2.1 Objetivos en la elección de un algoritmo

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1 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos. Ojetvos e l eleccó de u lgortmo ) Qué el lgortmo se fácl de eteder, codfcr y depurr. ) Qué el lgortmo use efcetemete los recursos de l computdor y e especl que se ejecute co l myor rpdez... Aálss de Algortmos vs. Aálss Empírco U vez que se h defdo u lgortmo pr resolver u prolem y se h prodo que es correcto, el sguete pso es determr l ctdd de recursos tles como tempo y espco que el lgortmo requerrá pr su plccó. L determcó del tempo de ejecucó puede hcerse medte álss empírco o co álss de lgortmos. Aálss empírco. L comprcó de dos o más lgortmos se llev co ejecutádolos, por lo que requere que mos lgortmos este correctmete mplemetdos. Determ el uso de recursos y tempo requerdo e l msm máqu, co los msmos dtos y el msmo mete. Por lo tto es muy mportte l seleccó de dtos de prue, estos puede ser letoros, dtos reles o dtos resgosos. El códgo puede ejecutrse dferetes velocddes depededo de l crg del sstem. Aálss de Algortmos El álss mtemátco es más formtvo y rto, pero puede dfcultrse s o se cooce tods ls fórmuls mtemátcs. El códgo de progrmcó de lto vel podrí o reflejr correctmete l ejecucó e térmos de leguje máqu. E ocsoes l optmzcó co l que se hy cofgurdo el compldor puede fectr el códgo ejecutle. Idetfc ls opercoes strcts e ls cules el lgortmo está sdo y sepr el álss de l mplemetcó. Idetfc los dtos pr el mejor cso, el cso promedo y el peor de los csos... Tempo de Ejecucó El tempo de ejecucó de u lgortmo es u fucó que mde el úmero de opercoes elemetles o sgfctvs) que relz el lgortmo pr u tmño de etrd ddo. El tempo de ejecucó de u lgortmo es, por tto, fucó del tmño de etrd. El vlor excto de est fucó depede de muchos fctores, tles como velocdd de l máqu, l cldd del compldor, y e lguos csos, l cldd del progrm. Por ejemplo: pr u msmo procesdor efectur el producto de dos úmeros es mucho más leto s los úmeros so de tpo rel que s so eteros. Co much frecuec, el costo de u lgortmo depede o solo del tmño de l etrd so de los dtos e prtculr. Se preset tres posles stucoes: ) T sup ): costo del peor cso, el costo máxmo del lgortmo. ) T f) : costo del mejor cso, el costo mímo del lgortmo. c) T med ): costo del cso promedo. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

2 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.. Pseudocódgo. Pseudocódgo es u herrmet lgorítmc que mezcl el leguje turl y ls costruccoes de progrmcó de lto vel, pr descrr ls des áscs de u mplemetcó geérc de u lgortmo. o hy regls que determe que es o o pseudocódgo, y que vrí de u progrmdor otro. El ojetvo del pseudocódgo es que el progrmdor se cocetre e l lógc pr solucor el prolem y o e l stxs de u leguje de progrmcó.... Regls del Pseudocódgo Tpos de dtos umérco: Etero y Rel. Lógco Crcter Cdes Operdores Artmétcos Operdores de Relcó Operdores de Lógcos - Meos Utro Igul o egcó lógc * Multplccó <> Dstto Y Ad / Dvsó Rel < Meor que O Or ^ Expoeccó > Myor que O_X O exclusv Adcó < Meor o gul que eqv equvlec - Rest > Myor o gul que mp Implccó mod Módulo dv Dvsó Eter Jerrquí de los Operdos ) Prétess ^ Expoeccó o Operdor Uro *,/,dv, mod, Y Operdores Multplctvos,-,O, O_X Operdores Adtvos,<,>,<>,>,< Operdores Relcoles Expresoes: se us símolos mtemátcos ormles pr expresoes umércs y ooles. Asgcó: se us l flech l zquerd. Por Ejemplo, A 0. Declrcoes de método: omre lgortmo prámetro, prámetro,..., prámetro ) Estructur de decsó: f codcó the ccoes [else ccoes pr flso]. Se hce sgrí pr dcr que ccoes se dee clur pr certo y cuáles se dee clur pr flso. Cclos whle: whle codcó do ccoes. Se utlz detcó pr dcr qué ccoes cluye e el cclo. Cclos repet: repet ccoes utl codcó. L sgrí mrc el co y fl del loque de ccoes que ejecut el cclo. Cclo for: for cremeto to codcó do ccoes. Se us sgrí pr dcr qué ccoes dee ser ls del cclo. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

3 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos Ídces de Arreglo: A[] represet l -ésm celd del rreglo A. Ls celds de u rreglo A de celds se detfc co los ídces A[0] hst A[-]. Llmds de método: ojeto.métodorgs); dode ojeto es opcol s se soreetede qué ojeto hce l llmd. Retoros de método: retur vlor. Devuelve el vlor especfcdo l método que hzo l l llmd. Es coveete comezr u lgortmo co u reve explccó de sus etrds y slds, lo qué hce y ls des prcples que se us e él.... Ejemplo de Pseudocódgo /*Búsqued de u elemeto*/ t usqued t vector[],t, t ) { t, pos; 0; pos-; do { f vector[]) pos; ; whlepos- &&<); retur pos); Algortmo usqued vector,,) Etrds: vector de eteros, tmño del vector elemeto uscr Sld: L poscó de e el vector. 0 pos - repet f vector[] the pos utl pos - Y < retur pos. Coceptos Mtemátcos Báscos.. Leyes de los Expoetes ) x x x. x ) x ) )x x 4 ) x ).. Logrtmos El logrtmo se de es u vlor A tl que elevdo es gul A. E computcó cudo l se se omte, por omsó es. Propeddes de los Logrtmos )log c log log )log log log c c )log c log log 4 )log log logc 5 ) c c log c C c Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

4 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 4 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007.. Seres ) 0 0 ) ) 0 pr 0>> ) 4) ) ) 5), ) k k k k e log 7) ) ) f f ) 8 ) ) ) 0 0 9) f f f

5 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos. Recursó El cocepto de recursó es fudmetl e Mtemátcs y Cecs de l Computcó. L defcó más smple es que u progrm recursvo es quel que se voc sí msmo.. L recursó se utlz porque permte expresr lgortmos complejos e form compct y elegte s reducr l efcec. U lgortmo recursvo es quel que resuelve u prolem resolvedo u o más stcs meores que el msmo prolem. Los lgortmos recursvos se mplemet co métodos recursvos. Regls de l recursó ) Cso se. Sempre dee exstr csos se que se resuelve s hcer uso de l recursó. ) Progreso. Culquer llmd recursv dee progresr hc u cso se. ) Dseño. Asumr que tod llmd recursv ter fuco correctmete. 4) Regl de Iterés compuesto: Evtr duplcr el trjo resolvédo l msm stc de u prolem e llmds recursvs compuests. Ejemplo : Cálculo del úmero de l sere focc t focc t ) { f <) retur ; // Cso Bse else retur focc-) focc-); Ejemplo : Evlucó del fctorl de pulc sttc log fctorlt ) { f <) retur ; // Cso Bse else retur * fctorl-);. Fudmetos Mtemátcos del Aálss de Algortmos El álss expermetl, permte coocer el tempo de ejecucó excto de u lgortmo, pero es muy complcdo, porque requere el mejo de leguje de jo vel del progrm geerdo l complr u códgo y del mete e que se ejecut dcho progrm. Así que, e vez de lo teror, se hce el álss e form drect e el progrm de lto vel o e el pseudocódgo. Se defe u sere de opercoes prmtvs de lto vel. Etre ells se cuet: Asgcó de u vlor u vrle. Llmd u método. Ejecucó de u opercó rtmétc. Comprcoes. Poer ídces u rreglo. Segur referec de ojeto. Regresr de u método. [] Algorthms Jv. Mrk Alle Wess Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 5 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

6 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos E vez de determr el tempo excto de ejecucó de cd opercó prmtv, sólo se cotrá cuáts opercoes prmtvs se ejecut y est ctdd se usrá como estmdo, e lto vel, del tempo de ejecucó del lgortmo. E u álss de lgortmos es útl efocrse e l ts de crecmeto del tempo de ejecucó, e fucó del tmño de l etrd, doptdo u método de porámc y o deteerse e los pequeños detlles. Se formlz este método de lzr estructurs de dtos y lgortmos usdo u otcó mtemátc pr fucoes, que o tee e cuet los fctores costtes. Fucoes de Crecmeto Típcs C Costte L myorí de ls struccoes se ejecut u o cudo mucho us cuts veces. S tods ls struccoes de u progrm tee est propedd, decmos que el tempo de ejecucó del progrm es costte. Est fucó de crecmeto, es desele, pero dfícl de cosegur log Logrítmcs Cudo el tempo de ejecucó de u progrm es logrítmco el progrm es lgermete más rápdo que el crecmeto de. Est fucó de crecmeto se preset e progrms que soluco u prolem trsformádolo e u sere de pequeños prolems, esto es, dvde el tmño del prolem e u frccó costte e cd tercó. Pr uestro terés cosderremos el tempo de ejecucó meor l de u costte grde. L se del logrtmo cm l costte, pero o por mucho, por ejemplo, cudo 000, log 0 y log 9.9; cudo log 0 y log 9.9. Se oserv que cd que se duplc, el log se cremet e u costte, pero o se duplc hst que es. Lel El tempo de ejecucó lel, geerlmete se ecuetr cudo cd elemeto de etrd requere u pequeñ prte de procesmeto. Cudo es 0000 el tempo de ejecucó tmé. Cudo se duplc el tempo tmé se duplc. Est stucó es óptm pr u lgortmo que dee procesr etrds. log log El tempo de ejecucó log se preset cudo los lgortmos soluco u prolem dvdédolo e pequeños prolems, los resuelve e form depedete y luego com ls solucoes. Cudo es,000,000 log es 0,000,000. Cudo se duplc el tempo umet u poco más del dole. Est fucó de crecmeto es típc de los lgortmos dvde y vecerás. ² cudrátc Cudo el tempo de ejecucó de u lgortmo es cudrátco, el lgortmo sólo es práctco pr prolems reltvmete pequeños. Est fucó de crecmeto surge e lgortmos que proces todos los pres de dtos, por ejemplo, e cclos ddos. Cudo 000 el tempo de ejecucó es 00,000. Cudo se duplc el tempo de ejecucó se cudrplc. U ejemplo dode se oserv est fucó de crecmeto es el peor cso de Qucksort. Cúc U lgortmo que proces ters de dtos tee tempos cúcos, por ejemplo l multplccó de mtrces mplemetd e cclos trples. El uso de estos lgortmos es práctco sólo e prolems pequeños. Cudo es 00 el tempo de ejecucó es,000,000. Al duplcr el tempo de ejecucó se cremet 8 veces ). Expoecl Pocos lgortmos co tempo de ejecucó expoecl so propdos pr su uso, uque surge turlmete como solucoes forzds. Por ejemplo, cudo es 0, el tempo de ejecucó es Cudo se duplc el tempo de ejecucó se elev l cudrdo. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

7 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.. otcó Astótc O <) Asítot: Ls sítots so rects ls cules u fucó se proxm defdmete, cudo x o fx) tede l fto. Pr expresr los límtes de complejdd de u lgortmo se us u otcó stótc. L ms comú es l O g Oh). L otcó O es u recurso mtemátco que permte suprmr los detlles e el álss de lgortmos. Se f) y t) fucoes que represet como eteros o egtvos úmeros reles. Se dce que: ) f ) ) T Ο s exste costtes C y 0 tl que T ) cf ) cudo > 0 L vrle represet el costo de culquer tre o lor cotd. c es u costte de multplccó que represet el costo e uddes de ejecucó de u opercó fudmetl. Est defcó se lee T) es O de f). De otr form, l complejdd de u fucó t) está lmtd por l fucó f); es decr, el úmero máxmo de opercoes fudmetles ejecutds por T) o será myor que f). L otcó O es smlr l meor o gul, cudo estmos refrédoos tss de crecmeto. E l práctc gormos los efectos de, c y culquer opercó de poc mportc cudo comprmos complejddes. L trscedec glol de tede ser sgfcte coforme el tmño del cojuto de l formcó se cremet y el costo de u opercó crítc c) dee ser más o meos el msmo pr lgortmos de clse semejte. L otcó Bg-Oh tee tres propóstos:. Compesr el error que se comete l gorr térmos pequeños e u fórmul mtemátc.. Compesr el error que se comete l gorr prtes del progrm que cotruye e u pequeñ ctdd de tempo.. Permte clsfcr lgortmos de cuerdo l límte superor de su tempo de ejecucó.... Regls de l otcó O ) S T ) Ο f ) ) y T ) Ο g ) ) ) T ) Ο f ) g )) ) T ). T ) Ο f ). g )) ) T, etoces: ) S Tx) es u polomo de grdo, etoces T x) Ο x ) ) Ο ) log pr culquer costte k k o se cosder propdo clur fctores costtes y térmos de orde feror e l otcó O. Por ejemplo, o es correcto decr O4²), strá co dcr O²). Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 7 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

8 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.. otcó Omeg >) Exste otrs otcoes que os permte hcer comprcoes etre fucoes. U de ells es l otcó Omeg T ) Ω F ) ), est dc que l ts de crecmeto de T) es myor o gul que l de F)... otcó Thet ) L otcó Thet T ) Θ F ) ), est dc que l ts de crecmeto de T) es gul que l de F). Cudo utlzmos l otcó thet estmos proporcodo o solmete u límte superor del tempo de ejecucó, so que grtzmos que el álss que os llev este límte superor es lo más justdo posle..4 Modelo pr el álss de lgortmos El modelo pr el álss de lgortmos es u computdor orml, e l cul ls struccoes se ejecut secueclmete. Est tee el típco cojuto de struccoes: Asgcó, comprcó, sum, etc. El tempo de ejecucó de cd struccó será u udd de tempo. Tmé se sume u memor ft..5 Coteo de Opercoes prmtvs pr el Aálss de Algortmos ) El cceso u rreglo trvés de u ídce cotrá como u opercó. ) L sgcó de u vlor u vrle tee u tempo de ejecucó de. ) L clzcó de u cotdor tee vlor de. 4) L comprcó de l codcó de sld de u cclo cuet como u udd. 5) El regreso de vlores de u fucó o método tee u peso de. ) El tempo de ejecucó de u cclo es el tempo de ejecucó de ls struccoes detro del cclo, multplcdo por el úmero de tercoes. 7) El tempo de ejecucó de ls struccoes detro de u grupo de cclos ddos es el tempo de ejecucó de ls struccoes multplcdo por el tmño de todos los cclos. 8) Los eucdos cosecutvos solo se sum. 9) El tempo de ejecucó de u struccó f-else es el tempo de l codcó ms el tempo de l prte verdder o fls que requer myor tempo de ejecucó. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 8 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

9 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos Ejemplo : t ecotrrmyort rreglo [], t ) {t myor, ; myorrreglo[0]; // for 0;<;) //; *; *- f myor<rreglo[]) // myor rreglo[]; // returmyor); Aálss pr el Peor cso O 75 por lo tto se dce que es O) Aálss pr el Mejor cso Θ por lo tto se dce que es Θ ) Ejemplo : t ecotrrmyort rreglo [], t ) {t myor, ; myorrreglo[0]; // for ;<;) //; *; *- f myor<rreglo[]) // myor rreglo[]; // returmyor); Aálss pr el Peor cso O -) - 7- por lo tto se dce que es O) Aálss Mejor cso Θ 4-) por lo tto se dce que es Θ ) 4. Medds Sgfctvs El coteo de ls opercoes se puede hcer usdo dferetes medds sgfctvs, ests so: ) úmero de Asgcoes Totles ) úmero de Opercoes Artmétcs c) úmero de Accesos l rreglo. d) úmero de Opercoes Elemetles. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 9 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

10 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.. Ejemplo Ddo el sguete lgortmo que sum los elemetos de u mtrz cudrd de tmño. sum0; 0; whle <) { j0; whlej<) { sumsummtrz[][j]; j; ; ) El álss pr el peor de los csos cosderdo úmero de sgcoes totles es: j por lo tto el lgortmo es O²) ) Tomdo como medd sgfctv el úmero de opercoes rtmétcs el lgortmo tee u tempo de ejecucó O²). j c) S se tom como medd sgfctv el úmero de ccesos l rreglo: etoces el tempo de ejecucó del lgortmo es O²) j d) Tomdo como medd sgfctv el úmero de opercoes elemetles 5 ) j 5 ) 5 5 etoces el lgortmo tee u tempo de ejecucó O²). Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág 0 de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

11 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.. Ejerccos. E cd ejercco ecuetre el tempo de ejecucó pr el peor de los csos cosderdo ls opercoes sgfctvs. ) for ;<;) x; ) for ;<;) for j;j<;j) for k;k<;k) x; ) ; do { x; ; whle<); 4) for ;<;) for j;j<;j) x; 5) x; whlex<) x*x; Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007

12 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007 vod m) {t 0,,j,k,sum0; clrscr); for;<;) forj;j<;j) forkj;k<;k) sum; j j k j j cosderdo que -) etoces lo teror se puede escrr j plcdo ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Aplcdo ) y ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4 ) ) ) 4 ) ) )

13 Algortmos y Estructurs de Dtos Udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos Práctcs pr est Udd ) Aplcdo el cocepto de recursvdd ecotrr el máxmo comú dvsor de dos umero eteros postvos y, segú los sguetes crteros: s > etoces mc-,) s < etoces mc,-) ) Ddo u úmero etero o egtvo mplemetr u fucó recursv pr covertrlo ro. Ig. Alm Letc Plcos Guerrero Pág de D:\lety\lgortmos y estructur de dtos\udd II Fudmetos del Aálss de Algortmos.doc Fech de Actulzcó: /0/007