Tema 4 Ecuaciones Generales de los Sistemas Materiales

Transcripción

1 Mecánca Clásca Tema 4 Ecuacones Generales de los Sstemas Materales EIAE 19 de octubre de 2011 Prncpos y modelos 3 Conocmentos prevos de Físca I Leyes de Newton Comentaros a las leyes de Newton Sstemas nercales Lmtacones de las Leyes de Newton Ecuacones de Newton-Euler Límtes de la mecánca clásca Sstemas a consderar Conceptos auxlares Ecuacones generales 15 Ecuacón de la cantdad de movmento Ecuacón del momento cnétco Momento cnétco en punto móvl Momento cnétco absoluto en punto móvl Momento cnétco relatvo en punto móvl Ecuacón de la energía Integral de la energía Ecuacón de la energía respecto al centro de masas Cantdad de movmento Momento cnétco: Teorema de Koeng Energía cnétca: Teorema de Koeng Ecuacones generales de los sstemas Prncpo de corte de Euler-Cauchy Fuerzas de contacto 34 Contacto lso entre sóldos Contacto rugoso entre sóldos Modelo de Coulomb/Morn del rozamento Trabajo de las accones de contacto Contacto lso sobre curva/superfce Enlaces deales: rodadura Enlaces deales: apoyo sobre una recta Enlaces lsos: Sstema equvalente Enlaces lsos: apoyo sobre un plano

2 Enlaces lsos: rotula Enlaces lsos: cojnete con restrccón axal Enlaces lsos: cojnete sn restrccón axal Enlaces lsos: corredera Enlaces lsos: roscas, tornllos/tuercas Otros enlaces lsos Combnacón de enlaces

3 Prncpos y modelos Ecuacones generales Fuerzas de contacto EIAE - Mecánca Clásca 2 / 52 Prncpos y modelos 3 / 52 Prncpos y modelos Conocmentos prevos de Físca I Leyes de Newton Comentaros a las leyes de Newton Sstemas nercales Lmtacones de las Leyes de Newton Ecuacones de Newton-Euler Límtes de la mecánca clásca Sstemas a consderar Conceptos auxlares EIAE - Mecánca Clásca 3 / 52 3

4 Conocmentos prevos de Físca I 1. Partícula Leyes de Newton Fuerzas Accón-reaccón Rozamento Fuerzas conservatvas Trabajo y energía. Energía potencal Momento cnétco 2. Sstemas de partículas Ecuacón (teorema) de la cantdad de movmento d. momento cnétco. Cálculo de momentos cnétcos d. energía. Cálculo de energías cnétcas Conservacón de la energía EIAE - Mecánca Clásca 4 / 52 Leyes de Newton Las tres leyes de Newton son los prncpos de la Mecánca Clásca: a 1. Inerca: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movmento unforme y rectĺıneo a no ser en tanto que sea oblgado por fuerzas mpresas a cambar su estado. F = 0 m r = 0 2. El cambo de movmento es proporconal a la fuerza motrz mpresa y ocurre según la ĺınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se mprme. F = m r = d dt (mṙ) 3. Accón-reaccón: Con toda accón ocurre sempre una reaccón gual y contrara. O sea, las accones mutuas de dos cuerpos sempre son guales y drgdas en dreccones opuestas. F j = F j a Isaac Newton, Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca, 1687 EIAE - Mecánca Clásca 5 / 52 4

5 Comentaros a las leyes de Newton La constante de la segunda ley (masa nerte) es proporconal a la de la ley de la gravtacón (masa gravtatora). Se ha comprobado la proporconaldad hasta una precsón de Escogendo las undades adecuadamente, se pueden consderar como la msma magntud (prncpo de equvalenca de Ensten). La prmera ley ya fue enuncada por Galleo. Es el comenzo de la cenca moderna. Arstóteles pensaba que el movmento necesta una accón contnua que lo mantenga, lo que daba lugar a deas bzarras y erróneas (torbellnos de are propulsores). En la tercera ley se pueden dstngur dos grados o formulacones: débl: gual dreccón y sentdo contraro, fuerte: además, son colneales, F j = F j F j = F j = λr j j j La 3 a ley no se cumple en efectos relatvstas (fuerzas de Lorentz) EIAE - Mecánca Clásca 6 / 52 Comentaros a las leyes de Newton La prmera ley se puede consderar defncón de sstema aslado: Partícula aslada: r = 0 ṙ = Cte Dos partículas asladas: F j +F j = 0 ( 1 a ley de Newton) ( 3 a ley de Newton) Defnr qué partículas forman parte del sstema: Fuerzas nterores: ejercdas sobre una partícula del sstema por otra tambén del sstema Fuerzas exterores: ejercdas por partículas que no son parte del sstema j j j nterores Todas nterores k k k, jk exterores EIAE - Mecánca Clásca 7 / 52 5

6 Sstemas nercales Las leyes de Newton tenen su forma más senclla en el espaco absoluto, que no es fáclmente observable; él consderaba que se podría encontrar en la regón de las estrellas fjas. Más tarde (Lange, 1816) lo precsa ntroducendo el concepto de sstema nercal, como sstema de referenca en el que se cumplen las leyes de Newton. Conocdo un sstema nercal, cualquer otro sstema que se mueva con velocdad rectĺınea y unforme, sn grar transformacón de Galleo es tambén nercal o galleano. Esto consttuye el prncpo de relatvdad de Galleo, y se deduce drectamente de la segunda ley. En la teoría especal de la Relatvdad de Ensten tambén se postula un sstema de referenca nercal global, pero ahora la transformacón no es la de Galleo sno la de Lorentz. Fnalmente, en la teoría general de la Relatvdad no hay sstemas nercales globales. EIAE - Mecánca Clásca 8 / 52 Lmtacones de las Leyes de Newton Los conceptos de masa y fuerza no están claros: las defncones pecan de crculares. Incluso cuando se defne una fuerza por la deformacón estátca (dnamómetros). Lo que sí es una magntud perfectamente clara y medble es la aceleracón. En la mecánca clásca, las fuerzas pueden depender de la poscón de las partículas, de su velocdad, y del tempo, pero no de las aceleracones: F(r,ṙ,t) ( lo que observamos son aceleracones!) Por tanto, la segunda ley se puede expresar dcendo que las aceleracones se pueden expresar medante una relacón funconal senclla de las poscones, velocdades, y del tempo. La segunda ley se aplca tambén a sstemas de masa varable. Hay que usar entonces la forma (mv), que da lugar al empuje: ṁv. d dt Newton habla solo de cuerpos, sn aclarar mucho, lo que corresponde a la partícula materal. Para poder tratar sóldos o medos contnuos hay que hacer hpótess adconales, como las de Euler. EIAE - Mecánca Clásca 9 / 52 6

7 Ecuacones de Newton-Euler Para poder tratar sóldos con las ecuacones de Newton, hacen falta hpótess adconales: Un método es suponer que las fuerzas nternas entre las partículas de un sóldo sguen la tercera ley de Newton en su formulacón fuerte. Otro camno, segudo por Euler, es postular la ecuacón del momento cnétco como prncpo ndependente. Por tanto, Euler formula dos prncpos báscos para la dnámca de cualquer sstema: 1. Cantdad de movmento: F = d dt (mv G) 2. Momento de la cantdad de movmento: M G = d dt (L G) Tambén fue Euler el prmero en escrbr la segunda ley en la forma hoy conocda, F = m r G EIAE - Mecánca Clásca 10 / 52 Límtes de la mecánca clásca Teoría especal de la relatvdad: La velocdad de la luz es gual en todos los sstemas nercales: [ ] 1/2, transformacón de Lorentz: 1 v2 c espaco-tempo de Mnkowsk. Aprecable en grandes 2 dstancas y cuando v c Teoría general de la relatvdad: Espaco de Remann (espaco-tempo-masa) que ncorpora la masa en la matrz métrca: la gravedad curva el espaco. No hay sstemas nercales globales. Váldo en la proxmdad de grandes masas. Desprecable cuando r r KGm/c 2 (K 10 5, espaco plano) Rado de Schwarzschld: r s = 2Gm c ; (agujero negro u horzonte de sucesos) 2 Sol: GM /c 2 r = 1,47 km; Mercuro: mer r GM = ; /c 2 GM 10 8 /c 2 Mecánca Cuántca: A nvel de partículas (átomos, moléculas), los ntercambos de energía están cuantfcados: ν. Desprecable para un número grande de partículas, cuando el momento cnétco sea grande frente a la constante de Plank: H La mecánca clásca es el ĺımte exacto de estas teorías cuando la relacón de parámetros característcos tende a cero: v c = r r = H 0. EIAE - Mecánca Clásca 11 / 52 7

8 Límtes de la mecánca clásca H/ħ Espaco plano 1 0,1 T E R Mercuro Terra Vehículos T G R Mercuro Terra Astronaves Aeronaves Vehículos terrestres Agujero negro v/c 10 Mec. Cuántca r c / ( Gm/c 2) EIAE - Mecánca Clásca 12 / 52 Sstemas a consderar Partícula: 3 Grados De Lbertad 2 a Ley de Newton: F = m r 3 ECs 3 GDL Sstema de N partículas: 3N GDL 2 a Ley de Newton: F = m r 3N ECs 3N GDL O ben combnacones de las 3N ecuacones: Cantdad de movmento: F = m r 3 Ec Momento cnétco: r F = r m r 3 Ec Energía: dr F = dr m r 1 Ec S no son sufcentes, se dvde el sstema (prncpo de corte). Sóldo: 6 GDL Cantdad de movmento: F = m rg 3 Ec Momento cnétco: M G = L G 3 Ec EIAE - Mecánca Clásca 13 / 52 8

9 Conceptos auxlares F = m r Trabajo Potencal Lgaduras Centro de masas Tensor de nerca Cantdad de movmento Momento cnétco Energía cnétca Modelo de sóldo como N masas dstrbudas Modelo de sóldo como contnuo δm = ρdxdydz S Ω αm = N α m αm = Ω α(r)δm Los dos modelos son equvalentes para N, m 0 Tratamos el sóldo como N partículas: evtamos el teorema del transporte para dervar la ntegral. EIAE - Mecánca Clásca 14 / 52 Ecuacones generales 15 / 52 Ecuacones generales Ecuacón de la cantdad de movmento Ecuacón del momento cnétco Momento cnétco en punto móvl Momento cnétco absoluto en punto móvl Momento cnétco relatvo en punto móvl Ecuacón de la energía Integral de la energía Ecuacón de la energía respecto al centro de masas Cantdad de movmento Momento cnétco: Teorema de Koeng Energía cnétca: Teorema de Koeng 7 Ecuacones generales de los sstemas Prncpo de corte de Euler-Cauchy EIAE - Mecánca Clásca 15 / 52 9

10 Ecuacón de la cantdad de movmento j F I j F I j F E k En un sstema de N partículas, el movmento está determnado por las 3N ecuacones de cantdad de movmento (CM) de las partículas: F E + F I j = m r = 1...N j=1 j Suele ser útl obtener combnacones lneales de estas ecuacones. Por ejemplo, sumar para todo el sstema: ( ) 3a ley (débl) F E F j=1 + I j = R E d j dt (M ṙ G) = R E m r = d2 m dt 2 r = d2 M r dt 2 G = M r G Este es el teorema de la cantdad de movmento, o la ecuacón de la cantdad de movmento del sstema, M v G ; a veces se llama momento lneal, p = M v G. EIAE - Mecánca Clásca 16 / 52 Ecuacón de la cantdad de movmento El sstema se mueve como s toda la masa estuvera en el centro de masas, sometda a la resultante de las fuerzas exterores. Las fuerzas nterores no nfluyen drectamente en el movmento del centro de masas (uno no puede levantarse trándose de las orejas). Cómo se mueve una nave en el espaco? S en el sstema rfle-bala se conserva la cantdad de movmento, por qué la bala mata y el rfle no? Nube de basura espacal tras la explosón de un satélte. Pueden nflur ndrectamente: cambando la dsposcón de las partes del sstema pueden cambar las fuerzas exterores (mover los alerones modfcar la sustentacón). EIAE - Mecánca Clásca 17 / 52 10

11 Ecuacón de la cantdad de movmento Se obtene drectamente una ntegral prmera [f(r j,ṙ j,t) = Cte] s se anula la resultante exteror en una dreccón fja: R E u = 0 = d dt (M ṙ G) u u=0 d dt (M ṙ G u) = 0 ṙ G u = Cte S la dreccón no es fja, u 0, no hay ntegral prmera por este motvo. Ejemplo: tro lbre en el vacío. ẍ 0 m ÿ = 0 z mg F = 0 ẋ = Cte F j = 0 ẏ = Cte F k 0 E.D.O. para z v x g v x v x EIAE - Mecánca Clásca 18 / 52 Ecuacón del momento cnétco O r j j r F I j F I j F E Partendo de las ecuacones de cantdad de movmento de cada partícula, F E + F I j = m r = 1...N j=1 j se toman momentos en un punto fjo O y se suma para todo el sstema. El momento de las fuerzas nterores se anula dos a dos, s se cumple la tercera ley de Newton en su formulacón fuerte: r F I j +r j F I j = ( 3 a ley fuerte ) rj + r j F I j +r j F I j = r j Solo queda el momento resultante de las fuerzas exterores: r F E = M E O ( 3a ley débl F I j +F I j) = 0 EIAE - Mecánca Clásca 19 / 52 11

12 Ecuacón del momento cnétco j F I j El momento cnétco de una partícula M en O es: O r j r F I j F E L M O = r m v M Como O es un punto fjo, v M = ṙ, y al dervar, d dt LM O = ṙ m ṙ +r m r Sumado tenemos la dervada del momento cnétco (MC) del sstema en O: r m r = d dt r m ṙ = L O Fnalmente tenemos la ecuacón del momento cnétco en un punto fjo O (o teorema del momento cnétco, MC o momento angular): d dt L O = M E O EIAE - Mecánca Clásca 20 / 52 Ecuacón del momento cnétco El momento cnétco del sstema solo puede varar con momentos exterores Conservacón del momento cnétco en el sstema solar Manobras de satéltes: cohetes/ruedas de manobra Saltos de trampoĺın S no hay momento en una dreccón fja, se obtene una ntegral prmera: ( ) d M E O u = 0 = dt L O u u=0 d dt (L O u) = 0 L O u = Cte Momento cnétco constante y velocdad varable, dstrbuyendo la masa: patnador. Separacón del sstema Terra-Luna al dspar energía por las mareas. Ecuacón poco ntutva: gróscopo. EIAE - Mecánca Clásca 21 / 52 12

13 Momento cnétco en punto móvl S 2 S 0 A veces es útl tomar momentos en un punto O móvl: O r F I j F E N r FE = M E O = r m r O 1 r La parte derecha es más complcada: ahora ṙ ṙ y el momento cnétco tene dos formas: Momento en O de las cantdades de movmento absolutas: L 21 O = r m ṙ M 21 Momento en O de las cantdades de movmento relatvas: L 20 O = r m ṙ M 20 S 2 es el sstema de puntos; S 0 son paralelos a los fjos con orgen en O. EIAE - Mecánca Clásca 22 / 52 Momento cnétco absoluto en punto móvl S 2 S 0 F I j r O F E r O Buscamos una relacón M E O = r m r M 21 L 21 O O 1 r Por campo de momentos, M E O 1 = M E O +r O R E Partmos de la ecuacón del MC en el punto fjo O 1, y susttumos r = r +r O: L 21 O 1 = d dt [( r +r O ) m ṙ ] = = d r dt m ṙ +ṙ O m ṙ +r O m r }{{}}{{}}{{} L 21 v O O 01 M vg r 21 O R E como M E O 1 = 21 L O 1 M E 21 O = L O +vo 01 M vg 21 Por ser O móvl, aparece un térmno corrector. EIAE - Mecánca Clásca 23 / 52 13

14 Momento cnétco relatvo en punto móvl S 0 S 2 En la ecuacón del MC absoluto en punto móvl, O 1 r O r O r F I j F E M E O = aplcamos composcón de movmentos L 21 O L 21 O +v O 01 M v G 21 = L 20 O + L 01 O La dervada del momento cnétco de arrastre vale: L 01 O = d r dt m v01 O = m v M = m (v M 20 +vo vo 01 + m r v O 01 = ) v O 01 +MOG v O 01 = M v G 21 v O 01 +MOG v O 01 Susttuyendo, tenemos la ecuacón del MC relatvo en punto móvl; tambén aparece un térmno corrector, pero dstnto: M E 20 O = L O +MOG v 01 O EIAE - Mecánca Clásca 24 / 52 Ecuacón de la energía j F I j Otra manera de obtener combnacones de las ecuacones de CM es dar un desplazamento a cada partícula y multplcar escalarmente: dr j dr F I j F E [ dr F E + ] F I j = m r j=1 j Por defncón, el térmno de la zquerda es el trabajo elemental de las fuerzas: [ dr F E + j=1 j F I j El de la derecha se puede relaconar con la energía cnétca: ] = δw E +δw I dv m dt dr dr = m dv dt = m dv v = 1 2 m d ( v 2 ) = dt Se obtene la Ecuacón de la energía: δw E +δw I = dt EIAE - Mecánca Clásca 25 / 52 14

15 Integral de la energía Se ha obtendo la ecuacón de la energía en forma dferencal: δw E +δw I = dt Se puede expresar como dervada (potenca) o como ntegral (trabajo fnto): Ẇ E +ẆI = T 2 1 δw E δw I = T 2 T 1 En general, δw no es una dferencal exacta. Lo es s las fuerzas dervan de un potencal. Entonces, la ecuacón de la energía se ntegra drectamente para obtener la ntegral de la energía: δw = dv = dt T +V E +V I = E donde la constante E es la energía mecánca del sstema. De las ecuacones globales (CM, MC, EN), solo la de la energía recoge el efecto de las fuerzas nterores. EIAE - Mecánca Clásca 26 / 52 Ecuacón de la energía respecto al centro de masas S 0 Tenemos la ecuacón de la energía en ejes nercales: G δw E 21 +δwi 21 = dt 21 Podemos plantearla respecto a unos ejes S 0 paralelos a los fjos (ω 01 = 0) con orgen en el centro de masas del sstema G: O 1 S 2 dr M 20 (F E + j=1 j F I j ) = N m v M 21 drm 20 Por defncón, (F N drm 20 E + N j=1 F I ) j = δw E 20 +δw20 I j Por composcón de aceleracones, v M 21 = vm 20 + vm ω 01 v M 20 Podemos susttur en el térmno de la derecha y aplcar da ( ) m v M 20 + vm 01 dr M 20 = N dt db = dadb dt : m (dv M 20 +dvm 01 ) v M 20 EIAE - Mecánca Clásca 27 / 52 15

16 Ecuacón de la energía respecto al centro de masas O 1 S 0 G S 2 δw E 20 +δw I 20 = ) m (dv M 20 +dvm 01 v M 20 El movmento de arrastre es una traslacón: v M 01 = vg 01 : Solo queda m dv M 01 vm 20 = dvg 01 N m dv M 20 vm 20 = 1 2 m d G G m v M 20 = dvg 01 M v 20 G = 0 ( v M 20 Podemos ya plantear la ecuacón de la energía respecto al centro de masas: ) 2 = dt20 δw E 20 +δw I 20 = dt 20 Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fjos con orgen en el centro de masas del sstema. EIAE - Mecánca Clásca 28 / 52 Cantdad de movmento La cantdad de movmento de un sstema es la suma (ntegral) de las cantdades de movmento de cada partícula (elemento de masa): S G p = m v = d dt m r = d dt M rg p = M v G n Σ Ω δm = ρdxdydz G p = Ω vρdv = (T a del transporte de Reynolds) = d rρdv rρ( dt v 22 n)ds = d dt M rg Ω Σ p = M v G La cantdad de movmento del sstema es la que tendría toda la masa concentrada en el centro de masas. EIAE - Mecánca Clásca 29 / 52 16

17 Momento cnétco: Teorema de Koeng Momento cnétco de un sstema materal S 2 respecto a un punto arbtraro O, fjo o móvl. Usaremos un sstema ntermedo S 0, con orgen en en centro de masas y ejes paralelos a los fjos (2/0: movmento relatvo a G ). O 1 S 0 S 2 G r O L 21 O = OM m v21 = = OG M v G 01 ( OG+r ) m v21 = L 20 G {}}{ m v21 + N {}}{ m r }{{} M GG ( v 20 + v 01 }{{} Cte.: v G 01 ) L 21 O = OG M vg 01 +L20 G Teorema de Koeng: el momento cnétco respecto a un punto arbtraro es el que tendría toda la masa concentrada en G, más el momento cnétco relatvo a G. Como el campo de momentos: resultante (Mv01 G ) y momento (L20 G ) EIAE - Mecánca Clásca 30 / 52 Energía cnétca: Teorema de Koeng Energía cnétca de un sstema materal S 2 en el movmento 2/1 Usaremos un sstema ntermedo S 0, con orgen en en centro de masas y ejes paralelos a los fjos (2/0: movmento relatvo a G ). S 0 S 2 G T 21 = 1 2 m ( ) v 2 N m 21 = 2 ( v 20 +v01 ) 2 = O 1 m 2 ( ) M vg 00 v 2 N 20 + m v20 vg 01 + m 2 ( v G 01 ) 2 T 21 = T M ( v G 01 ) 2 Teorema de Koeng: La energía cnétca de un sstema es la que tendría toda la masa concentrada en G, más la del movmento relatvo a G. EIAE - Mecánca Clásca 31 / 52 17

18 7 Ecuacones generales de los sstemas CM R E = M r G 3 MC a M E O 1 = L 21 O 1 MC b M E O = L 21 O +vo 01 M vg 21 3 MC c M E O = L 20 O +MOG vo 01 MC b = f (CM,MC a ) MC c = f (CM,MC a ) M E G = L 21 G = L 20 G EN a δw E 21 +δwi 21 = dt 21 EN b δw E 20 +δwi 20 = dt 20 1 EN b = f (CM,EN a ) Toda la nformacón está en las 3N ecuacones de las partículas. Las 7 globales pueden ser más sencllas o convenentes. S no son sufcentes, se dvde el sstema Integrales prmeras CM R E u = 0 (u cte.) MC M E O u = 0 (u cte.) L ṙ G u = Cte O u = Cte EN δw = dv = dt T +V E+I = E = Cte. EIAE - Mecánca Clásca 32 / 52 Prncpo de corte de Euler-Cauchy j Consderando el sstema completo, las fuerzas nternas no aparecen en las ecuacones de CM n MC: F j = F j al sumar para todo el sstema se anula la resultante (3 a ley débl) y el momento resultante (3 a ley fuerte). k S se necestan más de las 7 ecuacones generales, se puede dvdr el sstema en partes, pero entonces las fuerzas nternas entre partículas de ambas partes deben contarse como exterores. j k EIAE - Mecánca Clásca 33 / 52 18

19 Fuerzas de contacto 34 / 52 Fuerzas de contacto Contacto lso entre sóldos Contacto rugoso entre sóldos Modelo de Coulomb/Morn del rozamento Trabajo de las accones de contacto Contacto lso sobre curva/superfce Enlaces deales: rodadura Enlaces deales: apoyo sobre una recta Enlaces lsos: Sstema equvalente Enlaces lsos: apoyo sobre un plano Enlaces lsos: rotula Enlaces lsos: cojnete con restrccón axal Enlaces lsos: cojnete sn restrccón axal Enlaces lsos: corredera Enlaces lsos: roscas, tornllos/tuercas Otros enlaces lsos Combnacón de enlaces EIAE - Mecánca Clásca 34 / 52 Contacto lso entre sóldos El contacto de dos sóldos S 2 y S 0 en un punto M (varable) es una Lgadura: lmtacón al movmento de un sstema en una dreccón (desplazamento o gro). La condcón de contacto (plano tangente común en M) permte 5 grados de lbertad: Pvotamento Rodadura Deslzamento ω p n: 1 GDL ω r n: 2 GDL v M 20 n: 2 GDL ω p ω r M v20 M n Lgadura: mpde el movmento relatvo según la normal común: v M 20 n = 0 Sobre el punto M de cada sóldo actúa una fuerza de lgadura que oblga a que se cumpla la condcón cnemátca en esa dreccón: F L = N n EIAE - Mecánca Clásca 35 / 52 19

20 Contacto lso entre sóldos N Las fuerzas de lgadura son un par de accón-reaccón: ±N Se conoce su dreccón (la de movmento mpeddo, n), pero no su módulo N(t): otra ncógnta del problema; depende de las fuerzas y aceleracones. N En un contacto lso, el sstema de fuerzas de lgadura no trabaja: δw = N v M 21 N vm 01 = N v M 20 = 0 N M v M 20 En general, las lgaduras lsas ntroducen: Una componente de fuerza en cada dreccón de desplazamento mpeddo Una componente de momento en cada dreccón de gro mpeddo EIAE - Mecánca Clásca 36 / 52 Contacto rugoso entre sóldos Lso: contacto en un punto. Fuerza normal al plano tangente aplcada en ese punto. Rugoso: contacto en una zona. Sstema de fuerzas con una resultante y un momento arbtraros. ω p 1 Reaccón normal N n ω r v M 20 2 Fuerza de rozamento R v M 20 N 1 Momento opuesto al pvotamento M p ω p 2 Momento opuesto a la rodadura M r ω r R M r M p N mpde el movmento normal, como en el caso lso R, M p y M r dfcultan el movmento (y a veces lo mpden). EIAE - Mecánca Clásca 37 / 52 20

21 Modelo de Coulomb/Morn del rozamento Fenómeno complejo (adhesón/penetracón, elástco, plástco,...). Dos casos 1 : Deslza/pvota/rueda: coefcentes dnámcos µ,ǫ,δ No deslza/pvota/rueda: coefcentes estátcos µ, ǫ, δ sí (slp) R = µ N vm 20 v M 20 Deslza Pvota Rueda M p = ǫ N ωp ω p M r = δ N ωr ω r no (stck) R µ N M p ǫ N M r δ N Leonardo-Amontons-Euler-Coulomb-Morn-Hardy-Tomlson Trbología R Stck Slp Prmera aproxmacón. Puede producr paradojas. µn µ... dependen solo de los dos materales en contacto. No deslza/...( ): ncógnta; problema de estátca. µ N F t P. Appell, Précs de Mécanque Ratonnelle, cap. 13; P. Panlevé, Leçons sur le frottement, 1895 EIAE - Mecánca Clásca 38 / 52 Trabajo de las accones de contacto El sstema de fuerzas de contacto entre sóldos tene trabajo negatvo o nulo: { 0 2 : N R Mp M Fuerzas: r 2 0 : N R M p M r { Ẇ0 2 = (N+R) v Potenca: 21 M +(M p +M r ) ω 21 Ẇ 2 0 = (N+R) v01 M (M p +M r ) ω 01 S 2 M r R N M p R M r Cada uno puede ser +/-. El del sstema accón-reaccón: S 0 N M p Ẇ = (N+R) (v 21 M 01) vm +(Mp +M r ) (ω 21 ω 01 ) = ( ) ω p +ω r = N+R v20 M +(M }{{} p +M r ) ω 20 = [Modelo Coulomb] { = µ N v20 ǫ M N ω p δ = 0 Lso N ω r 0 Rugoso Fuerza dspatva. Indeseable. Indspensable. EIAE - Mecánca Clásca 39 / 52 21

22 Contacto lso sobre curva/superfce Fuerza de lgadura elemental δn(r, t) en cada punto de contacto. Normal al plano tangente común en ese punto. La mecánca clásca de sóldos rígdos no puede conocer la dstrbucón de fuerzas: problema de elastcdad. δn Sí se pueden calcular las dreccones de la resultante y el momento resultante del sstema, por dos camnos: Analzando las dreccones del sstema de fuerzas. Analzando los grados de lbertad. Este suele ser más smple y más general, porque no hay que especfcar físcamente la lgadura, solo funconalmente. Como son fuerzas/momentos de lgadura, los valores algebracos (módulo y sentdo) son ncógntas del problema y hay que obtenerlas resolvendo el problema completo. EIAE - Mecánca Clásca 40 / 52 Enlaces deales: rodadura Rueda y pvota sn deslzar. Suponemos que el coefcente de rozamento al deslzamento µ es nfnto o sufcente para que no deslce; δ = ǫ = 0. a) Análss de los grados de lbertad: Movmentos mpeddos por la lgadura: z 1 v I 21 k 1 = 0 N v I 21 0 = 0 R x v I 21 j 0 = 0 R y ψ z 0 ϕ Grados de lbertad: ( ) Pvota (1) ω p 21 = ψ ϕ cosθ k 1 Rueda (2) ω r 21 = θ x y 0 + ϕ snθj 1 I 1 R 0 b) Análss del sstema de fuerzas: Fuerza de lgadura en un punto, con tres componentes según 0, j 0 y k 1. EIAE - Mecánca Clásca 41 / 52 ψ N θ θ x 0 ϕ y 0 22

23 Enlaces deales: rodadura Rueda y pvota sn deslzar, mantenéndose normal al plano (θ = π/2). a) Análss de los grados de lbertad: z 1 Movmentos mpeddos por la lgadura: Grados de lbertad: v I 21 k 1 = 0 N v I 21 0 = 0 R x v I 21 j 0 = 0 R y ω 21 0 = 0 M x Pvota (1) ω p 21 = ψk 1 Rueda (1) ω r 21 = ϕj 0 z 0 ϕ ψ ϕ y 0 ψ x y 1 1 I I R N M x x 0 b) Análss del sstema de fuerzas: Fuerzas, gual. Momentos: no se pueden obtener porque no se explca cómo se mpde el gro θ (chass,...) EIAE - Mecánca Clásca 42 / 52 Enlaces deales: apoyo sobre una recta z 0 ω p y 0 Análss de grados de lbertad: Permtdos: ẋ, ẏ, ω x, ω y δn ẋ ω r x 0 ẏ Impeddos: v C 21 k 1 = 0 N k 1 ω 21 j 0 = 0 M y j 0 Análss del sstema dstrbudo δn(x,t)k 1 : Resultante: (0,0,δN)ds = (0,0,N) (todas la fuerzas elementales son paralelas a Cz, la resultante tambén) Momento: (x,0,0) (0,0,δN)ds = (0, xδn,0)ds = (0,My,0) (todas las fuerzas son paralelas a Cz y cortan a Cx, luego el momento no tene componentes en esas drecctones) EIAE - Mecánca Clásca 43 / 52 23

24 Enlaces lsos: Sstema equvalente z 0 δn y 0 Por tratarse de un sóldo, el sstema de fuerzas de lgadura dstrbudas δn(r, t) se puede susttur por cualquer sstema de fuerzas con la msma resultante y el msmo momento resultante. Se escoge el más convenente en cada caso. x 0 N 1 +N 2 = N (N 1 N 2 ) H 2 = My N x = M y N M y N 1 x P.e.: para la condcón de vuelco, es más convenente la forma (N,x): vuelca cuando x queda fuera de la ĺınea de contacto. EIAE - Mecánca Clásca 44 / 52 N 2 N Enlaces lsos: apoyo sobre un plano Grados de lbertad: Permtdos: ẋ, ẏ, ω z Impeddos: ż, ω x, ω y Fuerzas/momentos en las dreccones mpeddas: 0 M x R = 0 M = M y N 0 ω z ẏ ẋ z 0 N M M y x y 0 x 0 Sstema de fuerzas: δn(x,y,t)k 1 R x = 0 R y = 0 M z = 0 0 M x R = 0 M = M y N 0 Sstemas equvalentes: N N 1 N 2 N 3 N 1 (x,y) M x M y EIAE - Mecánca Clásca 45 / 52 24

25 Enlaces lsos: rotula C Analzando el sstema de fuerzas: 0 δn = δn u r M C = 0 R = 0 R x R y R z Analzando los grados de lbertad: Permtdos: ω x, ω y, ω z R z Impeddos: ẋ, ẏ, ż R x R y Rótula junta esférca junta unversal punto fjo suspensón cardan gmball Junta de clase 3 (deja 3 GDL). EIAE - Mecánca Clásca 46 / 52 Enlaces lsos: cojnete con restrccón axal δf z δf r Analzando el sstema de fuerzas: δf z k 1 Oz δf r u r Oz } M z = 0 Analzando los grados de lbertad: Permtdos: ω z R z Impeddos: ω x, ω y, ẋ, ẏ, ż R x M x R y M y El resultado es el msmo: R = R x R y R z M x M = M y 0 Revolute jont: Junta de clase 1 (deja 1 GDL). EIAE - Mecánca Clásca 47 / 52 25

26 Enlaces lsos: cojnete sn restrccón axal δf r Analzando el sstema de fuerzas: { δfr u r Oz R z = 0 δf r u r Oz M z = 0 Permtdos: ω z, ż Analzando los grados de lbertad: Impeddos: ω x, ω y, ẋ, ẏ R x M x R y M y R x El resultado es el msmo: R = R y 0 M x M = M y 0 Cylndrcal jont: Junta de clase 2 (deja 2 GDL). EIAE - Mecánca Clásca 48 / 52 Enlaces lsos: corredera Analzando el sstema de fuerzas: δf x δf y δf x, δf y Oz R z = 0 Analzando los grados de lbertad: ż Permtdos: ż Impeddos: ω x, ω y, ω z, ẋ, ẏ M z R x M x R y M y El resultado es el msmo: R = R x R y R z M x M = M y 0 Junta prsmátca: Junta de clase 1 (deja 1 GDL). EIAE - Mecánca Clásca 49 / 52 26

27 Enlaces lsos: roscas, tornllos/tuercas z θ δf α α rθ = r 2π H ż ż Analzando el sstema de fuerzas: en cada punto habrá una fuerza elemental normal al helcode generalzado de contacto. } δr z = δf cosα M z = rtanα = H δm z = rδf snα R z 2π x H 2πr y Analzando los grados de lbertad: S dos helcodes generalzados están en contacto, cada punto puede moverse por su hélce r = Cte del helcode. dz rdθ = H 2πr ż ω z = H 2π tanα = H 2πr Reaccones (6 componentes, 5 ndept.): R = Helcal jont: clase 1 (deja 1 GDL). R x R y R z M x M = M y H 2π R z EIAE - Mecánca Clásca 50 / 52 Otros enlaces lsos Engranajes Rodadura sn deslzamento entre dos sóldos ya sujetos por cojnetes con restrccón paralelos (queda 1 GDL). S 2 S 0 v M 21 = vm 01 ω 21r 2 = ω 01 r 0 Como los dentes son del msmotamaño, el número de dentes es proporconal al rado: Empotramento Contacto sobre una superfce arbtrara. No hay movmento compatble con el contacto en todos los puntos. Los dos sóldos se mueven como uno solo. GDL=0 (junta de clase 0) R x M x R = R y M = M y R z M z Hay 6 ncógntas de fuerzas/momentos de lgadura, y 0 de coordenadas. ω 21 n 2 = ω 01 n 0 EIAE - Mecánca Clásca 51 / 52 27

28 Combnacón de enlaces En sere (a sóldos sucesvos): Unón de grados de lbertad. φ ψ θ Suspensón Cardan: 1+1+1=3 GDL ψk 1 + θk 0 + φk 0 (s k 1 k 0 ) Grúa puente: 1+1+1=3 GDL ẋ+ẏj+żk ż ẏ ẋ En paralelo (al msmo sóldo): Interseccón de GDL. ω z ż ẋ - - ω x ż - - ω z ẋ ż ω y ω x ω z ẋ ẋ ẏ ω z ẋ - - ż - ω y - ẋ ẋ ẏ EIAE - Mecánca Clásca 52 / 52 28