Algoritmos de integración numérica

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1 Algortmos de tegrcó umérc Recepcó: Agosto de 007 / Aceptcó: Octure de 007 ( ( Edurdo Rffo Lecc Rosmer Myt Hutuco ( Vctor Perez Quspe RESUMEN E este rtículo se desrroll e mplemet, los lgortmos de tegrcó umérc, que permte solucor prolems de cecs e geerí; tles como el cálculo de áres, volúmees, mecác plcd, y ecucoes dferecles (sstems dámcos. Dd l ecesdd de cotr co resultdos de gr precsó, se lz ls dferetes regls de tegrcó umérc; sds e los errores que ocurre cudo el tegrdo es reemplzdo por u polomo de terpolcó P(x, coocd como ls fórmuls de tegrcó de Newto-Cotes. L regl de l extrpolcó de Rcrdso, puede ser plcd culquer fórmul de cudrtur de Newto-Cotes; o culquer computcó que se ecuetr sd e u rejll de co y u error descrto como u potec de. Plrs clve: tegrcó umérc, tegrcó utomátc, tegrcó dpttv, recursvdd dvde y vecerás. NUMERC NTEGRATON, ALGORTHMS ABSTRACT ts rtcle re developed d mplemeted, te tegrto of umercl lgortms, wc llow solve prolems scece d egeerg, suc s te clculto of res, volumes, ppled meccs, dfferetl equtos (dymc systems. Gve te eed for g-precso, e exmes te dfferet rules of umercl tegrto; sed o te errors tt occur we te tegrd s replced y polyoml terpolto P (x, kow s te formuls of tegrto Newto - Cotes. Te rule of Rcrdso extrpolto c e ppled to y formul squrg Newto- Cotes, or y computer wc s sed o grd of wde d error descred s power. Key words: Numercl tegrto, Automtc tegrto, Adptve tegrto, Dvde-d- Coquer Recurrece. NTRODUCCÓN L tegrcó umérc o cudrtur umérc, cosste e evlur l tegrl defd o el equvlete, resolver = y( e l ecucó dferecl. co l codcó de vlor cl. Este prolem tuvo su orge, tes de l vecó del cálculo y oy, grcs l computdor, es utlzdo pr evlur ls tegrles que o puede ser computds lítcmete; o cudo f(x es coocd pr u cojuto de putos ( cudro. L evlucó de ls tegrles se deom cudrtur; desde u vejo prolem e geometrí coocdo como l cudrtur greg del círculo, por medo de polígoos regulres scrtos y crcuscrtos; proceso que le vló Arquímedes pr cotr el vlor de []. Cudrtur es sómo de ecotrr áres y volúmees. Supog que f(x es u fucó que se ecuetr cotd e [, ]. Al dvdr e sutervlos, se tee los putos sguetes: Se, u puto culquer e x-l x y el co = x - x-l ; se defe l sum de Rem como: Pr el cso de tervlo [, ]; esto es, se otee l tegrl de Rem sore el L regl geerlzd de l cudrtur, correspode l método de proxmcó l tegrl, como u comcó lel de los vlores del tegrdo; y vee dd por ( geero dustrl. Profesor del Deprtmeto de geerí de Sstems e formátc. UNMSM. E-ml: erffol@umsm.edu.pe ( geer dustrl. Profesor del Deprtmeto de Sstems e formátc. UNMSM. E-ml: rmyt@umsm.edu.pe ( geero dustrl. Profesor del Deprtmeto de geerí de Sstems e formátc. UNMSM. E-ml: vperezq@umsm.edu.pe d. dt 0(, 007 7

2 >>> Algortmos de tegrcó Numérc Se geerdo mucs regls de cudrtur destcádose: Puto medo, rectágulo, trpezode y Smpso. MÉTODOS DE NTEGRACÓN Cudo el tegrdo es reemplzdo por u polomo de terpolcó P(x, y se cumple f P( x etoces se dce que ls fórmuls de tegrcó so de Newto-Cotes. De l teorí de terpolcó por polomos, se tee que u polomo de grdo o meos, es; Por terpolcó de Lgrge: y cedo x = + t Se tee l tegrcó co: P ( x f f ( x, 0,,,..., P f L 0 f L ( x 0 x x k L x x k S ó = sâ dode s es comú deomdor, tl que P E el cudro se cosder los resultdos de los vlores de Newto-Cotes. Extededo el cudro, otros vlores correspode putos. Así Boole es tmé deomdo como de 5 putos (por exstr u terpolcó co u polomo de grdos. Cudo el tervlo [,] es rzolemete grde, se costumr dvdrlo e segmetos, y plcr los esquems de cudrturs de Newto-Cotes : P t k ( t L k k 0 f â 0 f â 0 ( s k, dt f N Fuete [] Cudro. Vlores de Newto Cotes 5 6 s Nomre Trpezode Smpso Regl /8 Boole Regl 6 putos Cudo el tervlo [,] es rzolemete grde, se costumr dvdrlo e segmetos, y plcr los esquems de cudrturs de Newto-Cotes L regl del trpezode extedd, se desrroll como u sum de áres: Pr plcr l regl de Smpso / e form compuest, se requere que se u úmero pr: ERRORES x0 x x... x x f x P( x f ( y0 y y... y y f / A y0 ( y y y5... ( y y y6... y y0 ympres ypres y El error e l proxmcó segú Steffeso es expresdo como sgue: p P f K f ( p (, [, ] Los vlores de P y K depede solmete de y o del tegrdo f(x. El supuesto de f(x, es ser cotu y poseer dervds de lto orde. El térmo error pr p ( p Newto-Cotes, tee l form K f ( î, co î e [,]; dode K es u costte. Cudo o exste formcó cerc de ls dervds de lto orde; es posle estmr el error, s l tegrl es computd, usdo dos dferetes vlores[]. 8 d. dt 0(, 007

3 Edurdo Rffo L., Rosmer Myt H. y Vctor Pérez Q. >>> L evlucó de l tegrl es: = puede ser clculd como: = + E = + E Se y E, ls estmcoes de l tegrl y su error socdo pr u fórmul compuest co tervlos de u trpezode; se tee: = ( f x = + E = + E Dode y so vlores dferetes de ( f ''( E, y E ( f ''(, Asumedo f ( y f ( gules: El vlor de l tegrl vee ddo por: = + E desde l guldd E - E = - E E E, y S =, l tegrl se coverte e: E E Coocd como l proxmcó de Rcrdso pr el Trpezode. Pr l regl de Smpso / pr dtos compuestos, el error vee ddo por: 5 E f ( 880 Se cumple que: ( f x y, y Y co =, se tee que: Se puede geerlzr ests fórmuls, l plterse como: j T,,, j T j T j j L flosofí de l extrpolcó de Rcrdso, como sí es llmd, puede ser plcd culquer fórmul de cudrtur de Newto-Cotes; o culquer computcó que se ecuetr sd e u rejll de co y u error descrto como u potec de []. Aplccoes de los métodos de tegrcó Hcedo uso de los vlores del cudro, e l fgur, se preset el scrpt del M-fle Qudrtur.m, que evlú ests regls. L regl de Smpso /, es prolemete l más utlzd, de tods ls fórmuls de tegrcó. Los scrpt pr ls fórmuls del Trpeco y Smpso /, so presetds e ls fgurs y. L evlucó lítc de l fucó f x x e el tervlo correspode l vlor de /. E l fgur Nº, se preset los cálculos pr ls regls del Trpeco y Smpso, usdo 0 tervlos. L regl de Smpso es l que más se proxm. Fgur. M-fle Qudrtur.m fucto Qudrtur(f,, % Cudrturs áscs % % Dtos % f = el omre de l fucó como strg % = límte feror % = límte superor % = logtud del segmeto % = umero de segmetos % Resultdos % p=tegrcó =; = (-/; p=(fevl(f,+fevl(f,/; =; = (-/; p=(fevl(f,+fevl(f,(+/+fevl(f,/; =; =(-/; p=(fevl(f,+fevl(f,++fevl(f,++fevl(f,/8; =; =(-/; p=(7fevl(f,+fevl(f,++ fevl(f,++fevl(f,++7fevl(f,/90; fprtf('are pr Trpezode : %0.5f\',p; fprtf('are pr Smpso /: %0.5f\',p; fprtf('are pr Smpso /8: %0.5f\',p; fprtf('are pr Boole : %0.5f\',p; Fuete: Elorcó prop d. dt 0(, 007 9

4 >>> Algortmos de tegrcó Numérc Fuete: Elorcó prop Fgur. M-fle Trpezode.m fucto p=trpezode(f,,, % Dtos % f =el omre de l fuco como strg % =lmte feror % =lmte superor % =logtud del segmeto % x =es el vector x % y =es el vector f(x, f e form vectorl % =umero de segmetos, o + putos % Resultdos % p =tegrco =(-/; x=+(0:; y=fevl(f,x; p=0.5(sum(y-y(-y(+; U esquem de tegrcó utomátc, yud l usuro clculr culquer tegrl. E [5], se detll los requstos, pr u tegrdor utomátco: Los límtes de tegrcó. Rut pr evlur f(x. L tolerc. Cot superor del úmero de evlucoes. Los esquems de tegrcó utomátc, puede ser clsfcdos e: dpttv o o dpttv; e tertvos o o tertvos. Los esquems de cudrtur o dpttv pr computdors, us geerlmete u secuec de putos, de cuerdo u esquem fjo; depedete del tegrdo. Cudo se evlú por l regl del Trpezode se utlz l fórmul: T ( = 0.5 f ( f ( x Cudo =, el áre es gul T ( = 0.5 f ( f ( f ( S e l tercó +, el úmero de segmetos se duplc co respecto, se ecuetr que el úmero de putos terores uevos es (ver fgur 5 Fuete: Elorcó prop Se: Sedo sum terores. + De l expresó: Fgur. M-fle Smpso.m fucto p=smpso(f,,, % Smpso / % % Dtos % f = el omre de l fucó(vectorl como strg % = lmte feror % = lmte superor % = logtud del segmeto % x = es el vector x % y = es el vector f(x % = umero de segmetos % Resultdos % p = tegrco =(-/; x=+(0:; y=fevl(f,x; p=(sum(y+sum(y(::-y(-y(+/; Are 0.5 f ( ( Putos terores f ( Are sum 0.5 sum, el cumuldo de los uevos putos sum f ( (Putos terores f ( Are. Are Sum ( Are Sum U esquem de tegrcó o dpttv del tpo tertvo, se preset cotucó. Este ce uso de l regl del trpeco e form refd, co su correspodete proxmcó de Rcrdso. L proxmcó pr el Trpeco correspode : Fgur. Comprcó etre Trpezode y Smpso / f=le('x.^+x-'; >> Trpezode(f,0,,0 s = >> Smpso(f,0,,0 s = Fuete: Elorcó prop Fgur 5. Proceso del trpeco refdo = = = = = = = = 8 50 d. dt 0(, 007

5 Edurdo Rffo L., Rosmer Myt H. y Vctor Pérez Q. >>> Fuete: Elorcó prop Fgur 6. M-fle de Trpeco.m fucto Trpeco(fdex,,,j % Trpeco Refdo % Dtos % fdex =es l fuco que gres como u strg %, =los vlores extremos del tervlo % j =el vlor de l tercó % Resultdos % N =el vlor de % Are =vlor del re glol Are N; f j== Are=0.5(-(fevl(fdex,+fevl(fdex,; N=; else H=(-/N; x=+h/; Sum=0; for =:N Sum=Sum+fevl(fdex,x; x=x+h; ed Are=0.5(Are+HSum; N=N; Ed el lgortmo ecuetr proxmcoes de flz co el sguete crtero: å Ls fgurs 6 y 7, correspode los scrpt Trpeco.m y TrpecoRcrdso.m. Este últmo scrpt (que voc Trpeco.m, mplemet u lgortmo muy smple y rousto pr l tegrcó o dpttv[]. L fucó umps, es u ue ecmrk pr efectur métrcs de prues, e mucos procesos de computcó. Declrdo l fucó umps.m pr MATLAB: fucto y = umps(x Fgur 8. Fucó umps, y Fgur 7. M-fle de TrpecoRcrdso.m fucto [ ]=TrpecoRcrdso(fdex,,,ERROR % Trpezode co Rcrdso % Dtos % =lmte feror de l tegrl % =lmte superor de l tegrl % Resultdos % A =áre por Trpeco refdo % =áre por extrpolcó de Rcrdso glol Are N; f rg <, ERROR = ; ed j=; Trpeco(fdex,,,j;=; A=Are;=A; wle A0=A;0=; j=j+;=+n; Trpeco(fdex,,,j; A=Are; =(A-A0/(-; f s(-0<=error; rek; ed ed Fuete: Elorcó prop y =,0/((x - 0,.^ + 0,0 +,0/((x- 0,9.^ +0,0-6; L fucó Humps, tee como form, l gráfc de l fgur Nº 8. >> X= 0:0.0: ; y=umps(x;plot(x,y,grs o Aplcdo Trpeco refdo, co l extrpolcó de Rcrdso, se cosgue el resultdo que prece e l f g u r 9. E d o d e l t e g r l e s 9, co 65 voccoes l fucó. El proceso smple de evlur umércmete u tegrl, es usdo putos equdsttes, de u co. U cudrtur es dpttv, cudo volucr l seleccó de los putos que v ser evludos; de tl mer que se cosg u determd precsó. Los esquems de cudrtur dpttv pr computdors, us geerlmete l regl del trpezode o Smpso, dvdedo culquer regó del estdo teror. L crtc ls fórmuls compuests que utlz odos equdsttes, es que l tegrr u fucó e u tervlo que cotee regoes, Fgur 9. Ejecucó de TrpecoRcrdso.m >>[Q,]=TrpecoRcrdso@umps,0, Q= 9, = 65 Fuete: Elorcó prop Fuete: Elorcó prop d. dt 0(, 007 5

6 >>> Algortmos de tegrcó Numérc Fuete: Elorcó prop dode l fucó vrí e gr medd, y e otrs e dode l vrcó es pequeñ, tl como ocurre co l fucó umps, o es fctle su plccó. El térmo de cudrtur dpttv, vee porque estos métodos so cpces de predecr el grdo de l vrcó fucol, y se dpt u tmño del pso de ls ecesddes. Tomdo l regl de Smpso /, co u pso de, se cosgue l tegrl: 5 f S (, f 90 (, (, U mportte técc de solucó de prolem, que ce uso de l recursvdd es Dvde y Vecerás[6]. Dvde y Vecerás, cosste de dos prtes:. Dvde, pequeños prolems, so resueltos recursvmete, excepto el cso se.. Vecerás, l solucó l prolem orgl está formdo desde l solucó los suprolems. L regl de Smpso por recursvdd, es mostrd como sgue: f dex S(, S (, Fgur 0. SmpGold.m fucto [Q c]=smpgold(f,,,tol % Smpso / co tegrcó dpttv % Dtos % f =el omre de l fucó(vectorl como strg % =lmte feror % =lmte superor % =logtud del segmeto % x =es el vector x % y =es el vector f(x % Resultdos % Q =tegrcó % c =umero de voccoes f f rg <, TOL= ; ed =(-/; c=(+/; x=[ c ]; y=fevl(f,x; c=;vel=; Q0=/(y(+y(+y(; [Q ]=SmpRecur(f,,c,,y(,y(,y(,vel,TOL,Q0; c=c+; retur Cudo l estmcó del error o es váld, se plc l regl de Smpso los uevos sutervlos [,(+/] y [ (+/, ], teedo e cosdercó ( Fuete: Elorcó prop Fgur. SmpRecur.m fucto [Q c]=smprecur(f,,c,,f,fc,f,vel,tol,q0 % Smpso / co recurso Dvde y Vecers f vel > 0 c=0; Q=Q0; retur ed =(c-/; c=+;c=c+; fc=fevl(f,c;fc=fevl(f,c; Q=/(f+fc+fc;Q=/(fc+fc+f; c=; Q=Q+Q; f s(q-q0 > TOL vel=vel+; [Q ]=SmpRecur(f,,c,c,f,fc,fc,vel,TOL/,Q; [Q ]=SmpRecur(f,c,c,,fc,fc,f,vel,TOL/,Q; c=c++; Q=Q+Q; Ed que los errores prcles de cd tervlo, correspode l vlor. E ls fgurs 0 y, se preset los scrpt, que ce uso del Dvde y Vecerás pr Smpso /. Este es u lgortmo de tegrcó dpttv. E l fgur, se ejecut SmpGold.m, ecotrádose l precsó rr del decml docevo. CONCLUSONES L crítc ls fórmuls compuests que utlz odos equdsttes, es que l tegrr u fucó e u tervlo que cotee regoes, dode l fucó vrí e gr medd, y e otrs e dode l vrcó es pequeñ, tl como ocurre co l fucó umps, o es fctle su plccó. Cudo l estmcó del error o es váld, se plc l regl de Smpso los uevos sutervlos (Fgur, teedo e cosdercó que los errores prcles de cd tervlo, correspode l mtd del error teror. Los lgortmos que se relz se s e el esquem del trpeco refdo, ce uso de l flosofí de Rcrdso, y demostrdo e l práctc producr resultdos precsos e ls Fgur.: Ejecucó de SmpGold.m >>[Q,]=SmpGold(@umps,0, Q= 9, = 5 d. dt 0(, 007

7 Edurdo Rffo L., Rosmer Myt H. y Vctor Pérez Q. >>> evlucoes de tegrles, utlzdo pocs tercoes y co errores pequeños. L produccó de resultdos precsos e tegrcó umérc, co errores muy pequeños, tre cosgo el umeto de evlucoes. L utlzcó de l recursvdd ce posle costrur ueos lgortmos e tegrcó dpttv. Co l técc del Dvde y Vecerás, se otedo u lgortmo que d resultdos precsos, e el meor tempo. REFERENCAS BBLOGRÁFÍCAS. Dvd, Plp J. y Rowtz, Plp, (975 Metods of Numercl tegrto, Acdemc Press.. Rffo Lecc, Edurdo, (005 Métodos Numércos Pr Cec e geerí co MATLAB, Rffo Lecc edtores.. Cr, Brce, Luter, H. A., (969 Appled Numercl Metods, Jo Wley & Sos, c.. Acto, Form S., (970 Numercl Metods Tt Work, Hrper & Rows, Pulsers, New York. 5. Forsyte, George Elmer, (977 Computer Metods for Mtemtcl Computtos, Pretce-Hll seres utomtc computto. 6. Wess, Mrk Alle C., (996 Algortms, Dt Structures, d Prolem Solvg wt C++, Addso-Wesley. d. dt 0(, 007 5