Consumer theory: preferences and utility

Transcripción

1 MPRA Much Persoal RePEc Archve Cosumer theory: prefereces ad utlty Eloy Ávalos Uversdad Nacoal Mayor de Sa Marcos, Isttuto de Estudos Socales del Rímac 4. November 200 Ole at MPRA Paper No , posted 25. August :24 UTC

2 CIECC Cetro de Ivestgacoes Ecoómcas Documeto de Trabajo Nº 5 La Teoría del Cosumdor: Preferecas y Utldad por Eloy Ávalos Novembre 04, 200 Isttuto de Estudos Socales del Rímac Lma, Perú

3 LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR: PREFERENCIAS Y UTILIDAD Eloy ÁVALOS Uversdad Nacoal Mayor de Sa Marcos e IESR Prmera versó: Novembre 200 Resume La teoría del cosumdor es u caso partcular de la teoría de la eleccó. E este documeto se eplorará las proposcoes fudametales que eplca el comportameto de u agete cosumdor y luego se epresará e térmos de la fucó de utldad. Así, el cocepto de utldad está dvorcado de algua carga flosófca y étca, sedo smplemete ua fucó matemátca que satsface certas propedades, tal que los valores obtedos co ella so u ídce que represeta muy be el orde de las preferecas del cosumdor. Número de Clasfcacó JEL: D0, D. Palabras Claves: Relacó de prefereca débl, dfereca, prefereca fuerte, fucó de utldad. Abstract The cosumer s theory s a partcular case of the theory of choce. Ths paper wll eplore the fudametal propostos that epla the behavor of a cosumer aget ad the be epressed terms of the fucto of utlty. Thus, the cocept of utlty s dvorced of ay phlosophcal ad ethcal burde, beg smply a mathematcal fucto that satsfes certa propertes, such that the values obtaed wth t are a de that represets very well the order of preferece. Clasfcato Number JEL: D0, D. Key Words: Weak preferece relato, dfferece, strog preferece, fucto of utlty. Cotacto: Departameto de Ecoomía, Uversdad Nacoal Mayor de Sa Marcos, Lma 0, Teléfoo Aeo 220; y Cetro de Ivestgacoes Ecoómcas del Isttuto de Estudos Socales del Rímac, Pueblo Lbre. Emal: eavalosa@umsm.edu.pe. [2]

4 . INTRODUCCIÓN El cosumdor es aquel agete que posee u pla o ua caasta deseada de cosumo y que para hacerlo efectvo debe superar dos tpos de restrccoes; restrccoes a pror, como las de tpo fsológco, 2 y además la restrccó dada por los precos y la rqueza dvdual. Etoces, u cosumdor es aquel agete que elge ua coleccó de catdades de bees, tal que esta caasta es estrctamete preferda o equvalete a algua otra caasta posble (alcazable) EL CONTEXTO DE ELECCIÓN Trabajaremos sobre u espaco de cosumo, X, dmesoal (ortate o egatvo). 4 Supodremos que el cosumdor puede elegr todos los bees que forma parte de su espaco de cosumo, ya que supoer que sólo puede elegr etre u úmero de bees k, meor a, deja s eplcacó justamete lo que la teoría desea eplcar, el por qué el cosumdor elge tal o cual caasta de cosumo de bees y o otras. 5 Esto lo plateamos medate el aoma sguete, Aoma X =R Las mplcacas de este aoma se desprede de las propedades que tee R. Así, este aoma os dce que el cojuto de cosumo es u espaco co dvsbldad cotua. 6 Así, cada apla de R, = ( ),,, 2, se detfca co u pla de 2 Quzás o a todos os cae be u plato sete colores. 3 La ocó de ser alcazable costtuye u prmtvo de la teoría geeral de la eleccó. E la teoría del cosumdor, smplemete gaa especfcdad. Ver ÁVALOS (200: pp. 5 y 2). 4 Trataremos de esclarecer alguas propedades e el plao bdmesoal, R 2. 5 Así, alguos autores, como Walsh sostee que el cojuto de cosumo es u subespaco de R. Se auca como aoma para el cojuto de cosumo que este X l R. Ver WALSH (974: p. 6). 6 Dada la cardaldad de las catdades de los bees, el tratameto de R es el de u espaco euclídeo. Es decr, para el cosumdor, la dfereca etre las catdades de los msmos bees que coforma ua caasta es de terés. Esto supoe que debemos trabajar el espaco de cosumo dode esta ua métrca que mda la dstaca etre ua apla y otra. [3]

5 cosumo. Por otro lado, també os dce que el cojuto de cosumo, es u cojuto coeo PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR Etoces, el espaco de cosumo que efreta el cosumdor ésmo es R, y sobre él, el cosumdor defe su relacó de prefereca, que se lee:... es al meos ta preferdo como.... Esta relacó de prefereca se deoma relacó de prefereca débl. La relacó de prefereca débl preseta certas propedades que determa el carácter que asummos sobre la coducta ecoómca del cosumdor. Estas será plateadas por los sguetes aomas: Aoma 2 (Comparabldad), R, Esta propedad os dce que el ésmo cosumdor, tomado las alteratvas de cosumo de par e par, cosderará que ua de ellas es al meos ta preferda como la seguda, o que la seguda será al meos ta buea como la prmera o que cosdera ambos casos a la vez. Es decr, el ésmo cosumdor es capaz de ordear todo su espaco de cosumo. No este algua caasta e el espaco de cosumo que el ésmo o sepa ordearlo. 8 Aoma 3 (Trastvdad) ( ),, ˆ R, ˆ ˆ Esta propedad señala que el ésmo cosumdor es cosstete e sus preferecas, tal es así, que s cosdera que ua prmera alteratva es al meos ta preferda como ua seguda y esta seguda alteratva es al meos ta preferda como ua tercera; etoces la prmera alteratva será al meos ta preferda como la tercera. Esto quere 7 Se dce que u cojuto aberto A R, dode R es u espaco métrco, es coeo s o este dos cojutos abertos o vacíos A y A 2 tales que A A 2 = y A A2 = A. 8 Este aoma ega la posbldad lógca de que ocurra. [4]

6 decr que el ésmo cosumdor o presete coherecas e la ordeacó de los plaes de cosumo. Este aoma mplca la esteca de acclcdad. 9 Las propedades de complettud y trastvdad de las preferecas del ésmo cosumdor establece sobre el espaco de cosumo R u pre orde completo débl. 0 Ua represetacó gráfca, para R 2, dode se represeta las sguetes ordeacoes y ˆ etre otras que este (que so ftas), sería tal como sgue: B2 2 2 = ˆ 2 2 ˆ = ˆ B Ahora, e base a estos dos aomas de la prefereca débl vamos a defr las relacoes de dfereca y de prefereca estrcta. 3. Idfereca ( ), R, 9 S embargo o es váldo afrmar que la acclcdad mplca trastvdad. Las preferecas débles so acíclcas s,,,, ɺɺɺɺ R verfca, ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ. ɺɺɺɺɺɺɺɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ Por otro lado, co el aoma de trastvdad descartamos stuacoes dode el agete cosumdor preseta umbrales e su percepcó y que podría coducr a stuacoes dode se vole la trastvdad. Así, e uestra teoría, el agete cosumdor es todopoderoso, todo lo ve, todo lo percbe. 0 No se puede teer ua ordeacó completa del espaco de cosumo dado que la relacó de prefereca débl o es at smétrca. Es decr, esta relacó o verfca la propedad, ( ), R, =. [5]

7 Es decr, el ésmo cosumdor cosderará que dos alteratvas le so dferetes s cosdera que la prmera alteratva es al meos ta preferda como la seguda y la seguda es la meos ta preferda como la prmera alteratva. La relacó de dfereca ( ) es refleva, trastva y smétrca; por tato es ua relacó de equvaleca. Por tato, dado que la relacó de dfereca es ua relacó de equvaleca, esta relacó partcoa el espaco de cosumo R e clases de equvaleca, I, de tal maera que I R. 2 Así teemos que se cumple: - R, ( ). Esto quere decr que o puede estr algua clase de I equvaleca que o cotega caasta algua. 3 De otra forma, toda caasta del espaco de cosumo perteece a algua clase de equvaleca. - ( ) = R I. Dado el aoma de comparabldad, y dado que toda caasta del R espaco de cosumo perteece a algua clase de equvaleca; etoces, la uó de éstas da el espaco de cosumo. -, R, I ( ) I ( ) =. Es decr, o puede estr e el espaco de cosumo algua caasta que perteezca a la vez a dos clases de equvaleca dferetes. Caso cotraro, cotradecría la premsa de que las caastas y o so equvaletes etre sí, volado la propedad de trastvdad de la relacó de dfereca. -, R, I ( ) I ( ). S para el ésmo cosumdor dos caastas dferetes so dferetes etre sí, etoces las clases de equvalecas asocadas a cada ua so el msmo cojuto. Ver ÁVALOS (Ob. Ct.: p. 8). 2 Ua clase de equvaleca se defe como, I ( ) = { R : } [6]. U caso etremo, que descartamos, sería el que todas las coleccoes del espaco de cosumo so parte de ua msma clase de equvaleca. E ese setdo, ua clase de equvaleca es u subcojuto propo del espaco de cosumo. 3 Recuérdese que la relacó de dfereca cumple la propedad de reflevdad, por lo que ua caasta cualquera del espaco de cosumo es dferete a sí msma.

8 3.2 Prefereca estrcta ( ), R, E este caso, cuado el cosumdor cosdera que ua caasta es al meos ta preferda como otra pero esta últma o dferete a la prmera caasta; etoces afrmamos que el cosumdor cosdera a la prmera caasta estrctamete preferda a la seguda caasta. Ua represetacó gráfca e R 2, dode y, se tee: ˆ B2 ˆ 2 2 = 2 2 ˆ I y ( ˆ ) = { ˆ, } Dode ( ) = {, } I. = ˆ B Por otro lado, defda la relacó de prefereca estrcta, se establece sobre el espaco de cosumo partcoado por la relacó de dfereca ( R ) ua ordeacó completa y fuerte de las alteratvas de cosumo. 4 Así teemos que ( ) , R, I I I I I I I I. Por tato, del gráfco ateror sería posble obteer I ( ) I ( ). E la teoría del cosumdor, debemos especfcar (restrgr) la maera como el agete ordea las opcoes (caastas) de su espaco de eleccó. Para ello, debemos agregar otros aomas adcoales. Además, otaremos que estos aomas está codcoados a que uestro espaco de cosumo sea R. 4 Ya que ahora s se verfca la at smetría. [7]

9 Aoma 4 (Cotudad) ( ) y PI ( ) R, MI so cojutos cerrados, dode cada cojuto se defe como MI ( ˆ ) = { R : ˆ } y PI ( ˆ ) = { R : ˆ }. Este aoma de cotudad os dce que s dos caastas cualesquera del espaco de cosumo, y, tee para el ésmo cosumdor, la sguete relacó ; etoces, toda caasta que perteece a la vecdad de, como, verfcará la relacó. Asmsmo, toda caasta que perteezca a la vecdad de, como ˆ, verfcará la relacó. ˆ 5 Es decr, la relacó de prefereca estrcta etre dos caastas o se ve alterada s varía para cualquera de las caastas, las catdades de los bees, e ua magtud pequeña. El cumplmeto de este aoma y del aoma, os permte represetar gráfcamete ua posble partcó del espaco de eleccó e los cojutos ( ˆ ) = { R : ˆ } y P ( ˆ ) = { R : ˆ } MI espaco de cosumo e R 2 :. Represetado la partcó del B2 ( ˆ ) MI ˆ ( ˆ ) P B 5 Esto presupoe que esta ua vecdad para cada caasta. Ua vecdad de R se defe como, el cojuto V que cotee ua bola cerrada de cetro y rado ρ R. Luego, ua bola aberta deotada Bρ ( ), se defe como el cojuto Bρ ( ) = R : d(, ) < ρ, para [8] { } R ρ R, dode d (, ) es la fucó de valor real deomada métrca. Esta puede ser la dstaca euclídea, d(, ) = ( k k ) 2 2. Ver HORVÁTH (969: p. 5). k=

10 Luego, geeralzado se deduce las mplcacas sguetes: - R, MI ( ) PI ( ) = I ( ). - R, MI ( ) PI ( ) R =. - R, ( ) es u cojuto cerrado y coeo. 6 I Nótese e la represetacó, que la gráfca de ( ˆ ) los putos frotera de P ( ˆ ) y de ( ˆ ) I es aquella curva coformada por M y costtuye lo que llamamos como curva de dfereca. 7 Así, la curva de dfereca es la represetacó gráfca de u cojuto de dfereca (clase de equvaleca) e R 2, estado costtudo por caastas o alteratvas que para el ésmo cosumdor so dferetes o equvaletes etre sí e la ordeacó de sus preferecas. 8 Aoma 5 (Covedad estrcta) ( ) ( ), R, λ 0,, λ λ 9 Esto quere decr que el ésmo cosumdor prefere caastas o alteratvas que tega más catdades de los bees a caastas que tega más de u be y cas ada del resto de bees. Es decr, las caastas más combadas so estrctamete preferdas a las caastas especalzadas. 6 U cojuto I R es cerrado, s, y sólo s I = I. Dode I es la cerradura (adhereca) de I, sedo la cerradura el cojuto de aquellos putos adheretes R al cojuto I, que a cada vecdad de cotee por lo meos u puto de I. Así, los putos adheretes a u cojuto so los putos terores y los putos frotera del cojuto referdo. Ver HORVÁTH (Ob. Ct.: p. 53). 7 Sea MI R R, V ( ): V MI, u puto es u puto frotera de MI s toda vecdad de cotee putos que perteece a MI y putos que o perteece a MI. Ver HORVÁTH (Ob. Ct.: p. 52). 8 Por lo costrudo hasta el mometo, o podemos afrmar que las curvas de dfereca so [aquellas curvas] que ue todos aquellos putos que correspode a la msma altura e la tercera dmesó, es decr, a la msma utldad total. Luego se añade, Ahora be, esto o sgfca que, s algue tee algú fudameto para supoer que este algua medda cuattatva adecuada de la utldad, o la satsfaccó, o deseabldad, e el argumeto epuesto haya ada que se opoga a ella. S se es utltarsta e flosofía hay perfecto derecho a serlo e ecoomía. Pero s o se es (y hoy so pocos los utltarstas) també se tee derecho a ua ecoomía lbre de supuestos utltarstas. Ver HICKS (945: pp. 6 y ). 9 Otra forma equvalete de eucar este aoma sería, R,, ˆ MI ( ) λ ( 0, ), λ ( λ) ˆ ItMI ( ). [9]

11 Este aoma de las preferecas es mucho más estrcto que supoer que las preferecas so coveas déblmete. S embargo, como veremos más adelate, el aoma 5, es ua codcó ecesara para trasformar el problema de eleccó del cosumdor a uo que smplemete cossta e optmzar (ecotrar u mámo). Ua represetacó gráfca e R 2 de este aoma, dode, sería: B2 MI ( ) λ ( λ) P ( ) B Como se observa e la gráfca, aú la curva de dfereca o toma la forma coocda como fue mostrado por la teoría de la utldad ordal desarrollada por Joh Hcks y R. G. D. Alle. 20 Necestamos para ello de otro aoma. Aoma 6 (Mootoocdad), R,, dode > k =,2,,. k Esta propedad os dce que para el ésmo cosumdor, cuato más mejor. Es decr, para él las alteratvas o caastas que cotega ua mayor catdad de todos los bees será estrctamete preferdas a las caastas que cotega ua meor catdad de cada uo de los bees. Así, relajado este aoma, també podemos afrmar que aquellas caastas que cotega ua mayor catdad de al meos uo de los bees y la msma catdad para el resto de bees respecto a otras caastas, esta caasta també será estrctamete preferda. Represetado este aoma e R 2, se tee: k 20 Ver HICKS y ALLEN (934: pp ). [0]

12 B2 2 MI ( ) 2 B Aoma 7 La clacó de I ( ) es úca e cada caasta. Co este aoma se asegura que la curva de dfereca sea represetada por ua fucó que sea dferecable (o sea, C ) e cada puto a lo largo de ella. 3.3 Implcacoes La covedad estrcta mplca que los cojutos M y MI so cojutos coveos. 2 Asmsmo, las curvas de dfereca o puede ser gruesas. Es decr, debe verfcarse que R,It ( ) =. 22 Además, o puede presetar tramos leales, por lo que se I tee, R λ ( 0, ), λ ( λ) I ( ). Por otro lado, de la mootoocdad se deduce que el cosumdor posee preferecas o sacables. 23 Es decr, e el espaco de cosumo, sempre estrá ua caasta que es más preferda sobre otra. Las curvas de dfereca o puede teer la forma de herradura cerrarse sobre sí msmas. 2 Por otro lado, u cojuto MI R es coveo sí, y sólo s,, MI λ [ 0,], se verfca λ ( λ) MI. Ver MADDEN (987: p. 25). Defcó que també puede utlzarse para establecer el aoma 5, tal como lo hemos eucado e la ota úmero Implcaca que també se desprede del aoma de mootoía (aoma 6). 23 Alguos autores, establece como aoma de las preferecas del cosumdor, o la mootoocdad so la sacabldad. S embargo, debemos mecoar que este últmo es ua codcó ecesara para la mootoocdad más o sufcete. []

13 La propedad de sacabldad, es aquella que se puede defr de dos formas, No sacabldad (global) R, R :. Luego, la covedad estrcta y la o sacabldad global mplca la o sacabldad local, que se defe a cotuacó como, No sacabldad (local) Bρ ( ) R ρ R, : La o sacabldad local mplca la o sacabldad global. 24 La cotudad, la covedad estrcta y la mootoocdad mplca que todos los 2 bees so deseables. Así, sea los vectores utaros e = (,0,,0), e = ( 0,,,0) k e = ( 0,,,,0). Luego, el be k será u be deseable para el cosumdor ésmo, sempre que: k ( ) R γ R, γe. Podemos teer casos dode este mootoocdad pero los bees volucrados o so deseables. Como e el caso de preferecas ate bees perfectamete complemetaros, bajo las codcoes aterores, dode ( e ) γ k. S la relacó de prefereca débl ( ) es completa, trastva, cotua y moótoa; etoces se verfca: Mootoocdad débl, ˆ R, > ˆ ˆ Dode ( ),, > ˆ ˆ ˆ k =,2,,. Es decr, so caastas que tee k k catdades mayores e guales de los bees, descartádose las caastas que tega las msmas catdades e todos los bees. E otras palabras, mootoocdad presupoe que todos los bees so deseables. 24 La o sacabldad o mplca que el cosumdor pueda o sacarse de u be e R, lo que os está dcedo es que o puede sacarse e todos los bees. [2]

14 Por otro lado, s la relacó de prefereca débl ( ) es completa, trastva, cotua, estrctamete covea y moótoa; etoces so preferecas regulares. Las curvas de dfereca de este tpo de preferecas preseta las sguetes característcas: - Tee pedete egatva. Esto derva del aoma de mootoocdad de las preferecas y el aoma Para R 2 : d2 = TMgS d La terpretacó que tee la pedete de la curva de dfereca (tasa margal de susttucó) es la sguete: epresa la catdad máma de B 2 que el ésmo cosumdor estaría dspuesto a sacrfcar o ceder para poder obteer ua udad de B a cambo. Justamete el sgo egatvo de la tasa de cambo dca la dsyutva que efreta el cosumdor e su eleccó, etre reucar ua catdad de u be y obteer más de otro be, dada la relacó de preferecas que posee. 26 Nótese que el ésmo cosumdor está e la capacdad de determar cuátas udades de B 2 está dspuesto a reucar para obteer ua udad de B, e cada vel de B. Esto mplca que la curva de dfereca es dferecable, lo que es posble gracas al aoma Alguos autores elma la mposbldad de obteer la pedete de la curva de dfereca supoedo el aoma 7. Ver SEGURA (986: p. 40). 26 Evdetemete o podemos dar ua defcó de la tasa margal de susttucó apelado a la utldad margal, dado que este cocepto aú o ha sdo cotemplado e uestro aálss. Al respecto, se señala: Lo mportate es que las razoes de las utldades margales, y o las utldades margales msmas, so las que determa las curvas de dfereca y el comportameto. Y luego se añade: Es por esto que la utldad margal decrecete del greso o de las mercacías o se puede ferr de las seleccoes del cosumdor. Ver BECKER (977: p. 76). 27 S el aoma 7, podríamos teer ua curva de dfereca cotua pero o ecesaramete dferecable. Lo que presupoe que el cosumdor, para u vel dado de B, o puede determar su tasa margal de susttucó, TMgS 2. El argumeto es gualmete váldo para la TMgS 2. [3]

15 - So coveas al orge. Esta característca també se derva del aoma de covedad estrcta y de mootoocdad de las preferecas. 28 Esto equvale a eucar que la pedete para cada caasta de ua curva de dfereca camba y que coforme el ésmo cosumdor posea más catdad de u be, la valoracó que hace de este be e térmos de otros, es cada vez meor. Es decr, la tasa margal de susttucó es decrecete. Así teemos, dtmgs d 2 < 0 Es decr, e la medda que el cosumdor dspoe de ua mayor catdad de B, la valoracó segú sus preferecas que hace de cada udad, medda e udades de B 2, será cada vez meor. E térmos algebracos, esta va crecedo, ya que toma valores egatvos cada vez meores. 4. EL CONJUNTO PRESUPUESTARIO La restrccó que tee el ésmo cosumdor está determada por su greso o valor moetaro de su rqueza ( m >0). Por otro lado, se tee los precos de los bees que el cosumdor ésmo toma como dadas del mercado, = ( p p p ) dode ( R ) restrccó: φ p, 2,,, p 0 p. Etoces la caasta que adquere el cosumdor estará sujeta a la p = p m k= k k Así, las caastas que cumple el requsto ateror defe el cojuto presupuestaro ( m ) p, que se defe como:, 28 Muchas veces se cofude esta característca co la propedad que posee las preferecas señalado por el aoma 5. Así, las preferecas puede ser estrctamete coveas y sólo esta codcó o mplca que las curvas de dferecas sea ecesaramete coveas haca el orge. Asmsmo, esta propedad ada e absoluto tee que ver co el vejo prcpo eoclásca de la utldad margal decrecete. [4]

16 ( p, m ) { R : p m 0 } φ = Se etede este cojuto como el cojuto de caastas o alteratvas que perteece al espaco de cosumo, tal que su costo moetaro es meor al valor moetaro de la rqueza del ésmo cosumdor y que so estrctamete postvas. El cojuto presupuestaro se puede defr a través de la ua relacó de correspodeca, la cual tee certas propedades mportates. Se platea la relacó de correspodeca presupuestara: φ ( p, ): m Que preseta las sguetes propedades: - Es homogéea de grado cero e ( m ) ( p m ) ( p m ) λ R, φ λ, λ = φ, - φ ( m ), - φ ( m ) p,, R R p es u cojuto o vacío y coveo. p es u cojuto cerrado y acotado., Estas propedades las plateamos e el sguete aoma, 29 Aoma 8 ( ) R, p m ˆ p ˆ m ˆ ˆ Así, co este aoma evtamos cojutos alcazables dode el agete cosumdor o pueda determar su o sus mejores caastas. E térmos formales, este aoma es ua codcó ecesara más o sufcete para trasladar el problema de eleccó del cosumdor al campo de la optmzacó (e este caso, la búsqueda de u mámo). Además de estas propedades la relacó de preferecas debe satsfacer certas propedades formales. E R 2, gráfcamete: 29 Esto o vee a ser más que ua modfcacó del aoma 7 de la teoría geeral de la eleccó. Véase ÁVALOS (Ob. Ct.: p. 3). [5]

17 B2 Cojuto presupuestaro φ ( pm ), p p22 m Restrccó presupuestara B Hagamos u aálss e φ 2 p, p, m, s R 2 de la mplcaca de esta propedad. Sea ( ) λ = p 2 se tee que: p m φ,, = Φ θ, p2 p2 [6] ( r ) Dode θ 2 es el costo relatvo (preco relatvo) de B e térmos de udades de B2 y r 2 es el greso real meddo e térmos de udades de B2. Ambas varables defe el cojuto alcazable, la capacdad de compra del valor moetaro de la rqueza. Es decr, el cojuto presupuestaro o está defdo por varables omales, so por varables reales. Así, ua modfcacó del costo relatvo, ceters parbus; ya sea por la modfcacó de sólo uo de los precos o de todos pero de forma equproporcoal, collevará a u cambo del cojuto de posbldades de cosumo. Esto gráfcamete sería u gro o u traslado o paralelo de la recta presupuestara. Por otro lado, u cambo e el greso real, ceters parbus, debdo a ua varacó del greso moetaro del cosumdor, tedrá u efecto drecto sobre las posbldades de cosumo. Este cambo se represeta co u traslado paralelo de la recta presupuestara, al msmo costo relatvo de los bees. 2 2

18 5. DE LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR Dado el espaco de cosumo, las preferecas del ésmo cosumdor está formuladas a partr del prmtvo... es al meos ta preferdo como..., deotado como. Pero, del aoma al aoma 8, o este gua proposcó que haga refereca a la eleccó del ésmo cosumdor. Por esta razó troducremos, sedo coheretes co la teoría geeral de la eleccó, dode se hace uso de otro prmtvo mportate, ser elegdo. 30 caasta Así, debemos dferecar la stuacó e la que el ésmo cosumdor prefere la Aoma 9 de aquella dode él elge. ( E m ) ( E ) ( m E ), R, p p > Este aoma os dce que el ésmo cosumdor elge aquellas caastas cuyo costo sea gual o meor a su greso moetaro y que o sea preterdas por otra, o o es certo que el ésmo cosumdor elge caastas cuyo costo es mayor a su greso moetaro. 6. DE LAS PREFERENCIAS A LA FUNCIÓN DE UTILIDAD Trabajado sobre u espaco de cosumo defdo por R, e el que se ha defdo la relacó de prefereca débl ( ) y luego la relacó de dfereca ( ) partcoar dcho espaco e clases de equvaleca (cojutos de dfereca). ha permtdo Luego, co la relacó de prefereca fuerte ( ) se puede ordear las clases de equvaleca I, I R. E otras palabras, las clases de equvaleca será jerarquzadas u ordeadas segú las preferecas del cosumdor. Así falmete, podemos establecer ua relacó de orde dode a cada clase de equvaleca se le hace correspoder u úmero real Ver ÁVALOS (Ob. Ct.: p. 2). 3 Recuérdese que cada caasta correspode a ua y sólo a ua clase de equvaleca. [7]

19 6. Fucó de utldad Sea u : R R ua fucó matemátca que represeta la relacó de prefereca débl ( ), que es completa, trastva, cotua y moótoa; tal que ( ) u ( ), R, u. Lo que teresa o es el valor e sí de u ( ), so que se verfque que, R, u ( ) u ( ) R. Es decr, la fucó de utldad es ua represetacó ordal de las preferecas del cosumdor, por tato, aquí o tee ua dmesó cardal. 32 Acerca de u ( ) se puede afrmar tres cosas: - u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) > ˆ ˆ = ˆ ˆ. Esta propedad está relacoada a los aomas, 2 y 3. - u ( ) debe ser ua fucó cotua y dferecable, al meos C y 2 C. Esta propedad se relacoa a los aomas 4, 5, 6 y 7. Faclta la troduccó de téccas matemátcas para poder optmzar Sea F : R R ua fucó estrctamete crecete, etoces se puede teer ua fucó compuesta tal que F u ( ) > F u ( ) u ( ) > u ( ). Es decr, la fucó de utldad es moótoamete crecete. Esta propedad devee del aoma Así, desprovsta la utldad de la cardaldad, el cocepto de utldad margal carece de setdo, tal como lo formulaba ecoomstas eocláscos del sglo XIX, como Alfred Marshall. Al respecto se señala: La utldad se cosdera como correlatva del deseo o ecesdad. Además se añade: La utldad total de ua cosa para ua persoa (es decr, el placer total u otro beefco que le produce) crece co cada aumeto de las estecas que de dcha cosa posee la persoa aludda, pero o co la msma rapdez. S su stock aumeta e ua proporcó uforme, el beefco dervado aumeta e ua proporcó decrecete. Ver MARSHALL (957: pp. 8 82). 33 k u ( ) kl Así podemos obteer de la fucó de utldad, u ( ) = y u ( ) [8] k 2 ( ) u = para los bees k, l =,2,,. La prmera ecuacó es coocda como la utldad margal. 34 El valor real que se obtega para cualquer caasta del espaco de cosumo, ya sea co u ( ) o F ( ) es rrelevate. Lo que teresa es que los valores reales que de, sea coheretes co la k l

20 - Es estrctamete cuas cócava. Esta propedad de la fucó de utldad se derva del aoma 5. Así, se tee que para las fucoes estrctamete cuas cócavas el { } cojuto R : u ( ) u, u R es coveo. 35 Por tato, debemos precsar que la presete teoría la fucó de utldad u ( ) geera valores que so smplemete ídces umércos, sus valores por sí msmos carece de terpretacó (o tee udades); teresado sólo que los valores que geera para cada caasta de cosumo traduzca la relacó de prefereca. 36 Por tato e este efoque, la ocó de utldad, mucho meos mplca algú cotedo pscológco del cosumdor. Ahora, precsado el papel de la fucó de utldad; etoces para ua curva de dfereca cualquera del espaco de cosumo, como ( ˆ ) I, le correspoderá ua tasa margal de susttucó cada vez meor e medda que dspoe más de B. Así, s TMgS u = u 2 2, luego se tee: 2 2 u u 2 u 2 u 22 2 u u dtmgs d d = < 0 d u u d u u d ordeacó de las preferecas. Así, s ( ) = F Fu u = = = TMgS F Fu u ( ) ( ) df F F u, dode F > 0; etoces dervaremos que, du. Por tato, las curvas de dfereca so las msmas, así se eprese medate la fucó de utldad orgal u ( ) o su trasformacó moótoa crecete F ( ). u 35 Así, ua curva de dfereca o es más que la represetacó gráfca del cojuto cotoro superor, para u valor de la fucó de utldad. Luego podemos dervar la pedete de la curva de dfereca, tomado el par de bees B y B 2 para u valor real dado de la fucó de 2 d2 u utldad u = u (, 2 ), se tee: 0 = ud ud2 = 2 d u [9] u 2 2 susttucó equvale a ua utldad margal relatva, TMgS = u.. Así, la tasa margal de 36 Al respecto: If total utlty s ot quattatvely defable, ether s margal utlty. But the theory of value does ot eed ay precse defto of margal utlty. What t does eed s oly ths; that whe a dvdual's system of wats s gve, ad he possesses ay gve set of goods, X, Y, Z,... we should kow hs margal rate of substtuto betwee ay two godos. Ver HICKS y ALLEN (Ob. Ct.: p. 55).

21 d2 u Y como se sabe que = 2 d u ; etoces, u u dtmgs2 u u u u u u = < 0 d u u u u 2 2 ( u ) ( u ) Smplfcado, ( ) ( ) 22 ( ) ( ) u u u u u u u d u u u u dtmgs = < 0 Quedado, dtmgs d 2 2 ( u ) ( ) u u u u u u u ( u ) = 0 3 u u < 2 2 Por el teorema de Youg, u = u, etoces, dtmgs d 2 2 ( u ) ( ) u u u u ( u ) = u u < 2 Luego, dado la propedad de mootoocdad, etoces se sabe que u > 0. Por tato, que la tasa margal de susttucó sea decrecete mplca que, ( ) u uu u ( u ) u u 2 0 < 22 Y tal como observamos esto es depedete de los valores u y u. Así, de la coducta del cosumdor o se fere absolutamete ada acerca de la utldad margal decrecete, tal como sosteía los eocláscos de fes del sglo XIX; Marshall, Walras, Jevos, Meger, etc. Por otro lado, esta codcó mplca que la fucó de utldad que represeta las preferecas regulares o puede ser cualquer fucó para cuado se utlce las téccas de optmzacó. Esta fucó debe ser estrctamete cuas cócava, como [20]

22 mecoamos aterormete, por lo que se ege que el hessao de dcha fucó correspoda a ua matrz defda egatva. 37 Teorema (Esteca de ua fucó de utldad) S la relacó de prefereca... al meos ta preferdo como... ( ) es completa, trastva, cotua y moótoa, defda sobre R ; etoces este ua fucó matemátca cotua que la represeta. E R 2 teemos la posbldad de ua fucó de utldad dada por el valor de ua fucó que arroja u valor détco a la dstaca desde el orge (la peor caasta del espaco de cosumo, 0 = ( 0,0) ) y la poscó de la caasta referecal,. Es decr, ( ) (, 2 ) d = 2 = u ubcada sobre u rayo determado. 38 Gráfcamete, otamos que, dadas los aomas de las preferecas, el rayo corta ua sola vez a cada curva de dfereca, por lo que a cada ua de ellas le hace correspoder u valor, este justamete es d. 39 B2 2 d B 37 Trataremos este puto co mayor detalle cuado os ocupemos del equlbro del cosumdor y sus mplcacas para la estátca comparatva. 38 Como mecoamos e la ota úmero 5, esto es posble dado que el espaco de cosumo es u espaco eucldeao. 39 Por ejemplo, s las preferecas o fuese fuertemete moótoas; etoces sería posble teer curvas de dfereca tpo herradura, por lo que sería posble que el rayo corte cada curva de dfereca dos veces, otorgádole así, a cada clase de dfereca dos valores dferetes. [2]

23 6.2 Propedades de la fucó de utldad Fucó de utldad moótoamete crecete u, R, : R R, se verfca u ( ) > u ( ). Esta es ua epresó drecta de la propedad de mootoocdad de las preferecas del cosumdor. Fucó de utldad estrctamete cuas cócava, R, u u : R R, se verfca u θ ( θ) > m u ( ), u ( ), θ ( 0,). Esto es ua cosecueca de supoer que las preferecas del cosumdor so estrctamete coveas. Fucó de utldad homogéea se tee que θ r u ( ) = u ( θ ) R θ R. Ua fucó de utldad homogéea represeta u tpo de preferecas, llamadas preferecas homotétcas. La relacó de prefereca débl ( ) es homotétca s y sólo s,, ˆ R α, ˆ α αˆ. R Luego, para R se tee dferetes clases de fucoes de utldad, como, u ρ ρ ( ) kk k k= k= = α ; α = Esta fucó de utldad se le cooce como la fucó de utldad CES; 40 de dode se tee que los sguetes casos etremos: ρ, u = m α - ( ) { k k} k= Π k k= k=, coocda como fucó de utldad de Leotef. α - ρ 0, u ( ) = k ; α =, coocda como fucó de utldad Cobb Douglas. També teemos las fucoes de utldad: k 40 Fucó de utldad co elastcdad de susttucó costate. Su ombre provee de su traduccó al glés, costat elastcty susttuto, C. E. S. [22]

24 - u ( ) = α k= k k, llamada fucó de utldad leal (cuado el cosumdor cosdera que los bees so perfectos susttutos). - u ( ) = α v (,,, ) ( ) ( ) α k k= k k k k k=, coocda como fucó de utldad cuasleal. u =, α = = cte. k =,2,,. Llamada fucó de utldad Stoe Geary. E cuato a las preferecas homotétcas, e R 2 se observa que estas preferecas tedrá la partculardad de poseer caastas que matee la msma proporcó de los bees, tal que le correspode a cada caasta la msma tasa margal de susttucó (TMgS). 7. CONCLUSIONES E coclusó, co ua fucó de utldad u ( ) cotua, moótoa y estrctamete cuas cócava, se tee: - El problema de decsó del cosumdor, pasa de eleccó del elemeto mamal a u problema de optmzacó (mamzacó). Así, el problema de optmzacó queda plateado como: mau ( ) ( p m ) s.a φ, [ P] - El programa de optmzacó prmal requere para que posea solucó, que el cojuto presupuestaro sea u cojuto o vacío y compacto (cerrado y acotado), que la fucó de utldad sea cotua y estrctamete cuas cócava. Y para que la solucó o sea múltple so sea ua solucó úca, se requere que el cojuto presupuestaro sea u cojuto coveo. [23]

25 Las mplcacas que tee estas codcoes sobre el cojuto de posbldades de cosumo y la relacó de prefereca del cosumdor, so de u alcace mportate. Por ejemplo, os permtrá utlzar dos teoremas, el de Weerstrass y el Local Global. 4 Veamos, casos smples dode o se cumple las codcoes señaladas líeas arrba, para u espaco de cosumo R 2 : - U segudo caso, es cuado el cojuto presupuestaro es u cojuto o vacío, compacto y coveo. Asmsmo, la fucó de utldad represeta preferecas que o so estrctamete coveas, so coveas ya que posee u tramo que es leal. Aquí etoces, e este caso este ftas solucoes. B2 0 B - El u prmer caso teemos preferecas estrctamete coveas y u cojuto presupuestaro o coveo. E este caso, dadas las propedades del cojuto presupuestaro teemos dos solucoes. Iclusve, es posble teer ua stuacó co dos solucoes pero dode ua de ellas o es óptma. 4 Teorema de Weerstrass. S φ ( p, m ) es u cojuto compacto o vacío, y ( ) cotua defda sobre el cojuto φ ( p, m ), etoces ( ) (mímo) ya sea e el teror de φ ( p m ) o e la frotera de φ ( p m )., [24] u es ua fucó u tee, al meos, u mámo Teorema Local Global. Sea ua fucó cotua y estrctamete cuas cócava etoces todo mámo de u sobre R es u mámo global., u : R R,

26 B2 ˆ 0 B E coclusó, se requere que el cojuto presupuestaro sea o vacío, compacto y coveo. La fucó de utldad debe ser ua fucó cotua, moótoa y estrctamete cuas cócava. Luego, el teorema del mámo global garatza que todo puto mámo es u mámo global. REFERENCIAS [ ] ÁVALOS, Eloy. (200), La teoría geeral de la eleccó. Documeto de Trabajo Nº 4. Lma: Cetro de Ivestgacoes Ecoómcas del Isttuto de Estudos Socales del Rímac. [ 2] BECKER, Gary. (977), Teoría ecoómca. Méco: Fodo de Cultura Ecoómca. [ 3] HICKS, Joh. (945), Valor y captal. Ivestgacó sobre alguos prcpos fudametales de teoría ecoómca. Méco: Fodo de Cultura Ecoómca. [ 4 ] HICKS, Joh y Roy ALLEN. (934), A recosderato of the theory of value. Part I. E Ecoomca, New Seres, Vol., No., pp Lodo: The Lodo School of Ecoomcs ad Poltcal Scece. [ 5] HORVÁTH, Jua. (969), Itroduccó a la topología geeral. Sere de Matemátca Nº 9. Washgto: Departameto de Asutos Cetífcos de la Uó Paamercaa. [ 6 ] MADDEN, Paul. (987), Cocavdad y optmzacó e mcroecoomía. Madrd: Alaza Edtoral. [ 7 ] MARSHALL, Alfred. (957), Prcpos de ecoomía. U tratado de troduccó. Madrd: Agular S. A. de Edcoes. [ 8 ] WALSH, Vva. (974), Itroduccó a la mcroecoomía modera. Barceloa: Edtoral Vces Vves. [ 9 ] SEGURA, Julo. (986), Aálss mcroecoómco. Madrd: Alaza Edtoral. [25]