la suursal 5%.5 El estadístio de prueba es ( μ ) T. La RA t ; t t 975;8gdl. 36 RA.36 : ( 54 5) 9 Calulado T Comparado: Como T.99 RA aeptamos rehazamos, es deir el igreso per ápita ha ambiado al 5% de sigifiaió. PRUEBA DE IPOTEI OBRE DIFERENCIA DE MEDIA: MUETRA GRANDE ea v.a. ó poblaioes Y ( μ ) Y ( μ ) dode μ se desooe e quiere verifiar si eiste difereia sigifiativa etre las medias de las poblaioes ( )( μ μ ) El estadístio de prueba es ( ) Z N(.) + e puede utilizar e reemplazo de TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y R.A (RECAZAR RECAZAR ) Y ACEPTAR ) BILATERAL : μ μ vs : μ μ Z Z ; UNILATERAL DERECA : μ μ vs : μ μ > Z ; UNILATERAL IZQUIERDA : μ μ vs : μ μ < Z Para probar la afirmaió de que la resisteia de u alambre elétrio puede reduirse e más de.5 Ω (homios), mediate aleaió, 3 valores obteidos de alambre ordiario produjero:.36 M;. 4Ω 77

7 3 valores obteidos o alambre fabriado a base de aleaió produjeró.83ω. 5Ω e apoa la afirmaió al 5%? : μ μ.5 vs : μ μ >. 5 o se apoa la afirmaió e apoa la afirmaió.5 El estadístio de prueba ( ) ( )( μ μ ) Z RC Z > : [. ] ; tz. + m N(.) Z (.36.83) (.4) (.5) Como Z 9.54 RC Rehazar aeptar, es deir se apoa la afirmaió que la resisteia d e u alambre elétrio puede reduirse e más de.5 (homios). PRUBA DE IPOTEI OBRE LA DIFERENCIA DE MEDIA: MUETRA PEQUEÑA ea v.a. ó poblaioes X N ( μ ) Y N ( μ ) dode μ se desooe para verifiar si eiste difereia sigifi ativa etre las medias poblaioales mediate muestras aleatorias pequeñas <3 m<3 E l estadístio de prueba es ( ) ( ) ( μ μ ) m( + m ) t T :+m- gdl ( ) + ( m ) + m TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y R.A (RECAZAR RECAZAR ) Y ACEPTAR ) BILATERAL : μ μ vs : μ μ t t ; UNILATERAL DERECA : μ μ vs : μ μ > t UNILATERAL IZQUIERDA : μ μ vs : μ μ < ; t 78

8 Diez barras de aero fabriadas por u proeso A tiee ua fuerza de ruptura media de 5, o ua desviaió estádar muestral de ; muestras que 8 fabriadas por u proeso B, tiee ua fuerza de ruptura media de 55 o ua desviaió estádar muestral de. upoiedo que la poblaió de fuerzas de ruptura ormal o la misma desviaió estádar,... o u ivel de sigifiaia del 5% la hipótesis que los proesos produe aero de la misma fuerza e otra de la posibilidad que o es así. OLUCION : μ A μb vs : μ A μ B.5 El estadístio de prueba ( ) T ( A B ) m( + m ( ) + ( m ) + m A B ) RA t ; t.975 : t (6) Co T.965 9() + 7() 8 Como T RA aeptamos rehazamos, es deir o ha razo para reer que los proesos produe aero o fuerzas diferetes. PRUEBA DE IPOTEI OBRE LA VARIANZA P ara realizar la prueba de hipótesis para la variaza poblaioal se utiliza el estadístio de prueba ( ) ( ) Σ i X X (-) gdl TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y R.A (RECAZAR RECAZAR ) Y ACEPTAR ) BILATERAL : vs : X ; X UNILATERAL DERECA : vs : > i X > X ;( ) UNILATERAL IZ QUIERDA : vs : < i X > X ;( ) ( ) 79

9 Nota.- valor de variaza postulada Ua m.a. de objetos elegidos al azar etre los produidos e ierta plata idustrial ha mostrado los siguietes pesos e grs. 7, 66, 64, 7, 69, 67, 7, 68, 65, 69. Podrá aeptarse la hipótesis de que la variaza de los pesos de los objetos es igual a 4 grs al 5% de sigifiaió. upoiedo que la poblaió de los pesos tiee distribuió ormal. OLUCION : 4grs vs.5 : grs 4 El estadístio de prueba es Media 68. ( ) X : Desviaió.68 X (-) gdl RA(.7 : 9.) 9(.68) Como X Como X 5.5 RA (.7 ; 9.) aeptamos rehazamos, es deir la variaza es de 4 grs al 5% de sigifiaió. PRUEBA DE IPOTEI RELATIVA A VARIANZA Para realizar la prueba de hipótesis sobre la difereia de variazas de poblaioes que supuestamete tiee distribuió ormal, se utiliza el estadístio de prueba, la razó de variazas muestrales F F (-)(m-) gdl TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y RECAZAR ) BILATERAL : vs : f ( )( m ); f ( )( m ) R.A (RECAZAR Y ACEPTAR ) UNILATERAL DERECA : vs : > i F<f ;(-)m-) UNILATERAL IZQUIERDA : vs : < i F>f ;(-(m-) 8

10 Nota.- geeralmete se oloa e el umerador del estadístio la variaza más alta máquias A B produe idepedietemete el mismo tipo de artiulo uo peso es de importaia. La variaza de los pesos de A ha sido siempre igual a la variaza de los pesos de B, freuetemete se ha tomado ua m.a. de A otra de B obteiédose los siguietes resultados: muestra de A: 7, 3,, 8,,,, 9 muestra de B: 3, 6, 4,, 5, 4 preseta estos datos sufiiete evideia para oluir que la variaza de los pesos de A B a o so iguales? upoiedo poblaioes ormales use.5 Plateamieto : vs :.5 ˆ El estadístio de prueba es F F ˆ (7.5) RA f.5 7.5; f.5 ;7.5 f ; f.89;6. 85 ; F. 65 Como F RA aeptamos rehazamos, es deir que las variazas de la produió de A B so iguales al 5% de sigifiaió. e quiere determiar si eiste meos variabilidad e el plateado realizado por al CIA A que e el efetuado por la CIA B. i muestras aleatorias idepedietes de tamaño del trabajo desempeñado por las ompañías produe A.6 mil. Pruébese la hipótesis de que otra < o u ivel de sigifiaia del 5% OLUCION : vs : <.5 ˆ El estadístio de prueba es F F ˆ (-)(m-) La RA i F <f.5 ;, f.95 ::.8 8

11 Calular F ( ).6 (.35) 3.4 Como F 3.4>F.8 rehazar aeptar, por lo tato el plateado realizado por la CIA A es meor variable que el plateado efetuado por la CIA B al 5% de sigifiaió. PRUEBA RELATIVA A PROPORCIONE: MUETRA GRANDE Para efetuar la prueba sobre ua proporió e base a muestras grades que...de poblaioes Biomiales se utiliza el estadístio: Z p pˆ p Z N(,) dode p q pq p ˆ M TIPO DE PRUEBA R.A (ACEPTAR Y RECAZAR ) BILATERAL : ρ ρ vs : ρ ρ Z Z ; UNILATERAL DERECA : ρ ρ vs : ρ > ρ Z ; UNILATERAL IZQUIERDA : ρ ρ vs : ρ < ρ () Z Nota.- ρ valor de la proporió postulada R.A (RECAZAR Y ACEPTAR ) U fabriate afirma que el poretaje de osumidores de su produto es del 3%. Co el fi de evaluar ésta afirmaió, se tomó ua m.a. de 4 osumidores se eotró que prefiere el produto. Es ésta sufiiete evideia para oluir que el poretaje de prefereia del atiguo produto ha ambiado al % de sigifiaió? OLUCION : ρ.3 vs : ρ. 3. ˆ ρ. 5 4 El estadístio de prueba Z pˆ p Z N(,) pq 8

12 RA Z Z Z ; Z.575 :. 575.; Como Z. 834 (.3)(.7) 4 Comparado Z RA aeptamos rehazamos ; es deir el poretaje de prefereia de osumidores para el produto o ha ambiado al % de sigifiaió E u estudio diseñado para ivestigar si iertos detoadores empleados o eplosivos e ua mia de arbó umpla o los requerimietos de que al meos el 9% eederá el eplosivo al ser detoado se eotró que 74 de detoadores fuioa adeuadamete. Probar la hipótesis de que ρ. 9 otra ρ <. 9 al 5% de sigifiaió. OLUCION : ρ. 9 vs : ρ < ˆ ρ. 87 RC Z : Z :. 645 : Como Z. 44 (.9)(.).33 Comparado -.44 RC aeptamos rehazamos ; es deir o ha razó para afirmar que la lase determiada de detoador o umple o las ormas espeifiadas al 5% de sigifiaió. 83