Actividad para el curso de Física: Gravitación.

Transcripción

1 ctividad para el curo de íica: Gravitación. Profeor Eduardo braham Ecárcega Pliego *. Índice. punte... Leye de Kepler La leye de Kepler y la ley de gravitación univeral de Newton Deducción de la ley de gravitación univeral a partir de la tercera ley de Kepler Gravitación homogénea Movimiento de ubida y caída libre de un cuerpo. 6. Ejemplo Guía de etudio para el etudiante Pregunta a nivel conocimiento Pregunta a nivel comprenión Pregunta a nivel aplicación Ejercicio de enayo de examen. 9. punte. Una de la interaccione fundamentale de lo cuerpo e debe a u maa. Se conidera que un cuerpo poee una maa puntual cuando la ditancia entre el cuerpo y otro cuerpo con lo cuale interactúa e mucho mayor que la dimenione del cuerpo y en la decripción de tal interacción e puede coniderar que el cuerpo concentra u maa en un punto en el epacio. Un cao de conideración de maa puntuale e el de el Sol y la Tierra. La radiación que emite el Sol tarda 8;5 minuto en llegar a la tierra viajando a 3 Km. Con tal ditancia entre el Sol y la Tierra ambo cuerpo pueden er coniderado maa puntuale durante u interacción gravitacional. Una aproximación a la ubicación de la maa puntual de un cuerpo en el epacio e la ubicación del centro de maa del cuerpo. Iaac Newton (643-77), fíico, filóofo, teólogo, inventor, alquimita y matemático inglé, fue el primero en formular una ley para la dependencia de la magnitud de la fuerza de gravitación univeral en el invero de la ditancia entre maa puntuale. La ley de gravitación univeral de Iaac Newton afirma que lo cuerpo de maa puntuale e ejercen fuerza de atracción a lo largo de la línea que une lo centro de maa de lo cuerpo, de acuerdo a la tercera ley del movimiento de lo cuerpo, eta fuerza on de igual magnitud pero de entido opueto. La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre lo cuerpo de maa puntuale varía de manera directamente proporcional con el producto de la maa de lo cuerpo y de manera inveramente proporcional con el cuadrado de la ditancia entre lo centro de maa de lo cuerpo. Ya ecrita como igualdad la magnitud de la fuerza, de atracción gravitacional entre do cuerpo de maa puntuale m y m eparada entre u centro de maa una ditancia r. ver figura afirma: = G m m Siendo G una contante de proporcionalidad que permite convertir cantidade con dimenione de fuerza maa longitud «en dimenione de * Colegio de Ciencia y Humanidade, plantel ur, Univeridad Nacional utónoma de México. Correo-e: eaepcomunidad.unam.mx; eabraham.ecarcegacch.unam.mx. Eta obra e ditribuye bajo una licencia Creative Common tipo tribución-nocomercial-sinderivada.5 México, cbnd. Conulte la iguiente página en internet para conocer lo término de licenciamiento: Uted e libre de compartir - copiar, ditribuir, ejecutar y comunicar públicamente la obra bajo lo término iguiente: (a) tribución Debe reconocer lo crédito de la obra de la manera epecificada por el autor o el licenciante (pero no de una manera que ugiera que tiene u apoyo o que apoyan el uo que hace de u obra). (b) No Comercial No puede utilizar eta obra para fine comerciale. (c) Sin Obra Derivada No e puede alterar, tranformar o generar una obra derivada a partir de eta obra. igura : Diagrama para explicar la ley de gravitación univeral.

2 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM igura : Diagrama repreentativo de la primera ley de Kepler. igura 3: Diagrama repreentativo de la egunda ley de Kepler. «maa ˆ longitud tiempo con el valor: conocida como contante de gravitación univeral G = 6;6748 ˆ ` Newton ˆ metro Kilogramo Quiza el logro principal de Iaac Newton al formular u ley de gravitación univeral de cuadrado invero e que probó que e conite con la leye de Johanne Kepler (57-63) obre el movimiento planetario que on anteriore a la formulación de u ley... Leye de Kepler. Johanne Kepler (57 63), atrónomo y matemático alemán, dedujo u leye a partir de dato empírico que le proporcionó el atrónomo dané Tycho Brahe (746 6). La leye de Kepler afirman lo iguiente: I. Cada planeta e mueve en una órbita elíptica con el ol en uno de lo foco de tal órbita elíptica. Ver la figura. II. La línea entre un planeta y el ol cubre área iguale en intervalo de tiempo de tiempo de igual duración. Ver la figura 3. III. El cuadrado del intervalo de tiempo que dura una revolución del planeta en torno al ol dividido entre el cubo del ancho mayor de la órbita o radio mayor de la órbita e una cantidad contante para todo lo planeta. Kepler formuló u primera do leye en el año de 69 en u obra tromonia nova. Su tercera ley o ley armónica fue ugerida en 69 en u obra Harmonice mundi y e formulada también en término de la longitud del emieje mayor de la órbita elíptica de un planeta, que también e la anchura má grande de la órbita. El decubrimiento de la leye de Kepler e el avance má grande en atronomía dede que ritarco de Samo (3 a. C. - 3 a. C.) quien decubrió que lo planeta circundan al ol, de hecho diecinueve iglo ante que Copernico... La leye de Kepler y la ley de gravitación univeral de Newton. La formulación de la primera y egunda leye de Kepler llevaron a Iaac Newton a afirmar que la aceleración que mantiene a un planeta con un cambio continuo en u dirección de movimiento e halla dirigida hacia el ol, e decir que e una aceleración centrípeta; tal afirmación aparece en u obra Philoophiæ Naturali Principia Mathematica publicada en 687. Ver la figura(4). Newton afirmó también que la magnitud de éta aceleración centrípeta e dependiente del invero del cuadrado de la ditancia entre el planeta y el ol coniderado como maa puntuale, que la aceleración centrípeta de un planeta, a c, tiene la magnitud iguiente: a c = ı donde: (a) 3 T a c e la magnitud de la aceleración centrípeta del planeta, en unidade de longitud entre tiempo al cuadrado. T e el periodo de revolución del planeta en unidade de tiempo. r e la ditancia entre el planeta y el ol en unidade de longitud. a e la longitud del emieje mayor de la órbita elíptica del planeta, en unidade de longitud. igura 4: Diagrama repreentativo del carácter centrípeto de la fuerza de interacción gravitacional entre un planeta y el ol. c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego.

3 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM igura 5: Equema de cuerpo que e ejercen fuerza de carácter gravitacional orbitando el cuerpo de maa m en torno al cuerpo de maa m. igura 6: Equema de cuerpo que e ejercen fuerza de carácter gravitacional orbitando el cuerpo de maa m en torno al cuerpo de maa M. Encontró también que la fuerza que e ejercen do cuerpo que interaccionan gravitacionalmente depende del producto de u maa. Relacionando a la magnitud de la fuerza,, que actúa obre un cuerpo de maa m que orbita a otro cuerpo de maa m cauándole una aceleración centrípeta a c, ver la figura 5, con la noción de que éta fuerza ha de atifacer la egunda ley de Newton para cuerpo con maa puntuale, e decir, a c Y i la aceleración centrípeta, a c eta dada como: a c = ı (a) 3 T Entonce la fuerza centrípeta que actúa obre el cuerpo de maa m tendrá como magnitud: ı (a) 3 T De aquí que e confirme la dependencia de la magnitud de la fuerza gravitacional que e ejercen do cuerpo con maa m y m en el invero del cuadrado de la ditancia entre lo centro de maa de lo cuerpo,. La formulación de la leye de Kepler y lo etudio de Galileo Galilei (564-64) obre la fuerza de gravedad y obre lo principio báico de la mecánica fueron lo antecedente que tuvo Iaac Newton para realizar la gran íntei que le permitiera formular u ley de gravitación univeral con la ayuda de la geometría analítica. La formulación de la ley de gravitación univeral no ólo marca la creación de la ciencia moderna, marca el inicio de una revolución profunda en el entendimiento del univero, la civilización de la mente racional del er humano. El uo de lo concepto de la fíica como ciencia que urge para explicar lo fenómeno naturale en el planeta Tierra para explicar lo fenómeno naturale del Univero le da a la íica el carácter de ciencia univeral..3. Deducción de la ley de gravitación univeral a partir de la tercera ley de Kepler. En principio e epera que la leye de Kepler e cumplan para cualquier itema planetario o para cualquier luna órbitando un planeta. Sea un punto material de maa M repecto al cuál un punto material de maa m tiene un movimiento de orbitación en una trayectoria circular con radio de órbita mayorr, puede que el punto material tenga una órbita elíptica de movimiento, en tal cao el radio r correponderá con el radio de la órbita mayor de la órbita elíptica. Ver la figura (6). Sea que punto material de maa m tenga un movimiento de orbitación con un periodo T o tiempo en el que completa una órbita en u movimiento. Sea K una contante de proporcionalidad directa entre el cubo de la órbita promedio del punto material de maa m y el cuadrado de u periodo. Eta contante de proporcionalidad e caracterítica del itema de cuerpo decrito y en el cao de otro punto materiale en interacción ha de tener otro valor. La tercera ley de Kepler formulada para el itema planteado tendrá la forma: r 3 T () c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 3

4 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM La velocidad de trayectoria circular de la maa m, v, que recorre una órbita circular completa, un cambio en poición circular de ı r, en un tiempo de un periodo T, erá: v = ı r T Entonce el periodo del planeta puede er expreado como: () T = ı r v Sutituyendo la expreión para el periodo del punto material de maa m dada en la ecuación () en la ecuación correpondiente a la tercera ley de Kepler para la interacción de lo punto materiale decrito () e lega a: (3) r 3 ı r v r 3 T r 3 ı v r 4 ı v r v 4 ı r v 4 ı Llevando cantidade contante al lado derecho de éta igualdad, e tiene: v 4 ı r La aceleración centrípeta del punto material de maa m en movimiento circular uniforme, a c, en término de u velocidad de trayectoria circular, v, y del radio de u órbita circular promedio, r, e: a c = v r Se puede obtener la aceleración centrípeta del punto material de maa m en u movimiento en órbita circular en torno al punto material de maa M dividiendo cada lado de la igualdad (4) entre el radio de la órbita circular de la maa m, R, quedando del lado derecho de la nueva igualdad una dependencia en el invero del cuadrado de la ditancia entre lo punto materiale de maa M y m: (4) v 4 ı r v r 4 ı a c 4 ı La magnitud de la fuerza centrípeta que actúa obre el punto material de maa m, c, e igual al producto de la maa por u aceleración centrípeta: (5) c = m a c (6) Si e multiplica cada lado de la igualdad (5) por la maa m del punto material que órbita al punto material de maa M, e obtiene una dependencia para la fuerza que e ejercen lo punto materiale en el invero del cuadrado de la ditancia que lo epara: m a c = m K 4 ı Teniendo en cuenta la ecuación (6), e utituye m a c, por c en el lado derecho de la igualdad anterior: c = m K 4 ı La contante de proporcionalidad K ha de depender de propiedade ajena a la maa puntual m, pero puede depender de propiedade de la maa puntual M repecto a la cual órbita la maa puntual m. Proponiendo que la cantidad K 4 ı ea igual al producto de una contante G por la maa del punto material M: (7) K 4 ı = G M (8) Sutituyendo eta dependencia en la igualdad ( 7) e obtiene: c = m G M Conmutando término: c = G M m Que e la ley de gravitación univeral de Iaac Newton. La contante de gravitación univeral e una contante fenomenológica que indica en que proporción interaccionan la maa de lo cuerpo ejeciéndoe fuerza de atracción debido a u maa. c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 4 (9)

5 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM igura 7: Diagrama uado para explicar la ley de gravitación univeral homogénea..4. Gravitación homogénea. Un cao particular de la interacción gravitacional entre cuerpo e la interacción gravitacional homogénea. Sea que interactúen do cuerpo gravitacionalmente, uno de maa M y otro de maa m iendo la magnitud de la maa m e vario órdene de magnitud menor comparada con la magnitud de la maa M a manera tal que en la interacción gravitacional entre lo cuerpo aunque ambo e ejercen fuerza de atracción de igual magnitud y en entido opueto a lo largo de la línea recta que une u centro de maa, el cuerpo de maa m manifieta una aceleración no nula como acción de la fuerza y ufre un movimiento en el que varía la velocidad repecto al cuerpo de maa M en el tiempo en el que interactúa, pero el cuerpo de maa M manifieta una aceleración prácticamente nula y prácticamente manifieta etar en la mima poición en el epacio o etar en un etado de movimiento de cuerpo libre en el epacio. ún cuando lo cuerpo de maa M y m ean coniderado ólido de revolución i la condición indicada para u maa e mantiene, la interacción entre lo cuerpo cumple la ley de gravitación univeral uando la ditancia entre lo centro de maa de lo cuerpo para fine de la relación de la magnitud de la fuerza que e ejercen. Otra conideración e repecto a la dimenione de ambo cuerpo. Si e conideran a ambo cuerpo como efera en el epacio de materia de la mima denidad, e de eperar que i el cuerpo de maa M e de mayor cantidad de materia que el cuerpo de maa m, entonce el radio de la efera aociada al cuerpo de maa M, digamo R, erá mayor que el radio de la efera aociada al cuerpo de maa m, en vario ordene de magnitud. En tale condicione i e ponen a interactuar lo cuerpo en la cercanía del cuerpo de maa M a manera tal que la ditancia entre lo centro de maa de lo cuerpo, r, ea prácticamente el radio del cuerpo de maa M, e decir R, ver figura 7, la ley de gravitación univeral afirmará que la magnitud de la fuerza que e ejercen lo cuerpo al interactuar debido a u maa erá: = G M m Si e upone que r ı R e puede aproximar la magnitud de la tal fuerza por: ı G M m R u vez, e puede agrupar eta relación en término de propiedade que on del cuerpo de maa M: = fg M R g m g = G M R La magnitud de la fuerza que e ejercen lo cuerpo en la condicione indicada erá: = g m eta fuerza e le conoce como fuerza de interacción gravitacional homogénea, ya que la contante g no depende de la propiedade del cuerpo de maa m, ino de la propiedade del cuerpo de maa M como on u maa M, u radio R y la contante de gravitación univeral, G. La contante g e conocida como aceleración de caída libre de lo cuerpo en la cercanía de la uperficie del cuerpo de maa M; también correponde con el campo gravitacional del cuerpo de maa M en u uperficie. Campo e una medida de fuerza por unidad de maa en una interacción con la condición de que uno de lo cuerpo permanezca prácticamente inamovible durante la interacción y el otro i e acelere. La fuerza tiene carácter de homogénea ya que aplica de igual forma en el cuerpo de maa m in depender de la ditancia a la uperficie del cuerpo de maa M iempre que no upere la condición que la ditancia entre lo centro de maa de lo cuerpo, r no ea muy diferente del radio, R, del cuerpo de maa M, e decir, cuando r ı R. Tal fuerza va iempre dirigida al centro de maa del cuerpo de maa M. En el cao de la interacción de la maa de un cuerpo con la maa de un planeta en u uperficie, a la fuerza con que la maa del planeta atrae a la maa del cuerpo e le conoce como peo del cuerpo en la uperficie del planeta. c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 5

6 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM igura 8: Gráfica uada para repreentar el movimiento de ubida y caída libre de un cuerpo. igura 9: Repreentación de la interacción entre el Sol y el planeta Tierra en término de propiedade mecánica. En el cao de ete tipo de interacción gravitacional homogénea en el planeta Tierra en u ecuador a nivel del mar y para cuerpo que caen en auencia de aire o en el vacío la contante g tiene el valor: g = 9; 8 ( m ) g = 9; 8 ( Newton ) Kg.5. Movimiento de ubida y caída libre de un cuerpo. El movimiento de ubida y caída libre de un cuerpo en dirección vertical e una que e da bajo la acción de la fuerza de gravedad homogénea del cuerpo o peo del cuerpo en todo momento. l actuar obre el cuerpo una fuerza contante en magnitud y dirección, eta fuerza cauará obre el cuerpo un mruv con aceleración `g i e toma un eje de poición vertical con u entido poitivo hacia arriba de la uperficie del planeta. Sea que un cuerpo en ubida y caída libre e halle en una poición vertical inicial y i con cierta velocidad vertical inicial v yi al tiempo inicial t i actuando iempre obre éte cuerpo la aceleración de caída libre de lo cuerpo en la cercanía de la uperficie del planeta, `g hacia e centro del planeta en toda vertical perpendicular a u uperficie, ver figura 8, entonce el movimiento de ubida y caída libre del cuerpo iendo un mruv quedará repreentado por la relacione: y = y i + v yi (t ` t i ) ` g(t ` t i) v y = v yi ` g(t ` t i ) Combinado amba relacione e llega a una expreión en la que la variable tiempo queda implícita: ` g(y ` y i ) = (v y ) ` (v yi ). Ejemplo. () El planeta Tierra órbita al Sol en una órbita elípica con una ditancia promedio entre ello, r Sol ` T ierra de: r Sol ` T ierra = ; ˆ (m) El periodo de orbitación de la Tierra en torno al Sol, T, e: T = 365;56(dia) La maa del Sol, m Sol, e: m Sol = ;989 ˆ 3 (Kg) La maa de la Tierra, m T ierra, e: m T ierra = 5;97 ˆ 4 (Kg) Ver la figura (9). Suponiendo que la Tierra tenga un movimiento circular uniforme en torno al Sol, hallar: (a) El periodo de orbitación de la Tierra en torno al Sol, T, en egundo. (b) La velocidad angular de la Tierra,. (c) La magnitud de la velocidad de trayectoria circular de la Tierra, v. c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 6

7 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM (d) La magnitud de la aceleración centrípeta de la Tierra, a c. (e) La magnitud de la fuerza centrípeta, c, requerida para mantener a la Tierra en movimiento circular uniforme en torno al Sol. (f) La magnitud de la fuerza de gravitación univeral que e ejercen la Tierra y el Sol,. (g) Comparando la magnitud de la fuerza centrípeta con la de la fuerza de gravitación univeral que e ejercen obre la Tierra, firmar i la fuerza de gravitación univeral ejercida obre la Tierra e la fuerza centrípeta requerida para mantener a la Tierra en movimiento circular uniforme en torno al Sol. Repueta. la Tierra tenga un movimiento circular uniforme en torno al Sol, hallar: (a) El periodo de orbitación de la Tierra en torno al Sol en egundo. Repueta: T = 365;56(dia) T = 365;56(dia) ˆ ˆ T = 365;56(dia) ˆ 4(hr) (dia) T = 365;56 ˆ 4 ˆ 36 dia dia T = ;4 ˆ ˆ () T = ;4() ˆ 36() (hr) hr () hr (b) La velocidad angular de la Tierra,. Repueta: = t Para una revolución o vuelta completa, el cambio en poición angular e de ı(radian): = ı(radian) Para una revolución o vuelta completa, el cambio en tiempo t e de un periodo T : t = T (egundo) í que la velocidad angular de la Tierra valdrá: = t = ı T ˆ 3;459 (radian) = ;4 () 6;838 (radian) = ;4 () = ;9943 radian = ;9943 ˆ `7 radian (c) La magnitud de la velocidad de trayectoria circular de la Tierra, v. Repueta: Se ua la iguiente relación entre la velocidad angular, el radio de trayectoria circular, r, y la velocidad de trayectoria circular, v, de un punto material en movimiento circular uniforme o mcu: v = r Sutituyendo valore de y r para la Tierra en mcu en torno al ol: v = r m arco v = ;9943 ˆ `7 m radio ˆ ; ˆ (m radio) v = ;9943 ˆ `7 ˆ ; ˆ mradio v = 9784; m (d) La magnitud de la aceleración centrípeta de la Tierra a c. Repueta: La magnitud de la aceleración centrípeta, a c, de un punto material en movimiento circular uniforme o mcu e puede evaluar como el producto de u velocidad angular,, por la magnitud de u velocidad de trayectoria circular, v : a c = v Sutituyendo lo valore ya hallado para amba velocidade del mcu del planeta Tierra en torno al Sol, la aceleración centrípeta de la Tierra erá: a c = v a c = ;9943 ˆ `7 radian a c = ;9943 ˆ `7 ˆ 9784; a c = ;5936 a c = ;5936 B B a c = 5;936 ˆ `3 m arco m radio m arco m radio B C C m arco m radio a c = 5;936 ˆ `3 m m ˆ 9784; C m arco m radio c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 7

8 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM (e) La magnitud de la fuerza centrípeta, c, requerida para mantener a la Tierra en movimiento circular uniforme en torno al Sol. Repueta: La magnitud de la fuerza centrípeta, c, que mantiene a un punto material en movimiento circular uniforme o mcu e puede evaluar como el producto de u maa, m, por la magnitud de u aceleración centrípeta, a c : c = m a c Sutituyendo lo valore ya hallado para la magnitud de la aceleración centrípeta del planeta Tierra en mcu en torno al Sol, a c, y de la maa de la Tierra, m, la magnitud de la fuerza centrípeta de la Tierra erá: c = m a c c = 5;97 ˆ 4 (Kg) ˆ 5;936 ˆ `3 c = 5;97 ˆ 4 ˆ 5;936 ˆ `3 c = 3;5458 ˆ (Newton) Kgm m (f) La magnitud de la fuerza de gravitación univeral que e ejercen la Tierra y el Sol,. Repueta: Para evaluar la magnitud de la fuerza que e ejercen Sol y Tierra debida a u maa e ua la ecuación para la magnitud de tal fuerza dada por la ley de gravitación univeral: = G m Sol m T ierra Sol ` T ierra Siendo G una contante de proporcionalidad que permite convertir cantidade con dimenione de en dimenione de fuerza maa ˆ longitud tiempo «univeral con el valor: maa longitud «conocida como contante de gravitación G = 6;6748 ˆ ` Newton ˆ metro Kilogramo La maa del Sol, m Sol, e: m Sol = ;989 ˆ 3 (Kg) La maa de la Tierra, m T ierra, e: m T ierra = 5;97 ˆ 4 (Kg) La ditancia promedio entre el Sol y la Tierra, r Sol ` T ierra e de: r Sol ` T ierra = ; ˆ (m) Sutituyendo eto valore en la igualdad para la magnitud de la fuerza gravitacional que e ejercen Sol y Tierra: = G msol mt ierra `rsol ` T ierra = 6;6748 ˆ ` Nm ;989 ˆ 3 ˆ 5;97 ˆ 4 (Kg) Kg (; ˆ (m)) = 6;6748 ˆ ` ;989 ˆ 3 5;97 ˆ 4 Nm «Kg ;37955 ˆ Kg m = 3;545 ˆ (Newton) (g) Comparando la magnitud de la fuerza centrípeta con la de la fuerza de gravitación univeral que e ejercen obre la Tierra, firmar i la fuerza de gravitación univeral ejercida obre la Tierra e la fuerza centrípeta requerida para mantener a la Tierra en movimiento circular uniforme en torno al Sol. Repueta: La magnitude de la fuerza centrípeta y de la fuerza de gravitación que e ejercen obre la Tierra en movimiento circular uniforme coinciden en valor y en orden de magnitud, c = 3;5458 ˆ (Newton) y = 3;545 ˆ (Newton), por lo que e puede aceptar que la fuerza centrípeta que mantiene a la Tierra en mcu en torno al Sol e la fuerza de gracitación que e ejercen la Tierra y el Sol. 3. Guía de etudio para el etudiante. 3.. Pregunta a nivel conocimiento. () (a) 3.. Pregunta a nivel comprenión. () () (a) 3.3. Pregunta a nivel aplicación. () (a) c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 8

9 CCH Sur ctividad para el curo de íica: Gravitación. UNM 4. Ejercicio de enayo de examen. () Relacione lo concepto o cuetionamiento enumerado en número arábigo con u definición o repueta enumerado en número romano. Cada aociación valdrá un punto en el examen. Concepto o cuetionamiento: (.) Definicione de concepto o repueta a lo cuetionamiento: (.I) (). ( punto). () (B) (C) (D) (3) Evalúe: (a). ( punto). c b n d cadémico Eduardo braham Ecárcega Pliego. 9