Capítulo I Aplicaciones de la Prueba Chi-Cuadrado

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1 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Capítulo I Apliaions d la Pruba Chi-Cuadrado Cuando l Sñor ró l mundo y las prsonas para vivir n él obra qu d aurdo on la inia modrna, llvó muho timpo podría muy bin imaginarm qu razonó para sí d la siguint manra: Si hago todo prdibl, stos srs humanos, a los qu h dotado d rbros bastant bunos, indudablmnt aprndrán a prdirlo todo, y por lo tanto no tndrán aliint para har nada, porqu ronorán qu l futuro stá totalmnt dtrminado y n él no pud influir ninguna aión humana Por otra part, si todo lo hago imprdibl, gradualmnt dsubrirán qu no hay bas raional para ninguna disión y por tanto, omo n l primr aso, no tndrán motivos para har nada Ninguno d stos dos proytos tin sntido Craré, por lo tanto, una mzla d los dos Qu unas osas san prdibls y otras imprdibls Tndrán ntons, ntr muhas otras osas, la important tara d sabr uál s uál E F Shumahr 1 Introduión Una d las mayors utilidads d la distribuión Chi-Cuadrado onsist n qu prmit omparar frunias obsrvadas (frunias obtnidas n un xprimnto o mustro on frunias spradas sgún un modlo supusto (hipótsis nula Esta aratrístia d la distribuión Chi-Cuadrado prmit ftuar las siguints prubas: 1 Prubas d bondad d ajust a una distribuión d probabilidads Pruba d homognidad d subpoblaions 3 Pruba d indpndnia La mtodología a utilizar n ada uno d los trs asos srá muy similar La difrnia prinipal stá n la forma n qu s alulan las frunias spradas ya qu stas dpndrán d la hipótsis nula n ustión Prubas Chi-Cuadrado d Bondad d Ajust Las prubas d bondad d ajust prmitn valuar uán bin (o mjor diho uán mal una variabl alatoria s ajusta a una distribuión d probabilidads tória Otras prubas d bondad d ajust son la d Andrson-Darling y la d Kolmogorov-Smirnov Mintras qu la pruba Chi-Cuadrado s basa n la omparaión d las frunias obsrvadas on las frunias spradas bajo l supusto d qu la hipótsis nula s vrdadra, las prubas d Andrson-Darling y d Kolmogorov-Smirnov s basan n la omparaión d la distribuión Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 1

2 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado d probabilidads aumuladas mpíria (rsultado d la mustra on la distribuión d probabilidads aumuladas tória (sgún H 0 1 Pruba d Bondad d Ajust a una Distribuión d Frunias Esta pruba prmit analizar si las frunias obsrvadas d una variabl alatoria n k lass o atgorías s ajustan o no a irtas frunias tórias o spradas Esta pruba s aplia prinipalmnt on variabls ualitativas omo por jmplo: - Tipo d ánr n los nfrmos on ánr n una poblaión (1,, 3, 4 = otros tipos - Alguna aratrístia gnétia hrdada omo por jmplo l olor d los ojos Hipótsis: La hipótsis nula s dfin d aurdo on las proporions spradas para ada una d las k atgorías H 0 : π i = π i0 para i = 1,, k H 1 : π i π i0 para al mnos un i Estadístio d Pruba: El stadístio d pruba tin una distribuión Chi-Cuadrado on k-1 grados d librtad y s dfin d la siguint manra: k ( oi i = i= 1 i (k -1 dond o i son las frunias obsrvadas y i las frunias spradas Las frunias spradas s alulan multipliando l tamaño d mustra n por ada una d las proporions supustas n H 0 : i = nπ i Rgla d disión: La hipótsis nula s rhaza on un nivl d signifiaión α sí l valor d tabla [1-α, k -1] rsulta mayor qu l Ejmplo 1: Suponga qu n una poblaión d nfrmos on ánr, históriamnt los 3 tipos más frunts sigun las proporions 35%, 4% y 18%, y qu ntons un studio s dsarrollado para valuar si stas proporions han ambiado (dbido a la nuva tnología média, nuvos hábitos d vida, t En st aso la hipótsis nula sría: H 0 : Las proporions poblaionals no han ambiado H 0 : π 1 = 035 π = 04 π 3 = 018 π 4 = 03 (otros tipos d ánr y la hipótsis altrna: Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup

3 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado H 1 : Las proporions poblaionals sí han ambiado H 1 : Al mnos uno d los π i s difrnt Suponga qu n l studio s obtuviron los siguints rsultados on una mustra alatoria d 1000 nfrmos d ánr: Tipo d ánr Frunia obsrvada Las frunias spradas, si s supon qu la hipótsis nula s vrdadra (s dir qu las proporions no han ambiado, srán: Tipo d ánr Frunia sprada Con stos datos, l stadístio d pruba rsulta: 4 ( oi i = =454 i= 1 El valor d tabla s (095, 3gl = 7815 Como l valor alulado s mnor al valor d tabla, la informaión mustral no s sufiint para rhazar H 0, y s onluy qu no xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu las proporions d nfrmos d ánr han ambiado Cuando las frunias spradas son pquñas, la aproximaión Chi-Cuadrado para la distribuión dl stadístio d pruba pud sr no muy buna Para soluionar st problma i Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 3

4 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado s aonsjabl juntar atgorías d modo qu s liminn las ldas on frunias spradas muy pquñas Dos o más atgorías pudn juntars simpr y uando stas san ombinabls y l sntido d la hipótsis nula no s va aftado por sta agrupaión Por otro lado, hay qu tnr prsnt, qu por ada dos atgorías qu s juntn s pird un grado d librtad y qu l podr d la pruba pud disminuir Algunos autors romindan tnr uidado uando hay muhas frunias spradas mnors a 5, o no prmitir frunias spradas mnors a 1 La mayoría d los paquts stadístios mustran mnsajs d advrtnia uando s tinn frunias spradas mnors a 5 ó 1 Pruba d Bondad d Ajust a una Distribuión d Probabilidads Esta pruba prmit analizar si la distribuión d probabilidads d una variabl alatoria s ajusta o no a una distribuión d probabilidads tória dada En sta sión s prsntarán los asos d bondad d ajust a la distribuión Binomial y a la Poisson Sin mbargo, l studiant podrá apliar sta mtodología a ualquir otra distribuión sin muha difiultad Ants d ontinuar, rurd algunas aratrístias d las distribuions Binomial y Poisson: Distribuión Binomial Una variabl alatoria X tndrá distribuión Binomial on parámtros n y π si umpl on las siguints aratrístias: - X s l númro d éxitos n n nsayos indpndints d un xprimnto, o l númro d éxitos n una mustra d tamaño n Para qu los rsultados d la mustra san indpndints la poblaión db sr infinita Si la poblaión s finita l mustro db sr on rmplazo - π s la probabilidad d éxito para ada uno d los n nsayos Esta probabilidad db sr onstant para los n nsayos Las siguints variabls podrían tnr una distribuión Binomial: - Númro d artíulos dftuosos por lot - Númro d prsonas qu rspondn favorablmnt a un trataminto - Númro d pnals qu falla un jugador n una ronda d 1 - Númro d ntrvistados qu sí starían dispustos a omprar un nuvo produto Dir qu los n nsayos son indpndints implia qu l rsultado obtnido n un nsayo n partiular no dpnd d los otros rsultados En l aso dl númro d pnals fallados por un jugador, sto podría no sr irto si s asum la xistnia d un fator psiológio d modo qu la onfianza dl jugador s va mrmada o inrmntada sgún haya fallado o anotado n los lanzamintos antriors La falta d indpndnia ntr los rsultados podría ourrir también n variabls n las qu todos los rsultados stén aftados por algún fator omún d modo qu xista irta posibilidad d qu todos los lmntos orran on la misma surt; st podría sr por jmplo l aso d la variabl númro d animals nfrmos por orral (si s qu la nfrmdad s ontagiosa Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 4

5 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Distribuión d Poisson Una variabl alatoria X tndrá distribuión d Poisson on parámtro µ = λt si umpl on las siguints aratrístias: - X s l númro d vntos u ourrnias alatoriamnt distribuidos por intrvalo (d timpo, longitud, volumn, t - λ s l númro mdio d vntos por intrvalo unitario - t s l tamaño dl intrvalo - µ s l númro mdio d vntos por intrvalo d tamaño t A la distribuión d Poisson s l ono también omo la distribuión d los vntos raros (poo probabls La distribuión d Poisson fu dsarrollada por l matmátio franés Poisson n 1837 y su primra apliaión fu la dsripión dl númro d murts por patada d mula n la armada prusiana Las siguints variabls podrían tnr una distribuión d Poisson: - Númro d batrias por ml - Númro d aidnts por smana n una intrsión - Númro d animals nontrados por Km - Númro d mrgnias atndidas n un hospital por día El prodiminto para la pruba srá muy similar al prsntado n la sión antrior La únia difrnia stá n la forma d alular las frunias spradas, qu n st aso s alularán bajo l supusto d qu la variabl tin una distribuión d probabilidads dada Hipótsis: H 0 : La variabl X tin una distribuión d probabilidads dada H 1 : La variabl X no tin una distribuión d probabilidads dada Estadístio d pruba: k ( oi i = i= 1 i ( k -1- m Las frunias spradas s alulan d la siguint manra: i = np i dond p i son las probabilidads orrspondints a ada valor d X sgún la distribuión d probabilidads stablida n la hipótsis nula Si la distribuión s Binomial las probabilidads s alularán on la siguint fórmula: n x f( x = (1 x π π Si la distribuión s d Poisson las probabilidads s alularán on: n x Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 5

6 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado f( x = µ x µ Los grados d librtad para l stadístio d pruba son (k 1 m dond k s l númro d atgorías y m l númro d parámtros stimados En l aso d la distribuión Binomial podría sr nsario stimar π y n l aso d la distribuión d Poisson podría sr nsario stimar µ Rgla d Disión: x! La hipótsis nula s rhaza on un nivl d signifiaión α sí l valor d tabla [1-α, k m] rsulta mayor qu l Ejmplo : Hay 1000 bolsas d naranjas, ada una d las uals ontin 10 naranjas Algunas d las naranjas stán podridas Es la distribuión d probabilidads dl númro d naranjas podridas por bolsa una Binomial(10, π? Los rsultados obtnidos tras analizar las 1000 bolsas son los siguints: Númro d naranjas podridas Frunia obsrvada (bolsas H 0 : El númro d naranjas podridas por bolsa sigu una distribuión Binomial (10, π para algún π H 1 : El númro d naranjas podridas por bolsa no sigu una distribuión Binomial (10, π Dado qu no s ono la proporión d naranjas podridas π, st valor srá stimado on la proporión mustral p: # d naranjas podridas 114 πˆ = p = = = # d naranjas Ahora, s alulan las probabilidads binomials para X = 0, 1,, 3, 4, 5 y 6 ó más, y a partir d stas probabilidads s alulan las frunias spradas: Núm d naranjas podridas (X ó + Frunias obsrvadas p(x Frunias spradas Not qu las dos últimas frunias spradas son mnors a 5, por lo qu srá nsario agrupar las trs últimas atgorías: Númro d naranjas podridas (X ó + Frunias obsrvadas p(x Frunias spradas Con stos datos l stadístio d pruba s: Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 6

7 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado 5 ( oi i = = 374 i= 1 Los grados d librtad para l stadístio d pruba srán 3 (5 atgorías 1 1 parámtro stimado El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s (095, 3gl = 7815 Como l valor alulado s mayor qu l valor d tabla s rhaza H 0 En onlusión xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu l númro d naranjas podridas por bolsa no sigu una distribuión Binomial Ejmplo 3: Un ntomólogo stá analizando la distribuión d una spi d insto n una zona d ultivo Para diho studio slionó 40 parlas d m x m y ontabilizó l númro d instos d diha spi n ada una Los rsultados son los siguints: Númro d instos Númro d parlas Prub on α =005 si los datos s ajustan a una distribuión d Poisson H 0 : El númro d instos por parla sigu una distribuión d Poisson (µ para algún µ H 1 : El númro d instos por parla no sigu una distribuión d Poisson (µ Dado qu no s ono l parámtro µ, st valor srá stimado on la mdia mustral: i ˆµ = X = # d instos = 66 = 165 # d parlas 40 Ahora, s alulan las probabilidads d la distribuión d Poisson para X = 0, 1,, 3 y 4 ó más, y a partir d stas probabilidads s alulan las frunias spradas: Númro d instos (X ó más Frunias obsrvadas p(x Frunias spradas Agrupando las dos últimas atgorías s tin: Númro d instos (X ó más Frunias obsrvadas p(x Frunias spradas Con stos datos l stadístio d pruba s: 4 ( oi i = = i= 1 i Los grados d librtad para l stadístio d pruba srán (4 atgorías 1 1 parámtro stimado El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s =5991 (095, gl Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 7

8 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Como l valor alulado s mnor al valor d tabla no s rhaza H 0 En onlusión no xist sufiint vidnia stadístia para rhazar qu l númro d instos por parla siga una distribuión d Poisson Una aratrístia important d la distribuión d Poisson s qu los vntos stán distribuidos n forma alatoria n l intrvalo; por lo tanto, la pruba d bondad d ajust a la distribuión d Poisson pud sr utilizada para probar la alatoridad n la distribuión d los vntos 3 Prubas Chi-Cuadrado para Tablas d Contingnia d dos Entradas En sta sión s vrán las prubas d homognidad d subpoblaions y d indpndnia Si bin ambas prubas prsntan l mismo prodiminto d álulo, las hipótsis a probar son difrnts y por lo tanto las onlusions obtnidas también 31 Pruba d Homognidad d Subpoblaions Esta pruba prmit analizar si la distribuión d probabilidads d una variabl s la misma n r poblaions Datos: Existn r poblaions y una mustra alatoria s xtraída dsd ada poblaión Sa n i l tamaño d la mustra xtraída d la i-ésima poblaión Cada obsrvaión d ada mustra pud sr lasifiada n una d atgorías difrnts Los datos son arrglados n la siguint tabla d ontingnia rx: Catgoría 1 Catgoría Catgoría Total Poblaión 1 o 11 o 1 o 1 n 1 Poblaión o 1 o o n Poblaión r o r o r o r n r Total n 1 n n n En la tabla, o ij s l númro d obsrvaions d la mustra i lasifiadas n la atgoría j; n j s l númro total d obsrvaions n la atgoría j xtraídas dsd las r poblaions y n s l total d obsrvaions xtraídas dsd las r poblaions Hipótsis: Sa π ij la probabilidad d qu una obsrvaión slionada d la poblaión i sa lasifiada n la atgoría j Entons las hipótsis son: H 0 : π 1j = π j = = π rj para todo j = 1,, H 1 : Al mnos una igualdad no s umpl Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 8

9 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Las hipótsis pudn xprsars quivalntmnt d la siguint manra: H 0 : La variabl alatoria tin la misma distribuión d probabilidads n las r poblaions H 1 : La variabl alatoria tin una distribuión d probabilidads difrnt n al mnos una d las poblaions Estadístio d pruba: Rgla d disión: r ( oij ij = (r-1(-1 dond i= 1 j= 1 ij ij n = j ni n La hipótsis nula s rhaza on un nivl d signifiaión α si l valor d tabla [1-α, (r-1(-1] rsulta mayor qu l Ejmplo 4: PTC s un ompusto qu s amargo al sabor para algunos individuos insípido para otros Si uno pud o no saborar l PTC s una aratrístia hrdada En la siguint tabla s prsntan las frunias d los individuos qu pudn y no pudn saborar l PTC para mustras d uatro paíss: Irlanda Portugal Noruga Italia Total Pribn l sabor No pribn l sabor Total Existn vidnias qu indiqun qu la proporión d prsonas qu pribn l sabor amargo dl PTC s difrnt ntr los 4 paíss? En st aso las hipótsis a ontrastar son las siguints: H 0 : La proporión d prsonas qu pribn l sabor dl PTC s igual n los uatro paíss H 1 : La proporión d prsonas qu pribn l sabor dl PTC s difrnt n al mnos uno d los uatro paíss Las frunias obsrvadas y spradas (frunias spradas ntr paréntsis s prsntan n la siguint tabla: Irlanda Portugal Noruga Italia Total Pribn l sabor (57 (33 (194 (39 No pribn l sabor (11 (1 (7 (144 Total Con stos datos l stadístio d pruba s: Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 9

10 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado 4 ( oij ij = = 5957 (-1(4-1 i= 1 j= 1 ij Los grados d librtad para l stadístio d pruba son (4-1(-1 = 3 El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s (095, 3gl = 7815 Como l valor alulado s mnor qu l valor d tabla no s rhaza H 0 y s onluy qu no xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu la proporión d prsonas qu pribn l sabor amargo dl PTC sa difrnt ntr los 4 paíss 3 Pruba d Indpndnia Esta pruba prmit analizar si dos variabls alatorias son o no indpndints Datos: Una mustra alatoria d tamaño n s xtraída, y ada obsrvaión d la mustra s lasifiada d aurdo a dos ritrios (variabls X y Y Usando l primr ritrio ada obsrvaión s lasifiada n una d r filas y usando l sgundo ritrio n una d olumnas Los datos son arrglados n la siguint tabla d ontingnia rx: Columna 1 Columna Columna Total Fila 1 o 11 o 1 o 1 n 1 Fila o 1 o o n Fila r o r o r o r n r Total n 1 n n n En la tabla, o ij s l númro d obsrvaions lasifiadas n la fila i olumna j, n i s l númro total d obsrvaions n la fila i y n j s l númro total d obsrvaions n la olumna j Hipótsis: Sa π ij la probabilidad d qu una obsrvaión sa lasifiada n la fila i olumna j, π i la probabilidad d qu una obsrvaión sa lasifiada n la fila i y π j la probabilidad d qu una obsrvaión sa lasifiada n la olumna j Entons las hipótsis son: H 0 : π ij = π i π j para todo i = 1, r, j = 1, H 1 : Al mnos una igualdad no s umpl Las hipótsis pudn xprsars, n forma quivalnt d la siguint manra: H 0 : Las variabls X y Y son indpndints H 1 : Las variabls X y Y no son indpndints Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 10

11 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Estadístio d pruba: r ( oij ij = (r-1(-1 dond i= 1 j= 1 ij ij = n n n i j = n n n i j n n Rgla d disión: La hipótsis nula s rhaza on un nivl d signifiaión α si l valor d tabla [1-α, (r-1(-1] rsulta mayor qu l Ejmplo 5: En un studio sobr nfrmdads al orazón n hombrs, 356 voluntarios furon lasifiados d aurdo on su nivl soioonómio y sus hábitos d fumar Los datos s prsntan n la siguint tabla: Hábito d fumar Nivl Soioonómio Alto Mdio Bajo Total Filas Atualmnt En l pasado Nuna Total Columnas Es l hábito d fumar indpndint dl nivl soioonómio? Las hipótsis a ontrastar srán las siguints: H 0 : El hábito d fumar s indpndint dl nivl soioonómio H 1 : El hábito d fumar no s indpndint dl nivl soioonómio Las frunias obsrvadas y spradas (frunias spradas ntr paréntsis s prsntan n la siguint tabla: Hábito d fumar Nivl Soioonómio Alto Mdio Bajo Total Filas Atualmnt 51 (6875 ( ( En l pasado 9 ( (060 8 ( Nuna 68 ( (1446 ( Total Columnas Con stos datos l stadístio d pruba s: 3 3 ( oij ij = = (3-1(3-1 i= 1 j= 1 ij Los grados d librtad para l stadístio d pruba son (3-1(3-1 = 4 El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s (095, 4gl = 9488 Como l valor alulado s mayor qu l valor d tabla s rhaza H 0 y s onluy qu xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu l hábito d fumar y l nivl soioonómio stán rlaionados (o no son indpndints Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 11

12 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Esta pruba d indpndnia s útil prinipalmnt uando al mnos una d las dos variabls s ualitativa Si bin s posibl apliar sta pruba on variabls uantitativas, n stos asos s posibl ralizar análisis más ompltos, los uals pudn inluir l álulo d un ofiint d orrlaión, omo por jmplo l ofiint d orrlaión d Parson (qu s vrá n l apítulo 6, o los ofiints d orrlaión basados n rangos omo l d Sparman y l d Kndall, y l análisis dl tipo d rlaión xistnt ntr ambas variabls (si s linal, uadrátia, xponnial o logarítmia, t Al igual qu n las prubas d bondad d ajust, hay qu tnr uidado uando s tngan frunias spradas pquñas, y s romndabl agrupar filas o olumnas para vitar st problma 33 Análisis d tablas x Ya sa qu s sté tratando l aso d homognidad d subpoblaions o l aso d indpndnia, si solo s tinn filas y olumnas n la tabla d ontingnias, sta s rdu a: Columna 1 Columna Total Fila 1 o 11 o 1 n 1 Fila o 1 o n Total n 1 n n y l stadístio d pruba pud simplifiars a la siguint xprsión: ( = = ( oij ij n o11o o1o1 n n n n i= 1 j= 1 ij 1 1 Para mjorar l ajust dl stadístio d pruba a la distribuión hi-uadrado, Yats (1934 propuso utilizar una orrión d ontinuidad uando l stadístio d pruba tin solo un grado d librtad, para ompnsar la falta d xatitud produida por l uso d una distribuión ontinua (la hi-uadrado para aproximar la distribuión dl stadístio d pruba qu s disrta (ya qu s basa n frunias y por lo tanto l númro d posibls valors dl s finito Apliando sta orrión l stadístio d pruba rsulta: 1 n oij ij n o11o o1o1 = = n n n n i= 1 j= 1 ij 1 1 Sin mbargo, hay qu tnr n unta qu sta orrión disminuy l valor dl algunos autors onsidran qu l valor orrgido rsulta dmasiado onsrvador, y Ejmplo 6: Un invstigador ralizó un xprimnto para omparar dos tratamintos on ratons nfrmos Cada trataminto fu apliado a una mustra d 30 ratons nfrmos La siguint tabla mustra l númro d ratons vivos lugo d una smana: Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 1

13 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Vivos Murtos Trataminto Trataminto Hay vidnias sufiints para aptar qu alguno d los dos tratamintos sa más ftivo? En st aso s tin una pruba d homognidad d subpoblaions y las hipótsis a ontrastar son las siguints: H 0 : Los dos tratamintos son iguals H 1 : Alguno d los dos tratamintos s más ftivo qu l otro Con los datos obtnidos, l stadístio d pruba sin orrgir s: ( 60 ((10(17 (0(13 n o11o o1o1 = = = 0635 nnnn 1 1 (30(30(3(37 y l stadístio d pruba on la orrión d Yats: n (10(17 (0(13 n o o o o = = = 08 nnnn (30(30(3( El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s (095, 1gl =384 Como l valor alulado s mnor qu l valor d tabla no s rhaza H 0 y s onluy qu no xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu alguno d los tratamintos sa más ftivo qu l otro En tablas x s posibl también valuar hipótsis unilatrals Los datos n st aso dbn orrspondr a una pruba d homognidad d subpoblaions, sto s, s dbn tnr dos mustras alatorias dsd sus rsptivas poblaions y para ada mustra ada lmnto db sr lasifiado n una d dos atgorías, a las qu s ls dsignará omo éxito y fraaso Éxito Fraaso Total Poblaión 1 o 11 o 1 n 1 Poblaión o 1 o n Total n 1 n n Las hipótsis unilatrals a ontrastar srían las siguints: Caso A: Pruba d ola izquirda H 0 : π 1 = π H 1 : π 1 < π Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 13

14 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Caso B: Pruba d ola drha H 0 : π 1 = π H 1 : π 1 > π dond π 1 y π son las probabilidads d éxito n las poblaions 1 y rsptivamnt En st aso, l stadístio d pruba stá dado por la raíz uadrada d aproxima a una normal stándar: Z = ( n o o o o nnnn 1 1 y su distribuión s La hipótsis nula srá rhazada on un nivl d signifiaión α si Z s mnor qu Z (α n l aso d una pruba d ola izquirda y si Z s mayor qu Z (1 - α n l aso d una pruba d ola drha Ejmplo 7: Continuando on l jmplo antrior, ahora s dsa omparar l trataminto on un ontrol El objtivo dl invstigador s nontrar vidnias signifiativas d qu l trataminto s mjor qu l ontrol Los datos s dan n la siguint tabla: Vivos Murtos Tstigo 7 3 Trataminto En st aso, las hipótsis srán las siguints: H 0 : El trataminto no s ftivo (no s mjor qu l tstigo H 1 : El trataminto sí s ftivo (s mjor qu l tstigo En términos d la probabilidad d suprvivnia, las hipótsis srían: H 0 : π 1 = π H 1 : π 1 < π dond π 1 y π son las probabilidads d qu un ratón sobrviva n l grupo tstigo y trataminto rsptivamnt Con los datos obtnidos, l stadístio d pruba s: Z ( 60 ((7(17 (3(13 n o o o o = = = nnnn 1 1 (30(30(0(40 El valor d tabla para un nivl d signifiaión dl 5% s Z (005 = Como l valor alulado s mayor qu l valor d tabla no s rhaza H 0 y s onluy qu no xist sufiint vidnia stadístia para aptar qu l trataminto sa ftivo Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 14

15 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Ejriios 1 Los gntistas din qu l olor d los zapallos italianos db sguir la razón 1:3:1 Un grupo d invstigadors olta la siguint informaión: Blanas 155, amarillas 40 y vrds 10 Son stos datos onsistnts on la hipótsis d los gntistas? Ustd ha notado qu los pinos rn bin n algunas parts dl bosqu, pro no n otras Ustd spula qu la distribuión d los pinos stá rlaionada on l drnaj dl trrno por lo qu did dividir l trrno n 100 parlas igualmnt spaiadas dl bosqu dos días dspués d una lluvia Ustd dsubr qu hay trs atgorías d sulo: so, margoso y húmdo Como rsultado d su análisis nuntra qu 50 parlas staban sas, 30 margosas y 0 húmdas Admás, 50 parlas tnían árbols d pino, 31 d las uals staban sas, 17 margosas y húmdas Exist sufiint vidnia stadístia para aptar qu los árbols d pino s dsarrollan mjor n alguno d los tipos d sulo? 3 S dsa invstigar si la distribuión d buitrs n un osistma s o no alatoria Con st objtivo, s olta informaión sobr l númro d nidos n áras d 4 km uadrados y s rgistra l númro d nidos n ada ára Los rsultados obtnidos furon los siguints: Númro d nidos Númro d áras Vrifiqu l supusto d qu los nidos s distribuyn n forma alatoria n l trrno 4 Una ompañía d sguros basa sus primas d sguros para oshas n l númro d inndios fura d ontrol n áras d matorrals por año A qu distribuión d probabilidad podría ajustars la variabl númro d inndios por año? A ontinuaión s prsnta informaión sobr l númro d inndios n los últimos 60 años: Númro d Inndios Frunia Aporta sta informaión sufiint vidnia para rhazar su supusto iniial? 5 El grnt d una mprsa afirma qu la probabilidad d produir un artíulo dftuoso s 05 y qu, dado qu la ondiión d un artíulo s indpndint d la d los otros, l númro d artíulos dftuosos por aja db sr una variabl alatoria on distribuión Binomial El dpartamnto d Control d Calidad sliona al azar 100 ajas d 4 artíulos ada una obtnindo los siguints rsultados: N d artíulos no dftuosos Frunias Obsrvadas Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 15

16 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado Prsntan los datos sufiint vidnia al 5% d signifiaión para rhazar la afirmaión dl grnt? 6 En un studio ológio s loalizan 100 puntos sobr un mapa d un ára forstal dond s busará por nidos d avs En ada loaión s ubiarán los uatro nidos más ranos al punto y s rgistrará l númro d nidos orrspondints a la spi I wi (spi nativa hawaiana Estudios antriors din qu la proporión d nidos d I wi n l ampo s 06 y qu la ubiaión d un nido s indpndint d la d los otros A ontinuaión s prsntan los rsultados obtnidos: Númro d nidos d I wi n ada loaión Númro d loaions Prsntan los datos sufiint vidnia stadístia para rhazar los supustos ants mnionados? 7 Una mustra alatoria d studiants s slionada alatoriamnt d sulas privadas y otra d sulas públias A los studiants s ls aplia una pruba uyos rsultados s prsntan a ontinuaión: Puntajs obtnidos Esulas privadas Esulas públias Prsnta sta informaión vidnia d qu la prparaión d los studiants s difrnt n ambos tipos d sula? 8 A ontinuaión s prsntan datos d un studio sobr los tipos d sangr y su rlaión on l grupo étnio Los datos furon tomados dl bano d sangr d Hawai Grupo Étnio Tipo d Sangr Hawaiano Hawaiano Hawaiano Blano Chino Blano O A B AB Evalú si l tipo d sangr y l grupo étnio son variabls indpndints o no 9 Los árbols frutals stán sujtos a una nfrmdad ausada por batrias omúnmnt llamada plaga d fugo, dbido a qu las ramas murtas lun omo si hubisn sido qumadas Los siguints tratamintos son propustos para sta nfrmdad: Trataminto A: no aión (grupo ontrol, trataminto B: uidadosa rmoión d ramas aftadas y trataminto C: frunt roío dl follaj on un antibiótio n adiión a la rmoión d las ramas aftadas Un grupo d 48 árbols s dividido alatoriamnt n trs grupos d Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 16

17 Dpartamnto d Estadístia Informátia Curso: Métodos Estadístios para la Invstigaión I Apliaions d la Pruba Chi -Cuadrado 16 y ada grupo s asignado alatoriamnt a un trataminto Al abo d un año s obsrva la ondiión dl árbol y s rgistran trs posibls rsultados: Rsultado 1: l árbol ha murto, rsultado : l árbol no ha murto pro sigu nfrmo y rsultado 3: l árbol ha sanado Los rsultados dl xprimnto s prsntan n la siguint tabla: Trataminto Rsultado A B C Total Filas Total Columnas Cuáls srían las hipótsis a ontrastar n st aso? Plant las hipótsis y ftué la pruba orrspondint 10 S ralizó un studio para dtrminar si l olor d plo y olor d ojos guardan rlaión o atúan sparadamnt, obtniéndos los siguints rsultados: Color d Color d plo Ojos Rubio Castaño Total Azuls Castaños Otros Total Eftú la pruba orrspondint 11 S ralizó un studio para omparar la trapia d radiaión on la irugía n l trataminto dl ánr S supon qu la irugía s más ftiva qu la radiaión Para vrifiar stas sosphas s ondu un xprimnto on una mustra d 41 paints d los uals 18 ribiron radiaión y 3 irugía Los rsultados s dan a ontinuaión: Cánr ontrolado Cánr no ontrolado Cirugía 1 Radiaión 15 3 Apoyan stos datos la prátia d la irugía sobr la trapia d radiaión? Ing Raúl Eyzaguirr Pérz ryzaguirr@lamolinadup 17